段考詳解範圍：數列的極限、無窮等比級數（含循環小數）、函數、函數的極限與連續（含勘根）

北一女中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題選項 (4) 在極限值是 0 的時候不成立，要想到 f(x)=x 這種例子；第 5 題只代整數看不出 0 與 1 之間有三個根，要多代二分之一；第 12 題第二個極限的分母不趨近 0，直接代入即可，不能當成有因式；第 17 題要先消去另一個數列得到下界，再留意 n=600 那一項。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、多選題 4 題（每題 10 分，共 40 分；錯 1 選項得 8 分，錯 2 選項得 5 分，錯 3 選項得 2 分，錯多於 3 選項 0 分）、填充 8 格（每格 5 分，共 40 分）、混合題 3 小題（依序 2 分、4 分、4 分，共 10 分）；滿分 100 分。原卷填充 A(1)～A(5)、B、C、D 在本頁編為第 7～14 題，混合題第 1～3 小題編為第 15～17 題。答案已與學校公布的答案逐題核對：15 題與學校公布的答案逐題核對一致；第 5 題與混合題第 3 小題依卷面計算，與學校印的不同，詳解有說明。

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

設

a = 0.3 \overline{2}

、

b = 0. \overline{01}

。則

a + b

的值是下列哪一個選項？

(1) $\frac{33}{100}$
(2) $\frac{3333}{10000}$
(3) $\frac{3}{9}$
(4) $\frac{30}{99}$
(5) $\frac{329}{990}$

已知實數數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

a_{1} = 2

，

a_{n + 1} = \frac{2 n - 1}{2 n + 1} a_{n}

，

n

為正整數。試問下列有關極限

n \to \infty lim (n \times a_{n})

的敘述何者正確？

(1) 極限不存在
(2) 極限為 $\frac{1}{2}$
(3) 極限為 $1$
(4) 極限為 $2$
(5) 極限為 $4$

二、多選題（每題 10 分，共 40 分；錯 1 選項得 8 分，錯 2 選項得 5 分，錯 3 選項得 2 分，錯多於 3 選項 0 分）

下列哪一個函數的圖形與函數

f (x) = x

的圖形相同？

(1) $f_{1} (x) = x^{2}$
(2) $f_{2} (x) = \frac{x ^{2}}{x}$
(3) $f_{3} (x) = \frac{x ( 2 + sin x )}{2 + sin x}$
(4) $f_{4} (x) = \frac{x + ln e ^{x}}{2}$
(5) $f_{5} (x) = 2^{l o g_{2} x}$

設

f (x)

為一定義在非零實數上的實數值函數，

g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 1, 0, - 1, 當 x > 0 當 x = 0 當 x < 0

。已知極限

x \to 0 lim (f (x) g (x))

存在，試選出正確的選項。

(1) $x \to 0 lim g (x)$ 存在
(2) $x \to 0 lim (g (x))^{2}$ 存在
(3) $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{g ( x )}$ 存在
(4) $x \to 0 lim f (x)$ 不存在
(5) $x \to 0 lim (f (x))^{2}$ 存在

考慮多項式

f (x) = (x^{2} + 6 x - 1) (4 x^{3} - 4 x + 1)

，試選出正確的選項。

(1) $f (x) = 0$ 的圖形和 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標小於 $0$
(2) $f (x) = 0$ 有 $5$ 個實根
(3) $f (x) = 111$ 至少有 $1$ 個實根
(4) $f (x) = 0$ 有一根介於 $- 1$ 與 $- 2$ 之間
(5) $f (x) = 0$ 在 $0$ 與 $1$ 之間沒有根

設無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

符合

a_{0} = 0

且當

n \geq 1

時，

a_{n}

滿足

a_{n} - a_{n - 1} = ⎩ ⎨ ⎧ (\frac{1}{4})^{n}, (\frac{1}{4})^{n} - (\frac{1}{2})^{n}, 當 n 為奇數， 當 n 為偶數。

試選出正確的選項。

(1) $a_{2} = \frac{1}{16}$
(2) $a_{3} > \frac{1}{32}$
(3) $a_{100} - a_{98} < 0$
(4) $n \to \infty lim a_{2 n} = 0$
(5) $n \to \infty lim a_{n} = 0$

三、填充（每格 5 分，共 40 分）每一格都應有答案，若無答案，請填寫不存在。

填充 A 題（本頁第 7～11 題）（第 7～11 題）　求下列各式的極限值．

(1)

n \to \infty lim \frac{202 2 ^{n}}{202 0 ^{n} + 202 1 ^{n}} =

____。

(2)

n \to \infty lim (n^{2} + 3 n - n^{2} - 1) =

____。

(3)

k = 1 \sum \infty \frac{1}{k ( k + 2 )} =

____。

(4)

k = 1 \sum \infty \frac{2 ^{k} + 3 ^{k}}{6 ^{k}} =

____。

(5)

x \to 2 lim \frac{3 - 3 x - x ^{2} - 7}{x - 2} =

____。

設

f (x)

為滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 4

，

x \to 4 lim \frac{f ( x )}{x - 3} = 12

的最低次多項式，則

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x} =

____。

若函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 6 x + 2 a, a x - 2, - 4 x + b, x \geq 1 - 2 < x < 1 x \leq - 2

在所有實數皆連續，則數對

(a, b) =

____。

令

n

為正整數，

T_{n}

為平面上以兩平行直線

L_{1} : y = - n x + 6 n

，

L_{2} : y = - n x + 9 n

，以及

x

軸、

y

值（卷面印作「值」，依題意應為

y

軸）所圍成的梯形區域面積，則

n \to \infty lim \frac{T _{n}}{n} =

____。

三、混合題（共 10 分）

混合題（本頁第 15～17 題）（第 15～17 題）　假設兩數列

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

，對所有正整數

n

都滿足

2 b_{n} + \frac{6 n - 30}{n} < a_{n} < 4 b_{n}

。已知

n \to \infty lim a_{n} = 12

，試回答下列各題。

1. 若

a_{3} = 15

，下列何者不可能是

b_{3}

的值？（2 分）

(1) $3$
(2) $5$
(3) $7$
(4) $9$

2. 試判斷數列

⟨ b_{n} ⟩

是發散數列或收斂數列，若為收斂數列，求其極限值。（4 分）

3. 若對任一正整數

n \geq n_{0}

都滿足

a_{n} > 11.9

，求整數

n_{0}

的最小值。（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(3)(4)

第 4 題(2)(3)(5)

第 5 題(1)(2)(3)(4)（本站依卷面計算；學校公布的答案印 (1)(3)(4)，見詳解）

第 6 題(1)(2)(3)(4)(5)

第 7 題不存在

第 8 題

\frac{3}{2}

第 9 題

\frac{3}{4}

第 10 題

\frac{3}{2}

第 11 題

7

第 12 題

2

第 13 題

(- 8, 6)

第 14 題

\frac{45}{2}

第 15 題(1)

第 16 題收斂，極限值為

3

第 17 題

600

（本站依卷面計算；學校公布的答案印 601，見詳解）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～2 題）：循環小數、遞迴數列

第 1 題答案 (5)。循環小數就是無窮等比級數。

a = 0.3222 \dots = 0.3 + (0.02 + 0.002 + 0.0002 + \dots)

，括號內首項

0.02

、公比

0.1

，和為

\frac{0.02}{1 - 0.1} = \frac{2}{90}

，所以

a = \frac{27}{90} + \frac{2}{90} = \frac{29}{90}

。

b = 0.010101 \dots = 0.01 + 0.0001 + \dots

，首項

0.01

、公比

0.01

，

b = \frac{0.01}{1 - 0.01} = \frac{1}{99}

。通分到

990

：

a + b = \frac{319}{990} + \frac{10}{990} = \frac{329}{990}

。

a

的循環節只有

2

一個數字（

3

不循環），

b

的循環節是

01

兩個數字。若把

a

看成

0. \overline{32} = \frac{32}{99}

會得到

\frac{33}{99} = \frac{3}{9}

，就是選項 (3) 的陷阱。

第 2 題答案 (3)。把遞迴式一項一項乘起來：

a_{n} = a_{1} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{5}{7} \times \dots \times \frac{2 n - 3}{2 n - 1}

。相鄰兩個分數的分母與分子約掉，只剩第一個分子

1

與最後一個分母

2 n - 1

，所以

a_{n} = \frac{2}{2 n - 1}

（

n = 1

時也成立）。於是

n \times a_{n} = \frac{2 n}{2 n - 1} = \frac{2}{2 - \frac{1}{n}}

，

n \to \infty

時趨近

\frac{2}{2} = 1

。

檢查前幾項：

a_{2} = \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}

，

a_{3} = \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{5}

，都符合

\frac{2}{2 n - 1}

。

a_{n}

本身趨近

0

，但乘上

n

之後趨近

1

。

02多選第 3 題：兩個函數相同的條件

第 3 題答案 (3)(4)。圖形要相同，定義域要都是全體實數，而且每個

x

對應的值都是

x

。(1) 不同：

x^{2} = ∣ x ∣

，

x < 0

時是

- x

。(2) 不同：

x = 0

時分母為

0

，沒有定義，圖形少了原點。(3) 相同：

- 1 \leq sin x \leq 1

，所以

2 + sin x \geq 1

，分母不會是

0

，對所有實數都可以約分得到

x

。(4) 相同：

e^{x} > 0

，

ln e^{x} = x

對所有實數成立，所以

f_{4} (x) = \frac{x + x}{2} = x

。(5) 不同：

lo g_{2} x

只在

x > 0

有定義，圖形只有右半條射線（不含原點）。

先看定義域，再看化簡後的式子。(2) 與 (5) 化簡後都是

x

，差別只在定義域。

03多選第 4 題：左極限與右極限

第 4 題答案 (2)(3)(5)。設

x \to 0 lim (f (x) g (x)) = L

。

x > 0

時

f (x) g (x) = f (x)

，

x < 0

時

f (x) g (x) = - f (x)

，所以已知條件相當於

x \to 0^{+} lim f (x) = L

且

x \to 0^{-} lim f (x) = - L

。(1) 錯：

g

的右極限是

1

、左極限是

- 1

，不相等。(2) 對：

x \neq = 0

時

(g (x))^{2} = 1

，極限是

1

（極限只看

0

附近、不看

x = 0

那一點）。(3) 對：

x \neq = 0

時

g (x) = \pm 1

，所以

\frac{1}{g ( x )} = g (x)

，

\frac{f ( x )}{g ( x )} = f (x) g (x)

，極限就是

L

。(4) 錯：

f

的左右極限是

- L

與

L

，當

L = 0

時兩者相等，極限存在；例如

f (x) = x

，

f (x) g (x) = ∣ x ∣

的極限是

0

，而

x \to 0 lim f (x) = 0

存在。(5) 對：

(f (x))^{2}

的右極限是

L^{2}

、左極限是

(- L)^{2} = L^{2}

，相等。

(4) 只有在

L \neq = 0

時才成立，題目沒有給這個條件，所以不能選。

04多選第 5 題：勘根定理

第 5 題本站答案為 (1)(2)(3)(4)，學校印的是 (1)(3)(4)，差別在選項 (2)，理由如下。令

p (x) = x^{2} + 6 x - 1

、

q (x) = 4 x^{3} - 4 x + 1

，

f (x) = p (x) q (x)

。(1) 對：把「圖形」讀成

y = f (x)

的圖形，它和

y

軸的交點是

(0, f (0))

，

f (0) = (- 1) \times 1 = - 1 < 0

。(3) 對：

f (x)

是五次多項式、最高次項係數

4 > 0

，

x

取很大的正數時

f (x) > 111

，取很小的負數時

f (x) < 111

；多項式函數連續，所以一定有某個

x

使

f (x) = 111

。(4) 對：

q (- 2) = - 32 + 8 + 1 = - 23 < 0

，

q (- 1) = - 4 + 4 + 1 = 1 > 0

，由勘根定理

q (x) = 0

在

- 2

與

- 1

之間有根，這也是

f (x) = 0

的根。(5) 錯：

q (0) = 1 > 0

，

q (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 + 1 = - \frac{1}{2} < 0

，

q (1) = 1 > 0

，所以

q (x) = 0

在

0

與

\frac{1}{2}

之間、

\frac{1}{2}

與

1

之間各有一根；另外

p (0) = - 1 < 0

、

p (1) = 6 > 0

，

p (x) = 0

在

0

與

1

之間也有一根。(2)：

q (x)

是三次式，上面已經找到分別落在

(- 2, - 1)

、

(0, \frac{1}{2})

、

(\frac{1}{2}, 1)

的三個實根；

p (x) = 0

的判別式

36 + 4 = 40 > 0

，兩根是

- 3 \pm 10

（約

0.162

與

- 6.162

）。

q (- 3 + 10) \approx 0.37 \neq = 0

，

- 3 - 10 < - 2

也不是

q

的根，所以五個根兩兩不同，

f (x) = 0

有

5

個實根，選項 (2) 的敘述成立。

直接看

f

的正負也能數出五個根：

f (- 7) < 0

、

f (- 2) = 207 > 0

、

f (- 1) = - 6 < 0

、

f (0) = - 1 < 0

、

f (0.2) > 0

、

f (0.5) < 0

、

f (1) = 6 > 0

，在

(- 7, - 2)

、

(- 2, - 1)

、

(0, 0.2)

、

(0.2, 0.5)

、

(0.5, 1)

各變號一次。只代整數時

q (0) = q (1) = 1

看不出變號，要多代一個

\frac{1}{2}

才看得到

0

與

1

之間的兩個根。學校公布的答案沒有列 (2)；依卷面的式子，五個實根都找得到，所以本站把 (2) 列入。

05多選第 6 題：分奇偶定義的數列

第 6 題答案 (1)(2)(3)(4)(5)。(1) 對：

a_{1} = a_{0} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

，

a_{2} = a_{1} + \frac{1}{16} - \frac{1}{4} = \frac{1}{16}

。(2) 對：

a_{3} = a_{2} + \frac{1}{64} = \frac{5}{64}

，而

\frac{1}{32} = \frac{2}{64}

。(3) 對：

a_{100} - a_{98} = (a_{100} - a_{99}) + (a_{99} - a_{98}) = (\frac{1}{4})^{100} - (\frac{1}{2})^{100} + (\frac{1}{4})^{99}

。因為

(\frac{1}{2})^{100} = (\frac{1}{4})^{50}

，比

(\frac{1}{4})^{99} + (\frac{1}{4})^{100} < 2 (\frac{1}{4})^{99}

大得多，所以差是負的。(4) 對：把差全部加起來，

a_{2 m} = k = 1 \sum 2 m (\frac{1}{4})^{k} - j = 1 \sum m (\frac{1}{2})^{2 j}

。

m \to \infty

時，前一個和趨近

\frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}

；後一個和中

(\frac{1}{2})^{2 j} = (\frac{1}{4})^{j}

，也趨近

\frac{1}{3}

。所以

m \to \infty lim a_{2 m} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0

。(5) 對：奇數項

a_{2 m + 1} = a_{2 m} + (\frac{1}{4})^{2 m + 1}

，也趨近

0 + 0 = 0

。偶數項與奇數項都趨近

0

，所以

n \to \infty lim a_{n} = 0

。

其實

a_{2 m} = k = m + 1 \sum 2 m (\frac{1}{4})^{k} = \frac{1}{3} [(\frac{1}{4})^{m} - (\frac{1}{4})^{2 m}]

，

m = 1

時是

\frac{1}{3} \times \frac{3}{16} = \frac{1}{16}

，與 (1) 相符。只知道偶數項趨近

0

還不夠，(5) 要連奇數項一起檢查。

06填充 A 題（第 7～11 題）：五個極限

第 7 題分子、分母同除以分母中底數最大的

202 1^{n}

：

\frac{202 2 ^{n}}{202 0 ^{n} + 202 1 ^{n}} = \frac{( \frac{2022}{2021} ) ^{n}}{( \frac{2020}{2021} ) ^{n} + 1}

。

n \to \infty

時分母趨近

0 + 1 = 1

，分子的公比

\frac{2022}{2021} > 1

，會愈來愈大、沒有上限。所以這個數列發散，極限不存在，依卷面規定填「不存在」。

分子的底數比分母兩個底數都大，才會發散；若分子是

202 1^{n}

，極限就是

1

。

第 8 題兩個根式相減，先乘以共軛式有理化：

n^{2} + 3 n - n^{2} - 1 = \frac{( n ^{2} + 3 n ) - ( n ^{2} - 1 )}{n ^{2} + 3 n + n ^{2} - 1} = \frac{3 n + 1}{n ^{2} + 3 n + n ^{2} - 1}

。分子、分母同除以

n

：

\frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n} + 1 - \frac{1}{n ^{2}}}

，

n \to \infty

時趨近

\frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}

。

第 9 題拆成兩項相減：

\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})

。前

n

項的和

S_{n} = \frac{1}{2} [(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})]

，中間的項兩兩消掉，剩下

S_{n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})

。

n \to \infty

時

S_{n}

趨近

\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

。

分母兩個因式差

2

，所以前面留下兩項（

1

與

\frac{1}{2}

）、後面也留下兩項。

第 10 題

\frac{2 ^{k} + 3 ^{k}}{6 ^{k}} = (\frac{1}{3})^{k} + (\frac{1}{2})^{k}

，是兩個公比的絕對值都小於

1

的無窮等比級數，可以分開求和：

k = 1 \sum \infty (\frac{1}{3})^{k} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

，

k = 1 \sum \infty (\frac{1}{2})^{k} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1

。和為

\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}

。

k

從

1

開始，首項分別是

\frac{1}{3}

與

\frac{1}{2}

，不是

1

。

第 11 題

x = 2

時

3 - 3 x - x^{2} = 3 - 6 - 4 = - 7

，是負的；

x

在

2

附近時它也是負的，所以

3 - 3 x - x^{2} = x^{2} + 3 x - 3

。分子變成

x^{2} + 3 x - 3 - 7 = x^{2} + 3 x - 10 = (x - 2) (x + 5)

。

x \neq = 2

時

\frac{( x - 2 ) ( x + 5 )}{x - 2} = x + 5

，

x \to 2

時趨近

7

。

去絕對值之前要先看

x = 2

附近裡面是正的還是負的。若沒有變號，會算成

\frac{- x ^{2} - 3 x - 4}{x - 2}

，分子趨近

- 14

、分母趨近

0

，就誤以為極限不存在。

07填充 B、C、D 題（第 12～14 題）：最低次多項式、連續、梯形面積

第 12 題第一個條件：

x \to 1

時分母

x - 1

趨近

0

，極限卻存在，所以分子也要趨近

0

，即

f (1) = 0

。於是

f (x) = (x - 1) q (x)

，其中

q (x)

是多項式，而

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = q (1) = 4

。第二個條件：

x \to 4

時分母

x - 3

趨近

1

（不是

0

），多項式函數連續，所以極限就是

\frac{f ( 4 )}{1} = 12

，即

f (4) = 3 q (4) = 12

，

q (4) = 4

。次數最低的

q (x)

是常數

4

（

q (1) = q (4) = 4

都符合），所以

f (x) = 4 (x - 1)

。所求

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x} = \frac{f ( 2 )}{2} = \frac{4}{2} = 2

。

第二個極限是

x \to 4

、分母是

x - 3

，分母不趨近

0

，直接代入即可，不能看成「

f (x)

有因式

x - 3

」。

f (x)

不可能是常數（

f (1) = 0

而

f (4) = 12

），所以一次式

4 x - 4

已經是最低次。

第 13 題三段各自是一次式，在各段內部都連續，只要檢查兩個接點。在

x = 1

：左極限

x \to 1^{-} lim (a x - 2) = a - 2

，右極限與函數值都是

6 + 2 a

，連續要

a - 2 = 6 + 2 a

，得

a = - 8

。在

x = - 2

：右極限

x \to - 2^{+} lim (a x - 2) = - 2 a - 2 = 14

，左極限與函數值都是

8 + b

，連續要

8 + b = 14

，得

b = 6

。所以

(a, b) = (- 8, 6)

。

驗算：

a = - 8

時

x = 1

兩側都是

- 10

；

b = 6

時

x = - 2

兩側都是

14

。

第 14 題卷面的「

y

值」依題意是

y

軸。

L_{1}

與兩軸交於

(6, 0)

、

(0, 6 n)

；

L_{2}

與兩軸交於

(9, 0)

、

(0, 9 n)

。兩條直線斜率都是

- n

，互相平行，夾在兩軸之間的區域是梯形，面積等於大三角形減小三角形：

T_{n} = \frac{1}{2} \times 9 \times 9 n - \frac{1}{2} \times 6 \times 6 n = \frac{81 n - 36 n}{2} = \frac{45 n}{2}

。所以

\frac{T _{n}}{n} = \frac{45}{2}

是常數，極限為

\frac{45}{2}

。

08混合題（第 15～17 題）：兩個數列互相夾住

第 15 題答案 (1)。把

n = 3

代入：

\frac{6 \times 3 - 30}{3} = - 4

，所以

2 b_{3} - 4 < 15 < 4 b_{3}

。左邊給

b_{3} < \frac{19}{2} = 9.5

，右邊給

b_{3} > \frac{15}{4} = 3.75

。

3.75 < b_{3} < 9.5

，選項中只有

3

不在這個範圍內。

第 16 題把不等式改成用

a_{n}

夾住

b_{n}

。由

a_{n} < 4 b_{n}

得

b_{n} > \frac{a _{n}}{4}

；由

2 b_{n} + \frac{6 n - 30}{n} < a_{n}

得

b_{n} < \frac{1}{2} (a_{n} - 6 + \frac{30}{n})

。所以對所有正整數

n

，

\frac{a _{n}}{4} < b_{n} < \frac{1}{2} (a_{n} - 6 + \frac{30}{n})

。

n \to \infty

時，左邊趨近

\frac{12}{4} = 3

，右邊趨近

\frac{1}{2} (12 - 6 + 0) = 3

。兩邊的極限相同，由夾擠定理，

⟨ b_{n} ⟩

是收斂數列，

n \to \infty lim b_{n} = 3

。

不可以先假設

⟨ b_{n} ⟩

收斂、設極限為

b

再對原不等式取極限；收斂正是要說明的事，要用夾擠定理。

第 17 題本站答案為 600，學校印的是 601，理由如下。先找出

a_{n}

自己必須滿足的條件。由上一題，

\frac{a _{n}}{4} < b_{n} < \frac{1}{2} (a_{n} - 6 + \frac{30}{n})

，所以

\frac{a _{n}}{4} < \frac{1}{2} (a_{n} - 6 + \frac{30}{n})

，整理得

a_{n} < 2 a_{n} - 12 + \frac{60}{n}

，即

a_{n} > 12 - \frac{60}{n}

。學校印的 601 的算法：解

12 - \frac{60}{n} > 11.9

，得

\frac{60}{n} < 0.1

，

n > 600

，所以取

n_{0} = 601

。本站的算法：因為

a_{n} > 12 - \frac{60}{n}

是嚴格不等式，只要

12 - \frac{60}{n} \geq 11.9

（即

n \geq 600

）就有

a_{n} > 11.9

。

n = 600

時

a_{600} > 12 - 0.1 = 11.9

已經成立，所以

n \geq 600

時一定都滿足。

n = 599

時下界

12 - \frac{60}{599} \approx 11.8998 < 11.9

，就不一定了：例如

a_{n} = 12 - \frac{60}{n} + \frac{1}{n ^{2}}

，並取

b_{n}

為

\frac{a _{n}}{4}

與

\frac{1}{2} (a_{n} - 6 + \frac{30}{n})

的平均，這兩個數列符合題目所有條件，而

a_{599} \approx 11.89984 < 11.9

。所以對所有符合條件的數列都適用的最小

n_{0}

是

600

。

兩個答案的差別只在

n = 600

這一項：下界剛好等於

11.9

，而

a_{600}

嚴格大於下界。另外，題目沒有指定

⟨ a_{n} ⟩

是哪一個數列，個別的數列可能更早就全部大於

11.9

；這裡求的是「不論哪一組符合條件的數列都成立」的最小

n_{0}

。

兩個數列互相夾住時，先把不等式改寫成「用已知極限的數列夾住未知的數列」，兩邊極限相同才能用夾擠定理；要問從第幾項起成立，就把下界解出來，並留意等號那一項算不算。

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本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題選項 (4) 在極限值是 0 的時候不成立，要想到 f(x)=x 這種例子；第 5 題只代整數看不出 0 與 1 之間有三個根，要多代二分之一；第 12 題第二個極限的分母不趨近 0，直接代入即可，不能當成有因式；第 17 題要先消去另一個數列得到下界，再留意 n=600 那一項。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自北一女中 111 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～2 題）：循環小數、遞迴數列

02多選第 3 題：兩個函數相同的條件

03多選第 4 題：左極限與右極限

04多選第 5 題：勘根定理

05多選第 6 題：分奇偶定義的數列

06填充 A 題（第 7～11 題）：五個極限

07填充 B、C、D 題（第 12～14 題）：最低次多項式、連續、梯形面積

08混合題（第 15～17 題）：兩個數列互相夾住

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北一女中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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