段考詳解範圍：綜合範圍（實數與根式、絕對值、常用對數、直線與圓、二元一次不等式與線性規劃、數列、數據分析、三次函數、排列組合、條件機率）；卷面未印範圍，依題目內容整理

北一女中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 111 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 111 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題選項的點都貼近邊界，要把每個點代入兩條直線的式子逐一看正負；多選第 6 題選項三看似合理，但平均數八、標準差不到二仍可能有一天只進五球；多選第 7 題的對稱中心是負一、負一，兩個對稱的函數值相加是負二不是零；填充第 11 題要先看出圓心在兩平行線正中間。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 4 題（共 24 分）、多選題 3 題（共 30 分）、填充題 5 題（共 30 分）、計算題 1 題 3 小題（共 16 分，三小題各印 7 分、6 分、3 分），合計 100 分；卷面只印各大題的總分，沒有印每題幾分與多選題的給分方式。本頁第 13、14、15 題是卷面第 13 題的 (1)(2)(3)。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部相同；第 13 題學校答案寫「略」，可行解區域圖由本站繪製。

一、單選題（共 24 分）

下列選項中的數，何者最大？(

n! = n \times (n - 1) \times \dots\dots \times 2 \times 1

)

(A) $11 2^{10}$
(B) $3^{224}$
(C) $1 0^{112}$
(D) $5 6^{56}$
(E) $56!$

令

a = lo g 2022 - lo g 2021

，

b = lo g 112 - lo g 111

，

c = 1

。請選出正確的大小關係。

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $c > a > b$
(E) $c > b > a$

坐標平面上，直線

y = - 2 x

與直線

y = 3 x + 5

將坐標平面分割成四個區域。試問下列哪一個點會和

A (- 1, 1)

在同一個區域？

(A) $A (- 13, - 33)$
(B) $B (- 20, - 56)$
(C) $C (1, - 1)$
(D) $D (15, - 29)$
(E) $E (20, - 29)$

滿足二元一次聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x - y \geq 0 x + y \leq 11 y \geq 0

之整數對

(x, y)

有____對。

(A) $30$
(B) $36$
(C) $42$
(D) $48$
(E) $78$

二、多選題（共 30 分）

設

a_{1} = 1

，且

a_{1}

、

a_{2}

、

a_{3} \dots

為等差數列，請選出正確的選項。

(A) 若 $a_{111} > 0$ ，則 $a_{2022} > 0$
(B) 若 $a_{111} < 0$ ，則 $a_{2022} < 0$
(C) 若 $a_{2022} > 0$ ，則 $a_{111} > 0$
(D) 若 $a_{2022} < 0$ ，則 $a_{111} < 0$
(E) $a_{2022} - a_{2000} = 2 (a_{11} - a_{1})$

邱邱練習罰球線投籃，每天會記錄自己連投

10

球之進籃次數，邱邱給自己一個短期目標：若「連續

7

天，其進球數都為

6

球以上」，則邱邱就能進行新階段的練習。根據其某一星期

7

天的紀錄，下列各選項，哪些必定符合她的短期目標？

(A) 平均數 $\geq 8$
(B) 標準差 $\leq 1$
(C) 平均數 $\geq 8$ 且標準差 $\leq 2$
(D) 平均數 $\geq 8$ 且全距 $\leq 2$
(E) 眾數 $= 10$ 且全距 $\leq 4$

已知

f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 2 = a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

，則下列何者正確？

(A) $a = 2$
(B) $p = 3$
(C) $h = - 1$
(D) $f (- 112) = - f (110)$
(E) $f (- 11) + 2 = - f (9)$

三、填充題（共 30 分）

已知整數

k

滿足

\frac{k}{3} < 41 < \frac{k + 1}{3}

，則

k =

____

學校為迎接外賓，欲從高一、二學生中選出

8

人組成迎賓團，且希望高一、二學生均至少要有

2

人。已知經過第一輪篩選後，剩下

4

名高一學生及

7

名高二學生。若由此

11

人中依規定進行決選，選出最終

8

人迎賓團，則共有____種不同的組團方法。

馮馮和高高一起到遊樂場打靶，已知馮馮命中率為

\frac{1}{2}

，高高命中率為

\frac{2}{5}

，且兩人命中與否為獨立事件。若兩人各向靶心射擊一次，則在只有一人命中的條件下，馮馮命中的機率為____

坐標平面上，一圓與直線

x - y = 2022

以及直線

x - y = 2018

所截的弦長皆為

14

。則此圓面積為____

π

滿足

∣ x - 11∣ + ∣ x - 111∣ \leq 100

的整數

x

有____個。

四、計算題（共 16 分）

計算題第 13 題（本頁第 13～15 題）（第 13～15 題）　有甲、乙兩工廠生產 A、B 兩種不同產品；甲廠每天可生產

400

個 A 及

200

個 B，乙廠每天可生產

200

個 A 及

700

個 B。今有一訂單需求

1600

個 A 及

2000

個 B。

(1)設甲廠運轉

x

天，乙廠運轉

y

天。請畫出其可行解區域。(7 分)

(2)若甲廠運轉一天成本

10000

元，乙廠運轉一天成本

30000

元，試問甲、乙兩工廠各開廠幾天會使得成本最低並達成需求？此時成本為何？(6 分)

(3)若甲廠運轉一天成本

30000

元，乙廠運轉一天成本

10000

元，試問甲、乙兩工廠各開廠幾天會使得成本最低並達成需求？(3 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(E)

第 3 題(B)

第 4 題(C)

第 5 題(B)(C)

第 6 題(D)(E)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題

19

第 9 題

161

第 10 題

\frac{3}{5}

第 11 題

51

第 12 題

101

第 13 題

2 x + y \geq 8

、

2 x + 7 y \geq 20

、

x \geq 0

、

y \geq 0

的無界區域，頂點

(0, 8)

、

(3, 2)

、

(10, 0)

（圖見詳解）

第 14 題甲廠

3

天、乙廠

2

天，成本

90000

元

第 15 題甲廠

0

天、乙廠

8

天

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：大數比較、對數、兩直線分割的區域、整數點

第 1 題答案 (C)。都和

1 0^{112}

比：(B)

3^{224} = (3^{2})^{112} = 9^{112} < 1 0^{112}

；(D)

5 6^{56} < 10 0^{56} = 1 0^{112}

；(E)

56!

是

56

個不超過

56

的正整數相乘，

56! < 5 6^{56} < 1 0^{112}

；(A)

11 2^{10} < 100 0^{10} = 1 0^{30} < 1 0^{112}

。所以

1 0^{112}

最大。

也可以取常用對數比較：

lo g 3^{224} = 224 lo g 3 \approx 224 \times 0.4771 \approx 106.9

，

lo g 5 6^{56} = 56 (3 lo g 2 + lo g 7) \approx 56 \times 1.748 \approx 97.9

，

lo g 11 2^{10} = 10 (4 lo g 2 + lo g 7) \approx 20.5

，都小於

112

。

第 2 題答案 (E)。

a = lo g \frac{2022}{2021} = lo g (1 + \frac{1}{2021})

，

b = lo g \frac{112}{111} = lo g (1 + \frac{1}{111})

，

c = 1 = lo g 10

。真數的大小：

1 + \frac{1}{2021} < 1 + \frac{1}{111} < 10

，而

y = lo g x

是遞增函數，所以

a < b < c

，即

c > b > a

。

第 3 題答案 (B)。把兩條直線寫成

L_{1}

：

2 x + y = 0

、

L_{2}

：

3 x - y + 5 = 0

。代入

A (- 1, 1)

：

2 x + y = - 1 < 0

，

3 x - y + 5 = 1 > 0

。和

A

同一區域的點，代入兩式的正負都要與

A

相同（

2 x + y < 0

且

3 x - y + 5 > 0

）。(A)

2 (- 13) - 33 = - 59 < 0

，

3 (- 13) + 33 + 5 = - 1 < 0

，不合；(B)

- 40 - 56 = - 96 < 0

，

- 60 + 56 + 5 = 1 > 0

，符合；(C)

2 - 1 = 1 > 0

，不合；(D)

30 - 29 = 1 > 0

，不合；(E)

40 - 29 = 11 > 0

，不合。

兩條相交直線把平面分成四塊，每一塊由「在

L_{1}

的哪一側」與「在

L_{2}

的哪一側」決定；選項的點都很接近邊界，要逐一代入算，不能只看大概位置。

第 4 題答案 (C)。區域是頂點

(0, 0)

、

(11, 0)

、

(\frac{11}{2}, \frac{11}{2})

的三角形。依

y

逐列數，

x

要滿足

y \leq x \leq 11 - y

：

y = 0

時

x = 0 \sim 11

，

12

個；

y = 1

時

x = 1 \sim 10

，

10

個；

y = 2

時

8

個；

y = 3

時

6

個；

y = 4

時

4

個；

y = 5

時

x = 5, 6

，

2

個；

y \geq 6

時

y > 11 - y

，沒有。共

12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 42

對。

三條邊界上的點（例如

(0, 0)

、

(11, 0)

、

(5, 5)

）都滿足不等式（有等號），要算進去。

判斷點在哪一個區域，把點代入每條直線的式子看正負；數整數點就固定

y

一列一列數。

02多選題（第 5～7 題）：等差數列、數據分析、三次函數的對稱中心

第 5 題答案 (B)(C)。設公差為

d

，

a_{111} = 1 + 110 d

，

a_{2022} = 1 + 2021 d

。(A) 錯誤。 取

d = - \frac{1}{200}

：

a_{111} = 1 - 0.55 = 0.45 > 0

，但

a_{2022} = 1 - 10.105 < 0

。(B) 正確。

a_{111} < 0

得

d < - \frac{1}{110}

，此時

d < 0

且

2021 d < - \frac{2021}{110} < - 1

，所以

a_{2022} < 0

。(C) 正確。

a_{2022} > 0

得

d > - \frac{1}{2021}

，則

110 d > - \frac{110}{2021} > - 1

，所以

a_{111} > 0

。(D) 錯誤。 同 (A) 的例子：

a_{2022} < 0

而

a_{111} > 0

。(E) 錯誤。

a_{2022} - a_{2000} = 22 d

，

2 (a_{11} - a_{1}) = 2 \times 10 d = 20 d

，只有

d = 0

時才相等；例如

d = 1

時兩邊是

22

與

20

。

首項是正數

1

：若數列往負的方向走（

d < 0

），越後面的項越小，所以「前面的項已經是負的，後面一定是負的」(B)，「後面的項還是正的，前面一定是正的」(C)。

第 6 題答案 (D)(E)。每天的進球數是

0 \sim 10

的整數，目標是「

7

筆資料都

\geq 6

」。(A) 錯誤。 資料

2, 10, 10, 10, 10, 10, 10

：平均數

\frac{62}{7} \approx 8.86 \geq 8

，但有一天只進

2

球。(B) 錯誤。

7

天都是

3

球：標準差

0 \leq 1

，但每天都不到

6

球。(C) 錯誤。 資料

5, 8, 8, 8, 9, 9, 9

：平均數

\frac{56}{7} = 8

，與平均數的差為

- 3, 0, 0, 0, 1, 1, 1

，變異數

\frac{9 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1}{7} = \frac{12}{7}

，標準差

\frac{12}{7} \approx 1.31 \leq 2

，但有一天只進

5

球。(D) 正確。 最大值不小於平均數，所以最大值

\geq 8

；全距

\leq 2

，最小值

\geq

最大值

- 2 \geq 6

，每天都至少

6

球。(E) 正確。 眾數是

10

，資料裡有

10

，而進球數最多

10

，所以最大值是

10

；全距

\leq 4

，最小值

\geq 10 - 4 = 6

。

n - 1

的標準差，也是

\frac{12}{6} = 2 \approx 1.41 \leq 2

，同樣是反例。平均數與標準差管不住單一筆資料的下限，全距加上一個「最大值的下界」才管得住。

第 7 題答案 (A)(C)(E)。比較

x^{3}

項，

a = 2

。

2 (x - h)^{3}

的

x^{2}

項係數是

- 6 h

，與

6

比較得

h = - 1

。此時

2 (x + 1)^{3} = 2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2

，所以

f (x) - 2 (x + 1)^{3} = - 3 x - 4 = - 3 (x + 1) - 1

，得

p = - 3

、

k = - 1

，即

f (x) = 2 (x + 1)^{3} - 3 (x + 1) - 1

。(A) 正確。 (B) 錯誤。

p = - 3

。(C) 正確。 (D) 錯誤。 令

g (t) = 2 t^{3} - 3 t

，則

f (- 1 + t) = g (t) - 1

，而

g (- t) = - g (t)

，所以

f (- 1 + t) + f (- 1 - t) = - 2

，圖形對稱於點

(- 1, - 1)

。

- 112 = - 1 - 111

、

110 = - 1 + 111

，得

f (- 112) + f (110) = - 2 \neq = 0

，所以

f (- 112) \neq = - f (110)

。(E) 正確。

- 11 = - 1 - 10

、

9 = - 1 + 10

，

f (- 11) + f (9) = - 2

，移項得

f (- 11) + 2 = - f (9)

。

三次函數

y = a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

的圖形對稱於點

(h, k)

：對稱於這點的兩個

x

值，函數值的平均是

k

。本題

k = - 1

，所以兩個函數值相加是

- 2

而不是

0

。

多選題的「必定」要找反例否定；三次函數先化成

a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

，對稱中心

(h, k)

一眼看出。

03填充題（第 8～12 題）：根式估值、組合、條件機率、圓的弦長、絕對值

第 8 題各乘以

3

：

k < 341 < k + 1

，而

341 = 369

。

1 9^{2} = 361 < 369 < 400 = 2 0^{2}

，所以

19 < 369 < 20

，

k = 19

。

第 9 題高一人數

i

要滿足

2 \leq i \leq 4

，高二人數

8 - i

也要

\geq 2

（

i \leq 6

，自動成立）。

i = 2

：

C_{2}^{4} \times C_{6}^{7} = 6 \times 7 = 42

；

i = 3

：

C_{3}^{4} \times C_{5}^{7} = 4 \times 21 = 84

；

i = 4

：

C_{4}^{4} \times C_{4}^{7} = 1 \times 35 = 35

。共

42 + 84 + 35 = 161

種。

也可以用全部減去不合的：

C_{8}^{11} = 165

，扣掉高一只有

1

人的

C_{1}^{4} \times C_{7}^{7} = 4

種（高一

0

人時高二要

8

人，不可能；高二人數至少

4

人，一定

\geq 2

），得

165 - 4 = 161

。

第 10 題只有馮馮命中：

\frac{1}{2} \times (1 - \frac{2}{5}) = \frac{3}{10}

；只有高高命中：

(1 - \frac{1}{2}) \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10}

。只有一人命中的機率是

\frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10}

，在這個條件下馮馮命中的機率為

\frac{3/10}{5/10} = \frac{3}{5}

。

第 11 題兩直線

x - y = 2022

與

x - y = 2018

平行，距離為

\frac{∣2022 - 2018∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{4}{2} = 22

。圓截兩直線的弦長相等，所以圓心到兩直線的距離相等；兩直線平行且弦長都是

14

（兩直線都與圓相交），圓心落在兩直線正中間的直線

x - y = 2020

上，到每一條的距離都是

2

。由弦長，半徑

r

滿足

r^{2} = (\frac{14}{2})^{2} + (2)^{2} = 49 + 2 = 51

，圓面積為

51 π

，填

51

。

圓心到弦的距離

d

、半弦長、半徑構成直角三角形：

r^{2} = d^{2} + (半弦長)^{2}

。

第 12 題

∣ x - 11∣ + ∣ x - 111∣

是數線上點

x

到

11

與到

111

的距離和。

11

與

111

相距

100

：

x

在兩點之間（含端點）時距離和恰為

100

；

x

在兩點之外時距離和大於

100

。所以解為

11 \leq x \leq 111

，整數

x

有

111 - 11 + 1 = 101

個。

絕對值的和看成數線上的距離和；兩平行線截圓等長弦，圓心在兩線正中間。

04計算題（第 13～15 題，卷面 13(1)～(3)）：線性規劃求最低成本

第 13 題A 的產量

400 x + 200 y \geq 1600

，即

2 x + y \geq 8

；B 的產量

200 x + 700 y \geq 2000

，即

2 x + 7 y \geq 20

；天數不為負，

x \geq 0

、

y \geq 0

。求頂點：

2 x + y = 8

與

y

軸交於

(0, 8)

；

2 x + 7 y = 20

與

x

軸交於

(10, 0)

；兩直線相減得

6 y = 12

，

y = 2

、

x = 3

，交於

(3, 2)

。可行解區域是在直線

2 x + y = 8

與

2 x + 7 y = 20

的右上方、第一象限內的部分（含邊界），向右上方無界，頂點為

(0, 8)

、

(3, 2)

、

(10, 0)

（如圖）。

載入中...

2 x + y = 8

與

x

軸交於

(4, 0)

，但

2 \times 4 + 7 \times 0 = 8 < 20

，B 不夠，所以

(4, 0)

不在區域內；同樣

2 x + 7 y = 20

與

y

軸的交點

(0, \frac{20}{7})

也不在區域內。

第 14 題成本

10000 x + 30000 y = 10000 (x + 3 y)

。把頂點代入

x + 3 y

：

(0, 8)

得

24

；

(3, 2)

得

9

；

(10, 0)

得

10

。區域向右上方無界，往右上方走

x + 3 y

只會變大，沒有更小的值，所以最小值在

(3, 2)

：甲廠開

3

天、乙廠開

2

天，成本最低為

90000

元。

檢查：

3

天甲廠與

2

天乙廠共生產 A

1200 + 400 = 1600

個、B

600 + 1400 = 2000

個，剛好達到訂單。

第 15 題成本

30000 x + 10000 y = 10000 (3 x + y)

。把頂點代入

3 x + y

：

(0, 8)

得

8

；

(3, 2)

得

11

；

(10, 0)

得

30

。最小值在

(0, 8)

：甲廠開

0

天、乙廠開

8

天，成本最低（為

80000

元）。

檢查：乙廠

8

天生產 A

1600

個、B

5600

個，達到需求。成本比例改變，最低點就從

(3, 2)

移到

(0, 8)

：甲廠變貴之後，乾脆只開便宜的乙廠。

線性規劃：列限制式、求頂點、頂點代入目標函數；區域無界時要確認目標函數往無界方向不會更小。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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上傳考卷

常見問題

北一女中 111 上高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 111 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題選項的點都貼近邊界，要把每個點代入兩條直線的式子逐一看正負；多選第 6 題選項三看似合理，但平均數八、標準差不到二仍可能有一天只進五球；多選第 7 題的對稱中心是負一、負一，兩個對稱的函數值相加是負二不是零；填充第 11 題要先看出圓心在兩平行線正中間。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 111 學年度上學期高三第二次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

北一女中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

一、單選題（共 24 分）

下列選項中的數，何者最大？(

n! = n \times (n - 1) \times \dots\dots \times 2 \times 1

)

(A) $11 2^{10}$
(B) $3^{224}$
(C) $1 0^{112}$
(D) $5 6^{56}$
(E) $56!$

令

a = lo g 2022 - lo g 2021

，

b = lo g 112 - lo g 111

，

c = 1

。請選出正確的大小關係。

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $c > a > b$
(E) $c > b > a$

坐標平面上，直線

y = - 2 x

與直線

y = 3 x + 5

將坐標平面分割成四個區域。試問下列哪一個點會和

A (- 1, 1)

在同一個區域？

(A) $A (- 13, - 33)$
(B) $B (- 20, - 56)$
(C) $C (1, - 1)$
(D) $D (15, - 29)$
(E) $E (20, - 29)$

滿足二元一次聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x - y \geq 0 x + y \leq 11 y \geq 0

之整數對

(x, y)

有____對。

(A) $30$
(B) $36$
(C) $42$
(D) $48$
(E) $78$

二、多選題（共 30 分）

設

a_{1} = 1

，且

a_{1}

、

a_{2}

、

a_{3} \dots

為等差數列，請選出正確的選項。

(A) 若 $a_{111} > 0$ ，則 $a_{2022} > 0$
(B) 若 $a_{111} < 0$ ，則 $a_{2022} < 0$
(C) 若 $a_{2022} > 0$ ，則 $a_{111} > 0$
(D) 若 $a_{2022} < 0$ ，則 $a_{111} < 0$
(E) $a_{2022} - a_{2000} = 2 (a_{11} - a_{1})$

邱邱練習罰球線投籃，每天會記錄自己連投

10

球之進籃次數，邱邱給自己一個短期目標：若「連續

7

天，其進球數都為

6

球以上」，則邱邱就能進行新階段的練習。根據其某一星期

7

天的紀錄，下列各選項，哪些必定符合她的短期目標？

(A) 平均數 $\geq 8$
(B) 標準差 $\leq 1$
(C) 平均數 $\geq 8$ 且標準差 $\leq 2$
(D) 平均數 $\geq 8$ 且全距 $\leq 2$
(E) 眾數 $= 10$ 且全距 $\leq 4$

已知

f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 2 = a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

，則下列何者正確？

(A) $a = 2$
(B) $p = 3$
(C) $h = - 1$
(D) $f (- 112) = - f (110)$
(E) $f (- 11) + 2 = - f (9)$

三、填充題（共 30 分）

已知整數

k

滿足

\frac{k}{3} < 41 < \frac{k + 1}{3}

，則

k =

____

學校為迎接外賓，欲從高一、二學生中選出

8

人組成迎賓團，且希望高一、二學生均至少要有

2

人。已知經過第一輪篩選後，剩下

4

名高一學生及

7

名高二學生。若由此

11

人中依規定進行決選，選出最終

8

人迎賓團，則共有____種不同的組團方法。

馮馮和高高一起到遊樂場打靶，已知馮馮命中率為

\frac{1}{2}

，高高命中率為

\frac{2}{5}

，且兩人命中與否為獨立事件。若兩人各向靶心射擊一次，則在只有一人命中的條件下，馮馮命中的機率為____

坐標平面上，一圓與直線

x - y = 2022

以及直線

x - y = 2018

所截的弦長皆為

14

。則此圓面積為____

π

滿足

∣ x - 11∣ + ∣ x - 111∣ \leq 100

的整數

x

有____個。

四、計算題（共 16 分）

計算題第 13 題（本頁第 13～15 題）（第 13～15 題）　有甲、乙兩工廠生產 A、B 兩種不同產品；甲廠每天可生產

400

個 A 及

200

個 B，乙廠每天可生產

200

個 A 及

700

個 B。今有一訂單需求

1600

個 A 及

2000

個 B。

(1)設甲廠運轉

x

天，乙廠運轉

y

天。請畫出其可行解區域。(7 分)

(2)若甲廠運轉一天成本

10000

元，乙廠運轉一天成本

30000

元，試問甲、乙兩工廠各開廠幾天會使得成本最低並達成需求？此時成本為何？(6 分)

(3)若甲廠運轉一天成本

30000

元，乙廠運轉一天成本

10000

元，試問甲、乙兩工廠各開廠幾天會使得成本最低並達成需求？(3 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(E)

第 3 題(B)

第 4 題(C)

第 5 題(B)(C)

第 6 題(D)(E)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題

19

第 9 題

161

第 10 題

\frac{3}{5}

第 11 題

51

第 12 題

101

第 13 題

2 x + y \geq 8

、

2 x + 7 y \geq 20

、

x \geq 0

、

y \geq 0

的無界區域，頂點

(0, 8)

、

(3, 2)

、

(10, 0)

（圖見詳解）

第 14 題甲廠

3

天、乙廠

2

天，成本

90000

元

第 15 題甲廠

0

天、乙廠

8

天

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：大數比較、對數、兩直線分割的區域、整數點

第 1 題答案 (C)。都和

1 0^{112}

比：(B)

3^{224} = (3^{2})^{112} = 9^{112} < 1 0^{112}

；(D)

5 6^{56} < 10 0^{56} = 1 0^{112}

；(E)

56!

是

56

個不超過

56

的正整數相乘，

56! < 5 6^{56} < 1 0^{112}

；(A)

11 2^{10} < 100 0^{10} = 1 0^{30} < 1 0^{112}

。所以

1 0^{112}

最大。

也可以取常用對數比較：

lo g 3^{224} = 224 lo g 3 \approx 224 \times 0.4771 \approx 106.9

，

lo g 5 6^{56} = 56 (3 lo g 2 + lo g 7) \approx 56 \times 1.748 \approx 97.9

，

lo g 11 2^{10} = 10 (4 lo g 2 + lo g 7) \approx 20.5

，都小於

112

。

第 2 題答案 (E)。

a = lo g \frac{2022}{2021} = lo g (1 + \frac{1}{2021})

，

b = lo g \frac{112}{111} = lo g (1 + \frac{1}{111})

，

c = 1 = lo g 10

。真數的大小：

1 + \frac{1}{2021} < 1 + \frac{1}{111} < 10

，而

y = lo g x

是遞增函數，所以

a < b < c

，即

c > b > a

。

第 3 題答案 (B)。把兩條直線寫成

L_{1}

：

2 x + y = 0

、

L_{2}

：

3 x - y + 5 = 0

。代入

A (- 1, 1)

：

2 x + y = - 1 < 0

，

3 x - y + 5 = 1 > 0

。和

A

同一區域的點，代入兩式的正負都要與

A

相同（

2 x + y < 0

且

3 x - y + 5 > 0

）。(A)

2 (- 13) - 33 = - 59 < 0

，

3 (- 13) + 33 + 5 = - 1 < 0

，不合；(B)

- 40 - 56 = - 96 < 0

，

- 60 + 56 + 5 = 1 > 0

，符合；(C)

2 - 1 = 1 > 0

，不合；(D)

30 - 29 = 1 > 0

，不合；(E)

40 - 29 = 11 > 0

，不合。

兩條相交直線把平面分成四塊，每一塊由「在

L_{1}

的哪一側」與「在

L_{2}

的哪一側」決定；選項的點都很接近邊界，要逐一代入算，不能只看大概位置。

第 4 題答案 (C)。區域是頂點

(0, 0)

、

(11, 0)

、

(\frac{11}{2}, \frac{11}{2})

的三角形。依

y

逐列數，

x

要滿足

y \leq x \leq 11 - y

：

y = 0

時

x = 0 \sim 11

，

12

個；

y = 1

時

x = 1 \sim 10

，

10

個；

y = 2

時

8

個；

y = 3

時

6

個；

y = 4

時

4

個；

y = 5

時

x = 5, 6

，

2

個；

y \geq 6

時

y > 11 - y

，沒有。共

12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 42

對。

三條邊界上的點（例如

(0, 0)

、

(11, 0)

、

(5, 5)

）都滿足不等式（有等號），要算進去。

判斷點在哪一個區域，把點代入每條直線的式子看正負；數整數點就固定

y

一列一列數。

02多選題（第 5～7 題）：等差數列、數據分析、三次函數的對稱中心

第 5 題答案 (B)(C)。設公差為

d

，

a_{111} = 1 + 110 d

，

a_{2022} = 1 + 2021 d

。(A) 錯誤。 取

d = - \frac{1}{200}

：

a_{111} = 1 - 0.55 = 0.45 > 0

，但

a_{2022} = 1 - 10.105 < 0

。(B) 正確。

a_{111} < 0

得

d < - \frac{1}{110}

，此時

d < 0

且

2021 d < - \frac{2021}{110} < - 1

，所以

a_{2022} < 0

。(C) 正確。

a_{2022} > 0

得

d > - \frac{1}{2021}

，則

110 d > - \frac{110}{2021} > - 1

，所以

a_{111} > 0

。(D) 錯誤。 同 (A) 的例子：

a_{2022} < 0

而

a_{111} > 0

。(E) 錯誤。

a_{2022} - a_{2000} = 22 d

，

2 (a_{11} - a_{1}) = 2 \times 10 d = 20 d

，只有

d = 0

時才相等；例如

d = 1

時兩邊是

22

與

20

。

首項是正數

1

：若數列往負的方向走（

d < 0

），越後面的項越小，所以「前面的項已經是負的，後面一定是負的」(B)，「後面的項還是正的，前面一定是正的」(C)。

第 6 題答案 (D)(E)。每天的進球數是

0 \sim 10

的整數，目標是「

7

筆資料都

\geq 6

」。(A) 錯誤。 資料

2, 10, 10, 10, 10, 10, 10

：平均數

\frac{62}{7} \approx 8.86 \geq 8

，但有一天只進

2

球。(B) 錯誤。

7

天都是

3

球：標準差

0 \leq 1

，但每天都不到

6

球。(C) 錯誤。 資料

5, 8, 8, 8, 9, 9, 9

：平均數

\frac{56}{7} = 8

，與平均數的差為

- 3, 0, 0, 0, 1, 1, 1

，變異數

\frac{9 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1}{7} = \frac{12}{7}

，標準差

\frac{12}{7} \approx 1.31 \leq 2

，但有一天只進

5

球。(D) 正確。 最大值不小於平均數，所以最大值

\geq 8

；全距

\leq 2

，最小值

\geq

最大值

- 2 \geq 6

，每天都至少

6

球。(E) 正確。 眾數是

10

，資料裡有

10

，而進球數最多

10

，所以最大值是

10

；全距

\leq 4

，最小值

\geq 10 - 4 = 6

。

n - 1

的標準差，也是

\frac{12}{6} = 2 \approx 1.41 \leq 2

，同樣是反例。平均數與標準差管不住單一筆資料的下限，全距加上一個「最大值的下界」才管得住。

第 7 題答案 (A)(C)(E)。比較

x^{3}

項，

a = 2

。

2 (x - h)^{3}

的

x^{2}

項係數是

- 6 h

，與

6

比較得

h = - 1

。此時

2 (x + 1)^{3} = 2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2

，所以

f (x) - 2 (x + 1)^{3} = - 3 x - 4 = - 3 (x + 1) - 1

，得

p = - 3

、

k = - 1

，即

f (x) = 2 (x + 1)^{3} - 3 (x + 1) - 1

。(A) 正確。 (B) 錯誤。

p = - 3

。(C) 正確。 (D) 錯誤。 令

g (t) = 2 t^{3} - 3 t

，則

f (- 1 + t) = g (t) - 1

，而

g (- t) = - g (t)

，所以

f (- 1 + t) + f (- 1 - t) = - 2

，圖形對稱於點

(- 1, - 1)

。

- 112 = - 1 - 111

、

110 = - 1 + 111

，得

f (- 112) + f (110) = - 2 \neq = 0

，所以

f (- 112) \neq = - f (110)

。(E) 正確。

- 11 = - 1 - 10

、

9 = - 1 + 10

，

f (- 11) + f (9) = - 2

，移項得

f (- 11) + 2 = - f (9)

。

三次函數

y = a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

的圖形對稱於點

(h, k)

：對稱於這點的兩個

x

值，函數值的平均是

k

。本題

k = - 1

，所以兩個函數值相加是

- 2

而不是

0

。

多選題的「必定」要找反例否定；三次函數先化成

a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

，對稱中心

(h, k)

一眼看出。

03填充題（第 8～12 題）：根式估值、組合、條件機率、圓的弦長、絕對值

第 8 題各乘以

3

：

k < 341 < k + 1

，而

341 = 369

。

1 9^{2} = 361 < 369 < 400 = 2 0^{2}

，所以

19 < 369 < 20

，

k = 19

。

第 9 題高一人數

i

要滿足

2 \leq i \leq 4

，高二人數

8 - i

也要

\geq 2

（

i \leq 6

，自動成立）。

i = 2

：

C_{2}^{4} \times C_{6}^{7} = 6 \times 7 = 42

；

i = 3

：

C_{3}^{4} \times C_{5}^{7} = 4 \times 21 = 84

；

i = 4

：

C_{4}^{4} \times C_{4}^{7} = 1 \times 35 = 35

。共

42 + 84 + 35 = 161

種。

也可以用全部減去不合的：

C_{8}^{11} = 165

，扣掉高一只有

1

人的

C_{1}^{4} \times C_{7}^{7} = 4

種（高一

0

人時高二要

8

人，不可能；高二人數至少

4

人，一定

\geq 2

），得

165 - 4 = 161

。

第 10 題只有馮馮命中：

\frac{1}{2} \times (1 - \frac{2}{5}) = \frac{3}{10}

；只有高高命中：

(1 - \frac{1}{2}) \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10}

。只有一人命中的機率是

\frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10}

，在這個條件下馮馮命中的機率為

\frac{3/10}{5/10} = \frac{3}{5}

。

第 11 題兩直線

x - y = 2022

與

x - y = 2018

平行，距離為

\frac{∣2022 - 2018∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{4}{2} = 22

。圓截兩直線的弦長相等，所以圓心到兩直線的距離相等；兩直線平行且弦長都是

14

（兩直線都與圓相交），圓心落在兩直線正中間的直線

x - y = 2020

上，到每一條的距離都是

2

。由弦長，半徑

r

滿足

r^{2} = (\frac{14}{2})^{2} + (2)^{2} = 49 + 2 = 51

，圓面積為

51 π

，填

51

。

圓心到弦的距離

d

、半弦長、半徑構成直角三角形：

r^{2} = d^{2} + (半弦長)^{2}

。

第 12 題

∣ x - 11∣ + ∣ x - 111∣

是數線上點

x

到

11

與到

111

的距離和。

11

與

111

相距

100

：

x

在兩點之間（含端點）時距離和恰為

100

；

x

在兩點之外時距離和大於

100

。所以解為

11 \leq x \leq 111

，整數

x

有

111 - 11 + 1 = 101

個。

絕對值的和看成數線上的距離和；兩平行線截圓等長弦，圓心在兩線正中間。

04計算題（第 13～15 題，卷面 13(1)～(3)）：線性規劃求最低成本

第 13 題A 的產量

400 x + 200 y \geq 1600

，即

2 x + y \geq 8

；B 的產量

200 x + 700 y \geq 2000

，即

2 x + 7 y \geq 20

；天數不為負，

x \geq 0

、

y \geq 0

。求頂點：

2 x + y = 8

與

y

軸交於

(0, 8)

；

2 x + 7 y = 20

與

x

軸交於

(10, 0)

；兩直線相減得

6 y = 12

，

y = 2

、

x = 3

，交於

(3, 2)

。可行解區域是在直線

2 x + y = 8

與

2 x + 7 y = 20

的右上方、第一象限內的部分（含邊界），向右上方無界，頂點為

(0, 8)

、

(3, 2)

、

(10, 0)

（如圖）。

載入中...

2 x + y = 8

與

x

軸交於

(4, 0)

，但

2 \times 4 + 7 \times 0 = 8 < 20

，B 不夠，所以

(4, 0)

不在區域內；同樣

2 x + 7 y = 20

與

y

軸的交點

(0, \frac{20}{7})

也不在區域內。

第 14 題成本

10000 x + 30000 y = 10000 (x + 3 y)

。把頂點代入

x + 3 y

：

(0, 8)

得

24

；

(3, 2)

得

9

；

(10, 0)

得

10

。區域向右上方無界，往右上方走

x + 3 y

只會變大，沒有更小的值，所以最小值在

(3, 2)

：甲廠開

3

天、乙廠開

2

天，成本最低為

90000

元。

檢查：

3

天甲廠與

2

天乙廠共生產 A

1200 + 400 = 1600

個、B

600 + 1400 = 2000

個，剛好達到訂單。

第 15 題成本

30000 x + 10000 y = 10000 (3 x + y)

。把頂點代入

3 x + y

：

(0, 8)

得

8

；

(3, 2)

得

11

；

(10, 0)

得

30

。最小值在

(0, 8)

：甲廠開

0

天、乙廠開

8

天，成本最低（為

80000

元）。

檢查：乙廠

8

天生產 A

1600

個、B

5600

個，達到需求。成本比例改變，最低點就從

(3, 2)

移到

(0, 8)

：甲廠變貴之後，乾脆只開便宜的乙廠。

線性規劃：列限制式、求頂點、頂點代入目標函數；區域無界時要確認目標函數往無界方向不會更小。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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北一女中 111 上高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 111 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 111 學年度上學期高三第二次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 111 上高三第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 15 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1～4 題）：大數比較、對數、兩直線分割的區域、整數點

02多選題（第 5～7 題）：等差數列、數據分析、三次函數的對稱中心

03填充題（第 8～12 題）：根式估值、組合、條件機率、圓的弦長、絕對值

04計算題（第 13～15 題，卷面 13(1)～(3)）：線性規劃求最低成本

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北一女中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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