北一女中 111 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (2)(3)(4)。圖上 $L_1$ 往右下降，與 $y$ 軸交在原點上方、與 $x$ 軸交在原點右方；$L_2$ 也往右下降而且比 $L_1$ 陡，與 $x$ 軸交在原點左方、與 $y$ 軸交在原點下方。所以 $a<0$，$b>0$；$c<0$，$d<0$，而且 $|c|>|a|$。

(1) 錯誤。 $L_1$ 往右下降，斜率 $a<0$。

(2) 正確。 $b$ 是 $L_1$ 的 $y$ 截距，在原點上方，$b>0$。

(3) 正確。 兩條線斜率都是負的，$L_2$ 比較陡，$|c|>|a|$，所以 $c<a$，即 $a>c$。

(4) 正確。 $b>0$ 而 $d<0$，所以 $b>d$。

(5) 錯誤。 令 $y=0$，$L_1$ 的 $x$ 截距是 $-\frac{b}{a}$，在原點右方，所以 $-\frac{b}{a}>0$，$\frac{b}{a}<0$；$L_2$ 的 $x$ 截距是 $-\frac{d}{c}$，在原點左方，所以 $-\frac{d}{c}<0$，$\frac{d}{c}>0$。因此 $\frac{b}{a}<0<\frac{d}{c}$。

答案 (1)(2)(3)(4)。

(1) 正確。 代入 $(0,-4)$：$a\cdot 0+(-4)+4=0$，不論 $a$ 是多少都成立。

(2) 正確。 兩直線重合，係數要成比例：$\frac{a}{3}=\frac{1}{b}=\frac{4}{6}$，得 $a=2$，$b=\frac{3}{2}$，只有這一組。

(3) 正確。 $L_1:3x+y+4=0$，$L_2:3x+y+6=0$ 互相平行，距離 $\frac{|6-4|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。

(4) 正確。 向上平移 $1$ 單位，把 $y$ 換成 $y-1$：$ax+(y-1)+4=0$，即 $ax+y+3=0$。

(5) 錯誤。 向右平移 $2$ 單位，把 $x$ 換成 $x-2$：$3(x-2)+by+6=0$，即 $3x+by=0$，不是 $3x+by+12=0$（那是向左平移 $2$ 單位的結果）。

答案 (1)(3)(4)。$L_2$ 斜率 $-\frac{2}{3}$、$L_3$ 斜率 $\frac{1}{2}$，兩者不平行。三條線不能圍成三角形有兩種原因：有兩條平行，或三線共點。$L_1$ 的斜率是 $-a$。

$L_1\parallel L_2$：$-a=-\frac{2}{3}$，$a=\frac{2}{3}$。此時 $L_1:2x+3y-3=0$，與 $L_2$ 不重合。

$L_1\parallel L_3$：$-a=\frac{1}{2}$，$a=-\frac{1}{2}$。此時 $L_1:x-2y+2=0$，與 $L_3$ 不重合。

三線共點：$L_2$、$L_3$ 聯立，由 $x=2y+3$ 代入 $2x+3y+8=0$ 得 $7y+14=0$，$y=-2$，$x=-1$。$L_1$ 過 $(-1,-2)$：$-a-2-1=0$，$a=-3$。

所以 $a$ 可為 $\frac{2}{3}$、$-\frac{1}{2}$、$-3$，是選項 (1)(3)(4)。(2) $a=0$ 時 $L_1:y=1$，與另兩條都不平行也不過 $(-1,-2)$，圍得出三角形；(5) $a=\frac{3}{2}$ 同理圍得出三角形。

把 $(1,2)$ 代入 $3x+4y+14$ 得 $25>0$，把 $(11,6)$ 代入得 $71>0$，牛和家在河的同一側。把牛的位置 $P(1,2)$ 對 $L$ 作對稱點 $P^{\prime }$，從 $P$ 到河邊某點 $Q$ 再回家的路程 $\overline{PQ}+\overline{QH}=\overline{P^{\prime }Q}+\overline{QH}\ge \overline{P^{\prime }H}$，所以最短距離是 $\overline{P^{\prime }H}$。

求 $P^{\prime }$：$L$ 的斜率是 $-\frac{3}{4}$，$\overline{P{P}^{\prime }}$ 垂直於 $L$，斜率是 $\frac{4}{3}$，所以 $\overline{P{P}^{\prime }}$ 所在直線為 $y-2=\frac{4}{3}(x-1)$，即 $4x-3y+2=0$。與 $L:3x+4y+14=0$ 聯立，得垂足 $M(-2,-2)$。$M$ 是 $\overline{P{P}^{\prime }}$ 的中點，所以 $P^{\prime }=(2\cdot (-2)-1,2\cdot (-2)-2)=(-5,-6)$。

$\overline{P^{\prime }H}=\sqrt{(11+5{)}^2+(6+6{)}^2}=\sqrt{256+144}=20$。

圓心 $O(3,2)$，半徑 $1$。$P(4,5)$ 到圓心距離 $\sqrt{1+9}=\sqrt{10}>1$，$P$ 在圓外，有兩條切線。

鉛直線 $x=4$：圓心到它的距離 $|4-3|=1$，等於半徑，是一條切線。

其他切線設為 $y-5=m(x-4)$，即 $mx-y+5-4m=0$。圓心到它的距離等於半徑： $$\frac{|3m-2+5-4m|}{\sqrt{m^2+1}}=1$$ 得 $(3-m{)}^2=m^2+1$，$9-6m=1$，$m=\frac{4}{3}$。切線 $y-5=\frac{4}{3}(x-4)$，即 $4x-3y-1=0$。

所以兩條切線是 $x-4=0$ 與 $4x-3y-1=0$。

圓心 $O(0,0)$。切線與過切點的半徑垂直，所以 $\angle OAP=\angle OBP=90^{\circ }$。$A$、$B$ 都在以 $\overline{OP}$ 為直徑的圓上，這個圓就是 $△APB$ 的外接圓。

$\overline{OP}$ 的中點是 $(5,0)$，半徑 $\frac{10}{2}=5$，外接圓為 $(x-5{)}^2+y^2=25$。

直線 $y=mx$ 一定過頂點 $(0,0)$。過一個頂點把三角形分成面積相等的兩個三角形，這條線必須通過對邊的中點（兩個三角形同高、底要相等）。

$(1,1)$ 與 $(6m,0)$ 的中點是 $\left(\frac{1+6m}{2},\frac{1}{2}\right)$，代入 $y=mx$： $$\frac{1}{2}=m\cdot \frac{1+6m}{2}$$ 得 $6m^2+m-1=0$，$(3m-1)(2m+1)=0$，$m=\frac{1}{3}$ 或 $-\frac{1}{2}$。

兩個值都使 $6m\ne 0$，三角形存在；$y=mx$ 也不與邊重合（$m\ne 1$）。總和 $\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{6}$。

配方：$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=8-k$。

圖形為一圓：$8-k>0$，$k<8$。

$(0,-5)$ 在圓外：它到圓心 $(2,-2)$ 的距離平方大於半徑平方，$(0-2{)}^2+(-5+2{)}^2=13>8-k$，$k>-5$。

所以 $-5<k<8$。

與 $2x-3y-6=0$ 垂直的直線可設為 $3x+2y+c=0$（$c\ne 0$）。$x$ 截距 $-\frac{c}{3}$，$y$ 截距 $-\frac{c}{2}$，與坐標軸圍成的直角三角形面積 $$\frac{1}{2}\cdot \left|\frac{c}{3}\right|\cdot \left|\frac{c}{2}\right|=\frac{c^2}{12}=6$$ 得 $c^2=72$，$c=\pm 6\sqrt{2}$。

所以直線為 $3x+2y+6\sqrt{2}=0$ 或 $3x+2y-6\sqrt{2}=0$。

$\frac{y-1}{x-2}$ 是點 $Q(2,1)$ 與 $P(x,y)$ 連線的斜率。

$Q$ 與 $A(3,6)$ 連線斜率 $\frac{6-1}{3-2}=5$；$Q$ 與 $B(6,5)$ 連線斜率 $\frac{5-1}{6-2}=1$。

$\overline{AB}$ 上的點 $x$ 坐標介於 $3$ 與 $6$，都在 $Q$ 的右邊，$P$ 從 $A$ 移到 $B$ 時，$\overline{QP}$ 由斜率 $5$ 連續轉到斜率 $1$，中間不會出現鉛直的情形。所以最大值 $M=5$，最小值 $m=1$，答案 $(5,1)$。

$(x^2-y^2)(x^2+y^2-16)\le 0$ 表示兩個因式一個 $\ge 0$、一個 $\le 0$：

情形一：$x^2\ge y^2$ 且 $x^2+y^2\le 16$，即 $|y|\le |x|$ 而且在圓 $x^2+y^2=16$ 內。

情形二：$x^2\le y^2$ 且 $x^2+y^2\ge 16$，即 $|y|\ge |x|$ 而且在圓外（仍在正方形內）。

直線 $y=x$、$y=-x$ 把正方形 $-4\le x,y\le 4$ 與圓分別分成四塊：正方形分成四個全等的三角形，圓分成四個全等的扇形。$|y|\le |x|$ 是左右兩塊，$|y|\ge |x|$ 是上下兩塊。

情形一的面積是圓面積的一半：$\frac{1}{2}\cdot 16\pi =8\pi$。

情形二的面積是上下兩塊正方形部分扣掉其中的圓：$\frac{1}{2}\cdot 64-\frac{1}{2}\cdot 16\pi =32-8\pi$。

合計 $8\pi +32-8\pi =32$。

$\overline{BC}$ 和 $y$ 軸垂直，所以 $\overline{BC}$ 是水平線，且與內切圓相切，只能是 $y=1+4=5$ 或 $y=1-4=-3$。內心在三角形內部，必須介於 $A$ 與 $\overline{BC}$ 之間；$A$ 的 $y$ 坐標 $9$ 大於 $1$，所以 $\overline{BC}$ 在 $y=-3$ 上。

$\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 是過 $A(2,9)$ 的兩條切線。$x=2$ 到圓心距離只有 $1$，不是切線。設切線 $y-9=k(x-2)$，即 $kx-y+9-2k=0$： $$\frac{|k-1+9-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=4$$ 得 $(8-k{)}^2=16(k^2+1)$，$15k^2+16k-48=0$，$(3k-4)(5k+12)=0$，$k=\frac{4}{3}$ 或 $-\frac{12}{5}$。

斜率 $\frac{4}{3}$ 的切線與 $y=-3$ 交於 $-12=\frac{4}{3}(x-2)$，$x=-7$；斜率 $-\frac{12}{5}$ 的切線與 $y=-3$ 交於 $-12=-\frac{12}{5}(x-2)$，$x=7$。

所以 $B$、$C$ 是 $(-7,-3)$ 與 $(7,-3)$，$\overline{BC}=14$。

由第 9 題（本頁第 12 題），三頂點 $A(2,9)$，$B$、$C$ 為 $(-7,-3)$ 與 $(7,-3)$（$B$、$C$ 對調不影響垂心）。

過 $A$ 垂直於 $\overline{BC}$（水平）的高是鉛直線 $x=2$。

$\overline{AC}$（$A$ 到 $(7,-3)$）的斜率 $\frac{-3-9}{7-2}=-\frac{12}{5}$，過 $(-7,-3)$ 垂直於它的高斜率 $\frac{5}{12}$：$y+3=\frac{5}{12}(x+7)$。

代入 $x=2$：$y=-3+\frac{5}{12}\cdot 9=\frac{3}{4}$。垂心為 $\left(2,\frac{3}{4}\right)$。

比較 $(1.2,0.3)$ 到三家醫院的距離平方：

到 $A(2,3)$：$0.8^2+2.7^2=0.64+7.29=7.93$。

到 $B(8,3)$：$6.8^2+2.7^2=46.24+7.29=53.53$。

到 $C(4,1)$：$2.8^2+0.7^2=7.84+0.49=8.33$。

離 $A$ 最近，派 $A$ 醫院的救護車並載回 $A$ 醫院，所以小佳在 $A$ 醫院。

設房子在 $P(x,y)$。

到 $B$ 比到 $A$ 近：$\overline{PB}<\overline{PA}$，$P$ 在 $\overline{AB}$ 中垂線靠 $B$ 的一側。$A(2,3)$、$B(8,3)$ 的中垂線是 $x=5$，所以 $x>5$。

到 $B$ 比到 $C$ 近：${\overline{PB}}^2<{\overline{PC}}^2$， $$(x-8{)}^2+(y-3{)}^2<(x-4{)}^2+(y-1{)}^2$$ 展開得 $-16x+64-6y+9<-8x+16-2y+1$，整理成 $8x+4y>56$，即 $2x+y>14$。

再加上小綠村的範圍 $0\le x\le 10$、$0\le y\le 5$，所求區域為 $$\{\begin{array}{l}5<x\le 10\\ 0\le y\le 5\\ 2x+y>14\end{array}$$

$x$ 是整數且 $5<x\le 10$，逐一數 $y$（整數，$0\le y\le 5$ 且 $y>14-2x$）：

$x=6$：$y>2$，$y=3,4,5$，共 $3$ 個。

$x=7$：$y>0$，$y=1$～$5$，共 $5$ 個。

$x=8,9,10$：$14-2x<0$，$y=0$～$5$ 都可以，各 $6$ 個，共 $18$ 個。

合計 $3+5+18=26$ 個。