段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數與圖形、對數與對數律、換底公式、常用對數、對數函數與圖形、指數與對數的應用）

北一女中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

全卷 15 題，共 100 分：單選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、多選題 4 題（每題 10 分，各選項 2 分，共 40 分）、選填題 A～F（共 35 分：第 A 題 2 格每格 3 分，第 B 至 E 題每題 6 分，第 F 題 5 分）。本頁第 1～9 題題號與卷面相同，選填題 A～F 為本頁第 10～15 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（25 分）｜說明：第 1 至 5 題為單選題，每題答對得 5 分，未作答或答錯得 0 分。

Covid-19 病毒在感染初期病毒量極微，欲知體內病毒濃度，可透過核酸複製技術(PCR)，每經過一次複製，病毒的核酸量增為原來的

2

倍；若先在核酸上染色，經過

k

次複製後，直到染色的螢光強度可被偵測到，

k

稱為此檢體的 Ct 值。例如，Ct 值為

10

表示核酸被複製

10

次後，核酸總量為原來的

1024

倍後才可被偵測到，因此 Ct 值越高，表示病毒量越少，傳染力越低。已知

5

名患者在住院隔離治療後，出院時的 Ct 值均為

34

。試問下列哪名患者，在剛入院時體內病毒的核酸總量約為出院時的一百萬倍？

(1) 入院時的 Ct 值為 $12$ 的案 A。
(2) 入院時的 Ct 值為 $14$ 的案 B。
(3) 入院時的 Ct 值為 $16$ 的案 C。
(4) 入院時的 Ct 值為 $54$ 的案 D。
(5) 入院時的 Ct 值為 $56$ 的案 E。

聲音大小(單位為分貝)取決於聲波通過介質時，所產生的壓力變化(簡稱聲壓，單位為

N/m^{2}

)。已知聲壓

x

與聲音大小

y

的關係式為

y = 10 \times lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2}

，因實驗報告數據的呈現，欲簡化此關係式，假設

X = lo g x

，

Y = \frac{y}{20}

，試問下列何者可為

X

與

Y

的函數圖形？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

試問滿足對數不等式

lo g (x + 26) + lo g (26 - x) < 2

的整數有幾個？

(1) $0$ 個
(2) $2$ 個
(3) $47$ 個
(4) $49$ 個
(5) 無限多個

設

f (x) = (\frac{1}{2})^{x} - lo g x

，已知

α

為方程式

f (x) = 0

的解，若實數

t

滿足

0 < t < α

，則

f (t)

恆滿足下列何式？

(1) $f (t) < - 1$
(2) $- 1 < f (t) < 0$
(3) $0 < f (t) < 1$
(4) $f (t) > 0$
(5) $f (t) > 1$

已知碳-14 的半衰期約為

5730

年，常用於鑑定古文物的年份。臺東縣卑南鄉的巴蘭遺址，某出土物的碳-14 的含量占原來的

92.55%

，則巴蘭遺址的時間大約在距今約多少年？

(1) $640$ 年
(2) $690$ 年
(3) $740$ 年
(4) $790$ 年
(5) $840$ 年

二、多選題（40 分）｜說明：第 6 至 9 題為多選題，每題各有五個選項，其中至少有一個選項是正確的。每題 10 分，各選項 2 分，採獨立計分，整題未作答者得 0 分。

下列何者與對數值

lo g_{2} 3

相等？

(1) $\frac{1}{lo g _{3} 2}$
(2) $lo g_{4} 9$
(3) $lo g_{20} 30$
(4) $\frac{4771}{3010}$
(5) $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$

坐標平面上，在函數圖形

y = 2^{x}

上，標示

A

、

B

、

C

、

D

四個點，其

y

坐標分別為

1, 2, 3, 4

。請選出正確的選項。

(1) 點 $B$ 落在直線 $A C$ 之上方
(2) 點 $C$ 的 $x$ 坐標為 $lo g 3$
(3) $\overline{A B} > \overline{B C} > \overline{C D}$
(4) 直線 $B D$ 的方程式為 $y = 2 x$
(5) 不等式 $2^{x} < 2 x$ 的解為 $1 < x < 2$

關於函數的圖形，下列敘述哪些正確？

(1) $y = lo g x^{2}$ 與 $y = 2 lo g x$ 的圖形重合。
(2) $y = lo g x^{3}$ 與 $y = 3 lo g x$ 的圖形重合。
(3) $y = lo g (2 x)$ 的圖形可由 $y = lo g x$ 的圖形平移而來。
(4) $y = lo g (2 x)$ 的圖形可由 $y = lo g x$ 的圖形伸縮而來。
(5) $y = lo g (x - 2)$ 與 $y = 1 0^{x + 2}$ 的圖形對稱直線 $y = x$ 。

已知兩正整數

a

、

b

的乘積為

9

位數，

\frac{a}{b}

化為小數後，自小數點後第

4

位開始出現不為

0

的數字，則下列敘述哪些正確？

(1) $lo g ab \geq 9$
(2) $lo g (\frac{a}{b}) \geq - 4$
(3) $a$ 必為 $3$ 位數
(4) $b$ 可能為 $6$ 位數
(5) $a + b$ 可能為 $8$ 位數

三、選填題（35 分）｜說明：第 A 至 F 題為選填題，第 A 題 2 格，每格 3 分，共 6 分；第 B 至 E 題，每題 6 分；第 F 題 5 分。上述配分須完全答對才得分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設

f (x) = (\frac{1}{2})^{x}

，已知

a \leq x \leq 2 a

時，

f (x)

的最大值與最小值相差

\frac{7}{64}

，則

a =

____（整數解）或

lo g_{2} \frac{□}{□}

（非整數解）。

B. 設方程式

3^{l o g_{2} x} + 3^{l o g_{2} \frac{16}{x}} = 30

的解為

α, β

，則

α + β =

____。

C. 從地球上觀測，星球的星等

y

與儀器測量到的亮度

x

的關係為

y = - \frac{5}{2} lo g x

。已知天狼星的星等約為

- 1.46

，太陽的星等約為

- 26.74

，則儀器測量到太陽的亮度大約是天狼星亮度的 ____ 倍。(答案以科學記號

A \times 1 0^{n}

作答，其中

A

四捨五入至小數點後第

2

位)

D. 坐標平面上，

O

為原點，點

A

、點

B

在指數函數

y = 1 0^{x}

上，

O

、

A

、

B

三點共線，

A

點關於直線

y = x

的對稱點為

C

點。若

B

點的

y

坐標為

C

點的

x

坐標的

2

倍，則

C

點坐標為

(□, lo g □)

。

E. 下表為近

3

年台灣銀行定期儲蓄存款的三年期機動年利率，小綠在

107

年

12

月

1

日時存入

100

萬作為生活緊急預備金，已知定儲存款採月利率複利計息，這三年都沒有提前解約(整存整付)，在

110

年

12

月

1

日三年期滿時，小綠可以得到 ____ 元的利息。(四捨五入至整數位)

起訖時間（年 / 月） 107/12 \sim 109/03 109/04 \sim 110/12 期間（月） 16 個月 20 個月 年利率 1.165% 0.865%

F. 已知方程式

2^{x} \cdot 3^{\frac{6}{x}} = 72

有兩個實數解，其中一個是

3

，另外一個是

lo g_{□} □

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(1)

第 6 題(1)(2)(5)

第 7 題(3)(4)(5)

第 8 題(2)(3)(4)

第 9 題(2)(3)(4)

第 10 題

3

或

lo g_{2} \frac{8}{7}

第 11 題

10

第 12 題

1.29 \times 1 0^{10}

第 13 題

(2, lo g 2)

第 14 題

30390

第 15 題

lo g_{2} 9

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～5 題：單選題

第 1 題

① 每複製一次核酸量變 $2$ 倍。入院時的 Ct 值比出院時少 $k$ ，表示出院時的檢體要比入院時多複製 $k$ 次才偵測得到，所以入院時的核酸總量是出院時的 $2^{k}$ 倍。

② 要 $2^{k} \approx 1 0^{6}$ ：兩邊取常用對數， $k lo g 2 \approx 6$ ， $k \approx \frac{6}{0.3010} \approx 19.9$ ，取 $k = 20$ 。

③ 也可以用題目給的 $2^{10} = 1024 \approx 1 0^{3}$ ： $2^{20} \approx 1 0^{6}$ 。

④ 病毒越多，Ct 值越低，所以入院時的 Ct 值是 $34 - 20 = 14$ 。

答案 (2)。

入院時病毒量比較多，Ct 值要比出院時低；選

54

（

34 + 20

）是把方向弄反了。

第 2 題

① 先化簡： $y = 10 lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2} = 20 lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}}$ 。

② 用對數律拆開： $lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = lo g x - lo g 2 - lo g 1 0^{- 5} = lo g x - lo g 2 + 5$ 。

③ 代入 $X = lo g x$ 、 $Y = \frac{y}{20}$ ： $Y = X + 5 - lo g 2$ 。

④ 這是斜率 $1$ 的直線。 $lo g 2 \approx 0.301$ ，所以 $Y$ 截距 $5 - lo g 2 \approx 4.70$ ，在 $4$ 與 $5$ 之間； $X$ 截距 $lo g 2 - 5 \approx - 4.70$ ，在 $- 5$ 與 $- 4$ 之間（如下圖）。

⑤ 圖 (1)(2) 不是直線；圖 (4) 的 $Y$ 截距在 $5$ 與 $6$ 之間；圖 (5) 的 $Y$ 截距是負的；只有圖 (3) 符合。

答案 (3)。

載入中...

lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2}

的平方掛在整個括號上，用對數律拿下來變成

2

倍，所以

y

前面的係數成為

20

，正好被

Y = \frac{y}{20}

消掉。

第 3 題

① 真數條件： $x + 26 > 0$ 且 $26 - x > 0$ ，即 $- 26 < x < 26$ 。

② 在這個範圍內兩個對數可以合併： $lo g ((x + 26) (26 - x)) < 2 = lo g 100$ 。

③ 常用對數是遞增函數，所以 $(x + 26) (26 - x) < 100$ ，即 $676 - x^{2} < 100$ ， $x^{2} > 576$ ，得 $x > 24$ 或 $x < - 24$ 。

④ 與真數條件取交集： $- 26 < x < - 24$ 或 $24 < x < 26$ （如下圖，數線為示意、不照比例），整數只有 $- 25$ 與 $25$ 。

答案 (2)，共 $2$ 個。

載入中...

忘了真數條件會以為

∣ x ∣ > 24

的整數有無限多個；算成

- 24 < x < 24

則是不等號方向弄反了（那會得到

47

個）。

第 4 題

① $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 是遞減函數， $y = lo g x$ 是遞增函數，所以 $- lo g x$ 也遞減；兩者相加， $f (x)$ 在 $x > 0$ 時是遞減函數。

② $0 < t < α$ ，所以 $f (t) > f (α) = 0$ 。在下圖中， $f (t)$ 就是 $t$ 這個位置上指數曲線比對數曲線高出的距離。

③ 再看其他選項是不是「恆成立」： $f (1) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ ， $f (2) = \frac{1}{4} - lo g 2 < 0$ ，所以 $1 < α < 2$ ， $t = 1$ 符合條件，但 $f (1) = \frac{1}{2}$ 不大於 $1$ ，(5) 不恆成立。

④ 取 $t = 0.1$ ： $f (0.1) = (\frac{1}{2})^{0.1} + 1 > 1$ ，所以 (3) 也不恆成立；(1)(2) 與 $f (t) > 0$ 矛盾。

答案 (4)。

載入中...

不必求出

α

的值，只要知道

f

遞減就能判斷

f (t)

的正負。

第 5 題

① 經過 $t$ 年後碳-14 剩下原來的 $(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5730}}$ ，所以 $(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5730}} = 0.9255$ 。

② 兩邊取常用對數： $\frac{t}{5730} \cdot lo g \frac{1}{2} = lo g 0.9255$ 。

③ 用計算器： $lo g 0.9255 \approx - 0.03362$ ， $lo g \frac{1}{2} \approx - 0.30103$ ，所以 $\frac{t}{5730} \approx 0.1117$ 。

④ $t \approx 5730 \times 0.1117 \approx 640$ 。

答案 (1)，約 $640$ 年。

含量還有

92.55%

，比一半多很多，所以經過的時間一定比一個半衰期

5730

年短很多，可以先用這點檢查答案的大小。

02第 6～9 題：多選題

第 6 題

(1) 正確。 換底公式： $lo g_{3} 2 = \frac{1}{lo g _{2} 3}$ ，所以 $\frac{1}{lo g _{3} 2} = lo g_{2} 3$ 。

(2) 正確。 底數與真數同時平方，值不變： $lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = \frac{2}{2} lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3$ 。

(3) 錯誤。 $lo g_{20} 30 = \frac{lo g 30}{lo g 20} = \frac{1 + lo g 3}{1 + lo g 2}$ ，這不等於 $\frac{lo g 3}{lo g 2}$ （分子分母各加 $1$ 會改變比值，約為 $1.135$ ，而 $lo g_{2} 3 \approx 1.585$ ）。

(4) 錯誤。 $lo g 3 \approx 0.4771$ 、 $lo g 2 \approx 0.3010$ 都只是近似值， $\frac{4771}{3010}$ 只是 $lo g_{2} 3$ 的近似值，不是相等。

(5) 正確。 底數與真數同時取倒數（同時 $- 1$ 次方），值不變： $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = lo g_{2^{- 1}} 3^{- 1} = lo g_{2} 3$ 。

答案 (1)(2)(5)。

(4) 是常見的陷阱：

lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2}

是無理數，

\frac{4771}{3010}

是分數，兩者只能說很接近。

第 7 題

四點坐標： $A (0, 1)$ 、 $B (1, 2)$ 、 $C (lo g_{2} 3, 3)$ 、 $D (2, 4)$ （如下圖）。

(1) 錯誤。 直線 $A C$ 的斜率是 $\frac{2}{lo g _{2} 3}$ ，在 $x = 1$ 時高度為 $1 + \frac{2}{lo g _{2} 3}$ 。因為 $3 < 4$ ， $lo g_{2} 3 < 2$ ，所以這個高度大於 $2$ 。直線 $A C$ 在 $B$ 的上方，也就是 $B$ 在直線 $A C$ 的下方。

(2) 錯誤。 $2^{x} = 3$ 的解是 $x = lo g_{2} 3$ ，不是 $lo g 3$ （ $lo g 3$ 是以 $10$ 為底）。

(3) 正確。 相鄰兩點的 $y$ 坐標都差 $1$ ，所以只要比較 $x$ 坐標的差： $A$ 、 $B$ 的水平差是 $1 = lo g_{2} 2$ ， $B$ 、 $C$ 的水平差是 $lo g_{2} 3 - 1 = lo g_{2} \frac{3}{2}$ ， $C$ 、 $D$ 的水平差是 $2 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} \frac{4}{3}$ 。 $2 > \frac{3}{2} > \frac{4}{3}$ ，所以水平差越來越小， $\overline{A B} > \overline{B C} > \overline{C D}$ 。

(4) 正確。 $B (1, 2)$ 、 $D (2, 4)$ 的斜率是 $2$ ，直線為 $y - 2 = 2 (x - 1)$ ，即 $y = 2 x$ 。

(5) 正確。 $y = 2 x$ 與 $y = 2^{x}$ 恰好交於 $B$ 、 $D$ 兩點（ $x = 1$ 與 $x = 2$ ），而指數曲線在兩點之間落在弦 $B D$ 的下方。所以 $2^{x} < 2 x$ 的解是 $1 < x < 2$ 。

答案 (3)(4)(5)。

載入中...

(1) 與 (5) 是同一件事：

y = 2^{x}

的圖形凹口向上（兩點之間的弦都在曲線上方）。(3) 的三段線段長度平方為

1 + (水平差)^{2}

，水平差越小線段越短。

第 8 題

(1) 錯誤。 $y = lo g x^{2}$ 只要 $x \neq = 0$ 就有定義，圖形有左右兩支； $y = 2 lo g x$ 只有 $x > 0$ 的那一支（下圖上半）。兩個圖形只在 $x > 0$ 的部分相同，不重合。

(2) 正確。 $y = lo g x^{3}$ 要 $x^{3} > 0$ ，也就是 $x > 0$ ，與 $y = 3 lo g x$ 的定義域相同；在 $x > 0$ 時 $lo g x^{3} = 3 lo g x$ 。所以兩圖重合。

(3) 正確。 $lo g (2 x) = lo g 2 + lo g x$ ，把 $y = lo g x$ 的圖形向上平移 $lo g 2$ 單位就得到。

(4) 正確。 $y = lo g (2 x)$ 是把 $y = lo g x$ 的圖形以 $y$ 軸為基準，水平方向伸縮為原來的 $\frac{1}{2}$ 倍。

(5) 錯誤。 求 $y = lo g (x - 2)$ 對直線 $y = x$ 的對稱圖形，要把 $x$ 、 $y$ 互換： $x = lo g (y - 2)$ ，得 $y - 2 = 1 0^{x}$ ，即 $y = 1 0^{x} + 2$ ，不是 $y = 1 0^{x + 2}$ （下圖下半）。

答案 (2)(3)(4)。

載入中...

(5) 也可以代一點檢查：

(3, 0)

在

y = lo g (x - 2)

上，它對

y = x

的對稱點

(0, 3)

應該在另一個圖形上，但

1 0^{0 + 2} = 100 \neq = 3

。

第 9 題

① $ab$ 是 $9$ 位數： $1 0^{8} \leq ab < 1 0^{9}$ ，所以 $8 \leq lo g ab < 9$ 。

② $\frac{a}{b}$ 從小數點後第 $4$ 位開始出現非零數字： $1 0^{- 4} \leq \frac{a}{b} < 1 0^{- 3}$ ，所以 $- 4 \leq lo g \frac{a}{b} < - 3$ 。

③ 兩式相加： $lo g ab + lo g \frac{a}{b} = 2 lo g a$ ，所以 $4 \leq 2 lo g a < 6$ ， $2 \leq lo g a < 3$ 。

④ 兩式相減： $lo g ab - lo g \frac{a}{b} = 2 lo g b$ ，所以 $11 < 2 lo g b < 13$ ， $5.5 < lo g b < 6.5$ （如下圖）。

(1) 錯誤。 由 ①， $lo g ab < 9$ 。

(2) 正確。 由 ②， $lo g \frac{a}{b} \geq - 4$ 。

(3) 正確。 $2 \leq lo g a < 3$ ， $a$ 是 $3$ 位數。

(4) 正確。 $lo g b$ 可以小於 $6$ ，例如 $a = 101$ 、 $b = 999999$ ： $ab = 100999899$ 是 $9$ 位數， $\frac{a}{b} = 0.000101 \dots$ 從第 $4$ 位開始出現非零數字，而 $b$ 是 $6$ 位數。

(5) 錯誤。 $a < 1000$ ， $b < 1 0^{6.5}$ ，所以 $a + b < 1000 + 1 0^{6.5} < 1 0^{7}$ ，最多是 $7$ 位數，不可能是 $8$ 位數。

答案 (2)(3)(4)。

載入中...

由

5.5 < lo g b < 6.5

可知

b

是

6

位數或

7

位數，兩種都可能；「可能」的選項舉一個例子就夠，「必為」的選項要證明每一種情形都成立。

03第 10～12 題：選填題 A～C

第 10 題

① $a \leq 2 a$ 才有範圍，所以 $a \geq 0$ ； $a = 0$ 時最大最小值相同（差 $0$ ），所以 $a > 0$ 。

② $f (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ 是遞減函數，在 $a \leq x \leq 2 a$ 上最大值是 $f (a)$ 、最小值是 $f (2 a)$ （如下圖）。

③ 令 $u = (\frac{1}{2})^{a}$ ，則 $f (2 a) = u^{2}$ ，條件成為 $u - u^{2} = \frac{7}{64}$ ，即 $64 u^{2} - 64 u + 7 = 0$ ， $(8 u - 1) (8 u - 7) = 0$ 。

④ $u = \frac{1}{8}$ ： $(\frac{1}{2})^{a} = \frac{1}{8}$ ， $a = 3$ （整數解）。

⑤ $u = \frac{7}{8}$ ： $2^{- a} = \frac{7}{8}$ ， $a = - lo g_{2} \frac{7}{8} = lo g_{2} \frac{8}{7}$ （非整數解，而且是正數，符合）。

答案 $3$ 或 $lo g_{2} \frac{8}{7}$ 。

載入中...

下圖是

a = 3

的情形（縱向放大

4

倍畫）；另一解

a = lo g_{2} \frac{8}{7} \approx 0.19

的區間很靠近

y

軸，道理相同。

第 11 題

① 真數條件： $x > 0$ 。

② $lo g_{2} \frac{16}{x} = 4 - lo g_{2} x$ ，所以第二項是 $3^{4 - l o g_{2} x} = \frac{81}{3 ^{l o g_{2} x}}$ 。

③ 令 $u = 3^{l o g_{2} x}$ （ $u > 0$ ），方程式成為 $u + \frac{81}{u} = 30$ ，即 $u^{2} - 30 u + 81 = 0$ ， $(u - 3) (u - 27) = 0$ 。

④ $u = 3$ ： $lo g_{2} x = 1$ ， $x = 2$ ； $u = 27$ ： $lo g_{2} x = 3$ ， $x = 8$ 。

⑤ 兩解都大於 $0$ ，所以 $α + β = 2 + 8 = 10$ 。

答案 $10$ 。

兩個指數的和

lo g_{2} x + lo g_{2} \frac{16}{x} = lo g_{2} 16 = 4

是定值，這是能代換成二次方程式的關鍵。

第 12 題

① 設太陽與天狼星的亮度分別為 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，星等分別為 $y_{1} = - 26.74$ 、 $y_{2} = - 1.46$ 。

② 兩式相減： $y_{1} - y_{2} = - \frac{5}{2} (lo g x_{1} - lo g x_{2}) = - \frac{5}{2} lo g \frac{x _{1}}{x _{2}}$ 。

③ 代入： $- 26.74 - (- 1.46) = - 25.28$ ，所以 $lo g \frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{25.28}{2.5} = 10.112$ 。

④ $\frac{x _{1}}{x _{2}} = 1 0^{10.112} = 1 0^{0.112} \times 1 0^{10}$ ；用計算器， $1 0^{0.112} \approx 1.294$ 。

⑤ 四捨五入到小數點後第 $2$ 位： $1.29 \times 1 0^{10}$ 。

答案 $1.29 \times 1 0^{10}$ 。

星等越小越亮：太陽的星等比天狼星小

25.28

，亮度大約是

1 0^{10}

倍。

04第 13～15 題：選填題 D～F

第 13 題

① 設 $A (a, 1 0^{a})$ 、 $B (b, 1 0^{b})$ 。 $A$ 對直線 $y = x$ 的對稱點是 $x$ 、 $y$ 互換： $C (1 0^{a}, a)$ （如下圖）。

② 「 $B$ 的 $y$ 坐標是 $C$ 的 $x$ 坐標的 $2$ 倍」： $1 0^{b} = 2 \cdot 1 0^{a} = 1 0^{a + l o g 2}$ ，所以 $b = a + lo g 2$ 。

③ $O$ 、 $A$ 、 $B$ 共線，斜率相等： $\frac{1 0 ^{a}}{a} = \frac{1 0 ^{b}}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{a}}{a + lo g 2}$ 。

④ 兩邊約去 $1 0^{a}$ ： $a + lo g 2 = 2 a$ ，得 $a = lo g 2$ 。

⑤ 所以 $C (1 0^{l o g 2}, lo g 2) = (2, lo g 2)$ 。

答案 $(2, lo g 2)$ 。

載入中...

此時

A (lo g 2, 2)

、

B (2 lo g 2, 4)

，兩點的坐標都正好是

2

倍，確實與原點共線；

C (2, lo g 2)

落在

y = lo g x

上。

第 14 題

① 年利率除以 $12$ 是月利率：前 $16$ 個月的月利率是 $\frac{1.165%}{12}$ ，後 $20$ 個月是 $\frac{0.865%}{12}$ 。

② 月複利，本利和為

$1000000 \times (1 + \frac{0.01165}{12})^{16} \times (1 + \frac{0.00865}{12})^{20}$

③ 用計算器： $(1 + \frac{0.01165}{12})^{16} \approx 1.015647$ ， $(1 + \frac{0.00865}{12})^{20} \approx 1.014516$ 。

④ 本利和約 $1000000 \times 1.015647 \times 1.014516 \approx 1030389.9$ 元。

⑤ 利息是本利和減本金：約 $30389.9$ ，四捨五入為 $30390$ 元。

答案 $30390$ 元。

前

16

個月滾出的本利和，是後

20

個月的本金，所以兩段的倍數要相乘，不是把兩段利息相加。

第 15 題

① 兩邊取以 $2$ 為底的對數，記 $L = lo g_{2} 3$ ： $x + \frac{6}{x} \cdot L = lo g_{2} 72 = lo g_{2} (8 \times 9) = 3 + 2 L$ 。

② 兩邊乘以 $x$ （ $x \neq = 0$ ）： $x^{2} - (3 + 2 L) x + 6 L = 0$ 。

③ 因式分解： $(x - 3) (x - 2 L) = 0$ ，所以 $x = 3$ 或 $x = 2 L$ 。

④ 另一個解是 $x = 2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9$ 。

答案 $lo g_{2} 9$ 。

驗算：

2^{l o g_{2} 9} = 9

；

\frac{6}{lo g _{2} 9} = \frac{3}{lo g _{2} 3} = 3 lo g_{3} 2

，所以

3^{3 l o g_{3} 2} = 2^{3} = 8

；

9 \times 8 = 72

。

指數、對數題先寫定義域與真數條件，再用遞增遞減把不等式、極值翻譯成自變數的範圍；遇到兩項互為倒數的指數，代換成二次方程式。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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常見問題

北一女中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 9 題要把乘積與商的位數條件相加相減，才看得出 a 一定是 3 位數、b 可能是 6 或 7 位數；第 8 題 log x 平方的定義域多了負的那一半，圖形並不重合，而對稱於 y＝x 的圖形要把 x、y 互換後再解；第 6 題 4771 除以 3010 只是近似值；第 13 題（選填 D）要同時用到共線與對稱兩個條件。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自北一女中 110 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數與圖形、對數與對數律、換底公式、常用對數、對數函數與圖形、指數與對數的應用）

北一女中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

一、單選題（25 分）｜說明：第 1 至 5 題為單選題，每題答對得 5 分，未作答或答錯得 0 分。

Covid-19 病毒在感染初期病毒量極微，欲知體內病毒濃度，可透過核酸複製技術(PCR)，每經過一次複製，病毒的核酸量增為原來的

2

倍；若先在核酸上染色，經過

k

次複製後，直到染色的螢光強度可被偵測到，

k

稱為此檢體的 Ct 值。例如，Ct 值為

10

表示核酸被複製

10

次後，核酸總量為原來的

1024

倍後才可被偵測到，因此 Ct 值越高，表示病毒量越少，傳染力越低。已知

5

名患者在住院隔離治療後，出院時的 Ct 值均為

34

。試問下列哪名患者，在剛入院時體內病毒的核酸總量約為出院時的一百萬倍？

(1) 入院時的 Ct 值為 $12$ 的案 A。
(2) 入院時的 Ct 值為 $14$ 的案 B。
(3) 入院時的 Ct 值為 $16$ 的案 C。
(4) 入院時的 Ct 值為 $54$ 的案 D。
(5) 入院時的 Ct 值為 $56$ 的案 E。

聲音大小(單位為分貝)取決於聲波通過介質時，所產生的壓力變化(簡稱聲壓，單位為

N/m^{2}

)。已知聲壓

x

與聲音大小

y

的關係式為

y = 10 \times lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2}

，因實驗報告數據的呈現，欲簡化此關係式，假設

X = lo g x

，

Y = \frac{y}{20}

，試問下列何者可為

X

與

Y

的函數圖形？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

試問滿足對數不等式

lo g (x + 26) + lo g (26 - x) < 2

的整數有幾個？

(1) $0$ 個
(2) $2$ 個
(3) $47$ 個
(4) $49$ 個
(5) 無限多個

設

f (x) = (\frac{1}{2})^{x} - lo g x

，已知

α

為方程式

f (x) = 0

的解，若實數

t

滿足

0 < t < α

，則

f (t)

恆滿足下列何式？

(1) $f (t) < - 1$
(2) $- 1 < f (t) < 0$
(3) $0 < f (t) < 1$
(4) $f (t) > 0$
(5) $f (t) > 1$

已知碳-14 的半衰期約為

5730

年，常用於鑑定古文物的年份。臺東縣卑南鄉的巴蘭遺址，某出土物的碳-14 的含量占原來的

92.55%

，則巴蘭遺址的時間大約在距今約多少年？

(1) $640$ 年
(2) $690$ 年
(3) $740$ 年
(4) $790$ 年
(5) $840$ 年

下列何者與對數值

lo g_{2} 3

相等？

(1) $\frac{1}{lo g _{3} 2}$
(2) $lo g_{4} 9$
(3) $lo g_{20} 30$
(4) $\frac{4771}{3010}$
(5) $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$

坐標平面上，在函數圖形

y = 2^{x}

上，標示

A

、

B

、

C

、

D

四個點，其

y

坐標分別為

1, 2, 3, 4

。請選出正確的選項。

(1) 點 $B$ 落在直線 $A C$ 之上方
(2) 點 $C$ 的 $x$ 坐標為 $lo g 3$
(3) $\overline{A B} > \overline{B C} > \overline{C D}$
(4) 直線 $B D$ 的方程式為 $y = 2 x$
(5) 不等式 $2^{x} < 2 x$ 的解為 $1 < x < 2$

關於函數的圖形，下列敘述哪些正確？

(1) $y = lo g x^{2}$ 與 $y = 2 lo g x$ 的圖形重合。
(2) $y = lo g x^{3}$ 與 $y = 3 lo g x$ 的圖形重合。
(3) $y = lo g (2 x)$ 的圖形可由 $y = lo g x$ 的圖形平移而來。
(4) $y = lo g (2 x)$ 的圖形可由 $y = lo g x$ 的圖形伸縮而來。
(5) $y = lo g (x - 2)$ 與 $y = 1 0^{x + 2}$ 的圖形對稱直線 $y = x$ 。

已知兩正整數

a

、

b

的乘積為

9

位數，

\frac{a}{b}

化為小數後，自小數點後第

4

位開始出現不為

0

的數字，則下列敘述哪些正確？

(1) $lo g ab \geq 9$
(2) $lo g (\frac{a}{b}) \geq - 4$
(3) $a$ 必為 $3$ 位數
(4) $b$ 可能為 $6$ 位數
(5) $a + b$ 可能為 $8$ 位數

A. 設

f (x) = (\frac{1}{2})^{x}

，已知

a \leq x \leq 2 a

時，

f (x)

的最大值與最小值相差

\frac{7}{64}

，則

a =

____（整數解）或

lo g_{2} \frac{□}{□}

（非整數解）。

B. 設方程式

3^{l o g_{2} x} + 3^{l o g_{2} \frac{16}{x}} = 30

的解為

α, β

，則

α + β =

____。

C. 從地球上觀測，星球的星等

y

與儀器測量到的亮度

x

的關係為

y = - \frac{5}{2} lo g x

。已知天狼星的星等約為

- 1.46

，太陽的星等約為

- 26.74

，則儀器測量到太陽的亮度大約是天狼星亮度的 ____ 倍。(答案以科學記號

A \times 1 0^{n}

作答，其中

A

四捨五入至小數點後第

2

位)

D. 坐標平面上，

O

為原點，點

A

、點

B

在指數函數

y = 1 0^{x}

上，

O

、

A

、

B

三點共線，

A

點關於直線

y = x

的對稱點為

C

點。若

B

點的

y

坐標為

C

點的

x

坐標的

2

倍，則

C

點坐標為

(□, lo g □)

。

E. 下表為近

3

年台灣銀行定期儲蓄存款的三年期機動年利率，小綠在

107

年

12

月

1

日時存入

100

萬作為生活緊急預備金，已知定儲存款採月利率複利計息，這三年都沒有提前解約(整存整付)，在

110

年

12

月

1

日三年期滿時，小綠可以得到 ____ 元的利息。(四捨五入至整數位)

起訖時間（年 / 月） 107/12 \sim 109/03 109/04 \sim 110/12 期間（月） 16 個月 20 個月 年利率 1.165% 0.865%

F. 已知方程式

2^{x} \cdot 3^{\frac{6}{x}} = 72

有兩個實數解，其中一個是

3

，另外一個是

lo g_{□} □

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(1)

第 6 題(1)(2)(5)

第 7 題(3)(4)(5)

第 8 題(2)(3)(4)

第 9 題(2)(3)(4)

第 10 題

3

或

lo g_{2} \frac{8}{7}

第 11 題

10

第 12 題

1.29 \times 1 0^{10}

第 13 題

(2, lo g 2)

第 14 題

30390

第 15 題

lo g_{2} 9

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～5 題：單選題

第 1 題

② 要 $2^{k} \approx 1 0^{6}$ ：兩邊取常用對數， $k lo g 2 \approx 6$ ， $k \approx \frac{6}{0.3010} \approx 19.9$ ，取 $k = 20$ 。

③ 也可以用題目給的 $2^{10} = 1024 \approx 1 0^{3}$ ： $2^{20} \approx 1 0^{6}$ 。

④ 病毒越多，Ct 值越低，所以入院時的 Ct 值是 $34 - 20 = 14$ 。

答案 (2)。

入院時病毒量比較多，Ct 值要比出院時低；選

54

（

34 + 20

）是把方向弄反了。

第 2 題

① 先化簡： $y = 10 lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2} = 20 lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}}$ 。

② 用對數律拆開： $lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = lo g x - lo g 2 - lo g 1 0^{- 5} = lo g x - lo g 2 + 5$ 。

③ 代入 $X = lo g x$ 、 $Y = \frac{y}{20}$ ： $Y = X + 5 - lo g 2$ 。

⑤ 圖 (1)(2) 不是直線；圖 (4) 的 $Y$ 截距在 $5$ 與 $6$ 之間；圖 (5) 的 $Y$ 截距是負的；只有圖 (3) 符合。

答案 (3)。

載入中...

lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2}

的平方掛在整個括號上，用對數律拿下來變成

2

倍，所以

y

前面的係數成為

20

，正好被

Y = \frac{y}{20}

消掉。

第 3 題

① 真數條件： $x + 26 > 0$ 且 $26 - x > 0$ ，即 $- 26 < x < 26$ 。

② 在這個範圍內兩個對數可以合併： $lo g ((x + 26) (26 - x)) < 2 = lo g 100$ 。

③ 常用對數是遞增函數，所以 $(x + 26) (26 - x) < 100$ ，即 $676 - x^{2} < 100$ ， $x^{2} > 576$ ，得 $x > 24$ 或 $x < - 24$ 。

④ 與真數條件取交集： $- 26 < x < - 24$ 或 $24 < x < 26$ （如下圖，數線為示意、不照比例），整數只有 $- 25$ 與 $25$ 。

答案 (2)，共 $2$ 個。

載入中...

忘了真數條件會以為

∣ x ∣ > 24

的整數有無限多個；算成

- 24 < x < 24

則是不等號方向弄反了（那會得到

47

個）。

第 4 題

① $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 是遞減函數， $y = lo g x$ 是遞增函數，所以 $- lo g x$ 也遞減；兩者相加， $f (x)$ 在 $x > 0$ 時是遞減函數。

② $0 < t < α$ ，所以 $f (t) > f (α) = 0$ 。在下圖中， $f (t)$ 就是 $t$ 這個位置上指數曲線比對數曲線高出的距離。

④ 取 $t = 0.1$ ： $f (0.1) = (\frac{1}{2})^{0.1} + 1 > 1$ ，所以 (3) 也不恆成立；(1)(2) 與 $f (t) > 0$ 矛盾。

答案 (4)。

載入中...

不必求出

α

的值，只要知道

f

遞減就能判斷

f (t)

的正負。

第 5 題

① 經過 $t$ 年後碳-14 剩下原來的 $(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5730}}$ ，所以 $(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5730}} = 0.9255$ 。

② 兩邊取常用對數： $\frac{t}{5730} \cdot lo g \frac{1}{2} = lo g 0.9255$ 。

③ 用計算器： $lo g 0.9255 \approx - 0.03362$ ， $lo g \frac{1}{2} \approx - 0.30103$ ，所以 $\frac{t}{5730} \approx 0.1117$ 。

④ $t \approx 5730 \times 0.1117 \approx 640$ 。

答案 (1)，約 $640$ 年。

含量還有

92.55%

，比一半多很多，所以經過的時間一定比一個半衰期

5730

年短很多，可以先用這點檢查答案的大小。

02第 6～9 題：多選題

第 6 題

(1) 正確。 換底公式： $lo g_{3} 2 = \frac{1}{lo g _{2} 3}$ ，所以 $\frac{1}{lo g _{3} 2} = lo g_{2} 3$ 。

(2) 正確。 底數與真數同時平方，值不變： $lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = \frac{2}{2} lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3$ 。

(4) 錯誤。 $lo g 3 \approx 0.4771$ 、 $lo g 2 \approx 0.3010$ 都只是近似值， $\frac{4771}{3010}$ 只是 $lo g_{2} 3$ 的近似值，不是相等。

(5) 正確。 底數與真數同時取倒數（同時 $- 1$ 次方），值不變： $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = lo g_{2^{- 1}} 3^{- 1} = lo g_{2} 3$ 。

答案 (1)(2)(5)。

(4) 是常見的陷阱：

lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2}

是無理數，

\frac{4771}{3010}

是分數，兩者只能說很接近。

第 7 題

四點坐標： $A (0, 1)$ 、 $B (1, 2)$ 、 $C (lo g_{2} 3, 3)$ 、 $D (2, 4)$ （如下圖）。

(2) 錯誤。 $2^{x} = 3$ 的解是 $x = lo g_{2} 3$ ，不是 $lo g 3$ （ $lo g 3$ 是以 $10$ 為底）。

(4) 正確。 $B (1, 2)$ 、 $D (2, 4)$ 的斜率是 $2$ ，直線為 $y - 2 = 2 (x - 1)$ ，即 $y = 2 x$ 。

答案 (3)(4)(5)。

載入中...

(1) 與 (5) 是同一件事：

y = 2^{x}

的圖形凹口向上（兩點之間的弦都在曲線上方）。(3) 的三段線段長度平方為

1 + (水平差)^{2}

，水平差越小線段越短。

第 8 題

(2) 正確。 $y = lo g x^{3}$ 要 $x^{3} > 0$ ，也就是 $x > 0$ ，與 $y = 3 lo g x$ 的定義域相同；在 $x > 0$ 時 $lo g x^{3} = 3 lo g x$ 。所以兩圖重合。

(3) 正確。 $lo g (2 x) = lo g 2 + lo g x$ ，把 $y = lo g x$ 的圖形向上平移 $lo g 2$ 單位就得到。

(4) 正確。 $y = lo g (2 x)$ 是把 $y = lo g x$ 的圖形以 $y$ 軸為基準，水平方向伸縮為原來的 $\frac{1}{2}$ 倍。

答案 (2)(3)(4)。

載入中...

(5) 也可以代一點檢查：

(3, 0)

在

y = lo g (x - 2)

上，它對

y = x

的對稱點

(0, 3)

應該在另一個圖形上，但

1 0^{0 + 2} = 100 \neq = 3

。

第 9 題

① $ab$ 是 $9$ 位數： $1 0^{8} \leq ab < 1 0^{9}$ ，所以 $8 \leq lo g ab < 9$ 。

② $\frac{a}{b}$ 從小數點後第 $4$ 位開始出現非零數字： $1 0^{- 4} \leq \frac{a}{b} < 1 0^{- 3}$ ，所以 $- 4 \leq lo g \frac{a}{b} < - 3$ 。

③ 兩式相加： $lo g ab + lo g \frac{a}{b} = 2 lo g a$ ，所以 $4 \leq 2 lo g a < 6$ ， $2 \leq lo g a < 3$ 。

④ 兩式相減： $lo g ab - lo g \frac{a}{b} = 2 lo g b$ ，所以 $11 < 2 lo g b < 13$ ， $5.5 < lo g b < 6.5$ （如下圖）。

(1) 錯誤。 由 ①， $lo g ab < 9$ 。

(2) 正確。 由 ②， $lo g \frac{a}{b} \geq - 4$ 。

(3) 正確。 $2 \leq lo g a < 3$ ， $a$ 是 $3$ 位數。

(5) 錯誤。 $a < 1000$ ， $b < 1 0^{6.5}$ ，所以 $a + b < 1000 + 1 0^{6.5} < 1 0^{7}$ ，最多是 $7$ 位數，不可能是 $8$ 位數。

答案 (2)(3)(4)。

載入中...

由

5.5 < lo g b < 6.5

可知

b

是

6

位數或

7

位數，兩種都可能；「可能」的選項舉一個例子就夠，「必為」的選項要證明每一種情形都成立。

03第 10～12 題：選填題 A～C

第 10 題

① $a \leq 2 a$ 才有範圍，所以 $a \geq 0$ ； $a = 0$ 時最大最小值相同（差 $0$ ），所以 $a > 0$ 。

② $f (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ 是遞減函數，在 $a \leq x \leq 2 a$ 上最大值是 $f (a)$ 、最小值是 $f (2 a)$ （如下圖）。

③ 令 $u = (\frac{1}{2})^{a}$ ，則 $f (2 a) = u^{2}$ ，條件成為 $u - u^{2} = \frac{7}{64}$ ，即 $64 u^{2} - 64 u + 7 = 0$ ， $(8 u - 1) (8 u - 7) = 0$ 。

④ $u = \frac{1}{8}$ ： $(\frac{1}{2})^{a} = \frac{1}{8}$ ， $a = 3$ （整數解）。

⑤ $u = \frac{7}{8}$ ： $2^{- a} = \frac{7}{8}$ ， $a = - lo g_{2} \frac{7}{8} = lo g_{2} \frac{8}{7}$ （非整數解，而且是正數，符合）。

答案 $3$ 或 $lo g_{2} \frac{8}{7}$ 。

載入中...

下圖是

a = 3

的情形（縱向放大

4

倍畫）；另一解

a = lo g_{2} \frac{8}{7} \approx 0.19

的區間很靠近

y

軸，道理相同。

第 11 題

① 真數條件： $x > 0$ 。

② $lo g_{2} \frac{16}{x} = 4 - lo g_{2} x$ ，所以第二項是 $3^{4 - l o g_{2} x} = \frac{81}{3 ^{l o g_{2} x}}$ 。

③ 令 $u = 3^{l o g_{2} x}$ （ $u > 0$ ），方程式成為 $u + \frac{81}{u} = 30$ ，即 $u^{2} - 30 u + 81 = 0$ ， $(u - 3) (u - 27) = 0$ 。

④ $u = 3$ ： $lo g_{2} x = 1$ ， $x = 2$ ； $u = 27$ ： $lo g_{2} x = 3$ ， $x = 8$ 。

⑤ 兩解都大於 $0$ ，所以 $α + β = 2 + 8 = 10$ 。

答案 $10$ 。

兩個指數的和

lo g_{2} x + lo g_{2} \frac{16}{x} = lo g_{2} 16 = 4

是定值，這是能代換成二次方程式的關鍵。

第 12 題

① 設太陽與天狼星的亮度分別為 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，星等分別為 $y_{1} = - 26.74$ 、 $y_{2} = - 1.46$ 。

② 兩式相減： $y_{1} - y_{2} = - \frac{5}{2} (lo g x_{1} - lo g x_{2}) = - \frac{5}{2} lo g \frac{x _{1}}{x _{2}}$ 。

③ 代入： $- 26.74 - (- 1.46) = - 25.28$ ，所以 $lo g \frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{25.28}{2.5} = 10.112$ 。

④ $\frac{x _{1}}{x _{2}} = 1 0^{10.112} = 1 0^{0.112} \times 1 0^{10}$ ；用計算器， $1 0^{0.112} \approx 1.294$ 。

⑤ 四捨五入到小數點後第 $2$ 位： $1.29 \times 1 0^{10}$ 。

答案 $1.29 \times 1 0^{10}$ 。

星等越小越亮：太陽的星等比天狼星小

25.28

，亮度大約是

1 0^{10}

倍。

04第 13～15 題：選填題 D～F

第 13 題

① 設 $A (a, 1 0^{a})$ 、 $B (b, 1 0^{b})$ 。 $A$ 對直線 $y = x$ 的對稱點是 $x$ 、 $y$ 互換： $C (1 0^{a}, a)$ （如下圖）。

② 「 $B$ 的 $y$ 坐標是 $C$ 的 $x$ 坐標的 $2$ 倍」： $1 0^{b} = 2 \cdot 1 0^{a} = 1 0^{a + l o g 2}$ ，所以 $b = a + lo g 2$ 。

③ $O$ 、 $A$ 、 $B$ 共線，斜率相等： $\frac{1 0 ^{a}}{a} = \frac{1 0 ^{b}}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{a}}{a + lo g 2}$ 。

④ 兩邊約去 $1 0^{a}$ ： $a + lo g 2 = 2 a$ ，得 $a = lo g 2$ 。

⑤ 所以 $C (1 0^{l o g 2}, lo g 2) = (2, lo g 2)$ 。

答案 $(2, lo g 2)$ 。

載入中...

此時

A (lo g 2, 2)

、

B (2 lo g 2, 4)

，兩點的坐標都正好是

2

倍，確實與原點共線；

C (2, lo g 2)

落在

y = lo g x

上。

第 14 題

① 年利率除以 $12$ 是月利率：前 $16$ 個月的月利率是 $\frac{1.165%}{12}$ ，後 $20$ 個月是 $\frac{0.865%}{12}$ 。

② 月複利，本利和為

$1000000 \times (1 + \frac{0.01165}{12})^{16} \times (1 + \frac{0.00865}{12})^{20}$

③ 用計算器： $(1 + \frac{0.01165}{12})^{16} \approx 1.015647$ ， $(1 + \frac{0.00865}{12})^{20} \approx 1.014516$ 。

④ 本利和約 $1000000 \times 1.015647 \times 1.014516 \approx 1030389.9$ 元。

⑤ 利息是本利和減本金：約 $30389.9$ ，四捨五入為 $30390$ 元。

答案 $30390$ 元。

前

16

個月滾出的本利和，是後

20

個月的本金，所以兩段的倍數要相乘，不是把兩段利息相加。

第 15 題

① 兩邊取以 $2$ 為底的對數，記 $L = lo g_{2} 3$ ： $x + \frac{6}{x} \cdot L = lo g_{2} 72 = lo g_{2} (8 \times 9) = 3 + 2 L$ 。

② 兩邊乘以 $x$ （ $x \neq = 0$ ）： $x^{2} - (3 + 2 L) x + 6 L = 0$ 。

③ 因式分解： $(x - 3) (x - 2 L) = 0$ ，所以 $x = 3$ 或 $x = 2 L$ 。

④ 另一個解是 $x = 2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9$ 。

答案 $lo g_{2} 9$ 。

驗算：

2^{l o g_{2} 9} = 9

；

\frac{6}{lo g _{2} 9} = \frac{3}{lo g _{2} 3} = 3 lo g_{3} 2

，所以

3^{3 l o g_{3} 2} = 2^{3} = 8

；

9 \times 8 = 72

。

指數、對數題先寫定義域與真數條件，再用遞增遞減把不等式、極值翻譯成自變數的範圍；遇到兩項互為倒數的指數，代換成二次方程式。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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