段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數函數的圖形、對數律與換底公式、指對數方程式與不等式、常用對數的應用）

北一女中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

全卷 16 題，滿分 100 分：單選 3 題共 15 分、多選 3 題共 30 分、填充 7 格共 42 分、混合題 3 題共 13 分（第 14 題單選 4 分、第 15 題單選 3 分、第 16 題計算 6 分）。卷頭註明本卷可以使用指定機型的計算器。答案已與學校公布的答案逐題核對，16 題全部一致。

一、單選題(每題 5 分，3 題共 15 分)

小綠升上高二後決定要善用指數的威力，提升自己的數學功力，她計畫從 2022 年 9 月 1 日(四)開始，每週固定提升

1%

的數學功力。設小綠的數學功力原來為

1

，試問小綠經過這樣努力，直到 2024 年 1 月 24 日(三)止，其數學功力變為原來的幾倍？請選出最接近的選項。

(1) $2$
(2) $5$
(3) $10$
(4) $20$
(5) $30$

鋼琴鍵盤上每個鍵的頻率

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{13}

如右圖所示。已知頻率之間的關係為

lo g \frac{f _{a}}{f _{b}} = \frac{a - b}{12} \times lo g 2

，其中

a, b = 1, 2, \dots, 13

。交響樂團在音樂會前會由雙簧管吹出一個標準 A 音，頻率為

440

赫茲，若此標準 A 音為上圖中的

f_{10}

，試問上圖中

f_{13}

的頻率最接近下列哪一個選項？

(1) $450$ 赫茲
(2) $520$ 赫茲
(3) $590$ 赫茲
(4) $660$ 赫茲
(5) $730$ 赫茲

載入中...

設坐標平面上點

P (x, y)

滿足

5^{x} = 2^{y}

，且點

P

與原點的距離為

2022

，則共有幾個點

P

？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $4$
(5) 無窮多個

二、多重選擇題(每題 10 分，每個選項 2 分。3 題共 30 分，整題未作答者，該題不予計分。)

下列哪些敘述正確？

(1) $2^{400} + 2^{500} = 2^{900}$
(2) $lo g 2^{400} + lo g 2^{500} = lo g 2^{900}$
(3) $lo g 2^{400} \times lo g 2^{500} = lo g 2^{900}$
(4) $lo g_{2} 400 \times lo g_{2} 500 < (lo g_{2} 450)^{2}$
(5) $\frac{lo g 2 ^{500}}{lo g 2 ^{400}} = lo g_{2^{400}} 2^{500}$

設對數函數

f (x) = t \times lo g x

，

t

為非零實數，試問下列哪些敘述正確？

(1) $y = f (x)$ 的圖形過點 $(1, 0)$
(2) $f (110) < f (111)$
(3) $y = f (x)$ 的圖形與直線 $y = 2022$ 恰有一個交點
(4) 若 $t = 1$ ，則 $y = f (x)$ 的圖形與 $g (x) = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(5) 若 $t > 0$ ，則 $\frac{f ( 110 ) + f ( 112 )}{2} > f (111)$

水生植物布袋蓮生長迅速，而且其葉子含有大量的碳和氮，肯亞地區將其葉子碾碎作為乾淨能源。若

3

公斤的布袋蓮可提供烹煮時的燃料

4

小時，某生態池已種約

10

公斤的布袋蓮，已知此地布袋蓮每

15

天可生長成

2

倍重量，試問下列哪些敘述正確？

(1) $1$ 個月（ $30$ 天）後布袋蓮的總重量可達 $40$ 公斤
(2) $x$ 天後布袋蓮的總重量為 $2^{\frac{x}{15}}$ 公斤
(3) 布袋蓮從 $40$ 公斤生長到 $60$ 公斤只需 $7.5$ 天
(4) $3$ 個月後布袋蓮可提供當地 $850$ 小時以上的烹煮燃料
(5) 若想要有足夠的布袋蓮提供 $10000$ 小時的烹煮燃料，則至少需等 $145$ 天後

三、填充題(每格 6 分，7 格共 42 分)

lo g (2^{400} + 2^{402})

的近似值經四捨五入到整數位為

。

已知點

P (s, t)

在函數

y = lo g_{2} x

圖形上。若

s \leq 2022

，且

s

與

t

皆為整數，則滿足上述條件的點

P

個。

因應通膨，中央銀行今年年利率已升息

2

碼（

0.5%

），小綠發現她跟銀行借的一筆貸款，若在不還本金且每月只還利息下，她每個月所付的利息增加

2500

元，則小綠跟銀行貸款的這筆金額為

元。

方程式

lo g_{2} x = lo g_{4} (15 - 2 x)

的實根為

。

A

、

B

兩地同時受到某傳染疾病的威脅，

A

地一開始

500

人感染，且每兩週感染人數變為

3

倍；

B

地一開始

100

人感染，且每週感染人數變為

2

倍。試問最少

週後，

B

地的感染人數會超過

A

地。

已知點

A (m, n)

在

y = 2^{x}

圖形上，點

B (s, t)

在

y = lo g_{2} x

圖形上，

m

為整數，且

n > t

，若直線

A B

與直線

y = x

有一夾角為

4 5^{\circ}

，又

120 < \overline{A B} < 130

，則

m

值

。

GIMPS 是一個搜尋質數的計畫，質數中形如

2^{n} - 1

者稱為梅森質數，目前找到的最大質數為

2^{82589933} - 1

（第

51

個梅森質數，

2

千多萬位數）；該計畫提供獎金

15

萬美金給能找到

1

億位數以上的質數者。若現有一數

2^{n} - 1

的位數為

1

億位以上，則此最小的整數

n

為

。

四、混合題(3 題共 13 分)

第 14～16 題（混合題）（第 14～16 題）　韋伯-費希納定律（Weber-Fechner Law）是表明心理量和物理量之間關係的定律。小綠根據這個定律建立自己的嗅覺感知模型，她每次都會調配一公升的特定味道溶液，將該溶液濃度視為此實驗唯一的控制變因，紀錄濃度作為刺激強度的依據。下表為小綠的紀錄，其中

S

為刺激強度；

R

為感覺強度，而小綠定義可感知的嗅覺上限為

10

、下限為

0

。

R （感覺強度） S （刺激強度）莫耳 / 公升 0 1 0^{- 6} 5 1 0^{- 5} 10 1 0^{- 4}

由上表中

R

和

S

的數值，試問下列哪一個可作為小綠的嗅覺感知模型？（單選題：4 分）

(1) $R = 5^{\frac{S}{100}}$
(2) $R = 5^{\frac{S}{1 0 ^{- 5}}}$
(3) $R = lo g S + 6$
(4) $R = lo g \frac{S}{1 0 ^{- 6}} + 4$
(5) $R = 5 \times lo g \frac{S}{1 0 ^{- 6}}$

承 14 題；設小綠想稀釋氣味強度

R

為

5

的溶液，使其強度

R

減半，試問該溶液濃度稀釋後與原來的溶液濃度的比值最接近的數值為下列何者？（單選題：3 分）

(1) $100$
(2) $4$
(3) $3$
(4) $2$
(5) $0.3$

若小綠換了溶質，發現其散發的氣味更為刺激，感知最低氣味濃度為

1 0^{- 7}

莫耳/公升，便將其定為感覺強度

R = 0

，仿照 14 題重新建立嗅覺感知模型後，得知當濃度為

1 0^{- 6}

時，小綠感知到的氣味強度

R = 6

，試問在小綠可以感知的嗅覺感覺強度

R = 10

的上限下，此時液體濃度的最大值為何？請以科學記號

a \times 1 0^{n}

表示，其中

a

四捨五入至小數點後第二位。（計算題：6 分，請詳列計算過程，採分段給分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(2)

第 3 題(3)

第 4 題(2)(4)(5)

第 5 題(1)(3)(4)

第 6 題(1)(4)

第 7 題

121

第 8 題

11

第 9 題

6000000

第 10 題

3

第 11 題

12

第 12 題

7

第 13 題

332192807

第 14 題(5)

第 15 題(5)

第 16 題

4.64 \times 1 0^{- 6}

莫耳/公升

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～3 題：單選題

第 1 題答案 (1)。先數有幾週。2022 年 9 月 1 日到 12 月 31 日有

30 + 31 + 30 + 31 = 122

天，2023 年整年

365

天，2024 年 1 月 1 日到 24 日有

24

天，合計

122 + 365 + 24 = 511

天（9 月 1 日與 1 月 24 日頭尾兩天都算；兩個日期直接相減是

510

天），

511 \div 7 = 73

，剛好

73

週（星期四開始、星期三結束，也對得上）。每週變成前一週的

1.01

倍，

73

週後是

1.0 1^{73}

倍。用計算器得

1.0 1^{73} \approx 2.07

，最接近

2

。若只算成

72

週，

1.0 1^{72} \approx 2.05

，選的也是同一個選項。

用對數檢查：

lo g 1.01 \approx 0.00432

，

73 \times 0.00432 \approx 0.315

，而

lo g 2 \approx 0.301

、

lo g 5 \approx 0.699

，所以倍數比

2

大一點點，離

5

很遠。每週

1%

聽起來很少，一年多下來也只是變成兩倍左右。

第 2 題答案 (2)。取

a = 13

、

b = 10

：

lo g \frac{f _{13}}{f _{10}} = \frac{13 - 10}{12} \times lo g 2 = \frac{1}{4} lo g 2 = lo g 2^{\frac{1}{4}}

，所以

\frac{f _{13}}{f _{10}} = 2^{\frac{1}{4}}

。

2^{\frac{1}{4}} = 2 \approx 1.4142 \approx 1.189

，

f_{13} \approx 440 \times 1.189 \approx 523

赫茲，最接近

520

赫茲。

關係式的意思是每往右一個鍵，頻率乘上

2^{\frac{1}{12}}

；隔

12

個鍵頻率剛好變成

2

倍。這裡隔

3

個鍵，是乘上

2^{\frac{3}{12}}

，不是加上某個固定的數。

第 3 題答案 (3)。兩邊都是正數，取常用對數：

x lo g 5 = y lo g 2

，即

y = \frac{lo g 5}{lo g 2} x

。這是一條通過原點的直線。與原點距離

2022

的點在以原點為圓心、半徑

2022

的圓上；通過圓心的直線與圓恰交於兩點，所以點

P

有

2

個。

5^{x} = 2^{y}

看起來像曲線，取對數之後其實是直線。兩個交點一個在第一象限、一個在第三象限。

02第 4～6 題：多重選擇題

第 4 題答案 (2)(4)(5)。 (1) 錯：指數相加對應的是相乘，

2^{400} \times 2^{500} = 2^{900}

；而

2^{400} + 2^{500} < 2^{500} + 2^{500} = 2^{501}

，遠小於

2^{900}

。 (2) 對：

lo g 2^{400} + lo g 2^{500} = lo g (2^{400} \times 2^{500}) = lo g 2^{900}

。 (3) 錯：左邊是

400 lo g 2 \times 500 lo g 2 = 200000 (lo g 2)^{2} \approx 200000 \times 0.0906 \approx 18124

，右邊是

900 lo g 2 \approx 271

。 (4) 對：

lo g_{2} 400

與

lo g_{2} 500

是不相等的兩個正數，由算幾不等式

lo g_{2} 400 \times lo g_{2} 500 < \frac{lo g _{2} 400 + lo g _{2} 500}{2} = \frac{lo g _{2} 200000}{2} = lo g_{2} 200000

。而

45 0^{2} = 202500 > 200000

，所以

200000 < 450

，

lo g_{2} 200000 < lo g_{2} 450

。兩邊都是正數，平方後得

lo g_{2} 400 \times lo g_{2} 500 < (lo g_{2} 450)^{2}

。 (5) 對：左邊

= \frac{500 lo g 2}{400 lo g 2} = \frac{5}{4}

；右邊由換底公式

lo g_{2^{400}} 2^{500} = \frac{lo g 2 ^{500}}{lo g 2 ^{400}}

，就是左邊。

對數律只有「真數相乘 ↔ 對數相加」，沒有「對數相乘」的公式。(4) 用計算器直接算也可以：左邊約

8.644 \times 8.966 \approx 77.50

，右邊約

8.81 4^{2} \approx 77.68

，差距很小，所以用算幾不等式說明比較穩。

第 5 題答案 (1)(3)(4)。 (1) 對：

f (1) = t \times lo g 1 = 0

，與

t

無關。 (2) 錯：

lo g 110 < lo g 111

，但

t < 0

時乘上負數不等號反向，

f (110) > f (111)

；例如

t = - 1

。 (3) 對：因為

t \neq = 0

，解

t lo g x = 2022

得

lo g x = \frac{2022}{t}

，

x = 1 0^{\frac{2022}{t}}

，恰有一個正數解，所以恰有一個交點。 (4) 對：

t = 1

時

y = lo g x

，把

x

、

y

互換得

x = lo g y

，即

y = 1 0^{x}

，兩個圖形對稱於直線

y = x

。 (5) 錯：

\frac{f ( 110 ) + f ( 112 )}{2} = \frac{t}{2} lo g (110 \times 112) = \frac{t}{2} lo g 12320

，而

f (111) = \frac{t}{2} lo g 11 1^{2} = \frac{t}{2} lo g 12321

。

t > 0

時

\frac{t}{2} lo g 12320 < \frac{t}{2} lo g 12321

，不等號方向與選項相反。

(5) 的圖形意義：

t > 0

時

y = t lo g x

的圖形凹口向下，圖形上兩點連線的中點在圖形下方。(2) 沒有說

t

的正負，所以不能確定。

第 6 題答案 (1)(4)。

x

天後的重量是

10 \times 2^{\frac{x}{15}}

公斤；每公斤可燒

\frac{4}{3}

小時。 (1) 對：

30

天是兩個

15

天，

10 \times 2^{2} = 40

公斤。 (2) 錯：少了一開始的

10

公斤，應為

10 \times 2^{\frac{x}{15}}

。 (3) 錯：從

40

到

60

公斤是變成

1.5

倍，需要的天數

d

滿足

2^{\frac{d}{15}} = 1.5

。若

d = 7.5

，

2^{\frac{7.5}{15}} = 2 \approx 1.414 < 1.5

，只長到約

56.6

公斤，還不到

60

公斤（實際要

15 \times \frac{lo g 1.5}{lo g 2} \approx 8.8

天）。 (4) 對：

3

個月是

90

天，重量

10 \times 2^{6} = 640

公斤，可燒

640 \times \frac{4}{3} \approx 853.3

小時，超過

850

小時。 (5) 錯：

10000

小時需要

10000 \times \frac{3}{4} = 7500

公斤，

10 \times 2^{\frac{x}{15}} \geq 7500

即

2^{\frac{x}{15}} \geq 750

，

\frac{x}{15} \geq \frac{lo g 750}{lo g 2} \approx \frac{2.8751}{0.3010} \approx 9.551

，

x \geq 143.3

。所以第

144

天就夠了，不必等到

145

天。

(3) 是把指數成長當成等速成長：

15

天從

40

長到

80

，一半的時間並不會長一半的量。(5) 選項的

145

與正確的

144

只差一天，要算到小數才分得出來。

03第 7～10 題：填充題（一）

第 7 題和不能直接拆對數，先提公因數：

2^{400} + 2^{402} = 2^{400} (1 + 2^{2}) = 5 \times 2^{400}

。所以

lo g (2^{400} + 2^{402}) = lo g 5 + 400 lo g 2 \approx 0.6990 + 400 \times 0.3010 = 121.1

，四捨五入到整數位是

121

。

也可以寫成

5 \times 2^{400} = 10 \times 2^{399}

，對數是

1 + 399 lo g 2 \approx 121.1

。

第 8 題點在圖形上，

t = lo g_{2} s

，即

s = 2^{t}

。

t

是整數時，

t < 0

會讓

s = 2^{t}

成為分數，不是整數，所以

t \geq 0

。再由

s = 2^{t} \leq 2022

：

2^{10} = 1024 \leq 2022 < 2048 = 2^{11}

，所以

t = 0, 1, 2, \dots, 10

，共

11

個點。

t = 0

（點

(1, 0)

）要算進去；真數

s

必須是正數，所以不必考慮

s \leq 0

。

第 9 題設貸款金額

P

元。年利率增加

0.5%

，一年的利息增加

P \times 0.5%

，每個月增加

\frac{P \times 0.005}{12}

元。令它等於

2500

：

P = \frac{2500 \times 12}{0.005} = 6000000

元。

0.5%

是年利率，換成每月要除以

12

；

0.5% = 0.005

，不是

0.05

。

第 10 題真數要為正：

x > 0

且

15 - 2 x > 0

，即

0 < x < \frac{15}{2}

。右邊換成以

2

為底：

lo g_{4} (15 - 2 x) = \frac{lo g _{2} ( 15 - 2 x )}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} (15 - 2 x)

。方程式成為

2 lo g_{2} x = lo g_{2} (15 - 2 x)

，即

lo g_{2} x^{2} = lo g_{2} (15 - 2 x)

，所以

x^{2} = 15 - 2 x

，

x^{2} + 2 x - 15 = 0

，

(x + 5) (x - 3) = 0

。

x = - 5

不合

x > 0

，所以實根是

x = 3

。檢查：

lo g_{2} 3

與

lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3

相等。

x = - 5

代回

x^{2} = 15 - 2 x

是成立的，但

lo g_{2} (- 5)

沒有意義，要用真數條件去掉。

04第 11～13 題：填充題（二）

第 11 題

x

週後，

A

地的感染人數是

500 \times 3^{\frac{x}{2}}

，

B

地是

100 \times 2^{x}

。要

100 \times 2^{x} > 500 \times 3^{\frac{x}{2}}

，即

2^{x} > 5 \times 3^{\frac{x}{2}}

。兩邊取常用對數：

x lo g 2 > lo g 5 + \frac{x}{2} lo g 3

，

x (lo g 2 - \frac{1}{2} lo g 3) > lo g 5

。代入

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 5 \approx 0.6990

：

0.0625 x > 0.6990

，

x > 11.2

。所以最少

12

週後。檢查：第

12

週

A

地

500 \times 3^{6} = 364500

人、

B

地

100 \times 2^{12} = 409600

人，

B

地較多；第

10

週

A

地

500 \times 3^{5} = 121500

人、

B

地

102400

人，

A

地較多。

這裡把

A

地當成連續成長（第

x

週是

500 \times 3^{\frac{x}{2}}

人），第

11

週時

A

地約

210444

人、

B

地

204800

人，

B

地還沒超過，答案是

12

，與學校公布的答案相同。如果把

A

地看成「滿兩週才一次變成

3

倍」，第

11

週

A

地仍是

121500

人，

B

地在第

11

週就超過了；題目的指數模型取的是前一種看法。

第 12 題直線

y = x

的斜角是

4 5^{\circ}

，與它夾

4 5^{\circ}

的直線，斜角是

0^{\circ}

或

9 0^{\circ}

，也就是水平線或鉛直線。若

A B

是水平線，

A

、

B

的

y

坐標相同，

n = t

，與

n > t

不合。所以

A B

是鉛直線，

s = m

。此時

A (m, 2^{m})

、

B (m, lo g_{2} m)

，

m

是正整數（真數為正），

\overline{A B} = n - t = 2^{m} - lo g_{2} m

。

m = 6

：

64 - lo g_{2} 6 \approx 64 - 2.58 = 61.42

；

m = 7

：

128 - lo g_{2} 7 \approx 128 - 2.81 = 125.19

；

m = 8

：

256 - 3 = 253

。

m

越大

2^{m} - lo g_{2} m

越大，所以只有

m = 7

落在

120

與

130

之間。

2^{m}

每次加倍，而

lo g_{2} m

很小，所以先找

2^{m}

在

120

到

130

附近的

m

就只有

7

，再把對數的部分扣掉確認。

第 13 題

2^{n}

的個位數字是

2, 4, 8, 6

之一，不是

0

，所以

2^{n} - 1

與

2^{n}

的位數相同。一個正整數有

1

億位以上，表示它不小於

1 0^{99999999}

（最小的

1

億位數）。所以要

2^{n} \geq 1 0^{99999999}

，取常用對數：

n lo g 2 \geq 99999999

，

n \geq \frac{99999999}{lo g 2}

。用計算器的

lo g 2 \approx 0.3010299957

算得

\frac{99999999}{0.3010299957} \approx 332192806.2

，所以最小的整數

n = 332192807

。

1

億位數是

1 0^{99999999}

到

1 0^{100000000}

之間的數，指數是

99999999

不是

1 0^{8}

。這題的

lo g 2

要用計算器的完整位數：只取

0.3010

會得到約

332225911

，取

0.30103

會得到約

332192802

，都不對。

05第 14～16 題：混合題（嗅覺感知模型）

第 14 題答案 (5)。把表上三組數字代進去檢查，先代

S = 1 0^{- 6}

（應得

R = 0

）： (1)

5^{\frac{1 0 ^{- 6}}{100}} = 5^{1 0^{- 8}} \approx 1

，不是

0

（指數函數的值恆正，不可能是

0

）。 (2)

5^{\frac{1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 5}}} = 5^{0.1} \approx 1.17

，不是

0

。 (3)

lo g 1 0^{- 6} + 6 = 0

，符合；但

S = 1 0^{- 5}

時得

- 5 + 6 = 1

，不是

5

。 (4)

lo g 1 + 4 = 4

，不是

0

。 (5)

5 \times lo g 1 = 0

；

S = 1 0^{- 5}

時

5 \times lo g 10 = 5

；

S = 1 0^{- 4}

時

5 \times lo g 100 = 10

，三組都符合。

表上

S

每變成

10

倍，

R

就多

5

：刺激強度「乘」固定倍數、感覺強度「加」固定的量，這正是對數關係。

第 15 題答案 (5)。用第 14 題的模型

R = 5 lo g \frac{S}{1 0 ^{- 6}}

。

R = 5

時

lo g \frac{S _{1}}{1 0 ^{- 6}} = 1

；減半成

R = 2.5

時

lo g \frac{S _{2}}{1 0 ^{- 6}} = 0.5

。兩式相減：

lo g \frac{S _{2}}{S _{1}} = 0.5 - 1 = - 0.5

，所以

\frac{S _{2}}{S _{1}} = 1 0^{- 0.5} = \frac{1}{10} \approx 0.316

，最接近

0.3

。

感覺強度減半，濃度不是減半，而是要稀釋到原來的三成左右。稀釋後濃度變小，比值一定小於

1

，五個選項裡只有

0.3

小於

1

。

第 16 題仿照第 14 題，設模型為

R = k lo g \frac{S}{1 0 ^{- 7}}

（

S = 1 0^{- 7}

時

R = k lo g 1 = 0

，符合新的下限）。代入

S = 1 0^{- 6}

、

R = 6

：

6 = k lo g \frac{1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 7}} = k lo g 10 = k

，所以

k = 6

，模型是

R = 6 lo g \frac{S}{1 0 ^{- 7}}

。

k > 0

，

S

越大

R

越大，所以濃度最大發生在

R = 10

：

10 = 6 lo g \frac{S}{1 0 ^{- 7}}

，

lo g \frac{S}{1 0 ^{- 7}} = \frac{5}{3}

，

S = 1 0^{- 7} \times 1 0^{\frac{5}{3}} = 1 0^{- \frac{16}{3}}

。把指數拆成整數加上

0

到

1

之間的數：

- \frac{16}{3} = - 6 + \frac{2}{3}

，

S = 1 0^{\frac{2}{3}} \times 1 0^{- 6}

。

1 0^{\frac{2}{3}} = 3100 \approx 4.6416

，所以濃度的最大值約為

4.64 \times 1 0^{- 6}

莫耳/公升。

卷面答案欄的給分：寫出

R = 6 \times lo g \frac{S}{1 0 ^{- 7}}

得 3 分，算出濃度的最大值

4.64 \times 1 0^{- 6}

莫耳/公升得 3 分。科學記號的

a

要在

1

與

10

之間，所以不能停在

1 0^{- 5.33}

或寫成

0.464 \times 1 0^{- 5}

。

應用題先把「每隔多久變成幾倍」寫成指數式，要解指數裡的未知數就兩邊取常用對數；答案接近整數邊界時（第 6 題的 144 天、第 11 題的 12 週、第 13 題的位數），多算幾位小數再下結論。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

北一女中 111 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 13 題一億位數的最小值是 10 的 99999999 次方，而且 log 2 要用計算器的完整位數，只取四位小數會差到三萬多；第 12 題要先看出與直線 y＝x 夾 45 度的直線只能是水平線或鉛直線，再用 n 大於 t 排除水平線；第 6 題選項 (5) 算出來是至少 144 天，與選項的 145 天只差一天；第 4 題選項 (4) 兩邊只差約 0.2，用算幾不等式說明比較穩。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 111 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數函數的圖形、對數律與換底公式、指對數方程式與不等式、常用對數的應用）

北一女中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、單選題(每題 5 分，3 題共 15 分)

小綠升上高二後決定要善用指數的威力，提升自己的數學功力，她計畫從 2022 年 9 月 1 日(四)開始，每週固定提升

1%

的數學功力。設小綠的數學功力原來為

1

，試問小綠經過這樣努力，直到 2024 年 1 月 24 日(三)止，其數學功力變為原來的幾倍？請選出最接近的選項。

(1) $2$
(2) $5$
(3) $10$
(4) $20$
(5) $30$

鋼琴鍵盤上每個鍵的頻率

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{13}

如右圖所示。已知頻率之間的關係為

lo g \frac{f _{a}}{f _{b}} = \frac{a - b}{12} \times lo g 2

，其中

a, b = 1, 2, \dots, 13

。交響樂團在音樂會前會由雙簧管吹出一個標準 A 音，頻率為

440

赫茲，若此標準 A 音為上圖中的

f_{10}

，試問上圖中

f_{13}

的頻率最接近下列哪一個選項？

(1) $450$ 赫茲
(2) $520$ 赫茲
(3) $590$ 赫茲
(4) $660$ 赫茲
(5) $730$ 赫茲

載入中...

設坐標平面上點

P (x, y)

滿足

5^{x} = 2^{y}

，且點

P

與原點的距離為

2022

，則共有幾個點

P

？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $4$
(5) 無窮多個

二、多重選擇題(每題 10 分，每個選項 2 分。3 題共 30 分，整題未作答者，該題不予計分。)

下列哪些敘述正確？

(1) $2^{400} + 2^{500} = 2^{900}$
(2) $lo g 2^{400} + lo g 2^{500} = lo g 2^{900}$
(3) $lo g 2^{400} \times lo g 2^{500} = lo g 2^{900}$
(4) $lo g_{2} 400 \times lo g_{2} 500 < (lo g_{2} 450)^{2}$
(5) $\frac{lo g 2 ^{500}}{lo g 2 ^{400}} = lo g_{2^{400}} 2^{500}$

設對數函數

f (x) = t \times lo g x

，

t

為非零實數，試問下列哪些敘述正確？

(1) $y = f (x)$ 的圖形過點 $(1, 0)$
(2) $f (110) < f (111)$
(3) $y = f (x)$ 的圖形與直線 $y = 2022$ 恰有一個交點
(4) 若 $t = 1$ ，則 $y = f (x)$ 的圖形與 $g (x) = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(5) 若 $t > 0$ ，則 $\frac{f ( 110 ) + f ( 112 )}{2} > f (111)$

水生植物布袋蓮生長迅速，而且其葉子含有大量的碳和氮，肯亞地區將其葉子碾碎作為乾淨能源。若

3

公斤的布袋蓮可提供烹煮時的燃料

4

小時，某生態池已種約

10

公斤的布袋蓮，已知此地布袋蓮每

15

天可生長成

2

倍重量，試問下列哪些敘述正確？

(1) $1$ 個月（ $30$ 天）後布袋蓮的總重量可達 $40$ 公斤
(2) $x$ 天後布袋蓮的總重量為 $2^{\frac{x}{15}}$ 公斤
(3) 布袋蓮從 $40$ 公斤生長到 $60$ 公斤只需 $7.5$ 天
(4) $3$ 個月後布袋蓮可提供當地 $850$ 小時以上的烹煮燃料
(5) 若想要有足夠的布袋蓮提供 $10000$ 小時的烹煮燃料，則至少需等 $145$ 天後

三、填充題(每格 6 分，7 格共 42 分)

lo g (2^{400} + 2^{402})

的近似值經四捨五入到整數位為

。

已知點

P (s, t)

在函數

y = lo g_{2} x

圖形上。若

s \leq 2022

，且

s

與

t

皆為整數，則滿足上述條件的點

P

個。

因應通膨，中央銀行今年年利率已升息

2

碼（

0.5%

），小綠發現她跟銀行借的一筆貸款，若在不還本金且每月只還利息下，她每個月所付的利息增加

2500

元，則小綠跟銀行貸款的這筆金額為

元。

方程式

lo g_{2} x = lo g_{4} (15 - 2 x)

的實根為

。

A

、

B

兩地同時受到某傳染疾病的威脅，

A

地一開始

500

人感染，且每兩週感染人數變為

3

倍；

B

地一開始

100

人感染，且每週感染人數變為

2

倍。試問最少

週後，

B

地的感染人數會超過

A

地。

已知點

A (m, n)

在

y = 2^{x}

圖形上，點

B (s, t)

在

y = lo g_{2} x

圖形上，

m

為整數，且

n > t

，若直線

A B

與直線

y = x

有一夾角為

4 5^{\circ}

，又

120 < \overline{A B} < 130

，則

m

值

。

GIMPS 是一個搜尋質數的計畫，質數中形如

2^{n} - 1

者稱為梅森質數，目前找到的最大質數為

2^{82589933} - 1

（第

51

個梅森質數，

2

千多萬位數）；該計畫提供獎金

15

萬美金給能找到

1

億位數以上的質數者。若現有一數

2^{n} - 1

的位數為

1

億位以上，則此最小的整數

n

為

。

四、混合題(3 題共 13 分)

S

為刺激強度；

R

為感覺強度，而小綠定義可感知的嗅覺上限為

10

、下限為

0

。

R （感覺強度） S （刺激強度）莫耳 / 公升 0 1 0^{- 6} 5 1 0^{- 5} 10 1 0^{- 4}

由上表中

R

和

S

的數值，試問下列哪一個可作為小綠的嗅覺感知模型？（單選題：4 分）

(1) $R = 5^{\frac{S}{100}}$
(2) $R = 5^{\frac{S}{1 0 ^{- 5}}}$
(3) $R = lo g S + 6$
(4) $R = lo g \frac{S}{1 0 ^{- 6}} + 4$
(5) $R = 5 \times lo g \frac{S}{1 0 ^{- 6}}$

承 14 題；設小綠想稀釋氣味強度

R

為

5

的溶液，使其強度

R

減半，試問該溶液濃度稀釋後與原來的溶液濃度的比值最接近的數值為下列何者？（單選題：3 分）

(1) $100$
(2) $4$
(3) $3$
(4) $2$
(5) $0.3$

若小綠換了溶質，發現其散發的氣味更為刺激，感知最低氣味濃度為

1 0^{- 7}

莫耳/公升，便將其定為感覺強度

R = 0

，仿照 14 題重新建立嗅覺感知模型後，得知當濃度為

1 0^{- 6}

時，小綠感知到的氣味強度

R = 6

，試問在小綠可以感知的嗅覺感覺強度

R = 10

的上限下，此時液體濃度的最大值為何？請以科學記號

a \times 1 0^{n}

表示，其中

a

四捨五入至小數點後第二位。（計算題：6 分，請詳列計算過程，採分段給分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(2)

第 3 題(3)

第 4 題(2)(4)(5)

第 5 題(1)(3)(4)

第 6 題(1)(4)

第 7 題

121

第 8 題

11

第 9 題

6000000

第 10 題

3

第 11 題

12

第 12 題

7

第 13 題

332192807

第 14 題(5)

第 15 題(5)

第 16 題

4.64 \times 1 0^{- 6}

莫耳/公升

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～3 題：單選題

第 1 題答案 (1)。先數有幾週。2022 年 9 月 1 日到 12 月 31 日有

30 + 31 + 30 + 31 = 122

天，2023 年整年

365

天，2024 年 1 月 1 日到 24 日有

24

天，合計

122 + 365 + 24 = 511

天（9 月 1 日與 1 月 24 日頭尾兩天都算；兩個日期直接相減是

510

天），

511 \div 7 = 73

，剛好

73

週（星期四開始、星期三結束，也對得上）。每週變成前一週的

1.01

倍，

73

週後是

1.0 1^{73}

倍。用計算器得

1.0 1^{73} \approx 2.07

，最接近

2

。若只算成

72

週，

1.0 1^{72} \approx 2.05

，選的也是同一個選項。

用對數檢查：

lo g 1.01 \approx 0.00432

，

73 \times 0.00432 \approx 0.315

，而

lo g 2 \approx 0.301

、

lo g 5 \approx 0.699

，所以倍數比

2

大一點點，離

5

很遠。每週

1%

聽起來很少，一年多下來也只是變成兩倍左右。

第 2 題答案 (2)。取

a = 13

、

b = 10

：

lo g \frac{f _{13}}{f _{10}} = \frac{13 - 10}{12} \times lo g 2 = \frac{1}{4} lo g 2 = lo g 2^{\frac{1}{4}}

，所以

\frac{f _{13}}{f _{10}} = 2^{\frac{1}{4}}

。

2^{\frac{1}{4}} = 2 \approx 1.4142 \approx 1.189

，

f_{13} \approx 440 \times 1.189 \approx 523

赫茲，最接近

520

赫茲。

關係式的意思是每往右一個鍵，頻率乘上

2^{\frac{1}{12}}

；隔

12

個鍵頻率剛好變成

2

倍。這裡隔

3

個鍵，是乘上

2^{\frac{3}{12}}

，不是加上某個固定的數。

第 3 題答案 (3)。兩邊都是正數，取常用對數：

x lo g 5 = y lo g 2

，即

y = \frac{lo g 5}{lo g 2} x

。這是一條通過原點的直線。與原點距離

2022

的點在以原點為圓心、半徑

2022

的圓上；通過圓心的直線與圓恰交於兩點，所以點

P

有

2

個。

5^{x} = 2^{y}

看起來像曲線，取對數之後其實是直線。兩個交點一個在第一象限、一個在第三象限。

02第 4～6 題：多重選擇題

第 4 題答案 (2)(4)(5)。 (1) 錯：指數相加對應的是相乘，

2^{400} \times 2^{500} = 2^{900}

；而

2^{400} + 2^{500} < 2^{500} + 2^{500} = 2^{501}

，遠小於

2^{900}

。 (2) 對：

lo g 2^{400} + lo g 2^{500} = lo g (2^{400} \times 2^{500}) = lo g 2^{900}

。 (3) 錯：左邊是

400 lo g 2 \times 500 lo g 2 = 200000 (lo g 2)^{2} \approx 200000 \times 0.0906 \approx 18124

，右邊是

900 lo g 2 \approx 271

。 (4) 對：

lo g_{2} 400

與

lo g_{2} 500

是不相等的兩個正數，由算幾不等式

lo g_{2} 400 \times lo g_{2} 500 < \frac{lo g _{2} 400 + lo g _{2} 500}{2} = \frac{lo g _{2} 200000}{2} = lo g_{2} 200000

。而

45 0^{2} = 202500 > 200000

，所以

200000 < 450

，

lo g_{2} 200000 < lo g_{2} 450

。兩邊都是正數，平方後得

lo g_{2} 400 \times lo g_{2} 500 < (lo g_{2} 450)^{2}

。 (5) 對：左邊

= \frac{500 lo g 2}{400 lo g 2} = \frac{5}{4}

；右邊由換底公式

lo g_{2^{400}} 2^{500} = \frac{lo g 2 ^{500}}{lo g 2 ^{400}}

，就是左邊。

對數律只有「真數相乘 ↔ 對數相加」，沒有「對數相乘」的公式。(4) 用計算器直接算也可以：左邊約

8.644 \times 8.966 \approx 77.50

，右邊約

8.81 4^{2} \approx 77.68

，差距很小，所以用算幾不等式說明比較穩。

第 5 題答案 (1)(3)(4)。 (1) 對：

f (1) = t \times lo g 1 = 0

，與

t

無關。 (2) 錯：

lo g 110 < lo g 111

，但

t < 0

時乘上負數不等號反向，

f (110) > f (111)

；例如

t = - 1

。 (3) 對：因為

t \neq = 0

，解

t lo g x = 2022

得

lo g x = \frac{2022}{t}

，

x = 1 0^{\frac{2022}{t}}

，恰有一個正數解，所以恰有一個交點。 (4) 對：

t = 1

時

y = lo g x

，把

x

、

y

互換得

x = lo g y

，即

y = 1 0^{x}

，兩個圖形對稱於直線

y = x

。 (5) 錯：

\frac{f ( 110 ) + f ( 112 )}{2} = \frac{t}{2} lo g (110 \times 112) = \frac{t}{2} lo g 12320

，而

f (111) = \frac{t}{2} lo g 11 1^{2} = \frac{t}{2} lo g 12321

。

t > 0

時

\frac{t}{2} lo g 12320 < \frac{t}{2} lo g 12321

，不等號方向與選項相反。

(5) 的圖形意義：

t > 0

時

y = t lo g x

的圖形凹口向下，圖形上兩點連線的中點在圖形下方。(2) 沒有說

t

的正負，所以不能確定。

第 6 題答案 (1)(4)。

x

天後的重量是

10 \times 2^{\frac{x}{15}}

公斤；每公斤可燒

\frac{4}{3}

小時。 (1) 對：

30

天是兩個

15

天，

10 \times 2^{2} = 40

公斤。 (2) 錯：少了一開始的

10

公斤，應為

10 \times 2^{\frac{x}{15}}

。 (3) 錯：從

40

到

60

公斤是變成

1.5

倍，需要的天數

d

滿足

2^{\frac{d}{15}} = 1.5

。若

d = 7.5

，

2^{\frac{7.5}{15}} = 2 \approx 1.414 < 1.5

，只長到約

56.6

公斤，還不到

60

公斤（實際要

15 \times \frac{lo g 1.5}{lo g 2} \approx 8.8

天）。 (4) 對：

3

個月是

90

天，重量

10 \times 2^{6} = 640

公斤，可燒

640 \times \frac{4}{3} \approx 853.3

小時，超過

850

小時。 (5) 錯：

10000

小時需要

10000 \times \frac{3}{4} = 7500

公斤，

10 \times 2^{\frac{x}{15}} \geq 7500

即

2^{\frac{x}{15}} \geq 750

，

\frac{x}{15} \geq \frac{lo g 750}{lo g 2} \approx \frac{2.8751}{0.3010} \approx 9.551

，

x \geq 143.3

。所以第

144

天就夠了，不必等到

145

天。

(3) 是把指數成長當成等速成長：

15

天從

40

長到

80

，一半的時間並不會長一半的量。(5) 選項的

145

與正確的

144

只差一天，要算到小數才分得出來。

03第 7～10 題：填充題（一）

第 7 題和不能直接拆對數，先提公因數：

2^{400} + 2^{402} = 2^{400} (1 + 2^{2}) = 5 \times 2^{400}

。所以

lo g (2^{400} + 2^{402}) = lo g 5 + 400 lo g 2 \approx 0.6990 + 400 \times 0.3010 = 121.1

，四捨五入到整數位是

121

。

也可以寫成

5 \times 2^{400} = 10 \times 2^{399}

，對數是

1 + 399 lo g 2 \approx 121.1

。

第 8 題點在圖形上，

t = lo g_{2} s

，即

s = 2^{t}

。

t

是整數時，

t < 0

會讓

s = 2^{t}

成為分數，不是整數，所以

t \geq 0

。再由

s = 2^{t} \leq 2022

：

2^{10} = 1024 \leq 2022 < 2048 = 2^{11}

，所以

t = 0, 1, 2, \dots, 10

，共

11

個點。

t = 0

（點

(1, 0)

）要算進去；真數

s

必須是正數，所以不必考慮

s \leq 0

。

第 9 題設貸款金額

P

元。年利率增加

0.5%

，一年的利息增加

P \times 0.5%

，每個月增加

\frac{P \times 0.005}{12}

元。令它等於

2500

：

P = \frac{2500 \times 12}{0.005} = 6000000

元。

0.5%

是年利率，換成每月要除以

12

；

0.5% = 0.005

，不是

0.05

。

第 10 題真數要為正：

x > 0

且

15 - 2 x > 0

，即

0 < x < \frac{15}{2}

。右邊換成以

2

為底：

lo g_{4} (15 - 2 x) = \frac{lo g _{2} ( 15 - 2 x )}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} (15 - 2 x)

。方程式成為

2 lo g_{2} x = lo g_{2} (15 - 2 x)

，即

lo g_{2} x^{2} = lo g_{2} (15 - 2 x)

，所以

x^{2} = 15 - 2 x

，

x^{2} + 2 x - 15 = 0

，

(x + 5) (x - 3) = 0

。

x = - 5

不合

x > 0

，所以實根是

x = 3

。檢查：

lo g_{2} 3

與

lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3

相等。

x = - 5

代回

x^{2} = 15 - 2 x

是成立的，但

lo g_{2} (- 5)

沒有意義，要用真數條件去掉。

04第 11～13 題：填充題（二）

第 11 題

x

週後，

A

地的感染人數是

500 \times 3^{\frac{x}{2}}

，

B

地是

100 \times 2^{x}

。要

100 \times 2^{x} > 500 \times 3^{\frac{x}{2}}

，即

2^{x} > 5 \times 3^{\frac{x}{2}}

。兩邊取常用對數：

x lo g 2 > lo g 5 + \frac{x}{2} lo g 3

，

x (lo g 2 - \frac{1}{2} lo g 3) > lo g 5

。代入

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 5 \approx 0.6990

：

0.0625 x > 0.6990

，

x > 11.2

。所以最少

12

週後。檢查：第

12

週

A

地

500 \times 3^{6} = 364500

人、

B

地

100 \times 2^{12} = 409600

人，

B

地較多；第

10

週

A

地

500 \times 3^{5} = 121500

人、

B

地

102400

人，

A

地較多。

這裡把

A

地當成連續成長（第

x

週是

500 \times 3^{\frac{x}{2}}

人），第

11

週時

A

地約

210444

人、

B

地

204800

人，

B

地還沒超過，答案是

12

，與學校公布的答案相同。如果把

A

地看成「滿兩週才一次變成

3

倍」，第

11

週

A

地仍是

121500

人，

B

地在第

11

週就超過了；題目的指數模型取的是前一種看法。

第 12 題直線

y = x

的斜角是

4 5^{\circ}

，與它夾

4 5^{\circ}

的直線，斜角是

0^{\circ}

或

9 0^{\circ}

，也就是水平線或鉛直線。若

A B

是水平線，

A

、

B

的

y

坐標相同，

n = t

，與

n > t

不合。所以

A B

是鉛直線，

s = m

。此時

A (m, 2^{m})

、

B (m, lo g_{2} m)

，

m

是正整數（真數為正），

\overline{A B} = n - t = 2^{m} - lo g_{2} m

。

m = 6

：

64 - lo g_{2} 6 \approx 64 - 2.58 = 61.42

；

m = 7

：

128 - lo g_{2} 7 \approx 128 - 2.81 = 125.19

；

m = 8

：

256 - 3 = 253

。

m

越大

2^{m} - lo g_{2} m

越大，所以只有

m = 7

落在

120

與

130

之間。

2^{m}

每次加倍，而

lo g_{2} m

很小，所以先找

2^{m}

在

120

到

130

附近的

m

就只有

7

，再把對數的部分扣掉確認。

第 13 題

2^{n}

的個位數字是

2, 4, 8, 6

之一，不是

0

，所以

2^{n} - 1

與

2^{n}

的位數相同。一個正整數有

1

億位以上，表示它不小於

1 0^{99999999}

（最小的

1

億位數）。所以要

2^{n} \geq 1 0^{99999999}

，取常用對數：

n lo g 2 \geq 99999999

，

n \geq \frac{99999999}{lo g 2}

。用計算器的

lo g 2 \approx 0.3010299957

算得

\frac{99999999}{0.3010299957} \approx 332192806.2

，所以最小的整數

n = 332192807

。

1

億位數是

1 0^{99999999}

到

1 0^{100000000}

之間的數，指數是

99999999

不是

1 0^{8}

。這題的

lo g 2

要用計算器的完整位數：只取

0.3010

會得到約

332225911

，取

0.30103

會得到約

332192802

，都不對。

05第 14～16 題：混合題（嗅覺感知模型）

第 14 題答案 (5)。把表上三組數字代進去檢查，先代

S = 1 0^{- 6}

（應得

R = 0

）： (1)

5^{\frac{1 0 ^{- 6}}{100}} = 5^{1 0^{- 8}} \approx 1

，不是

0

（指數函數的值恆正，不可能是

0

）。 (2)

5^{\frac{1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 5}}} = 5^{0.1} \approx 1.17

，不是

0

。 (3)

lo g 1 0^{- 6} + 6 = 0

，符合；但

S = 1 0^{- 5}

時得

- 5 + 6 = 1

，不是

5

。 (4)

lo g 1 + 4 = 4

，不是

0

。 (5)

5 \times lo g 1 = 0

；

S = 1 0^{- 5}

時

5 \times lo g 10 = 5

；

S = 1 0^{- 4}

時

5 \times lo g 100 = 10

，三組都符合。

表上

S

每變成

10

倍，

R

就多

5

：刺激強度「乘」固定倍數、感覺強度「加」固定的量，這正是對數關係。

第 15 題答案 (5)。用第 14 題的模型

R = 5 lo g \frac{S}{1 0 ^{- 6}}

。

R = 5

時

lo g \frac{S _{1}}{1 0 ^{- 6}} = 1

；減半成

R = 2.5

時

lo g \frac{S _{2}}{1 0 ^{- 6}} = 0.5

。兩式相減：

lo g \frac{S _{2}}{S _{1}} = 0.5 - 1 = - 0.5

，所以

\frac{S _{2}}{S _{1}} = 1 0^{- 0.5} = \frac{1}{10} \approx 0.316

，最接近

0.3

。

感覺強度減半，濃度不是減半，而是要稀釋到原來的三成左右。稀釋後濃度變小，比值一定小於

1

，五個選項裡只有

0.3

小於

1

。

第 16 題仿照第 14 題，設模型為

R = k lo g \frac{S}{1 0 ^{- 7}}

（

S = 1 0^{- 7}

時

R = k lo g 1 = 0

，符合新的下限）。代入

S = 1 0^{- 6}

、

R = 6

：

6 = k lo g \frac{1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 7}} = k lo g 10 = k

，所以

k = 6

，模型是

R = 6 lo g \frac{S}{1 0 ^{- 7}}

。

k > 0

，

S

越大

R

越大，所以濃度最大發生在

R = 10

：

10 = 6 lo g \frac{S}{1 0 ^{- 7}}

，

lo g \frac{S}{1 0 ^{- 7}} = \frac{5}{3}

，

S = 1 0^{- 7} \times 1 0^{\frac{5}{3}} = 1 0^{- \frac{16}{3}}

。把指數拆成整數加上

0

到

1

之間的數：

- \frac{16}{3} = - 6 + \frac{2}{3}

，

S = 1 0^{\frac{2}{3}} \times 1 0^{- 6}

。

1 0^{\frac{2}{3}} = 3100 \approx 4.6416

，所以濃度的最大值約為

4.64 \times 1 0^{- 6}

莫耳/公升。

卷面答案欄的給分：寫出

R = 6 \times lo g \frac{S}{1 0 ^{- 7}}

得 3 分，算出濃度的最大值

4.64 \times 1 0^{- 6}

莫耳/公升得 3 分。科學記號的

a

要在

1

與

10

之間，所以不能停在

1 0^{- 5.33}

或寫成

0.464 \times 1 0^{- 5}

。

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