段考詳解範圍：弧度量與弧長、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、週期性現象（含數列的規律），以及平面上的比例（單點透視、黃金比例）

北一女中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 10 題，照原卷順序

多重選擇題 2 題（每題 10 分，每個選項 2 分，共 20 分）、填充題第 3 題到第 6 題（每題 5 分，共 20 分）、混合題組第 7 題到第 9 題（共 55 分，各小題配分印在題末）、挑戰題第 10 題（多選，共 5 分），合計 100 分。卷面註明可以自行判斷採用計算器為計算工具。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部相同；第 7 題 (1) 與第 8 題 (2) 的作圖學校沒有印出答案，本頁的圖為本站繪製。

一、多重選擇題（每題 10 分，每個選項 2 分，共 20 分）

下列哪些敘述是正確的？

(1) $π = 180$
(2) $\frac{π}{2} = 9 0^{\circ}$
(3) $15 0^{\circ} = \frac{5}{6} π$
(4) $π^{2} = 3240 0^{\circ}$
(5) $π^{\circ} \approx 3.14159 \dots$

下列哪些敘述是正確的？

(1) $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$
(2) $cos π = 0$
(3) $cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2}$
(4) $tan \frac{- 3 π}{4} = - 1$
(5) $tan \frac{π}{2} = 1$

二、填充題（每題 5 分，共 20 分）

課堂中老師由兔子切入介紹了費氏數列，並說明費氏數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足遞迴式

a_{1} = 1

，

a_{2} = 1

，

a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}

（

n > 2

）。小綠知道大自然裡隱藏有費氏數列後非常興奮，迫不及待買了一朵向日葵，認真數它右旋及左旋的數目：「居然真的符合費氏數列！」若小綠實際觀察之右旋及左旋數目皆界於

20 \sim 50

，求該朵向日葵可能之右旋或左旋數目為：____、____（兩解）。

某森林步道由入口處開始，路程每隔

10

公尺就裝飾一個十二生肖的大公仔，依次為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬，…。已知當初為討吉利，步道入口處（

0

公尺）處為生肖龍的雕像。若小綠想看到

7

次兔子，請問她至少要走多少路程？答：____公尺

如右圖，從最小的正方形開始，在其內部描繪出以正方形邊長為半徑的四分之一圓弧，同樣的作法延續到每一個正方形就會形成螺線，圖即為

5

個正方形所形成之螺線。已知最小的正方形邊長為

1

，試問，若以此類推持續增加正方形至共有

8

個正方形，則其能形成之螺線長度為：____

載入中...

已知

0 \leq x < π

，則不等式

sin 2 x \leq \frac{1}{2}

解的範圍為 ____。

三、混合題組（共 55 分）

(1) 左下圖為小綠所繪一長方體矮櫃之單點透視圖，試畫出其消失點。（5 分）　(2) 小綠製作水滴設計圖。已知圓

C

半徑為

3

，若圓

C

與兩直線

y = \pm x

相切，且其圓心在

y

軸上，則切點

A

坐標為：____。（5 分）　(3) 小綠設計 L 之字型時想使用黃金比例，已知

\overline{B C} = 5.25

，小綠欲調整

\overline{A B}

長度使

\frac{A B}{B C} = \frac{1 + 5}{2}

，則小綠應將

\overline{A B}

長度調整為：____。（四捨五入至小數點第二位）（5 分）（本頁把原卷的三張圖合成一張：左下是 (1) 的矮櫃，左上是 (2) 的水滴設計圖，右邊是 (3) 的 L 字型。）

載入中...

數 B 課程中，我們知道

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2

的函數圖形可從

y = sin x

圖形經過伸縮平移後得到。 (1) 請在答案卷上的表格中根據

3 x + \frac{π}{2}

的值填入相對應的

x

、

2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2

的值。（10 分）

3 x + \frac{π}{2} x 2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2 0 \frac{π}{2} π \frac{3 π}{2} 2 π

(2) 承上題，根據表中得到的五組

x

和

2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2

的值，在圖中標示對應到的點坐標，並畫出坐標平面範圍中的

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2

函數圖形（請務必在點的旁邊註明清楚坐標，函數圖形盡量畫完整）。（6 分）　(3) 函數

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2

的振幅和週期分別為何？（4 分）（答案卷上的表格已列在上方；原答案卷另印一張方格紙，橫軸標

\frac{π}{6}

與

\frac{π}{3}

、縱軸標

2

到

- 4

，本頁沒有重畫。）

小綠在上課時操作 desmos，將

f (x) = a sin (b x + c) + d

中

a

、

b

、

c

、

d

的滑桿隨意滑動後截出函數圖形（如下圖）傳給老師。　(1) 先觀察截圖中的函數，此函數的函數值最大值和最小值分別為何？（2 分）　(2) 此函數圖形的振幅和週期分別為何？（4 分）　(3) 若小綠滑動的

a

、

b

皆為正數，且圖中有一點

A

是從

y = sin x

圖形中的原點經過伸縮平移後的結果，則點

A

坐標為何？（2 分）　(4) 承上題，小綠滑動到的

a

、

b

、

c

、

d

分別是多少？（12 分）

載入中...

四、挑戰題（多選）（共 5 分）

海水的水位受到太陽、月球引力以及地球自轉的影響，每天早晚都各有一次水位的漲落，早稱之為潮，晚稱之為汐。海面上升達最高時，稱為滿潮（High water）；海面下降至最低時，稱為乾潮（Low water）。由乾潮至滿潮的期間，稱為漲潮（Flood）；而由滿潮至乾潮的期間，則稱為落「退」潮（Ebb）。自某一次滿潮至下一次滿潮，或由某一次乾潮至下一次乾潮的時間，稱為潮汐的週期（Period of tide）。滿潮與乾潮之海面高度差稱為潮差（Tidal range）。對事物充滿好奇的小綠，觀察某港口的水深（

y

公尺）與時間（

x

時）的關係，如下表。

時間（時） 水深（公尺） 0162104464810101612161410164184201022162416

聰明的小綠認為潮汐是週期變化，

x

與

y

的關係可用下面的式子表示：

y = a sin (b x + θ) + d

，其中

a > 0

，

d > 0

，

b > 0

，

0 \leq θ < 2 π

。依據小綠的推論與觀察的數據，下列哪些選項是正確的？

(1) 潮差超過 $12$ 公尺
(2) 潮汐的週期為 $10$ 小時
(3) 觀察當天約 $5$ 時港口處在乾潮
(4) $a = 43$
(5) 連續水深超過 $7$ 公尺的時間少於 $8$ 小時

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(3)

第 2 題(1)(3)

第 3 題

21

、

34

第 4 題

830

第 5 題

27 π

第 6 題

0 \leq x \leq \frac{π}{12}

或

\frac{5 π}{12} \leq x < π

第 7 題(1) 圖形見詳解（把向後退的四條稜延長，交會的那一點就是消失點）；(2)

(- \frac{3 2}{2}, - \frac{3 2}{2})

；(3)

8.49

第 8 題(1)

x

依序為

- \frac{π}{6}

、

0

、

\frac{π}{6}

、

\frac{π}{3}

、

\frac{π}{2}

，函數值依序為

- 2

、

0

、

- 2

、

- 4

、

- 2

；(2) 圖形見詳解；(3) 振幅

2

，週期

\frac{2 π}{3}

第 9 題(1) 最大值

5

，最小值

1

；(2) 振幅

2

，週期

4 π

；(3)

(\frac{π}{2}, 3)

；(4)

a = 2

，

b = \frac{1}{2}

，

c = - \frac{π}{4}

，

d = 3

第 10 題(1)(3)(4)(5)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1、2 題）：度與弳、弧度角的三角函數值

第 1 題答案 (2)(3)。角度沒有寫度的記號時，單位就是弳；換算的依據是

π

弳

= 18 0^{\circ}

。(1) 錯：等號右邊的

180

沒有度的記號，是

180

弳；而

π

只是一個約

3.14

的數，兩邊不相等。要寫成

π = 18 0^{\circ}

才對。(2) 對：

π

弳是

18 0^{\circ}

，一半就是

9 0^{\circ}

。(3) 對：

15 0^{\circ} = 150 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{6}

。(4) 錯：

π^{2}

弳是

π

個「

π

弳」，也就是

π \times 18 0^{\circ} \approx 565. 5^{\circ}

。

32400 = 18 0^{2}

是連單位一起平方，換算時只能把其中一個

π

換成

18 0^{\circ}

。(5) 錯：左邊

π^{\circ}

是大約

3.14

度的小角；右邊沒有度的記號，是

3.14159 \dots

弳，大約是

18 0^{\circ}

，兩邊差很多。

(5) 換成弳來比：

π^{\circ} = π \times \frac{π}{180} = \frac{π ^{2}}{180} \approx 0.0548

弳，不是

3.14159 \dots

弳。

第 2 題答案 (1)(3)。(1) 對：

\frac{π}{6} = 3 0^{\circ}

，

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(2) 錯：

π = 18 0^{\circ}

，終邊在

x

軸負向，單位圓上的點是

(- 1, 0)

，

cos π = - 1

。(3) 對：

\frac{5 π}{3} = 30 0^{\circ}

在第四象限，參考角

6 0^{\circ}

，餘弦為正，

cos \frac{5 π}{3} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(4) 錯：

- \frac{3 π}{4} = - 13 5^{\circ}

，終邊在第三象限，參考角

4 5^{\circ}

，第三象限的正切為正，所以

tan (- \frac{3 π}{4}) = 1

，不是

- 1

。(5) 錯：

\frac{π}{2} = 9 0^{\circ}

，終邊在

y

軸上，點的

x

坐標是

0

，正切值

\frac{y}{x}

沒有意義。

可以用計算器檢查：切到弧度模式（rad）再按，或先換成度再按。

02填充題（第 3～6 題）：費氏數列、十二個一循環、螺線的長度、正弦不等式

第 3 題照遞迴式一項一項往下寫，每一項是前兩項的和：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots

。介於

20

與

50

之間的項只有

21

與

34

（下一項

55

已經超過

50

），所以右旋、左旋的數目是

21

與

34

。

第 4 題入口

0

公尺是龍，之後每

10

公尺依序是蛇（

10

）、馬（

20

）、羊（

30

）、猴（

40

）、雞（

50

）、狗（

60

）、豬（

70

）、鼠（

80

）、牛（

90

）、虎（

100

）、兔（

110

）。所以第

1

隻兔子在

110

公尺處。十二生肖每

12

個重複一次，也就是每

120

公尺再出現一隻兔子。第

7

隻兔子在

110 + 6 \times 120 = 830

公尺處，至少要走

830

公尺。

從第

1

隻到第

7

隻只隔

6

個循環，乘的是

6

不是

7

。

第 5 題每一段都是四分之一圓弧，圓心角是

\frac{π}{2}

弳，半徑是該正方形的邊長

r

，弧長

= r \times \frac{π}{2}

。圖中

5

個正方形的邊長是

1, 1, 2, 3, 5

：新的正方形貼在前面所有正方形拼成的長方形的長邊上，邊長等於前兩個正方形邊長的和（

1 + 1 = 2

、

1 + 2 = 3

、

2 + 3 = 5

），正是費氏數列。再加三個正方形，邊長是

3 + 5 = 8

、

5 + 8 = 13

、

8 + 13 = 21

。

8

個正方形的邊長總和

= 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54

，螺線長度

= \frac{π}{2} \times 54 = 27 π

。

圖上畫的

5

個正方形的螺線長度是

\frac{π}{2} \times 12 = 6 π

。

第 6 題令

t = 2 x

。因為

0 \leq x < π

，所以

0 \leq t < 2 π

，剛好是

y = sin t

的一個週期。在這個範圍內

sin t = \frac{1}{2}

的角是

t = \frac{π}{6}

與

t = \frac{5 π}{6}

。看

y = sin t

的圖形與水平線

y = \frac{1}{2}

：圖形在

\frac{π}{6} < t < \frac{5 π}{6}

這一段高於水平線，其餘的部分都不高於水平線。所以

sin t \leq \frac{1}{2}

的範圍是

0 \leq t \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq t < 2 π

。把

t = 2 x

代回、各除以

2

：

0 \leq x \leq \frac{π}{12} 或 \frac{5 π}{12} \leq x < π

題目是「小於或等於」，

x = \frac{π}{12}

與

x = \frac{5 π}{12}

要含在內；右端

x = π

不在題目給的範圍，不含等號。代

x = \frac{π}{4}

檢查：

sin \frac{π}{2} = 1 > \frac{1}{2}

，確實不在解裡。

遇到

sin 2 x

這類式子，先把整個角換成一個新的文字並寫出它的範圍，在一個週期的圖形上解完，再換回

x

。

03混合題組（第 7 題）：消失點、圓的切點、黃金比例

第 7 題(1) 單點透視圖裡，正面的長方形照原樣畫，由前往後退的稜在實物上互相平行，畫在圖上會往同一點集中，那一點就是消失點。作法：把連接前面與後面的四條稜（左上、右上、右下三條實線，加上左下那條虛線）用直尺往後延長，四條延長線交於同一點，如附圖。在方格紙上，這一點是正面長方形右上角往右

2

格、往上

5.5

格的格線交點。實際作答時延長其中兩條就能定出交點，其餘兩條可以用來檢查。 (2) 圓心

M

在

y

軸上，圖中圓在原點下方，

A

是圓與直線

y = x

在第三象限的切點。直線

y = x

與

y

軸的夾角是

4 5^{\circ}

，所以

∠ A O M = 4 5^{\circ}

；半徑

\overline{M A}

垂直切線，

∠ O A M = 9 0^{\circ}

。三角形

O A M

是等腰直角三角形，

\overline{O A} = \overline{M A} = 3

。

A

在直線

y = x

上、在第三象限，設

A = (- s, - s)

（

s > 0

），由

\overline{O A} = s^{2} + s^{2} = 2 s = 3

得

s = \frac{3}{2} = \frac{3 2}{2}

。所以

A = (- \frac{3 2}{2}, - \frac{3 2}{2})

。 (3)

\overline{A B} = \overline{B C} \times \frac{1 + 5}{2} = 5.25 \times \frac{1 + 5}{2}

。用計算器：

\frac{1 + 5}{2} \approx 1.618034

，

5.25 \times 1.618034 \approx 8.4947

，四捨五入到小數點第二位是

8.49

。

載入中...

(2) 同一個等腰直角三角形也給出圓心：

\overline{O M} = 32

，

M = (0, - 32)

；另一個切點

B

與

A

對稱於

y

軸，

B = (\frac{3 2}{2}, - \frac{3 2}{2})

。(3) 原圖上標的

\overline{A B} = 8 \frac{1}{2}

是調整前的長度，

8.5 \div 5.25 \approx 1.619

，已經很接近黃金比例，調整後只少了不到

0.01

。

04混合題組（第 8、9 題）：五點作圖、由圖形決定係數

第 8 題(1) 由

3 x + \frac{π}{2}

的值解出

x

：

x = \frac{1}{3} (該值 - \frac{π}{2})

；再把

sin

的值乘

2

減

2

。

3 x + \frac{π}{2} x sin (3 x + \frac{π}{2}) 2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2 0 - \frac{π}{6} 0 - 2 \frac{π}{2} 010 π \frac{π}{6} 0 - 2 \frac{3 π}{2} \frac{π}{3} - 1 - 4 2 π \frac{π}{2} 0 - 2

（中間多列一行

sin

的值方便計算，答案卷只要填

x

與最後一列。） (2) 在坐標平面上標出五個點

(- \frac{π}{6}, - 2)

、

(0, 0)

、

(\frac{π}{6}, - 2)

、

(\frac{π}{3}, - 4)

、

(\frac{π}{2}, - 2)

，用平滑的曲線連起來，這是一個完整的週期；再照同樣的形狀往左、往右重複畫到方格紙的邊界，如附圖。 (3) 最大值

0

、最小值

- 4

，振幅

= \frac{0 - ( - 4 )}{2} = 2

。表中

x

從

- \frac{π}{6}

到

\frac{π}{2}

剛好走完一個週期，週期

= \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3}

。

載入中...

振幅就是

sin

前面的係數

2

；週期也可以直接用

\frac{2 π}{3}

（

x

的係數是

3

）。最高點在

x

軸上（

y = 0

），圖形整個在

x

軸下方或碰到

x

軸，這是後面的

- 2

把圖形往下移

2

的結果。

第 9 題(1) 由圖：最高點的高度是

5

，最低點的高度是

1

，所以最大值

5

、最小值

1

。 (2) 振幅

= \frac{5 - 1}{2} = 2

。相鄰兩個最低點在

x = - \frac{π}{2}

與

x = \frac{7 π}{2}

，相距

\frac{7 π}{2} - (- \frac{π}{2}) = 4 π

，週期是

4 π

。 (3)

y = sin x

的原點在圖形的中線上，而且圖形在那裡由左下往右上通過。

a

、

b

都是正數，伸縮時圖形不會上下或左右翻轉，所以

A

在中線

y = \frac{5 + 1}{2} = 3

上、圖形正在上升的地方，也就是最低點

x = - \frac{π}{2}

與下一個最高點

x = \frac{3 π}{2}

的正中間

x = \frac{π}{2}

。所以

A = (\frac{π}{2}, 3)

。 (4)

a > 0

，

a

等於振幅

2

；

d

是中線的高度

3

；

b > 0

，週期

\frac{2 π}{b} = 4 π

，

b = \frac{1}{2}

。原點對應的角度是

0

，所以在

A

點

b x + c = 0

：

\frac{1}{2} \times \frac{π}{2} + c = 0

，

c = - \frac{π}{4}

。所以

a = 2

、

b = \frac{1}{2}

、

c = - \frac{π}{4}

、

d = 3

。

檢查：

x = \frac{3 π}{2}

時

2 sin (\frac{3 π}{4} - \frac{π}{4}) + 3 = 2 sin \frac{π}{2} + 3 = 5

，是最高點；

x = 0

時

2 sin (- \frac{π}{4}) + 3 = 3 - 2 \approx 1.59

，與圖上

y

軸的交點相符。

c

加減

2 π

的整數倍圖形不變，但那時原點移過去的點會離

A

差

4 π

的整數倍、不在圖中，所以依 (3) 取

c = - \frac{π}{4}

。

正弦型函數先抓四個量：振幅、中線、週期、起點（原點移到哪裡）。振幅與中線由最高、最低的高度算，週期由相鄰兩個最高點或最低點的距離算。

05挑戰題（第 10 題）：用正弦函數描述潮汐

第 10 題答案 (1)(3)(4)(5)。先由數據把式子定出來。週期：表中的水深每隔

12

小時重複一次（

0

時到

10

時的六個數與

12

時到

22

時的六個數相同），也符合題幹說的每天早晚各一次漲落，週期是

12

，

b = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

。對稱：正弦型曲線上高度相同的相鄰兩點，正中間是最高點或最低點。

10

時與

12

時的水深都是

16

（表中最大的數），所以最高點在

x = 11

；

4

時與

6

時都是

4

，最低點在

x = 5

。最高點與最低點的正中間

x = 8

（以及

x = 2

）在中線上，表中這兩個時刻的水深都是

10

，所以

d = 10

。振幅：

x = 11

是最高點，角度

b x + θ

在那裡相當於

\frac{π}{2}

；

x = 10

早一小時，角度少

\frac{π}{6}

，相當於

\frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

。代入

x = 10

、

y = 16

：

a sin \frac{π}{3} + 10 = 16

，

a \times \frac{3}{2} = 6

，

a = \frac{12}{3} = 43 \approx 6.93

。 (1) 對：潮差

=

最高水深

-

最低水深

= 2 a = 83 \approx 13.86

公尺，超過

12

。(2) 錯：週期是

12

小時。(3) 對：最低點在

x = 5

（另一次在

x = 17

），約

5

時是乾潮。(4) 對：

a = 43

。(5) 對：以滿潮

x = 11

為中心看。

x = 7

比

x = 8

（中線）早一小時，角度相當於

- \frac{π}{6}

，水深

= 43 sin (- \frac{π}{6}) + 10 = 10 - 23 \approx 6.54

公尺，低於

7

；由對稱，

x = 15

的水深也是

6.54

公尺。

7

時到

11

時水位一路上升、

11

時到

15

時一路下降，所以水深超過

7

公尺的那一段時間完全落在

7

時與

15

時之間，長度少於

8

小時。

表中最大的數

16

不是滿潮的水深：滿潮發生在兩次觀察的中間（

11

時），水深是

10 + 43 \approx 16.93

公尺；同理乾潮水深是

10 - 43 \approx 3.07

公尺。只拿表中的

16 - 4 = 12

當潮差，(1) 就會判錯。

θ

也可以定出來：

x = 11

時

\frac{11 π}{6} + θ

與

\frac{π}{2}

是同界角，在

0 \leq θ < 2 π

內得

θ = \frac{2 π}{3}

，即

y = 43 sin (\frac{π}{6} x + \frac{2 π}{3}) + 10

；代

x = 0

得

43 \times \frac{3}{2} + 10 = 16

，與表相符。(5) 用計算器細算，每個週期裡水深超過

7

公尺的時間約

7.71

小時。

數據表不一定剛好量到最高點與最低點；先用「等高的兩點正中間是最高或最低點」找出對稱的位置，再代一組數據求振幅。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

北一女中 110 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 10 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要分清楚有沒有度的記號，沒有記號的數就是弳；第 6 題要先把兩倍角的範圍換成零到兩個圓周率，解完再除以二，右端不含等號；第 9 題的係數 c 要用原點移到哪一點來定，不是直接讀圖上的刻度；第 10 題表格裡最大的水深不是真正的滿潮水深，要先由對稱找出滿潮在十一時，再算出振幅。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 110 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

北一女中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 10 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 10 題，照原卷順序

一、多重選擇題（每題 10 分，每個選項 2 分，共 20 分）

下列哪些敘述是正確的？

(1) $π = 180$
(2) $\frac{π}{2} = 9 0^{\circ}$
(3) $15 0^{\circ} = \frac{5}{6} π$
(4) $π^{2} = 3240 0^{\circ}$
(5) $π^{\circ} \approx 3.14159 \dots$

下列哪些敘述是正確的？

(1) $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$
(2) $cos π = 0$
(3) $cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2}$
(4) $tan \frac{- 3 π}{4} = - 1$
(5) $tan \frac{π}{2} = 1$

二、填充題（每題 5 分，共 20 分）

課堂中老師由兔子切入介紹了費氏數列，並說明費氏數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足遞迴式

a_{1} = 1

，

a_{2} = 1

，

a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}

（

n > 2

20 \sim 50

，求該朵向日葵可能之右旋或左旋數目為：____、____（兩解）。

某森林步道由入口處開始，路程每隔

10

公尺就裝飾一個十二生肖的大公仔，依次為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬，…。已知當初為討吉利，步道入口處（

0

公尺）處為生肖龍的雕像。若小綠想看到

7

次兔子，請問她至少要走多少路程？答：____公尺

如右圖，從最小的正方形開始，在其內部描繪出以正方形邊長為半徑的四分之一圓弧，同樣的作法延續到每一個正方形就會形成螺線，圖即為

5

個正方形所形成之螺線。已知最小的正方形邊長為

1

，試問，若以此類推持續增加正方形至共有

8

個正方形，則其能形成之螺線長度為：____

載入中...

已知

0 \leq x < π

，則不等式

sin 2 x \leq \frac{1}{2}

解的範圍為 ____。

三、混合題組（共 55 分）

(1) 左下圖為小綠所繪一長方體矮櫃之單點透視圖，試畫出其消失點。（5 分）　(2) 小綠製作水滴設計圖。已知圓

C

半徑為

3

，若圓

C

與兩直線

y = \pm x

相切，且其圓心在

y

軸上，則切點

A

坐標為：____。（5 分）　(3) 小綠設計 L 之字型時想使用黃金比例，已知

\overline{B C} = 5.25

，小綠欲調整

\overline{A B}

長度使

\frac{A B}{B C} = \frac{1 + 5}{2}

，則小綠應將

\overline{A B}

載入中...

數 B 課程中，我們知道

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2

的函數圖形可從

y = sin x

圖形經過伸縮平移後得到。 (1) 請在答案卷上的表格中根據

3 x + \frac{π}{2}

的值填入相對應的

x

、

2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2

的值。（10 分）

3 x + \frac{π}{2} x 2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2 0 \frac{π}{2} π \frac{3 π}{2} 2 π

(2) 承上題，根據表中得到的五組

x

和

2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2

的值，在圖中標示對應到的點坐標，並畫出坐標平面範圍中的

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2

函數圖形（請務必在點的旁邊註明清楚坐標，函數圖形盡量畫完整）。（6 分）　(3) 函數

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2

的振幅和週期分別為何？（4 分）（答案卷上的表格已列在上方；原答案卷另印一張方格紙，橫軸標

\frac{π}{6}

與

\frac{π}{3}

、縱軸標

2

到

- 4

，本頁沒有重畫。）

小綠在上課時操作 desmos，將

f (x) = a sin (b x + c) + d

中

a

、

b

、

c

、

d

a

、

b

皆為正數，且圖中有一點

A

是從

y = sin x

圖形中的原點經過伸縮平移後的結果，則點

A

坐標為何？（2 分）　(4) 承上題，小綠滑動到的

a

、

b

、

c

、

d

分別是多少？（12 分）

載入中...

四、挑戰題（多選）（共 5 分）

y

公尺）與時間（

x

時）的關係，如下表。

時間（時） 水深（公尺） 0162104464810101612161410164184201022162416

聰明的小綠認為潮汐是週期變化，

x

與

y

的關係可用下面的式子表示：

y = a sin (b x + θ) + d

，其中

a > 0

，

d > 0

，

b > 0

，

0 \leq θ < 2 π

。依據小綠的推論與觀察的數據，下列哪些選項是正確的？

(1) 潮差超過 $12$ 公尺
(2) 潮汐的週期為 $10$ 小時
(3) 觀察當天約 $5$ 時港口處在乾潮
(4) $a = 43$
(5) 連續水深超過 $7$ 公尺的時間少於 $8$ 小時

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(3)

第 2 題(1)(3)

第 3 題

21

、

34

第 4 題

830

第 5 題

27 π

第 6 題

0 \leq x \leq \frac{π}{12}

或

\frac{5 π}{12} \leq x < π

第 7 題(1) 圖形見詳解（把向後退的四條稜延長，交會的那一點就是消失點）；(2)

(- \frac{3 2}{2}, - \frac{3 2}{2})

；(3)

8.49

第 8 題(1)

x

依序為

- \frac{π}{6}

、

0

、

\frac{π}{6}

、

\frac{π}{3}

、

\frac{π}{2}

，函數值依序為

- 2

、

0

、

- 2

、

- 4

、

- 2

；(2) 圖形見詳解；(3) 振幅

2

，週期

\frac{2 π}{3}

第 9 題(1) 最大值

5

，最小值

1

；(2) 振幅

2

，週期

4 π

；(3)

(\frac{π}{2}, 3)

；(4)

a = 2

，

b = \frac{1}{2}

，

c = - \frac{π}{4}

，

d = 3

第 10 題(1)(3)(4)(5)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1、2 題）：度與弳、弧度角的三角函數值

第 1 題答案 (2)(3)。角度沒有寫度的記號時，單位就是弳；換算的依據是

π

弳

= 18 0^{\circ}

。(1) 錯：等號右邊的

180

沒有度的記號，是

180

弳；而

π

只是一個約

3.14

的數，兩邊不相等。要寫成

π = 18 0^{\circ}

才對。(2) 對：

π

弳是

18 0^{\circ}

，一半就是

9 0^{\circ}

。(3) 對：

15 0^{\circ} = 150 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{6}

。(4) 錯：

π^{2}

弳是

π

個「

π

弳」，也就是

π \times 18 0^{\circ} \approx 565. 5^{\circ}

。

32400 = 18 0^{2}

是連單位一起平方，換算時只能把其中一個

π

換成

18 0^{\circ}

。(5) 錯：左邊

π^{\circ}

是大約

3.14

度的小角；右邊沒有度的記號，是

3.14159 \dots

弳，大約是

18 0^{\circ}

，兩邊差很多。

(5) 換成弳來比：

π^{\circ} = π \times \frac{π}{180} = \frac{π ^{2}}{180} \approx 0.0548

弳，不是

3.14159 \dots

弳。

第 2 題答案 (1)(3)。(1) 對：

\frac{π}{6} = 3 0^{\circ}

，

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(2) 錯：

π = 18 0^{\circ}

，終邊在

x

軸負向，單位圓上的點是

(- 1, 0)

，

cos π = - 1

。(3) 對：

\frac{5 π}{3} = 30 0^{\circ}

在第四象限，參考角

6 0^{\circ}

，餘弦為正，

cos \frac{5 π}{3} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(4) 錯：

- \frac{3 π}{4} = - 13 5^{\circ}

，終邊在第三象限，參考角

4 5^{\circ}

，第三象限的正切為正，所以

tan (- \frac{3 π}{4}) = 1

，不是

- 1

。(5) 錯：

\frac{π}{2} = 9 0^{\circ}

，終邊在

y

軸上，點的

x

坐標是

0

，正切值

\frac{y}{x}

沒有意義。

可以用計算器檢查：切到弧度模式（rad）再按，或先換成度再按。

02填充題（第 3～6 題）：費氏數列、十二個一循環、螺線的長度、正弦不等式

第 3 題照遞迴式一項一項往下寫，每一項是前兩項的和：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots

。介於

20

與

50

之間的項只有

21

與

34

（下一項

55

已經超過

50

），所以右旋、左旋的數目是

21

與

34

。

第 4 題入口

0

公尺是龍，之後每

10

公尺依序是蛇（

10

）、馬（

20

）、羊（

30

）、猴（

40

）、雞（

50

）、狗（

60

）、豬（

70

）、鼠（

80

）、牛（

90

）、虎（

100

）、兔（

110

）。所以第

1

隻兔子在

110

公尺處。十二生肖每

12

個重複一次，也就是每

120

公尺再出現一隻兔子。第

7

隻兔子在

110 + 6 \times 120 = 830

公尺處，至少要走

830

公尺。

從第

1

隻到第

7

隻只隔

6

個循環，乘的是

6

不是

7

。

第 5 題每一段都是四分之一圓弧，圓心角是

\frac{π}{2}

弳，半徑是該正方形的邊長

r

，弧長

= r \times \frac{π}{2}

。圖中

5

個正方形的邊長是

1, 1, 2, 3, 5

：新的正方形貼在前面所有正方形拼成的長方形的長邊上，邊長等於前兩個正方形邊長的和（

1 + 1 = 2

、

1 + 2 = 3

、

2 + 3 = 5

），正是費氏數列。再加三個正方形，邊長是

3 + 5 = 8

、

5 + 8 = 13

、

8 + 13 = 21

。

8

個正方形的邊長總和

= 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54

，螺線長度

= \frac{π}{2} \times 54 = 27 π

。

圖上畫的

5

個正方形的螺線長度是

\frac{π}{2} \times 12 = 6 π

。

第 6 題令

t = 2 x

。因為

0 \leq x < π

，所以

0 \leq t < 2 π

，剛好是

y = sin t

的一個週期。在這個範圍內

sin t = \frac{1}{2}

的角是

t = \frac{π}{6}

與

t = \frac{5 π}{6}

。看

y = sin t

的圖形與水平線

y = \frac{1}{2}

：圖形在

\frac{π}{6} < t < \frac{5 π}{6}

這一段高於水平線，其餘的部分都不高於水平線。所以

sin t \leq \frac{1}{2}

的範圍是

0 \leq t \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq t < 2 π

。把

t = 2 x

代回、各除以

2

：

0 \leq x \leq \frac{π}{12} 或 \frac{5 π}{12} \leq x < π

題目是「小於或等於」，

x = \frac{π}{12}

與

x = \frac{5 π}{12}

要含在內；右端

x = π

不在題目給的範圍，不含等號。代

x = \frac{π}{4}

檢查：

sin \frac{π}{2} = 1 > \frac{1}{2}

，確實不在解裡。

遇到

sin 2 x

這類式子，先把整個角換成一個新的文字並寫出它的範圍，在一個週期的圖形上解完，再換回

x

。

03混合題組（第 7 題）：消失點、圓的切點、黃金比例

2

格、往上

5.5

格的格線交點。實際作答時延長其中兩條就能定出交點，其餘兩條可以用來檢查。 (2) 圓心

M

在

y

軸上，圖中圓在原點下方，

A

是圓與直線

y = x

在第三象限的切點。直線

y = x

與

y

軸的夾角是

4 5^{\circ}

，所以

∠ A O M = 4 5^{\circ}

；半徑

\overline{M A}

垂直切線，

∠ O A M = 9 0^{\circ}

。三角形

O A M

是等腰直角三角形，

\overline{O A} = \overline{M A} = 3

。

A

在直線

y = x

上、在第三象限，設

A = (- s, - s)

（

s > 0

），由

\overline{O A} = s^{2} + s^{2} = 2 s = 3

得

s = \frac{3}{2} = \frac{3 2}{2}

。所以

A = (- \frac{3 2}{2}, - \frac{3 2}{2})

。 (3)

\overline{A B} = \overline{B C} \times \frac{1 + 5}{2} = 5.25 \times \frac{1 + 5}{2}

。用計算器：

\frac{1 + 5}{2} \approx 1.618034

，

5.25 \times 1.618034 \approx 8.4947

，四捨五入到小數點第二位是

8.49

。

載入中...

(2) 同一個等腰直角三角形也給出圓心：

\overline{O M} = 32

，

M = (0, - 32)

；另一個切點

B

與

A

對稱於

y

軸，

B = (\frac{3 2}{2}, - \frac{3 2}{2})

。(3) 原圖上標的

\overline{A B} = 8 \frac{1}{2}

是調整前的長度，

8.5 \div 5.25 \approx 1.619

，已經很接近黃金比例，調整後只少了不到

0.01

。

04混合題組（第 8、9 題）：五點作圖、由圖形決定係數

第 8 題(1) 由

3 x + \frac{π}{2}

的值解出

x

：

x = \frac{1}{3} (該值 - \frac{π}{2})

；再把

sin

的值乘

2

減

2

。

3 x + \frac{π}{2} x sin (3 x + \frac{π}{2}) 2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 2 0 - \frac{π}{6} 0 - 2 \frac{π}{2} 010 π \frac{π}{6} 0 - 2 \frac{3 π}{2} \frac{π}{3} - 1 - 4 2 π \frac{π}{2} 0 - 2

（中間多列一行

sin

的值方便計算，答案卷只要填

x

與最後一列。） (2) 在坐標平面上標出五個點

(- \frac{π}{6}, - 2)

、

(0, 0)

、

(\frac{π}{6}, - 2)

、

(\frac{π}{3}, - 4)

、

(\frac{π}{2}, - 2)

，用平滑的曲線連起來，這是一個完整的週期；再照同樣的形狀往左、往右重複畫到方格紙的邊界，如附圖。 (3) 最大值

0

、最小值

- 4

，振幅

= \frac{0 - ( - 4 )}{2} = 2

。表中

x

從

- \frac{π}{6}

到

\frac{π}{2}

剛好走完一個週期，週期

= \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3}

。

載入中...

振幅就是

sin

前面的係數

2

；週期也可以直接用

\frac{2 π}{3}

（

x

的係數是

3

）。最高點在

x

軸上（

y = 0

），圖形整個在

x

軸下方或碰到

x

軸，這是後面的

- 2

把圖形往下移

2

的結果。

第 9 題(1) 由圖：最高點的高度是

5

，最低點的高度是

1

，所以最大值

5

、最小值

1

。 (2) 振幅

= \frac{5 - 1}{2} = 2

。相鄰兩個最低點在

x = - \frac{π}{2}

與

x = \frac{7 π}{2}

，相距

\frac{7 π}{2} - (- \frac{π}{2}) = 4 π

，週期是

4 π

。 (3)

y = sin x

的原點在圖形的中線上，而且圖形在那裡由左下往右上通過。

a

、

b

都是正數，伸縮時圖形不會上下或左右翻轉，所以

A

在中線

y = \frac{5 + 1}{2} = 3

上、圖形正在上升的地方，也就是最低點

x = - \frac{π}{2}

與下一個最高點

x = \frac{3 π}{2}

的正中間

x = \frac{π}{2}

。所以

A = (\frac{π}{2}, 3)

。 (4)

a > 0

，

a

等於振幅

2

；

d

是中線的高度

3

；

b > 0

，週期

\frac{2 π}{b} = 4 π

，

b = \frac{1}{2}

。原點對應的角度是

0

，所以在

A

點

b x + c = 0

：

\frac{1}{2} \times \frac{π}{2} + c = 0

，

c = - \frac{π}{4}

。所以

a = 2

、

b = \frac{1}{2}

、

c = - \frac{π}{4}

、

d = 3

。

檢查：

x = \frac{3 π}{2}

時

2 sin (\frac{3 π}{4} - \frac{π}{4}) + 3 = 2 sin \frac{π}{2} + 3 = 5

，是最高點；

x = 0

時

2 sin (- \frac{π}{4}) + 3 = 3 - 2 \approx 1.59

，與圖上

y

軸的交點相符。

c

加減

2 π

的整數倍圖形不變，但那時原點移過去的點會離

A

差

4 π

的整數倍、不在圖中，所以依 (3) 取

c = - \frac{π}{4}

。

正弦型函數先抓四個量：振幅、中線、週期、起點（原點移到哪裡）。振幅與中線由最高、最低的高度算，週期由相鄰兩個最高點或最低點的距離算。

05挑戰題（第 10 題）：用正弦函數描述潮汐

第 10 題答案 (1)(3)(4)(5)。先由數據把式子定出來。週期：表中的水深每隔

12

小時重複一次（

0

時到

10

時的六個數與

12

時到

22

時的六個數相同），也符合題幹說的每天早晚各一次漲落，週期是

12

，

b = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

。對稱：正弦型曲線上高度相同的相鄰兩點，正中間是最高點或最低點。

10

時與

12

時的水深都是

16

（表中最大的數），所以最高點在

x = 11

；

4

時與

6

時都是

4

，最低點在

x = 5

。最高點與最低點的正中間

x = 8

（以及

x = 2

）在中線上，表中這兩個時刻的水深都是

10

，所以

d = 10

。振幅：

x = 11

是最高點，角度

b x + θ

在那裡相當於

\frac{π}{2}

；

x = 10

早一小時，角度少

\frac{π}{6}

，相當於

\frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

。代入

x = 10

、

y = 16

：

a sin \frac{π}{3} + 10 = 16

，

a \times \frac{3}{2} = 6

，

a = \frac{12}{3} = 43 \approx 6.93

。 (1) 對：潮差

=

最高水深

-

最低水深

= 2 a = 83 \approx 13.86

公尺，超過

12

。(2) 錯：週期是

12

小時。(3) 對：最低點在

x = 5

（另一次在

x = 17

），約

5

時是乾潮。(4) 對：

a = 43

。(5) 對：以滿潮

x = 11

為中心看。

x = 7

比

x = 8

（中線）早一小時，角度相當於

- \frac{π}{6}

，水深

= 43 sin (- \frac{π}{6}) + 10 = 10 - 23 \approx 6.54

公尺，低於

7

；由對稱，

x = 15

的水深也是

6.54

公尺。

7

時到

11

時水位一路上升、

11

時到

15

時一路下降，所以水深超過

7

公尺的那一段時間完全落在

7

時與

15

時之間，長度少於

8

小時。

表中最大的數

16

不是滿潮的水深：滿潮發生在兩次觀察的中間（

11

時），水深是

10 + 43 \approx 16.93

公尺；同理乾潮水深是

10 - 43 \approx 3.07

公尺。只拿表中的

16 - 4 = 12

當潮差，(1) 就會判錯。

θ

也可以定出來：

x = 11

時

\frac{11 π}{6} + θ

與

\frac{π}{2}

是同界角，在

0 \leq θ < 2 π

內得

θ = \frac{2 π}{3}

，即

y = 43 sin (\frac{π}{6} x + \frac{2 π}{3}) + 10

；代

x = 0

得

43 \times \frac{3}{2} + 10 = 16

，與表相符。(5) 用計算器細算，每個週期裡水深超過

7

公尺的時間約

7.71

小時。

數據表不一定剛好量到最高點與最低點；先用「等高的兩點正中間是最高或最低點」找出對稱的位置，再代一組數據求振幅。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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北一女中 110 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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每一題，錯在哪一步

01多重選擇題（第 1、2 題）：度與弳、弧度角的三角函數值

02填充題（第 3～6 題）：費氏數列、十二個一循環、螺線的長度、正弦不等式

03混合題組（第 7 題）：消失點、圓的切點、黃金比例

04混合題組（第 8、9 題）：五點作圖、由圖形決定係數

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北一女中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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