段考詳解範圍：三角函數（弧度量與扇形、三角函數的圖形與週期、圖形的伸縮與平移、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

北一女中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 110 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 110 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要先找出直線高度到正負 1 的位置，再一段一段數交點，最左邊的波谷剛好被直線切到兩點，答案是 7 個；第 9 題表上最大的讀數 16 不是最高水位，不能直接拿最大減最小當潮差；第 10 題的廣義角可以多轉幾圈，半角的餘弦正負都有可能；第 15 題限制範圍後最大值在端點，不是振幅加常數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

全卷 15 題，共 100 分：填充 5 格 30 分、單選 3 題 15 分、多重選擇 3 題 30 分、配合題 5 格 10 分、混合題 3 題 15 分。多重選擇各選項獨立判定：答錯 1 個選項得 8 分，錯 2 個得 6 分，錯 3 個得 4 分，錯 4 個得 2 分，未作答或全答錯得零分。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一. 填充題（每格 6 分，共 30 分）說明：第 1 至 5 題，每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣。

一扇形的半徑為

6

，且此扇形面積為

27

，則此扇形周長為

。

已知

0 \leq x < π

，則不等式

cos 2 x \leq \frac{1}{2}

解的範圍為

。

已知

△ A B C

中，

tan A = - \frac{12}{5}

，

sin B = \frac{4}{5}

，則

tan C

之值為

。

如圖(一)，圖中的方格都是正方形，其中

α, β

為斜線與鉛直線的夾角，則

\frac{cos ( α + β )}{sin ( α - β )}

之值為

。

載入中...

已知直線

M

過原點，且與直線

L : 4 x - 3 y + 2021 = 0

之夾角為

4 5^{\circ}

，則直線

M

的方程式為

。

二. 單選題（每題 5 分，共 15 分）說明：第 6 題至第 8 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確的選項。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或書寫多於一個選項者，該題以零分計算。

對於一個角的大小，我們可以用「弳」與「度」表示。請問下列五個選項的中位數是哪一個？

(1) $sin 1$
(2) $sin 2^{\circ}$
(3) $cos 3$
(4) $cos 4^{\circ}$
(5) $tan 5$

若

x

為實數，則

2 + 10 sin x = x

的解有幾個？

(1) $3$ 個
(2) $6$ 個
(3) $7$ 個
(4) $8$ 個
(5) 無限多個

下列四個函數中，週期為

π

的有幾個？　

y = tan x

，

y = sin (- 2 x)

，

y = ∣ sin x ∣

，

y = ∣ sin x + cos x ∣

(1) $0$ 個
(2) $1$ 個
(3) $2$ 個
(4) $3$ 個
(5) $4$ 個

三. 多重選擇（每題 10 分，共 30 分）

海水的水位受到太陽、月球引力以及地球自轉的影響，每天早晚都各有一次水位的漲落，早稱之為潮，晚稱之為汐。海面上升達最高時，稱為滿潮（High water）；海面下降至最低時，稱為乾潮（Low water）。由乾潮至滿潮的期間，稱為漲潮（Flood）；而由滿潮至乾潮的期間，則稱為落「退」潮（Ebb）。自某一次滿潮至下一次滿潮，或由某一次乾潮至下一次乾潮的時間，稱為潮汐的週期（Period of tide）。滿潮與乾潮之海面高度差稱為潮差（Tidal range）。對事物充滿好奇的小澄，觀察某港口的水深（

y

公尺）與時間（

x

時）的關係，如表(二)。表(二)：

時間（時） 水深（公尺） 00000001600002000010000040000400006000040000800001000001000001600

表(二)（續）：

時間（時） 水深（公尺） 0012000016000014000010000016000040000180000400002000001000002200001600002400001600

聰明的小澄認為潮汐是週期變化，

x

與

y

的關係可用下面的式子表示：

y = a sin (b x + θ) + d

，其中

a > 0

，

d > 0

，

b > 0

，

0 \leq θ < 2 π

。依據小澄的推論與觀察的數據，下列哪些選項是正確的？

(1) 潮差超過 $12$ 公尺
(2) 潮汐的週期為 $10$ 小時
(3) 觀察當天第一次乾潮約在上午 $5$ 時
(4) $a = 43$
(5) 連續水深超過 $7$ 公尺的時間少於 $8$ 小時

在坐標平面上，廣義角

θ

的頂點為原點

O

，始邊為

x

軸的正向，且滿足

tan θ = \frac{3}{4}

。若

θ

的終邊上有一點

P

，其

y

坐標為

- 12

，則下列哪些選項是正確的？

(1) $P$ 的 $x$ 坐標是 $- 16$
(2) $\overline{O P} = 20$
(3) $cos θ = - \frac{4}{5}$
(4) $sin 2 θ > 0$
(5) $cos \frac{θ}{2} < 0$

已知

x, y

為滿足下列函數定義域的實數，則下列哪些選項的敘述是正確的？

(1) $sin (x + y) = sin x + sin y$
(2) $tan \frac{x}{2} \cdot sin x \geq 0$
(3) 若 $sin 2 x = 2 sin x$ ，則 $cos x = 1$
(4) $cos 2 x \leq cos^{2} x$
(5) 若 $tan x \cdot tan y = 1$ ，則 $x + y = \frac{π}{2} + k π$ ， $k$ 為整數

四. 配合題（每格 2 分，共 10 分）

小逵利用 DESMOS 輸入以下入六個函數（公～良）， (公)

y = sin x

，(誠)

y = sin \frac{x - 2}{2}

，(勤)

y = sin (\frac{x}{2} - 2)

， (毅)

y = 2 + 2 sin x

，(溫)

y = sin 2 (x - 2)

，(良)

y = sin (2 x - 2)

得到函數所畫出的六條曲線，再用剪輯工具剪輯出部分圖形（禮～數），如圖(三)。請回答下列問題。 (1)

y = sin x

所對應的圖形為

。 (2)

y = 2 + 2 sin x

所對應的圖形為

。 (3)

y = sin \frac{x - 2}{2}

所對應的圖形為

。 (4) 將

y = sin x

的圖形水平平移

2

單位，再水平伸縮

\frac{1}{2}

倍（以

y

軸為基準）所對應的函數為

。 (5) 將

y = sin x

的圖形水平伸縮

2

倍（以

y

軸為基準），再水平平移

2

單位所對應的函數為

。

載入中...

五. 混合題（共 15 分）說明：本部分答案必須寫在「答題區」上。若因字跡潦草，未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法辨識，其後果由考生自行承擔。非選擇題必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分，每一題配分標於題末。

已知

0 \leq x < 2 π

，求

g (x) = cos^{2} x + sin x - 1

之最大值與最小值，並求其對應的

x

值。（6 分）

將

f (x) = cos x - 3 sin x + 110

表示成

r cos (x - θ) + d

的形式，其中

r > 0

，

d > 0

，

0 \leq θ < 2 π

，則

θ

的值為下列何者？（單選題，2 分）

(1) $\frac{5 π}{3}$
(2) $\frac{4 π}{3}$
(3) $\frac{2 π}{3}$
(4) $\frac{π}{3}$
(5) 以上皆非

承 14，若

0 \leq x \leq π

，求

f (x) = cos x - 3 sin x + 110

之最大值與最小值，並求其對應的

x

值。（7 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

21

第 2 題

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

第 3 題

\frac{16}{63}

第 4 題

5

第 5 題

7 x + y = 0

或

x - 7 y = 0

第 6 題(2)

第 7 題(3)

第 8 題(5)

第 9 題(1)(3)(4)(5)

第 10 題(1)(2)(3)(4)

第 11 題(2)(4)(5)

第 12 題(1) 射；(2) 禮；(3) 御；(4) 良；(5) 誠

第 13 題最大值

\frac{1}{4}

（

x = \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6}

）；最小值

- 2

（

x = \frac{3 π}{2}

）

第 14 題(1)

第 15 題最大值

111

（

x = 0

）；最小值

108

（

x = \frac{2 π}{3}

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～5 題：扇形、餘弦不等式、和差角公式

第 1 題設圓心角為

θ

（弳）。面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot θ = 18 θ = 27

，所以

θ = \frac{3}{2}

。弧長

r θ = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9

，周長是兩條半徑加一段弧：

6 + 6 + 9 = 21

。

也可以直接用「面積＝

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長」：

27 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot s

，弧長

s = 9

。

第 2 題令

t = 2 x

，

0 \leq x < π

時

0 \leq t < 2 π

。在這一圈裡

cos t = \frac{1}{2}

的角是

\frac{π}{3}

與

\frac{5 π}{3}

；由

y = cos t

的圖形，

cos t \leq \frac{1}{2}

的部分是

\frac{π}{3} \leq t \leq \frac{5 π}{3}

。除以

2

得

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

。

先把

2 x

的範圍寫出來再解，最後記得除以

2

；不等式含等號，兩個端點都要算進去。

第 3 題

tan A < 0

，所以

A

是鈍角，

B

一定是銳角：

cos B = \frac{3}{5}

，

tan B = \frac{4}{3}

。又

C = π - (A + B)

，所以

tan C = - tan (A + B)

。

tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = \frac{- \frac{12}{5} + \frac{4}{3}}{1 + \frac{12}{5} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{- \frac{16}{15}}{\frac{21}{5}} = - \frac{16}{63}

因此

tan C = \frac{16}{63}

。

sin B = \frac{4}{5}

本來有銳角、鈍角兩種可能；因為

A

已經是鈍角，

B

只能是銳角，

tan B

取正。

第 4 題把每個方格的邊長當作

1

。左邊的斜線從左上角往右

2

格、往下

1

格，它與鉛直線的夾角

α

滿足

tan α = \frac{2}{1} = 2

；右邊的斜線從右上角往左

3

格、往下

1

格，

tan β = \frac{3}{1} = 3

。分子分母用和差角公式展開，再同除以

cos α cos β

：

\frac{cos ( α + β )}{sin ( α - β )} = \frac{cos α cos β - sin α sin β}{sin α cos β - cos α sin β} = \frac{1 - tan α tan β}{tan α - tan β}

代入得

\frac{1 - 6}{2 - 3} = 5

。

夾角是對「鉛直線」量的，所以正切是「水平格數除以鉛直格數」，不是斜率。

第 5 題

L

的斜率是

\frac{4}{3}

。

M

若是鉛直線，與

L

的夾角不是

4 5^{\circ}

，所以設

M

的斜率為

m

。兩直線夾

4 5^{\circ}

（此時另一個夾角是

13 5^{\circ}

，正切的絕對值同為

1

）：

\frac{m - \frac{4}{3}}{1 + \frac{4}{3} m} = 1, ∣3 m - 4∣ = ∣3 + 4 m ∣

3 m - 4 = 3 + 4 m

得

m = - 7

；

3 m - 4 = - (3 + 4 m)

得

m = \frac{1}{7}

。

M

過原點，所以是

y = - 7 x

或

y = \frac{1}{7} x

，即

7 x + y = 0

或

x - 7 y = 0

。

與一條直線夾固定角度的方向有兩個（往兩邊各轉

4 5^{\circ}

），而且這兩條直線互相垂直：

(- 7) \cdot \frac{1}{7} = - 1

，可以用來檢查。

L

的常數項

2021

不影響斜率。

02第 6～8 題：弧度與度、交點個數、週期

第 6 題答案 (2)。沒有寫度的

1

、

3

、

5

是弧度。先分正負：

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 3 < π \approx 3.14

，

3

是第二象限角，

cos 3 < 0

；

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 5 < 2 π \approx 6.28

，

5

是第四象限角，

tan 5 < 0

。其餘三個是正的：

1

弳約

57. 3^{\circ}

，

cos 4^{\circ} = sin 8 6^{\circ}

，而正弦在銳角範圍遞增，所以

sin 2^{\circ} < sin 1 < cos 4^{\circ}

。五個數由小到大，前兩個是負的

cos 3

與

tan 5

，第三個就是正數裡最小的

sin 2^{\circ}

，它是中位數。

中位數是排在正中間（第三個）的數。兩個負數誰大誰小不影響答案（實際上

tan 5 \approx - 3.38

比

cos 3 \approx - 0.99

小）。

第 7 題答案 (3)。把方程式改寫成

sin x = \frac{x - 2}{10}

，數

y = sin x

與直線

y = \frac{x - 2}{10}

的交點。直線過

(2, 0)

；

x = 12

時高度是

1

，

x = - 8

時高度是

- 1

，所以交點只可能在

- 8 \leq x \leq 12

。直線在

x

軸上方的部分（

2 < x \leq 12

），正弦要是正的才可能相交。

2 < x < π

：正弦由

sin 2 > 0

降到

0

，直線由

0

往上，交

1

點。

2 π < x < 3 π

（

3 π \approx 9.42 < 12

）：直線的高度都小於

1

，正弦由

0

升到

1

再降回

0

，上升、下降各交

1

點，共

2

點。

3 π < x \leq 12

正弦是負的，沒有交點。直線在

x

軸下方的部分（

- 8 \leq x < 2

），正弦要是負的。

0 \leq x < 2

正弦不是負的，沒有。

- π < x < 0

：直線的高度在

- 0.52

與

- 0.2

之間，正弦由

0

降到

- 1

再升回

0

，交

2

點。

- 2 π \leq x \leq - π

正弦不是負的，沒有。

- 8 \leq x < - 2 π

：正弦的最低點在

x = - \frac{5 π}{2} \approx - 7.85

，落在這一段裡面。

x = - 8

時直線高度剛好是

- 1

，而

sin (- 8) > - 1

，正弦在直線上方；

x = - \frac{5 π}{2}

時正弦是

- 1

，直線高度約

- 0.985

，正弦在直線下方；

x = - 2 π

時正弦是

0

，又回到直線上方。所以這一段交

2

點。合計

1 + 2 + 2 + 2 = 7

個解。

先找出直線高度到

\pm 1

的位置（這裡是

x = 12

與

x = - 8

），範圍外一定沒有交點。最容易漏的是左端：

- 8

比正弦的最低點

- \frac{5 π}{2}

還左邊一點點，所以那個波谷與直線有兩個交點。

第 8 題答案 (5)。

y = tan x

的週期是

π

。

y = sin (- 2 x) = - sin 2 x

，週期

\frac{2 π}{2} = π

。

y = ∣ sin x ∣

把

sin x

在

x

軸下方的部分翻上來，因為

sin (x + π) = - sin x

，週期由

2 π

變成

π

。

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，加絕對值後週期同樣由

2 π

變成

π

。四個函數的週期都是

π

。

絕對值加在整個正弦函數外面，週期會減半。

03第 9～11 題：多重選擇

第 9 題答案 (1)(3)(4)(5)。先定出式子。表(二) 的水深每隔

12

小時重複一次（

16, 10, 4, 4, 10, 16

），取週期

12

：

\frac{2 π}{b} = 12

，

b = \frac{π}{6}

。

x

增加

6

時

b x

增加

π

，正弦變號，所以

f (x) + f (x + 6) = 2 d

；取

x = 0

：

16 + 4 = 2 d

，

d = 10

。

f (2) = 10

得

sin (\frac{π}{3} + θ) = 0

，在

0 \leq θ < 2 π

內

θ = \frac{2 π}{3}

或

\frac{5 π}{3}

；

f (0) = 16

得

a sin θ = 6 > 0

，所以

θ = \frac{2 π}{3}

，

a = 6 \div \frac{3}{2} = 43

。

y = 43 sin (\frac{π}{6} x + \frac{2 π}{3}) + 10

檢查：

x = 4

時

43 sin \frac{4 π}{3} + 10 = - 6 + 10 = 4

，與表相符。 (1) 對：潮差是最高減最低，等於

2 a = 83 \approx 13.86 > 12

。 (2) 錯：週期是

12

小時。 (3) 對：乾潮時正弦為

- 1

，

\frac{π}{6} x + \frac{2 π}{3} = \frac{3 π}{2}

，

x = 5

，當天第一次乾潮在上午

5

時。 (4) 對：

a = 43

。 (5) 對：水深超過

7

即

43 sin φ > - 3

，

sin φ > - \frac{3}{4} \approx - 0.433

（

φ

表示正弦裡面的角）。一個週期裡

sin φ > - \frac{1}{2}

的部分是

- \frac{π}{6} < φ < \frac{7 π}{6}

，占

\frac{4 π}{3} \div 2 π = \frac{2}{3}

個週期，也就是

8

小時；而

- \frac{3}{4} > - \frac{1}{2}

，條件更嚴，所以連續超過

7

公尺的時間比

8

小時短。

表上最大的讀數

16

不是最高水位：真正的滿潮在

x = 10

與

x = 12

的正中間，水深

10 + 43 \approx 16.9

公尺。如果把

16 - 4 = 12

當成潮差，(1) 與 (4) 都會判錯。另外，資料每

2

小時才一筆，這裡照題意取資料呈現的週期

12

。

第 10 題答案 (1)(2)(3)(4)。

tan θ > 0

，

θ

在第一或第三象限；終邊上的

P

點

y

坐標是負的，所以

θ

在第三象限。 (1) 對：

tan θ = \frac{y}{x} = \frac{- 12}{x} = \frac{3}{4}

，

x = - 16

。 (2) 對：

\overline{O P} = (- 16)^{2} + (- 12)^{2} = 400 = 20

。 (3) 對：

cos θ = \frac{- 16}{20} = - \frac{4}{5}

。 (4) 對：

sin θ = \frac{- 12}{20} = - \frac{3}{5}

，

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot (- \frac{3}{5}) (- \frac{4}{5}) = \frac{24}{25} > 0

。 (5) 錯：設

θ_{0}

是

π

與

\frac{3 π}{2}

之間、終邊相同的角，廣義角

θ = θ_{0} + 2 k π

（

k

為整數），

\frac{θ}{2} = \frac{θ _{0}}{2} + k π

。

\frac{θ _{0}}{2}

在

\frac{π}{2}

與

\frac{3 π}{4}

之間，是第二象限角；

k

為偶數時

cos \frac{θ}{2} < 0

，

k

為奇數時多轉半圈到第四象限，

cos \frac{θ}{2} > 0

。所以

cos \frac{θ}{2}

不一定是負的。

(5) 的反例：取

θ = θ_{0} - 2 π

（負角，終邊相同），它的一半在

- \frac{π}{2}

與

- \frac{π}{4}

之間，餘弦是正的，值為

\frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{10}

。

第 11 題答案 (2)(4)(5)。 (1) 錯：取

x = y = \frac{π}{2}

，左邊

sin π = 0

，右邊

1 + 1 = 2

。 (2) 對：用二倍角公式

sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}

，在

tan \frac{x}{2}

有定義（

cos \frac{x}{2} \neq = 0

）時，

tan \frac{x}{2} \cdot sin x = \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} \cdot 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} = 2 sin^{2} \frac{x}{2} \geq 0

。 (3) 錯：

sin 2 x = 2 sin x cos x

，條件成為

2 sin x (cos x - 1) = 0

，

sin x = 0

也可以；例如

x = π

時兩邊都是

0

，但

cos π = - 1

。 (4) 對：

cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x \leq cos^{2} x

。 (5) 對：

tan x tan y = 1

即

sin x sin y = cos x cos y

，所以

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y = 0

，

x + y = \frac{π}{2} + k π

（

k

為整數）。

(3) 把等式兩邊的

sin x

直接約掉，就會漏掉

sin x = 0

的情形。

04第 12 題：配合題

第 12 題先看六個函數的週期與高度：(公) 週期

2 π

、值在

- 1

與

1

之間；(毅) 週期

2 π

、值在

0

與

4

之間；(誠)(勤) 週期

4 π

；(溫)(良) 週期

π

。 (1) 圖(三) 中高度在

\pm 1

之間、波長居中的只有射，它是

y = sin x

。 (2)

y = 2 + 2 sin x

是把

y = sin x

鉛直伸縮

2

倍再向上平移

2

，最高到

4

、最低到

0

，而且最高點與

y = sin x

的最高點在同一個

x

；圖中遠高於其他曲線的是禮。 (3) 波長最長的兩條是御與樂。

y = sin \frac{x - 2}{2}

是

y = sin \frac{x}{2}

向右平移

2

；

y = sin (\frac{x}{2} - 2) = sin \frac{x - 4}{2}

是向右平移

4

。所以 (誠) 的圖形在 (勤) 的左邊

2

單位。再用射當尺：

y = sin x

的最高點在

x = \frac{π}{2} \approx 1.57

、接著在

x = π \approx 3.14

往下穿過中心線；(誠) 在

x = 2

往上穿過中心線，位置在這兩者之間。圖中符合的是細實線御（樂要到

x = 4

才往上穿過）。 (4) 向右平移

2

：

y = sin (x - 2)

；再水平伸縮

\frac{1}{2}

倍是把

x

換成

2 x

：

y = sin (2 x - 2)

，是良。 (5) 水平伸縮

2

倍是把

x

換成

\frac{x}{2}

：

y = sin \frac{x}{2}

；再向右平移

2

是把

x

換成

x - 2

：

y = sin \frac{x - 2}{2}

，是誠。

題目只寫「水平平移

2

單位」，沒有寫方向；六個函數裡只有向右平移的結果，所以取向右。先平移再伸縮與先伸縮再平移結果不同：(4) 的平移量跟著被壓成

1

（

sin (2 x - 2) = sin 2 (x - 1)

），(5) 的平移量仍是

2

。圖中剩下的兩條，書是 (良)、數是 (溫)、樂是 (勤)。

05第 13～15 題：混合題

第 13 題

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

，所以

g (x) = - sin^{2} x + sin x

。令

s = sin x

；

0 \leq x < 2 π

時

- 1 \leq s \leq 1

。

g = - s^{2} + s = - (s - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}

開口向下，

s = \frac{1}{2}

時有最大值

\frac{1}{4}

，此時

sin x = \frac{1}{2}

，

x = \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6}

。離

s = \frac{1}{2}

最遠的是

s = - 1

，最小值

- 1 - 1 = - 2

，此時

sin x = - 1

，

x = \frac{3 π}{2}

。

最大值對應的

x

有兩個，兩個都要寫；最小值要比較

s = - 1

與

s = 1

兩端（

s = 1

時

g = 0

）。

第 14 題答案 (1)。

r cos (x - θ) = r cos θ cos x + r sin θ sin x

，與

cos x - 3 sin x

比較係數：

r cos θ = 1

，

r sin θ = - 3

。平方相加得

r^{2} = 4

，

r = 2

；於是

cos θ = \frac{1}{2}

、

sin θ = - \frac{3}{2}

，

θ

在第四象限，

0 \leq θ < 2 π

內

θ = \frac{5 π}{3}

。所以

f (x) = 2 cos (x - \frac{5 π}{3}) + 110

，

d = 110

。

2 cos (x - \frac{5 π}{3})

與

2 cos (x + \frac{π}{3})

是同一個函數（角度差

2 π

）；題目規定

0 \leq θ < 2 π

，所以

θ

不能寫

- \frac{π}{3}

，也不是選項 (4) 的

\frac{π}{3}

。

第 15 題由第 14 題，

f (x) = 2 cos (x + \frac{π}{3}) + 110

。

0 \leq x \leq π

時

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} \leq \frac{4 π}{3}

。餘弦在

\frac{π}{3}

到

π

之間遞減、

π

到

\frac{4 π}{3}

之間遞增，所以最小值在

x + \frac{π}{3} = π

，即

x = \frac{2 π}{3}

，

f = 2 \cdot (- 1) + 110 = 108

。最大值比較兩端：左端

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

，右端

cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}

，左端較大，所以最大值在

x = 0

，

f = 2 \cdot \frac{1}{2} + 110 = 111

。

最大值不是

112

：

cos (x + \frac{π}{3}) = 1

要

x = \frac{5 π}{3}

，不在

0 \leq x \leq π

裡。限制範圍的極值一定要先寫出角度的範圍。

圖形題先把「一個週期有多長、中心線在哪裡」定下來；極值題先寫出角度或

sin x

的範圍，再看最高、最低落在範圍內還是端點。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要先找出直線高度到正負 1 的位置，再一段一段數交點，最左邊的波谷剛好被直線切到兩點，答案是 7 個；第 9 題表上最大的讀數 16 不是最高水位，不能直接拿最大減最小當潮差；第 10 題的廣義角可以多轉幾圈，半角的餘弦正負都有可能；第 15 題限制範圍後最大值在端點，不是振幅加常數。詳解逐題寫在本頁。

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北一女中 110 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01第 1～5 題：扇形、餘弦不等式、和差角公式

02第 6～8 題：弧度與度、交點個數、週期

03第 9～11 題：多重選擇

04第 12 題：配合題

05第 13～15 題：混合題

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高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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