段考詳解範圍：第一冊數與式

北一女中 110 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 110 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 110 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題有兩個式子不是實數、不在數線上；第 4 題選項 (5) 的值只能無限接近 8 而取不到，沒有最小值；第 11 題的解是兩段區間，長度要相加；第 14 題要把實際值的範圍往兩邊各放寬誤差 2，並注意端點含不含。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

第壹部分選擇與填充題：單選題 2 題（10 分）、多選題 3 題（30 分）、填充題 7 題（49 分）；第貳部分混合題或計算證明題 3 題（11 分：第 13 題 4 分、第 14 題 4 分、第 15 題 3 分）。卷面第壹部分的標題印作占 82 分，三個大題各自印的配分合計是 89 分，全卷合計 100 分。卷面第貳部分的說明寫共有 2 題組，實際是第 13～14 題一個題組加第 15 題。可使用指定機型的計算器。本頁題號與卷面題號相同。答案已與學校公布的答案逐題核對。

第壹部分、選擇與填充題（占 82 分）｜一、單選題（占 10 分）｜說明：第 1 題至第 2 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請在答案卷之「單選題答案區」作答。各題答對者，得 5 分；答錯或未作答者，該題以零分計算。

請問

3 - 210

、

\frac{1}{10}

、

(- 10)^{\frac{1}{2}}

、

lo g 10

、

1 0^{- \frac{1}{2}}

，在數線上代表多少個相異點？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $5$ 個

將

\frac{1}{7} + \frac{1}{3}

化成小數後，求小數點後第

2021

位數的數字？

(1) $4$
(2) $7$
(3) $1$
(4) $9$
(5) $0$

二、多選題（占 30 分）說明：第 3 題至第 5 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項在答案卷之「多選題答案區」作答。各題之選項獨立判定，每答對一個選項得 2 分；所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列選項何者正確？

(1) 若 $a, b, c, d$ 皆為實數，且 $a + bπ = c + d π$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$
(2) 無理數和有理數之間，至少存在一個無理數
(3) 若 $3 a + b$ 為有理數， $a - 2 b$ 為有理數，則 $a, b$ 皆為有理數
(4) 給定一個單位線段長，可用尺規作圖畫出 $\frac{110}{2021} + 1212$ 的線段長。
(5) $\frac{1}{43}$ 為一個不循環的無窮小數

已知

- 1 < x < 3

，

2 < y < 5

，下列選項何者正確？

(1) $9 < x + 5 y < 28$
(2) $- 8 < 3 x - y < 7$
(3) $2 < x^{2} y < 45$
(4) $\frac{- 1}{2} < \frac{x}{y} < \frac{3}{5}$
(5) $x y - x + y + 7$ 的最小值為 $8$

已知在數線上，設

A (a), B (b)

，且

a < b

，下列選項何者正確？

(1) 若點 $C (x)$ 在直線 $A B$ 上，且 $\overline{A C} : \overline{B C} = 1 : 1$ ，可知 $x = \frac{a + b}{2}$ 。
(2) 若點 $D (x)$ 在直線 $A B$ 上，且滿足 $∣ x - a ∣ = 2∣ x - b ∣$ ，可知 $x = \frac{2 b + a}{3}, 2 b - a$ 。
(3) 數線上五點 $A (a)$ 、 $B (b)$ 、 $P (\frac{3 a + b}{4})$ 、 $Q (\frac{2 a + 3 b}{5})$ 、 $R (\frac{- 2 a + 9 b}{7})$ ，且 $a < b$ ，可知 $A (a)$ 在數線的最左邊。
(4) 設數線上兩點 $C (\frac{a + b}{2})$ 、 $S (\frac{a + b}{3})$ ，若 $\overline{C S}$ 長度為 $10$ ，可知 $\overline{A B}$ 長度為 $60$ 。
(5) 設數線上有一點 $S (\frac{a + b}{3})$ ，若 $a < b < 2 a$ 時， $S$ 在 $A$ 的左方。

三、填充題（占 49 分）說明：1. 第 6 題至第 12 題，請將正確答案在答案卷之指定欄位處作答。2. 每一格 7 分，需完全答對才給分。

已知

a^{x} - a^{- x} = 22

，求

a^{3 x} - a^{- 3 x}

之值

已知

∣ a x - 5∣ < b

的解區間為

(- \frac{8}{3}, - \frac{2}{3})

，求數對

(a, b)

。

設

a = \frac{1}{2 10 - 6} + \frac{1}{2 10 + 6}

，

a

的小數部份為

b

，求

lo g (2 a + 4 b + \frac{4}{b})

之值。

已知

\frac{7 a 5 b}{36}

為一整數，且

7 a 5 b

為完全平方數，求

0. \overline{ab}

化為分數之值。

若

x, y

為實數，且

x + 3 y = 6

，則

1 0^{x} + 100 0^{y}

的最小值為何？

試求滿足

∣ x - 30∣ < 3∣ x - 50∣ < ∣ x + 30∣

的解，其區間長度為：

為了方便表示很大的整數，1976 年美國電腦科學家高德納(Donald Knuth)設計出一種箭號表示法用來表示很大的整數。其記錄方法如下：定義雙箭號

↑↑

為重複的冪運算：

a ↑↑ b = a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}

（共

b

個

a

）。例如：

5 ↑↑ 2 = 5^{5} = 3125

，

3 ↑↑ 3 = 3^{3^{3}} = 3^{27} = 7625597484987

。試求，

2 ↑↑ 5

是多少位數？

第貳部分、混合題或計算證明題（占 11 分）｜說明：本部分共有 2 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與填充題在欄位處作答。計算證明題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

13-14 題為題組（第 13～14 題）　疫情升溫，許多患者看似正常，血氧濃度卻已低到亮紅燈，民眾紛紛搶買血氧計，避免「快樂缺氧」（Happy Hypoxia）上身。正常來說，人體血氧濃度應高於

93%

，一旦低於

93%

就屬異常，低於

90%

就需以氧氣治療，低於

80%

恐損害器官功能。（摘錄自 2021.06.18 中央社報導）已知血氧飽和濃度

S p O_{2} %

的計算公式

S p O_{2} % = \frac{氧合血紅蛋白濃度 ( g / d L )}{血紅素濃度 ( g / d L )} \times 100%

市面上血氧計（含穿戴裝置的血氧計功能）測得之讀數為血氧飽和濃度

S p O_{2} %

的數據，其誤差為

\pm 2 (%)

。例：小綠在某天早上利用智慧錶測得血氧飽和濃度

S p O_{2} %

為

96%

，則其可能的血氧飽和濃度

S p O_{2} % = 96 \pm 2%

。

小綠在健檢時得知自己的血紅素濃度為

16 (g / d L)

。當氧合血紅蛋白濃度低於

x (g / d L)

時，就為異常狀態，因此小綠使用血氧計檢測得到

S p O_{2} %

的數據再進行換算。請問若為異常狀態

93%

時，

x

的範圍符合哪一個不等式？（單選題，4 分）

(1) $∣ x - 0.93∣ \leq 0.02$
(2) $∣ x - 93∣ \leq 2$
(3) $∣ x - 14.88∣ \leq 0.32$
(4) $∣ x - 14.88∣ \leq 3.2$

已知血氧飽和濃度會依所在海拔而遞減，當血氧飽和濃度小於

90%

時，會出現運動能力下降、嗜睡等症狀，小於

80%

會出現頭痛、呼吸困難等急性高山症症狀。小綠跟班上同學去登山，發現自己出現運動能力下降、嗜睡，但並未出現頭痛、呼吸困難等症狀。請問小綠此時使用智慧穿戴裝置的血氧計功能檢驗，可能檢測出的血氧飽和濃度

S p O_{2} %

範圍若為

x %

，在考慮其誤差值的情況下，求

x

的範圍？（填充題，以區間符號代表，4 分）。

已知

34

為無理數，試證明

32

為無理數。（計算證明題，3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(2)(3)(4)

第 4 題(1)(2)

第 5 題(1)(2)(3)(5)

第 6 題

222

第 7 題

(- 3, 3)

第 8 題

\frac{3}{2}

第 9 題

\frac{2}{33}

第 10 題

2000

第 11 題

45

第 12 題

19729

第 13 題(3)

第 14 題

[78, 92)

第 15 題證明見詳解

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：哪些數在數線上、循環小數的第 2021 位

第 1 題答案 (2)。數線上的點都是實數，逐個看。

3 - 210

：

210 = 40 > 9 = 3

，根號裡面是負數，不是實數，不在數線上。

(- 10)^{\frac{1}{2}}

：分數指數的底數要是正數，這個式子沒有意義（照根式看就是

- 10

，也不是實數），不在數線上。

\frac{1}{10}

與

1 0^{- \frac{1}{2}}

：

1 0^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{1 0 ^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{10}

，是同一個點，約

0.316

。

lo g 10 = lo g 1 0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

。

\frac{1}{10} \neq = \frac{1}{2}

（因為

10 \neq = 2

），所以數線上共有

2

個相異點。

五個式子裡有兩個不是實數、另有兩個相等，剩下兩個點。

第 2 題答案 (4)。

\frac{1}{7} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 7}{21} = \frac{10}{21}

。直式除法得

\frac{10}{21} = 0. \overline{476190}

，循環節有

6

位。

2021 = 6 \times 336 + 5

，所以第

2021

位和第

5

位相同，循環節

4, 7, 6, 1, 9, 0

的第

5

個數字是

9

。

也可以分開看：

\frac{1}{7} = 0. \overline{142857}

、

\frac{1}{3} = 0. \overline{333333}

，逐位相加

142857 + 333333 = 476190

，沒有進位到循環節外。

02多選 3～5：有理數與無理數、不等式的範圍、數線上的分點

第 3 題答案 (2)(3)(4)。(1) 錯：要

a, b, c, d

都是有理數才能比較係數。反例：

a = π

、

b = 0

、

c = 0

、

d = 1

，兩邊都是

π

，但

a \neq = c

。(2) 對：設無理數

s

與有理數

r

，取中點

m = \frac{s + r}{2}

，它在兩數之間；如果

m

是有理數，則

s = 2 m - r

也是有理數，矛盾，所以

m

是無理數。(3) 對：

2 (3 a + b) + (a - 2 b) = 7 a

是有理數，所以

a

是有理數；

b = (3 a + b) - 3 a

也是有理數。(4) 對：有理數長度

\frac{110}{2021}

可以用平行線等分線段作出；

1212 = 243

，

3

可用直角三角形作出（斜邊

2

、一股

1

，另一股就是

3

），再接

24

段；兩段接在同一直線上就是所求的長。(5) 錯：

\frac{1}{43}

是有理數，有理數化成小數不是有限小數就是循環小數；分母

43

有

2

、

5

以外的質因數，所以它是循環的無窮小數。

(1) 的結論要在「係數都是有理數」時才成立，題目寫的是實數。

第 4 題答案 (1)(2)。(1) 對：

10 < 5 y < 25

，與

- 1 < x < 3

相加得

9 < x + 5 y < 28

。(2) 對：

- 3 < 3 x < 9

，

- 5 < - y < - 2

，相加得

- 8 < 3 x - y < 7

。(3) 錯：

x

可以是

0

，此時

x^{2} y = 0

，不大於

2

；正確的範圍是

0 \leq x^{2} y < 45

。(4) 錯：取

x = 2.9

、

y = 2.1

，

\frac{x}{y} \approx 1.38 > \frac{3}{5}

；正確的範圍是

- \frac{1}{2} < \frac{x}{y} < \frac{3}{2}

。(5) 錯：

x y - x + y + 7 = (x + 1) (y - 1) + 8

，其中

0 < x + 1 < 4

、

1 < y - 1 < 4

，所以

(x + 1) (y - 1) > 0

，原式一定大於

8

，取不到

8

，沒有最小值。

(3)(4) 的

x

有正有負，不能直接把兩端相乘或相除；(4) 的上界要用最大的

x

配最小的

y

。

第 5 題答案 (1)(2)(3)(5)。(1) 對：

\overline{A C} = \overline{B C}

表示

C

到

A

、

B

等距離，

A

、

B

是相異兩點，直線上只有中點符合，

x = \frac{a + b}{2}

。(2) 對：

x - a = 2 (x - b)

得

x = 2 b - a

；

x - a = - 2 (x - b)

得

3 x = a + 2 b

，

x = \frac{2 b + a}{3}

。(3) 對：令

d = b - a > 0

，則

P = a + \frac{d}{4}

、

Q = a + \frac{3 d}{5}

、

R = \frac{- 2 a + 9 b}{7} = a + \frac{9 d}{7}

、

B = a + d

，四個點都在

A

的右邊。(4) 錯：

\overline{C S} = \frac{a + b}{2} - \frac{a + b}{3} = \frac{∣ a + b ∣}{6} = 10

，只能得到

∣ a + b ∣ = 60

，而

\overline{A B} = b - a

不能確定；例如

a = 10

、

b = 50

時

\overline{C S} = 10

，但

\overline{A B} = 40

。(5) 對：

\frac{a + b}{3} - a = \frac{b - 2 a}{3}

，由

b < 2 a

知它是負的，所以

S

在

A

的左方。

(4) 的

C

、

S

坐標都只和

a + b

有關，和

b - a

無關。

03填充 6～9：對稱式、反推絕對值不等式、小數部分與 log、完全平方數

第 6 題令

t = a^{x}

，則

a^{- x} = \frac{1}{t}

，已知

t - \frac{1}{t} = 22

。由乘法公式

(t - \frac{1}{t})^{3} = t^{3} - \frac{1}{t ^{3}} - 3 (t - \frac{1}{t})

，所以

a^{3 x} - a^{- 3 x} = t^{3} - \frac{1}{t ^{3}} = (22)^{3} + 3 \times 22 = 162 + 62 = 222

。

差的立方展開後，移項時是「加」

3 (t - \frac{1}{t})

。

第 7 題解是有限的區間，所以

b > 0

且

a \neq = 0

。

∣ a x - 5∣ < b

即

5 - b < a x < 5 + b

。區間的中點是

\frac{1}{2} (- \frac{8}{3} - \frac{2}{3}) = - \frac{5}{3}

，它對應

a x = 5

，所以

a \cdot (- \frac{5}{3}) = 5

，

a = - 3

。再把端點

x = - \frac{2}{3}

代入

∣ a x - 5∣ = b

：

∣2 - 5∣ = 3

，所以

b = 3

。檢查：

∣ - 3 x - 5∣ < 3

即

- 3 < 3 x + 5 < 3

，

- \frac{8}{3} < x < - \frac{2}{3}

，符合。數對

(a, b) = (- 3, 3)

。

a

是負的；除以負數時不等號要反向，所以用中點與端點來定比較不會錯。

第 8 題通分：

a = \frac{( 2 10 + 6 ) + ( 2 10 - 6 )}{( 2 10 ) ^{2} - 6 ^{2}} = \frac{4 10}{40 - 36} = 10

。

9 < 10 < 16

，所以

3 < 10 < 4

，小數部分

b = 10 - 3

。

\frac{4}{b} = \frac{4}{10 - 3} = \frac{4 ( 10 + 3 )}{10 - 9} = 410 + 12

。所以

2 a + 4 b + \frac{4}{b} = 210 + (410 - 12) + (410 + 12) = 1010 = 1 0^{\frac{3}{2}}

，

lo g 1 0^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}

。

第 9 題

7 a 5 b

是千位為

7

、十位為

5

的四位數，介於

7000

與

8000

之間。

8 3^{2} = 6889

、

9 0^{2} = 8100

，所以只要看

8 4^{2} = 7056

、

8 5^{2} = 7225

、

8 6^{2} = 7396

、

8 7^{2} = 7569

、

8 8^{2} = 7744

、

8 9^{2} = 7921

，其中十位數字是

5

的只有

7056

。再檢查

7056 \div 36 = 196

是整數，符合。所以

a = 0

、

b = 6

，

0. \overline{ab} = 0. \overline{06} = \frac{6}{99} = \frac{2}{33}

。

循環節兩位，分母是

99

；

a = 0

也要算進循環節。

04填充 10～12：算幾不等式、絕對值不等式、位數

第 10 題

100 0^{y} = 1 0^{3 y}

。

1 0^{x}

與

1 0^{3 y}

都是正數，由算幾不等式

\frac{1 0 ^{x} + 1 0 ^{3 y}}{2} \geq 1 0^{x} \cdot 1 0^{3 y} = 1 0^{x + 3 y} = 1 0^{6} = 1000

，所以

1 0^{x} + 100 0^{y} \geq 2000

。等號成立在

1 0^{x} = 1 0^{3 y}

，即

x = 3 y = 3

（

x = 3

、

y = 1

），確實取得到，最小值為

2000

。

兩項的乘積是定值

1 0^{6}

，才能用算幾不等式求和的最小值。

第 11 題拆成兩個不等式分段討論。先解

∣ x - 30∣ < 3∣ x - 50∣

：

x < 30

時

30 - x < 150 - 3 x

，得

x < 60

，這一段全部成立；

30 \leq x < 50

時

x - 30 < 150 - 3 x

，得

x < 45

；

x \geq 50

時

x - 30 < 3 x - 150

，得

x > 60

。所以

x < 45

或

x > 60

。再解

3∣ x - 50∣ < ∣ x + 30∣

：

x < - 30

時

150 - 3 x < - x - 30

，得

x > 90

，不合；

- 30 \leq x < 50

時

150 - 3 x < x + 30

，得

x > 30

；

x \geq 50

時

3 x - 150 < x + 30

，得

x < 90

。所以

30 < x < 90

。兩者同時成立：

30 < x < 45

或

60 < x < 90

，區間長度合計

15 + 30 = 45

。

解是兩段分開的區間，長度要加起來。

第 12 題照定義由最上面算下來：

2 ↑↑ 5 = 2^{2^{2^{2^{2}}}}

，

2^{2} = 4

，

2^{4} = 16

，

2^{16} = 65536

，所以

2 ↑↑ 5 = 2^{65536}

。用計算器得

lo g 2 \approx 0.30103

，即

2 \approx 1 0^{0.30103}

，

65536 \times 0.30103 \approx 19728.30

，所以

2^{65536} \approx 1 0^{19728.30}

，介於

1 0^{19728}

與

1 0^{19729}

之間，是

19729

位數。

指數塔要從最上層往下算，不是由下往上；

1 0^{19728}

本身就是

19729

位數。

05混合題或計算證明題 13～15：血氧計的誤差、反證法

第 13 題答案 (3)。先說明讀法：異常的界線是血氧計讀數

93%

，把血氧計的誤差

\pm 2%

算進去，再換算成氧合血紅蛋白濃度，看界線

x

會落在哪個範圍。讀數為

93%

、誤差

\pm 2%

，所以實際的血氧飽和濃度在

91%

到

95%

之間。由公式，氧合血紅蛋白濃度＝血紅素濃度

\times S p O_{2} %

，血紅素濃度是

16

，所以

16 \times 0.91 \leq x \leq 16 \times 0.95

，即

14.56 \leq x \leq 15.2

。中點是

\frac{14.56 + 15.2}{2} = 14.88

（也就是

16 \times 0.93

），半寬是

15.2 - 14.88 = 0.32

（也就是

16 \times 0.02

），寫成

∣ x - 14.88∣ \leq 0.32

。

選項 (1)(2) 是

S p O_{2} %

本身的範圍，不是氧合血紅蛋白濃度；誤差也要一起乘上

16

。

第 14 題小綠出現小於

90%

的症狀、沒有出現小於

80%

的症狀，所以實際的血氧飽和濃度

s

滿足

80 \leq s < 90

。血氧計的讀數

x

與實際值最多差

2

，即

s - 2 \leq x \leq s + 2

。最小可以到

80 - 2 = 78

（取得到）；最大要小於

90 + 2 = 92

（取不到）。所以

x

的範圍是

[78, 92)

。

左端含等號、右端不含，是因為實際值可以等於

80

、不可以等於

90

。

第 15 題用反證法。假設

32

是有理數，設

32 = p

，

p

為有理數。則

34 = 32 \times 32 = p^{2}

。有理數相乘還是有理數，所以

34

是有理數，這和已知「

34

為無理數」矛盾。所以假設不成立，

32

為無理數。

反證法的三步：先假設結論不成立、推出和已知矛盾、所以原結論成立。關鍵是

34 = (32)^{2}

。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

北一女中 110 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 110 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題有兩個式子不是實數、不在數線上；第 4 題選項 (5) 的值只能無限接近 8 而取不到，沒有最小值；第 11 題的解是兩段區間，長度要相加；第 14 題要把實際值的範圍往兩邊各放寬誤差 2，並注意端點含不含。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

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題目取自北一女中 110 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：第一冊數與式

北一女中 110 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

請問

3 - 210

、

\frac{1}{10}

、

(- 10)^{\frac{1}{2}}

、

lo g 10

、

1 0^{- \frac{1}{2}}

，在數線上代表多少個相異點？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $5$ 個

將

\frac{1}{7} + \frac{1}{3}

化成小數後，求小數點後第

2021

位數的數字？

(1) $4$
(2) $7$
(3) $1$
(4) $9$
(5) $0$

下列選項何者正確？

(1) 若 $a, b, c, d$ 皆為實數，且 $a + bπ = c + d π$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$
(2) 無理數和有理數之間，至少存在一個無理數
(3) 若 $3 a + b$ 為有理數， $a - 2 b$ 為有理數，則 $a, b$ 皆為有理數
(4) 給定一個單位線段長，可用尺規作圖畫出 $\frac{110}{2021} + 1212$ 的線段長。
(5) $\frac{1}{43}$ 為一個不循環的無窮小數

已知

- 1 < x < 3

，

2 < y < 5

，下列選項何者正確？

(1) $9 < x + 5 y < 28$
(2) $- 8 < 3 x - y < 7$
(3) $2 < x^{2} y < 45$
(4) $\frac{- 1}{2} < \frac{x}{y} < \frac{3}{5}$
(5) $x y - x + y + 7$ 的最小值為 $8$

已知在數線上，設

A (a), B (b)

，且

a < b

，下列選項何者正確？

(1) 若點 $C (x)$ 在直線 $A B$ 上，且 $\overline{A C} : \overline{B C} = 1 : 1$ ，可知 $x = \frac{a + b}{2}$ 。
(2) 若點 $D (x)$ 在直線 $A B$ 上，且滿足 $∣ x - a ∣ = 2∣ x - b ∣$ ，可知 $x = \frac{2 b + a}{3}, 2 b - a$ 。
(3) 數線上五點 $A (a)$ 、 $B (b)$ 、 $P (\frac{3 a + b}{4})$ 、 $Q (\frac{2 a + 3 b}{5})$ 、 $R (\frac{- 2 a + 9 b}{7})$ ，且 $a < b$ ，可知 $A (a)$ 在數線的最左邊。
(4) 設數線上兩點 $C (\frac{a + b}{2})$ 、 $S (\frac{a + b}{3})$ ，若 $\overline{C S}$ 長度為 $10$ ，可知 $\overline{A B}$ 長度為 $60$ 。
(5) 設數線上有一點 $S (\frac{a + b}{3})$ ，若 $a < b < 2 a$ 時， $S$ 在 $A$ 的左方。

三、填充題（占 49 分）說明：1. 第 6 題至第 12 題，請將正確答案在答案卷之指定欄位處作答。2. 每一格 7 分，需完全答對才給分。

已知

a^{x} - a^{- x} = 22

，求

a^{3 x} - a^{- 3 x}

之值

已知

∣ a x - 5∣ < b

的解區間為

(- \frac{8}{3}, - \frac{2}{3})

，求數對

(a, b)

。

設

a = \frac{1}{2 10 - 6} + \frac{1}{2 10 + 6}

，

a

的小數部份為

b

，求

lo g (2 a + 4 b + \frac{4}{b})

之值。

已知

\frac{7 a 5 b}{36}

為一整數，且

7 a 5 b

為完全平方數，求

0. \overline{ab}

化為分數之值。

若

x, y

為實數，且

x + 3 y = 6

，則

1 0^{x} + 100 0^{y}

的最小值為何？

試求滿足

∣ x - 30∣ < 3∣ x - 50∣ < ∣ x + 30∣

的解，其區間長度為：

為了方便表示很大的整數，1976 年美國電腦科學家高德納(Donald Knuth)設計出一種箭號表示法用來表示很大的整數。其記錄方法如下：定義雙箭號

↑↑

為重複的冪運算：

a ↑↑ b = a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}

（共

b

個

a

）。例如：

5 ↑↑ 2 = 5^{5} = 3125

，

3 ↑↑ 3 = 3^{3^{3}} = 3^{27} = 7625597484987

。試求，

2 ↑↑ 5

是多少位數？

93%

，一旦低於

93%

就屬異常，低於

90%

就需以氧氣治療，低於

80%

恐損害器官功能。（摘錄自 2021.06.18 中央社報導）已知血氧飽和濃度

S p O_{2} %

的計算公式

S p O_{2} % = \frac{氧合血紅蛋白濃度 ( g / d L )}{血紅素濃度 ( g / d L )} \times 100%

市面上血氧計（含穿戴裝置的血氧計功能）測得之讀數為血氧飽和濃度

S p O_{2} %

的數據，其誤差為

\pm 2 (%)

。例：小綠在某天早上利用智慧錶測得血氧飽和濃度

S p O_{2} %

為

96%

，則其可能的血氧飽和濃度

S p O_{2} % = 96 \pm 2%

。

小綠在健檢時得知自己的血紅素濃度為

16 (g / d L)

。當氧合血紅蛋白濃度低於

x (g / d L)

時，就為異常狀態，因此小綠使用血氧計檢測得到

S p O_{2} %

的數據再進行換算。請問若為異常狀態

93%

時，

x

的範圍符合哪一個不等式？（單選題，4 分）

(1) $∣ x - 0.93∣ \leq 0.02$
(2) $∣ x - 93∣ \leq 2$
(3) $∣ x - 14.88∣ \leq 0.32$
(4) $∣ x - 14.88∣ \leq 3.2$

已知血氧飽和濃度會依所在海拔而遞減，當血氧飽和濃度小於

90%

時，會出現運動能力下降、嗜睡等症狀，小於

80%

S p O_{2} %

範圍若為

x %

，在考慮其誤差值的情況下，求

x

的範圍？（填充題，以區間符號代表，4 分）。

已知

34

為無理數，試證明

32

為無理數。（計算證明題，3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(2)(3)(4)

第 4 題(1)(2)

第 5 題(1)(2)(3)(5)

第 6 題

222

第 7 題

(- 3, 3)

第 8 題

\frac{3}{2}

第 9 題

\frac{2}{33}

第 10 題

2000

第 11 題

45

第 12 題

19729

第 13 題(3)

第 14 題

[78, 92)

第 15 題證明見詳解

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：哪些數在數線上、循環小數的第 2021 位

第 1 題答案 (2)。數線上的點都是實數，逐個看。

3 - 210

：

210 = 40 > 9 = 3

，根號裡面是負數，不是實數，不在數線上。

(- 10)^{\frac{1}{2}}

：分數指數的底數要是正數，這個式子沒有意義（照根式看就是

- 10

，也不是實數），不在數線上。

\frac{1}{10}

與

1 0^{- \frac{1}{2}}

：

1 0^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{1 0 ^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{10}

，是同一個點，約

0.316

。

lo g 10 = lo g 1 0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

。

\frac{1}{10} \neq = \frac{1}{2}

（因為

10 \neq = 2

），所以數線上共有

2

個相異點。

五個式子裡有兩個不是實數、另有兩個相等，剩下兩個點。

第 2 題答案 (4)。

\frac{1}{7} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 7}{21} = \frac{10}{21}

。直式除法得

\frac{10}{21} = 0. \overline{476190}

，循環節有

6

位。

2021 = 6 \times 336 + 5

，所以第

2021

位和第

5

位相同，循環節

4, 7, 6, 1, 9, 0

的第

5

個數字是

9

。

也可以分開看：

\frac{1}{7} = 0. \overline{142857}

、

\frac{1}{3} = 0. \overline{333333}

，逐位相加

142857 + 333333 = 476190

，沒有進位到循環節外。

02多選 3～5：有理數與無理數、不等式的範圍、數線上的分點

第 3 題答案 (2)(3)(4)。(1) 錯：要

a, b, c, d

都是有理數才能比較係數。反例：

a = π

、

b = 0

、

c = 0

、

d = 1

，兩邊都是

π

，但

a \neq = c

。(2) 對：設無理數

s

與有理數

r

，取中點

m = \frac{s + r}{2}

，它在兩數之間；如果

m

是有理數，則

s = 2 m - r

也是有理數，矛盾，所以

m

是無理數。(3) 對：

2 (3 a + b) + (a - 2 b) = 7 a

是有理數，所以

a

是有理數；

b = (3 a + b) - 3 a

也是有理數。(4) 對：有理數長度

\frac{110}{2021}

可以用平行線等分線段作出；

1212 = 243

，

3

可用直角三角形作出（斜邊

2

、一股

1

，另一股就是

3

），再接

24

段；兩段接在同一直線上就是所求的長。(5) 錯：

\frac{1}{43}

是有理數，有理數化成小數不是有限小數就是循環小數；分母

43

有

2

、

5

以外的質因數，所以它是循環的無窮小數。

(1) 的結論要在「係數都是有理數」時才成立，題目寫的是實數。

第 4 題答案 (1)(2)。(1) 對：

10 < 5 y < 25

，與

- 1 < x < 3

相加得

9 < x + 5 y < 28

。(2) 對：

- 3 < 3 x < 9

，

- 5 < - y < - 2

，相加得

- 8 < 3 x - y < 7

。(3) 錯：

x

可以是

0

，此時

x^{2} y = 0

，不大於

2

；正確的範圍是

0 \leq x^{2} y < 45

。(4) 錯：取

x = 2.9

、

y = 2.1

，

\frac{x}{y} \approx 1.38 > \frac{3}{5}

；正確的範圍是

- \frac{1}{2} < \frac{x}{y} < \frac{3}{2}

。(5) 錯：

x y - x + y + 7 = (x + 1) (y - 1) + 8

，其中

0 < x + 1 < 4

、

1 < y - 1 < 4

，所以

(x + 1) (y - 1) > 0

，原式一定大於

8

，取不到

8

，沒有最小值。

(3)(4) 的

x

有正有負，不能直接把兩端相乘或相除；(4) 的上界要用最大的

x

配最小的

y

。

第 5 題答案 (1)(2)(3)(5)。(1) 對：

\overline{A C} = \overline{B C}

表示

C

到

A

、

B

等距離，

A

、

B

是相異兩點，直線上只有中點符合，

x = \frac{a + b}{2}

。(2) 對：

x - a = 2 (x - b)

得

x = 2 b - a

；

x - a = - 2 (x - b)

得

3 x = a + 2 b

，

x = \frac{2 b + a}{3}

。(3) 對：令

d = b - a > 0

，則

P = a + \frac{d}{4}

、

Q = a + \frac{3 d}{5}

、

R = \frac{- 2 a + 9 b}{7} = a + \frac{9 d}{7}

、

B = a + d

，四個點都在

A

的右邊。(4) 錯：

\overline{C S} = \frac{a + b}{2} - \frac{a + b}{3} = \frac{∣ a + b ∣}{6} = 10

，只能得到

∣ a + b ∣ = 60

，而

\overline{A B} = b - a

不能確定；例如

a = 10

、

b = 50

時

\overline{C S} = 10

，但

\overline{A B} = 40

。(5) 對：

\frac{a + b}{3} - a = \frac{b - 2 a}{3}

，由

b < 2 a

知它是負的，所以

S

在

A

的左方。

(4) 的

C

、

S

坐標都只和

a + b

有關，和

b - a

無關。

03填充 6～9：對稱式、反推絕對值不等式、小數部分與 log、完全平方數

第 6 題令

t = a^{x}

，則

a^{- x} = \frac{1}{t}

，已知

t - \frac{1}{t} = 22

。由乘法公式

(t - \frac{1}{t})^{3} = t^{3} - \frac{1}{t ^{3}} - 3 (t - \frac{1}{t})

，所以

a^{3 x} - a^{- 3 x} = t^{3} - \frac{1}{t ^{3}} = (22)^{3} + 3 \times 22 = 162 + 62 = 222

。

差的立方展開後，移項時是「加」

3 (t - \frac{1}{t})

。

第 7 題解是有限的區間，所以

b > 0

且

a \neq = 0

。

∣ a x - 5∣ < b

即

5 - b < a x < 5 + b

。區間的中點是

\frac{1}{2} (- \frac{8}{3} - \frac{2}{3}) = - \frac{5}{3}

，它對應

a x = 5

，所以

a \cdot (- \frac{5}{3}) = 5

，

a = - 3

。再把端點

x = - \frac{2}{3}

代入

∣ a x - 5∣ = b

：

∣2 - 5∣ = 3

，所以

b = 3

。檢查：

∣ - 3 x - 5∣ < 3

即

- 3 < 3 x + 5 < 3

，

- \frac{8}{3} < x < - \frac{2}{3}

，符合。數對

(a, b) = (- 3, 3)

。

a

是負的；除以負數時不等號要反向，所以用中點與端點來定比較不會錯。

第 8 題通分：

a = \frac{( 2 10 + 6 ) + ( 2 10 - 6 )}{( 2 10 ) ^{2} - 6 ^{2}} = \frac{4 10}{40 - 36} = 10

。

9 < 10 < 16

，所以

3 < 10 < 4

，小數部分

b = 10 - 3

。

\frac{4}{b} = \frac{4}{10 - 3} = \frac{4 ( 10 + 3 )}{10 - 9} = 410 + 12

。所以

2 a + 4 b + \frac{4}{b} = 210 + (410 - 12) + (410 + 12) = 1010 = 1 0^{\frac{3}{2}}

，

lo g 1 0^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}

。

第 9 題

7 a 5 b

是千位為

7

、十位為

5

的四位數，介於

7000

與

8000

之間。

8 3^{2} = 6889

、

9 0^{2} = 8100

，所以只要看

8 4^{2} = 7056

、

8 5^{2} = 7225

、

8 6^{2} = 7396

、

8 7^{2} = 7569

、

8 8^{2} = 7744

、

8 9^{2} = 7921

，其中十位數字是

5

的只有

7056

。再檢查

7056 \div 36 = 196

是整數，符合。所以

a = 0

、

b = 6

，

0. \overline{ab} = 0. \overline{06} = \frac{6}{99} = \frac{2}{33}

。

循環節兩位，分母是

99

；

a = 0

也要算進循環節。

04填充 10～12：算幾不等式、絕對值不等式、位數

第 10 題

100 0^{y} = 1 0^{3 y}

。

1 0^{x}

與

1 0^{3 y}

都是正數，由算幾不等式

\frac{1 0 ^{x} + 1 0 ^{3 y}}{2} \geq 1 0^{x} \cdot 1 0^{3 y} = 1 0^{x + 3 y} = 1 0^{6} = 1000

，所以

1 0^{x} + 100 0^{y} \geq 2000

。等號成立在

1 0^{x} = 1 0^{3 y}

，即

x = 3 y = 3

（

x = 3

、

y = 1

），確實取得到，最小值為

2000

。

兩項的乘積是定值

1 0^{6}

，才能用算幾不等式求和的最小值。

第 11 題拆成兩個不等式分段討論。先解

∣ x - 30∣ < 3∣ x - 50∣

：

x < 30

時

30 - x < 150 - 3 x

，得

x < 60

，這一段全部成立；

30 \leq x < 50

時

x - 30 < 150 - 3 x

，得

x < 45

；

x \geq 50

時

x - 30 < 3 x - 150

，得

x > 60

。所以

x < 45

或

x > 60

。再解

3∣ x - 50∣ < ∣ x + 30∣

：

x < - 30

時

150 - 3 x < - x - 30

，得

x > 90

，不合；

- 30 \leq x < 50

時

150 - 3 x < x + 30

，得

x > 30

；

x \geq 50

時

3 x - 150 < x + 30

，得

x < 90

。所以

30 < x < 90

。兩者同時成立：

30 < x < 45

或

60 < x < 90

，區間長度合計

15 + 30 = 45

。

解是兩段分開的區間，長度要加起來。

第 12 題照定義由最上面算下來：

2 ↑↑ 5 = 2^{2^{2^{2^{2}}}}

，

2^{2} = 4

，

2^{4} = 16

，

2^{16} = 65536

，所以

2 ↑↑ 5 = 2^{65536}

。用計算器得

lo g 2 \approx 0.30103

，即

2 \approx 1 0^{0.30103}

，

65536 \times 0.30103 \approx 19728.30

，所以

2^{65536} \approx 1 0^{19728.30}

，介於

1 0^{19728}

與

1 0^{19729}

之間，是

19729

位數。

指數塔要從最上層往下算，不是由下往上；

1 0^{19728}

本身就是

19729

位數。

05混合題或計算證明題 13～15：血氧計的誤差、反證法

第 13 題答案 (3)。先說明讀法：異常的界線是血氧計讀數

93%

，把血氧計的誤差

\pm 2%

算進去，再換算成氧合血紅蛋白濃度，看界線

x

會落在哪個範圍。讀數為

93%

、誤差

\pm 2%

，所以實際的血氧飽和濃度在

91%

到

95%

之間。由公式，氧合血紅蛋白濃度＝血紅素濃度

\times S p O_{2} %

，血紅素濃度是

16

，所以

16 \times 0.91 \leq x \leq 16 \times 0.95

，即

14.56 \leq x \leq 15.2

。中點是

\frac{14.56 + 15.2}{2} = 14.88

（也就是

16 \times 0.93

），半寬是

15.2 - 14.88 = 0.32

（也就是

16 \times 0.02

），寫成

∣ x - 14.88∣ \leq 0.32

。

選項 (1)(2) 是

S p O_{2} %

本身的範圍，不是氧合血紅蛋白濃度；誤差也要一起乘上

16

。

第 14 題小綠出現小於

90%

的症狀、沒有出現小於

80%

的症狀，所以實際的血氧飽和濃度

s

滿足

80 \leq s < 90

。血氧計的讀數

x

與實際值最多差

2

，即

s - 2 \leq x \leq s + 2

。最小可以到

80 - 2 = 78

（取得到）；最大要小於

90 + 2 = 92

（取不到）。所以

x

的範圍是

[78, 92)

。

左端含等號、右端不含，是因為實際值可以等於

80

、不可以等於

90

。

第 15 題用反證法。假設

32

是有理數，設

32 = p

，

p

為有理數。則

34 = 32 \times 32 = p^{2}

。有理數相乘還是有理數，所以

34

是有理數，這和已知「

34

為無理數」矛盾。所以假設不成立，

32

為無理數。

反證法的三步：先假設結論不成立、推出和已知矛盾、所以原結論成立。關鍵是

34 = (32)^{2}

。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

北一女中 110 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 110 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 110 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 15 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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01單選 1、2：哪些數在數線上、循環小數的第 2021 位

02多選 3～5：有理數與無理數、不等式的範圍、數線上的分點

03填充 6～9：對稱式、反推絕對值不等式、小數部分與 log、完全平方數

04填充 10～12：算幾不等式、絕對值不等式、位數

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北一女中 110 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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