段考詳解範圍：複數與多項式方程式（複數平面、極式、棣美弗定理、n 次方根、勘根定理、根與係數關係）

北一女中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 6 分）、多重選擇題 4 題（每個選項 2 分，答錯不倒扣）、選填題 5 題（每題 6 分）；滿分 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題 6 分，共 30 分）

已知方程式

x^{5} + 3 x - 1 = 0

在

0

、

1

之間恰有一實根，試問此實根最接近哪一個選項的數字？

(1) $0.1$
(2) $0.2$
(3) $0.3$
(4) $0.4$
(5) $0.5$

設

a, b

為實數且滿足

\frac{a + i}{1 + i} = \frac{3 + bi}{2 + i}

，則

2 a + b =

？

(1) $4$
(2) $5$
(3) $6$
(4) $7$
(5) $9$

方程式

x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 5 = 0

的四根在複數平面上可圍成一個凸四邊形，試問此凸四邊形的面積為何？

(1) $23$
(2) $4$
(3) $42$
(4) $43$
(5) $8$

設複數平面上五點

P_{k} (cos \frac{2 k π}{5} + i sin \frac{2 k π}{5})

，

k = 0, 1, 2, 3, 4

，則

∠ P_{1} P_{4} P_{3} =

？

(1) $1 8^{\circ}$
(2) $3 6^{\circ}$
(3) $5 4^{\circ}$
(4) $7 2^{\circ}$
(5) $9 0^{\circ}$

化簡

(\frac{1 - i tan 1 ^{\circ}}{1 + i tan 1 ^{\circ}})^{30} =

？

(1) $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$
(2) $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$
(3) $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$
(4) $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$
(5) $- 1$

二、多重選擇題（每個選項 2 分，共 40 分，答錯不倒扣）

設

a, b

為複數，則下列哪些選項是正確的？

(1) 若 $a^{2} + b^{2} = 0$ ，則 $a = b = 0$
(2) 若 $ab = 0$ ，則 $a = 0$ 或 $b = 0$
(3) 若 $a = b + 2$ ，則 $a > b$
(4) 若 $x = a$ 是方程式 $x^{2} = b$ 的一根，則 $x = - a$ 也是方程式 $x^{2} = b$ 的一根
(5) 若方程式 $x^{2} + a x + b = 0$ 有實根，則 $a^{2} - 4 b \geq 0$

設

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1

是一個實係數三次多項式，請問下列哪些選項是正確的？

(1) 若 $f (3 - 2 i) = 0$ ，則 $f (3 + 2 i) = 0$
(2) 若 $f (5 + 8 i) = 7$ ，則 $f (5 - 8 i) = - 7$
(3) 方程式 $f (x) = 0$ 至少有一正根。
(4) 方程式 $f (x) = 0$ 至少有一負根。
(5) 若 $a = 6$ ，則 $y = f (x)$ 圖形的對稱點 $x$ 坐標為 $2$ 。

設

f (x) = (x^{2} + a x + 3) (x^{2} + b x - 3)

，其中

a, b

為實數，下列有關方程式

f (x) = 0

的敘述，哪些選項是正確的？

(1) $f (x) = 0$ 的根有可能為四虛根。
(2) $f (x) = 0$ 的根有可能為二實根、二虛根。
(3) $f (x) = 0$ 有可能有三重根。
(4) $f (x) = 0$ 有可能有四重根。
(5) 若 $f (x) = 0$ 有二重根，則 $a = \pm 23$ 。

在複數平面上三點

O (0)

、

A (a)

、

B (b)

，滿足

a^{2} - 2 ab + 2 b^{2} = 0

且

ab \neq = 0

，則下列哪些選項是正確的？

(1) 將 $a^{2} - 2 ab + 2 b^{2} = 0$ 兩側同除以 $b^{2}$ ，可得 $\frac{a}{b} = 1 + i$
(2) $∠ O A B = 4 5^{\circ}$
(3) $△ O A B$ 是等腰三角形。
(4) $\overline{A B} = 2 \overline{O B}$
(5) 若 $\overline{O A} = 6$ ，則 $△ O A B$ 面積為 $9$

三、選填題（每題 6 分，共 30 分）

若實係數三次方程式

2 x^{3} - 11 x^{2} + a x + b = 0

有一根

i + 2

，則此方程式有一實根為 ____。

複數

z = \frac{( 1 + 7 i ) ^{10}}{( 3 + 4 i ) ^{13}}

，則

∣ \overline{z} ∣ =

____。

四次方程式

(x^{2} + 3 x + 8) (2 x^{2} - 4 x + 5) = 0

4

根，若

4

根的總和為

a

，

4

根的乘積為

b

，則數對

(a, b) =

____。

在複數平面上，三相異點

O (0)

、

A (a)

、

B (b)

，若

Arg (a) - Arg (b) = 6 0^{\circ}

，且

a, b

滿足

b = a + 2 + 4 i

，則

△ O A B

面積的最大值為 ____。

在複數平面上，複數

z

的輻角

12 0^{\circ}

，三相異點

O (0)

、

P (z + 4)

、

Q (2 z)

，若

∠ O P Q = 9 0^{\circ}

，則

∣ z ∣ =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(2)

第 6 題(2)(4)

第 7 題(1)(4)

第 8 題(2)(3)

第 9 題(2)(3)(5)

第 10 題

\frac{3}{2}

第 11 題

\frac{32}{125}

第 12 題

(- 1, 20)

第 13 題

53

第 14 題

4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～5 題）：勘根、複數相等、四次方根、圓周角、棣美弗定理

第 1 題答案 (3)。令

f (x) = x^{5} + 3 x - 1

。

f (0.3) = 0.00243 + 0.9 - 1 = - 0.09757 < 0

，

f (0.4) = 0.01024 + 1.2 - 1 = 0.21024 > 0

，由勘根定理，實根在

0.3

與

0.4

之間。再看正中間：

f (0.35) = (0.35)^{5} + 1.05 - 1 = (0.35)^{5} + 0.05 > 0

，與

f (0.3)

異號，所以實根在

0.3

與

0.35

之間，離

0.3

比較近。

只知道根在

0.3

與

0.4

之間還不夠，要再代一次中點

0.35

才分得出靠近哪一邊。實際的根大約是

0.332

。

第 2 題答案 (1)。兩邊交叉相乘：

(a + i) (2 + i) = (3 + bi) (1 + i)

。左邊

= (2 a - 1) + (a + 2) i

，右邊

= (3 - b) + (3 + b) i

。

a, b

是實數，比較實部得

2 a - 1 = 3 - b

，也就是

2 a + b = 4

。

題目要的

2 a + b

由實部一條式子就出來了。若再比較虛部

a + 2 = 3 + b

，可解出

a = \frac{5}{3}

、

b = \frac{2}{3}

。

第 3 題答案 (2)。

x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1 = (x + 1)^{4}

，所以原方程式是

(x + 1)^{4} = - 4

。

- 4 = 4 (cos 18 0^{\circ} + i sin 18 0^{\circ})

，它的四個四次方根絕對值都是

44 = 2

，輻角是

4 5^{\circ}, 13 5^{\circ}, 22 5^{\circ}, 31 5^{\circ}

，也就是

x + 1 = 1 + i, - 1 + i, - 1 - i, 1 - i

。四個根是

x = i, - 2 + i, - 2 - i, - i

，在複數平面上是

(0, 1)

、

(- 2, 1)

、

(- 2, - 1)

、

(0, - 1)

，圍成邊長

2

的正方形，面積

= 4

。

四個四次方根一定是正方形的四個頂點，對角線長

22

，面積

= \frac{1}{2} \times 22 \times 22 = 4

；把

x + 1

換回

x

只是整個圖形往左平移

1

，面積不變。

第 4 題答案 (4)。五個點的絕對值都是

1

，輻角依序相差

\frac{2 π}{5} = 7 2^{\circ}

，所以

P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}

是單位圓的內接正五邊形頂點。

∠ P_{1} P_{4} P_{3}

的頂點

P_{4}

在圓上，是對著弧

P_{1} P_{3}

（經過

P_{2}

、不含

P_{4}

的那一段）的圓周角。這段弧所對的圓心角是

2 \times 7 2^{\circ} = 14 4^{\circ}

，圓周角是圓心角的一半，所以

∠ P_{1} P_{4} P_{3} = 7 2^{\circ}

。

角的頂點是中間那個字母

P_{4}

。弧要取不含頂點的那一段：從

P_{1}

到

P_{3}

中間隔了

P_{2}

，是兩格。

第 5 題答案 (2)。

tan 1^{\circ} = \frac{sin 1 ^{\circ}}{cos 1 ^{\circ}}

，分子分母同乘

cos 1^{\circ}

：

\frac{1 - i tan 1 ^{\circ}}{1 + i tan 1 ^{\circ}} = \frac{cos 1 ^{\circ} - i sin 1 ^{\circ}}{cos 1 ^{\circ} + i sin 1 ^{\circ}} = \frac{cos ( - 1 ^{\circ} ) + i sin ( - 1 ^{\circ} )}{cos 1 ^{\circ} + i sin 1 ^{\circ}}

。極式相除，輻角相減：等於

cos (- 2^{\circ}) + i sin (- 2^{\circ})

。由棣美弗定理，

30

次方是

cos (- 6 0^{\circ}) + i sin (- 6 0^{\circ}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

。

cos θ - i sin θ

不是極式，要先寫成

cos (- θ) + i sin (- θ)

才能用棣美弗定理。

02多選第 6 題：哪些實數的性質在複數仍然成立

第 6 題答案 (2)(4)。(1) 錯：取

a = 1

、

b = i

，

a^{2} + b^{2} = 1 + (- 1) = 0

，但

a, b

都不是

0

。(2) 對：若

ab = 0

，則

∣ a ∣∣ b ∣ = ∣ ab ∣ = 0

，

∣ a ∣

、

∣ b ∣

是實數，所以

∣ a ∣ = 0

或

∣ b ∣ = 0

，即

a = 0

或

b = 0

。(3) 錯：虛數不能比大小，例如

b = i

、

a = 2 + i

滿足

a = b + 2

，但

a > b

沒有意義。(4) 對：

a^{2} = b

時，

(- a)^{2} = a^{2} = b

。(5) 錯：

a, b

是複數時

a^{2} - 4 b

可能是虛數，無法和

0

比大小。例如

(x - 1) (x - i) = x^{2} - (1 + i) x + i = 0

有實根

1

，此時

a = - (1 + i)

、

b = i

，

a^{2} - 4 b = 2 i - 4 i = - 2 i

。

(1)(3)(5) 都是只在實數才成立的性質：「平方和為零則都是零」「可以比大小」「用判別式的正負判斷有沒有實根」。(2)(4) 只用到乘法，複數照樣成立。

03多選第 7 題：實係數三次多項式

第 7 題答案 (1)(4)。(1) 對：實係數多項式方程式虛根成對，

3 - 2 i

是根，

3 + 2 i

也是根。(2) 錯：實係數多項式滿足

f (\overline{z}) = \overline{f (z)}

，所以

f (5 - 8 i) = \overline{f (5 + 8 i)} = \overline{7} = 7

，不是

- 7

。(3) 錯：例如

f (x) = (x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1

（

a = b = 3

），它的根只有

- 1

，沒有正根。(4) 對：由根與係數關係，三根之積

= - 1

。實係數三次方程式的根只有兩種情形：三個實根，或一個實根加一對共軛虛根。三個都是實根時，乘積為負，所以負根有奇數個，至少一個；一實根二共軛虛根

p \pm q i

時，兩虛根之積

p^{2} + q^{2} > 0

，所以實根

= - \frac{1}{p ^{2} + q ^{2}} < 0

。(5) 錯：

a = 6

時

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + b x + 1 = (x + 2)^{3} + (b - 12) (x + 2) + (17 - 2 b)

，圖形的對稱中心在

x = - 2

，不是

2

。

(4) 也可以用勘根定理：

f (0) = 1 > 0

；取

M > ∣ a ∣ + ∣ b ∣ + 1

（所以

M > 1

），則

f (- M) = - M^{3} + a M^{2} - b M + 1 \leq - M^{3} + (∣ a ∣ + ∣ b ∣ + 1) M^{2} = - M^{2} (M - ∣ a ∣ - ∣ b ∣ - 1) < 0

，所以

- M

與

0

之間至少有一個實根。(3)(4) 的差別就在

f (0) = 1 > 0

：往左走函數值終究會變負，一定穿過

x

軸；往右走函數值本來就是正的，不一定會穿過。

04多選第 8 題：兩個二次因式的根

第 8 題答案 (2)(3)。先看第二個因式

x^{2} + b x - 3 = 0

：判別式

b^{2} + 12 > 0

，一定是兩個相異實根，而且兩根之積為

- 3

，一正一負。第一個因式

x^{2} + a x + 3 = 0

的判別式是

a^{2} - 12

，兩根之積為

3

。(1) 錯：第二個因式一定提供兩個實根。(2) 對：取

a^{2} < 12

（例如

a = 0

），第一個因式是兩個虛根，加上第二個因式的兩個實根。(3) 對：取

a = - 23

、

b = 0

，

f (x) = (x - 3)^{2} (x - 3) (x + 3)

，

3

是三重根。(4) 錯：四重根表示四個根都相同，但第二個因式的兩個根一正一負，不可能相同。(5) 錯：二重根也可以是兩個因式各出一個相同的根。例如

a = - 4

、

b = 2

時

f (x) = (x - 1) (x - 3) (x - 1) (x + 3)

，

1

是二重根，但

a = - 4

。

重根有兩種來源：同一個因式自己的判別式為零，或兩個因式有共同的根。(5) 只想到前一種。(3) 則是兩種同時發生：第一個因式的重根

3

剛好也是第二個因式的根。

05多選第 9 題：由兩複數的比看三角形

第 9 題答案 (2)(3)(5)。兩側同除以

b^{2}

（

b \neq = 0

）：

(\frac{a}{b})^{2} - 2 (\frac{a}{b}) + 2 = 0

，解得

\frac{a}{b} = 1 \pm i

。(1) 錯：也可能是

1 - i

，不能只寫

1 + i

。接著把

\frac{a}{b} = 1 \pm i

改寫成

\frac{a - b}{b} = \pm i

：

a - b

是把

b

繞原點旋轉

9 0^{\circ}

（逆時針或順時針）得到的，所以

\overline{A B} = ∣ a - b ∣ = ∣ b ∣ = \overline{O B}

，而且

\overline{A B} ⊥ \overline{O B}

。

△ O A B

是以

B

為直角頂點的等腰直角三角形。(2) 對：兩個底角

∠ O A B = ∠ A O B = 4 5^{\circ}

。(3) 對。(4) 錯：

\overline{A B} = \overline{O B}

；

2

倍的是斜邊，

\overline{O A} = 2 \overline{O B}

。(5) 對：斜邊

\overline{O A} = 6

時兩股

\overline{O B} = \overline{A B} = 32

，面積

= \frac{1}{2} \times 32 \times 32 = 9

。

也可以直接看極式：

1 \pm i = 2 (cos (\pm 4 5^{\circ}) + i sin (\pm 4 5^{\circ}))

，表示

\overline{O A} = 2 \overline{O B}

且

∠ A O B = 4 5^{\circ}

，同樣得到等腰直角三角形。不論取

1 + i

或

1 - i

，三角形的形狀都一樣，只是

A

在

\overline{O B}

的哪一側不同。

06選填題（第 10～12 題）：虛根成對、絕對值、根與係數關係

第 10 題係數都是實數，所以虛根成對：

2 + i

是根，

2 - i

也是根。設第三個根為

r

，由根與係數關係，三根之和

= - \frac{- 11}{2} = \frac{11}{2}

，所以

(2 + i) + (2 - i) + r = \frac{11}{2}

，

r = \frac{11}{2} - 4 = \frac{3}{2}

。

三根之和要除以最高次項係數

2

。不必把

a, b

求出來。

第 11 題共軛複數的絕對值不變，

∣ \overline{z} ∣ = ∣ z ∣

。乘方與相除的絕對值可以分開算：

∣ z ∣ = \frac{∣1 + 7 i ∣ ^{10}}{∣3 + 4 i ∣ ^{13}}

。

∣1 + 7 i ∣ = 50 = 52

，

∣3 + 4 i ∣ = 5

，所以

∣ z ∣ = \frac{( 5 2 ) ^{10}}{5 ^{13}} = \frac{5 ^{10} \times 2 ^{5}}{5 ^{13}} = \frac{32}{125}

。

不必把

10

次方、

13

次方展開，只需要兩個絕對值。

第 12 題四個根就是兩個二次方程式各自的兩根。

x^{2} + 3 x + 8 = 0

的兩根之和為

- 3

、兩根之積為

8

；

2 x^{2} - 4 x + 5 = 0

的兩根之和為

\frac{4}{2} = 2

、兩根之積為

\frac{5}{2}

。所以

a = - 3 + 2 = - 1

，

b = 8 \times \frac{5}{2} = 20

，

(a, b) = (- 1, 20)

。

兩個判別式

9 - 32

、

16 - 40

都是負的，四個根都是虛根，但根與係數關係照樣成立。也可以看展開式

2 x^{4} + 2 x^{3} + \dots + 40

：四根之和

= - \frac{2}{2} = - 1

，四根之積

= \frac{40}{2} = 20

。

07選填題（第 13～14 題）：複數平面上的三角形

第 13 題

Arg

是主輻角（

0^{\circ} \leq Arg < 36 0^{\circ}

），兩個主輻角恰好相差

6 0^{\circ}

，表示

\overline{O A}

在

\overline{O B}

的逆時針

6 0^{\circ}

方向，夾角

∠ A O B = 6 0^{\circ}

。

b - a = 2 + 4 i

，所以

\overline{A B} = ∣ b - a ∣ = 2^{2} + 4^{2} = 25

。設

\overline{O A} = x

、

\overline{O B} = y

，由餘弦定理

20 = x^{2} + y^{2} - 2 x y cos 6 0^{\circ} = x^{2} + y^{2} - x y

。因為

x^{2} + y^{2} \geq 2 x y

，所以

20 \geq 2 x y - x y = x y

。面積

= \frac{1}{2} x y sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{4} x y \leq \frac{3}{4} \times 20 = 53

，等號在

x = y = 25

（正三角形）時成立，所以最大值為

53

。

等號確實做得到：取

a = (2 + 4 i) (cos 12 0^{\circ} + i sin 12 0^{\circ}) = (- 1 - 23) + (3 - 2) i

、

b = a + 2 + 4 i = (1 - 23) + (3 + 2) i

，則

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 25

，

a

在第三象限、

b

在第二象限，主輻角大約是

183. 4^{\circ}

與

123. 4^{\circ}

，相差

6 0^{\circ}

。

第 14 題

Q (2 z)

與

O (0)

的中點是

M (z)

。

∠ O P Q = 9 0^{\circ}

，所以

△ O P Q

是以

\overline{O Q}

為斜邊的直角三角形，斜邊中點到三個頂點等距：

\overline{M P} = \overline{M O}

。

\overline{M P} = ∣ (z + 4) - z ∣ = 4

，

\overline{M O} = ∣ z ∣

，所以

∣ z ∣ = 4

。

驗算：

z = 4 (cos 12 0^{\circ} + i sin 12 0^{\circ}) = - 2 + 23 i

，

P = 2 + 23 i

，

Q = - 4 + 43 i

。

P O = (- 2, - 23)

，

P Q = (- 6, 23)

，內積

= 12 - 12 = 0

，確實垂直，三點也相異。輻角

12 0^{\circ}

的作用是讓三點不共線：若

z

是實數，三點都在實軸上，圍不出直角。

複數平面上的幾何題，先把相減看成兩點的距離、相除看成長度比與夾角，圖形的形狀通常就出來了，不必設實部虛部硬算。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

北一女中 110 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題只夾到 0.3 與 0.4 之間還分不出來，要再代中點 0.35；第 8 題選項 (5) 的二重根也可能來自兩個因式的共同根，不一定是第一個因式自己的判別式為零；第 9 題選項 (1) 解出來的比值有兩個，選項 (4) 根號二倍的是斜邊不是兩股；第 13 題要先看出夾角固定為六十度、對邊長固定，再用餘弦定理配合不等式求兩邊乘積的最大值。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自北一女中 110 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：複數與多項式方程式（複數平面、極式、棣美弗定理、n 次方根、勘根定理、根與係數關係）

北一女中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

一、單選題（每題 6 分，共 30 分）

已知方程式

x^{5} + 3 x - 1 = 0

在

0

、

1

之間恰有一實根，試問此實根最接近哪一個選項的數字？

(1) $0.1$
(2) $0.2$
(3) $0.3$
(4) $0.4$
(5) $0.5$

設

a, b

為實數且滿足

\frac{a + i}{1 + i} = \frac{3 + bi}{2 + i}

，則

2 a + b =

？

(1) $4$
(2) $5$
(3) $6$
(4) $7$
(5) $9$

方程式

x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 5 = 0

的四根在複數平面上可圍成一個凸四邊形，試問此凸四邊形的面積為何？

(1) $23$
(2) $4$
(3) $42$
(4) $43$
(5) $8$

設複數平面上五點

P_{k} (cos \frac{2 k π}{5} + i sin \frac{2 k π}{5})

，

k = 0, 1, 2, 3, 4

，則

∠ P_{1} P_{4} P_{3} =

？

(1) $1 8^{\circ}$
(2) $3 6^{\circ}$
(3) $5 4^{\circ}$
(4) $7 2^{\circ}$
(5) $9 0^{\circ}$

化簡

(\frac{1 - i tan 1 ^{\circ}}{1 + i tan 1 ^{\circ}})^{30} =

？

(1) $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$
(2) $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$
(3) $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$
(4) $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$
(5) $- 1$

二、多重選擇題（每個選項 2 分，共 40 分，答錯不倒扣）

設

a, b

為複數，則下列哪些選項是正確的？

(1) 若 $a^{2} + b^{2} = 0$ ，則 $a = b = 0$
(2) 若 $ab = 0$ ，則 $a = 0$ 或 $b = 0$
(3) 若 $a = b + 2$ ，則 $a > b$
(4) 若 $x = a$ 是方程式 $x^{2} = b$ 的一根，則 $x = - a$ 也是方程式 $x^{2} = b$ 的一根
(5) 若方程式 $x^{2} + a x + b = 0$ 有實根，則 $a^{2} - 4 b \geq 0$

設

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1

是一個實係數三次多項式，請問下列哪些選項是正確的？

(1) 若 $f (3 - 2 i) = 0$ ，則 $f (3 + 2 i) = 0$
(2) 若 $f (5 + 8 i) = 7$ ，則 $f (5 - 8 i) = - 7$
(3) 方程式 $f (x) = 0$ 至少有一正根。
(4) 方程式 $f (x) = 0$ 至少有一負根。
(5) 若 $a = 6$ ，則 $y = f (x)$ 圖形的對稱點 $x$ 坐標為 $2$ 。

設

f (x) = (x^{2} + a x + 3) (x^{2} + b x - 3)

，其中

a, b

為實數，下列有關方程式

f (x) = 0

的敘述，哪些選項是正確的？

(1) $f (x) = 0$ 的根有可能為四虛根。
(2) $f (x) = 0$ 的根有可能為二實根、二虛根。
(3) $f (x) = 0$ 有可能有三重根。
(4) $f (x) = 0$ 有可能有四重根。
(5) 若 $f (x) = 0$ 有二重根，則 $a = \pm 23$ 。

在複數平面上三點

O (0)

、

A (a)

、

B (b)

，滿足

a^{2} - 2 ab + 2 b^{2} = 0

且

ab \neq = 0

，則下列哪些選項是正確的？

(1) 將 $a^{2} - 2 ab + 2 b^{2} = 0$ 兩側同除以 $b^{2}$ ，可得 $\frac{a}{b} = 1 + i$
(2) $∠ O A B = 4 5^{\circ}$
(3) $△ O A B$ 是等腰三角形。
(4) $\overline{A B} = 2 \overline{O B}$
(5) 若 $\overline{O A} = 6$ ，則 $△ O A B$ 面積為 $9$

三、選填題（每題 6 分，共 30 分）

若實係數三次方程式

2 x^{3} - 11 x^{2} + a x + b = 0

有一根

i + 2

，則此方程式有一實根為 ____。

複數

z = \frac{( 1 + 7 i ) ^{10}}{( 3 + 4 i ) ^{13}}

，則

∣ \overline{z} ∣ =

____。

四次方程式

(x^{2} + 3 x + 8) (2 x^{2} - 4 x + 5) = 0

4

根，若

4

根的總和為

a

，

4

根的乘積為

b

，則數對

(a, b) =

____。

在複數平面上，三相異點

O (0)

、

A (a)

、

B (b)

，若

Arg (a) - Arg (b) = 6 0^{\circ}

，且

a, b

滿足

b = a + 2 + 4 i

，則

△ O A B

面積的最大值為 ____。

在複數平面上，複數

z

的輻角

12 0^{\circ}

，三相異點

O (0)

、

P (z + 4)

、

Q (2 z)

，若

∠ O P Q = 9 0^{\circ}

，則

∣ z ∣ =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(2)

第 6 題(2)(4)

第 7 題(1)(4)

第 8 題(2)(3)

第 9 題(2)(3)(5)

第 10 題

\frac{3}{2}

第 11 題

\frac{32}{125}

第 12 題

(- 1, 20)

第 13 題

53

第 14 題

4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～5 題）：勘根、複數相等、四次方根、圓周角、棣美弗定理

第 1 題答案 (3)。令

f (x) = x^{5} + 3 x - 1

。

f (0.3) = 0.00243 + 0.9 - 1 = - 0.09757 < 0

，

f (0.4) = 0.01024 + 1.2 - 1 = 0.21024 > 0

，由勘根定理，實根在

0.3

與

0.4

之間。再看正中間：

f (0.35) = (0.35)^{5} + 1.05 - 1 = (0.35)^{5} + 0.05 > 0

，與

f (0.3)

異號，所以實根在

0.3

與

0.35

之間，離

0.3

比較近。

只知道根在

0.3

與

0.4

之間還不夠，要再代一次中點

0.35

才分得出靠近哪一邊。實際的根大約是

0.332

。

第 2 題答案 (1)。兩邊交叉相乘：

(a + i) (2 + i) = (3 + bi) (1 + i)

。左邊

= (2 a - 1) + (a + 2) i

，右邊

= (3 - b) + (3 + b) i

。

a, b

是實數，比較實部得

2 a - 1 = 3 - b

，也就是

2 a + b = 4

。

題目要的

2 a + b

由實部一條式子就出來了。若再比較虛部

a + 2 = 3 + b

，可解出

a = \frac{5}{3}

、

b = \frac{2}{3}

。

第 3 題答案 (2)。

x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1 = (x + 1)^{4}

，所以原方程式是

(x + 1)^{4} = - 4

。

- 4 = 4 (cos 18 0^{\circ} + i sin 18 0^{\circ})

，它的四個四次方根絕對值都是

44 = 2

，輻角是

4 5^{\circ}, 13 5^{\circ}, 22 5^{\circ}, 31 5^{\circ}

，也就是

x + 1 = 1 + i, - 1 + i, - 1 - i, 1 - i

。四個根是

x = i, - 2 + i, - 2 - i, - i

，在複數平面上是

(0, 1)

、

(- 2, 1)

、

(- 2, - 1)

、

(0, - 1)

，圍成邊長

2

的正方形，面積

= 4

。

四個四次方根一定是正方形的四個頂點，對角線長

22

，面積

= \frac{1}{2} \times 22 \times 22 = 4

；把

x + 1

換回

x

只是整個圖形往左平移

1

，面積不變。

第 4 題答案 (4)。五個點的絕對值都是

1

，輻角依序相差

\frac{2 π}{5} = 7 2^{\circ}

，所以

P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}

是單位圓的內接正五邊形頂點。

∠ P_{1} P_{4} P_{3}

的頂點

P_{4}

在圓上，是對著弧

P_{1} P_{3}

（經過

P_{2}

、不含

P_{4}

的那一段）的圓周角。這段弧所對的圓心角是

2 \times 7 2^{\circ} = 14 4^{\circ}

，圓周角是圓心角的一半，所以

∠ P_{1} P_{4} P_{3} = 7 2^{\circ}

。

角的頂點是中間那個字母

P_{4}

。弧要取不含頂點的那一段：從

P_{1}

到

P_{3}

中間隔了

P_{2}

，是兩格。

第 5 題答案 (2)。

tan 1^{\circ} = \frac{sin 1 ^{\circ}}{cos 1 ^{\circ}}

，分子分母同乘

cos 1^{\circ}

：

\frac{1 - i tan 1 ^{\circ}}{1 + i tan 1 ^{\circ}} = \frac{cos 1 ^{\circ} - i sin 1 ^{\circ}}{cos 1 ^{\circ} + i sin 1 ^{\circ}} = \frac{cos ( - 1 ^{\circ} ) + i sin ( - 1 ^{\circ} )}{cos 1 ^{\circ} + i sin 1 ^{\circ}}

。極式相除，輻角相減：等於

cos (- 2^{\circ}) + i sin (- 2^{\circ})

。由棣美弗定理，

30

次方是

cos (- 6 0^{\circ}) + i sin (- 6 0^{\circ}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

。

cos θ - i sin θ

不是極式，要先寫成

cos (- θ) + i sin (- θ)

才能用棣美弗定理。

02多選第 6 題：哪些實數的性質在複數仍然成立

第 6 題答案 (2)(4)。(1) 錯：取

a = 1

、

b = i

，

a^{2} + b^{2} = 1 + (- 1) = 0

，但

a, b

都不是

0

。(2) 對：若

ab = 0

，則

∣ a ∣∣ b ∣ = ∣ ab ∣ = 0

，

∣ a ∣

、

∣ b ∣

是實數，所以

∣ a ∣ = 0

或

∣ b ∣ = 0

，即

a = 0

或

b = 0

。(3) 錯：虛數不能比大小，例如

b = i

、

a = 2 + i

滿足

a = b + 2

，但

a > b

沒有意義。(4) 對：

a^{2} = b

時，

(- a)^{2} = a^{2} = b

。(5) 錯：

a, b

是複數時

a^{2} - 4 b

可能是虛數，無法和

0

比大小。例如

(x - 1) (x - i) = x^{2} - (1 + i) x + i = 0

有實根

1

，此時

a = - (1 + i)

、

b = i

，

a^{2} - 4 b = 2 i - 4 i = - 2 i

。

(1)(3)(5) 都是只在實數才成立的性質：「平方和為零則都是零」「可以比大小」「用判別式的正負判斷有沒有實根」。(2)(4) 只用到乘法，複數照樣成立。

03多選第 7 題：實係數三次多項式

第 7 題答案 (1)(4)。(1) 對：實係數多項式方程式虛根成對，

3 - 2 i

是根，

3 + 2 i

也是根。(2) 錯：實係數多項式滿足

f (\overline{z}) = \overline{f (z)}

，所以

f (5 - 8 i) = \overline{f (5 + 8 i)} = \overline{7} = 7

，不是

- 7

。(3) 錯：例如

f (x) = (x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1

（

a = b = 3

），它的根只有

- 1

，沒有正根。(4) 對：由根與係數關係，三根之積

= - 1

p \pm q i

時，兩虛根之積

p^{2} + q^{2} > 0

，所以實根

= - \frac{1}{p ^{2} + q ^{2}} < 0

。(5) 錯：

a = 6

時

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + b x + 1 = (x + 2)^{3} + (b - 12) (x + 2) + (17 - 2 b)

，圖形的對稱中心在

x = - 2

，不是

2

。

(4) 也可以用勘根定理：

f (0) = 1 > 0

；取

M > ∣ a ∣ + ∣ b ∣ + 1

（所以

M > 1

），則

f (- M) = - M^{3} + a M^{2} - b M + 1 \leq - M^{3} + (∣ a ∣ + ∣ b ∣ + 1) M^{2} = - M^{2} (M - ∣ a ∣ - ∣ b ∣ - 1) < 0

，所以

- M

與

0

之間至少有一個實根。(3)(4) 的差別就在

f (0) = 1 > 0

：往左走函數值終究會變負，一定穿過

x

軸；往右走函數值本來就是正的，不一定會穿過。

04多選第 8 題：兩個二次因式的根

第 8 題答案 (2)(3)。先看第二個因式

x^{2} + b x - 3 = 0

：判別式

b^{2} + 12 > 0

，一定是兩個相異實根，而且兩根之積為

- 3

，一正一負。第一個因式

x^{2} + a x + 3 = 0

的判別式是

a^{2} - 12

，兩根之積為

3

。(1) 錯：第二個因式一定提供兩個實根。(2) 對：取

a^{2} < 12

（例如

a = 0

），第一個因式是兩個虛根，加上第二個因式的兩個實根。(3) 對：取

a = - 23

、

b = 0

，

f (x) = (x - 3)^{2} (x - 3) (x + 3)

，

3

是三重根。(4) 錯：四重根表示四個根都相同，但第二個因式的兩個根一正一負，不可能相同。(5) 錯：二重根也可以是兩個因式各出一個相同的根。例如

a = - 4

、

b = 2

時

f (x) = (x - 1) (x - 3) (x - 1) (x + 3)

，

1

是二重根，但

a = - 4

。

重根有兩種來源：同一個因式自己的判別式為零，或兩個因式有共同的根。(5) 只想到前一種。(3) 則是兩種同時發生：第一個因式的重根

3

剛好也是第二個因式的根。

05多選第 9 題：由兩複數的比看三角形

第 9 題答案 (2)(3)(5)。兩側同除以

b^{2}

（

b \neq = 0

）：

(\frac{a}{b})^{2} - 2 (\frac{a}{b}) + 2 = 0

，解得

\frac{a}{b} = 1 \pm i

。(1) 錯：也可能是

1 - i

，不能只寫

1 + i

。接著把

\frac{a}{b} = 1 \pm i

改寫成

\frac{a - b}{b} = \pm i

：

a - b

是把

b

繞原點旋轉

9 0^{\circ}

（逆時針或順時針）得到的，所以

\overline{A B} = ∣ a - b ∣ = ∣ b ∣ = \overline{O B}

，而且

\overline{A B} ⊥ \overline{O B}

。

△ O A B

是以

B

為直角頂點的等腰直角三角形。(2) 對：兩個底角

∠ O A B = ∠ A O B = 4 5^{\circ}

。(3) 對。(4) 錯：

\overline{A B} = \overline{O B}

；

2

倍的是斜邊，

\overline{O A} = 2 \overline{O B}

。(5) 對：斜邊

\overline{O A} = 6

時兩股

\overline{O B} = \overline{A B} = 32

，面積

= \frac{1}{2} \times 32 \times 32 = 9

。

也可以直接看極式：

1 \pm i = 2 (cos (\pm 4 5^{\circ}) + i sin (\pm 4 5^{\circ}))

，表示

\overline{O A} = 2 \overline{O B}

且

∠ A O B = 4 5^{\circ}

，同樣得到等腰直角三角形。不論取

1 + i

或

1 - i

，三角形的形狀都一樣，只是

A

在

\overline{O B}

的哪一側不同。

06選填題（第 10～12 題）：虛根成對、絕對值、根與係數關係

第 10 題係數都是實數，所以虛根成對：

2 + i

是根，

2 - i

也是根。設第三個根為

r

，由根與係數關係，三根之和

= - \frac{- 11}{2} = \frac{11}{2}

，所以

(2 + i) + (2 - i) + r = \frac{11}{2}

，

r = \frac{11}{2} - 4 = \frac{3}{2}

。

三根之和要除以最高次項係數

2

。不必把

a, b

求出來。

第 11 題共軛複數的絕對值不變，

∣ \overline{z} ∣ = ∣ z ∣

。乘方與相除的絕對值可以分開算：

∣ z ∣ = \frac{∣1 + 7 i ∣ ^{10}}{∣3 + 4 i ∣ ^{13}}

。

∣1 + 7 i ∣ = 50 = 52

，

∣3 + 4 i ∣ = 5

，所以

∣ z ∣ = \frac{( 5 2 ) ^{10}}{5 ^{13}} = \frac{5 ^{10} \times 2 ^{5}}{5 ^{13}} = \frac{32}{125}

。

不必把

10

次方、

13

次方展開，只需要兩個絕對值。

第 12 題四個根就是兩個二次方程式各自的兩根。

x^{2} + 3 x + 8 = 0

的兩根之和為

- 3

、兩根之積為

8

；

2 x^{2} - 4 x + 5 = 0

的兩根之和為

\frac{4}{2} = 2

、兩根之積為

\frac{5}{2}

。所以

a = - 3 + 2 = - 1

，

b = 8 \times \frac{5}{2} = 20

，

(a, b) = (- 1, 20)

。

兩個判別式

9 - 32

、

16 - 40

都是負的，四個根都是虛根，但根與係數關係照樣成立。也可以看展開式

2 x^{4} + 2 x^{3} + \dots + 40

：四根之和

= - \frac{2}{2} = - 1

，四根之積

= \frac{40}{2} = 20

。

07選填題（第 13～14 題）：複數平面上的三角形

第 13 題

Arg

是主輻角（

0^{\circ} \leq Arg < 36 0^{\circ}

），兩個主輻角恰好相差

6 0^{\circ}

，表示

\overline{O A}

在

\overline{O B}

的逆時針

6 0^{\circ}

方向，夾角

∠ A O B = 6 0^{\circ}

。

b - a = 2 + 4 i

，所以

\overline{A B} = ∣ b - a ∣ = 2^{2} + 4^{2} = 25

。設

\overline{O A} = x

、

\overline{O B} = y

，由餘弦定理

20 = x^{2} + y^{2} - 2 x y cos 6 0^{\circ} = x^{2} + y^{2} - x y

。因為

x^{2} + y^{2} \geq 2 x y

，所以

20 \geq 2 x y - x y = x y

。面積

= \frac{1}{2} x y sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{4} x y \leq \frac{3}{4} \times 20 = 53

，等號在

x = y = 25

（正三角形）時成立，所以最大值為

53

。

等號確實做得到：取

a = (2 + 4 i) (cos 12 0^{\circ} + i sin 12 0^{\circ}) = (- 1 - 23) + (3 - 2) i

、

b = a + 2 + 4 i = (1 - 23) + (3 + 2) i

，則

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 25

，

a

在第三象限、

b

在第二象限，主輻角大約是

183. 4^{\circ}

與

123. 4^{\circ}

，相差

6 0^{\circ}

。

第 14 題

Q (2 z)

與

O (0)

的中點是

M (z)

。

∠ O P Q = 9 0^{\circ}

，所以

△ O P Q

是以

\overline{O Q}

為斜邊的直角三角形，斜邊中點到三個頂點等距：

\overline{M P} = \overline{M O}

。

\overline{M P} = ∣ (z + 4) - z ∣ = 4

，

\overline{M O} = ∣ z ∣

，所以

∣ z ∣ = 4

。

驗算：

z = 4 (cos 12 0^{\circ} + i sin 12 0^{\circ}) = - 2 + 23 i

，

P = 2 + 23 i

，

Q = - 4 + 43 i

。

P O = (- 2, - 23)

，

P Q = (- 6, 23)

，內積

= 12 - 12 = 0

，確實垂直，三點也相異。輻角

12 0^{\circ}

的作用是讓三點不共線：若

z

是實數，三點都在實軸上，圍不出直角。

複數平面上的幾何題，先把相減看成兩點的距離、相除看成長度比與夾角，圖形的形狀通常就出來了，不必設實部虛部硬算。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 110 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 110 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～5 題）：勘根、複數相等、四次方根、圓周角、棣美弗定理

02多選第 6 題：哪些實數的性質在複數仍然成立

03多選第 7 題：實係數三次多項式

04多選第 8 題：兩個二次因式的根

05多選第 9 題：由兩複數的比看三角形

06選填題（第 10～12 題）：虛根成對、絕對值、根與係數關係

07選填題（第 13～14 題）：複數平面上的三角形

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北一女中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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