段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形、伸縮平移與週期），並用到高一的三角比與餘弦定理

北一女中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題鋪色的是小圓的扇形，圓心角要由大圓半徑、小圓半徑組成的等腰三角形求；第 5 題選項一、二的數字都是弧度，不是度；第 7 題選項五只寫 c 等於三分之一圓周率，但題目沒有限制 c 的範圍，c 再加圓周率兩倍的整數倍也可以，所以不能確定；第 15 題第六道內緣的半徑要加上五個跑道寬與五條分道線寬。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 6 分，共 24 分）、多重選擇題 3 題（每題 10 分，每個選項 2 分，共 30 分，整題未作答者該題不予計分）、填充題第 8 題到第 12 題（每格 6 分，共 30 分）、混合題第 13 題到第 15 題（第 13、14 題單選各 5 分，第 15 題 6 分，共 16 分），合計 100 分。卷面註明本試卷可以自行判斷採用計算器為計算工具，並限定可用的機型。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題(每題 6 分，共 24 分)

將一個圓形蛋糕，等份切成

12

個扇形小蛋糕，則下列何者為扇形小蛋糕(如下圖)角度

θ

的弧度量？

(1) $30$
(2) $\frac{π}{6}$
(3) $\frac{π}{24}$
(4) $\frac{π}{12}$
(5) $\frac{1}{12}$

載入中...

設函數

f (x) = sin x

，且

0 \leq x \leq \frac{2 π}{3}

，若此函數的最大值為

M

，最小值為

m

，則下列何者為

M + m

的值？

(1) $- 1$
(2) $1 - \frac{3}{2}$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $1 + \frac{3}{2}$

如下圖，小綠想將一台推車推過高度為

2

公尺的門，此推車平台和地面的距離為

0.5

公尺，且上方有個長方體物體斜放在平台上，其側面為長方形

A B C D

，其中

\overline{A D}

與平台的水平夾角為

θ

，

\overline{B C}

為

2

公尺，

\overline{A B}

為

1

公尺，可由角度

θ

控制是否可順利通過此門。若

θ = 2 0^{\circ}

時，則下列何者最接近推車從地面到最高點

C

的距離？

(1) $2.1$ 公尺
(2) $1.9$ 公尺
(3) $1.7$ 公尺
(4) $1.6$ 公尺
(5) $1.4$ 公尺

載入中...

如下圖，有一個以

O

為圓心，

2

為半徑的大圓，其圓周通過四個外切小圓的圓心

A, B, C, D

，則下列何者最接近鋪色的扇形面積？

(1) $0.361$
(2) $0.6047$
(3) $0.723$
(4) $1.209$
(5) $2.419$

載入中...

二、多重選擇題(每題 10 分，每個選項 2 分，共 30 分，整題未作答者，該題不予計分。)

下列敘述何者正確？

(1) $sin 1 = cos 89$
(2) $2 π > 180$
(3) 若 $4 < θ < 5$ ，則 $tan θ > 0$
(4) $tan \frac{π}{2} = 0$
(5) $sin^{2} \frac{1001}{2022} π + sin^{2} \frac{10}{2022} π = 1$

設函數

f (x) = 3 sin 2 x

，則下列敘述何者正確？

(1) $y = f (x)$ 的圖形過點 $(0, 0)$
(2) $y = f (x)$ 的圖形對稱於原點 $(0, 0)$
(3) $y = f (x)$ 圖形的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(4) $y = f (x)$ 圖形的振幅為 $2$
(5) $y = f (x)$ 圖形與 $g (x) = - 3 sin (2 x + π)$ 的圖形重疊

將函數

f (x) = sin x

的圖形，以

x

軸為中心，上下放大為原來的

2

倍，再以

y

軸為中心，左右伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍，然後向左平移

\frac{π}{6}

，則新的圖形為函數

g (x) = a sin (b x + c)

，其中

a > 0

，

b > 0

，則下列敘述何者正確？

(1) $a = 2$
(2) $b = \frac{1}{2}$
(3) 函數 $y = g (x)$ 的週期為 $π$
(4) 函數 $y = g (x)$ 的圖形亦可由 $y = 2 sin (- 2 x)$ 平移得到
(5) $c = \frac{π}{3}$

三、填充題(每格 6 分，共 30 分)

sin \frac{π}{3} + cos 0 + tan \frac{π}{4}

的值為 ____。

設下圖為

y = a sin b x + c

的部分圖形，則此圖形週期為 ____。

載入中...

已知

π \leq x \leq \frac{9 π}{4}

，則

sin 2 x = \frac{1}{2}

的所有實根之和為 ____。

小綠在班日時，將一個扇形

O A B

蛋糕平分成三等份(如下圖)，分給學姊、學妹享用。其中

∠ A O B = \frac{π}{3}

，切下

\overline{B C}

和

\overline{B D}

兩刀後，

△ O B C

、

△ B C D

和區域

B D A

的面積皆相等，則

\frac{O C}{O A}

的值為 ____。（請四捨五入求至小數點後第一位）

載入中...

方程式

sin x = lo g x

共有 ____ 個實根。

四、混合題(16 分)

混合題第 13～15 題（第 13～15 題）　綠園操場是半圓式

200

公尺田徑場，由兩個直道和兩個半圓的彎道所組成，其中

200

公尺是指最內緣一圈的長度（如圖一粗黑線條）。已知直道的距離為

52.24

公尺，即

\overline{A D} = \overline{B C} = 52.24

公尺。

試問最內道彎道的半徑近似於下列哪個選項？（公尺）(單選：5 分)

(1) $7.60$
(2) $15.20$
(3) $23.52$
(4) $30.40$
(5) $47.03$

載入中...

田徑場跑道由內向外稱為第一道、第二道、……，共六道。每個跑道的寬度皆為

1.22

公尺，跑道之間的分道線寬

5

公分，試問第六道內緣一圈的長度為多少公尺？(單選：5 分)

(1) $206.35$
(2) $215.71$
(3) $219.95$
(4) $239.90$
(5) $247.88$

在田徑徑賽中，為了使運動員所跑的距離相等，外道的起點要前移。在起點前移的距離，稱為前伸數。如圖二，如果第一道在彎道起始處

\overline{E F}

起跑，則第六道需要向前到

\overline{G H}

起跑，才能讓每一隊在射線

O E

搶跑道線前都跑了

200

公尺。由於彎道距離不方便用布尺來測量，我們透過測量

∠ E O G

的夾角來決定

\overline{G H}

的位置。試求

∠ E O G

。（單位：弳）（請以弧度量表示，並四捨五入到小數點後第二位）(6 分)

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(1)

第 4 題(4)

第 5 題(5)

第 6 題(1)(2)(5)

第 7 題(1)(3)(4)

第 8 題

2 + \frac{3}{2}

第 9 題

\frac{4 π}{3}

第 10 題

\frac{55 π}{12}

第 11 題

0.4

第 12 題

3

第 13 題(2)

第 14 題(4)

第 15 題

1.85

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：弧度量、正弦的最大最小值、傾斜長方體的高度、扇形面積

第 1 題

一整圈是 $36 0^{\circ}$ ，也就是 $2 π$ 弧度。等分成 $12$ 份，每份的圓心角

$θ = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}$

答案是 (2)。

\frac{π}{6}

就是

3 0^{\circ}

；選項 (1) 的

30

沒有寫度的記號，當弧度看是

30

弧度，不對。

第 2 題在

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，

sin x

由

0

增加到

1

；在

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

，

sin x

由

1

減少到

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

。所以最大值

M = 1

（在

x = \frac{π}{2}

），最小值

m = 0

（在

x = 0

，因為

\frac{3}{2} > 0

）。

M + m = 1

，答案是 (4)。

第 3 題

長方形中 $\overline{A D} = \overline{B C} = 2$ ， $\overline{D C} = \overline{A B} = 1$ 。 $A$ 在平台上， $\overline{A D}$ 與平台夾角 $θ$ ，所以 $D$ 比平台高

$\overline{A D} sin θ = 2 sin 2 0^{\circ}$

$\overline{D C} ⊥ \overline{A D}$ ，而 $\overline{A D}$ 與水平線夾 $θ$ ，所以 $\overline{D C}$ 與鉛直線也夾 $θ$ ， $C$ 比 $D$ 再高 $\overline{D C} cos θ = cos 2 0^{\circ}$ 。所以 $C$ 離地面

$0.5 + 2 sin 2 0^{\circ} + cos 2 0^{\circ} \approx 0.5 + 0.6840 + 0.9397 \approx 2.12 （公尺）$

最接近 $2.1$ 公尺，答案是 (1)。

B

比

A

高

cos 2 0^{\circ} \approx 0.94

，比

C

低，所以最高點是

C

。

第 4 題

$A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在半徑 $2$ 的大圓上，四個小圓依序外切、大小相同， $A B C D$ 是正方形，對角線是大圓直徑 $22$ ，邊長 $\overline{A B} = 2$ 。相鄰兩小圓外切，所以小圓半徑是 $1$ 。

鋪色區域是以 $B$ 為圓心、半徑 $1$ 的扇形，兩條半徑通到小圓 $B$ 與大圓的兩個交點 $P$ 、 $Q$ 。在 $△ O B P$ 中， $\overline{O B} = \overline{O P} = 2$ 、 $\overline{B P} = 1$ ，由餘弦定理

$cos ∠ O B P = \frac{1 ^{2} + ( 2 ) ^{2} - ( 2 ) ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{2}{4}$

用計算器得 $∠ O B P \approx 1.2094$ 弧度。同理 $∠ O B Q$ 也一樣大，扇形的圓心角 $∠ P B Q \approx 2.4189$ 弧度，面積

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot 2.4189 \approx 1.209$

答案是 (4)。

選項 (5) 的

2.419

是圓心角的弧度，不是面積。

扇形面積是

\frac{1}{2} r^{2} θ

，

θ

要用弧度；圓心角求不出特別角時，用餘弦定理加計算器。

02多重選擇題（第 5～7 題）：弧度角的函數值、正弦型函數的性質、伸縮平移

第 5 題

答案 (5)。

(1) 錯誤。 這裡的 $1$ 與 $89$ 都是弧度。 $89 - 28 π \approx 89 - 87.965 = 1.035$ ，所以 $cos 89 = cos 1.035 \approx 0.51$ ，而 $sin 1 \approx 0.84$ ，兩者不相等。（若是 $1^{\circ}$ 與 $8 9^{\circ}$ 才相等。）

(2) 錯誤。 $2 π \approx 6.28$ ，比 $180$ 小。（ $2 π$ 弧度等於 $36 0^{\circ}$ ，但題目比的是兩個數。）

(3) 錯誤。 $\frac{3 π}{2} \approx 4.71$ 介於 $4$ 與 $5$ 之間。取 $θ = 4.8$ ， $\frac{3 π}{2} < 4.8 < 2 π$ 是第四象限角， $tan 4.8 < 0$ 。

(4) 錯誤。 $\frac{π}{2}$ 的終邊是 $y$ 軸正向，終邊上的點 $x$ 坐標是 $0$ ， $tan \frac{π}{2}$ 沒有定義。

(5) 正確。 $\frac{1001}{2022} π + \frac{10}{2022} π = \frac{1011}{2022} π = \frac{π}{2}$ ，兩角互餘， $sin \frac{1001}{2022} π = cos \frac{10}{2022} π$ 。所以原式 $= cos^{2} \frac{10}{2022} π + sin^{2} \frac{10}{2022} π = 1$ 。

第 6 題

答案 (1)(2)(5)。

(1) 正確。 $f (0) = 3 sin 0 = 0$ 。

(2) 正確。 $f (- x) = 3 sin (- 2 x) = - 3 sin 2 x = - f (x)$ ，點 $(x, y)$ 在圖形上時 $(- x, - y)$ 也在，圖形對稱於原點。

(3) 錯誤。 $sin x$ 的週期 $2 π$ ， $sin 2 x$ 左右縮成一半，週期 $\frac{2 π}{2} = π$ 。

(4) 錯誤。 $sin 2 x$ 介於 $- 1$ 與 $1$ ， $f (x)$ 介於 $- 3$ 與 $3$ ，振幅是 $3$ 。

(5) 正確。 角度多半圈，正弦值變號： $sin (2 x + π) = - sin 2 x$ ，所以 $g (x) = - 3 \cdot (- sin 2 x) = 3 sin 2 x = f (x)$ ，兩圖形重疊。

第 7 題

答案 (1)(3)(4)。

依序做：上下放大 $2$ 倍得 $y = 2 sin x$ ；左右伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍， $x$ 換成 $2 x$ ，得 $y = 2 sin 2 x$ ；向左平移 $\frac{π}{6}$ ， $x$ 換成 $x + \frac{π}{6}$ ，得

$g (x) = 2 sin (2 (x + \frac{π}{6})) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})$

(1) 正確。 $a = 2$ 。

(2) 錯誤。 $b = 2$ ，不是 $\frac{1}{2}$ 。

(3) 正確。 週期 $\frac{2 π}{2} = π$ 。

(4) 正確。 $y = 2 sin (- 2 x) = - 2 sin 2 x$ 。把它向右平移 $\frac{π}{3}$ ，得 $y = - 2 sin (2 x - \frac{2 π}{3})$ 。而角度多半圈正弦值變號，

$g (x) = 2 sin ((2 x - \frac{2 π}{3}) + π) = - 2 sin (2 x - \frac{2 π}{3})$

兩者相同，所以 $g$ 的圖形可由 $y = 2 sin (- 2 x)$ 向右平移 $\frac{π}{3}$ 得到。

(5) 錯誤。 依步驟寫出來的是 $c = \frac{π}{3}$ ，但題目只限制 $a > 0$ 、 $b > 0$ ，沒有限制 $c$ 的範圍。正弦值每隔 $2 π$ 重複， $2 sin (2 x + \frac{π}{3} + 2 π)$ 與 $g (x)$ 是同一個函數，所以 $c = \frac{π}{3} + 2 k π$ （ $k$ 為整數）都符合，不能確定 $c = \frac{π}{3}$ 。

若題目加上

0 \leq c < 2 π

這類範圍，

c

才會只剩

\frac{π}{3}

。

伸縮平移一律對

x

本身動手：左右伸縮

k

倍是

x

換成

\frac{x}{k}

，向左平移

h

是

x

換成

x + h

；平移量

c

沒限範圍時只能確定到差

2 π

的整數倍。

03填充題（第 8～12 題）：特別角、由圖讀週期、解三角方程式、扇形三等分、實根個數

第 8 題

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，

cos 0 = 1

，

tan \frac{π}{4} = 1

，和為

2 + \frac{3}{2}

。

第 9 題

圖上標出最高點 $(- π, 1)$ 與最低點 $(π, - 3)$ 。從最高點 $(- π, 1)$ 往右看，曲線依序經過一個最低點、一個最高點，才到最低點 $(π, - 3)$ ：最高點到下一個最高點是一個週期，最高點到相鄰的最低點是半個週期，所以從 $x = - π$ 到 $x = π$ 共 $1.5$ 個週期。

$1.5 T = π - (- π) = 2 π ⟹ T = \frac{4 π}{3}$

順便可讀出振幅

\frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2

、中線

y = - 1

，函數可寫成

y = 2 sin \frac{3}{2} x - 1

：代

x = - π

得

2 sin (- \frac{3 π}{2}) - 1 = 1

，代

x = π

得

2 sin \frac{3 π}{2} - 1 = - 3

，與圖相符。

第 10 題

令 $t = 2 x$ ， $π \leq x \leq \frac{9 π}{4}$ 變成 $2 π \leq t \leq \frac{9 π}{2}$ 。 $sin t = \frac{1}{2}$ 的解是 $t = \frac{π}{6} + 2 k π$ 或 $t = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ 。落在 $[2 π, \frac{9 π}{2}] = [\frac{12 π}{6}, \frac{27 π}{6}]$ 的有

$t = \frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6}, \frac{25 π}{6}$

（下一個 $\frac{29 π}{6}$ 已超過 $\frac{27 π}{6}$ 。）對應 $x = \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}, \frac{25 π}{12}$ ，和為 $\frac{55 π}{12}$ 。

第 11 題

設 $\overline{O A} = \overline{O B} = r$ 。扇形面積是 $\frac{1}{2} r^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π r ^{2}}{6}$ ，三份各 $\frac{π r ^{2}}{18}$ 。

$△ O B C$ 的面積是 $\frac{1}{2} \cdot \overline{O C} \cdot \overline{O B} \cdot sin \frac{π}{3} = \frac{3}{4} r \cdot \overline{O C}$ 。令它等於 $\frac{π r ^{2}}{18}$ ：

$\frac{O C}{r} = \frac{π}{18} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2 π}{9 3} \approx 0.403$

四捨五入到小數點後第一位是 $0.4$ 。

同理

△ O B D

是兩份，

\overline{O D} = 2 \overline{O C} \approx 0.81 r

，

D

確實在

\overline{O A}

上，剩下區域

B D A

剛好一份。

第 12 題

$lo g x$ 只在 $x > 0$ 有定義，而 $- 1 \leq sin x \leq 1$ ，所以實根只可能在 $lo g x \leq 1$ ，也就是 $0 < x \leq 10$ 。把兩個圖形畫在一起逐段看：

$0 < x \leq 1$ ： $lo g x \leq 0$ ，而 $sin x > 0$ ，沒有交點。

$1 < x \leq \frac{π}{2}$ ： $sin x \geq sin 1 \approx 0.84$ ， $lo g x \leq lo g \frac{π}{2} \approx 0.20$ ，沒有交點。

$\frac{π}{2} < x < π$ ： $sin x$ 由 $1$ 遞減到 $0$ ， $lo g x$ 由約 $0.20$ 遞增到 $lo g π \approx 0.50$ ，恰交一次。

$π \leq x \leq 2 π$ ： $sin x \leq 0 < lo g x$ ，沒有交點。

$2 π < x \leq 3 π$ ： $sin x$ 在 $x = 2 π$ 是 $0$ （小於 $lo g 2 π \approx 0.80$ ），在 $x = \frac{5 π}{2} \approx 7.85$ 升到 $1$ （大於 $lo g 7.85 \approx 0.90$ ），在 $x = 3 π \approx 9.42$ 又降到 $0$ （小於 $lo g 9.42 \approx 0.97$ ）。在 $\frac{5 π}{2} < x \leq 3 π$ 這段， $sin x$ 遞減、 $lo g x$ 遞增，兩者的差只會一路變小，所以恰好交一次；在 $2 π < x < \frac{5 π}{2}$ 這段兩者都遞增，由圖形可看出 $y = sin x$ 由下往上穿過 $y = lo g x$ 恰好一次。這一段共兩個交點。

$3 π < x \leq 10$ ： $sin x < 0 < lo g x$ ，沒有交點。

合計 $3$ 個實根。

用計算器可找到三個根約在

x \approx 2.70

、

7.33

、

8.26

。

數

sin x = lo g x

這類交點，先用值域把範圍縮小，再一段一段比兩條曲線的高低。

04混合題（第 13～15 題）：田徑場的彎道半徑、外道長度與前伸的角度

第 13 題

最內緣一圈是兩條直道加兩個半圓，兩個半圓合起來是一個整圓的周長 $2 π r$ ：

$2 \times 52.24 + 2 π r = 200 ⟹ 2 π r = 95.52 ⟹ r = \frac{95.52}{2 π} \approx 15.20$

答案是 (2)。

第 14 題

由內緣往外到第六道的內緣，要經過第一到第五道共 $5$ 個跑道寬，以及 $5$ 條分道線寬（ $5$ 公分 $= 0.05$ 公尺）：

$r_{6} = r + 5 \times (1.22 + 0.05) = r + 6.35 \approx 15.202 + 6.35 = 21.552$

第六道內緣一圈＝兩條直道＋一個半徑 $r_{6}$ 的整圓周：

$104.48 + 2 π r_{6} = 104.48 + 95.52 + 2 π \times 6.35 \approx 200 + 39.90 = 239.90$

答案是 (4)。

若忘了分道線寬，只加

5 \times 1.22 = 6.1

，會得到約

238.33

，選項中沒有。

第 15 題

第六道的選手從 $\overline{G H}$ 起跑，跑到射線 $O E$ 時，跑過兩條直道（共 $104.48$ 公尺），以及第六道彎道中扣掉 $∠ E O G$ 那一段後剩下的弧。兩個半圓彎道合起來的圓心角共 $2 π$ ，剩下的弧對應的圓心角是 $2 π - θ$ （ $θ = ∠ E O G$ ），半徑 $r_{6} \approx 21.552$ 。要跑滿 $200$ 公尺：

$104.48 + (2 π - θ) \times 21.552 = 200 ⟹ 2 π - θ = \frac{95.52}{21.552} \approx 4.432$

$θ \approx 6.2832 - 4.4321 \approx 1.85 （弳）$

所以 $∠ E O G \approx 1.85$ 弳。

也可以先算前伸數：第六道一圈比

200

公尺多

2 π \times 6.35 \approx 39.90

公尺，這段弧長在半徑

21.552

的圓上，對應的圓心角

\frac{39.90}{21.552} \approx 1.85

，結果相同。

跑道題的關鍵是「弧長＝半徑×弧度」：外道比內道長的部分全在彎道，前伸的角度就是多出的弧長除以該道的半徑。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

北一女中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題鋪色的是小圓的扇形，圓心角要由大圓半徑、小圓半徑組成的等腰三角形求；第 5 題選項一、二的數字都是弧度，不是度；第 7 題選項五只寫 c 等於三分之一圓周率，但題目沒有限制 c 的範圍，c 再加圓周率兩倍的整數倍也可以，所以不能確定；第 15 題第六道內緣的半徑要加上五個跑道寬與五條分道線寬。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形、伸縮平移與週期），並用到高一的三角比與餘弦定理

北一女中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

一、單選題(每題 6 分，共 24 分)

將一個圓形蛋糕，等份切成

12

個扇形小蛋糕，則下列何者為扇形小蛋糕(如下圖)角度

θ

的弧度量？

(1) $30$
(2) $\frac{π}{6}$
(3) $\frac{π}{24}$
(4) $\frac{π}{12}$
(5) $\frac{1}{12}$

載入中...

設函數

f (x) = sin x

，且

0 \leq x \leq \frac{2 π}{3}

，若此函數的最大值為

M

，最小值為

m

，則下列何者為

M + m

的值？

(1) $- 1$
(2) $1 - \frac{3}{2}$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $1 + \frac{3}{2}$

如下圖，小綠想將一台推車推過高度為

2

公尺的門，此推車平台和地面的距離為

0.5

公尺，且上方有個長方體物體斜放在平台上，其側面為長方形

A B C D

，其中

\overline{A D}

與平台的水平夾角為

θ

，

\overline{B C}

為

2

公尺，

\overline{A B}

為

1

公尺，可由角度

θ

控制是否可順利通過此門。若

θ = 2 0^{\circ}

時，則下列何者最接近推車從地面到最高點

C

的距離？

(1) $2.1$ 公尺
(2) $1.9$ 公尺
(3) $1.7$ 公尺
(4) $1.6$ 公尺
(5) $1.4$ 公尺

載入中...

如下圖，有一個以

O

為圓心，

2

為半徑的大圓，其圓周通過四個外切小圓的圓心

A, B, C, D

，則下列何者最接近鋪色的扇形面積？

(1) $0.361$
(2) $0.6047$
(3) $0.723$
(4) $1.209$
(5) $2.419$

載入中...

二、多重選擇題(每題 10 分，每個選項 2 分，共 30 分，整題未作答者，該題不予計分。)

下列敘述何者正確？

(1) $sin 1 = cos 89$
(2) $2 π > 180$
(3) 若 $4 < θ < 5$ ，則 $tan θ > 0$
(4) $tan \frac{π}{2} = 0$
(5) $sin^{2} \frac{1001}{2022} π + sin^{2} \frac{10}{2022} π = 1$

設函數

f (x) = 3 sin 2 x

，則下列敘述何者正確？

(1) $y = f (x)$ 的圖形過點 $(0, 0)$
(2) $y = f (x)$ 的圖形對稱於原點 $(0, 0)$
(3) $y = f (x)$ 圖形的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(4) $y = f (x)$ 圖形的振幅為 $2$
(5) $y = f (x)$ 圖形與 $g (x) = - 3 sin (2 x + π)$ 的圖形重疊

將函數

f (x) = sin x

的圖形，以

x

軸為中心，上下放大為原來的

2

倍，再以

y

軸為中心，左右伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍，然後向左平移

\frac{π}{6}

，則新的圖形為函數

g (x) = a sin (b x + c)

，其中

a > 0

，

b > 0

，則下列敘述何者正確？

(1) $a = 2$
(2) $b = \frac{1}{2}$
(3) 函數 $y = g (x)$ 的週期為 $π$
(4) 函數 $y = g (x)$ 的圖形亦可由 $y = 2 sin (- 2 x)$ 平移得到
(5) $c = \frac{π}{3}$

三、填充題(每格 6 分，共 30 分)

sin \frac{π}{3} + cos 0 + tan \frac{π}{4}

的值為 ____。

設下圖為

y = a sin b x + c

的部分圖形，則此圖形週期為 ____。

載入中...

已知

π \leq x \leq \frac{9 π}{4}

，則

sin 2 x = \frac{1}{2}

的所有實根之和為 ____。

小綠在班日時，將一個扇形

O A B

蛋糕平分成三等份(如下圖)，分給學姊、學妹享用。其中

∠ A O B = \frac{π}{3}

，切下

\overline{B C}

和

\overline{B D}

兩刀後，

△ O B C

、

△ B C D

和區域

B D A

的面積皆相等，則

\frac{O C}{O A}

的值為 ____。（請四捨五入求至小數點後第一位）

載入中...

方程式

sin x = lo g x

共有 ____ 個實根。

四、混合題(16 分)

混合題第 13～15 題（第 13～15 題）　綠園操場是半圓式

200

公尺田徑場，由兩個直道和兩個半圓的彎道所組成，其中

200

公尺是指最內緣一圈的長度（如圖一粗黑線條）。已知直道的距離為

52.24

公尺，即

\overline{A D} = \overline{B C} = 52.24

公尺。

試問最內道彎道的半徑近似於下列哪個選項？（公尺）(單選：5 分)

(1) $7.60$
(2) $15.20$
(3) $23.52$
(4) $30.40$
(5) $47.03$

載入中...

田徑場跑道由內向外稱為第一道、第二道、……，共六道。每個跑道的寬度皆為

1.22

公尺，跑道之間的分道線寬

5

公分，試問第六道內緣一圈的長度為多少公尺？(單選：5 分)

(1) $206.35$
(2) $215.71$
(3) $219.95$
(4) $239.90$
(5) $247.88$

在田徑徑賽中，為了使運動員所跑的距離相等，外道的起點要前移。在起點前移的距離，稱為前伸數。如圖二，如果第一道在彎道起始處

\overline{E F}

起跑，則第六道需要向前到

\overline{G H}

起跑，才能讓每一隊在射線

O E

搶跑道線前都跑了

200

公尺。由於彎道距離不方便用布尺來測量，我們透過測量

∠ E O G

的夾角來決定

\overline{G H}

的位置。試求

∠ E O G

。（單位：弳）（請以弧度量表示，並四捨五入到小數點後第二位）(6 分)

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(1)

第 4 題(4)

第 5 題(5)

第 6 題(1)(2)(5)

第 7 題(1)(3)(4)

第 8 題

2 + \frac{3}{2}

第 9 題

\frac{4 π}{3}

第 10 題

\frac{55 π}{12}

第 11 題

0.4

第 12 題

3

第 13 題(2)

第 14 題(4)

第 15 題

1.85

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：弧度量、正弦的最大最小值、傾斜長方體的高度、扇形面積

第 1 題

一整圈是 $36 0^{\circ}$ ，也就是 $2 π$ 弧度。等分成 $12$ 份，每份的圓心角

$θ = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}$

答案是 (2)。

\frac{π}{6}

就是

3 0^{\circ}

；選項 (1) 的

30

沒有寫度的記號，當弧度看是

30

弧度，不對。

第 2 題在

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，

sin x

由

0

增加到

1

；在

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

，

sin x

由

1

減少到

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

。所以最大值

M = 1

（在

x = \frac{π}{2}

），最小值

m = 0

（在

x = 0

，因為

\frac{3}{2} > 0

）。

M + m = 1

，答案是 (4)。

第 3 題

長方形中 $\overline{A D} = \overline{B C} = 2$ ， $\overline{D C} = \overline{A B} = 1$ 。 $A$ 在平台上， $\overline{A D}$ 與平台夾角 $θ$ ，所以 $D$ 比平台高

$\overline{A D} sin θ = 2 sin 2 0^{\circ}$

$0.5 + 2 sin 2 0^{\circ} + cos 2 0^{\circ} \approx 0.5 + 0.6840 + 0.9397 \approx 2.12 （公尺）$

最接近 $2.1$ 公尺，答案是 (1)。

B

比

A

高

cos 2 0^{\circ} \approx 0.94

，比

C

低，所以最高點是

C

。

第 4 題

$cos ∠ O B P = \frac{1 ^{2} + ( 2 ) ^{2} - ( 2 ) ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{2}{4}$

用計算器得 $∠ O B P \approx 1.2094$ 弧度。同理 $∠ O B Q$ 也一樣大，扇形的圓心角 $∠ P B Q \approx 2.4189$ 弧度，面積

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot 2.4189 \approx 1.209$

答案是 (4)。

選項 (5) 的

2.419

是圓心角的弧度，不是面積。

扇形面積是

\frac{1}{2} r^{2} θ

，

θ

要用弧度；圓心角求不出特別角時，用餘弦定理加計算器。

02多重選擇題（第 5～7 題）：弧度角的函數值、正弦型函數的性質、伸縮平移

第 5 題

答案 (5)。

(2) 錯誤。 $2 π \approx 6.28$ ，比 $180$ 小。（ $2 π$ 弧度等於 $36 0^{\circ}$ ，但題目比的是兩個數。）

(3) 錯誤。 $\frac{3 π}{2} \approx 4.71$ 介於 $4$ 與 $5$ 之間。取 $θ = 4.8$ ， $\frac{3 π}{2} < 4.8 < 2 π$ 是第四象限角， $tan 4.8 < 0$ 。

(4) 錯誤。 $\frac{π}{2}$ 的終邊是 $y$ 軸正向，終邊上的點 $x$ 坐標是 $0$ ， $tan \frac{π}{2}$ 沒有定義。

第 6 題

答案 (1)(2)(5)。

(1) 正確。 $f (0) = 3 sin 0 = 0$ 。

(2) 正確。 $f (- x) = 3 sin (- 2 x) = - 3 sin 2 x = - f (x)$ ，點 $(x, y)$ 在圖形上時 $(- x, - y)$ 也在，圖形對稱於原點。

(3) 錯誤。 $sin x$ 的週期 $2 π$ ， $sin 2 x$ 左右縮成一半，週期 $\frac{2 π}{2} = π$ 。

(4) 錯誤。 $sin 2 x$ 介於 $- 1$ 與 $1$ ， $f (x)$ 介於 $- 3$ 與 $3$ ，振幅是 $3$ 。

(5) 正確。 角度多半圈，正弦值變號： $sin (2 x + π) = - sin 2 x$ ，所以 $g (x) = - 3 \cdot (- sin 2 x) = 3 sin 2 x = f (x)$ ，兩圖形重疊。

第 7 題

答案 (1)(3)(4)。

$g (x) = 2 sin (2 (x + \frac{π}{6})) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})$

(1) 正確。 $a = 2$ 。

(2) 錯誤。 $b = 2$ ，不是 $\frac{1}{2}$ 。

(3) 正確。 週期 $\frac{2 π}{2} = π$ 。

(4) 正確。 $y = 2 sin (- 2 x) = - 2 sin 2 x$ 。把它向右平移 $\frac{π}{3}$ ，得 $y = - 2 sin (2 x - \frac{2 π}{3})$ 。而角度多半圈正弦值變號，

$g (x) = 2 sin ((2 x - \frac{2 π}{3}) + π) = - 2 sin (2 x - \frac{2 π}{3})$

兩者相同，所以 $g$ 的圖形可由 $y = 2 sin (- 2 x)$ 向右平移 $\frac{π}{3}$ 得到。

若題目加上

0 \leq c < 2 π

這類範圍，

c

才會只剩

\frac{π}{3}

。

伸縮平移一律對

x

本身動手：左右伸縮

k

倍是

x

換成

\frac{x}{k}

，向左平移

h

是

x

換成

x + h

；平移量

c

沒限範圍時只能確定到差

2 π

的整數倍。

03填充題（第 8～12 題）：特別角、由圖讀週期、解三角方程式、扇形三等分、實根個數

第 8 題

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，

cos 0 = 1

，

tan \frac{π}{4} = 1

，和為

2 + \frac{3}{2}

。

第 9 題

$1.5 T = π - (- π) = 2 π ⟹ T = \frac{4 π}{3}$

順便可讀出振幅

\frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2

、中線

y = - 1

，函數可寫成

y = 2 sin \frac{3}{2} x - 1

：代

x = - π

得

2 sin (- \frac{3 π}{2}) - 1 = 1

，代

x = π

得

2 sin \frac{3 π}{2} - 1 = - 3

，與圖相符。

第 10 題

$t = \frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6}, \frac{25 π}{6}$

（下一個 $\frac{29 π}{6}$ 已超過 $\frac{27 π}{6}$ 。）對應 $x = \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}, \frac{25 π}{12}$ ，和為 $\frac{55 π}{12}$ 。

第 11 題

設 $\overline{O A} = \overline{O B} = r$ 。扇形面積是 $\frac{1}{2} r^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π r ^{2}}{6}$ ，三份各 $\frac{π r ^{2}}{18}$ 。

$△ O B C$ 的面積是 $\frac{1}{2} \cdot \overline{O C} \cdot \overline{O B} \cdot sin \frac{π}{3} = \frac{3}{4} r \cdot \overline{O C}$ 。令它等於 $\frac{π r ^{2}}{18}$ ：

$\frac{O C}{r} = \frac{π}{18} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2 π}{9 3} \approx 0.403$

四捨五入到小數點後第一位是 $0.4$ 。

同理

△ O B D

是兩份，

\overline{O D} = 2 \overline{O C} \approx 0.81 r

，

D

確實在

\overline{O A}

上，剩下區域

B D A

剛好一份。

第 12 題

$lo g x$ 只在 $x > 0$ 有定義，而 $- 1 \leq sin x \leq 1$ ，所以實根只可能在 $lo g x \leq 1$ ，也就是 $0 < x \leq 10$ 。把兩個圖形畫在一起逐段看：

$0 < x \leq 1$ ： $lo g x \leq 0$ ，而 $sin x > 0$ ，沒有交點。

$1 < x \leq \frac{π}{2}$ ： $sin x \geq sin 1 \approx 0.84$ ， $lo g x \leq lo g \frac{π}{2} \approx 0.20$ ，沒有交點。

$\frac{π}{2} < x < π$ ： $sin x$ 由 $1$ 遞減到 $0$ ， $lo g x$ 由約 $0.20$ 遞增到 $lo g π \approx 0.50$ ，恰交一次。

$π \leq x \leq 2 π$ ： $sin x \leq 0 < lo g x$ ，沒有交點。

$3 π < x \leq 10$ ： $sin x < 0 < lo g x$ ，沒有交點。

合計 $3$ 個實根。

用計算器可找到三個根約在

x \approx 2.70

、

7.33

、

8.26

。

數

sin x = lo g x

這類交點，先用值域把範圍縮小，再一段一段比兩條曲線的高低。

04混合題（第 13～15 題）：田徑場的彎道半徑、外道長度與前伸的角度

第 13 題

最內緣一圈是兩條直道加兩個半圓，兩個半圓合起來是一個整圓的周長 $2 π r$ ：

$2 \times 52.24 + 2 π r = 200 ⟹ 2 π r = 95.52 ⟹ r = \frac{95.52}{2 π} \approx 15.20$

答案是 (2)。

第 14 題

由內緣往外到第六道的內緣，要經過第一到第五道共 $5$ 個跑道寬，以及 $5$ 條分道線寬（ $5$ 公分 $= 0.05$ 公尺）：

$r_{6} = r + 5 \times (1.22 + 0.05) = r + 6.35 \approx 15.202 + 6.35 = 21.552$

第六道內緣一圈＝兩條直道＋一個半徑 $r_{6}$ 的整圓周：

$104.48 + 2 π r_{6} = 104.48 + 95.52 + 2 π \times 6.35 \approx 200 + 39.90 = 239.90$

答案是 (4)。

若忘了分道線寬，只加

5 \times 1.22 = 6.1

，會得到約

238.33

，選項中沒有。

第 15 題

$104.48 + (2 π - θ) \times 21.552 = 200 ⟹ 2 π - θ = \frac{95.52}{21.552} \approx 4.432$

$θ \approx 6.2832 - 4.4321 \approx 1.85 （弳）$

所以 $∠ E O G \approx 1.85$ 弳。

也可以先算前伸數：第六道一圈比

200

公尺多

2 π \times 6.35 \approx 39.90

公尺，這段弧長在半徑

21.552

的圓上，對應的圓心角

\frac{39.90}{21.552} \approx 1.85

，結果相同。

跑道題的關鍵是「弧長＝半徑×弧度」：外道比內道長的部分全在彎道，前伸的角度就是多出的弧長除以該道的半徑。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

北一女中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 15 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1～4 題）：弧度量、正弦的最大最小值、傾斜長方體的高度、扇形面積

02多重選擇題（第 5～7 題）：弧度角的函數值、正弦型函數的性質、伸縮平移

03填充題（第 8～12 題）：特別角、由圖讀週期、解三角方程式、扇形三等分、實根個數

04混合題（第 13～15 題）：田徑場的彎道半徑、外道長度與前伸的角度

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

北一女中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

北一女中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

北一女中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 15 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1～4 題）：弧度量、正弦的最大最小值、傾斜長方體的高度、扇形面積

02多重選擇題（第 5～7 題）：弧度角的函數值、正弦型函數的性質、伸縮平移

03填充題（第 8～12 題）：特別角、由圖讀週期、解三角方程式、扇形三等分、實根個數

04混合題（第 13～15 題）：田徑場的彎道半徑、外道長度與前伸的角度

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

北一女中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

北一女中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

北一女中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

北一女中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

北一女中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

北一女中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

北一女中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

北一女中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？