北一女中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (3)(5)。$f^{\prime }(x)=-3x^2+12=-3(x+2)(x-2)$，$f^{\prime \prime }(x)=-6x$。

$f^{\prime }(x)$ 在 $x<-2$ 為負、$-2<x<2$ 為正、$x>2$ 為負，所以 $f$ 在 $x=-2$ 有極小值 $f(-2)=-16+a$，在 $x=2$ 有極大值 $f(2)=16+a$。

(1) 錯誤。 $f^{\prime \prime }(x)=-6x$ 在 $0<x\le 2$ 為負，那一段凹口向下；只有 $x<0$ 凹口向上。

(2) 錯誤。 $f^{\prime \prime }(2)=-12<0$，$x=2$ 是極大值，不是極小值。

(3) 正確。 在 $[-3,5]$ 上，最小值只可能出現在端點或極小點。$f(-3)=-9+a$，$f(-2)=-16+a$，$f(5)=-125+60+a=-65+a$，其中 $f(5)$ 最小，所以最小值發生在 $x=5$。

(4) 錯誤。 $f^{\prime \prime }(x)=-6x$ 在 $x=0$ 由正變負，反曲點的 $x$ 坐標是 $0$，但 $f(0)=a$，反曲點是 $(0,a)$；只有 $a=0$ 時才是 $(0,0)$。

(5) 正確。 三次函數 $y=f(x)$ 與 $x$ 軸交三點的條件是極大值大於 $0$、極小值小於 $0$：$16+a>0$ 且 $-16+a<0$，即 $-16<a<16$。

答案 (2)(4)(5)。

(1) 錯誤。 反例 $f(x)=x^3$：$f^{\prime }(0)=0$，但 $f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$，$f$ 一直遞增，$x=0$ 不是極值。

(2) 正確。 多項式函數處處可微分。若 $f(a)$ 是極大值，則 $a$ 附近 $f(x)\le f(a)$，左導數 $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\ge 0$，右導數 $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\le 0$，兩者都等於 $f^{\prime }(a)$，所以 $f^{\prime }(a)=0$；極小值同理。

(3) 錯誤。 反例 $f(x)=x^4$：$f^{\prime \prime }(x)=12x^2$，$f^{\prime \prime }(0)=0$，但 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 兩側都凹口向上，$x=0$ 不是反曲點。

(4) 正確。 反曲點是凹口方向改變的點。若 $f^{\prime \prime }(a)>0$，因為 $f^{\prime \prime }(x)$ 是多項式、是連續函數，$a$ 附近都有 $f^{\prime \prime }(x)>0$，$a$ 的兩側都凹口向上，不是反曲點；$f^{\prime \prime }(a)<0$ 同理。所以 $f^{\prime \prime }(a)=0$。

(5) 正確。 這是二階導數判別法：$f^{\prime }(a)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(a)>0$ 時，$f$ 在 $x=a$ 有極小值。

答案 (4)。

(1) 錯誤。 $f(x)$ 的反導函數不只一個，彼此差一個常數，不定積分要寫成 $\int f(x)dx=F(x)+C$（$C$ 為任意常數），不能只寫 $F(x)$。

(2) 錯誤。 反例 $f(x)=x^2+1>0$，但 $f^{\prime }(x)=2x$ 在 $x\le 0$ 時不大於 $0$。

(3) 錯誤。 反例 $f(x)=x$：$f^{\prime }(x)=1>0$ 恆成立，但 $f(-1)=-1<0$。

(4) 正確。 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續且 $f(x)>0$，${\int }_a^{b}f(x)dx$ 是 $y=f(x)$ 與 $x$ 軸在 $a$ 到 $b$ 之間所圍區域的面積，大於 $0$。

(5) 錯誤。 反例 $f(x)=x$，$a=-1$，$b=2$：${\int }_{-1}^{2}xdx=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}>0$，但 $f(-1)=-1<0$。

答案 (1)(2)(5)。把 $[0,5]$ 平分成 $n$ 等分，每段寬 $\frac{5}{n}$，分點 $x_k=\frac{5k}{n}$（$k=0,1,\dots ,n$）。$f$ 遞增，每一小段的最大值在右端點、最小值在左端點，所以

$$U_n=\frac{5}{n}\sum _{k=1}^{n}f(x_k),L_n=\frac{5}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(x_k)$$

(1) 正確。 $f$ 遞增，$x\ge 0$ 時 $f(x)\ge f(0)=2>0$，$L_n$ 每一項都是正的，$L_n\ge 0$。

(2) 正確。 分成 $20$ 等分是把 $10$ 等分的每一段再對半分。原來一段 $[x_{k-1},x_k]$ 在 $U_{10}$ 裡貢獻 $f(x_k)\times \frac{1}{2}$；對半後兩小段貢獻 $f(\text{中點})\times \frac{1}{4}+f(x_k)\times \frac{1}{4}$，因為 $f(\text{中點})\le f(x_k)$，所以不會變大。因此 $U_{20}\le U_{10}$，(2) 成立。

(3) 錯誤。 同樣的道理，對半後一段的貢獻由 $f(x_{k-1})\times \frac{1}{2}$ 變成 $f(x_{k-1})\times \frac{1}{4}+f(\text{中點})\times \frac{1}{4}$，不會變小，所以 $L_{20}\ge L_{10}$；例如 $f(x)=\frac{6}{5}x+2$（遞增、$f(0)=2$、$f(5)=8$）時 $L_{10}=23.5<L_{20}=24.25$，$L_{10}\ge L_{20}$ 不成立。

(4) 錯誤。 下和不超過面積、面積不超過上和：$L_{20}\le {\int }_0^{5}f(x)dx\le U_{10}$，而且 $L_{20}<U_{10}$。上例中 $L_{20}=24.25<U_{10}=26.5$。

(5) 正確。 兩個和相減，中間的項全部消去：

$$U_n-L_n=\frac{5}{n}\left(f(x_n)-f(x_0)\right)=\frac{5}{n}\left(f(5)-f(0)\right)=\frac{30}{n}$$

所以 $U_{10}-L_{10}=\frac{30}{10}=3$。

$f(5)=0$（分子有因式 $x-5$）。由導數的定義，

$$f^{\prime }(5)=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{f(x)-f(5)}{x-5}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{(x-1)(x-3)}{(x+2)(x+4)(x+6)}=\frac{4\times 2}{7\times 9\times 11}=\frac{8}{693}$$

$3x^5$、$-x^3$、$x$ 都是奇函數，在對稱區間 $[-2,2]$ 上的定積分為 $0$。$5x^4$ 是偶函數，

$${\int }_{-2}^{2}5x^{4}dx=2{\int }_0^{2}5x^{4}dx=2{\left[x^5\right]}_0^2=2\times 32=64$$

所以原式 $=64$。

$x\to 2$ 時分母 $x-2\to 0$，極限存在，所以分子也要趨近 $0$：$f(2)-3=0$，$f(2)=3$。於是

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-3}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)=4$$

$x=2$ 附近的一次近似就是 $x=2$ 處的切線：$f(x)\approx f(2)+f^{\prime }(2)(x-2)=3+4(x-2)=4x-5$。所以 $m=4$，$k=-5$。

由商的微分，

$$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+3)-(x+1)\cdot 2x}{(x^2+3{)}^2}=\frac{-x^2-2x+3}{(x^2+3{)}^2}=\frac{-(x+3)(x-1)}{(x^2+3{)}^2}$$

分母恆正，$f^{\prime }(x)\ge 0⟺(x+3)(x-1)\le 0⟺-3\le x\le 1$，且只在兩端點 $f^{\prime }=0$。所以 $f$ 的遞增區間為 $[-3,1]$。

令 $x=a$：左邊 ${\int }_a^{a}f(t)dt=0$，所以 $a^4+2a^2-3=0$，$(a^2+3)(a^2-1)=0$，$a^2=1$；$a$ 為正數，$a=1$。

兩邊對 $x$ 微分，由微積分基本定理，$f(x)=\frac{d}{dx}\left(x^4+2x^2-3\right)=4x^3+4x$。所以 $f(a)=f(1)=4+4=8$。

$g(x)=-f(x)$，兩圖形對稱於 $x$ 軸，交點是 $f(x)=0$ 的地方：$x=-5,0,2$。在 $[-5,1]$ 中，所圍區域的面積是

$${\int }_{-5}^1\left|f(x)-g(x)\right|dx=2{\int }_{-5}^1\left|f(x)\right|dx$$

$f(x)=\frac{1}{20}(x^3+3x^2-10x)$。在 $-5\le x\le 0$ 時 $x+5\ge 0$、$x\le 0$、$x-2<0$，所以 $f(x)\ge 0$；在 $0\le x\le 1$ 時 $f(x)\le 0$。令 $G(x)=\frac{x^4}{4}+x^3-5x^2$（$x^3+3x^2-10x$ 的反導函數），$G(0)=0$，$G(-5)=\frac{625}{4}-125-125=-\frac{375}{4}$，$G(1)=\frac{1}{4}+1-5=-\frac{15}{4}$。

$${\int }_{-5}^0(x^3+3x^2-10x)dx=0-\left(-\frac{375}{4}\right)=\frac{375}{4}$$

$${\int }_0^1(x^3+3x^2-10x)dx=-\frac{15}{4}$$

所以面積 $=2\times \frac{1}{20}\left(\frac{375}{4}+\frac{15}{4}\right)=\frac{1}{10}\times \frac{390}{4}=\frac{39}{4}$。

繞 $x$ 軸旋轉，$x$ 處的截面是半徑 $\left|f(x)\right|$ 的圓，面積 $\pi f(x{)}^2=\pi \cdot \frac{1}{81}{x}^2(9-x^2)$。所以體積

$$V=\pi {\int }_0^3\frac{1}{81}(9x^2-x^4)dx=\frac{\pi }{81}{\left[3x^3-\frac{x^5}{5}\right]}_0^3=\frac{\pi }{81}\left(81-\frac{243}{5}\right)=\frac{\pi }{81}\times \frac{162}{5}=\frac{2}{5}\pi$$