段考詳解範圍：三角函數（弧度量與扇形、三角函數的圖形與週期、圖形的伸縮與平移、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

北一女中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 12 題直線恰好通過正弦曲線的最低點，最低點左邊還藏著一個交點，只數到最低點會少算兩個根；第 6 題要求 c 介於 0 與二分之 π 之間，b 只能是負的，不是二分之一；第 15 題前伸數要用第六道內緣的半徑去除，不是最內道的半徑；第 16 題選項 (5) 要先算出木板轉到水平時左端離轉角多遠，才知道會撞牆。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《三角函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

卷頭印「111 學年度第一學期第二次期中考高二數學 A（理組）題目卷」，註明可以使用指定機型的計算器、總分超過 100 分者以 100 分計。單選題 4 題（每題 6 分，共 24 分）、多選題 2 題（每題 10 分，共 20 分）、填充題 6 題（每題 7 分，共 42 分）、混合題 1 題組 3 小題（甲、乙單選各 5 分，丙填充 4 分，共 14 分），合計 100 分；另有加分題 1 題（最多 5 分）。原卷填充題子～巳是本頁第 7～12 題，混合題甲～丙是第 13～15 題，加分題是第 16 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，16 題全部一致。

一、單選題(每題 6 分，共 24 分)

設函數

y = cos x

，若此函數在

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

的最大值為

M

，最小值為

m

，則

M + m

之值為何？

(1) $1$
(2) $0$
(3) $\frac{3}{2} - 1$
(4) $- \frac{1}{2}$
(5) $1 - \frac{3}{2}$

設

\frac{π}{2} < α < π

，

0 < β < \frac{π}{2}

，且

sin α = cos β = \frac{3}{5}

，則

sin (α + 2 β)

之值為何？

(1) $\frac{4}{5}$
(2) $\frac{117}{125}$
(3) $\frac{3}{5}$
(4) $- \frac{3}{5}$
(5) $\frac{- 117}{125}$

如下圖，小綠想將一台推車推過高度為

2

公尺的門，此推車平台和地面的距離為

0.5

公尺。現將一個長方體物體斜放在平台上，其側面為長方形

A B C D

，其中

\overline{A D}

與平台的水平夾角為

θ

(0 < θ < \frac{π}{2})

，

\overline{B C}

為

2

公尺，

\overline{A B}

為

1

公尺。若推車能順利通過此門，則夾角

θ

之最大值近似於下列哪個數值？

(1) $15.5 6^{\circ}$
(2) $19.4 7^{\circ}$
(3) $26.5 7^{\circ}$
(4) $36.8 7^{\circ}$
(5) $42.1 3^{\circ}$

載入中...

如下圖，有一個以

O

為圓心，

2

為半徑的大圓，其圓周通過四個外切小圓的圓心

A, B, C, D

，試問鋪色的扇形面積近似於多少平方單位？

(1) $0.361$
(2) $0.6047$
(3) $0.723$
(4) $1.209$
(5) $2.419$

載入中...

二、多選題(每題 10 分，一個選項 2 分，未作答不計分，共 20 分)

試問下列哪些選項正確？

(1) $sin (\frac{π}{3} + θ) cos (\frac{π}{3} - θ) + cos (\frac{π}{3} + θ) sin (\frac{π}{3} - θ) = \frac{3}{2}$
(2) $tan 2 0^{\circ} tan 6 5^{\circ} + tan 2 0^{\circ} - tan 6 5^{\circ} + 1 = 2$
(3) $cos 10 5^{\circ} = \frac{1 + cos 21 0 ^{\circ}}{2}$
(4) $cos 31 6^{\circ} sin 1 6^{\circ} - sin 22 4^{\circ} cos 34 4^{\circ} = \frac{3}{2}$
(5) $sin^{2} (\frac{π}{7}) + sin^{2} (\frac{5 π}{14}) = 1$

將函數

f (x) = cos x

的圖形，以

x

軸為中心，上下放大為原來的

2

倍，再以

y

軸為中心，左右伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍，然後向左平移

\frac{π}{6}

，接著將所得函數圖形化成

y = g (x) = a sin (b x + c)

，其中

a > 0

，

0 < c < \frac{π}{2}

，試問下列哪些選項正確？

(1) $a = 2$
(2) $b = \frac{1}{2}$
(3) 函數 $y = g (x)$ 的週期為 $π$
(4) 函數 $y = g (x)$ 的圖形亦可由 $y = 2 sin (- 2 x)$ 平移得到
(5) $c = \frac{π}{6}$

三、填充題(每題 7 分，共 42 分)

子. 函數

f (x) = 3 cos 111 x - 4 sin 111 x

的最大值為

。

丑. 若下圖為

y = a sin b x + c

的部分圖形，則此圖形週期為

。

載入中...

寅. 若兩直線

L_{1} : 3 x + y = 0

與

L_{2} : x - 2 y = 1

所夾的銳角為

θ

，則

θ

為

（弳）。（請四捨五入到小數點後第二位）

卯. 若

f (x) = sin^{4} x + cos^{4} x

，則

f (\frac{π}{12}) =

。

辰. 小綠在班日時，將一個扇形蛋糕

O A B

平分成三等份(如下圖)分給學姊、學妹享用，其中

∠ A O B = \frac{π}{3}

。切下

\overline{B C}

和

\overline{B D}

兩刀後，

△ O B C

、

△ B C D

和區域

B D A

的面積皆相等，則

\frac{O C}{O A}

的值為

。（請四捨五入求至小數點後第一位）

載入中...

巳. 方程式

sin (\frac{π}{4} x) = - \frac{x}{6}

有

個實根。

四、混合題(共 14 分)

四、混合題（甲、乙、丙）（第 13～15 題）　綠園操場是半圓式

200

公尺田徑場，由兩個直道和兩個半圓的彎道所組成(圖一為其示意圖)，其中

200

公尺是指最內緣一圈的長度(如圖一的粗黑線條)。已知直道的距離為

52.24

公尺，即：

\overline{A D} = \overline{B C} = 52.24

公尺。

甲. (單選)試問最內道彎道的半徑近似於多少公尺？(5 分)

(1) $7.60$
(2) $15.20$
(3) $23.52$
(4) $30.40$
(5) $47.03$

載入中...

乙. (單選)田徑場跑道由內向外稱為第一道、第二道、……，共六道。每個跑道的寬度皆為

1.22

公尺，跑道之間的分道線寬

5

公分，試問第六道內緣一圈的長度為多少公尺？(5 分)

(1) $206.35$
(2) $215.71$
(3) $219.95$
(4) $239.90$
(5) $247.88$

丙. (填充)在田徑徑賽中，為了使運動員所跑的距離相等，外道的起點要前移。在起點前移的距離，稱為前伸數。如圖二，如果第一道在彎道起始處

\overline{E F}

起跑，則第六道需要向前到

\overline{G H}

起跑，才能讓每一隊在

O E

搶跑道線前都跑了

200

公尺。因彎道距離不方便用布尺來測量，我們透過測量

∠ H O F

的夾角來決定

H

點的位置。試求

∠ H O F =

（弳）。(4 分) (請以弧度量表示，並四捨五入到小數點後第二位)

五、加分題(全對得 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，其餘不給分)

小綠想將一個正方形木板（厚度不計）運送經過一個轉角，下圖為轉角的俯視圖，圖中

\overline{A B}

為正方形木板，其長度為

x

公尺，灰色部分為牆壁，白色為可供人移動的空間，各部分寬度如下圖的標示。她運送方式如下：先旋轉此木板角度

θ_{1}

到

\overline{A_{1} B_{1}}

，然後向前移動

x_{1}

公尺到

\overline{A_{2} B_{2}}

，再旋轉角度

θ_{2}

到

\overline{A_{3} B_{3}}

，然後向前移動

x_{2}

公尺到

\overline{A_{4} B_{4}}

，再旋轉角度

θ_{3}

到

\overline{A_{5} B_{5}}

，然後向前移動

x_{3}

公尺到

\overline{A_{6} B_{6}}

，再旋轉角度

θ_{4}

到

\overline{A_{7} B_{7}}

，就能順利通過這個轉角了。試問下列哪些選項正確？

(1) 若依照此搬移方式，則 $θ_{1} = θ_{4}$ ， $θ_{2} = θ_{3}$ ，且 $θ_{1} + θ_{2} = \frac{π}{2}$ 。
(2) 若 $B_{1}$ 恰好碰到牆壁，則 $sin θ_{1} = \frac{3}{x - 2}$ 。
(3) 若 $B_{1}$ 恰好碰到牆壁，則 $x_{1} = \frac{2}{cos θ _{1}} - 2$ 。
(4) 若轉 $θ_{2}$ 後， $B_{3}$ 恰好碰到牆壁，則 $3 = x - \frac{2}{sin θ _{2}}$ 。
(5) 若 $\overline{A B} = 6.5$ 公尺，則用此搬運方式（意即：只需要轉四次就能把木板運出轉角），可不破壞牆壁或木板，便將正方形木板 $\overline{A B}$ 運送經過這個轉角。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(1)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(4)(5)

第 6 題(1)(3)(4)(5)

第 7 題

5

第 8 題

\frac{4 π}{3}

第 9 題

1.43

第 10 題

\frac{7}{8}

第 11 題

0.4

第 12 題

5

第 13 題(2)

第 14 題(4)

第 15 題

1.85

第 16 題(1)(2)(3)(4)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：單選題

第 1 題答案 (3)。

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

包含

x = π

，所以最小值

m = cos π = - 1

。

cos x

在

[\frac{π}{6}, π]

遞減、在

[π, \frac{5 π}{3}]

遞增，最大值只可能在兩個端點：

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

，

cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2}

，較大的是

\frac{3}{2}

，所以

M = \frac{3}{2}

。

M + m = \frac{3}{2} - 1

。

區間沒有包含

x = 0

或

x = 2 π

，最大值不是

1

，要比較兩個端點。

第 2 題

答案 (5)。 $α$ 在第二象限， $sin α = \frac{3}{5}$ ，所以 $cos α = - \frac{4}{5}$ 。 $β$ 是銳角， $cos β = \frac{3}{5}$ ，所以 $sin β = \frac{4}{5}$ 。二倍角： $sin 2 β = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$ ， $cos 2 β = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = - \frac{7}{25}$ 。和角公式：

$sin (α + 2 β) = sin α cos 2 β + cos α sin 2 β = \frac{3}{5} \cdot (- \frac{7}{25}) + (- \frac{4}{5}) \cdot \frac{24}{25} = - \frac{117}{125}$

cos α

的正負號決定答案是

\frac{117}{125}

還是

- \frac{117}{125}

；

α

在第二象限，餘弦是負的。

第 3 題答案 (1)。以

A

為基準：

\overline{A D}

與平台夾

θ

角往左上，

D

比

A

高

2 sin θ

；

\overline{A B} ⊥ \overline{A D}

往右上，

\overline{A B}

與鉛直方向夾

θ

角，

B

比

A

高

cos θ

。最高點是

C

，比平台高

2 sin θ + cos θ

。能通過門的條件：

0.5 + 2 sin θ + cos θ \leq 2

，即

2 sin θ + cos θ \leq 1.5

。疊合：

2 sin θ + cos θ = 5 sin (θ + φ)

，其中

φ

是銳角，

cos φ = \frac{2}{5}

、

sin φ = \frac{1}{5}

（

tan φ = \frac{1}{2}

，用計算器得

φ \approx 26.5 7^{\circ}

）。條件變成

sin (θ + φ) \leq \frac{1.5}{5} \approx 0.6708

。

θ + φ

由

26.5 7^{\circ}

往上增加，在不超過

9 0^{\circ}

時正弦遞增，用計算器得

sin^{- 1} 0.6708 \approx 42.1 3^{\circ}

，所以

θ + φ \leq 42.1 3^{\circ}

，

θ \leq 42.1 3^{\circ} - 26.5 7^{\circ} = 15.5 6^{\circ}

。

選項 (3) 的

26.5 7^{\circ}

是疊合用的角

φ

，選項 (5) 的

42.1 3^{\circ}

是

θ + φ

，都還不是

θ

。驗算：

θ = 15.5 6^{\circ}

時

2 sin θ + cos θ \approx 2 \times 0.2683 + 0.9633 = 1.4999

。

第 4 題答案 (4)。

A, B, C, D

在半徑

2

的圓上，四個小圓依序外切，

A B C D

是內接於大圓的正方形，對角線長

22

，邊長

2

，相鄰兩小圓圓心距

2

，所以小圓半徑都是

1

。鋪色的扇形以

B

為圓心、半徑

1

，兩條半徑通到小圓

B

與大圓的兩個交點

P

、

Q

，弧在靠近

O

的一側。在

△ O B P

中，

\overline{O B} = \overline{O P} = 2

、

\overline{B P} = 1

，餘弦定理：

cos ∠ O B P = \frac{2 + 1 - 2}{2 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{2}{4}

，用計算器得

∠ O B P \approx 69.3 0^{\circ}

。

P

、

Q

對稱於直線

O B

，扇形的圓心角

∠ P B Q = 2∠ O B P \approx 138.5 9^{\circ}

，換成弧度約

138.59 \times \frac{π}{180} \approx 2.419

。扇形面積

= \frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot 2.419 \approx 1.209

平方單位。

選項 (5) 的

2.419

是圓心角的弧度，忘了乘

\frac{1}{2} r^{2}

就會選它。也可以用二倍角檢查：

cos ∠ P B Q = 2 (\frac{2}{4})^{2} - 1 = - \frac{3}{4}

。

02第 5～6 題：多選題

第 5 題答案 (1)(4)(5)。(1) 正確。 正弦的和角公式倒過來用：左式

= sin [(\frac{π}{3} + θ) + (\frac{π}{3} - θ)] = sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

。(2) 錯誤。

tan 4 5^{\circ} = tan (6 5^{\circ} - 2 0^{\circ}) = \frac{tan 6 5 ^{\circ} - tan 2 0 ^{\circ}}{1 + tan 6 5 ^{\circ} tan 2 0 ^{\circ}} = 1

，所以

tan 6 5^{\circ} - tan 2 0^{\circ} = 1 + tan 2 0^{\circ} tan 6 5^{\circ}

，移項得

tan 2 0^{\circ} tan 6 5^{\circ} + tan 2 0^{\circ} - tan 6 5^{\circ} = - 1

，左式

= - 1 + 1 = 0

，不是

2

。(3) 錯誤。

10 5^{\circ}

在第二象限，

cos 10 5^{\circ} < 0

；右邊是根號，不是負數。半角公式應該是

cos 10 5^{\circ} = - \frac{1 + cos 21 0 ^{\circ}}{2}

。(4) 正確。

cos 31 6^{\circ} = cos 4 4^{\circ}

，

sin 22 4^{\circ} = - sin 4 4^{\circ}

，

cos 34 4^{\circ} = cos 1 6^{\circ}

，左式

= cos 4 4^{\circ} sin 1 6^{\circ} + sin 4 4^{\circ} cos 1 6^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。(5) 正確。

\frac{5 π}{14} = \frac{π}{2} - \frac{π}{7}

，所以

sin \frac{5 π}{14} = cos \frac{π}{7}

，左式

= sin^{2} \frac{π}{7} + cos^{2} \frac{π}{7} = 1

。

第 6 題

答案 (1)(3)(4)(5)。依序做：上下放大 $2$ 倍得 $y = 2 cos x$ ；左右伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍得 $y = 2 cos 2 x$ ；向左平移 $\frac{π}{6}$ 得 $y = 2 cos [2 (x + \frac{π}{6})] = 2 cos (2 x + \frac{π}{3})$ 。化成正弦： $cos u = sin (\frac{π}{2} - u)$ ，所以

$g (x) = 2 sin (\frac{π}{2} - 2 x - \frac{π}{3}) = 2 sin (- 2 x + \frac{π}{6})$

$a = 2$ ， $b = - 2$ ， $c = \frac{π}{6}$ ，符合 $a > 0$ 、 $0 < c < \frac{π}{2}$ 。若改取 $b = 2$ ，要 $2 sin (2 x + c) = 2 cos (2 x + \frac{π}{3}) = 2 sin (2 x + \frac{5 π}{6})$ ， $c$ 只能是 $\frac{5 π}{6}$ 加 $2 π$ 的整數倍，不在 $0$ 與 $\frac{π}{2}$ 之間，所以 $b$ 只能是 $- 2$ 。(1) 正確。 (2) 錯誤。 $b = - 2$ 。(3) 正確。 週期 $\frac{2 π}{∣ b ∣} = π$ 。(4) 正確。 $g (x) = 2 sin [- 2 (x - \frac{π}{12})]$ ，是 $y = 2 sin (- 2 x)$ 向右平移 $\frac{π}{12}$ 。(5) 正確。

題目沒有規定

b > 0

，限制在

c

的範圍；先把伸縮平移的結果寫成餘弦，再用

cos u = sin (\frac{π}{2} - u)

換成正弦，係數

b

自然是負的。

03第 7～12 題：填充題（子～巳）

第 7 題令

θ = 111 x

，

f = 3 cos θ - 4 sin θ

。疊合：

3^{2} + 4^{2} = 5

，

f = 5 (\frac{3}{5} cos θ - \frac{4}{5} sin θ) = 5 cos (θ + φ)

，其中

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

。

θ

可以是任意實數，

cos (θ + φ)

可以等於

1

，所以最大值是

5

。

111 x

只影響週期，不影響最大值。

第 8 題從圖上看，最高點

(- π, 1)

往右依序是：最低點、最高點（在

y

軸右邊）、最低點

(π, - 3)

。相鄰的最高點與最低點相隔半個週期，所以從

(- π, 1)

到

(π, - 3)

共隔了

3

個半週期：

\frac{3}{2} T = π - (- π) = 2 π

，週期

T = \frac{4 π}{3}

。

若以為

(- π, 1)

與

(π, - 3)

只隔半個週期，會得到

4 π

；一定要數清楚中間經過幾個最高點與最低點。附帶可得

a

的絕對值為

2

、

c = - 1

。

第 9 題

$L_{1}$ 的斜率 $m_{1} = - 3$ ， $L_{2}$ 的斜率 $m_{2} = \frac{1}{2}$ 。設兩直線的斜角為 $α$ 、 $β$ ，夾角是 $α - β$ 或它的補角，由正切的差角公式：

$tan (α - β) = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}} = \frac{- 3 - \frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{2}} = 7$

所夾銳角 $θ$ 滿足 $tan θ = 7$ 。計算器設成弳度， $tan^{- 1} 7 \approx 1.4289$ ，四捨五入得 $1.43$ 弳。

計算器若設在度（DEG），得到的是

81.8 7^{\circ}

，要再乘

\frac{π}{180}

。

第 10 題

sin^{4} x + cos^{4} x = (sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - \frac{1}{2} (2 sin x cos x)^{2} = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x

。

x = \frac{π}{12}

時

sin 2 x = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

，所以

f (\frac{π}{12}) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{8}

。

第 11 題

設 $\overline{O A} = \overline{O B} = r$ 。扇形面積 $= \frac{1}{2} r^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π r ^{2}}{6}$ ，每一份是 $\frac{π r ^{2}}{18}$ 。 $△ O B C$ 的面積 $= \frac{1}{2} \cdot \overline{O C} \cdot r \cdot sin \frac{π}{3} = \frac{3}{4} r \cdot \overline{O C}$ 。令它等於 $\frac{π r ^{2}}{18}$ ，得

$\frac{O C}{O A} = \frac{O C}{r} = \frac{4 π}{18 3} = \frac{2 3 π}{27} \approx 0.403$

四捨五入到小數點後第一位是 $0.4$ 。

只用到第一份（

△ O B C

）是扇形的三分之一；

D

的位置由第二份決定，與所求無關。

第 12 題數

y = sin \frac{π x}{4}

（週期

8

）與直線

y = - \frac{x}{6}

的交點。兩個函數都是奇函數，交點對稱於原點，

x = 0

是一個根，只要數

x > 0

的根再乘

2

。直線在

x > 6

時低於

- 1

，沒有交點；在

0 < x < 4

時正弦是正的、直線是負的，也沒有交點。所以只看

4 < x \leq 6

。

x = 6

時

sin \frac{3 π}{2} = - 1

、直線也是

- 1

，

x = 6

是一個根（直線恰好通過正弦曲線的最低點）。再取幾個點比較正弦值與直線值：

x = 4.25

時約

- 0.195

與

- 0.708

；

x = 5

時約

- 0.707

與

- 0.833

；

x = 5.5

時約

- 0.924

與

- 0.917

。

4 < x \leq 4.25

時正弦

\geq - 0.195

，直線

\leq - \frac{2}{3}

；

4.25 \leq x \leq 5

時正弦

\geq - 0.7071

，直線

\leq - 0.7083

；所以

4 < x \leq 5

正弦都在直線上方。

x = 5

時在上方、

x = 5.5

時在下方，中間有一個交點。

5.5 \leq x < 6

這一段：令

u = 6 - x

，

0 < u \leq 0.5

，則

sin \frac{π x}{4} + \frac{x}{6} = 1 - \frac{u}{6} - cos \frac{π u}{4}

。因為

1 - cos t = 2 sin^{2} \frac{t}{2} \leq \frac{t ^{2}}{2}

，這個值

\leq \frac{π ^{2} u ^{2}}{32} - \frac{u}{6} = u (\frac{π ^{2} u}{32} - \frac{1}{6}) < 0

（

u \leq 0.5 < \frac{32}{6 π ^{2}} \approx 0.54

），所以這一段曲線都在直線下方，到

x = 6

才碰到。

x > 0

有

2

個根，全部共

2 \times 2 + 1 = 5

個實根。

容易只數到最低點

(6, - 1)

：最低點附近正弦曲線很平，直線斜率

- \frac{1}{6}

比它陡，所以在最低點左邊直線先跑到曲線上方，多出一個交點。

04第 13～15 題：混合題（綠園操場的跑道）

第 13 題答案 (2)。最內緣一圈

=

兩條直道

+

兩個半圓

= 2 \times 52.24 + 2 π r = 200

，所以

2 π r = 95.52

，

r = \frac{95.52}{2 π} \approx 15.20

公尺。

第 14 題答案 (4)。從第一道內緣到第六道內緣，要跨過第一～五道的寬度與五條分道線：

5 \times 1.22 + 5 \times 0.05 = 6.35

公尺。第六道內緣的彎道半徑是

r + 6.35

，直道長度不變，一圈長

= 2 \times 52.24 + 2 π (r + 6.35) = 200 + 2 π \times 6.35 \approx 200 + 39.90 = 239.90

公尺。

算外道一圈不必先求

r

：直道一樣長，兩個半圓合起來是一個圓，半徑多

6.35

，周長就多

2 π \times 6.35 \approx 39.90

。只算五個跑道寬、漏掉分道線會得

200 + 2 π \times 6.1 \approx 238.33

，不在選項裡。

第 15 題

第一道從 $\overline{E F}$ 起跑跑到搶跑道線，剛好跑一整圈 $200$ 公尺；第六道內緣一圈是 $200 + 2 π \times 6.35$ 公尺，要少跑 $2 π \times 6.35 = 12.7 π \approx 39.90$ 公尺，所以起點沿彎道向前移這麼長的弧。這段弧在第六道內緣上，半徑是 $r + 6.35 \approx 15.2025 + 6.35 = 21.5525$ 公尺。弧長 $=$ 半徑 $\times$ 圓心角（弧度），所以

$∠ H O F = \frac{12.7 π}{21.5525} \approx 1.85 弳$

用最內道的半徑

15.20

去除會得

2.62

，那是錯的：前伸的弧長是量在第六道上。

1.85

弳約

10 6^{\circ}

，比

\frac{π}{2}

大但比

π

小，起點還在同一個半圓彎道上。

05第 16 題：加分題（木板繞過轉角）

第 16 題

答案 (1)(2)(3)(4)。由圖：一開始 $\overline{A B}$ 貼著中間那塊牆的左緣， $A$ 在上方的牆邊， $A$ 到牆角（中間那塊牆的左上角，記為 $P$ ）是 $2$ 公尺， $B$ 到 $P$ 是 $x - 2$ 公尺；每次旋轉都以牆角為支點，向前移動是沿著木板方向滑動，所以木板一直通過牆角。

(1) 正確。 由鉛直轉到水平共轉 $\frac{π}{2}$ ，所以 $θ_{1} + θ_{2} = \frac{π}{2}$ ；同理 $θ_{3} + θ_{4} = \frac{π}{2}$ 。照圖中的搬法，每次旋轉或前移都做到木板端點碰牆為止：前半段是 $B_{1}$ 碰左牆、 $A_{2}$ 頂上牆、 $B_{3}$ 碰左牆；後半段是 $A_{4}$ 碰右牆、 $B_{5}$ 頂上牆、 $A_{6}$ 碰右牆。左右走道都是 $3$ 公尺、上方都是 $2$ 公尺，後半段就是前半段左右鏡射後倒過來做，所以 $θ_{3} = θ_{2}$ 、 $θ_{4} = θ_{1}$ 。

(2) 正確。 轉 $θ_{1}$ 後， $B_{1}$ 在 $P$ 的左下方，距離 $x - 2$ ，與鉛直方向夾 $θ_{1}$ ，水平距離是 $(x - 2) sin θ_{1}$ 。碰到左邊的牆表示水平距離是走道寬 $3$ ： $(x - 2) sin θ_{1} = 3$ ， $sin θ_{1} = \frac{3}{x - 2}$ 。

(3) 正確。 $A_{1}$ 離 $P$ 是 $2$ ，高度 $2 cos θ_{1}$ ；圖上 $A_{2}$ 頂到上方的牆，離 $P$ 是 $\frac{2}{cos θ _{1}}$ 。沿木板方向前移 $x_{1} = \frac{2}{cos θ _{1}} - 2$ 。

(4) 正確。 轉 $θ_{2}$ 到水平後， $A_{3}$ 在 $P$ 右邊 $\frac{2}{cos θ _{1}}$ ， $B_{3}$ 在 $P$ 左邊 $x - \frac{2}{cos θ _{1}}$ 。 $B_{3}$ 碰到左牆： $x - \frac{2}{cos θ _{1}} = 3$ ；又 $θ_{1} = \frac{π}{2} - θ_{2}$ ， $cos θ_{1} = sin θ_{2}$ ，得 $3 = x - \frac{2}{sin θ _{2}}$ 。

(5) 錯誤。 $x = 6.5$ ：轉到 $B_{1}$ 碰牆時 $sin θ_{1} = \frac{3}{4.5} = \frac{2}{3}$ ， $cos θ_{1} = \frac{5}{3}$ ，前移後 $A_{2}$ 離 $P$ 是 $\frac{2}{cos θ _{1}} = \frac{6}{5} \approx 2.68$ ， $B$ 端離 $P$ 還有 $6.5 - 2.68 \approx 3.82$ 公尺。接著轉向水平時， $B$ 端的水平距離 $3.82 sin θ$ 會超過走道寬 $3$ （ $sin θ \geq \frac{3}{3.82}$ 時就撞到左牆），轉不到水平。若第一次少轉一點， $cos θ_{1}$ 更大、 $A_{2}$ 離 $P$ 更近， $B$ 端更長，更轉不過去。所以用這種搬法運不過去。

這種搬法能運過的最長木板，要同時滿足 (2) 與 (4) 的兩個等式：

sin θ_{1} = \frac{3}{x - 2}

且

x - \frac{2}{cos θ _{1}} = 3

，用計算器試算約

6.01

公尺，所以

6.5

公尺不行。選項 (1)：若不是每一步都做到碰牆，

θ_{1}

可以在一個範圍內自己選，

θ_{1} = θ_{4}

就不一定成立；本題依圖示的搬法判斷。

三角函數的應用題先把圖上的長度寫成「斜邊乘正弦或餘弦」，再看題目要的是角、弧長還是面積；角度與弧度要分清楚，弧長與面積一律用弧度。

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《三角函數》單元冊 08・高二上（數A）

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北一女中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 12 題直線恰好通過正弦曲線的最低點，最低點左邊還藏著一個交點，只數到最低點會少算兩個根；第 6 題要求 c 介於 0 與二分之 π 之間，b 只能是負的，不是二分之一；第 15 題前伸數要用第六道內緣的半徑去除，不是最內道的半徑；第 16 題選項 (5) 要先算出木板轉到水平時左端離轉角多遠，才知道會撞牆。詳解逐題寫在本頁。

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北一女中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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04第 13～15 題：混合題（綠園操場的跑道）

05第 16 題：加分題（木板繞過轉角）

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北一女中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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