段考詳解範圍：數列與函數的極限（選修數學乙上：數列的極限、Σ 與無窮等比級數、函數、函數的極限與連續）

北一女中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 2 題（共 10 分）、多選題 3 題（共 30 分）、填充題 10 題（共 50 分）、混合題 1 題 3 小題（共 10 分），合計 100 分；卷面只印各大題的總分，沒有印每題幾分與多選題的給分方式。卷頭註明：試卷中若無特別說明，符號 [x] 皆為高斯函數，即 [x] 表示小於等於 x 的最大整數值。本頁第 16、17、18 題是卷面第 16 題的 (1)(2)(3)。答案已與學校公布的答案逐題核對，第 1～16 題全部相同；第 17、18 題是證明題，學校的解答頁沒有印參考證明，證明由本站撰寫。

一、單選題（共 10 分）

無窮等比級數

2022 - 2022 + 2022 - 2022 + \dots

的和為何？

(A) $- 2022$
(B) $0$
(C) $1011$
(D) $2022$
(E) 發散

方程式

[x] = (x - 1)^{3}

有幾個實根？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

二、多選題（共 30 分）

下列哪些正確？

(A) $n \to \infty lim \frac{2022}{n} = 0$
(B) $n \to \infty lim \frac{2 ^{n}}{2022 n} = 0$
(C) $n \to \infty lim \frac{1 + 2 + \dots + n}{( n - 2022 ) ^{2}} = 0$
(D) $n \to \infty lim (0.9999)^{n} = 0$
(E) 已知對於所有正整數 $n$ ，數列 $a_{n}$ 皆滿足 $- \frac{n}{2022} < a_{n} < \frac{n}{2022}$ ，則 $n \to \infty lim a_{n} = 0$

下列關於函數

f (x) = 1.1 1^{x}

的敘述，有哪些正確？

(A) 若 $x_{1} < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) > f (x_{2})$
(B) 若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，則 $\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} \leq f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})$
(C) 其值域為所有實數
(D) 將其適當平移後，可得 $y = 2 (1.1 1^{x})$
(E) 若將其往右移 $2$ 、上移 $3$ ，則新圖形的方程式為 $y - 3 = 1.1 1^{x - 2}$

小綠自 111 年 1 月起，每月 1 日均存入銀行

1000

元，言明以月利率

0.7%

按月複利計息，到 112 年 1 月 1 日提出。小青則於 111 年 1 月起，每季（一月、四月、七月、十月）1 日均存入銀行

3000

元，亦以月利率

0.7%

按月複利計息，到 112 年 1 月 1 日提出。一整年中，兩人都存入本金

12000

元。提出時，小綠得本利和

A

元，小青得本利和

B

元。問下列選項何者為真？

(A) $A > B$
(B) $A = 1000 k = 1 \sum 12 (\frac{1007}{1000})^{k}$
(C) $B = 3000 k = 1 \sum 4 (\frac{1007}{1000})^{k}$
(D) $A < 12000 \times (\frac{1007}{1000})^{12}$
(E) $B > 12000 \times (\frac{1007}{1000})^{12}$

三、填充題（共 50 分）

請將循環小數

4.0 \overline{9}

寫為最簡分數：____

試求無窮等比級數

1 - \frac{1}{11} + \frac{1}{121} - \dots

的和：____（若該和存在，請化為最簡分數；若不存在，請寫「不存在」）

已知

f (x) = x^{2} - 3 x - 1

，且

f (x - 10) = g (x - 11)

，則

g \circ f (1) =

____

已知

f (x) = \frac{1}{( x - 1 ) x}

，請寫出

f (x)

的定義域 ____

x \to 0 lim (\frac{1}{x} - \frac{11}{x ( x + 11 )}) =

____

x \to 0 lim (\frac{∣ x - 1∣}{x ^{5} + 3 x - 1}) =

____

已知

x \to 11 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 11} = 111

，求實數對

(a, b) =

____

若

a

、

b

為實數，且

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 1, x^{2} - 2 x + a, b, x < 1 x > 1 x = 1

是連續函數，則數對

(a, b) =

____

已知

(x - 2022)^{3} - 3 (x - 2022) - 1 = 0

有三個實根，且最大根為

α

滿足

k < α < k + 1

，其中

k

為整數，則

k =

____

如下圖，

△ A B C

是邊長為

1

的正三角形，連接各邊中點得四個全等的小正三角形後，將中間的小正三角形挖空，（即將灰色的

△ A_{1} B_{1} C

從圖中扣除），而後往

A

、

B

、

C

三個頂點的方向不斷地對在角落產生的三個小正三角形重複同樣步驟，將會挖空無窮多個灰色正三角形，則剩下的面積為 ____（卷面括號內印作

△ A_{1} B_{1} C

，依圖應為

△ A_{1} B_{1} C_{1}

）

載入中...

四、混合題（共 10 分）

卷面第 16 題（本頁第 16～18 題）（第 16～18 題）　如右下圖。直角三角形

A B C

中，

∠ A = θ

、

∠ C = \frac{π}{2}

，且

\overline{A C} = 1

，今以

A

為圓心，

\overline{A C}

為半徑畫圓弧交

\overline{A B}

於

D

，可得一扇形

A C D

，再過

D

作

\overline{A C}

的垂線，其垂足為

E

。

(1) 三角形

A B C

的面積及扇形

A C D

的面積依序為：（____、____）（填以下代碼）（2 分）　(A)

\frac{θ}{2}

　(B)

\frac{θ}{2} π

　(C)

\frac{sin θ}{2}

　(D)

\frac{cos θ}{2}

　(E)

\frac{tan θ}{2}

載入中...

(2) 試證明：當

0 \leq θ < \frac{π}{2}

時，

sin θ \leq θ \leq tan θ

（3 分）

(3) 承 (2)，試證明：當

0 < θ < \frac{π}{2}

時，

cos θ \leq \frac{sin θ}{θ} \leq 1

，並求

θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ}

（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(B)

第 3 題(A)(D)

第 4 題(D)(E)

第 5 題(B)(D)

第 6 題

\frac{41}{10}

第 7 題

\frac{11}{12}

第 8 題

9

第 9 題

{x ∣ x > 0, x \neq = 1}

第 10 題

\frac{1}{11}

第 11 題

- 1

第 12 題

(89, - 1100)

第 13 題

(3, 2)

第 14 題

2023

第 15 題

\frac{3}{8}

第 16 題(E)、(A)

第 17 題證明見詳解

第 18 題證明見詳解；

θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ} = 1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～2 題）：公比為 −1 的等比級數、含高斯函數的方程式

第 1 題答案 (E)。這是首項

2022

、公比

- 1

的無窮等比級數。前

n

項的和

S_{n}

在

n

為奇數時是

2022

，

n

為偶數時是

0

，在兩個數之間來回跳動，不趨近一個定值，所以級數發散。

無窮等比級數只有在公比

r

滿足

- 1 < r < 1

時才收斂。公比是

- 1

時若硬套

\frac{a}{1 - r}

會得到

1011

，是錯的；把項兩兩括起來得到

0

也不對，因為級數的和看的是

S_{n}

的極限。

第 2 題答案 (B)。令

t = x - 1

，則

[x] = [t] + 1

，方程式變成

[t] + 1 = t^{3}

。由

[t] \leq t < [t] + 1

，把

[t] = t^{3} - 1

代入得

t^{3} - 1 \leq t < t^{3}

。先看右半

t < t^{3}

：即

t (t - 1) (t + 1) > 0

，解為

- 1 < t < 0

或

t > 1

。若

- 1 < t < 0

，則

[t] = - 1

，方程式給

t^{3} = 0

，

t = 0

不在此範圍內，無解。若

t > 1

，再看左半

t^{3} - t \leq 1

：

t^{3} - t = t (t^{2} - 1)

在

t > 1

時隨

t

變大而變大，而

t = 2

時已是

6

，所以

1 < t < 2

，此時

[t] = 1

，方程式給

t^{3} = 2

，

t = 32 \approx 1.26

，確實落在

1

與

2

之間。所以只有一個實根

x = 1 + 32

。

檢查：

x \approx 2.26

時

[x] = 2

，

(x - 1)^{3} = 2

，相等。

x = 1

與

x = 2

看起來像根但不是：

x = 1

時左邊是

1

、右邊是

0

；

x = 2

時左邊是

2

、右邊是

1

。也可以畫

y = [x]

的階梯與

y = (x - 1)^{3}

的圖形來數交點。

含高斯函數的方程式：設

[x] = n

，用

n \leq x < n + 1

把

x

的範圍縮到少數幾段，再一段一段解。

02多選題（第 3～5 題）：數列的極限、指數函數、按月複利

第 3 題答案 (A)(D)。(A) 對：分子是常數，分母愈來愈大，

\frac{2022}{n} \to 0

。(B) 錯：由二項式定理，

2^{n} = (1 + 1)^{n} \geq C_{2}^{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}

（

n \geq 2

），所以

\frac{2 ^{n}}{2022 n} \geq \frac{n - 1}{4044}

，會愈來愈大、沒有上限，數列發散。(C) 錯：

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，分子、分母同除以

n^{2}

得

\frac{\frac{1}{2} ( 1 + \frac{1}{n} )}{( 1 - \frac{2022}{n} ) ^{2}} \to \frac{1}{2}

，極限是

\frac{1}{2}

不是

0

。(D) 對：公比

0.9999

介於

- 1

與

1

之間，

(0.9999)^{n} \to 0

。(E) 錯：取

a_{n} = \frac{1}{4044}

（每一項都相同），對所有正整數

n

都有

- \frac{n}{2022} < \frac{1}{4044} < \frac{n}{2022}

，但極限是

\frac{1}{4044}

不是

0

。

(E) 的上下兩個數列

\pm \frac{n}{2022}

都不收斂，夾擠定理用不上；夾擠定理要兩邊趨近同一個數才行。(D) 的公比再接近

1

，只要小於

1

，極限就是

0

。

第 4 題答案 (D)(E)。(A) 錯：底數

1.11 > 1

，

f

是遞增函數，

x_{1} < x_{2}

時

f (x_{1}) < f (x_{2})

。(B) 錯：

f (x_{1})

、

f (x_{2})

都是正數，由算幾不等式

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} \geq f (x_{1}) f (x_{2}) = 1.1 1^{x_{1} + x_{2}} = f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

，等號只在

f (x_{1}) = f (x_{2})

時成立；現在

x_{1} < x_{2}

，兩個函數值不相等，所以左邊嚴格大於右邊，題目的不等號方向相反。(C) 錯：

1.1 1^{x}

恆為正數，值域是所有正實數。(D) 對：令

c = lo g_{1.11} 2

，則

2 = 1.1 1^{c}

，

y = 2 (1.1 1^{x}) = 1.1 1^{x + c}

，是把

y = 1.1 1^{x}

的圖形向左平移

c

單位。(E) 對：往右移

2

就把

x

換成

x - 2

，往上移

3

就把

y

換成

y - 3

，得

y - 3 = 1.1 1^{x - 2}

。

(B) 是在說圖形凹口向上：兩點連線的中點在圖形上方。條件

x_{2} < 0

不影響這個性質。(D) 的重點是指數函數乘上一個正的常數，等於左右平移。

第 5 題答案 (B)(D)。記

r = \frac{1007}{1000}

。小綠在 1 月 1 日存的那一筆到隔年 1 月 1 日經過

12

個月，變成

1000 r^{12}

；2 月 1 日存的經過

11

個月，變成

1000 r^{11}

；依此類推，12 月 1 日存的經過

1

個月，變成

1000 r

。所以

A = 1000 (r + r^{2} + \dots + r^{12})

。小青在一月、四月、七月、十月存的四筆分別經過

12, 9, 6, 3

個月，所以

B = 3000 (r^{3} + r^{6} + r^{9} + r^{12})

。(A) 錯：把小綠的十二筆每三筆一組和小青的一筆比。例如 1、2、3 月的三筆合計

1000 (r^{12} + r^{11} + r^{10})

，小青一月那一筆是

3000 r^{12}

；因為

r > 1

，

r^{11} < r^{12}

、

r^{10} < r^{12}

，小青較多。四組都是這樣，所以

A < B

。(B) 對：就是上面的式子。(C) 錯：

B = 3000 k = 1 \sum 4 r^{3 k}

，指數是

3 k

不是

k

。(D) 對：

A

的十二項每一項都不超過

1000 r^{12}

，而且有十一項比它小，所以

A < 12000 r^{12}

。(E) 錯：

B

的四項每一項都不超過

3000 r^{12}

，而且有三項比它小，所以

B < 12000 r^{12}

。

用計算機核對：

A \approx 12560

元，

B \approx 12648

元，

12000 r^{12} \approx 13048

元。

12000 r^{12}

是「一開始就把

12000

元一次存進去」的本利和；錢愈早存、利息愈多，所以分次存的兩個人都比它少，而小青每一季的錢都比小綠早到位，所以

B > A

。

複利的題目先對每一筆錢問「它存了幾期」，寫出每一筆的本利和再相加，就是等比級數。

03填充題（第 6～9 題）：循環小數、無窮等比級數、合成函數、定義域

第 6 題循環節只有

9

：

4.0 \overline{9} = 4 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + \dots

。後面是首項

0.09

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.09}{1 - 0.1} = 0.1

。所以

4.0 \overline{9} = 4.1 = \frac{41}{10}

。

循環節是

9

的循環小數會等於進一位的有限小數，如同

0. \overline{9} = 1

。注意橫線只蓋在

9

上；若循環節是

09

，答案會不一樣。

第 7 題首項

1

，公比

- \frac{1}{11}

，介於

- 1

與

1

之間，級數收斂，和為

\frac{1}{1 - ( - \frac{1}{11} )} = \frac{1}{\frac{12}{11}} = \frac{11}{12}

。

第 8 題先求

f (1) = 1 - 3 - 1 = - 3

，所以

g \circ f (1) = g (f (1)) = g (- 3)

。在

f (x - 10) = g (x - 11)

中要讓

x - 11 = - 3

，取

x = 8

，得

g (- 3) = f (8 - 10) = f (- 2) = 4 + 6 - 1 = 9

。

也可以先求出

g

：令

t = x - 11

，則

x - 10 = t + 1

，所以

g (t) = f (t + 1)

，

g (- 3) = f (- 2) = 9

。

第 9 題根號內要

x \geq 0

；分母

(x - 1) x

不能是

0

，所以

x \neq = 1

且

x \neq = 0

。合起來，定義域是

{x ∣ x > 0, x \neq = 1}

。

x = 0

時根號本身有意義，但它在分母，會使分母為

0

，所以要排除。

求定義域的兩個檢查：根號內不為負、分母不為零；根號在分母時兩個條件合成「根號內大於零」。

04填充題（第 10～13 題）：函數的極限與連續

第 10 題兩項各自在

x \to 0

時都沒有極限，要先通分：

\frac{1}{x} - \frac{11}{x ( x + 11 )} = \frac{( x + 11 ) - 11}{x ( x + 11 )} = \frac{x}{x ( x + 11 )}

。

x \to 0

時

x \neq = 0

，約去

x

後

x \to 0 lim \frac{1}{x + 11} = \frac{1}{11}

。

不能寫成兩個極限相減：極限的減法性質要兩個極限都存在才能用。

第 11 題

x \to 0

時分母

x^{5} + 3 x - 1 \to - 1

，不是

0

，可以直接代入：分子

∣0 - 1∣ = 1

，所以極限為

\frac{1}{- 1} = - 1

。

絕對值轉折的地方在

x = 1

，不在

x = 0

；

x

接近

0

時

∣ x - 1∣ = 1 - x

，是連續的，不必分左右討論。

第 12 題

x \to 11

時分母趨近

0

，極限卻存在，所以分子也要趨近

0

：

121 + 11 a + b = 0

，也就是分子有因式

x - 11

。設

x^{2} + a x + b = (x - 11) (x - c)

，約分後極限為

11 - c = 111

，得

c = - 100

。所以

x^{2} + a x + b = (x - 11) (x + 100) = x^{2} + 89 x - 1100

，

(a, b) = (89, - 1100)

。

檢查：

121 + 11 \times 89 - 1100 = 121 + 979 - 1100 = 0

。若分子不趨近

0

，分式的絕對值會愈來愈大，極限不存在。

第 13 題連續函數在

x = 1

處要「左極限＝右極限＝函數值」。左極限：

x \to 1^{-} lim (3 x - 1) = 2

。右極限：

x \to 1^{+} lim (x^{2} - 2 x + a) = a - 1

。函數值：

f (1) = b

。令

a - 1 = 2

得

a = 3

，令

b = 2

。所以

(a, b) = (3, 2)

。

兩段都是多項式，在各自的範圍內本來就連續，只要檢查分段點

x = 1

。

分母趨近零而極限存在，分子一定也趨近零；這個條件加上極限值，剛好兩條方程式解兩個未知數。

05填充題（第 14～15 題）：最大根的位置、挖去無窮多個正三角形

第 14 題令

t = x - 2022

，方程式變成

t^{3} - 3 t - 1 = 0

。令

h (t) = t^{3} - 3 t - 1

，代整數看正負：

h (- 2) = - 3 < 0

，

h (- 1) = 1 > 0

，

h (0) = - 1 < 0

，

h (1) = - 3 < 0

，

h (2) = 1 > 0

。多項式函數是連續函數，正負號改變的兩數之間一定有根，所以三個根分別在

- 2

與

- 1

之間、

- 1

與

0

之間、

1

與

2

之間；三次方程式最多三個實根，就是這三個。最大的

t

在

1

與

2

之間，所以

α = t + 2022

在

2023

與

2024

之間，

k = 2023

。

把

x - 2022

看成一個整體，數字就變小了；最後記得把

2022

加回去。

第 15 題正三角形

A B C

的面積是

\frac{3}{4} \times 1^{2} = \frac{3}{4}

，記為

S

。第一次挖掉中間的小正三角形，邊長

\frac{1}{2}

，面積

\frac{1}{4} S

。接著看往

A

的方向：角落的小正三角形邊長

\frac{1}{2}

，挖掉它中間的正三角形（邊長

\frac{1}{4}

，面積

\frac{1}{16} S

）；再往

A

靠的那個角落正三角形邊長

\frac{1}{4}

，挖掉中間的（面積

\frac{1}{64} S

）；依此類推。往

A

的方向挖掉的面積是首項

\frac{1}{16} S

、公比

\frac{1}{4}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{1}{16} S}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{12} S

。往

B

、

C

的方向也一樣。挖掉的總面積

= \frac{1}{4} S + 3 \times \frac{1}{12} S = \frac{1}{2} S

，剩下的面積

= \frac{1}{2} S = \frac{3}{8}

。

由圖可以看出每一層只對「靠頂點的那一個」角落三角形繼續挖，所以每個方向每一層只多挖一個三角形，邊長每次變成一半、面積變成四分之一。若每一層的三個角落都繼續挖，就是另一個問題了。

圖形一層一層縮小的題目：先求相鄰兩層的邊長比，面積比是它的平方，再套無窮等比級數的和。

06混合題（卷面第 16 題，本頁第 16～18 題）：用面積證明不等式，再用夾擠定理求極限

第 16 題答案依序為 (E)、(A)。直角三角形

A B C

中

∠ C

是直角，

\overline{A C} = 1

，所以

\overline{B C} = \overline{A C} tan θ = tan θ

，面積

= \frac{1}{2} \times \overline{A C} \times \overline{B C} = \frac{tan θ}{2}

。扇形

A C D

的半徑是

1

、圓心角是

θ

（弧度），面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{θ}{2}

。

扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。選項 (B) 多乘了一個

π

。

第 17 題

θ = 0

時，

sin 0 = 0

、

tan 0 = 0

，三個數都是

0

，不等式的等號成立。以下設

0 < θ < \frac{π}{2}

，用題目的圖比較三塊面積。連接

\overline{C D}

。因為

\overline{A D} = 1

且

∠ D A E = θ

，直角三角形

A D E

中

\overline{D E} = \overline{A D} sin θ = sin θ

，所以三角形

A C D

以

\overline{A C}

為底、

\overline{D E}

為高，面積

= \frac{1}{2} \times 1 \times sin θ = \frac{sin θ}{2}

。由第 (1) 小題，扇形

A C D

的面積

= \frac{θ}{2}

，三角形

A B C

的面積

= \frac{tan θ}{2}

。三角形

A C D

的三個頂點都在扇形上，弦

\overline{C D}

在弧

C D

的內側，所以三角形

A C D

包含在扇形

A C D

裡面；扇形

A C D

的兩條半徑

\overline{A C}

、

\overline{A D}

分別落在三角形的邊

\overline{A C}

、

\overline{A B}

上（

\overline{A B} = \frac{1}{cos θ} > 1 = \overline{A D}

，所以

D

在

A

、

B

之間），扇形在

∠ A

的內部；又

\overline{B C}

垂直半徑

\overline{A C}

於

C

，是圓的切線，圓弧

C D

在切線靠圓心的這一側，所以扇形

A C D

包含在三角形

A B C

裡面。因此

\frac{sin θ}{2} \leq \frac{θ}{2} \leq \frac{tan θ}{2}

，各乘以

2

得

sin θ \leq θ \leq tan θ

。

被包含的圖形面積較小，是整個證明的依據。寫的時候三塊面積各是多少、誰包含誰，兩件事都要交代。

第 18 題設

0 < θ < \frac{π}{2}

，此時

θ > 0

、

sin θ > 0

、

cos θ > 0

。由 (2) 的

sin θ \leq θ

，兩邊同除以正數

θ

，得

\frac{sin θ}{θ} \leq 1

。由 (2) 的

θ \leq tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

，兩邊同乘以正數

cos θ

得

θ cos θ \leq sin θ

，再同除以正數

θ

，得

cos θ \leq \frac{sin θ}{θ}

。合起來就是

cos θ \leq \frac{sin θ}{θ} \leq 1

。接著求極限：

θ \to 0^{+}

時，

cos θ \to cos 0 = 1

，右邊的常數

1

的極限也是

1

，兩邊趨近同一個數，由夾擠定理，

θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ} = 1

。

乘、除不等式時要先確認乘除的數是正的，不等號方向才不變；這就是 (3) 把範圍改成

0 < θ < \frac{π}{2}

（不含

0

）的原因，

θ = 0

時

\frac{sin θ}{θ}

沒有定義。

極限代不進去、也約不掉時，找兩個極限相同的函數把它夾在中間。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

北一女中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 2 題的高斯函數方程式看起來 x 等於 1 或 2 像是根，代回去都不成立，真正的根只有一個，要用高斯函數的不等式把範圍縮小才找得到；多選第 4 題的選項 (B) 不等號方向相反，指數函數的圖形凹口向上，兩點函數值的平均比中點的函數值大；多選第 5 題要對每一筆存款數清楚存了幾個月，每季存的那一位指數是三的倍數；填充第 15 題要從圖看出每一層只往頂點方向多挖一個三角形，剩下的面積恰好是原來的一半。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 111 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：數列與函數的極限（選修數學乙上：數列的極限、Σ 與無窮等比級數、函數、函數的極限與連續）

北一女中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

一、單選題（共 10 分）

無窮等比級數

2022 - 2022 + 2022 - 2022 + \dots

的和為何？

(A) $- 2022$
(B) $0$
(C) $1011$
(D) $2022$
(E) 發散

方程式

[x] = (x - 1)^{3}

有幾個實根？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

二、多選題（共 30 分）

下列哪些正確？

(A) $n \to \infty lim \frac{2022}{n} = 0$
(B) $n \to \infty lim \frac{2 ^{n}}{2022 n} = 0$
(C) $n \to \infty lim \frac{1 + 2 + \dots + n}{( n - 2022 ) ^{2}} = 0$
(D) $n \to \infty lim (0.9999)^{n} = 0$
(E) 已知對於所有正整數 $n$ ，數列 $a_{n}$ 皆滿足 $- \frac{n}{2022} < a_{n} < \frac{n}{2022}$ ，則 $n \to \infty lim a_{n} = 0$

下列關於函數

f (x) = 1.1 1^{x}

的敘述，有哪些正確？

(A) 若 $x_{1} < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) > f (x_{2})$
(B) 若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，則 $\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} \leq f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})$
(C) 其值域為所有實數
(D) 將其適當平移後，可得 $y = 2 (1.1 1^{x})$
(E) 若將其往右移 $2$ 、上移 $3$ ，則新圖形的方程式為 $y - 3 = 1.1 1^{x - 2}$

小綠自 111 年 1 月起，每月 1 日均存入銀行

1000

元，言明以月利率

0.7%

按月複利計息，到 112 年 1 月 1 日提出。小青則於 111 年 1 月起，每季（一月、四月、七月、十月）1 日均存入銀行

3000

元，亦以月利率

0.7%

按月複利計息，到 112 年 1 月 1 日提出。一整年中，兩人都存入本金

12000

元。提出時，小綠得本利和

A

元，小青得本利和

B

元。問下列選項何者為真？

(A) $A > B$
(B) $A = 1000 k = 1 \sum 12 (\frac{1007}{1000})^{k}$
(C) $B = 3000 k = 1 \sum 4 (\frac{1007}{1000})^{k}$
(D) $A < 12000 \times (\frac{1007}{1000})^{12}$
(E) $B > 12000 \times (\frac{1007}{1000})^{12}$

三、填充題（共 50 分）

請將循環小數

4.0 \overline{9}

寫為最簡分數：____

試求無窮等比級數

1 - \frac{1}{11} + \frac{1}{121} - \dots

的和：____（若該和存在，請化為最簡分數；若不存在，請寫「不存在」）

已知

f (x) = x^{2} - 3 x - 1

，且

f (x - 10) = g (x - 11)

，則

g \circ f (1) =

____

已知

f (x) = \frac{1}{( x - 1 ) x}

，請寫出

f (x)

的定義域 ____

x \to 0 lim (\frac{1}{x} - \frac{11}{x ( x + 11 )}) =

____

x \to 0 lim (\frac{∣ x - 1∣}{x ^{5} + 3 x - 1}) =

____

已知

x \to 11 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 11} = 111

，求實數對

(a, b) =

____

若

a

、

b

為實數，且

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 1, x^{2} - 2 x + a, b, x < 1 x > 1 x = 1

是連續函數，則數對

(a, b) =

____

已知

(x - 2022)^{3} - 3 (x - 2022) - 1 = 0

有三個實根，且最大根為

α

滿足

k < α < k + 1

，其中

k

為整數，則

k =

____

如下圖，

△ A B C

是邊長為

1

的正三角形，連接各邊中點得四個全等的小正三角形後，將中間的小正三角形挖空，（即將灰色的

△ A_{1} B_{1} C

從圖中扣除），而後往

A

、

B

、

C

三個頂點的方向不斷地對在角落產生的三個小正三角形重複同樣步驟，將會挖空無窮多個灰色正三角形，則剩下的面積為 ____（卷面括號內印作

△ A_{1} B_{1} C

，依圖應為

△ A_{1} B_{1} C_{1}

）

載入中...

四、混合題（共 10 分）

卷面第 16 題（本頁第 16～18 題）（第 16～18 題）　如右下圖。直角三角形

A B C

中，

∠ A = θ

、

∠ C = \frac{π}{2}

，且

\overline{A C} = 1

，今以

A

為圓心，

\overline{A C}

為半徑畫圓弧交

\overline{A B}

於

D

，可得一扇形

A C D

，再過

D

作

\overline{A C}

的垂線，其垂足為

E

。

(1) 三角形

A B C

的面積及扇形

A C D

的面積依序為：（____、____）（填以下代碼）（2 分）　(A)

\frac{θ}{2}

　(B)

\frac{θ}{2} π

　(C)

\frac{sin θ}{2}

　(D)

\frac{cos θ}{2}

　(E)

\frac{tan θ}{2}

載入中...

(2) 試證明：當

0 \leq θ < \frac{π}{2}

時，

sin θ \leq θ \leq tan θ

（3 分）

(3) 承 (2)，試證明：當

0 < θ < \frac{π}{2}

時，

cos θ \leq \frac{sin θ}{θ} \leq 1

，並求

θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ}

（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(B)

第 3 題(A)(D)

第 4 題(D)(E)

第 5 題(B)(D)

第 6 題

\frac{41}{10}

第 7 題

\frac{11}{12}

第 8 題

9

第 9 題

{x ∣ x > 0, x \neq = 1}

第 10 題

\frac{1}{11}

第 11 題

- 1

第 12 題

(89, - 1100)

第 13 題

(3, 2)

第 14 題

2023

第 15 題

\frac{3}{8}

第 16 題(E)、(A)

第 17 題證明見詳解

第 18 題證明見詳解；

θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ} = 1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～2 題）：公比為 −1 的等比級數、含高斯函數的方程式

第 1 題答案 (E)。這是首項

2022

、公比

- 1

的無窮等比級數。前

n

項的和

S_{n}

在

n

為奇數時是

2022

，

n

為偶數時是

0

，在兩個數之間來回跳動，不趨近一個定值，所以級數發散。

無窮等比級數只有在公比

r

滿足

- 1 < r < 1

時才收斂。公比是

- 1

時若硬套

\frac{a}{1 - r}

會得到

1011

，是錯的；把項兩兩括起來得到

0

也不對，因為級數的和看的是

S_{n}

的極限。

第 2 題答案 (B)。令

t = x - 1

，則

[x] = [t] + 1

，方程式變成

[t] + 1 = t^{3}

。由

[t] \leq t < [t] + 1

，把

[t] = t^{3} - 1

代入得

t^{3} - 1 \leq t < t^{3}

。先看右半

t < t^{3}

：即

t (t - 1) (t + 1) > 0

，解為

- 1 < t < 0

或

t > 1

。若

- 1 < t < 0

，則

[t] = - 1

，方程式給

t^{3} = 0

，

t = 0

不在此範圍內，無解。若

t > 1

，再看左半

t^{3} - t \leq 1

：

t^{3} - t = t (t^{2} - 1)

在

t > 1

時隨

t

變大而變大，而

t = 2

時已是

6

，所以

1 < t < 2

，此時

[t] = 1

，方程式給

t^{3} = 2

，

t = 32 \approx 1.26

，確實落在

1

與

2

之間。所以只有一個實根

x = 1 + 32

。

檢查：

x \approx 2.26

時

[x] = 2

，

(x - 1)^{3} = 2

，相等。

x = 1

與

x = 2

看起來像根但不是：

x = 1

時左邊是

1

、右邊是

0

；

x = 2

時左邊是

2

、右邊是

1

。也可以畫

y = [x]

的階梯與

y = (x - 1)^{3}

的圖形來數交點。

含高斯函數的方程式：設

[x] = n

，用

n \leq x < n + 1

把

x

的範圍縮到少數幾段，再一段一段解。

02多選題（第 3～5 題）：數列的極限、指數函數、按月複利

第 3 題答案 (A)(D)。(A) 對：分子是常數，分母愈來愈大，

\frac{2022}{n} \to 0

。(B) 錯：由二項式定理，

2^{n} = (1 + 1)^{n} \geq C_{2}^{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}

（

n \geq 2

），所以

\frac{2 ^{n}}{2022 n} \geq \frac{n - 1}{4044}

，會愈來愈大、沒有上限，數列發散。(C) 錯：

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，分子、分母同除以

n^{2}

得

\frac{\frac{1}{2} ( 1 + \frac{1}{n} )}{( 1 - \frac{2022}{n} ) ^{2}} \to \frac{1}{2}

，極限是

\frac{1}{2}

不是

0

。(D) 對：公比

0.9999

介於

- 1

與

1

之間，

(0.9999)^{n} \to 0

。(E) 錯：取

a_{n} = \frac{1}{4044}

（每一項都相同），對所有正整數

n

都有

- \frac{n}{2022} < \frac{1}{4044} < \frac{n}{2022}

，但極限是

\frac{1}{4044}

不是

0

。

(E) 的上下兩個數列

\pm \frac{n}{2022}

都不收斂，夾擠定理用不上；夾擠定理要兩邊趨近同一個數才行。(D) 的公比再接近

1

，只要小於

1

，極限就是

0

。

第 4 題答案 (D)(E)。(A) 錯：底數

1.11 > 1

，

f

是遞增函數，

x_{1} < x_{2}

時

f (x_{1}) < f (x_{2})

。(B) 錯：

f (x_{1})

、

f (x_{2})

都是正數，由算幾不等式

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} \geq f (x_{1}) f (x_{2}) = 1.1 1^{x_{1} + x_{2}} = f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

，等號只在

f (x_{1}) = f (x_{2})

時成立；現在

x_{1} < x_{2}

，兩個函數值不相等，所以左邊嚴格大於右邊，題目的不等號方向相反。(C) 錯：

1.1 1^{x}

恆為正數，值域是所有正實數。(D) 對：令

c = lo g_{1.11} 2

，則

2 = 1.1 1^{c}

，

y = 2 (1.1 1^{x}) = 1.1 1^{x + c}

，是把

y = 1.1 1^{x}

的圖形向左平移

c

單位。(E) 對：往右移

2

就把

x

換成

x - 2

，往上移

3

就把

y

換成

y - 3

，得

y - 3 = 1.1 1^{x - 2}

。

(B) 是在說圖形凹口向上：兩點連線的中點在圖形上方。條件

x_{2} < 0

不影響這個性質。(D) 的重點是指數函數乘上一個正的常數，等於左右平移。

第 5 題答案 (B)(D)。記

r = \frac{1007}{1000}

。小綠在 1 月 1 日存的那一筆到隔年 1 月 1 日經過

12

個月，變成

1000 r^{12}

；2 月 1 日存的經過

11

個月，變成

1000 r^{11}

；依此類推，12 月 1 日存的經過

1

個月，變成

1000 r

。所以

A = 1000 (r + r^{2} + \dots + r^{12})

。小青在一月、四月、七月、十月存的四筆分別經過

12, 9, 6, 3

個月，所以

B = 3000 (r^{3} + r^{6} + r^{9} + r^{12})

。(A) 錯：把小綠的十二筆每三筆一組和小青的一筆比。例如 1、2、3 月的三筆合計

1000 (r^{12} + r^{11} + r^{10})

，小青一月那一筆是

3000 r^{12}

；因為

r > 1

，

r^{11} < r^{12}

、

r^{10} < r^{12}

，小青較多。四組都是這樣，所以

A < B

。(B) 對：就是上面的式子。(C) 錯：

B = 3000 k = 1 \sum 4 r^{3 k}

，指數是

3 k

不是

k

。(D) 對：

A

的十二項每一項都不超過

1000 r^{12}

，而且有十一項比它小，所以

A < 12000 r^{12}

。(E) 錯：

B

的四項每一項都不超過

3000 r^{12}

，而且有三項比它小，所以

B < 12000 r^{12}

。

用計算機核對：

A \approx 12560

元，

B \approx 12648

元，

12000 r^{12} \approx 13048

元。

12000 r^{12}

是「一開始就把

12000

元一次存進去」的本利和；錢愈早存、利息愈多，所以分次存的兩個人都比它少，而小青每一季的錢都比小綠早到位，所以

B > A

。

複利的題目先對每一筆錢問「它存了幾期」，寫出每一筆的本利和再相加，就是等比級數。

03填充題（第 6～9 題）：循環小數、無窮等比級數、合成函數、定義域

第 6 題循環節只有

9

：

4.0 \overline{9} = 4 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + \dots

。後面是首項

0.09

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.09}{1 - 0.1} = 0.1

。所以

4.0 \overline{9} = 4.1 = \frac{41}{10}

。

循環節是

9

的循環小數會等於進一位的有限小數，如同

0. \overline{9} = 1

。注意橫線只蓋在

9

上；若循環節是

09

，答案會不一樣。

第 7 題首項

1

，公比

- \frac{1}{11}

，介於

- 1

與

1

之間，級數收斂，和為

\frac{1}{1 - ( - \frac{1}{11} )} = \frac{1}{\frac{12}{11}} = \frac{11}{12}

。

第 8 題先求

f (1) = 1 - 3 - 1 = - 3

，所以

g \circ f (1) = g (f (1)) = g (- 3)

。在

f (x - 10) = g (x - 11)

中要讓

x - 11 = - 3

，取

x = 8

，得

g (- 3) = f (8 - 10) = f (- 2) = 4 + 6 - 1 = 9

。

也可以先求出

g

：令

t = x - 11

，則

x - 10 = t + 1

，所以

g (t) = f (t + 1)

，

g (- 3) = f (- 2) = 9

。

第 9 題根號內要

x \geq 0

；分母

(x - 1) x

不能是

0

，所以

x \neq = 1

且

x \neq = 0

。合起來，定義域是

{x ∣ x > 0, x \neq = 1}

。

x = 0

時根號本身有意義，但它在分母，會使分母為

0

，所以要排除。

求定義域的兩個檢查：根號內不為負、分母不為零；根號在分母時兩個條件合成「根號內大於零」。

04填充題（第 10～13 題）：函數的極限與連續

第 10 題兩項各自在

x \to 0

時都沒有極限，要先通分：

\frac{1}{x} - \frac{11}{x ( x + 11 )} = \frac{( x + 11 ) - 11}{x ( x + 11 )} = \frac{x}{x ( x + 11 )}

。

x \to 0

時

x \neq = 0

，約去

x

後

x \to 0 lim \frac{1}{x + 11} = \frac{1}{11}

。

不能寫成兩個極限相減：極限的減法性質要兩個極限都存在才能用。

第 11 題

x \to 0

時分母

x^{5} + 3 x - 1 \to - 1

，不是

0

，可以直接代入：分子

∣0 - 1∣ = 1

，所以極限為

\frac{1}{- 1} = - 1

。

絕對值轉折的地方在

x = 1

，不在

x = 0

；

x

接近

0

時

∣ x - 1∣ = 1 - x

，是連續的，不必分左右討論。

第 12 題

x \to 11

時分母趨近

0

，極限卻存在，所以分子也要趨近

0

：

121 + 11 a + b = 0

，也就是分子有因式

x - 11

。設

x^{2} + a x + b = (x - 11) (x - c)

，約分後極限為

11 - c = 111

，得

c = - 100

。所以

x^{2} + a x + b = (x - 11) (x + 100) = x^{2} + 89 x - 1100

，

(a, b) = (89, - 1100)

。

檢查：

121 + 11 \times 89 - 1100 = 121 + 979 - 1100 = 0

。若分子不趨近

0

，分式的絕對值會愈來愈大，極限不存在。

第 13 題連續函數在

x = 1

處要「左極限＝右極限＝函數值」。左極限：

x \to 1^{-} lim (3 x - 1) = 2

。右極限：

x \to 1^{+} lim (x^{2} - 2 x + a) = a - 1

。函數值：

f (1) = b

。令

a - 1 = 2

得

a = 3

，令

b = 2

。所以

(a, b) = (3, 2)

。

兩段都是多項式，在各自的範圍內本來就連續，只要檢查分段點

x = 1

。

分母趨近零而極限存在，分子一定也趨近零；這個條件加上極限值，剛好兩條方程式解兩個未知數。

05填充題（第 14～15 題）：最大根的位置、挖去無窮多個正三角形

第 14 題令

t = x - 2022

，方程式變成

t^{3} - 3 t - 1 = 0

。令

h (t) = t^{3} - 3 t - 1

，代整數看正負：

h (- 2) = - 3 < 0

，

h (- 1) = 1 > 0

，

h (0) = - 1 < 0

，

h (1) = - 3 < 0

，

h (2) = 1 > 0

。多項式函數是連續函數，正負號改變的兩數之間一定有根，所以三個根分別在

- 2

與

- 1

之間、

- 1

與

0

之間、

1

與

2

之間；三次方程式最多三個實根，就是這三個。最大的

t

在

1

與

2

之間，所以

α = t + 2022

在

2023

與

2024

之間，

k = 2023

。

把

x - 2022

看成一個整體，數字就變小了；最後記得把

2022

加回去。

第 15 題正三角形

A B C

的面積是

\frac{3}{4} \times 1^{2} = \frac{3}{4}

，記為

S

。第一次挖掉中間的小正三角形，邊長

\frac{1}{2}

，面積

\frac{1}{4} S

。接著看往

A

的方向：角落的小正三角形邊長

\frac{1}{2}

，挖掉它中間的正三角形（邊長

\frac{1}{4}

，面積

\frac{1}{16} S

）；再往

A

靠的那個角落正三角形邊長

\frac{1}{4}

，挖掉中間的（面積

\frac{1}{64} S

）；依此類推。往

A

的方向挖掉的面積是首項

\frac{1}{16} S

、公比

\frac{1}{4}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{1}{16} S}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{12} S

。往

B

、

C

的方向也一樣。挖掉的總面積

= \frac{1}{4} S + 3 \times \frac{1}{12} S = \frac{1}{2} S

，剩下的面積

= \frac{1}{2} S = \frac{3}{8}

。

圖形一層一層縮小的題目：先求相鄰兩層的邊長比，面積比是它的平方，再套無窮等比級數的和。

06混合題（卷面第 16 題，本頁第 16～18 題）：用面積證明不等式，再用夾擠定理求極限

第 16 題答案依序為 (E)、(A)。直角三角形

A B C

中

∠ C

是直角，

\overline{A C} = 1

，所以

\overline{B C} = \overline{A C} tan θ = tan θ

，面積

= \frac{1}{2} \times \overline{A C} \times \overline{B C} = \frac{tan θ}{2}

。扇形

A C D

的半徑是

1

、圓心角是

θ

（弧度），面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{θ}{2}

。

扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。選項 (B) 多乘了一個

π

。

第 17 題

θ = 0

時，

sin 0 = 0

、

tan 0 = 0

，三個數都是

0

，不等式的等號成立。以下設

0 < θ < \frac{π}{2}

，用題目的圖比較三塊面積。連接

\overline{C D}

。因為

\overline{A D} = 1

且

∠ D A E = θ

，直角三角形

A D E

中

\overline{D E} = \overline{A D} sin θ = sin θ

，所以三角形

A C D

以

\overline{A C}

為底、

\overline{D E}

為高，面積

= \frac{1}{2} \times 1 \times sin θ = \frac{sin θ}{2}

。由第 (1) 小題，扇形

A C D

的面積

= \frac{θ}{2}

，三角形

A B C

的面積

= \frac{tan θ}{2}

。三角形

A C D

的三個頂點都在扇形上，弦

\overline{C D}

在弧

C D

的內側，所以三角形

A C D

包含在扇形

A C D

裡面；扇形

A C D

的兩條半徑

\overline{A C}

、

\overline{A D}

分別落在三角形的邊

\overline{A C}

、

\overline{A B}

上（

\overline{A B} = \frac{1}{cos θ} > 1 = \overline{A D}

，所以

D

在

A

、

B

之間），扇形在

∠ A

的內部；又

\overline{B C}

垂直半徑

\overline{A C}

於

C

，是圓的切線，圓弧

C D

在切線靠圓心的這一側，所以扇形

A C D

包含在三角形

A B C

裡面。因此

\frac{sin θ}{2} \leq \frac{θ}{2} \leq \frac{tan θ}{2}

，各乘以

2

得

sin θ \leq θ \leq tan θ

。

被包含的圖形面積較小，是整個證明的依據。寫的時候三塊面積各是多少、誰包含誰，兩件事都要交代。

第 18 題設

0 < θ < \frac{π}{2}

，此時

θ > 0

、

sin θ > 0

、

cos θ > 0

。由 (2) 的

sin θ \leq θ

，兩邊同除以正數

θ

，得

\frac{sin θ}{θ} \leq 1

。由 (2) 的

θ \leq tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

，兩邊同乘以正數

cos θ

得

θ cos θ \leq sin θ

，再同除以正數

θ

，得

cos θ \leq \frac{sin θ}{θ}

。合起來就是

cos θ \leq \frac{sin θ}{θ} \leq 1

。接著求極限：

θ \to 0^{+}

時，

cos θ \to cos 0 = 1

，右邊的常數

1

的極限也是

1

，兩邊趨近同一個數，由夾擠定理，

θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ} = 1

。

乘、除不等式時要先確認乘除的數是正的，不等號方向才不變；這就是 (3) 把範圍改成

0 < θ < \frac{π}{2}

（不含

0

）的原因，

θ = 0

時

\frac{sin θ}{θ}

沒有定義。

極限代不進去、也約不掉時，找兩個極限相同的函數把它夾在中間。

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