段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

蘭陽女中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 蘭陽女中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 蘭陽女中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 12 題要逐對檢查四個圖形的交點，並分清楚對稱於直線 y＝x 與直線 x＋y＝0；第 10 題選項 3 要注意 0 到 1 之間對數是負的，係數大的圖形反而在下方；第 6 題不能把對數的差當成差的對數；選填 C 是聲音強度變成 4 倍，分貝數只加約 6，不是乘以 4。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 8 題（每題 5 分，共 40 分）、多選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、選填題 7 題（卷面印每格 5 分、共 35 分，但 7 題共 13 格；依合計 35 分推定每題 5 分），合計 100 分。選填題 A～G 為本頁第 14～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題(每題 5 分，共 40 分)

下列何者為最接近

y = 3 lo g x

的圖形？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

關於對數

lo g_{x - 2} (- x^{2} + 7 x - 10)

，下列哪一個

x

值使對數有意義？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

設

a = 2 0^{20}

，

b = 1 0^{30}

，

c = 8 0^{10}

，

d = 3^{50}

，則

a

、

b

、

c

、

d

的大小關係何者正確？

(1) $a > b > c > d$
(2) $b > a > d > c$
(3) $a > b > d > c$
(4) $b > d > c > a$
(5) $b > d > a > c$

試比較

a = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}

，

b = lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}

，

c = 2

的大小關係為下列何者？

(1) $a > b > c$
(2) $c > a > b$
(3) $c > b > a$
(4) $a > c > b$
(5) $b > a > c$

設

a = lo g 2

、

b = lo g 3

，將

lo g_{5} 12

以

a

、

b

表示為下列何者？

(1) $\frac{2 a + b}{1 - a}$
(2) $\frac{2 a + b}{1 + a}$
(3) $\frac{a + b}{2 ab}$
(4) $\frac{2 a + b}{a + b}$
(5) $\frac{a + 2 b}{1 - b}$

設

a

、

b > 0

，

lo g a = 20

，

lo g b = 16

，則

lo g (a - b)

的值最接近下列哪個數？

(1) $\frac{4}{5}$
(2) $4$
(3) $16$
(4) $18$
(5) $20$

已知鐵 59 的半衰期為 45 天，若在一開始，鐵 59 的質量為 256000 公克，則一年後，鐵 59 的質量約為多少公克？（一年以 360 天計）

(1) $4000$
(2) $2000$
(3) $1000$
(4) $500$
(5) $250$

化簡

(lo g_{2} 5) (lo g_{5} 8) (lo g_{8} 11) - \frac{1}{lo g _{11} 2}

的值為？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $3$
(5) $4$

二、多選題(每題 5 分，共 25 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，其餘得 0 分)

關於函數

f (x) = (\frac{1}{2})^{x}

，請選出下列正確的選項。

(1) $f (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形和 $f (x) = - (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形對稱於 y 軸
(2) $f (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形和 $f (x) = 2^{- x}$ 的圖形對稱於 y 軸
(3) $f (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形和 $f (x) = 2^{x}$ 的圖形對稱於 y 軸
(4) $f (1111) > f (1110)$
(5) 當 $x < 9$ 時， $f (x) > \frac{1}{1000}$

關於

y = 2 lo g x

與

y = 3 lo g x

的圖形敘述，請選出下列正確的選項。

(1) 均過點 $(1, 0)$
(2) 均為嚴格遞增函數
(3) 當 $x > 0$ 時， $y = 3 lo g x$ 的圖形恆在 $y = 2 lo g x$ 的圖形上方
(4) 均為凹口向上
(5) 均與 y 軸無交點

常用對數函數

y = a lo g x

，

y = b lo g x

，

y = c lo g x

，

y = d lo g x

配置如圖，請選出下列正確的選項。

(1) $a > b > 0$
(2) $0 < c < d < 1$
(3) 若 $y = a lo g x$ 與 $y = d lo g x$ 的圖形對稱於 x 軸，則 $∣ a ∣ = ∣ d ∣$
(4) 若 $Q$ 為 $y = b lo g x$ 圖形上異於 $P$ 的任一點，則 $P$ 、 $Q$ 兩點所決定的斜率恆為正數
(5) $a > b > c > d$

載入中...

設

G_{1}

：

y = 3^{x}

，

G_{2}

：

y = 3^{- x}

，

G_{3}

：

y = lo g_{3} x

，

G_{4}

：

y = - lo g_{3} x

，請選出下列正確的選項。

(1) $G_{1}$ 與 $G_{2}$ 的圖形都不和 y 軸相交
(2) $G_{1}$ 與 $G_{3}$ 的圖形沒有交點
(3) $G_{2}$ 與 $G_{3}$ 的圖形恰交於一點
(4) 這 4 個圖形在 xy 平面上共有 5 個交點
(5) $G_{2}$ 與 $G_{4}$ 的圖形對稱於直線 $x + y = 0$

請選出下列正確的選項。

(1) $lo g_{10} (8 \times 7) = lo g_{10} 8 + lo g_{10} 7$
(2) $lo g_{10} \frac{2}{3} = lo g_{10} 2 \div lo g_{10} 3$
(3) $lo g_{2} 5^{2} = (lo g_{2} 5)^{2}$
(4) $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$
(5) $2^{l o g_{3} 2} = 3$

三、選填題(每格 5 分，共 35 分) ※答案請化成最簡分數※

（選填 A）

2 lo g \frac{5}{3} - lo g \frac{7}{4} + 2 lo g 3 + \frac{1}{2} lo g 49 =

____。

（選填 B）不等式

lo g_{\frac{1}{2}} (x - 3) > lo g_{\frac{1}{2}} (5 - x)

的解為

a < x < b

，則

a + b =

____。

（選填 C）聲音的強度是以每平方公尺多少瓦特（

W/ m^{2}

）衡量，而分貝(

s

)是聲音的單位，且其與聲音強度(

w

)的關係如下：

s = 10 \times lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}

。吹管樂器中的「笙」是經由氣流通過簧片引起管柱振動而發聲，音色非常秀麗甜美，也是目前傳統民族樂器中唯一可以吹奏出和聲的樂器。已知一支笙發出的最大聲音可達 40 分貝，某國樂團中有四位團員的樂器為笙，則此四人合奏時最大聲音可達 ____ 分貝。（已知

lo g 4 \approx 0.6

）

（選填 D）若

a

、

b

、

c

、

d

、

e

皆為不等於 1 的正實數，且

a^{2} = c^{3}

，

c^{2} = e^{5}

，求

(lo g_{a} b) (lo g_{b} c) (lo g_{c} d) (lo g_{d} e)

的值為 ____。

（選填 E）試求

(lo g_{3} 4 + lo g_{27} 16) (lo g_{4} 9 - lo g_{16} 3)

的值為 ____。

（選填 F）解方程式：

4^{x + 1} - 25 \times 2^{x} - 56 = 0

，

x =

____。

（選填 G）甲、乙兩人分別向銀行借款 100000 元，已知年利率均為

1%

，每年計息一次，若甲以單利計息，乙以複利計息，則十年後乙的本利和比甲的本利和多 ____ 元。（四捨五入取至整數位，已知

1.0 1^{10} \approx 1.105

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(4)

第 3 題(2)

第 4 題(2)

第 5 題(1)

第 6 題(5)

第 7 題(3)

第 8 題(1)

第 9 題(3)(5)

第 10 題(1)(2)(5)

第 11 題(1)(3)(4)(5)

第 12 題(2)(3)(4)

第 13 題(1)(4)

第 14 題

2

第 15 題

7

第 16 題

46

第 17 題

\frac{4}{15}

第 18 題

\frac{5}{2}

第 19 題

3

第 20 題

500

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～8 題）：認圖形、對數的條件、比大小、換底、估算、半衰期

第 1 題

答案 (3)。 $y = 3 lo g x$ 的定義域是 $x > 0$ ，圖形只在 y 軸右側，不與 y 軸相交，而且 x 越接近 $0$ ， $y$ 越往下（負得越多）。 $x = 1$ 時 $y = 3 lo g 1 = 0$ ，圖形通過 $(1, 0)$ ；係數 $3 > 0$ ，底數 $10 > 1$ ，所以是遞增函數，且越往右上升得越慢。

圖 (1)、(2) 圖形左右兩側都有，是指數函數的樣子；圖 (4) 是遞減的；圖 (5) 是通過原點的直線。只有圖 (3) 符合。

對數函數圖形的三個特徵：只在 y 軸右側、通過

(1, 0)

、以 y 軸為漸近線。

第 2 題答案 (4)。對數有意義要同時滿足：底數

x - 2 > 0

且

x - 2 \neq = 1

，即

x > 2

且

x \neq = 3

；真數

- x^{2} + 7 x - 10 > 0

，即

x^{2} - 7 x + 10 < 0

，

(x - 2) (x - 5) < 0

，

2 < x < 5

。合起來是

2 < x < 5

且

x \neq = 3

。選項中只有

x = 4

符合。

x = 3

時底數是

1

，

x = 2

時底數是

0

，都不能當底數；

x = 5

時真數是

0

，

x = 1

時真數是負數。

第 3 題答案 (2)。把四個數都化成某數的

10

次方：

a = 2 0^{20} = (2 0^{2})^{10} = 40 0^{10}

，

b = 1 0^{30} = (1 0^{3})^{10} = 100 0^{10}

，

c = 8 0^{10}

，

d = 3^{50} = (3^{5})^{10} = 24 3^{10}

。底數

1000 > 400 > 243 > 80

，次方相同、底數越大值越大，所以

b > a > d > c

。

也可以取常用對數比較：

lo g a \approx 26.02

、

lo g b = 30

、

lo g c \approx 19.03

、

lo g d \approx 23.86

，順序相同。

第 4 題

答案 (2)。由換底公式， $a = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = \frac{lo g \frac{1}{3}}{lo g \frac{1}{2}} = \frac{- lo g 3}{- lo g 2} = lo g_{2} 3$ ；同理 $b = lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = lo g_{3} 2$ 。

因為 $2 < 3 < 4$ ， $1 < lo g_{2} 3 < lo g_{2} 4 = 2$ ，所以 $1 < a < 2$ 。因為 $1 < 2 < 3$ ， $0 < lo g_{3} 2 < 1$ ，所以 $0 < b < 1$ 。因此 $c > a > b$ 。

數值：

a \approx 1.585

、

b \approx 0.631

。

第 5 題答案 (1)。由換底公式，

lo g_{5} 12 = \frac{lo g 12}{lo g 5}

。分子

lo g 12 = lo g (2^{2} \times 3) = 2 lo g 2 + lo g 3 = 2 a + b

；分母

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 = 1 - a

。所以

lo g_{5} 12 = \frac{2 a + b}{1 - a}

。

lo g 5

不能直接用

a

、

b

表示，要寫成

lo g 10 - lo g 2

。

第 6 題答案 (5)。由

lo g a = 20

、

lo g b = 16

得

a = 1 0^{20}

、

b = 1 0^{16}

。

a - b = 1 0^{20} - 1 0^{16} = 1 0^{16} \times (1 0^{4} - 1) = 1 0^{16} \times 9999

，所以

lo g (a - b) = 16 + lo g 9999

。因為

1000 < 9999 < 10000

，

3 < lo g 9999 < 4

，而且

9999

非常接近

10000

，

lo g 9999

非常接近

4

。所以

lo g (a - b)

略小於

20

，最接近

20

。

lo g (a - b) \approx 19.99996

。常見錯誤是寫成

lo g a - lo g b = 4

，但

lo g (a - b)

不等於

lo g a - lo g b

。

第 7 題答案 (3)。每經過

45

天質量減為一半。

360

天是

\frac{360}{45} = 8

個半衰期，所以一年後的質量是

256000 \times (\frac{1}{2})^{8} = \frac{256000}{256} = 1000

公克。

t

天後的質量是

256000 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{45}}

。

第 8 題答案 (1)。由換底公式，

(lo g_{2} 5) (lo g_{5} 8) (lo g_{8} 11) = \frac{lo g 5}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 8}{lo g 5} \cdot \frac{lo g 11}{lo g 8} = \frac{lo g 11}{lo g 2} = lo g_{2} 11

。又

\frac{1}{lo g _{11} 2} = \frac{lo g 11}{lo g 2} = lo g_{2} 11

。兩者相減得

0

。

lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c

，連乘時中間的底數與真數一路消去。

比較指數大小先試著化成同次方；遇到不同底的對數，先用換底公式全部化成常用對數再化簡；

lo g (a - b)

不能拆成

lo g a - lo g b

。

02多選題（第 9～13 題）：圖形的對稱、y＝k log x、交點個數、對數律

第 9 題

答案 (3)(5)。

(1) 錯誤。 $y = - (\frac{1}{2})^{x}$ 是把 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 每一點的 $y$ 坐標變號，兩圖形對稱於 x 軸，不是 y 軸。

(2) 錯誤。 $2^{- x} = (2^{- 1})^{x} = (\frac{1}{2})^{x}$ ，兩個式子是同一個函數，圖形完全重合。把 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 對 y 軸翻過去得到的是 $y = 2^{x}$ ，不是它自己，所以不能說兩圖形對稱於 y 軸。

(3) 正確。 $2^{x} = (\frac{1}{2})^{- x}$ ，是把 $x$ 換成 $- x$ ，兩圖形對稱於 y 軸。

(4) 錯誤。 底數 $\frac{1}{2}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $f$ 是遞減函數， $1111 > 1110$ ，所以 $f (1111) < f (1110)$ 。

(5) 正確。 $f$ 遞減， $x < 9$ 時 $f (x) > f (9) = \frac{1}{2 ^{9}} = \frac{1}{512}$ ，而 $512 < 1000$ ，所以 $\frac{1}{512} > \frac{1}{1000}$ ，得 $f (x) > \frac{1}{1000}$ 。

記法：把

y

變號是對稱 x 軸，把

x

變號是對稱 y 軸，把

x

、

y

互換是對稱直線

y = x

。

第 10 題

答案 (1)(2)(5)。

(1) 正確。 $x = 1$ 時 $2 lo g 1 = 3 lo g 1 = 0$ 。

(2) 正確。 $y = lo g x$ 底數 $10 > 1$ ，是遞增函數；乘上正數 $2$ 或 $3$ 仍是遞增函數。

(3) 錯誤。 兩式相減 $3 lo g x - 2 lo g x = lo g x$ ，只有 $x > 1$ 時 $lo g x > 0$ 。 $x = 1$ 時兩圖形交於 $(1, 0)$ ； $0 < x < 1$ 時 $lo g x < 0$ ， $y = 3 lo g x$ 的圖形反而在下方。例如 $x = \frac{1}{10}$ 時， $3 lo g x = - 3 < - 2 = 2 lo g x$ 。

(4) 錯誤。 兩圖形都是越往右上升得越慢，是凹口向下。例如 $y = 2 lo g x$ 上取 $(1, 0)$ 、 $(100, 4)$ ，弦的中點是 $(50.5, 2)$ ；而 $x = 50.5$ 時 $2 lo g 50.5 > 2 lo g 10 = 2$ ，圖形在弦中點的上方，凹口向下。一般而言 $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} > x_{1} x_{2}$ （ $x_{1} \neq = x_{2}$ ），所以 $lo g \frac{x _{1} + x _{2}}{2} > \frac{lo g x _{1} + lo g x _{2}}{2}$ ，乘上正數 $2$ 或 $3$ 也一樣，兩圖形都是凹口向下。

(5) 正確。 定義域是 $x > 0$ ，圖形上沒有 $x = 0$ 的點，所以與 y 軸沒有交點。

y = k lo g x

（

k > 0

）的圖形是把

y = lo g x

鉛直方向伸縮

k

倍，形狀與

y = lo g x

相同。

第 11 題

答案 (1)(3)(4)(5)。四個圖形都通過 $P (1, 0)$ 。取 $x = 10$ ， $lo g 10 = 1$ ，四個函數值分別是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 。由圖， $x > 1$ 時 $y = a lo g x$ 在最上方、 $y = b lo g x$ 次之，兩者都在 x 軸上方； $y = c lo g x$ 、 $y = d lo g x$ 在 x 軸下方， $y = d lo g x$ 在最下方。所以 $a > b > 0 > c > d$ 。

(1) 正確。 $a > b > 0$ 。

(2) 錯誤。 $c$ 、 $d$ 都是負數，而且 $d < c$ 。

(3) 正確。 $y = a lo g x$ 對 x 軸對稱的圖形是 $y = - a lo g x$ ，所以 $d = - a$ ， $∣ a ∣ = ∣ d ∣$ 。

(4) 正確。 設 $Q (t, b lo g t)$ ， $t > 0$ 且 $t \neq = 1$ 。斜率 $= \frac{b lo g t - 0}{t - 1} = \frac{b lo g t}{t - 1}$ 。 $t > 1$ 時 $lo g t > 0$ 、 $t - 1 > 0$ ； $0 < t < 1$ 時 $lo g t < 0$ 、 $t - 1 < 0$ 。兩種情形 $\frac{lo g t}{t - 1}$ 都是正數，又 $b > 0$ ，所以斜率恆為正數。

(5) 正確。 由上面的判斷， $a > b > c > d$ 。

(4) 也可以直接用遞增函數說明：

b > 0

時

y = b lo g x

遞增，圖形上任兩點連線的斜率都是正數。

第 12 題

答案 (2)(3)(4)。

(1) 錯誤。 $x = 0$ 時 $3^{0} = 3^{- 0} = 1$ ， $G_{1}$ 與 $G_{2}$ 都通過 $(0, 1)$ ，都和 y 軸相交。

(2) 正確。 $y = 3^{x}$ 的圖形恆在直線 $y = x$ 的上方，它的反函數 $y = lo g_{3} x$ 的圖形恆在 $y = x$ 的下方，兩圖形沒有交點。也可以分段看： $0 < x \leq 1$ 時 $lo g_{3} x \leq 0 < 3^{x}$ ； $x > 1$ 時 $lo g_{3} x < x < 3^{x}$ 。

(3) 正確。 $G_{2}$ 遞減、 $G_{3}$ 遞增，最多交一點。 $x = 1$ 時 $G_{2}$ 的值 $\frac{1}{3}$ 大於 $G_{3}$ 的值 $0$ ； $x = 3$ 時 $G_{2}$ 的值 $\frac{1}{27}$ 小於 $G_{3}$ 的值 $1$ ，高低互換，所以兩圖形在 $1 < x < 3$ 之間恰交於一點。

(4) 正確。 兩兩檢查： $G_{1}$ 與 $G_{2}$ 交於 $(0, 1)$ ； $G_{3}$ 與 $G_{4}$ 交於 $(1, 0)$ ； $G_{1}$ 與 $G_{3}$ 沒有交點（選項 (2)）； $G_{2}$ 與 $G_{3}$ 恰一點（選項 (3)）。 $G_{1}$ 遞增、 $G_{4}$ 遞減，最多交一點， $x = \frac{1}{9}$ 時 $3^{\frac{1}{9}} < 3^{\frac{1}{2}} < 2 = - lo g_{3} \frac{1}{9}$ ， $x = \frac{1}{3}$ 時 $3^{\frac{1}{3}} > 1 = - lo g_{3} \frac{1}{3}$ ，所以恰一點。 $G_{2}$ 與 $G_{4}$ ： $x \geq 1$ 時 $- lo g_{3} x \leq 0 < 3^{- x}$ ； $0 < x \leq \frac{1}{3}$ 時 $- lo g_{3} x \geq 1 > 3^{- x}$ ；所以交點只可能在 $\frac{1}{3} < x < 1$ 。兩者互為反函數（見選項 (5)），直線 $y = x$ 上的交點滿足 $3^{- x} = x$ ，左邊遞減、右邊遞增， $x = \frac{1}{3}$ 時 $3^{- \frac{1}{3}} > \frac{1}{3}$ 、 $x = 1$ 時 $\frac{1}{3} < 1$ ，恰有一解（約 $x \approx 0.55$ ）。不在 $y = x$ 上的交點會以 $(p, q)$ 、 $(q, p)$ 成對出現；由圖形可看出沒有這樣的交點（底數 $\frac{1}{3}$ 時兩圖只交於 $y = x$ 上一點）。

五個交點的 x 坐標分別是 $0$ 、 $1$ 、介於 $\frac{1}{9}$ 與 $\frac{1}{3}$ （ $G_{1}$ 、 $G_{4}$ ）、介於 $1$ 與 $3$ （ $G_{2}$ 、 $G_{3}$ ）、介於 $\frac{1}{3}$ 與 $1$ （ $G_{2}$ 、 $G_{4}$ ，約 $0.55$ ），互不相同，所以共有 $5$ 個交點。

(5) 錯誤。 由 $y = 3^{- x}$ 得 $- x = lo g_{3} y$ ， $x = - lo g_{3} y$ ，把 $x$ 、 $y$ 互換得 $y = - lo g_{3} x$ ，所以 $G_{2}$ 與 $G_{4}$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ ，不是 $x + y = 0$ 。對稱於 $x + y = 0$ 是把點 $(x, y)$ 換成 $(- y, - x)$ ； $G_{4}$ 只在 $x > 0$ 有圖形，但 $G_{2}$ 上的點 $(x, y)$ 都有 $y > 0$ ，對應點 $(- y, - x)$ 的 x 坐標是負的，不在 $G_{4}$ 上。

G_{2}

與

G_{4}

的交點：

3^{- x} = - lo g_{3} x

，

x = 0.5

時左邊約

0.577

、右邊約

0.631

；

x = 0.6

時左邊約

0.517

、右邊約

0.465

，交點的 x 坐標在

0.5

與

0.6

之間。

第 13 題

答案 (1)(4)。

(1) 正確。 對數律 $lo g (M N) = lo g M + lo g N$ 。

(2) 錯誤。 對數律是 $lo g_{10} \frac{2}{3} = lo g_{10} 2 - lo g_{10} 3 \approx - 0.176$ ，而 $lo g_{10} 2 \div lo g_{10} 3 \approx 0.631$ ，兩者不相等。

(3) 錯誤。 $lo g_{2} 5^{2} = 2 lo g_{2} 5 \approx 4.64$ ，而 $(lo g_{2} 5)^{2} \approx 5.39$ ，兩者不相等。

(4) 正確。 $lo g_{4} 9 = \frac{lo g 9}{lo g 4} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3$ 。

(5) 錯誤。 $lo g_{3} 2 < 1$ ，所以 $2^{l o g_{3} 2} < 2^{1} = 2 < 3$ 。會等於 $3$ 的是 $2^{l o g_{2} 3}$ 。

2^{l o g_{3} 2} \approx 1.55

。

把

y

變號對稱 x 軸、把

x

變號對稱 y 軸、

x

與

y

互換對稱

y = x

；數交點時一增一減的兩個圖形最多交一點，再找高低互換的位置確認。

03選填題 A～D（第 14～17 題）：合併對數、對數不等式、分貝、連鎖換底

第 14 題把係數移進真數：

2 lo g \frac{5}{3} = lo g \frac{25}{9}

，

2 lo g 3 = lo g 9

，

\frac{1}{2} lo g 49 = lo g 7

。原式

= lo g (\frac{25}{9} \div \frac{7}{4} \times 9 \times 7) = lo g (\frac{25}{9} \times \frac{4}{7} \times 9 \times 7) = lo g 100 = 2

。

原卷答案格只有一格。減去的項放到分母：

\div \frac{7}{4}

就是

\times \frac{4}{7}

。

第 15 題真數要為正：

x - 3 > 0

且

5 - x > 0

，即

3 < x < 5

。底數

\frac{1}{2}

介於

0

與

1

之間，

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

是遞減函數，函數值較大的真數反而較小，所以

x - 3 < 5 - x

，

x < 4

。合起來

3 < x < 4

，

a = 3

、

b = 4

，

a + b = 7

。

底數小於

1

時去掉對數，不等號要反向；真數條件不能漏，否則左端點會錯。

第 16 題

一支笙： $40 = 10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}$ ， $lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}} = 4$ ， $\frac{w}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{4}$ ，所以一支笙的最大聲音強度 $w = 1 0^{4} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 8}$ $W/ m^{2}$ 。

四支笙合奏，聲音強度是 $4$ 倍， $4 \times 1 0^{- 8}$ $W/ m^{2}$ 。分貝數 $s = 10 lo g \frac{4 \times 1 0 ^{- 8}}{1 0 ^{- 12}} = 10 lo g (4 \times 1 0^{4}) = 10 (lo g 4 + 4) \approx 10 \times 4.6 = 46$ 。

原卷答案格為兩格。強度變成

4

倍，分貝數只增加

10 lo g 4 \approx 6

，不是變成

4

倍的

160

分貝。

第 17 題

由換底公式， $(lo g_{a} b) (lo g_{b} c) (lo g_{c} d) (lo g_{d} e) = \frac{lo g b}{lo g a} \cdot \frac{lo g c}{lo g b} \cdot \frac{lo g d}{lo g c} \cdot \frac{lo g e}{lo g d} = \frac{lo g e}{lo g a}$ 。

由 $c^{2} = e^{5}$ 得 $2 lo g c = 5 lo g e$ ， $lo g c = \frac{5}{2} lo g e$ 。由 $a^{2} = c^{3}$ 得 $2 lo g a = 3 lo g c = \frac{15}{2} lo g e$ ， $lo g a = \frac{15}{4} lo g e$ 。所以 $\frac{lo g e}{lo g a} = \frac{4}{15}$ 。

原卷答案格式為分子一格、分母兩格。

a \neq = 1

，所以

lo g a \neq = 0

，可以相除；

b

、

d

的值不需要知道。

連乘的對數用換底公式一路消去，只剩頭尾；分貝這類對數模型，先由已知分貝數反推強度，再算新的分貝數。

04選填題 E～G（第 18～20 題）：換底化成同底、換元解指數方程式、單利與複利

第 18 題

第一個括號化成以 $3$ 為底： $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2$ ， $lo g_{27} 16 = \frac{lo g _{3} 16}{lo g _{3} 27} = \frac{4 lo g _{3} 2}{3}$ ，所以第一個括號 $= 2 lo g_{3} 2 + \frac{4}{3} lo g_{3} 2 = \frac{10}{3} lo g_{3} 2$ 。

第二個括號化成以 $2$ 為底： $lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4} = \frac{2 lo g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3$ ， $lo g_{16} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 16} = \frac{1}{4} lo g_{2} 3$ ，所以第二個括號 $= \frac{3}{4} lo g_{2} 3$ 。

相乘： $\frac{10}{3} \times \frac{3}{4} \times lo g_{3} 2 \times lo g_{2} 3 = \frac{5}{2} \times 1 = \frac{5}{2}$ 。

lo g_{3} 2 \times lo g_{2} 3 = 1

。也可以全部化成常用對數：第一個括號

= \frac{10 lo g 2}{3 lo g 3}

，第二個括號

= \frac{3 lo g 3}{4 lo g 2}

。

第 19 題令

t = 2^{x}

（

t > 0

）。

4^{x + 1} = 4 \cdot (2^{x})^{2} = 4 t^{2}

，方程式化為

4 t^{2} - 25 t - 56 = 0

，

(t - 8) (4 t + 7) = 0

。因為

t > 0

，取

t = 8

，所以

2^{x} = 8 = 2^{3}

，

x = 3

。

驗算：

4^{4} - 25 \times 8 - 56 = 256 - 200 - 56 = 0

。

t = - \frac{7}{4}

不合，因為

2^{x}

恆為正。

第 20 題

甲以單利計息，每年利息都是 $100000 \times 1% = 1000$ 元，十年後本利和 $= 100000 + 10 \times 1000 = 110000$ 元。

乙以複利計息，每年本利和變成前一年的 $1.01$ 倍，十年後本利和 $= 100000 \times 1.0 1^{10} \approx 100000 \times 1.105 = 110500$ 元。

乙比甲多 $110500 - 110000 = 500$ 元。

原卷答案格為三格。若用更精確的

1.0 1^{10} \approx 1.10462

，差約

462

元；本題照題目給的近似值

1.105

計算。

指數方程式裡同時有

4^{x}

與

2^{x}

，令

t = 2^{x}

化成二次方程式，記得

t > 0

；複利是乘上固定倍數，單利是加上固定金額。

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蘭陽女中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 12 題要逐對檢查四個圖形的交點，並分清楚對稱於直線 y＝x 與直線 x＋y＝0；第 10 題選項 3 要注意 0 到 1 之間對數是負的，係數大的圖形反而在下方；第 6 題不能把對數的差當成差的對數；選填 C 是聲音強度變成 4 倍，分貝數只加約 6，不是乘以 4。詳解逐題寫在本頁。

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03選填題 A～D（第 14～17 題）：合併對數、對數不等式、分貝、連鎖換底

04選填題 E～G（第 18～20 題）：換底化成同底、換元解指數方程式、單利與複利

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