御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：導數與導函數、微分公式與連鎖律、切線、函數的遞增遞減與極值、凹凸與反曲點、極值的應用

蘭陽女中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 10 題、多選題 4 題、選填題 A～E 共 6 小題（E 有兩小題），原卷未印配分。卷面題號 1～14 即本頁第 1～14 題，選填題 A～D 為第 15～18 題，E 的 (1)、(2) 為第 19、20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：
1
已知 f(x)=​x2−3x​，下列選項何者正確？
  1. (1) f′(2) 不存在
  2. (2) f′(2)=−1
  3. (3) f′(2)=0
  4. (4) f′(2)=1
  5. (5) f′(2)=2
2
已知函數 f(x)=​x3​，下列敘述何者錯誤？
  1. (1) f(0)=0
  2. (2) f′(0)=0
  3. (3) f′′(0)=0
  4. (4) 0 是函數的極值
  5. (5) (0,0) 是函數圖形的反曲點
題組題（第 3～5 題）　請以下列題幹完成單選第 3、4、5 題：下圖為多項式函數 y=f(x) 的一階導函數圖形，圖形與 x 軸交點分別為 A(0,0)、B(2,0)、C(5,0)，上有兩點 E(a,f′(a))、F(b,f′(b))，其中 0、f′(a)、f′(b) 為極值：
3
下列選項何者正確？
  1. (1) f(a)>0
  2. (2) f(a)=0
  3. (3) f(a)<0
  4. (4) f′(a)>0
  5. (5) f′(a)=0
載入中...
4
下列選項何者正確？
  1. (1) f′′(a)>0
  2. (2) f′′(a)<0
  3. (3) f′′′(a)>0
  4. (4) f′′′(a)=0
  5. (5) f′′′(a)<0
5
下列選項，何者可能為 y=f(x) 的圖形？
載入中...
6
已知 f(x)=x3−3x2+2，下列選項哪一個正確？
  1. (1) f′(1)=0
  2. (2) f′(1)=−1
  3. (3) f′(1)=−3
  4. (4) f′′(1)=6
  5. (5) f′′(1)=−6
7
f(x)=x3−6x2+9x+2 的極大值為
  1. (1) 2
  2. (2) 4
  3. (3) 6
  4. (4) 8
  5. (5) 10
8
考慮一半徑 4 公尺的球，其內接直圓柱的最大體積為
  1. (1) 964​3​π m3
  2. (2) 9128​3​π m3
  3. (3) 9256​3​π m3
  4. (4) 9128​π m3
  5. (5) 9256​π m3
載入中...
9
已知多項式函數 f(x)，滿足 f′(2)=3，則 h→0lim​3hf(2+3h)−f(2−2h)​=
  1. (1) 1
  2. (2) 2
  3. (3) 3
  4. (4) 4
  5. (5) 5
10
f(x)=−x3+6x2−9x+7，求一階導函數 f′(x) 的最大值為何？
  1. (1) 0
  2. (2) 1
  3. (3) 2
  4. (4) 3
  5. (5) 5
二、多選題：
11
下圖為 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的圖形，若點 P 為其對稱點，則下列選項那些正確？
  1. (1) a>0
  2. (2) b<0
  3. (3) c>0
  4. (4) d<0
  5. (5) b2−3ac>0
載入中...
12
函數 f(x)=x4+8x3+22x2+24x+30，若已知 f′(−1)=0，則 y=f(x) 在下列哪些區間是遞增函數？
  1. (1) (−∞,−3]
  2. (2) [−3,−2]
  3. (3) [−2,−1]
  4. (4) [−1,3]
  5. (5) [3,5]
13
下列哪些函數在 x=0 處可以微分？
  1. (1) f(x)=[x]，[x] 表示高斯函數
  2. (2) f(x)=x+11​
  3. (3) f(x)=∣x∣
  4. (4) f(x)=x2∣x∣
  5. (5) f(x)=​x2−3x​
14
若 f(x) 為四次多項式，且滿足 f(1)=f(−1)=f(2)=f′(2)=0，f(0)=8，則下列選項，哪些正確？
  1. (1) f(x) 可以被 (x+1)(x−2)2 整除
  2. (2) f(x) 有最大值
  3. (3) f(x) 有最小值
  4. (4) f′(0)=0
  5. (5) x→2lim​(x−2)2f(x)​=−6
三、選填題：
15
求 f(x)=(x−1)3(x−3) 的最小值為 ____。
16
已知通過函數 f(x)=x2−2x+k 圖形外一點 P(1,1) 的兩條切線，切點分別為 A、B，若 ∠APB=60∘，則 k= ____。
17
已知 f(x)=x3−2x2+3x−1 上一點 T(1,1)，則 y=f(x) 圖形上，則以 T 為切點的切線方程式為 y= ____ x− ____。
18
已知 f(x)=x2+x+1 及圖形外一點 P(1,−1)，求此函數圖形過 P 的所有切線斜率的乘積為何？答：____。
19
(1) 若 f(x)=(x−1)9(2x−1)2，則 f′(2)= ____。
20
(2) 若 f(x)=(x2+1)21​，則 f′(1)= ____。
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)
第 2 題(5)
第 3 題(4)
第 4 題(5)
第 5 題(2)
第 6 題(3)
第 7 題(3)
第 8 題(3)
第 9 題(5)
第 10 題(4)
第 11 題(1)(4)(5)
第 12 題(2)(4)(5)
第 13 題(2)(4)
第 14 題(1)(2)(5)
第 15 題−1627​
第 16 題411​
第 17 題y=2x−1
第 18 題−7
第 19 題93
第 20 題−21​
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01單選 1～2：含絕對值的函數

第 1 題答案 (2)。x2−3x=x(x−3)，在 0<x<3 時為負，所以在 x=2 附近 f(x)=−(x2−3x)=3x−x2。這一段是多項式，可以微分：f′(x)=3−2x，f′(2)=3−4=−1。
絕對值只在裡面的式子等於 0 的地方（x=0 或 x=3）才可能不能微分；x=2 不是這種點，先去掉絕對值再微分即可。
第 2 題答案 (5)。x≥0 時 f(x)=x3，x<0 時 f(x)=−x3。(1) f(0)=0，正確。(2) 右導數 h→0+lim​hh3​=0，左導數 h→0−lim​h−h3​=0，相等，所以 f′(0)=0，正確。(3) f′(x)=3x2（x>0）、−3x2（x<0），合起來 f′(x)=3x∣x∣；再用同樣方法求左右導數都是 0，所以 f′′(0)=0，正確。(4) f(x)=∣x∣3≥0=f(0)，所以 0 是極小值，正確。(5) x>0 時 f′′(x)=6x>0，x<0 時 f′′(x)=−6x>0，兩側都凹口向上，凹凸沒有改變，所以 (0,0) 不是反曲點，錯誤。
反曲點的條件是凹凸改變（f′′ 在兩側變號），f′′=0 只是必要條件之一，不能反過來用。
含絕對值的函數先看裡面的正負，分段寫開再微分；反曲點要看兩側凹凸有沒有改變。

02題組 3～5：由導函數的圖形判讀

第 3 題答案 (4)。圖畫的是 y=f′(x)。點 E 在 x 軸上方，所以 f′(a)>0，(4) 正確、(5) 錯誤。至於 f(a)：導函數只告訴我們 f 怎麼增減，f(x) 加上任何常數，導函數都一樣，所以 f(a) 可以是正、負或 0，(1)(2)(3) 都不能確定。
看到導函數的圖，y 坐標讀到的是「斜率」，不是函數值。
第 4 題答案 (5)。f′ 在 x=a 有極大值，而 f′ 是多項式函數、可以微分，所以 (f′)′(a)=f′′(a)=0，(1)(2) 錯誤。由圖，f′ 與 x 軸交於 0、5（穿過）與 2（相切，重根），兩端都往下，所以可設 f′(x)=kx(x−2)2(x−5)，k<0。微分得 f′′(x)=k(x−2)(4x2−19x+10)；a 是 f′ 在 0 與 2 之間的極大點，即 4x2−19x+10=0 較小的根 a=819−201​​，是單根。再微分並代入 x=a（含 4a2−19a+10 的項為 0）：f′′′(a)=k(a−2)(8a−19)，其中 k<0、a−2<0、8a−19<0，所以 f′′′(a)<0，(5) 正確，(3)(4) 錯誤。
把 f′ 當成一個新函數 g：g 的極大點滿足 g′=0，g 在極大點左右由增轉減，且這裡 g′ 是單根，所以 g′′(a)<0；換回來就是 f′′(a)=0、f′′′(a)<0。
第 5 題答案 (2)。由導函數的圖讀出 f 的增減：x<0 時 f′<0，f 遞減；0<x<2 與 2<x<5 時 f′>0，f 遞增（在 x=2 只是 f′ 碰到 0 又回到正的，f 在這裡有一段水平的切線，但不是極值）；x>5 時 f′<0，f 遞減。所以 f 的圖形要：在 x=0 有極小、在 x=2 有水平切線但繼續上升、在 x=5 有極大。(1) 極小在 x=0 的左邊、極大在 x=5 的左邊，不合。(2) 極小在 x=0、x=2 附近平緩後繼續上升、極大在 x=5，符合。(3) 在 x=0 附近是遞減的，先極大後極小，不合。(4) 在 x=0 附近遞減、極小在 0 與 2 之間，不合。(5) 在 x=0 附近遞增、在 0 與 2 之間有極大，不合。
導函數的根只有在「變號」時才是原函數的極值；碰到 x 軸又彈回去（重根）的地方，原函數只是水平地停一下。
導函數的圖：上下看增減，零點看有沒有變號，導函數自己的極值點就是原函數的反曲點。

03單選 6～10：微分的計算、極值與應用

第 6 題答案 (3)。f′(x)=3x2−6x，f′(1)=3−6=−3；f′′(x)=6x−6，f′′(1)=0。所以只有 (3) 正確。
第 7 題答案 (3)。f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)。x<1 時 f′>0，1<x<3 時 f′<0，所以 f 在 x=1 由增轉減，有極大值 f(1)=1−6+9+2=6。
x=3 是極小，極小值 f(3)=27−54+27+2=2，就是選項 (1) 的干擾值。
第 8 題答案 (3)。設圓柱底面半徑為 r、高為 2h（0<h<4）。圓柱內接於球，上下底面的圓周都在球面上，由球心、底面圓心與底面圓周上一點構成的直角三角形得 r2+h2=16。體積 V(h)=πr2⋅2h=2π(16−h2)h=2π(16h−h3)。V′(h)=2π(16−3h2)，在 0<h<3​4​ 時為正、3​4​<h<4 時為負，所以 h=3​4​ 時 V 最大。此時 r2=16−316​=332​，V=π⋅332​⋅3​8​=33​256​π=9256​3​π 立方公尺。
題目只給球的半徑，圓柱的形狀要自己設變數；用半高 h 當變數，r2 直接用 16−h2 代掉，就不必處理根號。
第 9 題答案 (5)。分子加減 f(2) 拆成兩段：3hf(2+3h)−f(2−2h)​=3hf(2+3h)−f(2)​+32​⋅−2hf(2−2h)−f(2)​。h→0 時兩個分式都趨近 f′(2)=3，所以極限為 3+32​⋅3=5。
拆開後，每一段分母的變化量要和分子括號裡的變化量一樣（3h 配 3h，−2h 配 −2h），才能用導數的定義。
第 10 題答案 (4)。f′(x)=−3x2+12x−9=−3(x−2)2+3，是開口向下的拋物線，頂點在 x=2，所以 f′(x) 的最大值為 3。
題目問的是導函數 f′(x) 的最大值，不是 f 的極大值；也可以看成 f′′(x)=−6x+12 在 x=2 由正變負。
極值題先把導數因式分解看正負；應用題先設變數、寫出定義域，再用導數找最大。

04多選 11～14：圖形、增減、可微分與多項式

第 11 題答案 (1)(4)(5)。由圖：x 很大時圖形往上，x 很小時往下；左邊有極大點、右邊有極小點；極大點在 y 軸左側、極小點在 y 軸右側；對稱點 P 在 y 軸左側；圖形與 y 軸交在 x 軸下方。 (1) 正確。 圖形右端往上，最高次項係數 a>0。 (2) 錯誤。 三次函數圖形的對稱點就是反曲點，其 x 坐標是 f′′(x)=6ax+2b=0 的解 x=−3ab​。P 在 y 軸左側，所以 −3ab​<0，又 a>0，得 b>0。 (3) 錯誤。 c=f′(0)。在 x=0 處圖形位於極大點與極小點之間，正在下降，所以 f′(0)<0，即 c<0。 (4) 正確。 d=f(0)，圖形與 y 軸交在 x 軸下方，所以 d<0。 (5) 正確。 圖形有極大點也有極小點，f′(x)=3ax2+2bx+c=0 有兩相異實根，判別式 4b2−12ac>0，即 b2−3ac>0。
三次函數的四個係數各有對應的看法：a 看右端、b 看對稱點的位置、c 看 y 軸上的斜率、d 看 y 截距。
第 12 題答案 (2)(4)(5)。f′(x)=4x3+24x2+44x+24=4(x3+6x2+11x+6)。已知 f′(−1)=0，所以 x+1 是因式，再分解得 f′(x)=4(x+1)(x+2)(x+3)。f′ 的正負：x<−3 為負，−3<x<−2 為正，−2<x<−1 為負，x>−1 為正。所以 f 在 [−3,−2] 與 [−1,∞) 遞增，在 (−∞,−3] 與 [−2,−1] 遞減。 (1) 錯誤。 在 (−∞,−3] 遞減。 (2) 正確。 [−3,−2] 遞增。 (3) 錯誤。 在 [−2,−1] 遞減。 (4) 正確。 [−1,3] 包含在 [−1,∞) 內，遞增。 (5) 正確。 [3,5] 也包含在 [−1,∞) 內，遞增。
第 13 題答案 (2)(4)。 (1) 錯誤。 [x] 在 x=0 的左極限是 −1、右極限是 0，不連續，所以不能微分。 (2) 正確。 f(x)=x+11​ 在 x=0 附近有定義，hf(h)−f(0)​=h1​(h+11​−1)=h+1−1​，h→0 時趨近 −1，所以可以微分，f′(0)=−1。 (3) 錯誤。 h∣h∣−0​ 在 h→0+ 時為 1、h→0− 時為 −1，左右導數不相等。 (4) 正確。 hh2∣h∣−0​=h∣h∣，h→0 時趨近 0，所以 f′(0)=0。 (5) 錯誤。 在 x=0 附近，x>0 時 x2−3x<0，f(x)=3x−x2；x<0 時 x2−3x>0，f(x)=x2−3x。右導數 h→0+lim​h3h−h2​=3，左導數 h→0−lim​hh2−3h​=−3，不相等。
可微分一定連續，所以不連續的 (1) 直接排除；連續但有「尖角」的 (3)(5) 則要比左右導數。
第 14 題答案 (1)(2)(5)。f(1)=f(−1)=0 表示 x−1、x+1 是因式；f(2)=f′(2)=0 表示 x=2 是重根，(x−2)2 是因式。四次多項式恰好是這四個一次因式的乘積再乘常數：f(x)=k(x−1)(x+1)(x−2)2。由 f(0)=k⋅(−1)⋅1⋅4=−4k=8 得 k=−2，所以 f(x)=−2(x2−1)(x−2)2。 (1) 正確。 由上式，(x+1)(x−2)2 是 f(x) 的因式。 (2) 正確。 最高次項係數 −2<0，四次函數的圖形兩端都往下，有最大值。 (3) 錯誤。 兩端都趨向負無限大，沒有最小值。 (4) 錯誤。 f′(x)=−2[2x(x−2)2+(x2−1)⋅2(x−2)]，f′(0)=−2[0+(−1)⋅2⋅(−2)]=−8=0。 (5) 正確。 (x−2)2f(x)​=−2(x2−1)，x→2 時趨近 −2⋅3=−6。
f(a)=f′(a)=0 表示 (x−a)2 是因式：由 f(x)=(x−a)q(x) 得 f′(a)=q(a)=0，所以 q(x) 還有因式 x−a。
多項式先由根寫成乘積；可微分先看連續，再比左右導數。

05選填 A～E：極值、切線與微分公式

第 15 題答案 −1627​。f′(x)=3(x−1)2(x−3)+(x−1)3=(x−1)2[3(x−3)+(x−1)]=(x−1)2(4x−10)。(x−1)2≥0，所以 f′ 的正負由 4x−10 決定：x<25​ 時 f′≤0，x>25​ 時 f′>0。f 在 x=25​ 由減轉增，且是唯一的轉折，所以最小值為 f(25​)=(23​)3⋅(−21​)=−1627​
x=1 雖然也使 f′(x)=0，但 f′ 在 1 的兩側都是負的，f 沒有在這裡轉折（是水平的反曲點），不是極值。
第 16 題答案 411​。f(x)=(x−1)2+k−1，圖形對稱於直線 x=1，而 P(1,1) 就在對稱軸上，所以兩條切線也對稱於 x=1，各與鉛直線 x=1 夾 30∘，與水平方向夾 60∘，斜率為 ±tan60∘=±3​。取斜率 3​ 的那一條：切點滿足 f′(x)=2x−2=3​，x=1+23​​，此時 f(x)=43​+k−1=k−41​。切線 y=3​(x−1−23​​)+k−41​ 通過 P(1,1)：1=−23​+k−41​，得 k=411​。
檢查：頂點 (1,47​) 在 P 的上方，P 確實在圖形外（下方），可以作兩條切線；若誤把斜率取成 ±3​1​，就是把 ∠APB 當成 120∘ 了。
第 17 題答案 y=2x−1。先確認 f(1)=1−2+3−1=1，T 在圖形上。f′(x)=3x2−4x+3，切線斜率 f′(1)=2，切線為 y−1=2(x−1)，即 y=2x−1。
第 18 題答案 −7。設切點 (t,t2+t+1)，斜率 f′(t)=2t+1，切線 y=(2t+1)(x−t)+t2+t+1。通過 P(1,−1)：−1=(2t+1)(1−t)+t2+t+1=−t2+2t+2，整理得 t2−2t−3=0，t=3 或 t=−1。兩條切線的斜率為 7 與 −1，乘積 −7。
P 不在圖形上（f(1)=3=−1），不能直接用 f′(1) 當斜率，要先設切點。
第 19 題答案 93。乘積的微分與連鎖律：f′(x)=9(x−1)8(2x−1)2+(x−1)9⋅2(2x−1)⋅2。代入 x=2：f′(2)=9⋅1⋅9+1⋅2⋅3⋅2=81+12=93。
(2x−1)2 微分時要乘上裡面 2x−1 的導數 2；漏掉會得到 81+6=87。
第 20 題答案 −21​。用商的微分：f′(x)=(x2+1)40⋅(x2+1)2−1⋅[(x2+1)2]′​，而由連鎖律 [(x2+1)2]′=2(x2+1)⋅2x=4x(x2+1)，所以 f′(x)=(x2+1)3−4x​。代入 x=1：f′(1)=8−4​=−21​。
過圖形外一點的切線一定先設切點；複雜的乘積與次方，乘積公式配合連鎖律一步一步寫。

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常見問題

蘭陽女中 112 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 112 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 2 題：二階導數在 0 等於 0 不代表是反曲點，要看兩側凹凸有沒有改變。單選第 3、4 題：圖是導函數不是原函數，f(a) 的正負由圖決定不了，而 E 是導函數的極大點，所以二階導數在 a 等於 0。多選第 13 題：|x²−3x| 在 0 的左右導數分別是 −3 與 3，不能微分。選填 B（本頁第 16 題）：兩切線夾 60 度且對稱於 x＝1，每條切線與鉛直線夾 30 度，斜率是正負根號 3，不是正負根號 3 分之 1。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 112 學年度上學期 高三第二次段考 數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

免責聲明：本站段考卷為各校定期考原卷，由御藍教育重新打字排版，供學生練習與檢討使用；答案與詳解為御藍教育撰寫，不是學校的官方版本。 如有學校、命題老師或出版社認為內容不宜公開，請來信 service@royalblue-education.com，我們會在收到後一週內下架處理。

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