御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：多項式函數的微分（導數與導函數、可微分、切線方程式、二階導數、遞增與遞減、極值與最大最小值、凹口方向與反曲點、邊際利潤、容積與收入的最佳化）

蘭陽女中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 5 分）、多選題 4 題（每題 5 分）、填充題 12 題（每格 5 分，全對才給分），共 100 分。填充題原卷題號是 1～12，本頁依序編為第 9～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題全部一致。

一、單選題：每題 5 分
1
已知 f(x)=x3+x2−2x+3，則 x→1lim​x−1f(x)−f(1)​=？
  1. (1) 1
  2. (2) 2
  3. (3) 3
  4. (4) 4
  5. (5) 5。
2
試求 f(x)=−x3−3x2+4x+5 的反曲點。
  1. (1) (−2,−7)
  2. (2) (−1,−1)
  3. (3) (0,5)
  4. (4) (1,5)
  5. (5) (2,7)。
3
已知在二次函數 f(x)=ax2+bx 圖形上，以點 P(1,5) 為切點的切線方程式為 y=8x+k，則下列敘述何者為真？
  1. (1) a=2
  2. (2) b=3
  3. (3) k=4
  4. (4) a+b=5
  5. (5) a+b+k=6。
4
已知 (−1,2) 為三次函數 f(x)=2x3+ax2+7x+b 圖形的一個反曲點，則下列敘述何者為真？
  1. (1) f′(x)=6x2+12x+7
  2. (2) f′′(x)=12x+7
  3. (3) a=5
  4. (4) b=6
  5. (5) f′′(−1)=2。
二、多選題：每題 5 分，每題至少有一個正確選項，全對得 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個以上選項得 0 分
5
試選出下列正確選項。
  1. (1) 函數 f(x)=∣x∣ 在 x=1 處的導數存在
  2. (2) 函數 f(x)={x+1,−x+1,​當 x≥1當 x<1​ 在 x=1 處可微分
  3. (3) 函數 f(x)=x4−4x3+x+3 在區間 (2,∞) 與 (−∞,0) 的圖形為凹口向上
  4. (4) 若 f′′(a)=0，則點 (a,f(a)) 為函數 f(x) 圖形的反曲點
  5. (5) 函數 f(x)=x3−3x+5 有最小值 3。
6
已知某飲料賣出 x 箱的利潤函數為 P(x)=0.2x2+10x（元），試選出下列正確選項。
  1. (1) P′(x)=0.4x+10
  2. (2) P′(100)=50
  3. (3) P(101)−P(100) 近似於 50
  4. (4) 賣出第 101 箱所增加的利潤約為 50 元
  5. (5) 賣出 100 箱時的邊際利潤約為 50 元。
7
試選出函數 f(x)=x3+3x2−4x+7 圖形上斜率為 5 的切線方程式。
  1. (1) y=5x+2
  2. (2) y=5x−2
  3. (3) y=5x+34
  4. (4) y=5x−34
  5. (5) y=5x。
8
函數 f(x)=x3+4x2+4x+4 在下列哪些區間上為嚴格遞增函數？
  1. (1) [−5,−2]
  2. (2) [−2,−1]
  3. (3) [−1,1]
  4. (4) [1,2]
  5. (5) [2,∞)。
三、填充題：每格 5 分(全對才給分)
9
已知 f(x)=x3+3x2−4x+5，則二階導函數 f′′(x)= ____ x+ ____。
10
在函數 f(x)=x2−x 的圖形上，以點 P(2,2) 為切點的切線方程式為 y=ax+b，則 a+b= ____。
11
在函數 f(x)=x2−x+2 的圖形上，已知以點 P 為切點的切線斜率為 3，則切點 P 的坐標 = ____。
12
已知二次函數 f(x) 滿足 f(2)=9，f′(2)=8，f′′(2)=6，則 f(x) 的首項係數 = ____。
13
已知函數 f(x) 的圖形通過點 (1,−1)，且 f′(x)=−3x2+4x−7，則 f(x) 的常數項 = ____。
14
已知函數 f(x)=x3+ax2+bx+12 圖形的反曲點坐標為 (1,1)，則數對 (a,b)= ____。
15
已知函數 f(x)=−x3+ax2+9x+b 在 x=1 處有極大值 7，則 a+b= ____。
16
已知 f(x)=x3+ax2+bx+2 在區間 [−1,3] 上為遞減函數，在區間 [−5,−1] 與 [3,7] 上為遞增函數，則數對 (a,b)= ____。
17
已知三次函數 f(x) 在 x=0 處有極大值 2，在 x=1 處有極小值 1，則 f(x) 的首項係數 = ____。
18
若函數 f(x)=x3−3x2+2 在閉區間 [−2,4] 上的最大值 =M，最小值 =m，則 M+m= ____。
19
將長 16 公寸，寬 10 公寸的矩形鐵片，四個角各截去一個面積相等的正方形，如下圖所示；然後再將各邊沿著虛線摺起來，做成一個無蓋的長方體容器。設截去的正方形邊長為 x 公寸，且長方體的容積為 f(x) 立方公寸（鐵片厚度不計），則當 x= ____ 時，長方體的容積達到最大。
載入中...
20
已知生產 x 件產品的收入函數為 f(x)=−x3+36x2+75x（元），則當 x= ____ 時收入達到最大產量。
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)
第 2 題(2)
第 3 題(4)
第 4 題(1)
第 5 題(1)(3)
第 6 題(1)(2)(3)(4)(5)
第 7 題(1)(3)
第 8 題(1)(4)(5)
第 9 題6x+6
第 10 題−1
第 11 題(2,4)
第 12 題3
第 13 題5
第 14 題(−3,−9)
第 15 題−1
第 16 題(−3,−9)
第 17 題2
第 18 題0
第 19 題2
第 20 題25
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選第 1～4 題：導數的定義、反曲點、切線求係數

第 1 題答案 (3)。依導數的定義，x→1lim​x−1f(x)−f(1)​=f′(1)。f′(x)=3x2+2x−2，所以 f′(1)=3+2−2=3。
也可以直接算：f(1)=3，f(x)−f(1)=x3+x2−2x=x(x+2)(x−1)，約去 x−1 後原式 =x→1lim​x(x+2)=3。
第 2 題答案 (2)。f′(x)=−3x2−6x+4，f′′(x)=−6x−6。f′′(x)=0 得 x=−1；x<−1 時 f′′(x)>0（凹口向上），x>−1 時 f′′(x)<0（凹口向下），凹口方向在 x=−1 改變。f(−1)=1−3−4+5=−1，所以反曲點是 (−1,−1)。
三次函數 ax3+bx2+cx+d 的反曲點一定在 x=−3ab​，這裡 −3×(−1)−3​=−1。
第 3 題答案 (4)。切點 P(1,5) 在圖形上：f(1)=a+b=5。切線斜率是 8：f′(x)=2ax+b，f′(1)=2a+b=8。兩式相減得 a=3，再得 b=2。切線 y=8x+k 也通過 P(1,5)：5=8+k，k=−3。逐項看：(1) a=3，不是 2；(2) b=2，不是 3；(3) k=−3，不是 4；(4) a+b=5，正確；(5) a+b+k=2，不是 6。
第 4 題答案 (1)。f′(x)=6x2+2ax+7，f′′(x)=12x+2a。反曲點的 x=−1 要讓 f′′(−1)=0：−12+2a=0，a=6。反曲點 (−1,2) 在圖形上：f(−1)=−2+a−7+b=2，代入 a=6 得 b=5。檢查：f′′(x)=12x+12 在 x=−1 由負變正，確實是反曲點。逐項看：(1) f′(x)=6x2+12x+7，正確；(2) f′′(x)=12x+12，不是 12x+7；(3) a=6；(4) b=5；(5) f′′(−1)=0，不是 2。
給切點就有兩個條件：點在圖形上、切線斜率等於導數；給反曲點也有兩個條件：點在圖形上、二階導數等於 0。

02多選第 5～8 題：可微分與凹口、邊際利潤、已知斜率的切線、遞增區間

第 5 題

答案 (1)(3)。

(1) 正確。 在 x=1 附近 x>0，f(x)=∣x∣=x，所以 hf(1+h)−f(1)​=h(1+h)−1​=1（h 夠小時），導數 f′(1)=1 存在。∣x∣ 只在 x=0 處是尖角、不可微分。

(2) 錯誤。 f(1)=1+1=2，但左極限 x→1−lim​(−x+1)=0，不等於 f(1)，函數在 x=1 不連續；可微分一定連續，所以在 x=1 不可微分。

(3) 正確。 f′(x)=4x3−12x2+1，f′′(x)=12x2−24x=12x(x−2)。當 x>2 或 x<0 時 f′′(x)>0，圖形凹口向上。

(4) 錯誤。 f′′(a)=0 還要 f′′(x) 在 x=a 左右變號才是反曲點。反例：f(x)=x4，f′′(x)=12x2，f′′(0)=0，但 x=0 左右兩側 f′′(x) 都大於 0，(0,0) 不是反曲點。

(5) 錯誤。 f(x)=x3−3x+5 是三次函數，x 往負的方向愈來愈小時 f(x) 也愈來愈小，例如 f(−3)=−27+9+5=−13<3，所以沒有最小值。f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，x=1 處的 f(1)=3 只是極小值。

「極小值」只比附近的函數值小，「最小值」要比整個定義域上的函數值都小；三次函數在整條實數線上沒有最小值，也沒有最大值。
第 6 題

答案 (1)(2)(3)(4)(5)。

(1) 正確。 P′(x)=0.2×2x+10=0.4x+10。

(2) 正確。 P′(100)=0.4×100+10=50。

(3) 正確。 P(101)=0.2×10201+1010=3050.2，P(100)=0.2×10000+1000=3000，相減得 50.2，近似於 50。

(4) 正確。 賣出第 101 箱所增加的利潤是 P(101)−P(100)=50.2 元，約為 50 元；這正是用 P′(100)=50 來估計。

(5) 正確。 賣出 100 箱時的邊際利潤是 P′(100)=50 元，表示再多賣一箱利潤約增加 50 元。

邊際利潤 P′(x) 的意義：產量從 x 箱再多 1 箱時，利潤大約增加 P′(x)，即 P(x+1)−P(x)≈P′(x)。
第 7 題

答案 (1)(3)。f′(x)=3x2+6x−4。切線斜率為 5：3x2+6x−4=5，3x2+6x−9=0，x2+2x−3=0，(x+3)(x−1)=0，切點的 x=1 或 x=−3。x=1 時 f(1)=1+3−4+7=7，切線 y−7=5(x−1)，即 y=5x+2；x=−3 時 f(−3)=−27+27+12+7=19，切線 y−19=5(x+3)，即 y=5x+34。

(1) 正確。 切點 (1,7) 的切線。

(2) 錯誤。 斜率為 5 的切線只有兩條，y=5x−2 不是其中之一。

(3) 正確。 切點 (−3,19) 的切線。

(4) 錯誤。 不是兩條切線之一（常數項的正負號相反）。

(5) 錯誤。 不是兩條切線之一。

第 8 題

答案 (1)(4)(5)。f′(x)=3x2+8x+4=(3x+2)(x+2)。當 x<−2 或 x>−32​ 時 f′(x)>0；當 −2<x<−32​ 時 f′(x)<0。所以 f(x) 在 (−∞,−2] 與 [−32​,∞) 上嚴格遞增，在 [−2,−32​] 上嚴格遞減。

(1) 正確。 [−5,−2] 包含在 (−∞,−2] 裡，嚴格遞增：在開區間 (−5,−2) 內 f′(x)>0，且 f 在 [−5,−2] 上連續，所以在閉區間 [−5,−2] 上嚴格遞增（端點 x=−2 處 f′(x)=0 不影響）。

(2) 錯誤。 [−2,−1] 包含在 [−2,−32​] 裡，是嚴格遞減。

(3) 錯誤。 [−1,1] 中 −1≤x<−32​ 那一段遞減，例如 f(−1)=3、f(−32​)=2776​<3，不是遞增。

(4) 正確。 [1,2] 在 x>−32​ 的範圍，嚴格遞增。

(5) 正確。 [2,∞) 也在 x>−32​ 的範圍，嚴格遞增。

判斷遞增遞減區間：先把導函數因式分解，畫出正負號的分界點，再看每個選項的區間有沒有跨過分界點。

03填充第 1～5 題（第 9～13 題）：導函數、切線、反推函數

第 9 題答案 6x+6。f′(x)=3x2+6x−4，再微分一次得 f′′(x)=6x+6。兩格依序填 6、6。
第 10 題答案 −1。f(2)=4−2=2，P(2,2) 在圖形上。f′(x)=2x−1，f′(2)=3，切線為 y−2=3(x−2)，即 y=3x−4。所以 a=3、b=−4，a+b=−1。
第 11 題答案 (2,4)。f′(x)=2x−1。切線斜率為 3：2x−1=3，x=2。f(2)=4−2+2=4，切點 P(2,4)。
第 12 題答案 3。設 f(x)=ax2+bx+c（a=0），則 f′(x)=2ax+b，f′′(x)=2a。由 f′′(2)=2a=6 得 a=3，首項係數是 3。
另外兩個條件可以再定出 b、c：f′(2)=12+b=8 得 b=−4；f(2)=12−8+c=9 得 c=5，f(x)=3x2−4x+5。這一格只問首項係數，用 f′′(2) 就夠了。
第 13 題答案 5。哪個多項式微分後是 −3x2+4x−7？−x3 微分得 −3x2，2x2 微分得 4x，−7x 微分得 −7，常數微分得 0，所以 f(x)=−x3+2x2−7x+c，c 是常數項。圖形通過 (1,−1)：f(1)=−1+2−7+c=−1，得 c=5。
導函數相同的多項式只差一個常數，所以要再用圖形上的一點把常數項定出來。

04填充第 6～9 題（第 14～17 題）：由反曲點、極值、增減區間求係數

第 14 題答案 (−3,−9)。f′(x)=3x2+2ax+b，f′′(x)=6x+2a。反曲點的 x=1：f′′(1)=6+2a=0，a=−3。反曲點 (1,1) 在圖形上：f(1)=1+a+b+12=1，代入 a=−3 得 b=−9。檢查：f′′(x)=6x−6 在 x=1 變號，確實是反曲點。
第 15 題答案 −1。f′(x)=−3x2+2ax+9。在 x=1 有極值，f′(1)=−3+2a+9=0，a=−3。極大值是 7：f(1)=−1+a+9+b=7，代入 a=−3 得 b=2。檢查：f′(x)=−3x2−6x+9=−3(x+3)(x−1)，在 x=1 左邊為正、右邊為負，由正變負，確實是極大。所以 a+b=−1。
第 16 題答案 (−3,−9)。f′(x)=3x2+2ax+b。函數在 [−5,−1] 遞增、[−1,3] 遞減，所以 f′(x) 在 x=−1 由正變負；在 [−1,3] 遞減、[3,7] 遞增，所以 f′(x) 在 x=3 由負變正。因此 f′(−1)=0、f′(3)=0，f′(x) 是領導係數 3、兩根為 −1 與 3 的二次式：f′(x)=3(x+1)(x−3)=3x2−6x−9。比較係數得 2a=−6、b=−9，即 a=−3、b=−9。檢查：f′(x) 在 [−5,−1] 與 [3,7] 上不小於 0，在 [−1,3] 上不大於 0，符合題意。
卷面的答案格印作「(㉓㉔,㉕㉖,)」，數對後面多印了一個逗號，答案仍是兩個數。
第 17 題答案 2。設 f(x)=ax3+bx2+cx+d（a=0），f′(x)=3ax2+2bx+c。x=0 處有極大值 2：f(0)=d=2，f′(0)=c=0。x=1 處有極小值 1：f′(1)=3a+2b=0，f(1)=a+b+2=1，即 a+b=−1。兩式聯立：由 a+b=−1 得 2a+2b=−2，與 3a+2b=0 相減得 a=2，b=−3。所以 f(x)=2x3−3x2+2，首項係數是 2。檢查：f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，在 x=0 由正變負（極大）、在 x=1 由負變正（極小），f(0)=2、f(1)=1，都符合。
題目給極值點或增減的分界點，就是給了「導數在那裡等於 0」；給反曲點，就是給了「二階導數在那裡等於 0」；再加上點在圖形上，列方程式解係數，最後檢查導數是否真的變號。

05填充第 10～12 題（第 18～20 題）：閉區間的最大最小值、最佳化

第 18 題答案 0。f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，在區間 [−2,4] 內導數為 0 的點是 x=0、x=2。比較這兩點與兩個端點的函數值：f(−2)=−8−12+2=−18，f(0)=2，f(2)=8−12+2=−2，f(4)=64−48+2=18。最大值 M=18，最小值 m=−18，M+m=0。
閉區間上的最大最小值不一定在極值點：這題的最大值 18 與最小值 −18 都出現在端點，極大值 f(0)=2、極小值 f(2)=−2 都不是。
第 19 題答案 2。截去四角後摺起，容器的底是長 16−2x、寬 10−2x 的矩形，高是 x，所以容積 f(x)=x(16−2x)(10−2x)=4x3−52x2+160x,0<x<5 （x 要大於 0，寬 10−2x 也要大於 0）。f′(x)=12x2−104x+160=4(3x2−26x+40)=4(3x−20)(x−2)。在 0<x<5 上 3x−20<0，所以 0<x<2 時 f′(x)>0、2<x<5 時 f′(x)<0，容積在 x=2 時最大。
另一個導數為 0 的點 x=320​ 超過 5，寬會變成負數，不合。最大容積是 f(2)=2×12×6=144 立方公寸。
第 20 題答案 25。f′(x)=−3x2+72x+75=−3(x2−24x−25)=−3(x−25)(x+1)。產量 x≥0 時 x+1>0：0≤x<25 時 f′(x)>0，收入遞增；x>25 時 f′(x)<0，收入遞減。所以 x=25 時收入最大。
最大收入是 f(25)=−15625+22500+1875=8750 元。x=−1 雖然也讓導數為 0，但產量不能是負數。
最佳化題先把要最大的量寫成函數並寫出定義域，求導數找出變號的點；閉區間還要把端點的函數值一起比較。

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你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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常見問題

蘭陽女中 112 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 112 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 5 題要分清楚可微分與連續、二階導數為零與反曲點、極小值與最小值；多選第 8 題的區間只要跨過導數變號的點就不是遞增；填充第 10 題（本頁第 18 題）的最大值與最小值都在端點，只比極值會算錯；填充第 11 題（本頁第 19 題）要先寫出容積函數與 x 的範圍。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 112 學年度上學期 高三第二次段考 數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

免責聲明：本站段考卷為各校定期考原卷，由御藍教育重新打字排版，供學生練習與檢討使用；答案與詳解為御藍教育撰寫，不是學校的官方版本。 如有學校、命題老師或出版社認為內容不宜公開，請來信 service@royalblue-education.com，我們會在收到後一週內下架處理。

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