御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：多項式函數的微分（導數與導函數、切線方程式、遞增與遞減、極值與最大最小值、二階導數與凹口方向、反曲點、邊際成本與利潤、連續）

蘭陽女中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

是非題 5 題（每題 2 分，共 10 分）、單選題 2 題（每題 6 分）、多重選擇題 3 題（每題 8 分），選填題 7 題原卷未印配分；卷面另印「超過 100 分者，以 100 分計」。選填 A～G 在本頁是第 11～17 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，其中是非題第 4 題學校公布 1、2 皆可。

一、是非題(1 題 2 分，共 10 分，正確請畫『1』，錯誤請畫『2』)
1
若 f′(5)=0，則 f(x) 在 x=5 處有極值。
2
多項式函數 f(x) 在閉區間 [−5,1] 有最大值也有最小值。
3
若實數 c 滿足 f′′(c)=0，則 (c,f(c)) 為多項式函數 f(x) 圖形的反曲點。
4
若 C(x) 為成本函數，則產生第 11 件產品所增加的成本約為 C′(11)。
5
若函數 f(x)=∣x−1∣，則 f(x) 在 x=1 處可微分。
二、單選題(每題 6 分)
6
設函數 y=f(x) 的導數為 f′(x)=2x3−5x2+6x−7，請問 f(x) 可能為下列哪一個選項？
  1. (1) f(x)=32​x4−25​x3+6x2−7x
  2. (2) f(x)=6x2−10x+6
  3. (3) f(x)=21​x4−35​x3+3x2−7x+51​
  4. (4) f(x)=21​x4−35​x3+3x2−7
  5. (5) f(x)=8x4−15x3+12x2−7x
7
函數 y=f(x) 的圖形如下圖，試問此函數在下列哪一個區間內遞減？
  1. (1) (−∞,−1)
  2. (2) (−1,1)
  3. (3) (−∞,1)
  4. (4) (−1,∞)
  5. (5) (1,∞)
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三、多重選擇題(每題 8 分，答錯一個選項得 5 分，答錯兩個選項得 2 分，其餘不給分)
8
關於函數 f(x)=x3−6x2−36x+90，選出所有正確的選項。
  1. (1) f(x) 在區間 [2,6] 上是遞減函數
  2. (2) f(x) 在區間 [−2,2] 上是遞增函數
  3. (3) f(x) 在區間 (2,∞) 的圖形是凹口向上
  4. (4) f(x) 在區間 (−2,2) 的圖形是凹口向上
  5. (5) f(x) 圖形的反曲點為 (2,2)。
9
已知 P(2,−2) 為二次函數 f(x)=x2−2x+2 圖形外一點，過 P 點對圖形做切線，請問下列選項何者正確？
  1. (1) 切線方程式為 2x−y=6
  2. (2) 切線方程式為 2x+y=2
  3. (3) 切線方程式為 6x−y=14
  4. (4) 切點為 (4,10)
  5. (5) 兩條切線交於第四象限
10
設 C(x)、R(x) 與 P(x) 分別是生產 x 件產品的成本函數、收入函數與利潤函數。已知 C(x)=x3−21x2−25x（萬元），0≤x≤50。且每件產品的銷售價為 20 萬元，選出所有正確的選項。
  1. (1) R(x)=20x（萬元）
  2. (2) P(x)=−x3+21x2+45x（萬元）
  3. (3) 產量 20 件比產量 18 件獲得的利潤多
  4. (4) 增加產量必定增加利潤。
  5. (5) 當賣出的產品件數為 15 件時，利潤達最大值
四、選填題
11
已知 f(x)=x3−3x2+4，求 x→2lim​x−2f(x)−f(2)​= ____。
12
已知函數 f(x)=x3+3x2−4x−5，求以點 P(−1,f(−1)) 為切點的切線方程式為 ____ x+y= ____。
13
設函數 f(x)=x3+ax2+bx+2 在區間 [−3,−1] 與 [1,5] 上為遞增函數，在區間 [−1,1] 上為遞減函數，求 a+b= ____。
14
試求函數 f(x)=2x3+12x2+20x+21 圖形上切線斜率最小的切線方程式為 ____ x+y= ____。
15
已知三次函數 f(x) 在 x=−1 處有極大值 3，且 (0,−1) 是其圖形的反曲點，若 f(x)=ax3+bx2+cx+d，則 f(2)= ____。
16
已知函數 f(x)={x2+5,ax−2,​當 x≥1當 x<1​ 在 x=1 處連續，求實數 a= ____。
17
如下圖，於一邊長 20 公分的正方形硬紙板，從四個角各截去邊長 x 公分的小正方形，以便摺起而成一個無蓋的紙盒，則當紙盒容積最大時，x= ____。
載入中...
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

12
21
32
42
52
第 6 題(3)
第 7 題(2)
第 8 題(1)(3)(5)
第 9 題(2)(3)(4)(5)
第 10 題(1)(2)(5)
第 11 題0
第 12 題7x+y=−6
第 13 題−3
第 14 題4x+y=5
第 15 題3
第 16 題8
第 17 題310​
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01是非題第 1～5 題：極值、反曲點、邊際成本與可微分

第 1 題2畫 2。f′(5)=0 只表示 x=5 處的切線是水平的，還要看 f′(x) 在 x=5 左右是否變號。反例：f(x)=(x−5)3，f′(x)=3(x−5)2，f′(5)=0；但 x=5 左右兩側 f′(x) 都大於 0，函數一路遞增，在 x=5 沒有極值。
導數為 0 的點只是「可能有極值」的候選點；極值要靠導數在該點左右由正變負（極大）或由負變正（極小）來確認。
第 2 題1畫 1。多項式函數處處連續，在閉區間上連續的函數一定有最大值與最小值。實際的找法是比較區間內導數為 0 的點與兩個端點 x=−5、x=1 的函數值，最大的就是最大值，最小的就是最小值。
如果換成開區間 (−5,1)，就不一定有：例如 f(x)=x 在 (−5,1) 上的值可以任意接近 1 與 −5，卻取不到。
第 3 題2畫 2。反曲點是凹口方向改變的點，要 f′′(x) 在 x=c 的左右變號才算。反例：f(x)=x4，f′′(x)=12x2，f′′(0)=0；但 x=0 左右兩側 f′′(x) 都大於 0，圖形一直凹口向上，(0,0) 不是反曲點（它是最低點）。
第 4 題2畫 2（學校公布 1、2 皆可，兩種都給分）。邊際成本 C′(x) 的意義是：產量從 x 件再多做 1 件時，成本大約增加 C′(x)，也就是 C(x+1)−C(x)≈C′(x)。產生第 11 件產品所增加的成本是 C(11)−C(10)，依這個說法約為 C′(10)，不是 C′(11)，所以判為錯。
學校兩種畫記都給分，是因為 C(11)−C(10) 是區間 [10,11] 上的變化量，在 x=10 或 x=11 取切線斜率來估計都說得通；課本的寫法是用前一個產量的導數 C′(10) 來估計。
第 5 題2畫 2。看導數的定義在 x=1 的左右兩側：當 h>0 時 hf(1+h)−f(1)​=h∣h∣​=1；當 h<0 時 h∣h∣​=−1。右極限 1、左極限 −1 不相等，所以 f′(1) 不存在，f(x) 在 x=1 不可微分。
f(x)=∣x−1∣ 在 x=1 處連續，但圖形在那裡是尖角，沒有切線。連續不一定可微分。
導數為 0 不一定是極值，二階導數為 0 不一定是反曲點：都要再看左右兩側是否變號。

02單選第 6、7 題：由導函數找原函數、由圖形看遞減

第 6 題答案 (3)。逐項微分，看哪一個的導函數是 2x3−5x2+6x−7。(1) 的導函數是 38​x3−215​x2+12x−7，不對。(2) 的導函數是 12x−10，不對。(3) 的導函數是 21​×4x3−35​×3x2+3×2x−7+0=2x3−5x2+6x−7，正確；常數項 51​ 微分後是 0，不影響。(4) 的導函數是 2x3−5x2+6x，少了 −7。(5) 的導函數是 32x3−45x2+24x−7，不對。
導函數相同的兩個多項式只差一個常數，所以原函數的常數項可以是任何數；選項 (4) 錯在把 −7x 寫成了常數 −7。
第 7 題答案 (2)。圖形上 (−1,4) 是局部最高點，(1,0) 是局部最低點。由左往右看，圖形在 x<−1 上升、在 −1<x<1 下降、在 x>1 上升，所以遞減的區間是 (−1,1)。也可以用圖上標的式子驗證：f(x)=x3−3x+2，f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，當 −1<x<1 時 f′(x)<0，函數遞減。

03多重選擇第 8～10 題：增減與凹口、過外點的切線、利潤函數

第 8 題

答案 (1)(3)(5)。f′(x)=3x2−12x−36=3(x−6)(x+2)，所以 −2<x<6 時 f′(x)<0，f(x) 在 [−2,6] 上遞減；x<−2 或 x>6 時遞增。f′′(x)=6x−12，x>2 時 f′′(x)>0 凹口向上，x<2 時 f′′(x)<0 凹口向下。

(1) 正確。 [2,6] 包含在 [−2,6] 裡，是遞減函數。

(2) 錯誤。 [−2,2] 也在 [−2,6] 裡，是遞減，不是遞增。

(3) 正確。 x>2 時 f′′(x)>0，凹口向上。

(4) 錯誤。 −2<x<2 時 f′′(x)<0，凹口向下。

(5) 正確。 f′′(x) 在 x=2 由負變正，凹口方向改變；f(2)=8−24−72+90=2，所以反曲點是 (2,2)。

第 9 題

答案 (2)(3)(4)(5)。P(2,−2) 不在圖形上（f(2)=2），切點要另設。設切點為 (t, t2−2t+2)，f′(x)=2x−2，切線斜率是 2t−2，切線為 y=(2t−2)(x−t)+t2−2t+2，整理得 y=(2t−2)x−t2+2。切線通過 P(2,−2)：−2=2(2t−2)−t2+2，即 t2−4t=0，得 t=0 或 t=4。t=0 時切點 (0,2)、斜率 −2，切線 y=−2x+2，即 2x+y=2；t=4 時切點 (4,10)、斜率 6，切線 y=6x−14，即 6x−y=14。

(1) 錯誤。 兩條切線是 2x+y=2 與 6x−y=14，沒有 2x−y=6。（2x−y=6 雖然通過 P，但與圖形沒有相切。）

(2) 正確。 切點 (0,2) 的那一條。

(3) 正確。 切點 (4,10) 的那一條。

(4) 正確。 t=4 時切點是 (4,10)。

(5) 正確。 兩條切線都通過 P(2,−2)，所以交點就是 P；x=2>0、y=−2<0，在第四象限。

過圖形外一點作切線，不能直接用 P 點代入導函數求斜率，要先設切點，再讓切線通過 P。
第 10 題

答案 (1)(2)(5)。每件賣 20 萬元，賣 x 件的收入 R(x)=20x。利潤 P(x)=R(x)−C(x)=20x−(x3−21x2−25x)=−x3+21x2+45x。P′(x)=−3x2+42x+45=−3(x2−14x−15)=−3(x−15)(x+1)。在 0≤x≤50 上，0≤x<15 時 P′(x)>0，利潤遞增；15<x≤50 時 P′(x)<0，利潤遞減。

(1) 正確。 收入＝單價乘以件數，R(x)=20x。

(2) 正確。 如上，P(x)=20x−C(x)=−x3+21x2+45x。

(3) 錯誤。 P(20)=−8000+8400+900=1300，P(18)=−5832+6804+810=1782，產量 20 件的利潤比較少。（18 與 20 都大於 15，在利潤遞減的範圍。）

(4) 錯誤。 超過 15 件後利潤遞減，例如 P(15)=2025、P(16)=2000，多做一件反而少賺。

(5) 正確。 P(x) 在 [0,15] 遞增、在 [15,50] 遞減，所以 x=15 時利潤最大，最大值 P(15)=−3375+4725+675=2025（萬元）。

最佳化題先把要最大的量寫成函數，求導數找出變號的點，再配合定義域的端點比較。

04選填 A、B、D（第 11、12、14 題）：導數的定義與切線

第 11 題答案 0。依導數的定義，x→2lim​x−2f(x)−f(2)​=f′(2)。f′(x)=3x2−6x，所以 f′(2)=12−12=0。
也可以直接算：f(2)=0，f(x)=x3−3x2+4=(x−2)2(x+1)，原式 =x→2lim​(x−2)(x+1)=0。
第 12 題答案 7x+y=−6。f(−1)=−1+3+4−5=1，切點是 (−1,1)。f′(x)=3x2+6x−4，f′(−1)=3−6−4=−7，切線斜率是 −7。切線方程式為 y−1=−7(x+1)，即 y=−7x−6，整理成卷面的格式是 7x+y=−6。
卷面答案格式是一格 x 的係數、兩格等號右邊的數（含負號）。
第 14 題答案 4x+y=5。切線斜率就是 f′(x)=6x2+24x+20=6(x+2)2−4，當 x=−2 時最小，最小斜率是 −4。此時 f(−2)=−16+48−40+21=13，切點 (−2,13)。切線為 y−13=−4(x+2)，即 y=−4x+5，也就是 4x+y=5。
f′(x) 是開口向上的二次函數，配方就能找出最小值；切點的 x=−2 也正好是反曲點的 x 坐標（f′′(x)=12x+24=0）。

05選填 C、E、F、G（第 13、15、16、17 題）：由增減與極值求係數、連續、最大容積

第 13 題答案 −3。f′(x)=3x2+2ax+b。函數在 x=−1 左邊遞增、右邊遞減，在 x=1 左邊遞減、右邊遞增，所以 f′(x) 在 x=−1 與 x=1 變號，f′(−1)=0、f′(1)=0：3−2a+b=0、3+2a+b=0。兩式相減得 a=0，代回得 b=−3。檢查：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，在 [−3,−1] 與 [1,5] 上不小於 0、在 [−1,1] 上不大於 0，符合題意。所以 a+b=−3。
第 15 題答案 3。f′(x)=3ax2+2bx+c，f′′(x)=6ax+2b。反曲點 (0,−1)：f′′(0)=2b=0，得 b=0；圖形過 (0,−1)，得 d=−1。在 x=−1 有極大值 3：f′(−1)=3a+c=0，f(−1)=−a−c−1=3。由第一式 c=−3a，代入第二式 −a+3a−1=3，得 a=2、c=−6。所以 f(x)=2x3−6x−1。檢查：f′(x)=6x2−6=6(x+1)(x−1)，在 x=−1 由正變負，確實是極大，f(−1)=−2+6−1=3。最後 f(2)=16−12−1=3。
第 16 題答案 8。f(x) 在 x=1 連續，要 x→1lim​f(x)=f(1)。f(1)=1+5=6；右極限 x→1+lim​(x2+5)=6；左極限 x→1−lim​(ax−2)=a−2。由 a−2=6 得 a=8。
第 17 題答案 310​。截去四角後摺起，紙盒的底是邊長 20−2x 的正方形，高是 x，所以容積 V(x)=x(20−2x)2，其中 0<x<10。V′(x)=(20−2x)2+x×2(20−2x)×(−2)=(20−2x)(20−2x−4x)=(20−2x)(20−6x)。在 0<x<10 上 20−2x>0，所以 V′(x) 的正負由 20−6x 決定：0<x<310​ 時 V′(x)>0，310​<x<10 時 V′(x)<0。因此 x=310​ 時容積最大。
最大容積是 V(310​)=310​×(340​)2=2716000​ 立方公分。x 的範圍要寫清楚：x 要大於 0，且 20−2x 也要大於 0。
題目給遞增遞減的分界點或極值點，就是給了「導數在那裡等於 0」；給反曲點，就是給了「二階導數在那裡等於 0」，再加上點在圖形上，列方程式解係數。

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蘭陽女中 113 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

是非第 1、3 題要分清楚導數為零與有極值、二階導數為零與反曲點，都要再看左右是否變號；多重選擇第 9 題的 P 點不在圖形上，要先設切點；第 10 題要先寫出利潤函數再求導數，超過 15 件利潤就會下降；選填 E（第 15 題）要同時用上極值與反曲點兩組條件。詳解逐題寫在本頁。

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