蘭陽女中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (5)。分子分母同乘分母的共軛 $3+i$：

$$\frac{2a+i}{3-i}=\frac{(2a+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{(6a-1)+(2a+3)i}{10}$$

$a$ 是實數，所以虛部是 $\frac{2a+3}{10}$。令它等於 $0$，得 $a=-\frac{3}{2}$。

答案 (2)。$\sin 20^{\circ }=\cos 70^{\circ }$，$\cos 20^{\circ }=\sin 70^{\circ }$，所以

$$\sin 20^{\circ }+i\cos 20^{\circ }=\cos 70^{\circ }+i\sin 70^{\circ }$$

這已是絕對值為 $1$ 的標準極式，且 $0^{\circ }\le 70^{\circ }<360^{\circ }$，主輻角為 $70^{\circ }$。

答案 (4)(5)。分組提出公因式：

$$x^3+3x^2+x+3=x^2(x+3)+(x+3)=(x+3)(x^2+1)$$

所以三個根是 $-3,i,-i$。

(1) 錯誤。 代入得 $1+3+1+3=8\ne 0$。

(2) 錯誤。 代入得 $-1+3-1+3=4\ne 0$。

(3) 錯誤。 代入得 $27+27+3+3=60\ne 0$。

(4) 正確。 $i$ 是 $x^2+1=0$ 的根。

(5) 正確。 $-i$ 也是 $x^2+1=0$ 的根。

答案 (1)(2)(4)。令 $f(x)=x^3+x^2-2x-1$，逐一代入：

$$f(-2)=-1,f(-1)=1,f(0)=-1,f(1)=-1,f(2)=7,f(3)=29$$

(1) 正確。 $f(-2)f(-1)<0$，由勘根定理在 $-2$ 與 $-1$ 之間有實根。

(2) 正確。 $f(-1)f(0)<0$，在 $-1$ 與 $0$ 之間有實根。

(4) 正確。 $f(1)f(2)<0$，在 $1$ 與 $2$ 之間有實根。

(3) 錯誤。 三次方程式最多只有三個根，上面三個區間已經各有一個，所以 $0$ 與 $1$ 之間沒有實根。

(5) 錯誤。 理由同 (3)，$2$ 與 $3$ 之間也沒有實根。

答案 (5)。

(1) 錯誤。 $5i+3$ 與 $4i+2$ 都是虛數，虛數不能比較大小。

(2) 錯誤。 $|3-5i|=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$，$|3+4i|=5=\sqrt{25}$，前者較大。

(3) 錯誤。 $4-3i$ 與 $3-2i$ 都是虛數，不能比較大小。

(4) 錯誤。 $|4-3i|=5$，$|3+2i|=\sqrt{13}$，$5>\sqrt{13}$。

(5) 正確。 $|5+12i|=13$，$|8-15i|=\sqrt{64+225}=17$，$13<17$。

由圖，$A$ 在第一象限，$B$、$C$、$D$ 依序在第四、三、二象限。答案 (2)(3)(4)。正方形中心在原點、兩邊平行兩軸，所以四個頂點到兩軸的距離都相等。設 $z=k+ki$（$k>0$），則 $B=k-ki$，$C=-k-ki$，$D=-k+ki$。

(1) 錯誤。 $\overline{OA}$ 就是 $A$ 到原點的距離，等於 $|z|$，不是 $\sqrt{2}|z|$。

(2) 正確。 $\overline{z}=k-ki$，正是 $B$。

(3) 正確。 $iz=i(k+ki)=-k+ki$，正是 $D$（乘以 $i$ 是繞原點逆時針轉 $90^{\circ }$）。

(4) 正確。 $-z=-k-ki$，正是 $C$（對原點對稱）。

(5) 錯誤。 $|z-\overline{z}|=|2ki|=2k$，而 $2|z|=2\sqrt{2}k$，兩者不相等。

答案 (1)(3)。

(1) 正確。 $\sqrt{2}i=0+\sqrt{2}i$，實部為 $0$，對應點 $(0,\sqrt{2})$ 在虛軸上。

(2) 錯誤。 題目沒有說 $a,b$ 是實數，不能直接比較實部與虛部。例如 $a=3+i$、$b=3$ 時，兩邊都等於 $3+3i$，但 $a\ne 3$、$b\ne 2$。

(3) 正確。 實係數方程式的虛根成對出現，三次方程式有三個根，虛根個數是偶數，所以至少有一個實根。

(4) 錯誤。 $|z|=1$ 表示到原點的距離為 $1$，圖形是以原點為圓心、半徑 $1$ 的圓，不是線段。

(5) 錯誤。 例如 $z=5$、$w=-2$，則 $|z+w|=3\ne 7$。只有 $z,w$ 方向相同時才會等於 $7$。

展開左邊：$(a+b)+(2a-b)i=-3+6i$。$a,b$ 是實數，所以實部、虛部分別相等：

$$a+b=-3,2a-b=6$$

相加得 $3a=3$，$a=1$，$b=-4$。答案 $(1,-4)$。

令 $f(x)=x^4+p{x}^3+2x^2+3x+2p=(x^4+2x^2+3x)+p(x^3+2)$，在 $1<x<2$ 時 $x^3+2>0$。

① 若 $p\ge -2$，則在 $1<x<2$ 時

$$f(x)\ge x^4+2x^2+3x-2(x^3+2)=(x-1)(x^3-x^2+x+4)>0$$

（$x>1$ 時兩個因式都是正的），$1$ 與 $2$ 之間沒有根。

② 若 $p\le -3$，則在 $1<x<2$ 時

$$f(x)\le x^4+2x^2+3x-3(x^3+2)=(x-2)(x^3-x^2+3)<0$$

（$x-2<0$，而 $x^3-x^2+3>0$），也沒有根。

③ 若 $-3<p<-2$，則 $f(1)=3p+6<0$，$f(2)=10p+30>0$，由勘根定理至少有一根。又當 $1\le x\le 2$ 時

$$f^{\prime }(x)=4x^3+3p{x}^2+4x+3>4x^3-9x^2+4x+3=x(4x^2-9x+4)+3\ge -\frac{17}{16}x+3\ge \frac{7}{8}>0$$

所以 $f$ 在 $[1,2]$ 上嚴格遞增，恰有一根。

故 $-3<p<-2$。

方程式是實係數，虛根成對：$a+i$ 是根，$a-i$ 也是根；$b\ne 0$，$3+bi$ 是虛根，$3-bi$ 也是根。三次方程式只有三個根，$a+i,a-i,3+bi,3-bi$ 這四個數必須有重複；比較實部得 $a=3$，比較虛部得 $b=\pm 1$（$a+i$ 與 $3+bi$ 相同或互為共軛）。

於是兩個虛根是 $3+i$、$3-i$，設第三個根為 $r$。由根與係數關係，三根之和為 $8$：

$$(3+i)+(3-i)+r=8⟹r=2$$

$$c=(3+i)(3-i)+2(3+i)+2(3-i)=10+12=22$$

$$-d=(3+i)(3-i)\cdot 2=20⟹d=-20$$

答案 $(c,d)=(22,-20)$。

由上題，三個根是 $3+i$、$3-i$、$2$，也就是 $x=3\pm i$ 或 $x=2$。

檢查：$x^3-8x^2+22x-20=(x-2)(x^2-6x+10)$，而 $x^2-6x+10=0$ 的根為 $3\pm i$。

$\sqrt{3}+i=2(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ })$。由棣美弗定理（對負整數次方也成立）：

$$(\sqrt{3}+i{)}^{-9}=2^{-9}(\cos (-270^{\circ })+i\sin (-270^{\circ }))=\frac{1}{512}(0+i)=\frac{1}{512}i$$

先把分子、分母都化成標準極式：

$$\sin 50^{\circ }+i\cos 50^{\circ }=\cos 40^{\circ }+i\sin 40^{\circ }$$

$$\cos 50^{\circ }-i\sin 50^{\circ }=\cos (-50^{\circ })+i\sin (-50^{\circ })$$

相除時絕對值相除、輻角相減：

$$\frac{15}{5}(\cos (40^{\circ }+50^{\circ })+i\sin (40^{\circ }+50^{\circ }))=3(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })=3i$$

依卷面的格式寫成 $0+3i$。

正方形 $ABCD$ 中 $D$ 與 $A$ 相鄰，$\overrightarrow{AD}$ 是 $\overrightarrow{AB}$ 繞 $A$ 轉 $90^{\circ }$ 得到的。以複數表示 $\overrightarrow{AB}=3+4i$：

逆時針轉 $90^{\circ }$：$i(3+4i)=-4+3i$，對應 $(-4,3)$，在第二象限。

順時針轉 $90^{\circ }$：$-i(3+4i)=4-3i$，對應 $(4,-3)$，在第四象限，不合。

$A$ 是原點，所以 $D(-4,3)$。

正方形是平行四邊形，$C=B+\overrightarrow{AD}$：

$$C=(3,4)+(-4,3)=(-1,7)$$

檢查：$\overline{BC}$ 的長為 $\sqrt{16+9}=5=\overline{AB}$。

(1) 把 $-64$ 化成極式：$-64=64(\cos 180^{\circ }+i\sin 180^{\circ })$。設 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ 滿足 $z^6=-64$，由棣美弗定理

$$r^6(\cos 6\theta +i\sin 6\theta )=64(\cos 180^{\circ }+i\sin 180^{\circ })$$

比較得 $r=2$，$6\theta =180^{\circ }+360^{\circ }k$，即 $\theta =30^{\circ }+60^{\circ }k$。取 $k=0,1,2,3,4,5$：

$k=0$：$2(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ })=\sqrt{3}+i$

$k=1$：$2(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })=2i$

$k=2$：$2(\cos 150^{\circ }+i\sin 150^{\circ })=-\sqrt{3}+i$

$k=3$：$2(\cos 210^{\circ }+i\sin 210^{\circ })=-\sqrt{3}-i$

$k=4$：$2(\cos 270^{\circ }+i\sin 270^{\circ })=-2i$

$k=5$：$2(\cos 330^{\circ }+i\sin 330^{\circ })=\sqrt{3}-i$

(2) 六個點都在以原點為圓心、半徑 $2$ 的圓上，輻角依序為 $30^{\circ },90^{\circ },150^{\circ },210^{\circ },270^{\circ },330^{\circ }$，相鄰兩點的輻角差 $60^{\circ }$，連起來是一個正六邊形（如下圖）。