段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

蘭陽女中 110 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 蘭陽女中 110 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 蘭陽女中 110 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題的答案是選項 (5)，選項 (1) 的內容剛好是數字 5，容易填錯；多選第 6 題選項 (5) 的等號雖然取不到，大於或等於的敘述仍然正確；多選第 8 題 x、y 的範圍都跨過 0，乘積與平方和不能直接拿端點算，選項 (1) 的範圍說得比較寬但仍是對的；多選第 10 題要分清楚四捨五入的範圍，最大的可能值其實不存在；選填第 11 題（卷面選填第 1 題）要把指數通分成同一個分母。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、多選題 5 題（每題 7 分，共 35 分）、選填題 6 題共 8 小題（每小題 5 分，共 40 分）。卷面的選填題沒有印題號，本頁依卷面順序接續編為第 11～16 題，其中第 15、16 題各有 (1)(2) 兩小題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：每題5分

a

為下列選項中哪一個數時，

\frac{290 + a}{260}

可以化成有限小數？

(1) $5$
(2) $6$
(3) $7$
(4) $8$
(5) $9$

40 + 25

介於哪兩個整數之間？

(1) $4$ 與 $5$
(2) $5$ 與 $6$
(3) $6$ 與 $7$
(4) $7$ 與 $8$
(5) $8$ 與 $9$

數學上有兩個重要的數，圓周率

π

和尤拉數

e

，若其中圓周率

π \approx 3.14159

，尤拉數

e = 1 + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \dots + \frac{1}{n !} + \dots \approx 2.71828

，則下列選項中的數何者最大？（其中

n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots\dots \times (n - 1) \times n

，即

1

到

n

的連續整數乘積）

(1) $\frac{e + π}{2}$
(2) $\frac{3 e + π}{4}$
(3) $\frac{e + 3 π}{4}$
(4) $\frac{2 e + π}{3}$
(5) $\frac{e + 2 π}{3}$

下列各選項中的圖

O

皆表示原點且有一個為不等式

4 \leq ∣ x + 3∣ \leq 8

在數線上的解，則該選項為何？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

已知

lo g_{10} 13 = 1.114

，問：

1 3^{50}

是幾位數？

(1) $50$ 位數
(2) $55$ 位數
(3) $56$ 位數
(4) $65$ 位數
(5) $66$ 位數

二、多選題：每題7分，錯一個選項得4.2分，錯兩個選項得1.4分，其餘得0分

若

a

、

b

為非零有理數，

c

、

d

為無理數，則下列哪些選項的敘述正確？

(1) $a^{2} + b^{2}$ 必為有理數
(2) $c^{2} + d^{2}$ 必為無理數
(3) $a \times c$ 必為無理數
(4) $b + c$ 必為無理數
(5) $a + \frac{2}{a} \geq 22$ 必成立

下列選項中的等式或不等式哪些正確？

(1) $\frac{5}{6} = 0.8 \overline{3}$
(2) $\frac{2}{7} = 0. \overline{285714}$
(3) $\frac{232}{990} = 0. \overline{23}$
(4) $\frac{1}{3 - 7} = 3 + 7$
(5) $\frac{1}{3 2 + 1} = 32 - 1$

若已知

∣ x - 1∣ < 3

且

∣ y - 2∣ < 5

，則下列選項哪些正確？

(1) $- 2 \leq x \leq 4$
(2) $- 5 < x + y < 11$
(3) $6 < x y < 28$
(4) $0 < x^{2} + y^{2} < 65$
(5) $- 21 < x y - 3 x - y < 15$

若已知

a = 332

，則下列選項中的關係哪些正確？

(1) $2 \leq a \leq 4$
(2) $3 \leq a \leq 5$
(3) $4 \leq a \leq 6$
(4) $3.1 \leq a \leq 3.2$
(5) $3.2 \leq a \leq 3.3$

若一很大的數

a

用科學記號表示為

3.00 \times 1 0^{8}

，則下列哪些選項的敘述正確？

(1) $a$ 是一個 $9$ 位的整數
(2) 這個科學記號表示法有效位數為 $3$
(3) 這個數最小的可能值為 $2.995 \times 1 0^{8}$
(4) 這個數最大的可能值為 $3.005 \times 1 0^{8}$
(5) 這個數最大的可能值為 $3.004 \times 1 0^{8}$

三、選填題：每小題5分

若

3 (\frac{2}{3})^{- 2} \times 2^{3} = n a

，其中

n

為正整數，則數對

(n, a) =

____。

如右圖，圖中兩半圓分別以

\overline{A G}

與

\overline{C F}

為直徑，

\overline{QE} ⊥ \overline{A G}

並交小半圓於

P

，且

B

、

C

、

D

、

E

、

F

五點等分

\overline{A G}

，若

\overline{A G}

長為

6

，則

\overline{P Q}

長為 ____。

載入中...

已知

a

和

b

都是正數且

2 a + 3 b = 11

，則

(2 a - 3) (3 b + 4)

的最大值為 ____。

若

8 = 21 6^{x}

且

16 = 5 4^{y}

，則

\frac{6}{x} - \frac{8}{y} =

____。

若已知

a > 2

且

a + \frac{2}{a} = 14

，則 (1)

\frac{a ^{2}}{2} + \frac{2}{a ^{2}} =

____；(2)

a - \frac{2}{a} =

____。

已知

lo g_{10} 2 = a

、

lo g_{10} 3 = b

，則 (1)

1 0^{3 a + 2 b} =

____；(2)

1 0^{2 - 2 a + b} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(3)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(1)(3)(5)

第 7 題(1)(2)

第 8 題(1)(2)(5)

第 9 題(1)(2)(4)

第 10 題(2)(3)

第 11 題

(6, 2592)

（學校公布的答案；照卷面的條件不只一組，這是

a

為正整數時

n

最小的一組，見詳解）

第 12 題

2

第 13 題

36

第 14 題

4

第 15 題(1)

5

；(2)

6

第 16 題(1)

72

；(2)

75

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：有限小數、根式的估計、加權平均、絕對值不等式、位數

第 1 題答案 (5)。最簡分數能化成有限小數的條件是：分母的質因數只有

2

和

5

。

260 = 2^{2} \times 5 \times 13

，所以分子

290 + a

必須是

13

的倍數，才能把分母的

13

約掉。五個選項的分子依序是

295

、

296

、

297

、

298

、

299

，其中只有

299 = 13 \times 23

是

13

的倍數。

a = 9

時

\frac{299}{260} = \frac{23}{20} = 1.15

，是有限小數。

選項 (1) 的內容是數字

5

，答案是選項 (5)（

a = 9

），兩者不要混淆。

第 2 題答案 (3)。

25 = 20

，而

4 < 20 < 5

，所以

44 < 40 + 25 < 45

。又

6^{2} = 36 < 44

，

45 < 49 = 7^{2}

，所以

6 < 40 + 25 < 7

。

第 3 題答案 (3)。五個選項都是

e

和

π

的加權平均，改寫成「

e

加上若干倍的

π - e

」：(1)

e + \frac{1}{2} (π - e)

，(2)

e + \frac{1}{4} (π - e)

，(3)

e + \frac{3}{4} (π - e)

，(4)

e + \frac{1}{3} (π - e)

，(5)

e + \frac{2}{3} (π - e)

。因為

π - e > 0

，倍數愈大值愈大，

\frac{3}{4}

最大，所以 (3) 最大。

用近似值檢查：五個選項約為

2.930

、

2.824

、

3.036

、

2.859

、

3.000

。

第 4 題答案 (2)。

∣ x + 3∣

是數線上

x

到

- 3

的距離。距離在

4

與

8

之間：往右是

4 \leq x + 3 \leq 8

，即

1 \leq x \leq 5

；往左是

- 8 \leq x + 3 \leq - 4

，即

- 11 \leq x \leq - 7

。解是兩段等長（長度都是

4

）的線段，中間隔著

- 7

到

1

、長度

8

的空隙。原點

0

落在空隙裡，離右邊那一段的左端點

1

只有

1

單位，離左邊那一段的右端點

- 7

有

7

單位。五個圖中，

O

在兩段之間而且緊靠右邊那一段的是圖 (2)。

圖 (1) 的

O

也在空隙裡，但緊靠左邊那一段；圖 (3)、(4) 的

O

落在線段上，但

x = 0

時

∣0 + 3∣ = 3 < 4

，原點不是解；圖 (5) 的

O

在兩段的左邊。

第 5 題答案 (3)。

lo g_{10} 13 = 1.114

表示

13 = 1 0^{1.114}

，所以

1 3^{50} = (1 0^{1.114})^{50} = 1 0^{55.7}

。因為

1 0^{55} < 1 0^{55.7} < 1 0^{56}

，而

1 0^{55}

是最小的

56

位數，

1 0^{56}

是最小的

57

位數，所以

1 3^{50}

是

56

位數。

1 0^{k} \leq N < 1 0^{k + 1}

時，

N

的整數部分是

k + 1

位數，位數要比指數的整數部分多

1

。

02多選 6～7：有理數與無理數、循環小數與有理化

第 6 題答案 (1)(3)(5)。(1) 對：有理數相乘、相加仍是有理數。(2) 錯：取

c = d = 2

，

c^{2} + d^{2} = 4

是有理數。(3) 對：假設

a \times c = r

是有理數，因為

a \neq = 0

，

c = \frac{r}{a}

會是有理數，與

c

是無理數矛盾。(4) 錯：取

b = 2

、

c = - 2

，

b + c = 0

是有理數。(5) 對：

a

與

\frac{2}{a}

同號，所以

a + \frac{2}{a} = ∣ a ∣ + \frac{2}{∣ a ∣}

；由算幾不等式，

∣ a ∣ + \frac{2}{∣ a ∣} \geq 2 ∣ a ∣ \times \frac{2}{∣ a ∣} = 22

。

(5) 等號要

∣ a ∣ = 2

才成立，有理數

a

取不到，所以其實恆有大於；但「大於或等於」的敘述仍然正確。(4) 若

b

是負數，

b

連實數都不是。

第 7 題答案 (1)(2)。(1) 對：設

x = 0.8 \overline{3}

，則

100 x - 10 x = 83. \overline{3} - 8. \overline{3} = 75

，

x = \frac{75}{90} = \frac{5}{6}

。(2) 對：直接除，

2 \div 7 = 0.285714 285714 \dots

，循環節是

285714

。(3) 錯：

0. \overline{23} = \frac{23}{99} = \frac{230}{990}

，不是

\frac{232}{990}

。(4) 錯：

(3 - 7) (3 + 7) = 9 - 7 = 2

，所以

\frac{1}{3 - 7} = \frac{3 + 7}{2}

。(5) 錯：若等式成立，則

(32 + 1) (32 - 1) = 1

；但左邊

= 34 - 1

，而

34 \neq = 2

（

2^{3} = 8

），所以不等於

1

。

(3)

\frac{232}{990} = 0.2 \overline{34}

。(5) 要用立方和公式有理化：

\frac{1}{3 2 + 1} = \frac{3 4 - 3 2 + 1}{( 3 2 ) ^{3} + 1} = \frac{3 4 - 3 2 + 1}{3}

。

「必為」的敘述，舉得出一個反例就是錯的；判斷兩個式子是否相等，交叉相乘往往比直接化簡快。

03多選 8～10：式子的範圍、三次方根的估計、科學記號

第 8 題答案 (1)(2)(5)。先解出

- 3 < x - 1 < 3

，即

- 2 < x < 4

；

- 5 < y - 2 < 5

，即

- 3 < y < 7

。(1) 對：

x

在

- 2

與

4

之間，當然滿足

- 2 \leq x \leq 4

（範圍說得比較寬，仍是正確的敘述）。(2) 對：兩式相加得

- 5 < x + y < 11

。(3) 錯：取

x = 0

、

y = 0

，

x y = 0

，不大於

6

。(4) 錯：取

x = 0

、

y = 0

，

x^{2} + y^{2} = 0

，不大於

0

。(5) 對：

x y - 3 x - y = (x - 1) (y - 3) - 3

。

∣ x - 1∣ < 3

；由

- 3 < y < 7

得

- 6 < y - 3 < 4

，所以

∣ y - 3∣ < 6

。於是

∣ (x - 1) (y - 3) ∣ < 18

，即

- 18 < (x - 1) (y - 3) < 18

，各減

3

得

- 21 < x y - 3 x - y < 15

。

x

、

y

的範圍都跨過

0

，乘積與平方和不能直接拿端點相乘或平方。正確的範圍是

- 14 < x y < 28

、

0 \leq x^{2} + y^{2} < 65

。

第 9 題答案 (1)(2)(4)。

a^{3} = 32

。比較立方：

3^{3} = 27 < 32 < 64 = 4^{3}

，所以

3 < a < 4

；再細一點，

3. 1^{3} = 29.791 < 32 < 32.768 = 3. 2^{3}

，所以

3.1 < a < 3.2

。(1) 對：

2 \leq 3 < a < 4

。(2) 對：

3 < a < 4 \leq 5

。(3) 錯：

a < 4

。(4) 對。(5) 錯：

a < 3.2

。

第 10 題答案 (2)(3)。

3.00 \times 1 0^{8}

是把

a

四捨五入到三位有效數字的結果，所以

2.995 \times 1 0^{8} \leq a < 3.005 \times 1 0^{8}

。(1) 錯：

a

的整數部分是

9

位，但科學記號只告訴我們前三位，

a

本身不一定是整數，例如

a = 299999999.5

四捨五入到三位有效數字也記成

3.00 \times 1 0^{8}

。(2) 對：

3.00

的三個數字都是有效數字。(3) 對：

2.995 \times 1 0^{8}

四捨五入到三位是

3.00 \times 1 0^{8}

，比它再小就會變成

2.99 \times 1 0^{8}

。(4) 錯：

3.005 \times 1 0^{8}

四捨五入到三位是

3.01 \times 1 0^{8}

。(5) 錯：例如

3.0045 \times 1 0^{8}

比

3.004 \times 1 0^{8}

大，四捨五入後仍是

3.00 \times 1 0^{8}

。

a

可以任意接近

3.005 \times 1 0^{8}

但到不了，所以其實沒有最大的可能值。

04選填 11～13：分數指數、半圓上的垂線、算幾不等式

第 11 題全部寫成

2

和

3

的次方。

(\frac{2}{3})^{- 2} = (\frac{3}{2})^{2}

，所以

3 (\frac{2}{3})^{- 2} = (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 2^{- \frac{2}{3}}

；

2^{3} = 2^{\frac{3}{2}}

。相乘：

3^{\frac{2}{3}} \times 2^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{2}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{5}{6}}

。把兩個指數通分成分母

6

：

3^{\frac{4}{6}} \times 2^{\frac{5}{6}} = (3^{4} \times 2^{5})^{\frac{1}{6}} = 6 81 \times 32 = 62592

。所以

(n, a) = (6, 2592)

。

照卷面的條件，

n

只說是正整數，例如

n = 12

、

a = 259 2^{2}

也滿足等式。

a = 3^{\frac{2 n}{3}} \times 2^{\frac{5 n}{6}}

要是正整數，

n

必須是

6

的倍數，學校公布的答案是其中

n

最小的一組。

第 12 題

\overline{A G} = 6

被分成六等分，每一段長

1

。大半圓的圓心是

\overline{A G}

的中點

D

，半徑是

3

；連

\overline{D Q}

，在直角三角形

D E Q

中，

\overline{D E} = 1

，

\overline{D Q} = 3

，所以

\overline{QE} = 3^{2} - 1^{2} = 8 = 22

。小半圓的直徑

\overline{C F} = 3

，圓心

M

是

\overline{C F}

的中點，半徑是

\frac{3}{2}

，

\overline{M E} = \overline{C E} - \overline{C M} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}

；連

\overline{M P}

，

\overline{P E} = (\frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 2

。所以

\overline{P Q} = \overline{QE} - \overline{P E} = 22 - 2 = 2

。

也可以用直徑所對的圓周角是直角：

\overline{QE}^{2} = \overline{A E} \times \overline{E G} = 4 \times 2 = 8

，

\overline{P E}^{2} = \overline{C E} \times \overline{E F} = 2 \times 1 = 2

。本頁的圖是示意圖，高度沒有照實際比例畫。

第 13 題兩個括號的和是定值：

(2 a - 3) + (3 b + 4) = 2 a + 3 b + 1 = 12

。

b > 0

，所以

3 b + 4 > 0

。若

2 a - 3 \leq 0

，乘積不會是正的；若

2 a - 3 > 0

，兩個括號都是正數，由算幾不等式

\frac{( 2 a - 3 ) + ( 3 b + 4 )}{2} \geq (2 a - 3) (3 b + 4)

，即

6 \geq (2 a - 3) (3 b + 4)

，所以

(2 a - 3) (3 b + 4) \leq 36

。等號在

2 a - 3 = 3 b + 4 = 6

時成立，這時

a = \frac{9}{2}

、

b = \frac{2}{3}

，都是正數，所以最大值是

36

。

用算幾不等式前要確認兩數都是正的，求出極值後要檢查等號成立時

a

、

b

是否符合題目的條件。

和是定值的兩個正數，相等時乘積最大。

05選填 14～16：指數律、乘法公式、對數的定義

第 14 題

8 = 21 6^{x}

，兩邊同取

\frac{1}{x}

次方：

216 = 8^{\frac{1}{x}} = 2^{\frac{3}{x}}

，再平方得

2^{\frac{6}{x}} = 21 6^{2}

。

16 = 5 4^{y}

，兩邊同取

\frac{1}{y}

次方：

54 = 1 6^{\frac{1}{y}} = 2^{\frac{4}{y}}

，再平方得

2^{\frac{8}{y}} = 5 4^{2}

。兩式相除：

2^{\frac{6}{x} - \frac{8}{y}} = \frac{21 6 ^{2}}{5 4 ^{2}} = (\frac{216}{54})^{2} = 4^{2} = 16 = 2^{4}

，所以

\frac{6}{x} - \frac{8}{y} = 4

。

x

、

y

都不是

0

（否則右邊是

1

），所以可以取

\frac{1}{x}

、

\frac{1}{y}

次方。所求的

\frac{6}{x}

、

\frac{8}{y}

出現在指數上，就把兩個條件都改成以

2

為底。

第 15 題(1) 把條件平方：

(a + \frac{2}{a})^{2} = a^{2} + 4 + \frac{4}{a ^{2}} = 14

，所以

a^{2} + \frac{4}{a ^{2}} = 10

，兩邊除以

2

得

\frac{a ^{2}}{2} + \frac{2}{a ^{2}} = 5

。(2)

(a - \frac{2}{a})^{2} = a^{2} - 4 + \frac{4}{a ^{2}} = 10 - 4 = 6

。因為

a > 2

，所以

a^{2} > 2

，

a > \frac{2}{a}

，

a - \frac{2}{a}

是正的，得

a - \frac{2}{a} = 6

。

a \times \frac{2}{a} = 2

，所以平方後中間那一項是

2 \times 2 = 4

，不是

2

。條件

a > 2

用來決定第 (2) 小題的正負。

第 16 題

lo g_{10} 2 = a

表示

1 0^{a} = 2

，

lo g_{10} 3 = b

表示

1 0^{b} = 3

。(1)

1 0^{3 a + 2 b} = (1 0^{a})^{3} \times (1 0^{b})^{2} = 2^{3} \times 3^{2} = 72

。(2)

1 0^{2 - 2 a + b} = \frac{1 0 ^{2} \times 1 0 ^{b}}{( 1 0 ^{a} ) ^{2}} = \frac{100 \times 3}{4} = 75

。

對數的條件先改寫成指數式，剩下的都是指數律。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

蘭陽女中 110 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 110 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題的答案是選項 (5)，選項 (1) 的內容剛好是數字 5，容易填錯；多選第 6 題選項 (5) 的等號雖然取不到，大於或等於的敘述仍然正確；多選第 8 題 x、y 的範圍都跨過 0，乘積與平方和不能直接拿端點算，選項 (1) 的範圍說得比較寬但仍是對的；多選第 10 題要分清楚四捨五入的範圍，最大的可能值其實不存在；選填第 11 題（卷面選填第 1 題）要把指數通分成同一個分母。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自蘭陽女中 110 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

蘭陽女中 110 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、單選題：每題5分

a

為下列選項中哪一個數時，

\frac{290 + a}{260}

可以化成有限小數？

(1) $5$
(2) $6$
(3) $7$
(4) $8$
(5) $9$

40 + 25

介於哪兩個整數之間？

(1) $4$ 與 $5$
(2) $5$ 與 $6$
(3) $6$ 與 $7$
(4) $7$ 與 $8$
(5) $8$ 與 $9$

數學上有兩個重要的數，圓周率

π

和尤拉數

e

，若其中圓周率

π \approx 3.14159

，尤拉數

e = 1 + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \dots + \frac{1}{n !} + \dots \approx 2.71828

，則下列選項中的數何者最大？（其中

n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots\dots \times (n - 1) \times n

，即

1

到

n

的連續整數乘積）

(1) $\frac{e + π}{2}$
(2) $\frac{3 e + π}{4}$
(3) $\frac{e + 3 π}{4}$
(4) $\frac{2 e + π}{3}$
(5) $\frac{e + 2 π}{3}$

下列各選項中的圖

O

皆表示原點且有一個為不等式

4 \leq ∣ x + 3∣ \leq 8

在數線上的解，則該選項為何？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

已知

lo g_{10} 13 = 1.114

，問：

1 3^{50}

是幾位數？

(1) $50$ 位數
(2) $55$ 位數
(3) $56$ 位數
(4) $65$ 位數
(5) $66$ 位數

二、多選題：每題7分，錯一個選項得4.2分，錯兩個選項得1.4分，其餘得0分

若

a

、

b

為非零有理數，

c

、

d

為無理數，則下列哪些選項的敘述正確？

(1) $a^{2} + b^{2}$ 必為有理數
(2) $c^{2} + d^{2}$ 必為無理數
(3) $a \times c$ 必為無理數
(4) $b + c$ 必為無理數
(5) $a + \frac{2}{a} \geq 22$ 必成立

下列選項中的等式或不等式哪些正確？

(1) $\frac{5}{6} = 0.8 \overline{3}$
(2) $\frac{2}{7} = 0. \overline{285714}$
(3) $\frac{232}{990} = 0. \overline{23}$
(4) $\frac{1}{3 - 7} = 3 + 7$
(5) $\frac{1}{3 2 + 1} = 32 - 1$

若已知

∣ x - 1∣ < 3

且

∣ y - 2∣ < 5

，則下列選項哪些正確？

(1) $- 2 \leq x \leq 4$
(2) $- 5 < x + y < 11$
(3) $6 < x y < 28$
(4) $0 < x^{2} + y^{2} < 65$
(5) $- 21 < x y - 3 x - y < 15$

若已知

a = 332

，則下列選項中的關係哪些正確？

(1) $2 \leq a \leq 4$
(2) $3 \leq a \leq 5$
(3) $4 \leq a \leq 6$
(4) $3.1 \leq a \leq 3.2$
(5) $3.2 \leq a \leq 3.3$

若一很大的數

a

用科學記號表示為

3.00 \times 1 0^{8}

，則下列哪些選項的敘述正確？

(1) $a$ 是一個 $9$ 位的整數
(2) 這個科學記號表示法有效位數為 $3$
(3) 這個數最小的可能值為 $2.995 \times 1 0^{8}$
(4) 這個數最大的可能值為 $3.005 \times 1 0^{8}$
(5) 這個數最大的可能值為 $3.004 \times 1 0^{8}$

三、選填題：每小題5分

若

3 (\frac{2}{3})^{- 2} \times 2^{3} = n a

，其中

n

為正整數，則數對

(n, a) =

____。

如右圖，圖中兩半圓分別以

\overline{A G}

與

\overline{C F}

為直徑，

\overline{QE} ⊥ \overline{A G}

並交小半圓於

P

，且

B

、

C

、

D

、

E

、

F

五點等分

\overline{A G}

，若

\overline{A G}

長為

6

，則

\overline{P Q}

長為 ____。

載入中...

已知

a

和

b

都是正數且

2 a + 3 b = 11

，則

(2 a - 3) (3 b + 4)

的最大值為 ____。

若

8 = 21 6^{x}

且

16 = 5 4^{y}

，則

\frac{6}{x} - \frac{8}{y} =

____。

若已知

a > 2

且

a + \frac{2}{a} = 14

，則 (1)

\frac{a ^{2}}{2} + \frac{2}{a ^{2}} =

____；(2)

a - \frac{2}{a} =

____。

已知

lo g_{10} 2 = a

、

lo g_{10} 3 = b

，則 (1)

1 0^{3 a + 2 b} =

____；(2)

1 0^{2 - 2 a + b} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(3)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(1)(3)(5)

第 7 題(1)(2)

第 8 題(1)(2)(5)

第 9 題(1)(2)(4)

第 10 題(2)(3)

第 11 題

(6, 2592)

（學校公布的答案；照卷面的條件不只一組，這是

a

為正整數時

n

最小的一組，見詳解）

第 12 題

2

第 13 題

36

第 14 題

4

第 15 題(1)

5

；(2)

6

第 16 題(1)

72

；(2)

75

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：有限小數、根式的估計、加權平均、絕對值不等式、位數

第 1 題答案 (5)。最簡分數能化成有限小數的條件是：分母的質因數只有

2

和

5

。

260 = 2^{2} \times 5 \times 13

，所以分子

290 + a

必須是

13

的倍數，才能把分母的

13

約掉。五個選項的分子依序是

295

、

296

、

297

、

298

、

299

，其中只有

299 = 13 \times 23

是

13

的倍數。

a = 9

時

\frac{299}{260} = \frac{23}{20} = 1.15

，是有限小數。

選項 (1) 的內容是數字

5

，答案是選項 (5)（

a = 9

），兩者不要混淆。

第 2 題答案 (3)。

25 = 20

，而

4 < 20 < 5

，所以

44 < 40 + 25 < 45

。又

6^{2} = 36 < 44

，

45 < 49 = 7^{2}

，所以

6 < 40 + 25 < 7

。

第 3 題答案 (3)。五個選項都是

e

和

π

的加權平均，改寫成「

e

加上若干倍的

π - e

」：(1)

e + \frac{1}{2} (π - e)

，(2)

e + \frac{1}{4} (π - e)

，(3)

e + \frac{3}{4} (π - e)

，(4)

e + \frac{1}{3} (π - e)

，(5)

e + \frac{2}{3} (π - e)

。因為

π - e > 0

，倍數愈大值愈大，

\frac{3}{4}

最大，所以 (3) 最大。

用近似值檢查：五個選項約為

2.930

、

2.824

、

3.036

、

2.859

、

3.000

。

第 4 題答案 (2)。

∣ x + 3∣

是數線上

x

到

- 3

的距離。距離在

4

與

8

之間：往右是

4 \leq x + 3 \leq 8

，即

1 \leq x \leq 5

；往左是

- 8 \leq x + 3 \leq - 4

，即

- 11 \leq x \leq - 7

。解是兩段等長（長度都是

4

）的線段，中間隔著

- 7

到

1

、長度

8

的空隙。原點

0

落在空隙裡，離右邊那一段的左端點

1

只有

1

單位，離左邊那一段的右端點

- 7

有

7

單位。五個圖中，

O

在兩段之間而且緊靠右邊那一段的是圖 (2)。

圖 (1) 的

O

也在空隙裡，但緊靠左邊那一段；圖 (3)、(4) 的

O

落在線段上，但

x = 0

時

∣0 + 3∣ = 3 < 4

，原點不是解；圖 (5) 的

O

在兩段的左邊。

第 5 題答案 (3)。

lo g_{10} 13 = 1.114

表示

13 = 1 0^{1.114}

，所以

1 3^{50} = (1 0^{1.114})^{50} = 1 0^{55.7}

。因為

1 0^{55} < 1 0^{55.7} < 1 0^{56}

，而

1 0^{55}

是最小的

56

位數，

1 0^{56}

是最小的

57

位數，所以

1 3^{50}

是

56

位數。

1 0^{k} \leq N < 1 0^{k + 1}

時，

N

的整數部分是

k + 1

位數，位數要比指數的整數部分多

1

。

02多選 6～7：有理數與無理數、循環小數與有理化

第 6 題答案 (1)(3)(5)。(1) 對：有理數相乘、相加仍是有理數。(2) 錯：取

c = d = 2

，

c^{2} + d^{2} = 4

是有理數。(3) 對：假設

a \times c = r

是有理數，因為

a \neq = 0

，

c = \frac{r}{a}

會是有理數，與

c

是無理數矛盾。(4) 錯：取

b = 2

、

c = - 2

，

b + c = 0

是有理數。(5) 對：

a

與

\frac{2}{a}

同號，所以

a + \frac{2}{a} = ∣ a ∣ + \frac{2}{∣ a ∣}

；由算幾不等式，

∣ a ∣ + \frac{2}{∣ a ∣} \geq 2 ∣ a ∣ \times \frac{2}{∣ a ∣} = 22

。

(5) 等號要

∣ a ∣ = 2

才成立，有理數

a

取不到，所以其實恆有大於；但「大於或等於」的敘述仍然正確。(4) 若

b

是負數，

b

連實數都不是。

第 7 題答案 (1)(2)。(1) 對：設

x = 0.8 \overline{3}

，則

100 x - 10 x = 83. \overline{3} - 8. \overline{3} = 75

，

x = \frac{75}{90} = \frac{5}{6}

。(2) 對：直接除，

2 \div 7 = 0.285714 285714 \dots

，循環節是

285714

。(3) 錯：

0. \overline{23} = \frac{23}{99} = \frac{230}{990}

，不是

\frac{232}{990}

。(4) 錯：

(3 - 7) (3 + 7) = 9 - 7 = 2

，所以

\frac{1}{3 - 7} = \frac{3 + 7}{2}

。(5) 錯：若等式成立，則

(32 + 1) (32 - 1) = 1

；但左邊

= 34 - 1

，而

34 \neq = 2

（

2^{3} = 8

），所以不等於

1

。

(3)

\frac{232}{990} = 0.2 \overline{34}

。(5) 要用立方和公式有理化：

\frac{1}{3 2 + 1} = \frac{3 4 - 3 2 + 1}{( 3 2 ) ^{3} + 1} = \frac{3 4 - 3 2 + 1}{3}

。

「必為」的敘述，舉得出一個反例就是錯的；判斷兩個式子是否相等，交叉相乘往往比直接化簡快。

03多選 8～10：式子的範圍、三次方根的估計、科學記號

第 8 題答案 (1)(2)(5)。先解出

- 3 < x - 1 < 3

，即

- 2 < x < 4

；

- 5 < y - 2 < 5

，即

- 3 < y < 7

。(1) 對：

x

在

- 2

與

4

之間，當然滿足

- 2 \leq x \leq 4

（範圍說得比較寬，仍是正確的敘述）。(2) 對：兩式相加得

- 5 < x + y < 11

。(3) 錯：取

x = 0

、

y = 0

，

x y = 0

，不大於

6

。(4) 錯：取

x = 0

、

y = 0

，

x^{2} + y^{2} = 0

，不大於

0

。(5) 對：

x y - 3 x - y = (x - 1) (y - 3) - 3

。

∣ x - 1∣ < 3

；由

- 3 < y < 7

得

- 6 < y - 3 < 4

，所以

∣ y - 3∣ < 6

。於是

∣ (x - 1) (y - 3) ∣ < 18

，即

- 18 < (x - 1) (y - 3) < 18

，各減

3

得

- 21 < x y - 3 x - y < 15

。

x

、

y

的範圍都跨過

0

，乘積與平方和不能直接拿端點相乘或平方。正確的範圍是

- 14 < x y < 28

、

0 \leq x^{2} + y^{2} < 65

。

第 9 題答案 (1)(2)(4)。

a^{3} = 32

。比較立方：

3^{3} = 27 < 32 < 64 = 4^{3}

，所以

3 < a < 4

；再細一點，

3. 1^{3} = 29.791 < 32 < 32.768 = 3. 2^{3}

，所以

3.1 < a < 3.2

。(1) 對：

2 \leq 3 < a < 4

。(2) 對：

3 < a < 4 \leq 5

。(3) 錯：

a < 4

。(4) 對。(5) 錯：

a < 3.2

。

第 10 題答案 (2)(3)。

3.00 \times 1 0^{8}

是把

a

四捨五入到三位有效數字的結果，所以

2.995 \times 1 0^{8} \leq a < 3.005 \times 1 0^{8}

。(1) 錯：

a

的整數部分是

9

位，但科學記號只告訴我們前三位，

a

本身不一定是整數，例如

a = 299999999.5

四捨五入到三位有效數字也記成

3.00 \times 1 0^{8}

。(2) 對：

3.00

的三個數字都是有效數字。(3) 對：

2.995 \times 1 0^{8}

四捨五入到三位是

3.00 \times 1 0^{8}

，比它再小就會變成

2.99 \times 1 0^{8}

。(4) 錯：

3.005 \times 1 0^{8}

四捨五入到三位是

3.01 \times 1 0^{8}

。(5) 錯：例如

3.0045 \times 1 0^{8}

比

3.004 \times 1 0^{8}

大，四捨五入後仍是

3.00 \times 1 0^{8}

。

a

可以任意接近

3.005 \times 1 0^{8}

但到不了，所以其實沒有最大的可能值。

04選填 11～13：分數指數、半圓上的垂線、算幾不等式

第 11 題全部寫成

2

和

3

的次方。

(\frac{2}{3})^{- 2} = (\frac{3}{2})^{2}

，所以

3 (\frac{2}{3})^{- 2} = (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 2^{- \frac{2}{3}}

；

2^{3} = 2^{\frac{3}{2}}

。相乘：

3^{\frac{2}{3}} \times 2^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{2}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{5}{6}}

。把兩個指數通分成分母

6

：

3^{\frac{4}{6}} \times 2^{\frac{5}{6}} = (3^{4} \times 2^{5})^{\frac{1}{6}} = 6 81 \times 32 = 62592

。所以

(n, a) = (6, 2592)

。

照卷面的條件，

n

只說是正整數，例如

n = 12

、

a = 259 2^{2}

也滿足等式。

a = 3^{\frac{2 n}{3}} \times 2^{\frac{5 n}{6}}

要是正整數，

n

必須是

6

的倍數，學校公布的答案是其中

n

最小的一組。

第 12 題

\overline{A G} = 6

被分成六等分，每一段長

1

。大半圓的圓心是

\overline{A G}

的中點

D

，半徑是

3

；連

\overline{D Q}

，在直角三角形

D E Q

中，

\overline{D E} = 1

，

\overline{D Q} = 3

，所以

\overline{QE} = 3^{2} - 1^{2} = 8 = 22

。小半圓的直徑

\overline{C F} = 3

，圓心

M

是

\overline{C F}

的中點，半徑是

\frac{3}{2}

，

\overline{M E} = \overline{C E} - \overline{C M} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}

；連

\overline{M P}

，

\overline{P E} = (\frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 2

。所以

\overline{P Q} = \overline{QE} - \overline{P E} = 22 - 2 = 2

。

也可以用直徑所對的圓周角是直角：

\overline{QE}^{2} = \overline{A E} \times \overline{E G} = 4 \times 2 = 8

，

\overline{P E}^{2} = \overline{C E} \times \overline{E F} = 2 \times 1 = 2

。本頁的圖是示意圖，高度沒有照實際比例畫。

第 13 題兩個括號的和是定值：

(2 a - 3) + (3 b + 4) = 2 a + 3 b + 1 = 12

。

b > 0

，所以

3 b + 4 > 0

。若

2 a - 3 \leq 0

，乘積不會是正的；若

2 a - 3 > 0

，兩個括號都是正數，由算幾不等式

\frac{( 2 a - 3 ) + ( 3 b + 4 )}{2} \geq (2 a - 3) (3 b + 4)

，即

6 \geq (2 a - 3) (3 b + 4)

，所以

(2 a - 3) (3 b + 4) \leq 36

。等號在

2 a - 3 = 3 b + 4 = 6

時成立，這時

a = \frac{9}{2}

、

b = \frac{2}{3}

，都是正數，所以最大值是

36

。

用算幾不等式前要確認兩數都是正的，求出極值後要檢查等號成立時

a

、

b

是否符合題目的條件。

和是定值的兩個正數，相等時乘積最大。

05選填 14～16：指數律、乘法公式、對數的定義

第 14 題

8 = 21 6^{x}

，兩邊同取

\frac{1}{x}

次方：

216 = 8^{\frac{1}{x}} = 2^{\frac{3}{x}}

，再平方得

2^{\frac{6}{x}} = 21 6^{2}

。

16 = 5 4^{y}

，兩邊同取

\frac{1}{y}

次方：

54 = 1 6^{\frac{1}{y}} = 2^{\frac{4}{y}}

，再平方得

2^{\frac{8}{y}} = 5 4^{2}

。兩式相除：

2^{\frac{6}{x} - \frac{8}{y}} = \frac{21 6 ^{2}}{5 4 ^{2}} = (\frac{216}{54})^{2} = 4^{2} = 16 = 2^{4}

，所以

\frac{6}{x} - \frac{8}{y} = 4

。

x

、

y

都不是

0

（否則右邊是

1

），所以可以取

\frac{1}{x}

、

\frac{1}{y}

次方。所求的

\frac{6}{x}

、

\frac{8}{y}

出現在指數上，就把兩個條件都改成以

2

為底。

第 15 題(1) 把條件平方：

(a + \frac{2}{a})^{2} = a^{2} + 4 + \frac{4}{a ^{2}} = 14

，所以

a^{2} + \frac{4}{a ^{2}} = 10

，兩邊除以

2

得

\frac{a ^{2}}{2} + \frac{2}{a ^{2}} = 5

。(2)

(a - \frac{2}{a})^{2} = a^{2} - 4 + \frac{4}{a ^{2}} = 10 - 4 = 6

。因為

a > 2

，所以

a^{2} > 2

，

a > \frac{2}{a}

，

a - \frac{2}{a}

是正的，得

a - \frac{2}{a} = 6

。

a \times \frac{2}{a} = 2

，所以平方後中間那一項是

2 \times 2 = 4

，不是

2

。條件

a > 2

用來決定第 (2) 小題的正負。

第 16 題

lo g_{10} 2 = a

表示

1 0^{a} = 2

，

lo g_{10} 3 = b

表示

1 0^{b} = 3

。(1)

1 0^{3 a + 2 b} = (1 0^{a})^{3} \times (1 0^{b})^{2} = 2^{3} \times 3^{2} = 72

。(2)

1 0^{2 - 2 a + b} = \frac{1 0 ^{2} \times 1 0 ^{b}}{( 1 0 ^{a} ) ^{2}} = \frac{100 \times 3}{4} = 75

。

對數的條件先改寫成指數式，剩下的都是指數律。

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同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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02多選 6～7：有理數與無理數、循環小數與有理化

03多選 8～10：式子的範圍、三次方根的估計、科學記號

04選填 11～13：分數指數、半圓上的垂線、算幾不等式

05選填 14～16：指數律、乘法公式、對數的定義

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