段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、圖形的平移與伸縮）

蘭陽女中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

多重選擇題 6 題（每題 5 分，共 30 分）、填選題 8 題共 14 格（每格 5 分，共 70 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、多重選擇題：每題 5 分，共 30 分，全對得 5 分，錯一個選項得 3 分，錯二個選項得 1 分，錯三個選項以上得 0 分。

下列何者正確？

(1) $π$ 弳 $= 18 0^{\circ}$
(2) $- 22 5^{\circ} = \frac{- 3 π}{4}$ 弳
(3) $4$ 弳 $= \frac{720}{π}$
(4) 廣義角 $3 π$ 與 $- π$ 為同界角
(5) $5$ 弳為第五象限角。

下列哪一個是

\frac{π}{4}

的同界角？

(1) $\frac{3 π}{4}$
(2) $\frac{5 π}{4}$
(3) $\frac{17 π}{4}$
(4) $- \frac{π}{4}$
(5) $- \frac{7 π}{4}$

對於

y = sin x

的敘述，何者正確？

(1) 最小值 $- 1$
(2) 最大值 $1$
(3) 圖形對稱於原點
(4) 圖形對稱於 $y$ 軸
(5) 週期為 $2 π$ 。

下列何者為

y = sin x

往左

\frac{π}{4}

單位，再向上

2

單位的圖形？

(1) $y = sin (x + \frac{π}{4}) + 2$
(2) $y = sin (x + \frac{π}{4}) - 2$
(3) $y = sin (x - \frac{π}{4}) + 2$
(4) $y = sin (x - \frac{π}{4}) - 2$
(5) $y = sin (x - \frac{7 π}{4}) + 2$

下列何者的圖形可由

y = sin x

的圖形水平伸縮

3

倍，再鉛直伸縮

2

倍後得到？

(1) $y = 2 sin 3 x$
(2) $y = 3 sin 2 x$
(3) $y = 2 sin \frac{x}{3}$
(4) $y = 3 sin \frac{x}{2}$
(5) $y = sin \frac{2 x}{3}$

選出下列正確的選項：

(1) $sin 1 > 0$
(2) $sin 2 > 0$
(3) $sin 3 > 0$
(4) $sin 4 > 0$
(5) $sin 5 > 0$

二、填選題：每格 5 分，共 70 分，答案若為分數請以最簡分數表示，若為根式請以最簡根式表示。（原卷題號 A～H，本頁編為第 7～14 題）

如圖

△ A B C

為半徑為

2

的圓內接正三角形，求鋪色區域的 (1) 周長

=

____，(2) 面積

=

____。（原卷兩格的答案格式都是

◯ ◯ + \frac{◯ π}{◯}

；附圖沒有塗色，是用粗線圍出這個區域：上方的弧

A B

與線段

\overline{A C}

、

\overline{B C}

）

載入中...

sin \frac{π}{6} \times sin \frac{π}{3} \times sin \frac{π}{2} \times sin \frac{2 π}{3} \times sin \frac{5 π}{6} \times cos π \times tan \frac{5 π}{4} =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯ ◯}

）

已知扇形的半徑為

4

，周長為

20

，求其 (1) 圓心角

=

____ 弳，(2) 面積

=

____。

如圖所示，已知有三個半徑分別為

1

、

2

、

3

的圓，圓心分別為

A

、

B

、

C

，三個圓兩兩互相外切，設

∠ A B C = θ

，若中間無鋪色區域的周長為

aπ + b θ

，面積為

c + d π + e θ

，求 (1)

a \times b =

____，(2)

c + d + e =

____。（附圖用粗線圍出的，就是三個圓中間由三段弧圍成的區域）

載入中...

在

0 \leq x \leq 2 π

範圍內，求

y = sin x

與

y = sin 2 x + 1

的圖形有 ____ 個交點。

函數

y = 3 sin (\frac{x}{4} - 2 π) + 5

的週期為 ____

π

。

已知電流強度為

I

（安培）與時間

t

（秒）的關係可表為

I = 4 sin (20 π t + \frac{π}{3})

。(1) 求電流強度

I

的週期 ____ 秒。(2) 求電流強度

I

的最小值 ____ 安培。(3) 當

t = \frac{1}{20}

秒時，電流強度為 ____ 安培。（原卷的答案格式依序為

\frac{◯}{◯ ◯}

、

◯ ◯

、

◯ ◯ ◯

）

在

- π \leq x \leq π

範圍內，方程式

sin x = \frac{- 1}{2}

有多少個解？ ____　又這些解的總和為何？ ____

π

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(4)

第 2 題(3)(5)

第 3 題(1)(2)(3)(5)

第 4 題(1)(5)

第 5 題(3)

第 6 題(1)(2)(3)

第 7 題(1)

43 + \frac{4 π}{3}

；(2)

23 + \frac{4 π}{3}

第 8 題

- \frac{3}{16}

第 9 題(1)

3

；(2)

24

第 10 題(1)

- 2

；(2)

6

第 11 題

2

第 12 題

8

（週期為

8 π

）

第 13 題(1)

\frac{1}{10}

；(2)

- 4

；(3)

- 23

第 14 題

2

個；總和為

- π

（第二格在

π

前面填負號）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：度與弧度、同界角

第 1 題(1)

π

弳

= 18 0^{\circ}

，這是弧度的換算基準，對。(2)

- 22 5^{\circ} = - 225 \times \frac{π}{180} = - \frac{5 π}{4}

弳，不是

- \frac{3 π}{4}

弳，錯。(3)

4

弳換成度是

4 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = \frac{72 0 ^{\circ}}{π}

，卷面的等號右邊只印

\frac{720}{π}

，沒有度的記號；沒有單位的角就是弧度，而

\frac{720}{π} \approx 229.2

弳並不等於

4

弳，所以照卷面所印，錯。(4)

3 π - (- π) = 4 π

，是

2 π

的整數倍，兩角為同界角，對。(5) 坐標平面只有四個象限，沒有第五象限；

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 5 < 2 π \approx 6.28

，

5

弳是第四象限角，錯。答案 (1)(4)。

選項 (3) 若右邊有度的記號（

\frac{72 0 ^{\circ}}{π}

）就是正確的換算；卷面沒有印，同一題的選項 (1)、(2) 則都有印，學校答案也沒有選 (3)。寫角度時，有沒有「度」的記號意思完全不同。

第 2 題同界角與

\frac{π}{4}

的差必須是

2 π = \frac{8 π}{4}

的整數倍。(1)

\frac{3 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{4}

，不是，錯。(2)

\frac{5 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{4 π}{4} = π

，不是，錯。(3)

\frac{17 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{16 π}{4} = 4 π

，對。(4)

\frac{π}{4} - (- \frac{π}{4}) = \frac{2 π}{4}

，不是，錯。(5)

\frac{π}{4} - (- \frac{7 π}{4}) = \frac{8 π}{4} = 2 π

，對。答案 (3)(5)。

題幹寫「哪一個」，但這一大題是多重選擇，符合的有兩個。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；判斷同界角就看兩角的差是不是

2 π

的整數倍。

02多選第 3～6 題：正弦函數的性質、平移、伸縮、正負

第 3 題(1)(2)

sin x

的值在

- 1

與

1

之間，在

x = \frac{3 π}{2}

取到

- 1

、在

x = \frac{π}{2}

取到

1

，所以最小值

- 1

、最大值

1

，都對。(3)

sin (- x) = - sin x

，點

(x, y)

在圖形上時

(- x, - y)

也在圖形上，圖形對稱於原點，對。(4) 若對稱於

y

軸，要有

sin (- x) = sin x

；取

x = \frac{π}{2}

，

sin (- \frac{π}{2}) = - 1 \neq = 1

，錯。(5)

sin (x + 2 π) = sin x

，而且沒有更小的正數有這個性質，週期為

2 π

，對。答案 (1)(2)(3)(5)。

第 4 題往左平移

\frac{π}{4}

：把

x

換成

x + \frac{π}{4}

，得

y = sin (x + \frac{π}{4})

。再向上平移

2

：整個函數值加

2

，得

y = sin (x + \frac{π}{4}) + 2

，這就是選項 (1)。(2) 後面是

- 2

，是向下平移，錯。(3) 括號裡是

x - \frac{π}{4}

，是往右平移

\frac{π}{4}

，與往左

\frac{π}{4}

相差

\frac{π}{2}

，不是同一個圖形，錯。(4) 往右又向下，錯。(5)

x - \frac{7 π}{4} = (x + \frac{π}{4}) - 2 π

，正弦函數的週期是

2 π

，所以

sin (x - \frac{7 π}{4}) = sin (x + \frac{π}{4})

，與 (1) 是同一個函數，對。答案 (1)(5)。

往左移

\frac{π}{4}

與往右移

2 π - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4}

得到同一個圖形。

第 5 題水平伸縮

3

倍：圖形上每一點的

x

坐標變成

3

倍，式子裡要把

x

換成

\frac{x}{3}

，得

y = sin \frac{x}{3}

（週期由

2 π

變成

6 π

）。再鉛直伸縮

2

倍：每一點的

y

坐標變成

2

倍，得

y = 2 sin \frac{x}{3}

，這是選項 (3)。(1)

y = 2 sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

，是水平伸縮

\frac{1}{3}

倍，錯。(2)

y = 3 sin 2 x

是水平

\frac{1}{2}

倍、鉛直

3

倍，錯。(4)

y = 3 sin \frac{x}{2}

是水平

2

倍、鉛直

3

倍，錯。(5)

y = sin \frac{2 x}{3}

是水平

\frac{3}{2}

倍，鉛直沒有伸縮，錯。答案 (3)。

水平伸縮

k

倍是把

x

換成

\frac{x}{k}

，不是換成

k x

。

第 6 題取近似值

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

。角在

0

與

π

之間（第一、二象限）時正弦值為正，在

π

與

2 π

之間（第三、四象限）時正弦值為負。(1)

0 < 1 < π

，

sin 1 > 0

，對。(2)

0 < 2 < π

，

sin 2 > 0

，對。(3)

0 < 3 < π

，

sin 3 > 0

，對。(4)

π < 4 < 2 π

，

sin 4 < 0

，錯。(5)

π < 5 < 2 π

，

sin 5 < 0

，錯。答案 (1)(2)(3)。

3

很接近

π

但還沒到，所以

sin 3

是很小的正數（約

0.14

）。

平移看加減、伸縮看乘除：動

x

的都要「反過來」寫，動

y

的照著寫。

03填選 A、B、C（第 7～9 題）：弧與弦圍成的區域、特殊角的值、扇形

第 7 題設圓心為

O

。正三角形的三個頂點把圓周三等分，所以

∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = \frac{2 π}{3}

。先求邊長：在等腰三角形

O A C

中

\overline{O A} = \overline{O C} = 2

，從

O

作

\overline{A C}

的垂線，垂足

M

是

\overline{A C}

的中點，

∠ A O M = \frac{π}{3}

，

\overline{A M} = 2 sin \frac{π}{3} = 3

，所以

\overline{A C} = \overline{B C} = 23

。(1) 弧

A B

的長

= r θ = 2 \times \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

，周長

= \overline{A C} + \overline{B C} +

弧

A B = 43 + \frac{4 π}{3}

。(2) 連

\overline{O A}

、

\overline{O B}

，區域拆成扇形

O A B

與兩個三角形

O A C

、

O B C

。扇形

O A B = \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

；

△ O A C = \frac{1}{2} \times \overline{A C} \times \overline{O M} = \frac{1}{2} \times 23 \times 1 = 3

（

\overline{O M} = 2 cos \frac{π}{3} = 1

），

△ O B C

也是

3

。面積

= \frac{4 π}{3} + 23

，即

23 + \frac{4 π}{3}

。

附圖用粗線圍出的區域是「弧

A B

、

\overline{A C}

、

\overline{B C}

」，周長不包含

\overline{A B}

。面積也可以用正三角形

A B C

（

33

）加上弦

A B

上方的弓形（

\frac{4 π}{3} - 3

）來算，結果相同。

第 8 題逐項求值：

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

，

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，

sin \frac{π}{2} = 1

。

\frac{2 π}{3}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{3}

，正弦為正：

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

。

\frac{5 π}{6}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{6}

：

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

。

cos π = - 1

。

\frac{5 π}{4}

是第三象限角，參考角

\frac{π}{4}

，正切為正：

tan \frac{5 π}{4} = 1

。乘積

= \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 1 \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \times (- 1) \times 1 = - \frac{3}{16}

。

七個因數裡只有

cos π

是負的，所以乘積是負的。

第 9 題扇形的周長是兩條半徑加一段弧：

20 = 4 + 4 +

弧長，所以弧長

= 12

。(1) 弧長

= r θ

，

12 = 4 θ

，圓心角

θ = 3

弳。(2) 面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 4^{2} \times 3 = 24

（也可以用

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 4 \times 12 = 24

）。

周長別忘了兩條半徑。

3

弳小於

2 π

，是一個合理的扇形。

弧長

= r θ

、扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

，圓心角一律用弧度；不規則的區域拆成扇形與三角形。

04填選 D（第 10 題）：三個外切圓中間的區域

第 10 題兩圓外切時，連心線長等於半徑和，而且切點在連心線上：

\overline{A B} = 1 + 2 = 3

，

\overline{A C} = 1 + 3 = 4

，

\overline{B C} = 2 + 3 = 5

。因為

3^{2} + 4^{2} = 5^{2}

，

△ A B C

是直角三角形，

∠ A = \frac{π}{2}

；又

∠ B = θ

，所以

∠ C = π - \frac{π}{2} - θ = \frac{π}{2} - θ

。中間的區域由三段弧圍成，每一段弧都在三角形內，分別是三個圓在

∠ A

、

∠ B

、

∠ C

內的那一段。(1) 三段弧長：圓

A

上

1 \times \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

；圓

B

上

2 \times θ = 2 θ

；圓

C

上

3 \times (\frac{π}{2} - θ) = \frac{3 π}{2} - 3 θ

。周長

= \frac{π}{2} + 2 θ + \frac{3 π}{2} - 3 θ = 2 π - θ

，所以

a = 2

、

b = - 1

，

a \times b = - 2

。(2) 區域面積

= △ A B C -

三個扇形。

△ A B C = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6

；扇形

A = \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{π}{2} = \frac{π}{4}

；扇形

B = \frac{1}{2} \times 2^{2} \times θ = 2 θ

；扇形

C = \frac{1}{2} \times 3^{2} \times (\frac{π}{2} - θ) = \frac{9 π}{4} - \frac{9 θ}{2}

。面積

= 6 - \frac{π}{4} - 2 θ - \frac{9 π}{4} + \frac{9 θ}{2} = 6 - \frac{5 π}{2} + \frac{5 θ}{2}

，所以

c = 6

、

d = - \frac{5}{2}

、

e = \frac{5}{2}

，

c + d + e = 6

。

∠ C

要用

θ

表示成

\frac{π}{2} - θ

，才能整理成題目要的形式；係數

b

、

d

是負的，別漏掉負號。附圖沒有塗色，粗線圍出的就是所求的區域。

外切的圓，圓心連線通過切點；圓與圓之間的空隙

=

圓心連成的三角形

-

各個扇形。

05填選 E、F（第 11、12 題）：兩個圖形的交點個數、週期

第 11 題把兩個圖形畫在同一張圖上，分段比較高低。

y = sin 2 x + 1

的值在

0

與

2

之間，週期是

π

。先看

π \leq x \leq 2 π

：這裡

sin x \leq 0

，而

sin 2 x + 1 \geq 0

，要相交只能兩邊同時等於

0

；但

sin x = 0

發生在

x = π

、

2 π

，這兩處

sin 2 x + 1 = 1

，所以這一段沒有交點。再看

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

：這裡

2 x

在

0

與

π

之間，

sin 2 x \geq 0

，所以

sin 2 x + 1 \geq 1 \geq sin x

，要相交只能兩邊同時等於

1

，即

sin x = 1

且

sin 2 x = 0

，只有

x = \frac{π}{2}

，得第

1

個交點

(\frac{π}{2}, 1)

。接著看

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}

：令

x = \frac{π}{2} + u

（

0 < u < \frac{π}{4}

），則

sin x = cos u

、

sin 2 x + 1 = 1 - sin 2 u

。在單位圓上，直角三角形兩股的和大於斜邊，所以

sin u + cos u > 1

，即

1 - cos u < sin u

；又

u < 2 u < \frac{π}{2}

，

sin u < sin 2 u

。於是

1 - sin 2 u < 1 - sin u < cos u

，也就是

sin 2 x + 1 < sin x

，這一段沒有交點。最後看

\frac{3 π}{4} \leq x \leq π

：

sin x

由

\frac{2}{2}

一路下降到

0

，

sin 2 x + 1

由

0

一路上升到

1

，一個由高往低、一個由低往高，恰好相交一次，得第

2

個交點。合計

2

個交點。

x = \frac{π}{2}

是一個容易漏掉的交點：兩個函數在那裡的值都是

1

。考試時畫出兩條曲線（描

0

、

\frac{π}{4}

、

\frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{4}

、

π

等幾個點）就能看出交點只有兩個，上面是把圖上看到的情形逐段說清楚。

第 12 題

y = a sin (b x + c) + d

的週期只由

x

的係數決定，等於

\frac{2 π}{∣ b ∣}

。這裡

x

的係數是

\frac{1}{4}

，週期

= 2 π \div \frac{1}{4} = 8 π

，格內填

8

。

前面的

3

（振幅）、括號裡的

- 2 π

（左右平移）、後面的

+ 5

（上下平移）都不影響週期。

06填選 G、H（第 13、14 題）：交流電、正弦方程式的解

第 13 題(1)

t

的係數是

20 π

，週期

= \frac{2 π}{20 π} = \frac{1}{10}

秒。(2)

sin

的值最小是

- 1

，所以

I

的最小值是

4 \times (- 1) = - 4

安培。(3) 代入

t = \frac{1}{20}

：

20 π \times \frac{1}{20} + \frac{π}{3} = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}

。

\frac{4 π}{3}

是第三象限角，參考角

\frac{π}{3}

，正弦為負：

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

，所以

I = 4 \times (- \frac{3}{2}) = - 23

安培。

t = \frac{1}{20}

秒恰好是半個週期，所以這時的電流與

t = 0

時的

4 sin \frac{π}{3} = 23

大小相同、方向相反。

第 14 題

sin x = - \frac{1}{2}

是負的，解落在正弦曲線位於

x

軸下方的區間。在

- π \leq x \leq π

內，這樣的區間只有

(- π, 0)

，水平線

y = - \frac{1}{2}

與這一段波谷交於

2

點，所以有

2

個解。參考角是

\frac{π}{6}

（

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

），兩個解是

x = - \frac{π}{6}

與

x = - π + \frac{π}{6} = - \frac{5 π}{6}

。總和

= - \frac{π}{6} - \frac{5 π}{6} = - π

。

也可以不求出解：

(- π, 0)

這一段圖形對稱於直線

x = - \frac{π}{2}

，兩個解的平均是

- \frac{π}{2}

，和就是

- π

。範圍是

- π

到

π

，不要寫成

\frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

。

y = a sin (b x + c) + d

：週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

，最大、最小值是

d \pm ∣ a ∣

；解方程式先看題目給的範圍。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

蘭陽女中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題往左平移四分之一個圓周率，和往右平移四分之七個圓周率是同一個圖形，兩個選項都要選；第 10 題要先看出三個圓心連成直角三角形，再把三個扇形的圓心角都用題目給的角表示；第 11 題兩個圖形的交點要分段比較高低，恰好碰到的那一點也要算；第 14 題的範圍含負的角，兩個解都是負的。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、圖形的平移與伸縮）

蘭陽女中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

多重選擇題 6 題（每題 5 分，共 30 分）、填選題 8 題共 14 格（每格 5 分，共 70 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、多重選擇題：每題 5 分，共 30 分，全對得 5 分，錯一個選項得 3 分，錯二個選項得 1 分，錯三個選項以上得 0 分。

下列何者正確？

(1) $π$ 弳 $= 18 0^{\circ}$
(2) $- 22 5^{\circ} = \frac{- 3 π}{4}$ 弳
(3) $4$ 弳 $= \frac{720}{π}$
(4) 廣義角 $3 π$ 與 $- π$ 為同界角
(5) $5$ 弳為第五象限角。

下列哪一個是

\frac{π}{4}

的同界角？

(1) $\frac{3 π}{4}$
(2) $\frac{5 π}{4}$
(3) $\frac{17 π}{4}$
(4) $- \frac{π}{4}$
(5) $- \frac{7 π}{4}$

對於

y = sin x

的敘述，何者正確？

(1) 最小值 $- 1$
(2) 最大值 $1$
(3) 圖形對稱於原點
(4) 圖形對稱於 $y$ 軸
(5) 週期為 $2 π$ 。

下列何者為

y = sin x

往左

\frac{π}{4}

單位，再向上

2

單位的圖形？

(1) $y = sin (x + \frac{π}{4}) + 2$
(2) $y = sin (x + \frac{π}{4}) - 2$
(3) $y = sin (x - \frac{π}{4}) + 2$
(4) $y = sin (x - \frac{π}{4}) - 2$
(5) $y = sin (x - \frac{7 π}{4}) + 2$

下列何者的圖形可由

y = sin x

的圖形水平伸縮

3

倍，再鉛直伸縮

2

倍後得到？

(1) $y = 2 sin 3 x$
(2) $y = 3 sin 2 x$
(3) $y = 2 sin \frac{x}{3}$
(4) $y = 3 sin \frac{x}{2}$
(5) $y = sin \frac{2 x}{3}$

選出下列正確的選項：

(1) $sin 1 > 0$
(2) $sin 2 > 0$
(3) $sin 3 > 0$
(4) $sin 4 > 0$
(5) $sin 5 > 0$

二、填選題：每格 5 分，共 70 分，答案若為分數請以最簡分數表示，若為根式請以最簡根式表示。（原卷題號 A～H，本頁編為第 7～14 題）

如圖

△ A B C

為半徑為

2

的圓內接正三角形，求鋪色區域的 (1) 周長

=

____，(2) 面積

=

____。（原卷兩格的答案格式都是

◯ ◯ + \frac{◯ π}{◯}

；附圖沒有塗色，是用粗線圍出這個區域：上方的弧

A B

與線段

\overline{A C}

、

\overline{B C}

）

載入中...

sin \frac{π}{6} \times sin \frac{π}{3} \times sin \frac{π}{2} \times sin \frac{2 π}{3} \times sin \frac{5 π}{6} \times cos π \times tan \frac{5 π}{4} =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯ ◯}

）

已知扇形的半徑為

4

，周長為

20

，求其 (1) 圓心角

=

____ 弳，(2) 面積

=

____。

如圖所示，已知有三個半徑分別為

1

、

2

、

3

的圓，圓心分別為

A

、

B

、

C

，三個圓兩兩互相外切，設

∠ A B C = θ

，若中間無鋪色區域的周長為

aπ + b θ

，面積為

c + d π + e θ

，求 (1)

a \times b =

____，(2)

c + d + e =

____。（附圖用粗線圍出的，就是三個圓中間由三段弧圍成的區域）

載入中...

在

0 \leq x \leq 2 π

範圍內，求

y = sin x

與

y = sin 2 x + 1

的圖形有 ____ 個交點。

函數

y = 3 sin (\frac{x}{4} - 2 π) + 5

的週期為 ____

π

。

已知電流強度為

I

（安培）與時間

t

（秒）的關係可表為

I = 4 sin (20 π t + \frac{π}{3})

。(1) 求電流強度

I

的週期 ____ 秒。(2) 求電流強度

I

的最小值 ____ 安培。(3) 當

t = \frac{1}{20}

秒時，電流強度為 ____ 安培。（原卷的答案格式依序為

\frac{◯}{◯ ◯}

、

◯ ◯

、

◯ ◯ ◯

）

在

- π \leq x \leq π

範圍內，方程式

sin x = \frac{- 1}{2}

有多少個解？ ____　又這些解的總和為何？ ____

π

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(4)

第 2 題(3)(5)

第 3 題(1)(2)(3)(5)

第 4 題(1)(5)

第 5 題(3)

第 6 題(1)(2)(3)

第 7 題(1)

43 + \frac{4 π}{3}

；(2)

23 + \frac{4 π}{3}

第 8 題

- \frac{3}{16}

第 9 題(1)

3

；(2)

24

第 10 題(1)

- 2

；(2)

6

第 11 題

2

第 12 題

8

（週期為

8 π

）

第 13 題(1)

\frac{1}{10}

；(2)

- 4

；(3)

- 23

第 14 題

2

個；總和為

- π

（第二格在

π

前面填負號）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：度與弧度、同界角

第 1 題(1)

π

弳

= 18 0^{\circ}

，這是弧度的換算基準，對。(2)

- 22 5^{\circ} = - 225 \times \frac{π}{180} = - \frac{5 π}{4}

弳，不是

- \frac{3 π}{4}

弳，錯。(3)

4

弳換成度是

4 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = \frac{72 0 ^{\circ}}{π}

，卷面的等號右邊只印

\frac{720}{π}

，沒有度的記號；沒有單位的角就是弧度，而

\frac{720}{π} \approx 229.2

弳並不等於

4

弳，所以照卷面所印，錯。(4)

3 π - (- π) = 4 π

，是

2 π

的整數倍，兩角為同界角，對。(5) 坐標平面只有四個象限，沒有第五象限；

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 5 < 2 π \approx 6.28

，

5

弳是第四象限角，錯。答案 (1)(4)。

選項 (3) 若右邊有度的記號（

\frac{72 0 ^{\circ}}{π}

）就是正確的換算；卷面沒有印，同一題的選項 (1)、(2) 則都有印，學校答案也沒有選 (3)。寫角度時，有沒有「度」的記號意思完全不同。

第 2 題同界角與

\frac{π}{4}

的差必須是

2 π = \frac{8 π}{4}

的整數倍。(1)

\frac{3 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{4}

，不是，錯。(2)

\frac{5 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{4 π}{4} = π

，不是，錯。(3)

\frac{17 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{16 π}{4} = 4 π

，對。(4)

\frac{π}{4} - (- \frac{π}{4}) = \frac{2 π}{4}

，不是，錯。(5)

\frac{π}{4} - (- \frac{7 π}{4}) = \frac{8 π}{4} = 2 π

，對。答案 (3)(5)。

題幹寫「哪一個」，但這一大題是多重選擇，符合的有兩個。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；判斷同界角就看兩角的差是不是

2 π

的整數倍。

02多選第 3～6 題：正弦函數的性質、平移、伸縮、正負

第 3 題(1)(2)

sin x

的值在

- 1

與

1

之間，在

x = \frac{3 π}{2}

取到

- 1

、在

x = \frac{π}{2}

取到

1

，所以最小值

- 1

、最大值

1

，都對。(3)

sin (- x) = - sin x

，點

(x, y)

在圖形上時

(- x, - y)

也在圖形上，圖形對稱於原點，對。(4) 若對稱於

y

軸，要有

sin (- x) = sin x

；取

x = \frac{π}{2}

，

sin (- \frac{π}{2}) = - 1 \neq = 1

，錯。(5)

sin (x + 2 π) = sin x

，而且沒有更小的正數有這個性質，週期為

2 π

，對。答案 (1)(2)(3)(5)。

第 4 題往左平移

\frac{π}{4}

：把

x

換成

x + \frac{π}{4}

，得

y = sin (x + \frac{π}{4})

。再向上平移

2

：整個函數值加

2

，得

y = sin (x + \frac{π}{4}) + 2

，這就是選項 (1)。(2) 後面是

- 2

，是向下平移，錯。(3) 括號裡是

x - \frac{π}{4}

，是往右平移

\frac{π}{4}

，與往左

\frac{π}{4}

相差

\frac{π}{2}

，不是同一個圖形，錯。(4) 往右又向下，錯。(5)

x - \frac{7 π}{4} = (x + \frac{π}{4}) - 2 π

，正弦函數的週期是

2 π

，所以

sin (x - \frac{7 π}{4}) = sin (x + \frac{π}{4})

，與 (1) 是同一個函數，對。答案 (1)(5)。

往左移

\frac{π}{4}

與往右移

2 π - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4}

得到同一個圖形。

第 5 題水平伸縮

3

倍：圖形上每一點的

x

坐標變成

3

倍，式子裡要把

x

換成

\frac{x}{3}

，得

y = sin \frac{x}{3}

（週期由

2 π

變成

6 π

）。再鉛直伸縮

2

倍：每一點的

y

坐標變成

2

倍，得

y = 2 sin \frac{x}{3}

，這是選項 (3)。(1)

y = 2 sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

，是水平伸縮

\frac{1}{3}

倍，錯。(2)

y = 3 sin 2 x

是水平

\frac{1}{2}

倍、鉛直

3

倍，錯。(4)

y = 3 sin \frac{x}{2}

是水平

2

倍、鉛直

3

倍，錯。(5)

y = sin \frac{2 x}{3}

是水平

\frac{3}{2}

倍，鉛直沒有伸縮，錯。答案 (3)。

水平伸縮

k

倍是把

x

換成

\frac{x}{k}

，不是換成

k x

。

第 6 題取近似值

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

。角在

0

與

π

之間（第一、二象限）時正弦值為正，在

π

與

2 π

之間（第三、四象限）時正弦值為負。(1)

0 < 1 < π

，

sin 1 > 0

，對。(2)

0 < 2 < π

，

sin 2 > 0

，對。(3)

0 < 3 < π

，

sin 3 > 0

，對。(4)

π < 4 < 2 π

，

sin 4 < 0

，錯。(5)

π < 5 < 2 π

，

sin 5 < 0

，錯。答案 (1)(2)(3)。

3

很接近

π

但還沒到，所以

sin 3

是很小的正數（約

0.14

）。

平移看加減、伸縮看乘除：動

x

的都要「反過來」寫，動

y

的照著寫。

03填選 A、B、C（第 7～9 題）：弧與弦圍成的區域、特殊角的值、扇形

第 7 題設圓心為

O

。正三角形的三個頂點把圓周三等分，所以

∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = \frac{2 π}{3}

。先求邊長：在等腰三角形

O A C

中

\overline{O A} = \overline{O C} = 2

，從

O

作

\overline{A C}

的垂線，垂足

M

是

\overline{A C}

的中點，

∠ A O M = \frac{π}{3}

，

\overline{A M} = 2 sin \frac{π}{3} = 3

，所以

\overline{A C} = \overline{B C} = 23

。(1) 弧

A B

的長

= r θ = 2 \times \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

，周長

= \overline{A C} + \overline{B C} +

弧

A B = 43 + \frac{4 π}{3}

。(2) 連

\overline{O A}

、

\overline{O B}

，區域拆成扇形

O A B

與兩個三角形

O A C

、

O B C

。扇形

O A B = \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

；

△ O A C = \frac{1}{2} \times \overline{A C} \times \overline{O M} = \frac{1}{2} \times 23 \times 1 = 3

（

\overline{O M} = 2 cos \frac{π}{3} = 1

），

△ O B C

也是

3

。面積

= \frac{4 π}{3} + 23

，即

23 + \frac{4 π}{3}

。

附圖用粗線圍出的區域是「弧

A B

、

\overline{A C}

、

\overline{B C}

」，周長不包含

\overline{A B}

。面積也可以用正三角形

A B C

（

33

）加上弦

A B

上方的弓形（

\frac{4 π}{3} - 3

）來算，結果相同。

第 8 題逐項求值：

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

，

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，

sin \frac{π}{2} = 1

。

\frac{2 π}{3}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{3}

，正弦為正：

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

。

\frac{5 π}{6}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{6}

：

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

。

cos π = - 1

。

\frac{5 π}{4}

是第三象限角，參考角

\frac{π}{4}

，正切為正：

tan \frac{5 π}{4} = 1

。乘積

= \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 1 \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \times (- 1) \times 1 = - \frac{3}{16}

。

七個因數裡只有

cos π

是負的，所以乘積是負的。

第 9 題扇形的周長是兩條半徑加一段弧：

20 = 4 + 4 +

弧長，所以弧長

= 12

。(1) 弧長

= r θ

，

12 = 4 θ

，圓心角

θ = 3

弳。(2) 面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 4^{2} \times 3 = 24

（也可以用

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 4 \times 12 = 24

）。

周長別忘了兩條半徑。

3

弳小於

2 π

，是一個合理的扇形。

弧長

= r θ

、扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

，圓心角一律用弧度；不規則的區域拆成扇形與三角形。

04填選 D（第 10 題）：三個外切圓中間的區域

第 10 題兩圓外切時，連心線長等於半徑和，而且切點在連心線上：

\overline{A B} = 1 + 2 = 3

，

\overline{A C} = 1 + 3 = 4

，

\overline{B C} = 2 + 3 = 5

。因為

3^{2} + 4^{2} = 5^{2}

，

△ A B C

是直角三角形，

∠ A = \frac{π}{2}

；又

∠ B = θ

，所以

∠ C = π - \frac{π}{2} - θ = \frac{π}{2} - θ

。中間的區域由三段弧圍成，每一段弧都在三角形內，分別是三個圓在

∠ A

、

∠ B

、

∠ C

內的那一段。(1) 三段弧長：圓

A

上

1 \times \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

；圓

B

上

2 \times θ = 2 θ

；圓

C

上

3 \times (\frac{π}{2} - θ) = \frac{3 π}{2} - 3 θ

。周長

= \frac{π}{2} + 2 θ + \frac{3 π}{2} - 3 θ = 2 π - θ

，所以

a = 2

、

b = - 1

，

a \times b = - 2

。(2) 區域面積

= △ A B C -

三個扇形。

△ A B C = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6

；扇形

A = \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{π}{2} = \frac{π}{4}

；扇形

B = \frac{1}{2} \times 2^{2} \times θ = 2 θ

；扇形

C = \frac{1}{2} \times 3^{2} \times (\frac{π}{2} - θ) = \frac{9 π}{4} - \frac{9 θ}{2}

。面積

= 6 - \frac{π}{4} - 2 θ - \frac{9 π}{4} + \frac{9 θ}{2} = 6 - \frac{5 π}{2} + \frac{5 θ}{2}

，所以

c = 6

、

d = - \frac{5}{2}

、

e = \frac{5}{2}

，

c + d + e = 6

。

∠ C

要用

θ

表示成

\frac{π}{2} - θ

，才能整理成題目要的形式；係數

b

、

d

是負的，別漏掉負號。附圖沒有塗色，粗線圍出的就是所求的區域。

外切的圓，圓心連線通過切點；圓與圓之間的空隙

=

圓心連成的三角形

-

各個扇形。

05填選 E、F（第 11、12 題）：兩個圖形的交點個數、週期

第 11 題把兩個圖形畫在同一張圖上，分段比較高低。

y = sin 2 x + 1

的值在

0

與

2

之間，週期是

π

。先看

π \leq x \leq 2 π

：這裡

sin x \leq 0

，而

sin 2 x + 1 \geq 0

，要相交只能兩邊同時等於

0

；但

sin x = 0

發生在

x = π

、

2 π

，這兩處

sin 2 x + 1 = 1

，所以這一段沒有交點。再看

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

：這裡

2 x

在

0

與

π

之間，

sin 2 x \geq 0

，所以

sin 2 x + 1 \geq 1 \geq sin x

，要相交只能兩邊同時等於

1

，即

sin x = 1

且

sin 2 x = 0

，只有

x = \frac{π}{2}

，得第

1

個交點

(\frac{π}{2}, 1)

。接著看

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}

：令

x = \frac{π}{2} + u

（

0 < u < \frac{π}{4}

），則

sin x = cos u

、

sin 2 x + 1 = 1 - sin 2 u

。在單位圓上，直角三角形兩股的和大於斜邊，所以

sin u + cos u > 1

，即

1 - cos u < sin u

；又

u < 2 u < \frac{π}{2}

，

sin u < sin 2 u

。於是

1 - sin 2 u < 1 - sin u < cos u

，也就是

sin 2 x + 1 < sin x

，這一段沒有交點。最後看

\frac{3 π}{4} \leq x \leq π

：

sin x

由

\frac{2}{2}

一路下降到

0

，

sin 2 x + 1

由

0

一路上升到

1

，一個由高往低、一個由低往高，恰好相交一次，得第

2

個交點。合計

2

個交點。

x = \frac{π}{2}

是一個容易漏掉的交點：兩個函數在那裡的值都是

1

。考試時畫出兩條曲線（描

0

、

\frac{π}{4}

、

\frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{4}

、

π

等幾個點）就能看出交點只有兩個，上面是把圖上看到的情形逐段說清楚。

第 12 題

y = a sin (b x + c) + d

的週期只由

x

的係數決定，等於

\frac{2 π}{∣ b ∣}

。這裡

x

的係數是

\frac{1}{4}

，週期

= 2 π \div \frac{1}{4} = 8 π

，格內填

8

。

前面的

3

（振幅）、括號裡的

- 2 π

（左右平移）、後面的

+ 5

（上下平移）都不影響週期。

06填選 G、H（第 13、14 題）：交流電、正弦方程式的解

第 13 題(1)

t

的係數是

20 π

，週期

= \frac{2 π}{20 π} = \frac{1}{10}

秒。(2)

sin

的值最小是

- 1

，所以

I

的最小值是

4 \times (- 1) = - 4

安培。(3) 代入

t = \frac{1}{20}

：

20 π \times \frac{1}{20} + \frac{π}{3} = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}

。

\frac{4 π}{3}

是第三象限角，參考角

\frac{π}{3}

，正弦為負：

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

，所以

I = 4 \times (- \frac{3}{2}) = - 23

安培。

t = \frac{1}{20}

秒恰好是半個週期，所以這時的電流與

t = 0

時的

4 sin \frac{π}{3} = 23

大小相同、方向相反。

第 14 題

sin x = - \frac{1}{2}

是負的，解落在正弦曲線位於

x

軸下方的區間。在

- π \leq x \leq π

內，這樣的區間只有

(- π, 0)

，水平線

y = - \frac{1}{2}

與這一段波谷交於

2

點，所以有

2

個解。參考角是

\frac{π}{6}

（

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

），兩個解是

x = - \frac{π}{6}

與

x = - π + \frac{π}{6} = - \frac{5 π}{6}

。總和

= - \frac{π}{6} - \frac{5 π}{6} = - π

。

也可以不求出解：

(- π, 0)

這一段圖形對稱於直線

x = - \frac{π}{2}

，兩個解的平均是

- \frac{π}{2}

，和就是

- π

。範圍是

- π

到

π

，不要寫成

\frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

。

y = a sin (b x + c) + d

：週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

，最大、最小值是

d \pm ∣ a ∣

；解方程式先看題目給的範圍。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

蘭陽女中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

蘭陽女中 112 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 14 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選第 1、2 題：度與弧度、同界角

02多選第 3～6 題：正弦函數的性質、平移、伸縮、正負

03填選 A、B、C（第 7～9 題）：弧與弦圍成的區域、特殊角的值、扇形

04填選 D（第 10 題）：三個外切圓中間的區域

05填選 E、F（第 11、12 題）：兩個圖形的交點個數、週期

06填選 G、H（第 13、14 題）：交流電、正弦方程式的解

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

蘭陽女中 112 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

蘭陽女中 112 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

蘭陽女中 112 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 14 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選第 1、2 題：度與弧度、同界角

02多選第 3～6 題：正弦函數的性質、平移、伸縮、正負

03填選 A、B、C（第 7～9 題）：弧與弦圍成的區域、特殊角的值、扇形

04填選 D（第 10 題）：三個外切圓中間的區域

05填選 E、F（第 11、12 題）：兩個圖形的交點個數、週期

06填選 G、H（第 13、14 題）：交流電、正弦方程式的解

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

蘭陽女中 112 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

蘭陽女中 112 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

蘭陽女中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

蘭陽女中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

蘭陽女中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

蘭陽女中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

蘭陽女中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

蘭陽女中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？