段考詳解範圍：常用對數、直線方程式與二元一次不等式、圓方程式、圓與直線的關係

蘭陽女中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

單選題 5 題、多選題 2 題、選填題基礎 10 小題（每小題 3 分）、選填題 D、E、F（卷面印每小題 5 分、共 15 分；E 有兩格，本站列為第 19、20 題）、計算題 2 題（第 1 題三小題各 4 分、第 2 題 8 分）。本站題號：選填 A 為第 8～10 題，B 為第 11～14 題，C 為第 15～17 題，D 為第 18 題，E 為第 19、20 題，F 為第 21 題，計算題 1 為第 22～24 題，計算題 2 為第 25 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，3 題不同：第 15～17 題學校所附答案代回題目不成立，本頁照題目計算並註明學校答案；第 25 題學校未附答案。

一、單選題：(每題 5 分，共 25 分)

1 0^{l o g 10} =

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $2$
(3) $\frac{10}{10}$
(4) $10$
(5) 無意義

若已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 2 + lo g 5 = 1

，

a = 2^{37}

，

b = 3^{23}

，

c = 5^{17}

，則下列選項何者正確？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $c > a > b$
(5) $c > b > a$

若已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，求

6^{100}

為幾位數？

(1) $77$
(2) $78$
(3) $79$
(4) $100$
(5) $101$

如下圖四邊形 ABCD 各邊及對角線各線段中，何者斜率最小？

(1) $\overline{A B}$
(2) $\overline{A C}$
(3) $\overline{A D}$
(4) $\overline{B C}$
(5) $\overline{B D}$

載入中...

圓 C：

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 25

上的所有點中，距離直線 L：

3 x + 4 y + 5 = 0

恰好為

3

的點，共有幾個？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $0$ 個

二、多選題：(每題 5 分，共 10 分)

已知平面上有一圓，若

(10, 9)

、

(- 8, - 5)

兩點恰為其一直徑的兩端點，則下列哪些點也在此圓上？

(1) $(- 8, - 11)$
(2) $(8, 11)$
(3) $(- 6, 11)$
(4) $(4, 13)$
(5) $(4, - 9)$

設一直線

L

：

x + y + a = 0

切圓

C

：

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + b = 0

於點

A (c, - 1)

，則下列選項，哪些正確？

(1) $a = 1$
(2) $a = 2$
(3) $b = 1$
(4) $b = 3$
(5) $c = 2$

三、選填題基礎：(每小題 3 分，共 30 分)

選填 A（第 8～10 題）（第 8～10 題）　求下列各小題中直線的斜率：

(1) 過兩點

(3, 7)

、

(- 2, - 3)

直線的斜率為 ____。

(2) 與直線

2 x + 3 y = 11

垂直的直線斜率為 ____。

(3) 圓 C：

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 13

過點

(4, 2)

的切線斜率為 ____。

選填 B（第 11～14 題）（第 11～14 題）　求出符合下列各小題中的條件的直線方程式：

(1) 過

(3, 5)

斜率為

2

的直線，方程式為 ____

x +

____

y + 1 = 0

。

(2) 過

(1, 3)

且與直線

5 x - 2 y - 19 = 0

平行的直線，方程式為 ____

x +

____

y + 1 = 0

。

(3) 過

(1, 3)

且與直線

x + 2 y - 29 = 0

垂直的直線，方程式為 ____

x +

____

y + 1 = 0

。

(4)

x

截距為

- 3

，

y

截距為

5

的直線，方程式為 ____

x +

____

y +

____

= 0

。

選填 C（第 15～17 題）（第 15～17 題）　求出符合下列個小題中條件的圓方程式：

(1) 圓心在

(- 1, - 2)

，半徑

3

的圓，方程式為

x^{2} + y^{2} +

____

x +

____

y +

____

= 0

。

(2) 圓心在

(3, - 1)

，且過原點

(0, 0)

的圓，方程式為

x^{2} + y^{2} +

____

x +

____

y +

____

= 0

。

(3) 直徑的兩端分別為

(1, - 2)

、

(- 2, - 4)

的圓，方程式為

x^{2} + y^{2} +

____

x +

____

y +

____

= 0

四、選填題：(每小題 5 分，共 15 分)

D. 若

a = lo g 7

，

b = lo g 13

，則

1 0^{1 + a + b} =

____。

選填 E（第 19～20 題）（第 19～20 題）　已知平面上三點

A (2, 5)

、

B (- 1, 3)

、

C (3, 1)

，求：

(1) 過

A

點的高為 ____。

(2)

△ A B C

面積為 ____。

F. 在坐標平面上

A (0, 7)

處有一點光源，將圓

x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y + 12 = 0

投射在

x

軸上，則此圓在

x

軸上的陰影長度為 ____。

五、計算題: (非選題部分請使用黑色墨水的原子筆，直線請以直尺輔助，使用鉛筆或其他顏色者不予計分。)

計算題 1（第 22～24 題）（第 22～24 題）　已知平面上有一

△ A B C

，其中

A (\frac{- 3}{5}, \frac{16}{5})

，

∠ B

的內角平分線為

L_{1}

：

x + y = 5

，

∠ C

的內角平分線為

L_{2}

：

x = 1

，試完成下列各題：

(1) 求點 A 對於直線

L_{1}

：

x + y = 5

的對稱點座標。(4%)

(2) 求直線 BC 的斜率。(4%)

(3) 求 B 點座標。(4%)

圖示二元一次聯立不等式

{x + y - 3 > 0 x - 2 y + 3 \geq 0

的解，圖形中要標出交點座標，邊界上含交點最少要標出兩個點。(8%)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(4)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(2)

第 6 題(2)(3)(4)(5)

第 7 題(4)(5)

第 8 題

2

第 9 題

\frac{3}{2}

第 10 題

- \frac{2}{3}

第 11 題

- 2 x + y + 1 = 0

（即

2 x - y - 1 = 0

）

第 12 題

5 x - 2 y + 1 = 0

第 13 題

2 x - y + 1 = 0

第 14 題

5 x - 3 y + 15 = 0

第 15 題

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 4 = 0

（學校答案印

+ 14

）

第 16 題

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y = 0

（學校答案印

+ 6 x - 2 y

）

第 17 題

x^{2} + y^{2} + x + 6 y + 6 = 0

（學校答案印

- x - 6 y + 6

）

第 18 題

910

第 19 題

\frac{7}{5}

第 20 題

7

第 21 題

\frac{35}{2}

第 22 題

(\frac{9}{5}, \frac{28}{5})

第 23 題

- 3

第 24 題

(3, 2)

第 25 題交點

(1, 2)

（不含），區域見詳解附圖

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：log 的意義、用對數比大小、位數、斜率、圓上到直線定距離的點

第 1 題答案 (4)。

lo g 10 = lo g 1 0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

，所以

1 0^{l o g 10} = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10

。

一般地，

x > 0

時

1 0^{l o g x} = x

：

lo g x

就是「

10

的幾次方等於

x

」。

第 2 題

答案 (4)。由 $lo g 2 + lo g 5 = 1$ 得 $lo g 5 \approx 1 - 0.3010 = 0.6990$ 。

$lo g a = 37 lo g 2 \approx 37 \times 0.3010 = 11.137$

$lo g b = 23 lo g 3 \approx 23 \times 0.4771 = 10.9733$

$lo g c = 17 lo g 5 \approx 17 \times 0.6990 = 11.883$

$lo g c > lo g a > lo g b$ ，而 $10$ 為底時對數越大、真數越大，所以 $c > a > b$ 。

三個數的指數不同、底數也不同，直接比不了；取對數後變成比較三個小數。

第 3 題

答案 (2)。 $lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781$ ，所以 $lo g 6^{100} = 100 lo g 6 \approx 77.81$ 。

即 $6^{100} \approx 1 0^{77.81}$ ，介於 $1 0^{77}$ 與 $1 0^{78}$ 之間，是 $78$ 位數。

lo g N

的整數部分是

n

時，

N

是

n + 1

位數。

第 4 題

答案 (4)。圖中 $\overline{A D}$ 垂直 $x$ 軸，從 $B$ 畫到 $x$ 軸的虛線也垂直 $x$ 軸，而 $C$ 在這條虛線的右側、比 $B$ 低。

$\overline{A D}$ 是鉛直線，斜率不存在。 $\overline{A B}$ 、 $\overline{B D}$ 由左往右上升，斜率為正； $\overline{A C}$ 、 $\overline{B C}$ 由左往右下降，斜率為負。

比較兩個負的：從 $A$ 到 $C$ 向右走得多、下降得少，斜率接近 $0$ ；從 $B$ 到 $C$ 只向右一點點就下降很多，斜率是絕對值很大的負數。所以 $\overline{B C}$ 的斜率最小。

負斜率的線越陡，斜率越小；正斜率的線越陡，斜率越大。

第 5 題

答案 (2)。圓心 $(2, 1)$ ，半徑 $5$ 。圓心到 $L$ 的距離 $= \frac{∣3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 5∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{15}{5} = 3$ 。

到 $L$ 距離恰為 $3$ 的點，落在與 $L$ 平行、相距 $3$ 的兩條直線上：一條在圓心那一側，因為圓心到 $L$ 正好是 $3$ ，這條直線通過圓心，和圓交於 $2$ 點；另一條在 $L$ 的另一側，到圓心的距離是 $3 + 3 = 6 > 5$ ，和圓沒有交點。

共 $2$ 個點。

這類題先算圓心到直線的距離

d

，再把兩條平行線到圓心的距離

∣ d \pm 3∣

拿來和半徑比。

比較大數或求位數，先取常用對數；圓上到直線距離為定值的點，就是兩條平行線與圓的交點。

02多選 6～7：以兩點為直徑的圓、切線與半徑垂直

第 6 題

答案 (2)(3)(4)(5)。圓心是直徑兩端的中點 $(\frac{10 - 8}{2}, \frac{9 - 5}{2}) = (1, 2)$ ，半徑平方 $= (10 - 1)^{2} + (9 - 2)^{2} = 81 + 49 = 130$ 。圓為 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 130$ ，逐點代入：

(1) 錯誤。 $(- 9)^{2} + (- 13)^{2} = 81 + 169 = 250 \neq = 130$ 。

(2) 正確。 $7^{2} + 9^{2} = 49 + 81 = 130$ 。

(3) 正確。 $(- 7)^{2} + 9^{2} = 49 + 81 = 130$ 。

(4) 正確。 $3^{2} + 1 1^{2} = 9 + 121 = 130$ 。

(5) 正確。 $3^{2} + (- 11)^{2} = 9 + 121 = 130$ 。

第 7 題

答案 (4)(5)。圓 $C$ 配方： $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5 - b$ ，圓心 $P (1, - 2)$ 。切點 $A$ 和圓心的連線垂直切線 $L$ ， $L$ 的斜率是 $- 1$ ，所以 $\overline{P A}$ 的斜率是 $1$ ： $\frac{- 1 - ( - 2 )}{c - 1} = 1$ ，得 $c = 2$ 。

$A (2, - 1)$ 在 $L$ 上： $2 - 1 + a = 0$ ， $a = - 1$ 。 $A$ 在圓上： $4 + 1 - 4 - 4 + b = 0$ ， $b = 3$ 。

(1) 錯誤。 $a = - 1$ 。

(2) 錯誤。 $a = - 1$ 。

(3) 錯誤。 $b = 3$ 。

(4) 正確。

(5) 正確。

驗算：半徑平方

5 - 3 = 2

，圓心到

L

的距離

\frac{∣1 - 2 - 1∣}{2} = 2

，等於半徑，確實相切。

03選填 8～10（原卷 A）：斜率

第 8 題斜率

= \frac{7 - ( - 3 )}{3 - ( - 2 )} = \frac{10}{5} = 2

。

第 9 題

2 x + 3 y = 11

的斜率是

- \frac{2}{3}

。兩直線垂直時斜率相乘為

- 1

，所求斜率是

\frac{3}{2}

。

第 10 題先確認

(4, 2)

在圓上：

(4 - 2)^{2} + (2 + 1)^{2} = 4 + 9 = 13

，是。圓心

(2, - 1)

到切點

(4, 2)

的半徑斜率是

\frac{2 + 1}{4 - 2} = \frac{3}{2}

，切線垂直半徑，斜率是

- \frac{2}{3}

。

04選填 11～14（原卷 B）：直線方程式

第 11 題點斜式：

y - 5 = 2 (x - 3)

，整理得

2 x - y - 1 = 0

。題目要常數項是

+ 1

，兩邊乘以

- 1

：

- 2 x + y + 1 = 0

，兩格依序是

- 2

、

1

。

學校答案寫

2 x - y - 1 = 0

，和

- 2 x + y + 1 = 0

是同一條直線。

第 12 題平行線的

x

、

y

係數相同，設為

5 x - 2 y + k = 0

。代入

(1, 3)

：

5 - 6 + k = 0

，

k = 1

。方程式

5 x - 2 y + 1 = 0

。

第 13 題

x + 2 y - 29 = 0

的斜率是

- \frac{1}{2}

，垂直線斜率是

2

，可設為

2 x - y + k = 0

。代入

(1, 3)

：

2 - 3 + k = 0

，

k = 1

。方程式

2 x - y + 1 = 0

。

第 14 題截距式：

\frac{x}{- 3} + \frac{y}{5} = 1

。兩邊乘以

- 15

：

5 x - 3 y = - 15

，即

5 x - 3 y + 15 = 0

。

驗算：

y = 0

時

x = - 3

，

x = 0

時

y = 5

。

與

a x + b y + c = 0

平行的直線設

a x + b y + k = 0

，垂直的設

b x - a y + k = 0

，再代點求

k

。

05選填 15～17（原卷 C）：圓方程式

第 15 題標準式

(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9

，展開：

x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} + 4 y + 4 = 9

，整理得

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 4 = 0

。

學校答案頁印

x^{2} + 0 x y + y^{2} + 2 x + 4 y + 14 = 0

；但這個式子配方後是

(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = - 9

，不是圓，代回不成立。本頁照題目計算為

- 4

。

第 16 題半徑是圓心到原點的距離：

r^{2} = 3^{2} + (- 1)^{2} = 10

。

(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 10

展開：

x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} + 2 y + 1 = 10

，即

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y = 0

。

學校答案頁印

x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y = 0

，它的圓心是

(- 3, 1)

，與題目的圓心

(3, - 1)

不同。本頁照題目計算。

第 17 題

以兩點為直徑的圓：圓上任一點 $P (x, y)$ 與兩端點所成的角是直角，可寫成 $(x - 1) (x + 2) + (y + 2) (y + 4) = 0$ 。

展開： $x^{2} + x - 2 + y^{2} + 6 y + 8 = 0$ ，即 $x^{2} + y^{2} + x + 6 y + 6 = 0$ 。

也可以用中點

(- \frac{1}{2}, - 3)

當圓心、半徑平方

\frac{13}{4}

寫標準式再展開，結果相同。學校答案頁把兩端印成

(- 1, 2)

、

(2, 4)

，答案

x^{2} + y^{2} - x - 6 y + 6 = 0

是那兩點的圓；試題卷的兩端是

(1, - 2)

、

(- 2, - 4)

，本頁照試題卷計算。

寫出標準式再展開最穩；直徑兩端

(x_{1}, y_{1})

、

(x_{2}, y_{2})

的圓可以直接寫

(x - x_{1}) (x - x_{2}) + (y - y_{1}) (y - y_{2}) = 0

。

06選填 18～21（原卷 D、E、F）：指數與對數、點到直線距離、陰影長

第 18 題

a = lo g 7

表示

1 0^{a} = 7

，同理

1 0^{b} = 13

。

1 0^{1 + a + b} = 1 0^{1} \times 1 0^{a} \times 1 0^{b} = 10 \times 7 \times 13 = 910

。

第 19 題

直線 $B C$ 的斜率 $= \frac{1 - 3}{3 - ( - 1 )} = - \frac{1}{2}$ ，方程式 $y - 3 = - \frac{1}{2} (x + 1)$ ，整理得 $x + 2 y - 5 = 0$ 。

過 $A$ 的高就是 $A$ 到直線 $B C$ 的距離： $\frac{∣2 + 2 \cdot 5 - 5∣}{1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{7}{5}$ 。

作答格的形式是「分子在上、根號在分母」，所以寫

\frac{7}{5}

；有理化後是

\frac{7 5}{5}

。

第 20 題

\overline{B C} = 4^{2} + 2^{2} = 25

。面積

= \frac{1}{2} \times 25 \times \frac{7}{5} = 7

。

第 21 題

圓配方： $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 5$ ，圓心 $(- 1, 4)$ ，半徑 $5$ 。陰影的兩端是光源向圓畫的兩條切線與 $x$ 軸的交點。

過 $(0, 7)$ 的切線設為 $y = m x + 7$ ，即 $m x - y + 7 = 0$ （鉛直線 $x = 0$ 到圓心距離 $1 < 5$ ，不是切線）。圓心到切線的距離等於半徑： $\frac{∣ - m - 4 + 7∣}{m ^{2} + 1} = 5$ 。

平方得 $(3 - m)^{2} = 5 (m^{2} + 1)$ ，整理成 $2 m^{2} + 3 m - 2 = 0$ ， $(2 m - 1) (m + 2) = 0$ ， $m = \frac{1}{2}$ 或 $- 2$ 。

令 $y = 0$ ： $m = \frac{1}{2}$ 時 $x = - 14$ ； $m = - 2$ 時 $x = \frac{7}{2}$ 。陰影長 $= \frac{7}{2} - (- 14) = \frac{35}{2}$ 。

圓的最高點

y = 4 + 5 \approx 6.24

，低於光源的

7

，所以光源在圓的上方、影子落在

x

軸上是一段線段。

點光源的影子由兩條切線決定：設過光源的直線，用「圓心到直線距離＝半徑」求兩個斜率。

07計算題 22～25：角平分線與對稱點、二元一次聯立不等式

第 22 題

設對稱點 $A^{'} (p, q)$ 。 $\overline{A A^{'}}$ 垂直 $L_{1}$ （ $L_{1}$ 斜率 $- 1$ ），所以 $\overline{A A^{'}}$ 斜率 $1$ ： $q - \frac{16}{5} = p + \frac{3}{5}$ ，即 $q - p = \frac{19}{5}$ 。

$\overline{A A^{'}}$ 的中點在 $L_{1}$ 上： $\frac{p - \frac{3}{5}}{2} + \frac{q + \frac{16}{5}}{2} = 5$ ，即 $p + q = \frac{37}{5}$ 。

兩式相加減得 $q = \frac{28}{5}$ ， $p = \frac{9}{5}$ ，對稱點為 $(\frac{9}{5}, \frac{28}{5})$ 。

第 23 題

$L_{1}$ 是 $∠ B$ 的平分線，把射線 $B A$ 對 $L_{1}$ 鏡射會落在射線 $B C$ 上，所以第 (1) 題的 $A^{'} (\frac{9}{5}, \frac{28}{5})$ 在直線 $B C$ 上。

同理， $A$ 對 $L_{2}$ ： $x = 1$ 的對稱點 $A^{''} (2 - (- \frac{3}{5}), \frac{16}{5}) = (\frac{13}{5}, \frac{16}{5})$ 也在直線 $B C$ 上。

直線 $B C$ 的斜率 $= \frac{\frac{28}{5} - \frac{16}{5}}{\frac{9}{5} - \frac{13}{5}} = \frac{\frac{12}{5}}{- \frac{4}{5}} = - 3$ 。

第 24 題

直線 $B C$ 過 $A^{''} (\frac{13}{5}, \frac{16}{5})$ 、斜率 $- 3$ ： $y - \frac{16}{5} = - 3 (x - \frac{13}{5})$ ，整理得 $y = - 3 x + 11$ 。

$B$ 是 $B C$ 與 $L_{1}$ 的交點：代入 $x + y = 5$ 得 $x - 3 x + 11 = 5$ ， $x = 3$ ， $y = 2$ 。 $B (3, 2)$ 。

順帶可得

C

是

B C

與

x = 1

的交點

(1, 8)

。驗算：

B (3, 2)

到

A

的距離與到

A^{'}

的距離都是

\frac{6 10}{5}

，且

A

、

C

分在

L_{1}

的兩側，

L_{1}

確實是

∠ B

的內角平分線。

第 25 題

兩條邊界： $x + y - 3 = 0$ （不含等號，畫虛線）與 $x - 2 y + 3 = 0$ （含等號，畫實線）。聯立 $x + y = 3$ 、 $x - 2 y = - 3$ ，相減得 $3 y = 6$ ，交點 $(1, 2)$ 。

取不在兩線上的點 $(3, 1)$ 試： $3 + 1 - 3 = 1 > 0$ ， $3 - 2 + 3 = 4 \geq 0$ ，兩式都成立，所以解是 $(3, 1)$ 所在的那一塊：直線 $x + y - 3 = 0$ 的右上方、直線 $x - 2 y + 3 = 0$ 的右下方，也就是以 $(1, 2)$ 為頂點向右張開的區域（如附圖）。

邊界上的點：實線上 $x > 1$ 的部分包含在內，例如 $(3, 3)$ ；虛線不包含，例如 $(3, 0)$ 不在解內；交點 $(1, 2)$ 在虛線上，所以也不包含，畫空心點。

載入中...

附圖是本站所畫的參考答案，學校答案頁沒有附這一題的答案。標點時交點

(1, 2)

一定要標，另外在實線上再標一點如

(3, 3)

。

角平分線的題目常用「一邊上的點對平分線的對稱點落在另一邊上」；畫不等式區域先畫邊界（有等號實線、沒有虛線），再拿一個點試哪一側。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

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常見問題

蘭陽女中 113 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 113 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要看出 C 在 B 正下方虛線的右側，BC 是又陡又往下的線段；第 5 題圓心到直線的距離剛好等於 3，要分兩條平行線討論；原卷 B(1) 要配合作答格把常數項調成正 1；原卷 F（本頁第 21 題）要設過光源的切線用距離公式解斜率；計算題 1 要用角平分線的對稱點落在對邊直線上；計算題 2 的交點在虛線上，不包含在解內。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自蘭陽女中 113 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：常用對數、直線方程式與二元一次不等式、圓方程式、圓與直線的關係

蘭陽女中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《數與式》、《直線與圓》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

一、單選題：(每題 5 分，共 25 分)

1 0^{l o g 10} =

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $2$
(3) $\frac{10}{10}$
(4) $10$
(5) 無意義

若已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 2 + lo g 5 = 1

，

a = 2^{37}

，

b = 3^{23}

，

c = 5^{17}

，則下列選項何者正確？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $c > a > b$
(5) $c > b > a$

若已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，求

6^{100}

為幾位數？

(1) $77$
(2) $78$
(3) $79$
(4) $100$
(5) $101$

如下圖四邊形 ABCD 各邊及對角線各線段中，何者斜率最小？

(1) $\overline{A B}$
(2) $\overline{A C}$
(3) $\overline{A D}$
(4) $\overline{B C}$
(5) $\overline{B D}$

載入中...

圓 C：

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 25

上的所有點中，距離直線 L：

3 x + 4 y + 5 = 0

恰好為

3

的點，共有幾個？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $0$ 個

二、多選題：(每題 5 分，共 10 分)

已知平面上有一圓，若

(10, 9)

、

(- 8, - 5)

兩點恰為其一直徑的兩端點，則下列哪些點也在此圓上？

(1) $(- 8, - 11)$
(2) $(8, 11)$
(3) $(- 6, 11)$
(4) $(4, 13)$
(5) $(4, - 9)$

設一直線

L

：

x + y + a = 0

切圓

C

：

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + b = 0

於點

A (c, - 1)

，則下列選項，哪些正確？

(1) $a = 1$
(2) $a = 2$
(3) $b = 1$
(4) $b = 3$
(5) $c = 2$

三、選填題基礎：(每小題 3 分，共 30 分)

選填 A（第 8～10 題）（第 8～10 題）　求下列各小題中直線的斜率：

(1) 過兩點

(3, 7)

、

(- 2, - 3)

直線的斜率為 ____。

(2) 與直線

2 x + 3 y = 11

垂直的直線斜率為 ____。

(3) 圓 C：

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 13

過點

(4, 2)

的切線斜率為 ____。

選填 B（第 11～14 題）（第 11～14 題）　求出符合下列各小題中的條件的直線方程式：

(1) 過

(3, 5)

斜率為

2

的直線，方程式為 ____

x +

____

y + 1 = 0

。

(2) 過

(1, 3)

且與直線

5 x - 2 y - 19 = 0

平行的直線，方程式為 ____

x +

____

y + 1 = 0

。

(3) 過

(1, 3)

且與直線

x + 2 y - 29 = 0

垂直的直線，方程式為 ____

x +

____

y + 1 = 0

。

(4)

x

截距為

- 3

，

y

截距為

5

的直線，方程式為 ____

x +

____

y +

____

= 0

。

選填 C（第 15～17 題）（第 15～17 題）　求出符合下列個小題中條件的圓方程式：

(1) 圓心在

(- 1, - 2)

，半徑

3

的圓，方程式為

x^{2} + y^{2} +

____

x +

____

y +

____

= 0

。

(2) 圓心在

(3, - 1)

，且過原點

(0, 0)

的圓，方程式為

x^{2} + y^{2} +

____

x +

____

y +

____

= 0

。

(3) 直徑的兩端分別為

(1, - 2)

、

(- 2, - 4)

的圓，方程式為

x^{2} + y^{2} +

____

x +

____

y +

____

= 0

四、選填題：(每小題 5 分，共 15 分)

D. 若

a = lo g 7

，

b = lo g 13

，則

1 0^{1 + a + b} =

____。

選填 E（第 19～20 題）（第 19～20 題）　已知平面上三點

A (2, 5)

、

B (- 1, 3)

、

C (3, 1)

，求：

(1) 過

A

點的高為 ____。

(2)

△ A B C

面積為 ____。

F. 在坐標平面上

A (0, 7)

處有一點光源，將圓

x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y + 12 = 0

投射在

x

軸上，則此圓在

x

軸上的陰影長度為 ____。

五、計算題: (非選題部分請使用黑色墨水的原子筆，直線請以直尺輔助，使用鉛筆或其他顏色者不予計分。)

計算題 1（第 22～24 題）（第 22～24 題）　已知平面上有一

△ A B C

，其中

A (\frac{- 3}{5}, \frac{16}{5})

，

∠ B

的內角平分線為

L_{1}

：

x + y = 5

，

∠ C

的內角平分線為

L_{2}

：

x = 1

，試完成下列各題：

(1) 求點 A 對於直線

L_{1}

：

x + y = 5

的對稱點座標。(4%)

(2) 求直線 BC 的斜率。(4%)

(3) 求 B 點座標。(4%)

圖示二元一次聯立不等式

{x + y - 3 > 0 x - 2 y + 3 \geq 0

的解，圖形中要標出交點座標，邊界上含交點最少要標出兩個點。(8%)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(4)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(2)

第 6 題(2)(3)(4)(5)

第 7 題(4)(5)

第 8 題

2

第 9 題

\frac{3}{2}

第 10 題

- \frac{2}{3}

第 11 題

- 2 x + y + 1 = 0

（即

2 x - y - 1 = 0

）

第 12 題

5 x - 2 y + 1 = 0

第 13 題

2 x - y + 1 = 0

第 14 題

5 x - 3 y + 15 = 0

第 15 題

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 4 = 0

（學校答案印

+ 14

）

第 16 題

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y = 0

（學校答案印

+ 6 x - 2 y

）

第 17 題

x^{2} + y^{2} + x + 6 y + 6 = 0

（學校答案印

- x - 6 y + 6

）

第 18 題

910

第 19 題

\frac{7}{5}

第 20 題

7

第 21 題

\frac{35}{2}

第 22 題

(\frac{9}{5}, \frac{28}{5})

第 23 題

- 3

第 24 題

(3, 2)

第 25 題交點

(1, 2)

（不含），區域見詳解附圖

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：log 的意義、用對數比大小、位數、斜率、圓上到直線定距離的點

第 1 題答案 (4)。

lo g 10 = lo g 1 0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

，所以

1 0^{l o g 10} = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10

。

一般地，

x > 0

時

1 0^{l o g x} = x

：

lo g x

就是「

10

的幾次方等於

x

」。

第 2 題

答案 (4)。由 $lo g 2 + lo g 5 = 1$ 得 $lo g 5 \approx 1 - 0.3010 = 0.6990$ 。

$lo g a = 37 lo g 2 \approx 37 \times 0.3010 = 11.137$

$lo g b = 23 lo g 3 \approx 23 \times 0.4771 = 10.9733$

$lo g c = 17 lo g 5 \approx 17 \times 0.6990 = 11.883$

$lo g c > lo g a > lo g b$ ，而 $10$ 為底時對數越大、真數越大，所以 $c > a > b$ 。

三個數的指數不同、底數也不同，直接比不了；取對數後變成比較三個小數。

第 3 題

答案 (2)。 $lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781$ ，所以 $lo g 6^{100} = 100 lo g 6 \approx 77.81$ 。

即 $6^{100} \approx 1 0^{77.81}$ ，介於 $1 0^{77}$ 與 $1 0^{78}$ 之間，是 $78$ 位數。

lo g N

的整數部分是

n

時，

N

是

n + 1

位數。

第 4 題

答案 (4)。圖中 $\overline{A D}$ 垂直 $x$ 軸，從 $B$ 畫到 $x$ 軸的虛線也垂直 $x$ 軸，而 $C$ 在這條虛線的右側、比 $B$ 低。

負斜率的線越陡，斜率越小；正斜率的線越陡，斜率越大。

第 5 題

答案 (2)。圓心 $(2, 1)$ ，半徑 $5$ 。圓心到 $L$ 的距離 $= \frac{∣3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 5∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{15}{5} = 3$ 。

共 $2$ 個點。

這類題先算圓心到直線的距離

d

，再把兩條平行線到圓心的距離

∣ d \pm 3∣

拿來和半徑比。

比較大數或求位數，先取常用對數；圓上到直線距離為定值的點，就是兩條平行線與圓的交點。

02多選 6～7：以兩點為直徑的圓、切線與半徑垂直

第 6 題

(1) 錯誤。 $(- 9)^{2} + (- 13)^{2} = 81 + 169 = 250 \neq = 130$ 。

(2) 正確。 $7^{2} + 9^{2} = 49 + 81 = 130$ 。

(3) 正確。 $(- 7)^{2} + 9^{2} = 49 + 81 = 130$ 。

(4) 正確。 $3^{2} + 1 1^{2} = 9 + 121 = 130$ 。

(5) 正確。 $3^{2} + (- 11)^{2} = 9 + 121 = 130$ 。

第 7 題

$A (2, - 1)$ 在 $L$ 上： $2 - 1 + a = 0$ ， $a = - 1$ 。 $A$ 在圓上： $4 + 1 - 4 - 4 + b = 0$ ， $b = 3$ 。

(1) 錯誤。 $a = - 1$ 。

(2) 錯誤。 $a = - 1$ 。

(3) 錯誤。 $b = 3$ 。

(4) 正確。

(5) 正確。

驗算：半徑平方

5 - 3 = 2

，圓心到

L

的距離

\frac{∣1 - 2 - 1∣}{2} = 2

，等於半徑，確實相切。

03選填 8～10（原卷 A）：斜率

第 8 題斜率

= \frac{7 - ( - 3 )}{3 - ( - 2 )} = \frac{10}{5} = 2

。

第 9 題

2 x + 3 y = 11

的斜率是

- \frac{2}{3}

。兩直線垂直時斜率相乘為

- 1

，所求斜率是

\frac{3}{2}

。

第 10 題先確認

(4, 2)

在圓上：

(4 - 2)^{2} + (2 + 1)^{2} = 4 + 9 = 13

，是。圓心

(2, - 1)

到切點

(4, 2)

的半徑斜率是

\frac{2 + 1}{4 - 2} = \frac{3}{2}

，切線垂直半徑，斜率是

- \frac{2}{3}

。

04選填 11～14（原卷 B）：直線方程式

第 11 題點斜式：

y - 5 = 2 (x - 3)

，整理得

2 x - y - 1 = 0

。題目要常數項是

+ 1

，兩邊乘以

- 1

：

- 2 x + y + 1 = 0

，兩格依序是

- 2

、

1

。

學校答案寫

2 x - y - 1 = 0

，和

- 2 x + y + 1 = 0

是同一條直線。

第 12 題平行線的

x

、

y

係數相同，設為

5 x - 2 y + k = 0

。代入

(1, 3)

：

5 - 6 + k = 0

，

k = 1

。方程式

5 x - 2 y + 1 = 0

。

第 13 題

x + 2 y - 29 = 0

的斜率是

- \frac{1}{2}

，垂直線斜率是

2

，可設為

2 x - y + k = 0

。代入

(1, 3)

：

2 - 3 + k = 0

，

k = 1

。方程式

2 x - y + 1 = 0

。

第 14 題截距式：

\frac{x}{- 3} + \frac{y}{5} = 1

。兩邊乘以

- 15

：

5 x - 3 y = - 15

，即

5 x - 3 y + 15 = 0

。

驗算：

y = 0

時

x = - 3

，

x = 0

時

y = 5

。

與

a x + b y + c = 0

平行的直線設

a x + b y + k = 0

，垂直的設

b x - a y + k = 0

，再代點求

k

。

05選填 15～17（原卷 C）：圓方程式

第 15 題標準式

(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9

，展開：

x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} + 4 y + 4 = 9

，整理得

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 4 = 0

。

學校答案頁印

x^{2} + 0 x y + y^{2} + 2 x + 4 y + 14 = 0

；但這個式子配方後是

(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = - 9

，不是圓，代回不成立。本頁照題目計算為

- 4

。

第 16 題半徑是圓心到原點的距離：

r^{2} = 3^{2} + (- 1)^{2} = 10

。

(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 10

展開：

x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} + 2 y + 1 = 10

，即

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y = 0

。

學校答案頁印

x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y = 0

，它的圓心是

(- 3, 1)

，與題目的圓心

(3, - 1)

不同。本頁照題目計算。

第 17 題

以兩點為直徑的圓：圓上任一點 $P (x, y)$ 與兩端點所成的角是直角，可寫成 $(x - 1) (x + 2) + (y + 2) (y + 4) = 0$ 。

展開： $x^{2} + x - 2 + y^{2} + 6 y + 8 = 0$ ，即 $x^{2} + y^{2} + x + 6 y + 6 = 0$ 。

也可以用中點

(- \frac{1}{2}, - 3)

當圓心、半徑平方

\frac{13}{4}

寫標準式再展開，結果相同。學校答案頁把兩端印成

(- 1, 2)

、

(2, 4)

，答案

x^{2} + y^{2} - x - 6 y + 6 = 0

是那兩點的圓；試題卷的兩端是

(1, - 2)

、

(- 2, - 4)

，本頁照試題卷計算。

寫出標準式再展開最穩；直徑兩端

(x_{1}, y_{1})

、

(x_{2}, y_{2})

的圓可以直接寫

(x - x_{1}) (x - x_{2}) + (y - y_{1}) (y - y_{2}) = 0

。

06選填 18～21（原卷 D、E、F）：指數與對數、點到直線距離、陰影長

第 18 題

a = lo g 7

表示

1 0^{a} = 7

，同理

1 0^{b} = 13

。

1 0^{1 + a + b} = 1 0^{1} \times 1 0^{a} \times 1 0^{b} = 10 \times 7 \times 13 = 910

。

第 19 題

直線 $B C$ 的斜率 $= \frac{1 - 3}{3 - ( - 1 )} = - \frac{1}{2}$ ，方程式 $y - 3 = - \frac{1}{2} (x + 1)$ ，整理得 $x + 2 y - 5 = 0$ 。

過 $A$ 的高就是 $A$ 到直線 $B C$ 的距離： $\frac{∣2 + 2 \cdot 5 - 5∣}{1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{7}{5}$ 。

作答格的形式是「分子在上、根號在分母」，所以寫

\frac{7}{5}

；有理化後是

\frac{7 5}{5}

。

第 20 題

\overline{B C} = 4^{2} + 2^{2} = 25

。面積

= \frac{1}{2} \times 25 \times \frac{7}{5} = 7

。

第 21 題

圓配方： $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 5$ ，圓心 $(- 1, 4)$ ，半徑 $5$ 。陰影的兩端是光源向圓畫的兩條切線與 $x$ 軸的交點。

平方得 $(3 - m)^{2} = 5 (m^{2} + 1)$ ，整理成 $2 m^{2} + 3 m - 2 = 0$ ， $(2 m - 1) (m + 2) = 0$ ， $m = \frac{1}{2}$ 或 $- 2$ 。

令 $y = 0$ ： $m = \frac{1}{2}$ 時 $x = - 14$ ； $m = - 2$ 時 $x = \frac{7}{2}$ 。陰影長 $= \frac{7}{2} - (- 14) = \frac{35}{2}$ 。

圓的最高點

y = 4 + 5 \approx 6.24

，低於光源的

7

，所以光源在圓的上方、影子落在

x

軸上是一段線段。

點光源的影子由兩條切線決定：設過光源的直線，用「圓心到直線距離＝半徑」求兩個斜率。

07計算題 22～25：角平分線與對稱點、二元一次聯立不等式

第 22 題

$\overline{A A^{'}}$ 的中點在 $L_{1}$ 上： $\frac{p - \frac{3}{5}}{2} + \frac{q + \frac{16}{5}}{2} = 5$ ，即 $p + q = \frac{37}{5}$ 。

兩式相加減得 $q = \frac{28}{5}$ ， $p = \frac{9}{5}$ ，對稱點為 $(\frac{9}{5}, \frac{28}{5})$ 。

第 23 題

$L_{1}$ 是 $∠ B$ 的平分線，把射線 $B A$ 對 $L_{1}$ 鏡射會落在射線 $B C$ 上，所以第 (1) 題的 $A^{'} (\frac{9}{5}, \frac{28}{5})$ 在直線 $B C$ 上。

同理， $A$ 對 $L_{2}$ ： $x = 1$ 的對稱點 $A^{''} (2 - (- \frac{3}{5}), \frac{16}{5}) = (\frac{13}{5}, \frac{16}{5})$ 也在直線 $B C$ 上。

直線 $B C$ 的斜率 $= \frac{\frac{28}{5} - \frac{16}{5}}{\frac{9}{5} - \frac{13}{5}} = \frac{\frac{12}{5}}{- \frac{4}{5}} = - 3$ 。

第 24 題

直線 $B C$ 過 $A^{''} (\frac{13}{5}, \frac{16}{5})$ 、斜率 $- 3$ ： $y - \frac{16}{5} = - 3 (x - \frac{13}{5})$ ，整理得 $y = - 3 x + 11$ 。

$B$ 是 $B C$ 與 $L_{1}$ 的交點：代入 $x + y = 5$ 得 $x - 3 x + 11 = 5$ ， $x = 3$ ， $y = 2$ 。 $B (3, 2)$ 。

順帶可得

C

是

B C

與

x = 1

的交點

(1, 8)

。驗算：

B (3, 2)

到

A

的距離與到

A^{'}

的距離都是

\frac{6 10}{5}

，且

A

、

C

分在

L_{1}

的兩側，

L_{1}

確實是

∠ B

的內角平分線。

第 25 題

兩條邊界： $x + y - 3 = 0$ （不含等號，畫虛線）與 $x - 2 y + 3 = 0$ （含等號，畫實線）。聯立 $x + y = 3$ 、 $x - 2 y = - 3$ ，相減得 $3 y = 6$ ，交點 $(1, 2)$ 。

邊界上的點：實線上 $x > 1$ 的部分包含在內，例如 $(3, 3)$ ；虛線不包含，例如 $(3, 0)$ 不在解內；交點 $(1, 2)$ 在虛線上，所以也不包含，畫空心點。

載入中...

附圖是本站所畫的參考答案，學校答案頁沒有附這一題的答案。標點時交點

(1, 2)

一定要標，另外在實線上再標一點如

(3, 3)

。

角平分線的題目常用「一邊上的點對平分線的對稱點落在另一邊上」；畫不等式區域先畫邊界（有等號實線、沒有虛線），再拿一個點試哪一側。

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