段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

蘭陽女中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 4 題（共 20 分）、多選題 3 題（每題 10 分，共 30 分）、填充題 8 題（共 40 分）、計算題 1 題（兩小題 4 分與 6 分，共 10 分），合計 100 分；卷面沒有印單選與填充每題的分數。答案須化簡為最簡分數或最簡根式，否則不計分。本頁把卷面填充 A 到 H 依序編為第 8 到 15 題，計算題編為第 16 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題： 20%

已知標準位置角

θ = 3

弳，則

θ

是第幾象限角？

(1) 第一象限角
(2) 第二象限角
(3) 第三象限角
(4) 第四象限角
(5) 象限角

試問右圖為下列哪一個選項的函數圖形？

(1) $y = sin x$
(2) $y = 2 sin x$
(3) $y = sin 2 x$
(4) $y = cos x$
(5) $y = 2 cos 2 x$

載入中...

下列哪一個選項的值最大？（卷面第四個選項的標號印作 (1)，與第一個選項重號；本頁依排列順序當作 (4)）

(1) $cos 2 0^{\circ} cos 1 5^{\circ} + sin 2 0^{\circ} sin 1 5^{\circ}$
(2) $sin 2 0^{\circ} cos 1 5^{\circ} + cos 2 0^{\circ} sin 1 5^{\circ}$
(3) $1 - 2 sin^{2} 1 5^{\circ}$
(4) $\frac{2 tan 1 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 1 5 ^{\circ}}$
(5) $\frac{1 - cos 1 5 ^{\circ}}{2}$

試求當

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時，

sin x + cos x

的最小值為何？

(1) $- 2$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $2$

二、多選題： 30%（每題答案全對得 10 分，錯一個選項得 6 分，錯二個選項得 2 分，錯 3 個以上該題 0 分）

試選出下列哪些三角函數值相等？

(1) $sin \frac{7 π}{6}$
(2) $cos \frac{π}{3}$
(3) $\frac{1}{2} tan (- \frac{π}{4})$
(4) $cos \frac{2 π}{3}$
(5) $tan \frac{7 π}{6}$

已知

18 0^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

且

sin θ = \frac{- 3}{5}

，試選出正確的選項：

(1) $cos θ = \frac{4}{5}$
(2) $sin 2 θ = \frac{24}{25}$
(3) $cos 2 θ = \frac{7}{25}$
(4) $sin \frac{θ}{2} = \pm \frac{9}{10}$
(5) $cos \frac{θ}{2} = \frac{1}{10}$

已知

a

、

b > 0

且右圖為函數

y = a sin (b x + c)

，試選出正確的選項：

(1) $a = 3$
(2) $b = 3$
(3) $c$ 可能為 $\frac{π}{6}$
(4) $c$ 可能為 $\frac{π}{3}$
(5) $c$ 可能為 $\frac{7 π}{3}$

載入中...

三、填充題： 40%（所有分數以最簡分數作答才給分）

已知一個扇形面積為

10

，弧長為

4

，則此扇形的圓心角為 ____。（原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯}

）

cos 17 9^{\circ} cos 6 1^{\circ} - sin 17 9^{\circ} sin 6 1^{\circ} =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯}

）

試求

\frac{3}{sin 2 0 ^{\circ}} - \frac{1}{cos 2 0 ^{\circ}} =

____。（原卷的答案格式為一格

◯

）

小明想要開發底部為扇形的小蛋糕模具，如右圖所示。為了配合蛋糕份量，底部扇形面積為

64

平方公分。為了節省模具材料，底部扇形的周長要最小，試問：此模具底部的扇形最小周長為 ____ 公分。（原卷的答案格式為兩格

◯ ◯

）

載入中...

在

- 9 \leq x \leq 9

的範圍內，方程式

tan x = x

共有幾個實根 ____。（原卷的答案格式為一格

◯

）

欲在一半徑為

100

公尺的圓形池塘上建造一座通過圓心

O

的「T」字型的木橋，如圖所示，

\overline{D C}

垂直

\overline{A B}

於

C

點，且

\overline{A C} = \overline{C B}

。若這木橋的總長最長為

a b + c

公尺，則

a + b + c =

____。（原卷的答案格式為三格

◯ ◯ ◯

）

載入中...

在半徑為

100

公尺，圓心角

120

度之扇形廣場的頂點處（扇形所在圓圓心）垂直地面豎立一長為

60

公尺的旗桿，此桿離地面

10

公尺以上的部分均漆上紅色顏料，若在廣場任一點

P

，測得紅色部分的視角為

θ

，且

θ \geq 4 5^{\circ}

，求點

P

所成區域的面積。____

π

平方公尺。（原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯ ◯}{◯} π

）

如右圖所示，在地面上有兩個炮台

A

、

B

。炮台

A

以每秒

1

單位、仰角

θ

朝目標物

C

發射火炮，

3

秒後命中。接著又在炮台

B

以每秒

1

單位、仰角

2 θ

朝目標物

C

發射火炮，

2

秒後命中。試求：兩炮台距離

\overline{A B}

長為 ____。（原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯}

）

載入中...

四、計算題： 10%（請寫出計算過程，否則不計分）

已知一恆星

O

，有一行星

A

繞著

O

作圓周運動，兩者距離差

14

天文單位，某日，一顆系外天體

B

被恆星

O

所吸引，接近至行星

A

的圓周軌道時與

A

相碰而彈開，最後一同在同一軌道上繞著恆星

O

作圓周運動，此時一批科學家想探測扇形

A O B

的圓心角，就往其劣弧發射一顆人造衛星

P

，使

P

也在該軌道上運行，並經探測得以下數據：

P

到

\overline{O A}

的距離為

13

天文單位，

P

到

\overline{O B}

的距離為

11

天文單位，試問：（請畫出圖形，否則不計分） (1)

cos ∠ A O P =

　(A)

\frac{3}{14}

　(B)

\frac{3 3}{14}

　(C)

\frac{5 3}{14}

　(D)

\frac{7 3}{14}

　(E)

\frac{9 3}{14}

。（4 分） (2) 承上題，求

P

所在扇形

A O B

的圓心角為何？（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(1)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(3)(4)

第 6 題(2)(3)

第 7 題(1)(4)(5)

第 8 題

\frac{4}{5}

第 9 題

- \frac{1}{2}

第 10 題

4

第 11 題

32

第 12 題

5

第 13 題

205

第 14 題

\frac{500}{3} π

第 15 題

\frac{5}{2}

第 16 題(1) (B)　(2)

12 0^{\circ}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：弧度與象限、由圖形認函數、公式比大小、疊合求最小值

第 1 題答案 (2)。

π \approx 3.14

，所以

\frac{π}{2} \approx 1.57

。

1.57 < 3 < 3.14

，即

\frac{π}{2} < 3 < π

，

3

弳的終邊落在第二象限。

3

弳約是

3 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 171. 9^{\circ}

，比

18 0^{\circ}

略小。選項 (5) 的「象限角」指終邊落在坐標軸上的角，

3

不是

\frac{π}{2}

的整數倍，所以不是。

第 2 題答案 (3)。圖形通過原點，所以不是餘弦型的 (4)(5)（它們在

x = 0

的值分別是

1

與

2

）。最高點的高度是

1

、最低點是

- 1

，振幅為

1

，所以不是 (2)。圖形從原點出發往上，在

x = \frac{π}{2}

第一次回到

x

軸，在

x = π

走完一個完整的波，週期是

π

。

y = sin x

的週期是

2 π

，

y = sin 2 x

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

，所以是

y = sin 2 x

。

檢查：

y = sin 2 x

在

x = \frac{π}{2}

的值是

sin π = 0

、在

x = \frac{π}{4}

的值是

sin \frac{π}{2} = 1

，與圖相符；

y = sin x

在

x = \frac{π}{2}

的值是

1

，與圖不合。

第 3 題答案 (1)。把每個選項認成公式： (1)

= cos (2 0^{\circ} - 1 5^{\circ}) = cos 5^{\circ}

。 (2)

= sin (2 0^{\circ} + 1 5^{\circ}) = sin 3 5^{\circ}

。 (3)

= cos (2 \times 1 5^{\circ}) = cos 3 0^{\circ}

。 (4)

= tan (2 \times 1 5^{\circ}) = tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3} \approx 0.577

。 (5)

= sin \frac{1 5 ^{\circ}}{2} = sin 7. 5^{\circ}

（半角公式，

7. 5^{\circ}

是銳角，取正）。都換成餘弦來比：

sin 3 5^{\circ} = cos 5 5^{\circ}

、

sin 7. 5^{\circ} = cos 82. 5^{\circ}

。餘弦在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間遞減，所以

cos 5^{\circ} > cos 3 0^{\circ} > cos 5 5^{\circ} > cos 82. 5^{\circ}

。剩下 (4)：

tan 3 0^{\circ} \approx 0.577 < cos 3 0^{\circ} \approx 0.866

。最大的是 (1)。

五個值依序約為

0.996

、

0.574

、

0.866

、

0.577

、

0.131

。卷面第四個選項的標號印成 (1)，本頁依順序當作 (4)；它的值不是最大，不影響答案。

第 4 題答案 (4)。疊合：

sin x + cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{4} + cos x sin \frac{π}{4}) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

。

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時，

\frac{π}{4} \leq x + \frac{π}{4} \leq \frac{3 π}{4}

。正弦在這一段先升到

1

再降回來，最小的值出現在兩個端點，都是

\frac{2}{2}

。所以最小值

= 2 \times \frac{2}{2} = 1

（在

x = 0

或

x = \frac{π}{2}

時）。

- 2

是

x

可以取所有實數時的最小值；這一題

x

有範圍，整個角到不了

\frac{3 π}{2}

。最大值是

2

（

x = \frac{π}{4}

時）。

疊合之後求極值，先把

x

的範圍換成整個角的範圍，再看正弦在那一段的高低。

02多選題（第 5～7 題）：弧度角的函數值、二倍角與半角、由圖形求係數

第 5 題答案 (1)(3)(4)。逐一求值： (1)

sin \frac{7 π}{6} = sin (π + \frac{π}{6}) = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}

。 (2)

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。 (3)

\frac{1}{2} tan (- \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \times (- 1) = - \frac{1}{2}

。 (4)

cos \frac{2 π}{3} = cos (π - \frac{π}{3}) = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}

。 (5)

tan \frac{7 π}{6} = tan (π + \frac{π}{6}) = tan \frac{π}{6} = \frac{3}{3}

。 (1)(3)(4) 都是

- \frac{1}{2}

，彼此相等；(2) 是

\frac{1}{2}

、(5) 是

\frac{3}{3}

，各自與其他選項都不相等。

\frac{7 π}{6}

是第三象限角（

21 0^{\circ}

）：正弦為負、正切為正。

第 6 題答案 (2)(3)。

θ

在第三象限，餘弦為負：

cos θ = - 1 - \frac{9}{25} = - \frac{4}{5}

。 (1) 錯：

cos θ = - \frac{4}{5}

，不是

\frac{4}{5}

。 (2) 對：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times (- \frac{3}{5}) \times (- \frac{4}{5}) = \frac{24}{25}

。 (3) 對：

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - 2 \times \frac{9}{25} = \frac{7}{25}

。 (4) 錯：

9 0^{\circ} < \frac{θ}{2} < 13 5^{\circ}

，

\frac{θ}{2}

在第二象限，正弦一定是正的。由半角公式

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{9}{10}

，所以

sin \frac{θ}{2} = \frac{9}{10}

，只有正的這一個值，不能寫

\pm

。 (5) 錯：第二象限的餘弦是負的。

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{1}{10}

，所以

cos \frac{θ}{2} = - \frac{1}{10}

。

(4)(5) 的數值都對，錯在正負號。半角公式開根號時，正負由

\frac{θ}{2}

所在的象限決定；題目已經給了

θ

的範圍，正負就是確定的。

第 7 題答案 (1)(4)(5)。 (1) 對：圖形最高到

3

、最低到

- 3

，而

a > 0

，所以

a = 3

。 (2) 錯：圖形在

x = - \frac{π}{6}

由下往上通過

x

軸，下一次由下往上通過是在

x = \frac{5 π}{6}

（中間的

x = \frac{π}{3}

是由上往下），所以

週期 = \frac{5 π}{6} - (- \frac{π}{6}) = π

b > 0

時週期是

\frac{2 π}{b}

，所以

b = 2

。再求

c

：

y = 3 sin (2 x + c)

在

x = - \frac{π}{6}

的值是

0

而且正在上升，這時整個角

2 x + c

必須是

2 k π

（

k

為整數）。所以

- \frac{π}{3} + c = 2 k π

，

c = \frac{π}{3} + 2 k π

。 (3) 錯：

\frac{π}{6}

不是這種形式。 (4) 對：

k = 0

得

c = \frac{π}{3}

。 (5) 對：

k = 1

得

c = \frac{π}{3} + 2 π = \frac{7 π}{3}

。

檢查：

y = 3 sin (2 x + \frac{π}{3})

在

x = 0

的值是

3 sin \frac{π}{3} \approx 2.6

，最高點在

x = \frac{π}{12}

，略偏

y

軸右邊，與圖相符。若只用「通過

(- \frac{π}{6}, 0)

」會多出

c = \frac{π}{3} + k π

的假答案（例如

\frac{4 π}{3}

），那些是圖形在該點往下走的情形，所以要連上升或下降一起看。

由圖形求

y = a sin (b x + c)

：最高最低決定

a

，同方向通過

x

軸的相鄰兩點距離是週期，再用一個已知點（連同上升或下降）決定

c

，

c

可以相差

2 π

的整數倍。

03填充題（第 8～11 題，卷面 A～D）：扇形的圓心角、和角公式、通分後疊合、扇形周長的最小值

第 8 題設半徑為

r

、圓心角為

θ

（弧度）。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，所以

10 = \frac{1}{2} \times r \times 4

，

r = 5

。弧長

= r θ

，所以

4 = 5 θ

，

θ = \frac{4}{5}

。

兩格依序劃

4

、

5

。圓心角的單位是弧度（弳），約

45. 8^{\circ}

。

第 9 題式子正是餘弦和角公式

cos α cos β - sin α sin β = cos (α + β)

的展開，所以原式

= cos (17 9^{\circ} + 6 1^{\circ}) = cos 24 0^{\circ} = cos (18 0^{\circ} + 6 0^{\circ}) = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

。

分子兩格依序劃「

-

」、

1

，分母劃

2

。

第 10 題通分：

\frac{3}{sin 2 0 ^{\circ}} - \frac{1}{cos 2 0 ^{\circ}} = \frac{3 cos 2 0 ^{\circ} - sin 2 0 ^{\circ}}{sin 2 0 ^{\circ} cos 2 0 ^{\circ}}

分子疊合：

3 cos 2 0^{\circ} - sin 2 0^{\circ} = 2 (sin 6 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} - cos 6 0^{\circ} sin 2 0^{\circ}) = 2 sin (6 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = 2 sin 4 0^{\circ}

。分母用二倍角公式：

sin 2 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 4 0^{\circ}

。所以原式

= 2 sin 4 0^{\circ} \div (\frac{1}{2} sin 4 0^{\circ}) = 4

。

用計算機檢查：

\frac{1.7321}{0.3420} - \frac{1}{0.9397} \approx 5.064 - 1.064 = 4

。看到

3

與

1

當係數，就想到

2 \times \frac{3}{2}

與

2 \times \frac{1}{2}

。

第 11 題設底部扇形的半徑為

r

公分、弧長為

s

公分。面積

\frac{1}{2} r s = 64

，所以

r s = 128

，

s = \frac{128}{r}

。周長

= 2 r + s = 2 r + \frac{128}{r}

。兩項都是正數，由算幾不等式

\frac{2 r + \frac{128}{r}}{2} \geq 2 r \times \frac{128}{r} = 256 = 16

所以周長

\geq 32

。等號在

2 r = \frac{128}{r}

時成立，即

r^{2} = 64

、

r = 8

，這時弧長

s = 16

、圓心角

= \frac{s}{r} = 2

弧度，是做得出來的扇形。最小周長為

32

公分。

兩格依序劃

3

、

2

。不用算幾不等式也可以配方：

2 r + \frac{128}{r} = 2 (r - \frac{8}{r})^{2} + 32 \geq 32

。面積固定的扇形，周長最小時圓心角恰為

2

弧度（弧長等於兩條半徑的和）。

04填充題（第 12～13 題，卷面 E～F）：正切方程式的根數、T 字型木橋

第 12 題根的個數就是

y = tan x

的圖形與直線

y = x

的交點數。

tan (- x) = - tan x

，兩個圖形都對稱於原點，所以正根與負根一樣多，另外

x = 0

是一個根。只要數

0 < x \leq 9

的根。

π \approx 3.14

，

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

2 π \approx 6.28

，

\frac{5 π}{2} \approx 7.85

，

3 π \approx 9.42

。

0 < x < \frac{π}{2}

：這一段

tan x > x

（見下方說明），沒有交點。

\frac{π}{2} < x \leq π

、

\frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

、

\frac{5 π}{2} < x \leq 9

：這三段

tan x \leq 0

，而

x > 0

，沒有交點。

π < x < \frac{3 π}{2}

：

tan x

從

0

一路升到無限大，直線

y = x

的高度只在

3.14

到

4.71

之間。一開始正切在直線下方，後來超過直線，恰有

1

個交點。

2 π < x < \frac{5 π}{2}

：同理恰有

1

個交點；交點的

x

小於

7.85

，在

9

以內。下一段要到

3 π \approx 9.42

之後才開始，已超出範圍。所以正根

2

個、負根

2

個，加上

x = 0

，共

5

個實根。

一格劃

5

。

0 < x < \frac{π}{2}

時

tan x > x

的理由：單位圓上圓心角

x

的扇形面積是

\frac{1}{2} x

，它包在底為

1

、高為

tan x

的直角三角形裡，三角形面積是

\frac{1}{2} tan x

，所以

x < tan x

。「每一段恰有一個交點」是由圖形讀出來的：正切在每一段從

0

往上升得越來越陡，與斜直線只會交一次。兩個正根約為

4.49

與

7.73

。

第 13 題木橋的總長是

\overline{A B} + \overline{D C}

。

\overline{D C}

通過圓心

O

，

D

在圓上，所以

\overline{D C} = \overline{D O} + \overline{O C} = 100 + \overline{O C}

。設

∠ A O C = θ

（

0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}

）。直角三角形

A O C

的斜邊

\overline{O A} = 100

，所以

\overline{A C} = 100 sin θ

、

\overline{O C} = 100 cos θ

，而

\overline{A B} = 2 \overline{A C} = 200 sin θ

。總長

= 200 sin θ + 100 cos θ + 100

。疊合：

20 0^{2} + 10 0^{2} = 1005

，所以

200 sin θ + 100 cos θ = 1005 sin (θ + φ)

，其中

φ

是銳角，

cos φ = \frac{2}{5}

、

sin φ = \frac{1}{5}

。取

θ = 9 0^{\circ} - φ

（是銳角，做得到），

sin (θ + φ) = 1

，總長最長為

1005 + 100

公尺。所以

a = 100

、

b = 5

、

c = 100

，

a + b + c = 205

。

三格依序劃

2

、

0

、

5

。最長時

sin θ = cos φ = \frac{2}{5}

、

cos θ = \frac{1}{5}

，即

\overline{O C} = 205 \approx 44.7

公尺、

\overline{A B} = 805 \approx 178.9

公尺，總長約

323.6

公尺。本頁的圖是示意圖，

C

的位置沒有照這個結果畫。

長度會隨一個角改變時，把每一段都用那個角的正弦、餘弦表示，總長就是正弦與餘弦的組合，用疊合求最大值；最後確認那個角在允許的範圍內。

05填充題（第 14～15 題，卷面 G～H）：旗桿紅色部分的視角、兩個砲台的距離

第 14 題設旗桿底（扇形的頂點）為

O

，桿頂為

T

，紅色部分的下緣為

S

，則

\overline{O T} = 60

、

\overline{O S} = 10

。設

P

到

O

的距離為

d

公尺（

0 < d \leq 100

）。旗桿垂直地面，所以三角形

P O T

、

P O S

都是直角三角形。令

α = ∠ O P T

、

β = ∠ O P S

，則

tan α = \frac{60}{d}

、

tan β = \frac{10}{d}

，視角

θ = α - β

。由正切的差角公式：

tan θ = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} = \frac{\frac{50}{d}}{1 + \frac{600}{d ^{2}}} = \frac{50 d}{d ^{2} + 600}

θ

是銳角，正切在銳角範圍遞增，所以

θ \geq 4 5^{\circ}

相當於

tan θ \geq 1

：

50 d \geq d^{2} + 600

，即

d^{2} - 50 d + 600 \leq 0

，

(d - 20) (d - 30) \leq 0

，得

20 \leq d \leq 30

。所以

P

落在廣場上與

O

的距離介於

20

與

30

公尺之間的地方，是圓心角

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

的大扇形（半徑

30

）挖掉小扇形（半徑

20

）：面積

= \frac{1}{2} \times 3 0^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 2 0^{2} \times \frac{2 π}{3} = 300 π - \frac{400}{3} π = \frac{500}{3} π

平方公尺。

分子三格依序劃

5

、

0

、

0

，分母劃

3

。

30

公尺小於廣場半徑

100

公尺，整個環狀區域都在廣場內。站得太近（

d < 20

）或太遠（

d > 30

），紅色部分看起來都比較小；

d = 20

與

d = 30

時視角恰為

4 5^{\circ}

。

第 15 題火炮每秒走

1

單位，所以

\overline{A C} = 3

、

\overline{B C} = 2

；三角形

A B C

中

∠ A = θ

、

∠ B = 2 θ

。過

C

作

\overline{A B}

的垂線，垂足為

H

。同一個高

\overline{C H}

可以從兩邊算：

\overline{C H} = 3 sin θ = 2 sin 2 θ

。用二倍角公式

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

：

3 sin θ = 4 sin θ cos θ

。

sin θ \neq = 0

，兩邊約去得

cos θ = \frac{3}{4}

。

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 2 \times \frac{9}{16} - 1 = \frac{1}{8} > 0

，所以

2 θ

也是銳角，

H

落在

A

、

B

之間。

\overline{A B} = \overline{A H} + \overline{H B} = 3 cos θ + 2 cos 2 θ = 3 \times \frac{3}{4} + 2 \times \frac{1}{8} = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{2}

。

兩格依序劃

5

、

2

。也可以用正弦定理：

\frac{3}{sin 2 θ} = \frac{2}{sin θ}

，得到同一個式子。

θ

約

41. 4^{\circ}

；本頁的圖是示意圖，沒有照這個角度畫。

06計算題（第 16 題）：由點到兩條半徑的距離求圓心角

第 16 題畫圖：以

O

為圓心、半徑

14

畫圓，

A

、

B

、

P

都在圓上，

P

在劣弧

A B

上，

\overline{O A} = \overline{O B} = \overline{O P} = 14

。 (1) 先確定

∠ A O P

是銳角。若它是直角或鈍角，線段

\overline{O A}

上離

P

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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蘭陽女中 110 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 12 題（卷面 E）要用正切的圖形與斜直線的交點來數根，容易漏掉負根與零，也容易多數到超出範圍的那一段；填充第 14 題（卷面 G）要把視角寫成兩個角的差，用正切的差角公式化成二次不等式，再算環狀扇形的面積；填充第 13 題（卷面 F）要自己設角，把總長寫成正弦與餘弦的組合再疊合；多選第 7 題的平移量要連圖形上升或下降一起判斷，而且可以相差一整圈；多選第 6 題的半角正負號由半角所在的象限決定。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 110 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

蘭陽女中 110 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～4 題）：弧度與象限、由圖形認函數、公式比大小、疊合求最小值

02多選題（第 5～7 題）：弧度角的函數值、二倍角與半角、由圖形求係數

03填充題（第 8～11 題，卷面 A～D）：扇形的圓心角、和角公式、通分後疊合、扇形周長的最小值

04填充題（第 12～13 題，卷面 E～F）：正切方程式的根數、T 字型木橋

05填充題（第 14～15 題，卷面 G～H）：旗桿紅色部分的視角、兩個砲台的距離

06計算題（第 16 題）：由點到兩條半徑的距離求圓心角

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蘭陽女中 110 上
高二第一次段考
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