段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

蘭陽女中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 蘭陽女中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 蘭陽女中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第一部分多選第 4 題選項 4 要說明對數值一定比 10 倍的真數小；第二部分多選第 15 題選項 4、5 要用同一直線上的線段比轉成 x 坐標的差之比，再由公比反推 a；選填 D 取對數後要除以負數 log 0.9，不等號要反向；選填 C 的數對有順序，要乘以 2。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

第一部分 70 分：單選 2 題、多選 2 題各 5 分，選填 A～H 共 9 格（A 分兩小題）每格 5 分，計算題 5 分；第二部分 30 分，卷面未印各題配分；卷頭印「總分超過 100 分，以 100 分計」，並附 log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771，log 7 ≈ 0.8451。第一部分選填 A～H 為本頁第 5～12 題、計算題為第 13 題，第二部分單選、多選、選填 A～F 為第 14～21 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

【第一部分：70 分】一、單選題(每題 5 分)

請選出正確的選項。

(1) $7 = 9^{l o g_{9} 7}$
(2) 滿足 $5^{x} = 9$ 的實數 $x$ 可以表示為 $x = lo g_{9} 5$
(3) 設 $x$ 為非零實數，則 $lo g (x^{2}) = 2 \cdot lo g x$
(4) $lo g (3 + 5) = lo g 3 + lo g 5$
(5) $lo g 5 = \frac{lo g 10}{lo g 2}$

放射性物質的半衰期

T

（單位：小時）定義為每經過時間 T 小時，該物質的質量會衰退成原來的一半。已知某放射性物質在經過

90

小時後，該物質的質量會衰退成原來的

\frac{1}{8}

，則此物質半衰期

T

最接近下列哪一個選項？

(1) $10$ 小時
(2) $15$ 小時
(3) $20$ 小時
(4) $25$ 小時
(5) $30$ 小時

二、多重選擇題(每題 5 分；錯 1 個，得 3 分；錯 2 個，得 1 分；錯 3 個或以上，不給分)

關於函數

f (x) = (\frac{1}{10})^{x}

，下列哪些選項是正確的？

(1) $f (x) = (\frac{1}{10})^{x}$ 的圖形上任取相異兩點 $A$ ， $B$ ，其線段 $A B$ 必在 $f (x) = (\frac{1}{10})^{x}$ 圖形的上方
(2) $f (2) < f (3)$
(3) $\frac{f ( 2023 )}{f ( 2021 )} > \frac{f ( 23 )}{f ( 21 )}$
(4) $f (x) = (\frac{1}{10})^{x}$ 的圖形和 $g (x) = (10)^{x}$ 對稱於 $y$ 軸
(5) $f (x) = (\frac{1}{10})^{x}$ 的圖形和 $h (x) = - (\frac{1}{10})^{x}$ 對稱於 $y$ 軸

關於對數函數圖形的敘述，下列哪些選項是正確的？

(1) $y = lo g x$ 為嚴格遞增函數
(2) 在 $y = lo g x$ 的圖形上任取相異兩點 $A$ ， $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為正
(3) $y = lo g x$ 對稱直線 $y = x$ 之後的函數為 $y = (\frac{1}{10})^{x}$
(4) 若點 $(a, b)$ 在 $y = lo g x$ 上，則 $(a, b)$ 和原點所形成的直線斜率必小於 $10$
(5) 若點 $(a, b)$ 在 $y = lo g x$ 上，則 $(\frac{1}{a}, 1 - b)$ 也會在 $y = lo g x$ 的圖形上

三、選填題(每格 5 分)

（選填 A）求下列各式的值： (1)

lo g_{7} 47 =

____ (2)

lo g 0.0001 =

____

（選填 B）求方程式

(0.49)^{2 x + 3} = (0.7)^{x^{2} - x}

所有實根之和為

=

____

（選填 C）

lo g \frac{11}{2} - lo g \frac{11}{25} + 3 lo g 2 =

____

（選填 D）

(lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9) (lo g_{3} 4 - lo g_{9} 2) =

____

（選填 E）不等式

2 \cdot lo g (x - 1) < lo g (7 - x)

的解為

α < x < β

，則

α + β =

____

（選填 F）解方程式

4^{x} - 2^{x} - 2 = 0

，得

x =

____

（選填 G）設

P

、

Q

分別為直線

y = 3

、

y = 12

與

y = 2^{x}

的交點，求

\overline{P Q}

的斜率為 ____

（選填 H）目前國際上通用芮氏規模

M

來表示地震強度。若

E

代表地震所釋放出來的能量（單位：爾格）。我們根據地震學家古騰堡所提出的公式會有：

lo g E = 11.8 + 1.5 M

。前一陣子有一位神婆預測 2023 年 11 月 27 日將發生芮氏規模

M = 14

的地震，根據古騰堡公式此地震釋放出來的能量是日本 311 宮地大地震

M = 10

釋放出來能量的

1 0^{T}

倍，試求：

T =

____

四、計算題(5 分。請寫在答案卷上，並用黑(藍)原子筆寫出詳細計算過程，否則不予計分)

下圖為某海藻的栽培實驗中，其繁殖的覆蓋面積與時間的關係圖。設經過

x

週後，海藻的覆蓋面積會達到

f (x) = k \cdot a^{x}

（平方公分），

k

為常數，試求： (1)

k =

？

a =

？（4 分） (2) 求

\frac{3}{2}

週後的海藻覆蓋面積為多少平方公分？（1 分）

載入中...

【第二部分：30 分】一、單選題

滿足不等式

0.5 \leq 2^{l o g (x - 2023)} \leq 4

的整數

x

共有幾個？

(1) $4$ 個
(2) $16$ 個
(3) $50$ 個
(4) $100$ 個
(5) $2019$ 個

二、多重選擇題

如下圖所示，坐標平面上，已知直線

L

與函數

y = lo g x

的圖形有兩交點

A

，

C

，且

\overline{A C}

與

x

軸交於

B

。若已知

A

，

B

，

C

三點之

x

坐標

a

，

b

，

c

成等比，試選出正確的選項。

(1) 等比數列 $a$ ， $b$ ， $c$ 的公比大於 $1$
(2) $lo g a$ ， $lo g b$ ， $lo g c$ 三數成等差
(3) $lo g \frac{a + c}{2} < lo g b$
(4) $\overline{A B} < \overline{B C}$
(5) 若等比數列 $a$ ， $b$ ， $c$ 的公比為 $3$ ，則 $b = 33$

載入中...

三、選填題

（選填 A）設

0 \leq x \leq 3

，

f (x) = 4^{x} - 2^{x + 2} - 5

，則

f (x)

的最小值為 ____

（選填 B）已知一直角三角形的兩股長分別為

\frac{lo g 8}{lo g 9}

與

\frac{lo g 4}{lo g 3}

，若此直角三角形的周長為

lo g_{3} x

，則

x

之值為 ____

（選填 C）蘭陽從

2

，

5

，

10

，

20

，

50

，

100

這六個數字隨機取出一數

a

，再從剩下的五個數字中隨機取出一數

b

，並計算

lo g a + lo g b

之值。假設蘭陽並無計算錯誤的情形發生，求滿足

lo g a + lo g b

之值為整數的數對

(a, b)

共有 ____ 組。

（選填 D）日本大地震，福島核災外洩某放射性物質，而此放射性物質需每

10

年才能衰減

10%

的量。若海洋生物學家研究海洋生物要正常生存的條件為此放射性物質的含量必須在目前含量的一半以下，則至少要經過 ____ 年（取整數），海洋生物才能正常生存？

（選填 E）蘭陽欲進行某一實驗來確定某運動之距離 d 與時間 t 的函數關係，得到五組數據

(t_{1}, d_{1})

，……，

(t_{5}, d_{5})

如下表：

時間 t (秒) 距離 d (呎) 0.5 4 1 d_{2} 2 d_{3} t_{4} 128 4256

若將

lo g_{2} t

當作

x

座標，

lo g_{2} d

當作

y

座標，變換後可得到新數據

(- 1, 2)

，

(x_{2}, y_{2})

，……，

(x_{5}, y_{5})

恰好皆位於直線

y = a x + b

上，如圖所示。試問

t = 1.5

秒時，

d =

____ 呎。

載入中...

（選填 F）設

⟨ a_{i} ⟩

為一各項均為實數的等比數列，第四項為

1

，第七項為

27

，且知

lo g_{k} a_{1} + lo g_{k} a_{2} + lo g_{k} a_{3} + \dots + lo g_{k} a_{32} = - 200

，則

k =

____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(5)

第 3 題(1)(4)

第 4 題(1)(2)(4)

第 5 題(1)

\frac{1}{4}

；(2)

- 4

第 6 題

5

第 7 題

2

第 8 題

3

第 9 題

4

第 10 題

1

第 11 題

\frac{9}{2}

第 12 題

6

第 13 題(1)

k = 3

，

a = 4

；(2)

24

平方公分

第 14 題(4)

第 15 題(1)(2)(4)

第 16 題

- 9

第 17 題

64

第 18 題

10

第 19 題

66

第 20 題

36

第 21 題

\frac{1}{9}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第一部分單選、多選（第 1～4 題）：對數律、半衰期、指數與對數函數的圖形

第 1 題

答案 (1)。

(1) 正確。 由對數的定義， $lo g_{9} 7$ 是「 $9$ 的幾次方等於 $7$ 」，所以 $9^{l o g_{9} 7} = 7$ 。

(2) 錯誤。 $5^{x} = 9$ 寫成對數是 $x = lo g_{5} 9$ ，不是 $lo g_{9} 5$ 。例如 $lo g_{5} 9 > 1$ （因為 $9 > 5$ ），而 $lo g_{9} 5 < 1$ ，兩者不相等。

(3) 錯誤。 $x$ 是負數時 $lo g x$ 沒有意義。例如 $x = - 10$ ， $lo g (x^{2}) = lo g 100 = 2$ ，但 $2 \cdot lo g (- 10)$ 沒有定義。正確的寫法是 $lo g (x^{2}) = 2 lo g ∣ x ∣$ 。

(4) 錯誤。 $lo g (3 + 5) = lo g 8 \approx 0.9031$ ，而 $lo g 3 + lo g 5 = lo g 15 \approx 1.1761$ 。對數律是 $lo g 3 + lo g 5 = lo g (3 \times 5)$ 。

(5) 錯誤。 $\frac{lo g 10}{lo g 2} = lo g_{2} 10$ ，大於 $3$ ；而 $lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.699$ 。正確的是 $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = lo g 10 - lo g 2$ 。

對數律把「乘」變「加」、「除」變「減」，沒有把「加」拆開的公式。

第 2 題答案 (5)。經過

90

小時，質量變為原來的

(\frac{1}{2})^{\frac{90}{T}}

倍。由題意

(\frac{1}{2})^{\frac{90}{T}} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

，所以

\frac{90}{T} = 3

，

T = 30

小時。

\frac{1}{8}

是減半

3

次，所以

90

小時是

3

個半衰期。

第 3 題

答案 (1)(4)。 $f (x) = (\frac{1}{10})^{x} = 1 0^{- x}$ ，底數 $\frac{1}{10}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，是遞減函數。

(1) 正確。 指數函數的圖形凹口向上：任取兩點 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ 、 $B (x_{2}, f (x_{2}))$ ，弦 $A B$ 的中點高度是 $\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}$ ，由算幾不等式 $\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} > f (x_{1}) f (x_{2}) = (\frac{1}{10})^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}} = f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})$ （ $x_{1} \neq = x_{2}$ 時兩數不相等，取不到等號），弦的中點在圖形上方。這就是課本說的指數函數圖形凹口向上，兩點之間的線段都在圖形的上方（兩端點在圖形上）。

(2) 錯誤。 $2 < 3$ ， $f$ 遞減，所以 $f (2) > f (3)$ 。

(3) 錯誤。 $\frac{f ( 2023 )}{f ( 2021 )} = (\frac{1}{10})^{2023 - 2021} = \frac{1}{100}$ ， $\frac{f ( 23 )}{f ( 21 )} = (\frac{1}{10})^{2} = \frac{1}{100}$ ，兩者相等，不是大於。

(4) 正確。 $g (x) = 1 0^{x} = (\frac{1}{10})^{- x} = f (- x)$ ，把 $x$ 換成 $- x$ ，兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(5) 錯誤。 $h (x) = - f (x)$ ，是把每一點的 $y$ 坐標變號，兩圖形對稱於 $x$ 軸，不是 $y$ 軸。

把

x

變號是對稱

y

軸，把

y

變號是對稱

x

軸。

第 4 題

答案 (1)(2)(4)。

(1) 正確。 底數 $10 > 1$ ， $y = lo g x$ 是嚴格遞增函數。

(2) 正確。 設 $A (x_{1}, lo g x_{1})$ 、 $B (x_{2}, lo g x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ 。因為嚴格遞增， $lo g x_{1} < lo g x_{2}$ ，斜率 $\frac{lo g x _{2} - lo g x _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ 的分子、分母都是正數，斜率為正。

(3) 錯誤。 $y = lo g x$ 與 $y = 1 0^{x}$ 互為反函數，對稱直線 $y = x$ 後是 $y = 1 0^{x}$ ，不是 $(\frac{1}{10})^{x}$ 。

(4) 正確。 $b = lo g a$ ， $a > 0$ ，斜率是 $\frac{lo g a}{a}$ 。要說明 $lo g a < 10 a$ ：

當 $0 < a < 10$ 時， $lo g a < 1$ ；而 $a \geq \frac{1}{10}$ 時 $10 a \geq 1$ ， $0 < a < \frac{1}{10}$ 時 $lo g a < 0 < 10 a$ ，都有 $lo g a < 10 a$ 。

當 $a \geq 10$ 時，設 $1 0^{n} \leq a < 1 0^{n + 1}$ （ $n$ 為正整數），則 $lo g a < n + 1 \leq 1 0^{n} \leq a < 10 a$ 。

所以斜率 $\frac{lo g a}{a} < 10$ 。

(5) 錯誤。 $lo g \frac{1}{a} = - lo g a = - b$ ，不是 $1 - b$ 。例如 $(10, 1)$ 在圖形上，但 $(\frac{1}{10}, 0)$ 不在圖形上（ $lo g \frac{1}{10} = - 1$ ）。

(4) 斜率

\frac{lo g a}{a}

其實比

10

小很多，例如

a = 3

時約

0.159

。(5) 若

(a, b)

在圖形上，會在圖形上的是

(\frac{1}{a}, - b)

。

對數律只有積、商、次方三條，沒有和的公式；指數函數凹口向上，對數函數嚴格遞增，兩者互為反函數時對稱於

y = x

。

02第一部分選填 A～H（第 5～12 題）：求對數值、同底解方程式、對數律、對數不等式、地震能量

第 5 題

(1) $47 = 7^{\frac{1}{4}}$ ，所以 $lo g_{7} 47 = \frac{1}{4}$ 。

(2) $0.0001 = 1 0^{- 4}$ ，所以 $lo g 0.0001 = - 4$ 。

原卷 (1) 答案格為分子一格、分母一格；(2) 為兩格（負號與數字）。

第 6 題

0.49 = 0. 7^{2}

，左邊

= (0. 7^{2})^{2 x + 3} = 0. 7^{4 x + 6}

。底數相同且不等於

1

，指數相等：

4 x + 6 = x^{2} - x

，即

x^{2} - 5 x - 6 = 0

，

(x - 6) (x + 1) = 0

，

x = 6

或

x = - 1

。所有實根之和為

6 + (- 1) = 5

。

驗算：

x = 6

時兩邊指數都是

30

；

x = - 1

時兩邊指數都是

2

。

第 7 題原式

= lo g (\frac{11}{2} \div \frac{11}{25} \times 2^{3}) = lo g (\frac{11}{2} \times \frac{25}{11} \times 8) = lo g 100 = 2

。

第 8 題

第一個括號化成以 $2$ 為底： $lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4} = \frac{2 lo g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3$ ，所以第一個括號 $= 2 lo g_{2} 3$ 。

第二個括號化成以 $3$ 為底： $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 2 = \frac{lo g _{3} 2}{lo g _{3} 9} = \frac{1}{2} lo g_{3} 2$ ，所以第二個括號 $= \frac{3}{2} lo g_{3} 2$ 。

相乘： $2 lo g_{2} 3 \times \frac{3}{2} lo g_{3} 2 = 3 \times (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = 3 \times 1 = 3$ 。

lo g_{a^{2}} b^{2} = lo g_{a} b

，

lo g_{a} b \times lo g_{b} a = 1

。

第 9 題

真數要為正： $x - 1 > 0$ 且 $7 - x > 0$ ，即 $1 < x < 7$ 。

此時 $2 lo g (x - 1) = lo g (x - 1)^{2}$ ，不等式變成 $lo g (x - 1)^{2} < lo g (7 - x)$ 。底數 $10 > 1$ ，對數函數遞增，所以 $(x - 1)^{2} < 7 - x$ ， $x^{2} - x - 6 < 0$ ， $(x - 3) (x + 2) < 0$ ， $- 2 < x < 3$ 。

與 $1 < x < 7$ 合起來得 $1 < x < 3$ ， $α = 1$ 、 $β = 3$ ， $α + β = 4$ 。

真數條件不能漏，否則左端點會寫成

- 2

。

第 10 題令

t = 2^{x}

（

t > 0

），

4^{x} = t^{2}

，方程式化為

t^{2} - t - 2 = 0

，

(t - 2) (t + 1) = 0

。因為

t > 0

，取

t = 2

，所以

2^{x} = 2

，

x = 1

。

t = - 1

不合，因為

2^{x}

恆為正。

第 11 題

$P$ ： $2^{x} = 3$ ， $x = lo g_{2} 3$ ， $P (lo g_{2} 3, 3)$ 。 $Q$ ： $2^{x} = 12$ ， $x = lo g_{2} 12 = lo g_{2} (4 \times 3) = 2 + lo g_{2} 3$ ， $Q (2 + lo g_{2} 3, 12)$ 。

$\overline{P Q}$ 的斜率 $= \frac{12 - 3}{( 2 + lo g _{2} 3 ) - lo g _{2} 3} = \frac{9}{2}$ 。

兩點的

x

坐標相差

lo g_{2} 12 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} 4 = 2

，不必算出

lo g_{2} 3

的值。原卷答案格為分子一格、分母一格。

第 12 題設規模

14

與規模

10

的能量分別為

E_{1}

、

E_{2}

。

lo g E_{1} = 11.8 + 1.5 \times 14

，

lo g E_{2} = 11.8 + 1.5 \times 10

，相減得

lo g E_{1} - lo g E_{2} = 1.5 \times (14 - 10) = 6

，即

lo g \frac{E _{1}}{E _{2}} = 6

，

\frac{E _{1}}{E _{2}} = 1 0^{6}

，所以

T = 6

。

規模每增加

1

，能量變為

1 0^{1.5}

倍（約

31.6

倍）。

指數方程式先化成同底再比指數；對數不等式先寫真數條件，再依底數大於或小於

1

決定不等號方向；公式型應用題用兩式相減消去常數。

03第一部分計算題（第 13 題）：由圖上兩點求指數模型

第 13 題

(1) 由圖，圖形通過 $(0, 3)$ 與 $(4, 768)$ 。

$f (0) = k \cdot a^{0} = k = 3$ 。

$f (4) = 3 a^{4} = 768$ ， $a^{4} = 256 = 4^{4}$ 。 $f (x) = k \cdot a^{x}$ 是指數函數，底數 $a > 0$ ，所以 $a = 4$ 。

(2) $f (\frac{3}{2}) = 3 \times 4^{\frac{3}{2}} = 3 \times (4)^{3} = 3 \times 8 = 24$ （平方公分）。

a^{4} = 256

時

a = - 4

也滿足方程式，但指數函數的底數必須是正數，所以不合。

指數模型

k \cdot a^{x}

中，

x = 0

時的值就是

k

；再用另一點求底數，底數一定取正。

04第二部分單選、多選（第 14、15 題）：指數中含對數的不等式、對數圖形上的三點

第 14 題

答案 (4)。 $0.5 = 2^{- 1}$ ， $4 = 2^{2}$ ，不等式為 $2^{- 1} \leq 2^{l o g (x - 2023)} \leq 2^{2}$ 。底數 $2 > 1$ ，指數函數遞增，所以 $- 1 \leq lo g (x - 2023) \leq 2$ 。

對數函數也遞增， $1 0^{- 1} \leq x - 2023 \leq 1 0^{2}$ ，即 $0.1 \leq x - 2023 \leq 100$ 。 $x$ 是整數， $x - 2023$ 也是整數，可以是 $1, 2, \dots, 100$ ，共 $100$ 個。

x = 2023

時真數為

0

，沒有意義；

x - 2023

的最小整數值是

1

。

第 15 題

答案 (1)(2)(4)。由圖， $A$ 在 $x$ 軸下方、 $C$ 在 $x$ 軸上方， $B$ 在 $A$ 、 $C$ 之間，所以 $0 < a < 1 < b < c$ （題幹附圖中 $A$ 在 $(1, 0)$ 左邊、 $C$ 在右邊）。

(1) 正確。 $a < b$ 且 $a$ 、 $b$ 都是正數，公比 $r = \frac{b}{a} > 1$ 。

(2) 正確。 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比， $b^{2} = a c$ ，取對數 $2 lo g b = lo g a + lo g c$ ，所以 $lo g a$ ， $lo g b$ ， $lo g c$ 成等差。

(3) 錯誤。 由算幾不等式， $\frac{a + c}{2} \geq a c = b$ ，而 $a \neq = c$ ，所以 $\frac{a + c}{2} > b$ 。對數函數遞增，得 $lo g \frac{a + c}{2} > lo g b$ ，不是小於。

(4) 正確。 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一直線上， $\overline{A B} : \overline{B C}$ 等於 $x$ 坐標的差之比 $(b - a) : (c - b)$ 。設公比 $r$ ，則 $c - b = r b - r a = r (b - a)$ ，所以 $\overline{A B} : \overline{B C} = 1 : r$ 。又 $r > 1$ ，所以 $\overline{A B} < \overline{B C}$ 。

(5) 錯誤。 公比 $r = 3$ 時，由 (4)， $\overline{A B} : \overline{B C} = 1 : 3$ ，所以 $A$ 、 $C$ 到 $x$ 軸的距離比也是 $1 : 3$ ，即 $- lo g a : lo g c = 1 : 3$ ， $lo g c = - 3 lo g a$ 。又 $c = 9 a$ ， $lo g c = lo g 9 + lo g a$ 。所以 $lo g 9 + lo g a = - 3 lo g a$ ， $lo g a = - \frac{lo g 9}{4} = - \frac{1}{2} lo g 3$ ， $a = 3^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = 3 a = 3^{\frac{1}{2}} = 3$ ，不是 $33$ 。

(5) 驗算：

a = \frac{1}{3}

、

b = 3

、

c = 33

，

lo g a = - 0.2386

、

lo g c = 0.7157

，

B

把

\overline{A C}

分成

1 : 3

，

B

的高度

lo g a + \frac{1}{4} (lo g c - lo g a) = 0

，正好在

x

軸上。

x

坐標成等比，對數值就成等差；同一直線上的線段比可以用

x

坐標（或

y

坐標）的差來算。

05第二部分選填 A～C（第 16～18 題）：換元求最小值、換底求周長、對數和為整數

第 16 題

令 $t = 2^{x}$ 。 $0 \leq x \leq 3$ ，所以 $1 \leq t \leq 8$ 。 $4^{x} = t^{2}$ ， $2^{x + 2} = 4 t$ ，

$f (x) = t^{2} - 4 t - 5 = (t - 2)^{2} - 9$ 。

$t = 2$ 在 $1 \leq t \leq 8$ 內，所以最小值是 $- 9$ ，發生在 $t = 2$ ，即 $x = 1$ 。

要先找出

t

的範圍，再看頂點

t = 2

是否在範圍內。原卷答案格為兩格（負號與數字）。

第 17 題

兩股： $\frac{lo g 8}{lo g 9} = \frac{3 lo g 2}{2 lo g 3} = \frac{3}{2} lo g_{3} 2$ ， $\frac{lo g 4}{lo g 3} = \frac{2 lo g 2}{lo g 3} = 2 lo g_{3} 2$ 。

設 $u = lo g_{3} 2$ ，兩股為 $\frac{3}{2} u$ 與 $2 u$ ，斜邊 $= \frac{9}{4} u^{2} + 4 u^{2} = \frac{25}{4} u^{2} = \frac{5}{2} u$ 。

周長 $= \frac{3}{2} u + 2 u + \frac{5}{2} u = 6 u = 6 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 2^{6} = lo g_{3} 64$ ，所以 $x = 64$ 。

兩股長的比是

3 : 4

，所以斜邊是

5

的那一份，三邊為

3 : 4 : 5

。

第 18 題

$lo g a + lo g b = lo g (ab)$ ，是整數的條件是 $ab$ 為 $10$ 的整數次方。六個數中任取相異兩數的乘積：

$2 \times 5 = 10$ ， $2 \times 50 = 100$ ， $5 \times 20 = 100$ ， $10 \times 100 = 1000$ ， $20 \times 50 = 1000$ 是 $10$ 的整數次方；其餘的組合 $2 \times 10 = 20$ 、 $2 \times 20 = 40$ 、 $2 \times 100 = 200$ 、 $5 \times 10 = 50$ 、 $5 \times 50 = 250$ 、 $5 \times 100 = 500$ 、 $10 \times 20 = 200$ 、 $10 \times 50 = 500$ 、 $20 \times 100 = 2000$ 、 $50 \times 100 = 5000$ 都不是。

符合的兩數組合有 $5$ 種， $a$ 先取、 $b$ 後取，每種組合有兩種順序，所以數對 $(a, b)$ 共 $5 \times 2 = 10$ 組。

數對

(a, b)

有順序，例如

(2, 5)

與

(5, 2)

是不同的兩組。原卷答案格為兩格。

令

t = 2^{x}

後別忘了換算

t

的範圍；對數和是整數就是乘積是

10

的整數次方。

06第二部分選填 D～F（第 19～21 題）：衰減到一半以下、取對數成直線、等比數列取對數

第 19 題

每 $10$ 年剩下原來的 $90%$ ，經過 $n$ 年剩下目前含量的 $(0.9)^{\frac{n}{10}}$ 倍。要求 $(0.9)^{\frac{n}{10}} \leq \frac{1}{2}$ ，兩邊取常用對數：

$\frac{n}{10} lo g 0.9 \leq lo g \frac{1}{2} = - lo g 2$ 。

$lo g 0.9 = lo g \frac{9}{10} = 2 lo g 3 - 1 \approx 2 \times 0.4771 - 1 = - 0.0458$ ，是負數，兩邊除以它時不等號反向：

$\frac{n}{10} \geq \frac{0.3010}{0.0458} \approx 6.572$ ， $n \geq 65.72$ 。

所以至少要經過 $66$ 年。

若把題意讀成「只在每滿

10

年時才一次衰減

10%

」，則

(0.9)^{6} \approx 0.531

仍大於一半、

(0.9)^{7} \approx 0.478

才降到一半以下，要

70

年；題目要求「取整數」，學校答案與本頁都以連續衰減的

66

年為準。除以負數

lo g 0.9

時不等號要反向。

第 20 題

由表， $(t_{1}, d_{1}) = (0.5, 4)$ 換成 $(lo g_{2} 0.5, lo g_{2} 4) = (- 1, 2)$ ； $(t_{5}, d_{5}) = (4, 256)$ 換成 $(lo g_{2} 4, lo g_{2} 256) = (2, 8)$ 。

直線 $y = a x + b$ 通過 $(- 1, 2)$ 、 $(2, 8)$ ：斜率 $a = \frac{8 - 2}{2 - ( - 1 )} = 2$ ， $b = 2 - 2 \times (- 1) = 4$ ，直線為 $y = 2 x + 4$ 。

所以 $lo g_{2} d = 2 lo g_{2} t + 4 = lo g_{2} t^{2} + lo g_{2} 16 = lo g_{2} (16 t^{2})$ ， $d = 16 t^{2}$ 。

$t = 1.5$ 時， $d = 16 \times 1. 5^{2} = 16 \times 2.25 = 36$ （呎）。

驗算第 4 組：

d = 128

時

t^{2} = 8

，

t_{4} = 22

，介於

2

與

4

之間，與表一致。原卷答案格為兩格。

第 21 題

設公比 $r$ ，第七項 $=$ 第四項 $\times r^{3}$ ： $27 = 1 \times r^{3}$ ， $r$ 是實數，所以 $r = 3$ 。第一項 $a_{1} = \frac{1}{r ^{3}} = \frac{1}{27} = 3^{- 3}$ ，一般項 $a_{n} = 3^{n - 4}$ ，各項都是正數，對數有意義。

$lo g_{k} a_{1} + lo g_{k} a_{2} + \dots + lo g_{k} a_{32} = lo g_{k} (a_{1} a_{2} \dots a_{32}) = lo g_{k} 3^{S}$ ，其中 $S = (- 3) + (- 2) + \dots + 28 = \frac{32 \times ( - 3 + 28 )}{2} = 400$ 。

所以 $400 lo g_{k} 3 = - 200$ ， $lo g_{k} 3 = - \frac{1}{2}$ ， $k^{- \frac{1}{2}} = 3$ ， $k^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$ ， $k = \frac{1}{9}$ 。

驗算：

lo g_{\frac{1}{9}} 3 = \frac{lo g 3}{lo g \frac{1}{9}} = \frac{lo g 3}{- 2 lo g 3} = - \frac{1}{2}

，乘以

400

得

- 200

。原卷答案格為分子一格、分母一格。

衰減問題取對數時，底數小於

1

的對數是負數，除過去要變號；把數據取對數後成直線，就能由兩點求出指數模型。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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蘭陽女中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第一部分多選第 4 題選項 4 要說明對數值一定比 10 倍的真數小；第二部分多選第 15 題選項 4、5 要用同一直線上的線段比轉成 x 坐標的差之比，再由公比反推 a；選填 D 取對數後要除以負數 log 0.9，不等號要反向；選填 C 的數對有順序，要乘以 2。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

蘭陽女中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01第一部分單選、多選（第 1～4 題）：對數律、半衰期、指數與對數函數的圖形

02第一部分選填 A～H（第 5～12 題）：求對數值、同底解方程式、對數律、對數不等式、地震能量

03第一部分計算題（第 13 題）：由圖上兩點求指數模型

04第二部分單選、多選（第 14、15 題）：指數中含對數的不等式、對數圖形上的三點

05第二部分選填 A～C（第 16～18 題）：換元求最小值、換底求周長、對數和為整數

06第二部分選填 D～F（第 19～21 題）：衰減到一半以下、取對數成直線、等比數列取對數

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