段考詳解範圍：常用對數、直線方程式與二元一次不等式、圓方程式、圓與直線

蘭陽女中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《數與式》、《直線與圓》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 5 題（25 分）、多選題 5 題（30 分）、選填題 A～I 共 9 題（45 分）；原卷選填 A～I 即本頁第 11～19 題。第 15 題卷面印的點不在圓上，但不影響答案，見詳解。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：25%(每題 5 分)

lo g 1000 + lo g 1 + lo g \frac{1}{10} =

(1) $- 2$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $2$

如圖，

A B

、

B C

、

C D

、

D E

、

A E

的斜率分別為

m_{1}

、

m_{2}

、

m_{3}

、

m_{4}

、

m_{5}

，則下列何者正確？

(1) 最大為 $m_{4}$ ，最小為 $m_{5}$
(2) 最大為 $m_{4}$ ，最小為 $m_{1}$
(3) 最大為 $m_{5}$ ，最小為 $m_{1}$
(4) 最大為 $m_{2}$ ，最小為 $m_{3}$
(5) 最大為 $m_{3}$ ，最小為 $m_{5}$

載入中...

將直線

2 x + 3 y + 4 = 0

先水平向左平移

2

單位，再鉛直向上平移

3

單位，得到直線方程式為

2 x + a y + b = 0

，則

a + b =

(1) $1$
(2) $2$
(3) $4$
(4) $8$
(5) $16$

圓

C : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25

的圓心坐標為

(a, b)

、半徑為

r

，則序組

(a, b, r) =

(1) $(- 2, 1, 25)$
(2) $(2, - 1, 25)$
(3) $(2, - 1, 5)$
(4) $(- 2, 1, 5)$
(5) $(2, 1, 5)$

已知

lo g 3 \approx 0.4771

，則

3^{60}

為幾位數？

(1) $26$
(2) $27$
(3) $28$
(4) $29$
(5) $30$

二、多選題：30%(每題 6 分，答錯 1 個選項得 4 分，答錯 2 個選項得 2 分，其餘得 0 分)

關於

a = 123.456 \times 1 0^{10}

，下列何者正確？

(1) 上述的表示法為 $a$ 的科學記號
(2) $a$ 為 $13$ 位整數
(3) $a$ 共有 $7$ 個 $0$
(4) $a$ 大於一億
(5) $a < 9.876 \times 1 0^{12}$

已知三直線

L_{1} : x + 3 y - 1 = 0

、

L_{2} : x - y + 3 = 0

、

L_{3} : 2 x + k y + 1 = 0

不能圍成三角形，則

k

的值可能為下列何者？

(1) $- 2$
(2) $3$
(3) $4$
(4) $5$
(5) $6$

座標平面上三點

A (- 1, 3)

、

B (2, 7)

、

C (8, k)

，

k

為實數，下列何者正確？

(1) 若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三點共線，則 $k$ 的值可以是 $15$
(2) 若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三點共線，則 $k$ 的值可以是 $5$
(3) 若 $△ A B C$ 為直角三角形，則 $k$ 的值可以是 $\frac{- 15}{4}$
(4) 若 $△ A B C$ 為直角三角形，則 $k$ 的值可以是 $5$
(5) 若 $△ A B C$ 為直角三角形，則 $k$ 的值可以是 $\frac{5}{2}$

如下圖，聯立不等式

{a x + b y \leq c - 2 x - y \leq d

的圖形為斜線區域，則下列何者正確？

(1) $a > 0$
(2) $b > 0$
(3) $c > 0$
(4) $d > 0$
(5) $L_{1}$ 的直線方程式為 $- 2 x - y = d$

載入中...

關於圓

C : x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y - 12 = 0

、點

P (4, 3)

、

L_{1} : 3 x - 4 y - 16 = 0

、

L_{2} : 3 x + 4 y + 18 = 0

的敘述，下列何者正確？

(1) $P$ 點在圓內部
(2) 過 $P$ 點對圓 $C$ 可做一條切線
(3) 圓 $C$ 被直線 $L_{1}$ 截出的弦長為 $8$
(4) 圓 $C$ 與直線 $L_{2}$ 不相交
(5) 圓 $C$ 上的點到 $P$ 點的距離為整數的點有 $6$ 個

三、選填題：45%(每題 5 分)

已知

x = lo g 6

，則

10 0^{x} + 1 0^{- x} =

____。

如圖，橋面上有一圓拱形建築，圓拱的寬度

\overline{P Q} = 40

公尺，拱高

\overline{A_{2} B_{2}} = 10

公尺，在距離橋面中心

A_{2}

的左右

15

公尺處各有一纜繩垂直橋面，則纜繩

\overline{A_{3} B_{3}}

的長度為 ____ 公尺。

載入中...

座標平面上，兩平行直線

L_{1} : 4 x + 3 y - 5 = 0

、

L_{2} : 8 x + 6 y + 15 = 0

的距離為 ____。

若

x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y + 2 k - 4 = 0

的圖形並不存在，

k

值的最大可能範圍為

k > t

，則

t =

____。

已知圓

C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 2 = 0

與圓上一點

P (3, 1)

，過

P

點且與圓相切的直線方程式為

x + a y + b = 0

，則

a + b =

____。（本站補註：

P (3, 1)

代入卷面的圓方程式不為

0

，不在圓上，見詳解）

座標平面上三點

A (2, 5)

、

B (1, 3)

、

C (4, 6)

，過點

A

且與

B C

垂直的直線方程式為

L : x + a y + b = 0

，則數對

(a, b) =

____。

已知一菱形

A B C D

中，三頂點為

A (3, 4)

、

B (- 4, 0)

、

C (4, 1)

，若直線

L : y = m x + 2 m + 4

將此菱形平分為相等面積的兩塊，則實數

m =

____。

已知可樂一杯

20

元，果汁一杯

30

元，

S i g ma

目前手上只有

120

元，想至少買兩杯飲料(可樂或果汁都行)，則他有 ____ 種不同的購買方法。

座標平面上一圓的圓心為

C (a, b)

，且與兩座標軸都相切，另有一點

P (c, c)

，其中

a > c > 0

，若

\overline{P C} = a + c

，則

\frac{b}{c} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(1)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(4)

第 6 題(2)(3)(4)(5)

第 7 題(1)(2)(5)

第 8 題(1)(3)(5)

第 9 題(2)(3)(4)

第 10 題(1)(3)(4)(5)

第 11 題

\frac{217}{6}

第 12 題

5

第 13 題

\frac{5}{2}

第 14 題

7

第 15 題

- 3

（卷面的點不在圓上，見詳解）

第 16 題

(1, - 7)

第 17 題

\frac{- 3}{11}

第 18 題

16

第 19 題

3 + 22

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：常用對數、斜率大小、直線平移、圓的標準式、位數

第 1 題答案 (5)。

lo g 1000 = lo g 1 0^{3} = 3

，

lo g 1 = 0

，

lo g \frac{1}{10} = lo g 1 0^{- 1} = - 1

。三者相加

3 + 0 - 1 = 2

。

第 2 題答案 (1)。從圖上看各直線的傾斜方向：

B C

是水平線，

m_{2} = 0

。

C D

與

D E

都是往右上升，斜率為正；

D E

比

C D

陡，所以

m_{4} > m_{3} > 0

。

A B

與

A E

都是往右下降，斜率為負；

A E

幾乎是鉛直的，比

A B

陡得多，所以

m_{5} < m_{1} < 0

。因此最大為

m_{4}

，最小為

m_{5}

。

斜率為正時，愈陡斜率愈大；斜率為負時，愈陡斜率愈小（負得愈多）。

第 3 題答案 (2)。向左平移

2

單位：把

x

換成

x + 2

；向上平移

3

單位：把

y

換成

y - 3

。得

2 (x + 2) + 3 (y - 3) + 4 = 0

，整理成

2 x + 3 y - 1 = 0

。所以

a = 3

，

b = - 1

，

a + b = 2

。

驗算：原直線上的點

(- 2, 0)

移動後到

(- 4, 3)

，代入

2 x + 3 y - 1

得

- 8 + 9 - 1 = 0

。

第 4 題答案 (3)。圓的標準式

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

的圓心是

(h, k)

、半徑是

r

。這裡

(y + 1)^{2} = (y - (- 1))^{2}

，所以圓心

(2, - 1)

；

r^{2} = 25

，

r = 5

。

(a, b, r) = (2, - 1, 5)

。

第 5 題答案 (4)。

lo g 3^{60} = 60 lo g 3 \approx 60 \times 0.4771 = 28.626

，所以

3^{60} = 1 0^{28.626}

，介於

1 0^{28}

與

1 0^{29}

之間。比

1 0^{28}

（

29

位數中最小的）大、比

1 0^{29}

小，所以

3^{60}

是

29

位數。

lo g N

的整數部分是

n

時，

N

是

n + 1

位數。

位數看常用對數的整數部分再加

1

；由圖比斜率，先分正負，再比陡的程度。

02多選 6～10：科學記號、三線不能圍成三角形、共線與垂直、不等式區域、圓與直線

第 6 題答案 (2)(3)(4)(5)。

a = 123.456 \times 1 0^{10} = 1234560000000

。(1) 錯：科學記號要寫成

p \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq p < 10

；

123.456

不在這個範圍，

a

的科學記號是

1.23456 \times 1 0^{12}

。(2) 對：

a = 1.23456 \times 1 0^{12}

，介於

1 0^{12}

與

1 0^{13}

之間，是

13

位整數。(3) 對：

1234560000000

前六位是

1

、

2

、

3

、

4

、

5

、

6

，後面接

7

個

0

，共有

7

個

0

。(4) 對：一億是

1 0^{8}

，

a

約

1.23 \times 1 0^{12}

，比一億大。(5) 對：

a = 1.23456 \times 1 0^{12}

，

1.23456 < 9.876

，所以

a < 9.876 \times 1 0^{12}

。

第 7 題答案 (1)(2)(5)。三直線不能圍成三角形有兩種情形：有兩條平行（或重合），或三線交於一點。

L_{1}

的斜率

- \frac{1}{3}

，

L_{2}

的斜率

1

，兩者不平行。

L_{3}

與

L_{1}

平行：

\frac{2}{1} = \frac{k}{3}

，

k = 6

（此時

L_{3} : 2 x + 6 y + 1 = 0

，

L_{1}

可寫成

2 x + 6 y - 2 = 0

，常數項不同，不重合）。

L_{3}

與

L_{2}

平行：

\frac{2}{1} = \frac{k}{- 1}

，

k = - 2

（

L_{3} : 2 x - 2 y + 1 = 0

，

L_{2}

可寫成

2 x - 2 y + 6 = 0

，不重合）。三線共點：解

L_{1}

、

L_{2}

的交點，兩式相減得

4 y - 4 = 0

，

y = 1

，

x = - 2

；代入

L_{3}

：

- 4 + k + 1 = 0

，

k = 3

。所以

k

可能是

- 2

、

3

、

6

。(1)、(2)、(5) 對，(3)、(4) 錯：

k = 4

或

5

時三線兩兩不平行也不共點，可以圍成三角形。

第 8 題答案 (1)(3)(5)。

A B

的斜率

= \frac{7 - 3}{2 - ( - 1 )} = \frac{4}{3}

。(1) 對：三點共線時

A C

的斜率也是

\frac{4}{3}

：

\frac{k - 3}{8 - ( - 1 )} = \frac{4}{3}

，

k - 3 = 12

，

k = 15

。(2) 錯：共線時

k

只能是

15

。直角三角形分三種情形（兩直線垂直時斜率相乘為

- 1

）。直角在

A

：

A C

的斜率

\frac{k - 3}{9}

乘

\frac{4}{3}

等於

- 1

，

k - 3 = - \frac{27}{4}

，

k = - \frac{15}{4}

。直角在

B

：

B C

的斜率

\frac{k - 7}{6}

乘

\frac{4}{3}

等於

- 1

，

k - 7 = - \frac{9}{2}

，

k = \frac{5}{2}

。直角在

C

：

\frac{k - 3}{9} \times \frac{k - 7}{6} = - 1

，即

(k - 3) (k - 7) = - 54

，

k^{2} - 10 k + 75 = 0

，判別式

100 - 300 < 0

，沒有實數解。所以 (3) 對、(5) 對，(4) 錯：

k = 5

時

A C

斜率

\frac{2}{9}

、

B C

斜率

- \frac{1}{3}

，三個斜率兩兩相乘都不是

- 1

。

k = - \frac{15}{4}

、

\frac{5}{2}

時

C

都不在

A B

上，三點確實圍成三角形。

第 9 題答案 (2)(3)(4)。

- 2 x - y = d

即

y = - 2 x - d

，斜率

- 2

，是圖中往右下降的那條，也就是

L_{2}

；

L_{1}

往右上升，是

a x + b y = c

。(5) 錯。由圖，原點

O

在斜線區域內部（不在兩條直線上），代入兩個不等式：

0 \leq c

且

0 \leq d

，又原點不在直線上，所以

c > 0

、

d > 0

，(3)(4) 對。斜線區域在

L_{1}

的下方：在

y

軸上取很高的點

(0, y_{0})

，它在

L_{1}

上方、不在區域內，所以

b \cdot y_{0} > c > 0

，

b > 0

，(2) 對。

L_{1}

的斜率

- \frac{a}{b} > 0

，而

b > 0

，所以

a < 0

，(1) 錯。

也可以看

L_{2}

的截距檢查

d

：

L_{2}

的

y

截距

- d

在原點下方，

- d < 0

，

d > 0

。

第 10 題答案 (1)(3)(4)(5)。配方：

(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 9 + 4 + 12 = 25

，圓心

M (3, 2)

，半徑

5

。(1) 對：

\overline{M P} = 1^{2} + 1^{2} = 2 < 5

，

P

在圓內。(2) 錯：圓內的點作不出切線。(3) 對：圓心到

L_{1}

的距離

\frac{∣9 - 8 - 16∣}{5} = 3

，弦長

= 2 5^{2} - 3^{2} = 8

。(4) 對：圓心到

L_{2}

的距離

\frac{∣9 + 8 + 18∣}{5} = 7 > 5

，不相交。(5) 對：過

P

與圓心作直線交圓於兩點，圓上離

P

03選填 11～15（原卷 A～E）：指對數互換、圓拱、平行線距離、圓的存在條件、切線

第 11 題

x = lo g 6

表示

1 0^{x} = 6

。

10 0^{x} = (1 0^{2})^{x} = (1 0^{x})^{2} = 36

，

1 0^{- x} = \frac{1}{1 0 ^{x}} = \frac{1}{6}

。相加

36 + \frac{1}{6} = \frac{217}{6}

。

第 12 題以橋面中心

A_{2}

為原點、橋面為

x

軸建坐標：

P (- 20, 0)

、

Q (20, 0)

、

B_{2} (0, 10)

。圓心在

y

軸上，設為

(0, - h)

、半徑

r

。由

B_{2}

：

r = 10 + h

；由

Q

：

r^{2} = 2 0^{2} + h^{2}

。代入得

(10 + h)^{2} = 400 + h^{2}

，

20 h = 300

，

h = 15

，

r = 25

。圓的方程式

x^{2} + (y + 15)^{2} = 625

。

A_{3}

在

x = 15

，代入：

(y + 15)^{2} = 625 - 225 = 400

，

y + 15 = 20

（取上半圓），

y = 5

。纜繩長

5

公尺。

圖上纜繩的位置與長度只是示意，沒有照實際比例畫。

第 13 題先把係數化成一致：

L_{1}

乘

2

得

8 x + 6 y - 10 = 0

。兩平行線

8 x + 6 y - 10 = 0

、

8 x + 6 y + 15 = 0

的距離

= \frac{∣ - 10 - 15∣}{8 ^{2} + 6 ^{2}} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}

。

若沒有先把

x

、

y

的係數調成相同，直接用

- 5

與

15

相減會算錯。

第 14 題配方：

(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 9 + 1 - 2 k + 4 = 14 - 2 k

。圖形不存在表示右邊小於

0

：

14 - 2 k < 0

，

k > 7

。所以

t = 7

。

右邊等於

0

（

k = 7

）時圖形是一點

(- 3, 1)

，仍然存在。

第 15 題切線過

P (3, 1)

，代入

x + a y + b = 0

得

3 + a + b = 0

，所以

a + b = - 3

。再檢查題目：

P (3, 1)

代入卷面的圓得

9 + 1 - 6 + 6 + 2 = 12

，不是

0

，

P

不在這個圓上，「圓上一點」應是卷面印錯一個符號。若圓讀作

x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 2 = 0

，

P

在圓上，配方

(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 8

，圓心

(1, 3)

，半徑斜率

- 1

，切線斜率

1

，切線

x - y - 2 = 0

，

a = - 1

、

b = - 2

，

a + b = - 3

，與上面一致。

照卷面原字

+ 6 y

，

P

在圓外（圓心

(1, - 3)

、

P

到圓心

25 > 22

），過

P

有兩條切線，係數不是整數，但兩條都過

P

，

a + b

仍是

- 3

。若改成點為

(3, - 1)

而圓不變，切線

x + y - 2 = 0

，答案會是

- 1

；學校答案

- 3

對應點為

(3, 1)

。

過圓上一點的切線垂直於過該點的半徑；圓的一般式先配方，右邊的正負決定是圓、一點還是不存在。

04選填 16～19（原卷 F～I）：垂直線、菱形平分面積、購買方法數、與兩軸相切的圓

第 16 題

B C

的斜率

= \frac{6 - 3}{4 - 1} = 1

，與它垂直的直線斜率為

- 1

。過

A (2, 5)

：

y - 5 = - (x - 2)

，即

x + y - 7 = 0

。對照

x + a y + b = 0

，

(a, b) = (1, - 7)

。

第 17 題菱形是平行四邊形，過兩對角線交點（中心）的直線都把它分成兩塊全等的圖形，面積相等。中心是對角線

\overline{A C}

的中點

(\frac{3 + 4}{2}, \frac{4 + 1}{2}) = (\frac{7}{2}, \frac{5}{2})

。代入

y = m x + 2 m + 4

：

\frac{5}{2} = \frac{7}{2} m + 2 m + 4

，

\frac{11}{2} m = - \frac{3}{2}

，

m = - \frac{3}{11}

。

L

寫成

y - 4 = m (x + 2)

，是過定點

(- 2, 4)

的直線；

(- 2, 4)

與中心不重合，所以只有一個

m

。另外檢查

\overline{A B} = \overline{B C} = 65

，確實是菱形，第四頂點

D (11, 5)

。

第 18 題購買方法以可樂、果汁各買幾杯來計，不計先後順序。設買可樂

x

杯、果汁

y

杯，

x

、

y

為非負整數，條件是

20 x + 30 y \leq 120

（即

2 x + 3 y \leq 12

）且

x + y \geq 2

。依

y

分類數

x

：

y = 0

時

2 x \leq 12

且

x \geq 2

，

x = 2

～

6

，

5

種；

y = 1

時

2 x \leq 9

且

x \geq 1

，

x = 1

～

4

，

4

種；

y = 2

時

2 x \leq 6

，

x = 0

～

3

，

4

種；

y = 3

時

2 x \leq 3

，

x = 0

、

1

，

2

種；

y = 4

時

x = 0

，

1

種。合計

5 + 4 + 4 + 2 + 1 = 16

種。

這就是二元一次不等式區域內的格子點個數。

y = 0

、

1

時要記得扣掉總杯數少於

2

的情形。

第 19 題圓與兩軸都相切，圓心到兩軸的距離都等於半徑：

∣ a ∣ = ∣ b ∣

。

a > 0

，所以

b = a

或

b = - a

。若

b = - a

：

\overline{P C}^{2} = (a - c)^{2} + (- a - c)^{2} = (a - c)^{2} + (a + c)^{2}

，要等於

(a + c)^{2}

，得

a = c

，與

a > c

矛盾。所以

b = a

：

\overline{P C} = (a - c)^{2} + (a - c)^{2} = 2 (a - c)

（因為

a > c

）。由

2 (a - c) = a + c

得

(2 - 1) a = (2 + 1) c

，

\frac{a}{c} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = (2 + 1)^{2} = 3 + 22

。

\frac{b}{c} = \frac{a}{c} = 3 + 22

。

\overline{P C} = a + c

的幾何意思：

P (c, c)

也在直線

y = x

上，以

P

為圓心、半徑

c

的圓與原圓外切。

平分平行四邊形（含菱形）面積的直線必過中心；與兩軸都相切的圓，圓心坐標的絕對值相等，要分象限討論。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

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常見問題

蘭陽女中 112 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 112 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 8 題直角三角形要分直角在 A、B、C 三種情形；多選第 9 題要先認出哪條線是 -2x-y=d，再用原點與區域外的點判斷係數正負；多選第 10 題選項 (5) 要想到圓上離 P 最近與最遠之間每個整數距離各有兩點；原卷 E 題（本頁第 15 題）卷面印的點不在圓上，但切線過該點即可得 a+b；原卷 I 題（本頁第 19 題）要排除圓心在第四象限的情形。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自蘭陽女中 112 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：常用對數、直線方程式與二元一次不等式、圓方程式、圓與直線

蘭陽女中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《數與式》、《直線與圓》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、單選題：25%(每題 5 分)

lo g 1000 + lo g 1 + lo g \frac{1}{10} =

(1) $- 2$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $2$

如圖，

A B

、

B C

、

C D

、

D E

、

A E

的斜率分別為

m_{1}

、

m_{2}

、

m_{3}

、

m_{4}

、

m_{5}

，則下列何者正確？

(1) 最大為 $m_{4}$ ，最小為 $m_{5}$
(2) 最大為 $m_{4}$ ，最小為 $m_{1}$
(3) 最大為 $m_{5}$ ，最小為 $m_{1}$
(4) 最大為 $m_{2}$ ，最小為 $m_{3}$
(5) 最大為 $m_{3}$ ，最小為 $m_{5}$

載入中...

將直線

2 x + 3 y + 4 = 0

先水平向左平移

2

單位，再鉛直向上平移

3

單位，得到直線方程式為

2 x + a y + b = 0

，則

a + b =

(1) $1$
(2) $2$
(3) $4$
(4) $8$
(5) $16$

圓

C : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25

的圓心坐標為

(a, b)

、半徑為

r

，則序組

(a, b, r) =

(1) $(- 2, 1, 25)$
(2) $(2, - 1, 25)$
(3) $(2, - 1, 5)$
(4) $(- 2, 1, 5)$
(5) $(2, 1, 5)$

已知

lo g 3 \approx 0.4771

，則

3^{60}

為幾位數？

(1) $26$
(2) $27$
(3) $28$
(4) $29$
(5) $30$

二、多選題：30%(每題 6 分，答錯 1 個選項得 4 分，答錯 2 個選項得 2 分，其餘得 0 分)

關於

a = 123.456 \times 1 0^{10}

，下列何者正確？

(1) 上述的表示法為 $a$ 的科學記號
(2) $a$ 為 $13$ 位整數
(3) $a$ 共有 $7$ 個 $0$
(4) $a$ 大於一億
(5) $a < 9.876 \times 1 0^{12}$

已知三直線

L_{1} : x + 3 y - 1 = 0

、

L_{2} : x - y + 3 = 0

、

L_{3} : 2 x + k y + 1 = 0

不能圍成三角形，則

k

的值可能為下列何者？

(1) $- 2$
(2) $3$
(3) $4$
(4) $5$
(5) $6$

座標平面上三點

A (- 1, 3)

、

B (2, 7)

、

C (8, k)

，

k

為實數，下列何者正確？

(1) 若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三點共線，則 $k$ 的值可以是 $15$
(2) 若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三點共線，則 $k$ 的值可以是 $5$
(3) 若 $△ A B C$ 為直角三角形，則 $k$ 的值可以是 $\frac{- 15}{4}$
(4) 若 $△ A B C$ 為直角三角形，則 $k$ 的值可以是 $5$
(5) 若 $△ A B C$ 為直角三角形，則 $k$ 的值可以是 $\frac{5}{2}$

如下圖，聯立不等式

{a x + b y \leq c - 2 x - y \leq d

的圖形為斜線區域，則下列何者正確？

(1) $a > 0$
(2) $b > 0$
(3) $c > 0$
(4) $d > 0$
(5) $L_{1}$ 的直線方程式為 $- 2 x - y = d$

載入中...

關於圓

C : x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y - 12 = 0

、點

P (4, 3)

、

L_{1} : 3 x - 4 y - 16 = 0

、

L_{2} : 3 x + 4 y + 18 = 0

的敘述，下列何者正確？

(1) $P$ 點在圓內部
(2) 過 $P$ 點對圓 $C$ 可做一條切線
(3) 圓 $C$ 被直線 $L_{1}$ 截出的弦長為 $8$
(4) 圓 $C$ 與直線 $L_{2}$ 不相交
(5) 圓 $C$ 上的點到 $P$ 點的距離為整數的點有 $6$ 個

三、選填題：45%(每題 5 分)

已知

x = lo g 6

，則

10 0^{x} + 1 0^{- x} =

____。

如圖，橋面上有一圓拱形建築，圓拱的寬度

\overline{P Q} = 40

公尺，拱高

\overline{A_{2} B_{2}} = 10

公尺，在距離橋面中心

A_{2}

的左右

15

公尺處各有一纜繩垂直橋面，則纜繩

\overline{A_{3} B_{3}}

的長度為 ____ 公尺。

載入中...

座標平面上，兩平行直線

L_{1} : 4 x + 3 y - 5 = 0

、

L_{2} : 8 x + 6 y + 15 = 0

的距離為 ____。

若

x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y + 2 k - 4 = 0

的圖形並不存在，

k

值的最大可能範圍為

k > t

，則

t =

____。

已知圓

C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 2 = 0

與圓上一點

P (3, 1)

，過

P

點且與圓相切的直線方程式為

x + a y + b = 0

，則

a + b =

____。（本站補註：

P (3, 1)

代入卷面的圓方程式不為

0

，不在圓上，見詳解）

座標平面上三點

A (2, 5)

、

B (1, 3)

、

C (4, 6)

，過點

A

且與

B C

垂直的直線方程式為

L : x + a y + b = 0

，則數對

(a, b) =

____。

已知一菱形

A B C D

中，三頂點為

A (3, 4)

、

B (- 4, 0)

、

C (4, 1)

，若直線

L : y = m x + 2 m + 4

將此菱形平分為相等面積的兩塊，則實數

m =

____。

已知可樂一杯

20

元，果汁一杯

30

元，

S i g ma

目前手上只有

120

元，想至少買兩杯飲料(可樂或果汁都行)，則他有 ____ 種不同的購買方法。

座標平面上一圓的圓心為

C (a, b)

，且與兩座標軸都相切，另有一點

P (c, c)

，其中

a > c > 0

，若

\overline{P C} = a + c

，則

\frac{b}{c} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(1)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(4)

第 6 題(2)(3)(4)(5)

第 7 題(1)(2)(5)

第 8 題(1)(3)(5)

第 9 題(2)(3)(4)

第 10 題(1)(3)(4)(5)

第 11 題

\frac{217}{6}

第 12 題

5

第 13 題

\frac{5}{2}

第 14 題

7

第 15 題

- 3

（卷面的點不在圓上，見詳解）

第 16 題

(1, - 7)

第 17 題

\frac{- 3}{11}

第 18 題

16

第 19 題

3 + 22

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：常用對數、斜率大小、直線平移、圓的標準式、位數

第 1 題答案 (5)。

lo g 1000 = lo g 1 0^{3} = 3

，

lo g 1 = 0

，

lo g \frac{1}{10} = lo g 1 0^{- 1} = - 1

。三者相加

3 + 0 - 1 = 2

。

第 2 題答案 (1)。從圖上看各直線的傾斜方向：

B C

是水平線，

m_{2} = 0

。

C D

與

D E

都是往右上升，斜率為正；

D E

比

C D

陡，所以

m_{4} > m_{3} > 0

。

A B

與

A E

都是往右下降，斜率為負；

A E

幾乎是鉛直的，比

A B

陡得多，所以

m_{5} < m_{1} < 0

。因此最大為

m_{4}

，最小為

m_{5}

。

斜率為正時，愈陡斜率愈大；斜率為負時，愈陡斜率愈小（負得愈多）。

第 3 題答案 (2)。向左平移

2

單位：把

x

換成

x + 2

；向上平移

3

單位：把

y

換成

y - 3

。得

2 (x + 2) + 3 (y - 3) + 4 = 0

，整理成

2 x + 3 y - 1 = 0

。所以

a = 3

，

b = - 1

，

a + b = 2

。

驗算：原直線上的點

(- 2, 0)

移動後到

(- 4, 3)

，代入

2 x + 3 y - 1

得

- 8 + 9 - 1 = 0

。

第 4 題答案 (3)。圓的標準式

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

的圓心是

(h, k)

、半徑是

r

。這裡

(y + 1)^{2} = (y - (- 1))^{2}

，所以圓心

(2, - 1)

；

r^{2} = 25

，

r = 5

。

(a, b, r) = (2, - 1, 5)

。

第 5 題答案 (4)。

lo g 3^{60} = 60 lo g 3 \approx 60 \times 0.4771 = 28.626

，所以

3^{60} = 1 0^{28.626}

，介於

1 0^{28}

與

1 0^{29}

之間。比

1 0^{28}

（

29

位數中最小的）大、比

1 0^{29}

小，所以

3^{60}

是

29

位數。

lo g N

的整數部分是

n

時，

N

是

n + 1

位數。

位數看常用對數的整數部分再加

1

；由圖比斜率，先分正負，再比陡的程度。

02多選 6～10：科學記號、三線不能圍成三角形、共線與垂直、不等式區域、圓與直線

第 6 題答案 (2)(3)(4)(5)。

a = 123.456 \times 1 0^{10} = 1234560000000

。(1) 錯：科學記號要寫成

p \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq p < 10

；

123.456

不在這個範圍，

a

的科學記號是

1.23456 \times 1 0^{12}

。(2) 對：

a = 1.23456 \times 1 0^{12}

，介於

1 0^{12}

與

1 0^{13}

之間，是

13

位整數。(3) 對：

1234560000000

前六位是

1

、

2

、

3

、

4

、

5

、

6

，後面接

7

個

0

，共有

7

個

0

。(4) 對：一億是

1 0^{8}

，

a

約

1.23 \times 1 0^{12}

，比一億大。(5) 對：

a = 1.23456 \times 1 0^{12}

，

1.23456 < 9.876

，所以

a < 9.876 \times 1 0^{12}

。

第 7 題答案 (1)(2)(5)。三直線不能圍成三角形有兩種情形：有兩條平行（或重合），或三線交於一點。

L_{1}

的斜率

- \frac{1}{3}

，

L_{2}

的斜率

1

，兩者不平行。

L_{3}

與

L_{1}

平行：

\frac{2}{1} = \frac{k}{3}

，

k = 6

（此時

L_{3} : 2 x + 6 y + 1 = 0

，

L_{1}

可寫成

2 x + 6 y - 2 = 0

，常數項不同，不重合）。

L_{3}

與

L_{2}

平行：

\frac{2}{1} = \frac{k}{- 1}

，

k = - 2

（

L_{3} : 2 x - 2 y + 1 = 0

，

L_{2}

可寫成

2 x - 2 y + 6 = 0

，不重合）。三線共點：解

L_{1}

、

L_{2}

的交點，兩式相減得

4 y - 4 = 0

，

y = 1

，

x = - 2

；代入

L_{3}

：

- 4 + k + 1 = 0

，

k = 3

。所以

k

可能是

- 2

、

3

、

6

。(1)、(2)、(5) 對，(3)、(4) 錯：

k = 4

或

5

時三線兩兩不平行也不共點，可以圍成三角形。

第 8 題答案 (1)(3)(5)。

A B

的斜率

= \frac{7 - 3}{2 - ( - 1 )} = \frac{4}{3}

。(1) 對：三點共線時

A C

的斜率也是

\frac{4}{3}

：

\frac{k - 3}{8 - ( - 1 )} = \frac{4}{3}

，

k - 3 = 12

，

k = 15

。(2) 錯：共線時

k

只能是

15

。直角三角形分三種情形（兩直線垂直時斜率相乘為

- 1

）。直角在

A

：

A C

的斜率

\frac{k - 3}{9}

乘

\frac{4}{3}

等於

- 1

，

k - 3 = - \frac{27}{4}

，

k = - \frac{15}{4}

。直角在

B

：

B C

的斜率

\frac{k - 7}{6}

乘

\frac{4}{3}

等於

- 1

，

k - 7 = - \frac{9}{2}

，

k = \frac{5}{2}

。直角在

C

：

\frac{k - 3}{9} \times \frac{k - 7}{6} = - 1

，即

(k - 3) (k - 7) = - 54

，

k^{2} - 10 k + 75 = 0

，判別式

100 - 300 < 0

，沒有實數解。所以 (3) 對、(5) 對，(4) 錯：

k = 5

時

A C

斜率

\frac{2}{9}

、

B C

斜率

- \frac{1}{3}

，三個斜率兩兩相乘都不是

- 1

。

k = - \frac{15}{4}

、

\frac{5}{2}

時

C

都不在

A B

上，三點確實圍成三角形。

第 9 題答案 (2)(3)(4)。

- 2 x - y = d

即

y = - 2 x - d

，斜率

- 2

，是圖中往右下降的那條，也就是

L_{2}

；

L_{1}

往右上升，是

a x + b y = c

。(5) 錯。由圖，原點

O

在斜線區域內部（不在兩條直線上），代入兩個不等式：

0 \leq c

且

0 \leq d

，又原點不在直線上，所以

c > 0

、

d > 0

，(3)(4) 對。斜線區域在

L_{1}

的下方：在

y

軸上取很高的點

(0, y_{0})

，它在

L_{1}

上方、不在區域內，所以

b \cdot y_{0} > c > 0

，

b > 0

，(2) 對。

L_{1}

的斜率

- \frac{a}{b} > 0

，而

b > 0

，所以

a < 0

，(1) 錯。

也可以看

L_{2}

的截距檢查

d

：

L_{2}

的

y

截距

- d

在原點下方，

- d < 0

，

d > 0

。

第 10 題答案 (1)(3)(4)(5)。配方：

(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 9 + 4 + 12 = 25

，圓心

M (3, 2)

，半徑

5

。(1) 對：

\overline{M P} = 1^{2} + 1^{2} = 2 < 5

，

P

在圓內。(2) 錯：圓內的點作不出切線。(3) 對：圓心到

L_{1}

的距離

\frac{∣9 - 8 - 16∣}{5} = 3

，弦長

= 2 5^{2} - 3^{2} = 8

。(4) 對：圓心到

L_{2}

的距離

\frac{∣9 + 8 + 18∣}{5} = 7 > 5

，不相交。(5) 對：過

P

與圓心作直線交圓於兩點，圓上離

P

03選填 11～15（原卷 A～E）：指對數互換、圓拱、平行線距離、圓的存在條件、切線

第 11 題

x = lo g 6

表示

1 0^{x} = 6

。

10 0^{x} = (1 0^{2})^{x} = (1 0^{x})^{2} = 36

，

1 0^{- x} = \frac{1}{1 0 ^{x}} = \frac{1}{6}

。相加

36 + \frac{1}{6} = \frac{217}{6}

。

第 12 題以橋面中心

A_{2}

為原點、橋面為

x

軸建坐標：

P (- 20, 0)

、

Q (20, 0)

、

B_{2} (0, 10)

。圓心在

y

軸上，設為

(0, - h)

、半徑

r

。由

B_{2}

：

r = 10 + h

；由

Q

：

r^{2} = 2 0^{2} + h^{2}

。代入得

(10 + h)^{2} = 400 + h^{2}

，

20 h = 300

，

h = 15

，

r = 25

。圓的方程式

x^{2} + (y + 15)^{2} = 625

。

A_{3}

在

x = 15

，代入：

(y + 15)^{2} = 625 - 225 = 400

，

y + 15 = 20

（取上半圓），

y = 5

。纜繩長

5

公尺。

圖上纜繩的位置與長度只是示意，沒有照實際比例畫。

第 13 題先把係數化成一致：

L_{1}

乘

2

得

8 x + 6 y - 10 = 0

。兩平行線

8 x + 6 y - 10 = 0

、

8 x + 6 y + 15 = 0

的距離

= \frac{∣ - 10 - 15∣}{8 ^{2} + 6 ^{2}} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}

。

若沒有先把

x

、

y

的係數調成相同，直接用

- 5

與

15

相減會算錯。

第 14 題配方：

(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 9 + 1 - 2 k + 4 = 14 - 2 k

。圖形不存在表示右邊小於

0

：

14 - 2 k < 0

，

k > 7

。所以

t = 7

。

右邊等於

0

（

k = 7

）時圖形是一點

(- 3, 1)

，仍然存在。

第 15 題切線過

P (3, 1)

，代入

x + a y + b = 0

得

3 + a + b = 0

，所以

a + b = - 3

。再檢查題目：

P (3, 1)

代入卷面的圓得

9 + 1 - 6 + 6 + 2 = 12

，不是

0

，

P

不在這個圓上，「圓上一點」應是卷面印錯一個符號。若圓讀作

x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 2 = 0

，

P

在圓上，配方

(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 8

，圓心

(1, 3)

，半徑斜率

- 1

，切線斜率

1

，切線

x - y - 2 = 0

，

a = - 1

、

b = - 2

，

a + b = - 3

，與上面一致。

照卷面原字

+ 6 y

，

P

在圓外（圓心

(1, - 3)

、

P

到圓心

25 > 22

），過

P

有兩條切線，係數不是整數，但兩條都過

P

，

a + b

仍是

- 3

。若改成點為

(3, - 1)

而圓不變，切線

x + y - 2 = 0

，答案會是

- 1

；學校答案

- 3

對應點為

(3, 1)

。

過圓上一點的切線垂直於過該點的半徑；圓的一般式先配方，右邊的正負決定是圓、一點還是不存在。

04選填 16～19（原卷 F～I）：垂直線、菱形平分面積、購買方法數、與兩軸相切的圓

第 16 題

B C

的斜率

= \frac{6 - 3}{4 - 1} = 1

，與它垂直的直線斜率為

- 1

。過

A (2, 5)

：

y - 5 = - (x - 2)

，即

x + y - 7 = 0

。對照

x + a y + b = 0

，

(a, b) = (1, - 7)

。

第 17 題菱形是平行四邊形，過兩對角線交點（中心）的直線都把它分成兩塊全等的圖形，面積相等。中心是對角線

\overline{A C}

的中點

(\frac{3 + 4}{2}, \frac{4 + 1}{2}) = (\frac{7}{2}, \frac{5}{2})

。代入

y = m x + 2 m + 4

：

\frac{5}{2} = \frac{7}{2} m + 2 m + 4

，

\frac{11}{2} m = - \frac{3}{2}

，

m = - \frac{3}{11}

。

L

寫成

y - 4 = m (x + 2)

，是過定點

(- 2, 4)

的直線；

(- 2, 4)

與中心不重合，所以只有一個

m

。另外檢查

\overline{A B} = \overline{B C} = 65

，確實是菱形，第四頂點

D (11, 5)

。

第 18 題購買方法以可樂、果汁各買幾杯來計，不計先後順序。設買可樂

x

杯、果汁

y

杯，

x

、

y

為非負整數，條件是

20 x + 30 y \leq 120

（即

2 x + 3 y \leq 12

）且

x + y \geq 2

。依

y

分類數

x

：

y = 0

時

2 x \leq 12

且

x \geq 2

，

x = 2

～

6

，

5

種；

y = 1

時

2 x \leq 9

且

x \geq 1

，

x = 1

～

4

，

4

種；

y = 2

時

2 x \leq 6

，

x = 0

～

3

，

4

種；

y = 3

時

2 x \leq 3

，

x = 0

、

1

，

2

種；

y = 4

時

x = 0

，

1

種。合計

5 + 4 + 4 + 2 + 1 = 16

種。

這就是二元一次不等式區域內的格子點個數。

y = 0

、

1

時要記得扣掉總杯數少於

2

的情形。

第 19 題圓與兩軸都相切，圓心到兩軸的距離都等於半徑：

∣ a ∣ = ∣ b ∣

。

a > 0

，所以

b = a

或

b = - a

。若

b = - a

：

\overline{P C}^{2} = (a - c)^{2} + (- a - c)^{2} = (a - c)^{2} + (a + c)^{2}

，要等於

(a + c)^{2}

，得

a = c

，與

a > c

矛盾。所以

b = a

：

\overline{P C} = (a - c)^{2} + (a - c)^{2} = 2 (a - c)

（因為

a > c

）。由

2 (a - c) = a + c

得

(2 - 1) a = (2 + 1) c

，

\frac{a}{c} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = (2 + 1)^{2} = 3 + 22

。

\frac{b}{c} = \frac{a}{c} = 3 + 22

。

\overline{P C} = a + c

的幾何意思：

P (c, c)

也在直線

y = x

上，以

P

為圓心、半徑

c

的圓與原圓外切。

平分平行四邊形（含菱形）面積的直線必過中心；與兩軸都相切的圓，圓心坐標的絕對值相等，要分象限討論。

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03選填 11～15（原卷 A～E）：指對數互換、圓拱、平行線距離、圓的存在條件、切線

04選填 16～19（原卷 F～I）：垂直線、菱形平分面積、購買方法數、與兩軸相切的圓

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