段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 求和、無窮等比級數與循環小數、函數的極限與連續、合成函數）

蘭陽女中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 2 題、多重選擇題 2 題、選填題 A～J 共 16 格，全卷 20 題，滿分 100 分。選填題原卷題號是 A～J，本頁依序編為第 5～20 題。第 1 題照卷面排在單選題，題幹寫「選出所有正確的選項」且只有四個選項，正確選項只有一個。卷頭規定答案請化為最簡分數，否則不予計分。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題全部一致。

一、單選題（2 小題，每題 5 分，共 10 分）

已知函數

y = f (x)

的圖形如右：選出所有正確的選項。

(1) $x \to 1 lim f (x) = 1$
(2) $x \to 2 lim f (x) = 0$
(3) $x \to 3 lim f (x) = 2$
(4) $x \to 4 lim f (x) = 1$

載入中...

已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

中的每一項

a_{n}

都滿足

2 n + 3 < n a_{n} < 2 n + 5

，求

n \to \infty lim a_{n}

的值。

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

二、多重選擇題（2 小題，每題 5 分，答錯一個選項扣 2 分。共 10 分）

請選出正確的選項：

(1) $n \to \infty lim \frac{n}{2 ^{n}} = 0$
(2) $n \to \infty lim (- \frac{4}{3})^{n} = 0$
(3) $n \to \infty lim \frac{5 ^{n} - 3 ^{n}}{6 ^{n} + 7 ^{n}} = \frac{1}{7}$
(4) $n \to \infty lim (- 1)^{n} = 1$
(5) $n \to \infty lim \frac{4}{π ^{n}} = 0$

已知三次多項式

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 2

，請選出正確的選項

(1) $f (2) = 0$
(2) $x \to 1 lim (x f (x)) = 0$
(3) $x \to 1 lim (f (x) + \frac{x + 1}{x}) = 3$
(4) 函數 $\frac{f ( x )}{x - 1}$ 定義域為 $R$
(5) 函數 $\frac{f ( x )}{x - 1}$ 值域 ${y \in R y \geq - \frac{1}{3}}$

三、選填題（每格 5 分，共 80 分）

選填 A（第 5～6 題）　下列各無窮等比級數求其和。

(a)

3 + \frac{3}{7} + \frac{3}{7 ^{2}} + \frac{3}{7 ^{3}} + \dots =

____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格）

(b)

\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{2}{9} + \dots =

____。（原卷的答案格式為分數，分子一格、分母兩格）

選填 B（第 7～8 題）　求下列級數的和

(a)

k = 1 \sum 20 k (k + 2) =

____。（原卷的答案格式為四格）

(b)

n = 1 \sum \infty \frac{3 ^{n} - 1}{5 ^{n}} =

____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格）

選填 C（第 9～12 題）　求下列各極限：

(a)

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 5}{x - 1} =

____。

(b)

x \to 3 lim (\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{2}{x ^{2} - 4 x + 3}) =

____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格）

(c)

x \to - 1 lim \frac{x ^{2} - x - 2}{∣ x ∣ - 1} =

____。

(d)

n \to \infty lim \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \dots + n ^{2}}{n ^{3}} =

____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格）

若首項為

a

，公比為

0.01

的無窮等比級數和等於循環小數

1. \overline{2}

，則

100 a =

____。（原卷的答案格式為三格）

若

a, k

為實數，且極限

x \to - 2 lim \frac{a x ^{2} + 9 x - 2}{x + 2} = k

，則數對

(a, k) =

____。（原卷的答案格式：

a

一格；

k

已印好負號，後面兩格）

已知函數

f (x) = 2 x + 3

與

g (x) = x^{2} + 1

，合成函數

(g \circ f) (x) = a x^{2} + b x + c

，則

2 a + b + c =

____。（原卷的答案格式為兩格）

已知函數

f (x) = {x^{2} + 5, a x - 2, 當 x \geq 1 當 x < 1

在

x = 1

處連續，求實數

a

的值

=

____。

已知首項為

a

，公比為

r

的無窮等比級數和等於

12

；首項為

a

，公比為

3 r

的無窮等比級數和等於

20

，則首項為

a

，公比為

2 r

的無窮等比級數和等於 ____。（原卷的答案格式為兩格）

設

⟨ a_{n} ⟩

為一等差數列。已知

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 186

，

a_{3} + a_{7} = 110

。令

s_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

。則極限

n \to \infty lim \frac{s _{n}}{n ^{2}} =

____。（請化為最簡分數）（原卷的答案格式為分數，分子兩格、分母一格）

選填 J（第 19～20 題）　已知

△ A B C

中，

∠ B = 9 0^{\circ}

，

∠ A = 6 0^{\circ}

，

\overline{A B} = 1

。以

A

為圓心，

\overline{A B}

為半徑畫弧交

\overline{A C}

於

A_{1}

，過

A_{1}

作

\overline{A_{1} B_{1}} ⊥ \overline{B C}

交

\overline{B C}

於

B_{1}

；再以

A_{1}

為圓心，

\overline{A_{1} B_{1}}

為半徑畫弧交

\overline{A C}

於

A_{2}

，過

A_{2}

作

\overline{A_{2} B_{2}} ⊥ \overline{B C}

交

\overline{B C}

於

B_{2}

；如此繼續下去，可得一系列的圓弧

B A_{1}

，

B_{1} A_{2}

，

B_{2} A_{3}

，

\dots

，求

(1)

B_{1} A_{2}

：

B A_{1}

的比值為 ____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格。附圖是示意圖，沒有照實際的角度與長度畫）

載入中...

(2) 所有弧長的總和為 ____

π

。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格，後面印有

π

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(2)

第 3 題(1)(5)

第 4 題(1)(2)(5)

第 5 題

\frac{7}{2}

第 6 題

\frac{9}{20}

第 7 題

3290

第 8 題

\frac{5}{4}

第 9 題

9

第 10 題

\frac{1}{2}

第 11 題

3

第 12 題

\frac{1}{3}

第 13 題

121

第 14 題

(5, - 11)

第 15 題

30

第 16 題

8

第 17 題

15

第 18 題

- \frac{7}{2}

第 19 題

\frac{1}{2}

第 20 題

\frac{2}{3} π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1 題：由圖形讀極限

第 1 題答案 (1)。先讀圖（實心點是函數值，空心點表示那一點不在圖形上）。 (1) 正確。曲線連續地通過實心點

(1, 1)

，

x

從左邊、右邊靠近

1

時，圖形的高度都靠近

1

，所以極限是

1

。 (2) 錯誤。

x

從左邊靠近

2

時曲線一直往上衝，從右邊靠近

2

時曲線在

x

軸下方很低的地方，兩邊沒有靠近同一個數，極限不存在。 (3) 錯誤。

x

靠近

3

時，左邊的曲線走向空心點

(3, 1)

，右邊的線段也從空心點

(3, 1)

出發，左右極限都是

1

，所以極限是

1

。

2

是實心點

(3, 2)

的高度，也就是函數值

f (3)

，不是極限。 (4) 錯誤。

x

從左邊靠近

4

時，線段走到實心點

(4, 2)

，左極限是

2

；從右邊靠近

4

時，線段從空心點

(4, 1)

出發，右極限是

1

。左右極限不相等，極限不存在。

這一題卷面排在單選題，題幹寫「選出所有正確的選項」，而且只印 (1)～(4) 四個選項；四個選項中只有 (1) 正確，與學校答案相同。

讀圖求極限：分別看左邊、右邊的圖形走向哪個高度，兩邊相同極限才存在；實心點只決定函數值。

02單選第 2 題、多選第 3 題：數列的極限

第 2 題答案 (2)。

n

是正整數，不等式

2 n + 3 < n a_{n} < 2 n + 5

各項同除以

n

，方向不變：

2 + \frac{3}{n} < a_{n} < 2 + \frac{5}{n}

當

n \to \infty

時，左邊

2 + \frac{3}{n} \to 2

，右邊

2 + \frac{5}{n} \to 2

。

a_{n}

被夾在兩個極限都是

2

的數列中間，由夾擠定理，

n \to \infty lim a_{n} = 2

。

題目沒有先說

⟨ a_{n} ⟩

收斂，所以要先把

a_{n}

單獨夾在中間，再用夾擠定理，不宜直接對原不等式取極限。

第 3 題答案 (1)(5)。 (1) 正確。令

b_{n} = \frac{n}{2 ^{n}}

，相鄰兩項的比值是

\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}

。當

n \geq 2

時

\frac{1}{2 n} \leq \frac{1}{4}

，所以

\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} \leq \frac{3}{4}

，也就是從第

2

項起，每一項至多是前一項的

\frac{3}{4}

倍。

b_{2} = \frac{1}{2}

，因此

n \geq 2

時

0 < b_{n} \leq \frac{1}{2} (\frac{3}{4})^{n - 2}

當

n \to \infty

時

(\frac{3}{4})^{n - 2} \to 0

，由夾擠定理，

\frac{n}{2 ^{n}} \to 0

。 (2) 錯誤。這是公比

- \frac{4}{3}

的等比數列，公比的絕對值大於

1

，各項正負交錯而且絕對值愈來愈大，發散，極限不存在。 (3) 錯誤。分子分母同除以底數最大的

7^{n}

：

\frac{5 ^{n} - 3 ^{n}}{6 ^{n} + 7 ^{n}} = \frac{( \frac{5}{7} ) ^{n} - ( \frac{3}{7} ) ^{n}}{( \frac{6}{7} ) ^{n} + 1}

當

n \to \infty

時

(\frac{5}{7})^{n}

、

(\frac{3}{7})^{n}

、

(\frac{6}{7})^{n}

都趨近

0

，所以極限是

\frac{0 - 0}{0 + 1} = 0

，不是

\frac{1}{7}

。 (4) 錯誤。

(- 1)^{n}

的值是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，在兩個數之間跳動，不會趨近一個定數，極限不存在。 (5) 正確。

\frac{4}{π ^{n}} = 4 (\frac{1}{π})^{n}

，公比

\frac{1}{π}

在

0

與

1

之間，

(\frac{1}{π})^{n} \to 0

，所以極限是

0

。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

：

- 1 < r < 1

時極限是

0

，

r = 1

時極限是

1

。選項 (1) 也可以列出前幾項

\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{8}, \frac{4}{16}, \frac{5}{32}, \dots

觀察：分母每次變

2

倍，分子只加

1

，分數愈來愈接近

0

。

指數型的分式：分子分母同除以底數最大的那一項，剩下的都是公比絕對值小於 1 的等比數列。

03多選第 4 題：由極限條件決定三次多項式

第 4 題答案 (1)(2)(5)。先把

f (x)

求出來。當

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

而極限存在，所以分子也要趨近

0

；

f (x)

是多項式，

x \to 1 lim f (x) = f (1)

，因此

f (1) = 0

。同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次式且有因式

x - 1

與

x - 2

，可設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。第一個條件：

\frac{f ( x )}{x - 1} = (x - 2) (p x + q)

，在

x \to 1

時趨近

- (p + q)

，所以

- (p + q) = 1

，即

p + q = - 1

。第二個條件：

\frac{f ( x )}{x - 2} = (x - 1) (p x + q)

，在

x \to 2

時趨近

2 p + q

，所以

2 p + q = 2

。兩式相減得

p = 3

，於是

q = - 4

，

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x - 4)

。 (1) 正確。

f (2) = 0

，上面已經得到。 (2) 正確。

x f (x)

是多項式，極限直接代入：

1 \times f (1) = 0

。 (3) 錯誤。

x \to 1 lim f (x) = f (1) = 0

，

x \to 1 lim \frac{x + 1}{x} = 2

，兩者相加是

2

，不是

3

。 (4) 錯誤。

x = 1

時分母是

0

，函數在

x = 1

沒有定義，定義域是

{x \in R ∣ x \neq = 1}

。 (5) 正確。當

x \neq = 1

時，

\frac{f ( x )}{x - 1} = (x - 2) (3 x - 4) = 3 x^{2} - 10 x + 8

。配方：

3 x^{2} - 10 x + 8 = 3 (x - \frac{5}{3})^{2} - \frac{1}{3}

x = \frac{5}{3}

在定義域內，所以最小值

- \frac{1}{3}

取得到，函數值可以是任何不小於

- \frac{1}{3}

的數。還要檢查被挖掉的

x = 1

會不會讓某個值取不到：

x = 1

對應的高度是

3 - 10 + 8 = 1

，而解

3 x^{2} - 10 x + 8 = 1

得

(x - 1) (3 x - 7) = 0

，

x = \frac{7}{3}

時函數值也是

1

，所以

1

仍在值域裡。值域是

{y \in R y \geq - \frac{1}{3}}

。

選項 (4)(5) 的函數約分後雖然是二次式，但定義域要看約分前的式子，

x = 1

不可代入。值域會不會因此少一個值，要另外檢查那個高度有沒有別的

x

取得到。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0；多項式的分子因此有對應的一次因式。

04選填 A、B(b)、D、H（第 5、6、8、13、17 題）：無窮等比級數

第 5 題答案

\frac{7}{2}

。首項

3

、公比

\frac{1}{7}

，公比的絕對值小於

1

，級數收斂，和為

\frac{3}{1 - \frac{1}{7}} = 3 \times \frac{7}{6} = \frac{7}{2}

所以和是

\frac{7}{2}

。

第 6 題答案

\frac{9}{20}

。先求公比：第二項除以第一項，

(- \frac{1}{2}) \div \frac{3}{4} = - \frac{2}{3}

。檢查後面兩項：

\frac{1}{3} \div (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{3}

，

(- \frac{2}{9}) \div \frac{1}{3} = - \frac{2}{3}

，確實是等比。公比的絕對值小於

1

，和為

\frac{\frac{3}{4}}{1 - ( - \frac{2}{3} )} = \frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{20}

所以和是

\frac{9}{20}

。

公比是負數時，分母是

1 - r = 1 + \frac{2}{3}

，不要寫成

1 - \frac{2}{3}

。

第 8 題答案

\frac{5}{4}

。一般項拆成

\frac{3 ^{n} - 1}{5 ^{n}} = (\frac{3}{5})^{n} - (\frac{1}{5})^{n}

。兩個都是公比絕對值小於

1

的無窮等比級數，各自收斂，可以分開求和再相減：

n = 1 \sum \infty (\frac{3}{5})^{n} = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{3}{2}

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{5})^{n} = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}

所以原式

= \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}

。

n

從

1

開始，首項分別是

\frac{3}{5}

與

\frac{1}{5}

，不是

1

。

第 13 題答案

121

。先把循環小數化成分數：

1. \overline{2} = 1 + 0. \overline{2} = 1 + \frac{2}{9} = \frac{11}{9}

。公比

0.01

的絕對值小於

1

，級數的和是

\frac{a}{1 - 0.01} = \frac{a}{0.99}

。由

\frac{a}{0.99} = \frac{11}{9}

得

a = \frac{11}{9} \times \frac{99}{100} = \frac{121}{100}

，所以

100 a = 121

。

循環節只有

2

一位：

0. \overline{2} = 0.222 \dots

是首項

0.2

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.2}{0.9} = \frac{2}{9}

。

第 17 題答案

15

。由和的公式，

\frac{a}{1 - r} = 12

，

\frac{a}{1 - 3 r} = 20

，也就是

a = 12 (1 - r)

，

a = 20 (1 - 3 r)

。兩式相等：

12 - 12 r = 20 - 60 r

，

48 r = 8

，

r = \frac{1}{6}

，於是

a = 12 \times \frac{5}{6} = 10

。三個公比

r = \frac{1}{6}

、

3 r = \frac{1}{2}

、

2 r = \frac{1}{3}

的絕對值都小於

1

，級數都收斂。所求的和是

\frac{a}{1 - 2 r} = \frac{10}{1 - \frac{1}{3}} = 10 \times \frac{3}{2} = 15

所以和等於

15

。

答案不是

12

與

20

的平均：和與公比不是一次的關係，要先把

a

、

r

解出來。

無窮等比級數的和是首項除以 1 減公比，使用前先確認公比的絕對值小於 1。

05選填 B(a)、C(d)、I（第 7、12、18 題）：求和公式與數列的極限

第 7 題答案

3290

。展開後分成兩個和：

k = 1 \sum 20 k (k + 2) = k = 1 \sum 20 k^{2} + 2 k = 1 \sum 20 k = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} + 2 \times \frac{20 \times 21}{2}

= 2870 + 420 = 3290

。

第 12 題答案

\frac{1}{3}

。分子的項數隨

n

增加，不可逐項取極限，要先用平方和公式寫成一個式子：

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

。所以

\frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + \dots + n ^{2}}{n ^{3}} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{3}} = \frac{1}{6} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n})

當

n \to \infty

時

\frac{1}{n} \to 0

，極限是

\frac{1}{6} \times 1 \times 2 = \frac{1}{3}

。

如果把分式拆成

\frac{1 ^{2}}{n ^{3}} + \frac{2 ^{2}}{n ^{3}} + \dots + \frac{n ^{2}}{n ^{3}}

再說每一項都趨近

0

，會得到錯的答案

0

：項數有

n

項，也在無限增加。

第 18 題答案

- \frac{7}{2}

。等差數列中，

a_{2} + a_{6} = 2 a_{4}

，所以

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 3 a_{4} = 186

，

a_{4} = 62

。同理

a_{3} + a_{7} = 2 a_{5} = 110

，

a_{5} = 55

。公差

d = a_{5} - a_{4} = - 7

，首項

a_{1} = a_{4} - 3 d = 62 + 21 = 83

。前

n

項和

s_{n} = \frac{n [ 2 a _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2} = \frac{n ( 173 - 7 n )}{2}

，所以

\frac{s _{n}}{n ^{2}} = \frac{173 - 7 n}{2 n} = \frac{173}{2 n} - \frac{7}{2}

當

n \to \infty

時

\frac{173}{2 n} \to 0

，極限是

- \frac{7}{2}

。

s_{n}

是

n

的二次式，

n^{2}

項的係數是公差的一半；除以

n^{2}

取極限後，只剩下這個係數，和首項無關。

06選填 C(a)(b)(c)、E、G（第 9～11、14、16 題）：函數的極限與連續

第 9 題答案

9

。

x \to 2

時分母

x - 1 \to 1

，不是

0

，可以直接代入：

\frac{2 ^{2} + 5}{2 - 1} = 9

。

第 10 題答案

\frac{1}{2}

。兩個分式在

x \to 3

時各自都沒有極限，不能分開算，要先通分。

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

，所以

\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{2}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{( x - 4 ) ( x - 1 ) + 2}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 1 ) ( x - 3 )}

分子

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

。當

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

\frac{x - 2}{x - 1}

，極限是

\frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}

。

第 11 題答案

3

。

x

靠近

- 1

時

x

是負數，所以

∣ x ∣ = - x

，分母是

- x - 1 = - (x + 1)

。分子

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

。當

x \neq = - 1

時約去

x + 1

：

\frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{- ( x + 1 )} = - (x - 2) = 2 - x

極限是

2 - (- 1) = 3

。

絕對值要看

x

靠近的那個數附近的正負：這裡靠近的是

- 1

，左右兩邊都是負數，不必分兩邊討論。如果誤把

∣ x ∣

當成

x

，分母

x - 1

趨近

- 2

、分子趨近

0

，會得到錯的答案

0

。

第 14 題答案

(5, - 11)

。當

x \to - 2

時分母

x + 2 \to 0

，而極限存在（等於

k

），所以分子也要趨近

0

：

a (- 2)^{2} + 9 (- 2) - 2 = 4 a - 20 = 0

，

a = 5

。此時分子

5 x^{2} + 9 x - 2 = (x + 2) (5 x - 1)

，當

x \neq = - 2

時約去

x + 2

得

5 x - 1

，極限是

5 \times (- 2) - 1 = - 11

，所以

k = - 11

。

如果分子在

x = - 2

的值不是

0

，分母趨近

0

會讓分式的絕對值無限制地變大，極限不存在，所以分子一定要趨近

0

。

第 16 題答案

8

。在

x = 1

連續的條件是

x \to 1 lim f (x) = f (1)

。函數值用

x \geq 1

的式子：

f (1) = 1^{2} + 5 = 6

，右極限也是

6

。左極限用

x < 1

的式子：

x \to 1^{-} lim (a x - 2) = a - 2

。由

a - 2 = 6

得

a = 8

。

代入後分子分母都是 0 的極限，先分解、約去公因式再代入；兩個分式相加的先通分。

07選填 F（第 15 題）：合成函數

第 15 題答案

30

。

(g \circ f) (x) = g (f (x))

，把

f (x) = 2 x + 3

整個代進

g

的

x

：

g (2 x + 3) = (2 x + 3)^{2} + 1 = 4 x^{2} + 12 x + 10

所以

a = 4

、

b = 12

、

c = 10

，

2 a + b + c = 8 + 12 + 10 = 30

。

順序不可顛倒：

(f \circ g) (x) = f (x^{2} + 1) = 2 (x^{2} + 1) + 3 = 2 x^{2} + 5

，是另一個函數。

08選填 J（第 19、20 題）：圖形中的無窮等比級數

第 19 題答案

\frac{1}{2}

。直角三角形

A B C

中

∠ A = 6 0^{\circ}

、

\overline{A B} = 1

，由

cos 6 0^{\circ} = \frac{A B}{A C} = \frac{1}{2}

得

\overline{A C} = 2

。

A_{1}

在以

A

為圓心、半徑

1

的弧上，所以

\overline{A A_{1}} = 1

，

\overline{A_{1} C} = 2 - 1 = 1

。

\overline{A_{1} B_{1}}

與

\overline{A B}

都垂直於

\overline{B C}

，所以兩者平行，

△ C A_{1} B_{1}

與

△ C A B

相似，相似比是

\overline{C A_{1}} : \overline{C A} = 1 : 2

。因此

\overline{A_{1} B_{1}} = \frac{1}{2}

，而且

∠ C A_{1} B_{1} = ∠ A = 6 0^{\circ}

。弧

B A_{1}

的圓心是

A

、半徑

1

、圓心角

6 0^{\circ}

；弧

B_{1} A_{2}

的圓心是

A_{1}

、半徑

\frac{1}{2}

、圓心角也是

6 0^{\circ}

。圓心角相同時弧長與半徑成正比，所以弧

B_{1} A_{2}

與弧

B A_{1}

的比值是

\frac{1}{2}

。

附圖是本站重畫的示意圖，角度與長度沒有照實際的大小畫，不能用量的；垂直、平行與各點在哪條線上的關係和題目相同。

第 20 題答案

\frac{2}{3} π

。第一段弧

B A_{1}

的圓心角是

6 0^{\circ}

，是整個圓周的

\frac{1}{6}

，半徑

1

，弧長

2 π \times 1 \times \frac{1}{6} = \frac{π}{3}

。小三角形

C A_{1} B_{1}

和原來的三角形

C A B

相似，在它裡面重複同樣的作法，所得的圖形就是原圖縮小成

\frac{1}{2}

，所以每一段弧都是前一段的

\frac{1}{2}

。各段弧長成為首項

\frac{π}{3}

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，總和是

\frac{\frac{π}{3}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{π}{3} \times 2 = \frac{2}{3} π

所以所有弧長的總和是

\frac{2}{3} π

。

檢查第三段：

\overline{A_{1} A_{2}} = \frac{1}{2}

，

\overline{A_{2} C} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

，

\overline{A_{2} B_{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

，弧

B_{2} A_{3}

的半徑是

\frac{1}{4}

，確實又是前一段的一半。

圖形題先算出前兩、三段，確認公比，再用無窮等比級數的和公式。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題的選項 (5) 要注意函數在 x 等於 1 沒有定義，還要檢查挖掉那一點後值域有沒有少一個值；選填 C(c)（本頁第 11 題）x 靠近負 1 時絕對值要換成負 x；選填 C(d)（第 12 題）要先用平方和公式再取極限，不可逐項取極限；選填 J（第 19、20 題）要用相似三角形找出相鄰兩段弧的比。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自蘭陽女中 110 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

蘭陽女中 110 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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03多選第 4 題：由極限條件決定三次多項式

04選填 A、B(b)、D、H（第 5、6、8、13、17 題）：無窮等比級數

05選填 B(a)、C(d)、I（第 7、12、18 題）：求和公式與數列的極限

06選填 C(a)(b)(c)、E、G（第 9～11、14、16 題）：函數的極限與連續

07選填 F（第 15 題）：合成函數

08選填 J（第 19、20 題）：圖形中的無窮等比級數

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高三第一次段考
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