段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、圖形的平移與伸縮）、指數律與指數模型

蘭陽女中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

原檔沒有卷頭，學校、學年、考試別與科目依來源檔名判定。單選 3 題、多選 5 題、填充 A～L 共 12 題；填充題卷面印「每題 5 分，共 55 分」，與題數不合，照卷面寫。答案已與學校公布的答案逐題核對：第 1 題學校印的答案照選項計算不成立，答案欄寫本站計算；第 8 題有一個選項與附圖不合，答案欄照學校並附註；第 6 題與第 18 題的 a 原檔沒印答案，為本站計算；其餘一致。

一、單一選擇題（每題 5 分，共 15 分）

試問下面各正向角度何者最大？（這一題學校印的答案與照選項計算的結果不同，見答案與詳解）

(1) $6 5^{\circ}$
(2) $\frac{7 π}{6}$
(3) $1$
(4) $π$
(5) $\frac{30}{π ^{2}}$

將

y = sin x

的圖形想像成高高低低的山。順著函數圖形從原點開始往右走，試問以下哪個區間都是輕鬆的下坡路段

(1) $[0, \frac{π}{3}]$
(2) $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$
(3) $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$
(4) $[π, \frac{5 π}{3}]$
(5) $[\frac{3 π}{2}, 2 π]$

若培養皿裡的細菌數，

t

小時後的數量為

y

萬隻，若

y

與

t

的關係式為

y = 4 \times 1 0^{- 2} \times 2^{t}

，則

8

小時後，細菌數量最接近下列哪個選項

(1) $1$ 萬隻
(2) $10$ 萬隻
(3) $100$ 萬隻
(4) $1000$ 萬隻

二、多重選擇題（每題 6 分，答錯一個選項扣 2 分，共 30 分）

設有向角

θ = π^{\circ}

，下列哪些選項是正確的？

(1) $θ$ 為第一象限角
(2) $sin θ > 0$
(3) $θ$ 為一平角
(4) $cos θ < 0$
(5) $sin θ > cos θ$

下列哪些選項是正確的？

(1) $\frac{π}{3} = 3 0^{\circ}$
(2) $\frac{3 π}{4} = 13 5^{\circ}$
(3) $31 5^{\circ} = \frac{5 π}{4}$
(4) $(\frac{540}{π})^{\circ} = 3$
(5) $π^{2} = (18 0^{2})^{\circ}$

下圖可以是哪個函數的圖形？

(1) $y = sin (x - \frac{π}{2})$
(2) $y = sin (x + \frac{π}{2})$
(3) $y = sin (x - \frac{3 π}{2})$
(4) $y = sin x + 1$
(5) $y = sin (x + \frac{3 π}{2})$

載入中...

方程式

sin x = \frac{1}{3}

的實根有

a

個，

sin x = 2

的實根有

b

個，

sin x = \frac{x}{12}

的實根有

c

個，

sin x = \frac{x}{π}

的實根有

d

個，則下列哪些選項是正確的？

(1) $a = 2$
(2) $b = 2$
(3) $c = 7$
(4) $d = 3$
(5) $a < d < c$

附圖為正弦波函數

y = f (x)

的圖形，下列哪些選項是正確的？（這一題學校印的答案有一個選項與附圖不合，見答案與詳解）

(1) 振幅為何 $4$ 。（卷面原字，應是「振幅為 $4$ 」）
(2) 函數的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(3) $f (\frac{π}{3}) = f (π)$
(4) $f (\frac{4 π}{3}) = 2$
(5) 若 $f (x) = a sin (b x + c) + 1$ ，其中 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ，則 $c$ 的最小值為 $\frac{π}{6}$

載入中...

三、填充題（每題 5 分，共 55 分）

已知一扇形半徑為

6

公分，圓心角為

12 0^{\circ}

，試求此扇形的弧長及面積。

已知右圖為

y = a sin b x

一個週期的圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，求

(a, b) =

____。

載入中...

0 \leq x < \frac{2 π}{3}

，函數

y = 4 sin (3 x + π) + 2

，當

x = \frac{π}{a}

時，

y

最小值

m

，求

(a, m) =

____。

(5 - 2)^{3} (5 + 2)^{4} = a 5 + b 2

，則

a + b =

____。

5^{2} \times 5^{3 - 2} \times 12 5^{\frac{2}{3}} \times ((5)^{3})^{- 2} \times (\frac{25}{4})^{- \frac{3}{2}} \times 1 0^{2} \times 10 0^{\frac{1 - 2}{2}} =

____。

sin \frac{2 π}{3} \times cos \frac{5 π}{6} + tan π \times sin \frac{7 π}{6} =

____。

\frac{π}{2} < x < π

，

sin x = \frac{5}{13}

，求

cos (\frac{3 π}{2} - x) = \frac{a}{13}

，則

a =

____。

給定一個正方形

A B C D

，其邊長為

2

單位。以

A

、

B

為圓心分別作四分之一圓，如附圖，試求塗色區域的面積。

載入中...

一直圓錐的底面半徑為

2

，高為

5

，若將此直圓錐沿一斜高剪開成一扇形，試求扇形圓心角

θ

為多少弳？（附圖的扇形是示意圖，張開的角度不照實際大小）

載入中...

某人自行製作了函數圖形繪製機，操作方式是機器中放入紙條，接著將紙條由右端等速度拉出，則機器內部有一半徑為

3

的圓

O

，圓周上

P

點有一支墨水油筆會逆時針等速度在圓周上移動，如附圖。試回答以下問題：在拉動過程中，他觀察到當

P

點又回到起點的位置，則紙條共拉出的長度為

aπ

。若他將紙條上的圖形放在坐標平面上，下列哪些可能是其代表的函數

y = 3 sin (\frac{π - 2}{b} x)

，則

b =

____。（題幹照卷面原字。附圖

\overline{O P}

旁標的是

2

，與題幹的半徑

3

不一致，以題幹的

3

為準；卷面沒有交代紙條與筆的速率關係，本站依學校印的答案反推，取「紙條拉出的速率與

P

點在圓周上移動的速率相同」）

載入中...

圓圓想設計徽章圖案，取一定點

A

在它的東西南北四個方向，各取一個點當圓心，畫一個等大的圓。此圖必須放在一個正方形的方框內，再將正方形外框修飾為圓角，如下圖。設正方形的邊長為

1

單位，四個圓皆通過

A

點且與正方形相切，求四個圓所圍成的面積 ____。

載入中...

古人認為，將物體分割為大、小兩部分，當較小部分與較大部分的比例等於較大部分與整體的比例時，這種比例是最美的，稱為「黃金比例」，並稱這種分割為「黃金分割」，我們可以在《幾何原本》看到相關的記載。將這個想法應用在如圖的扇面設計，就是

\frac{較短弧長}{較長弧長} = \frac{較長弧長}{圓周長}

也就是

\frac{A B 弧長}{B C A 弧長} = \frac{B C A 弧長}{圓周長}

小雯有一支扇子，如圖長

\overline{O A} = 30

公分，

\overline{B E} = 12

公分。若此扇子滿足上述條件，則扇面完整打開時，圓心角

θ

為 ____ 弳。（附圖是示意圖，扇子張開的角度不照實際大小）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)（本站計算；學校印的答案是 (4)，但

\frac{7 π}{6}

比

π

大，見詳解）

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(1)(2)

第 5 題(2)(4)

第 6 題(2)(3)（卷面沒有印這一題的答案，本站依題目計算）

第 7 題(3)(4)

第 8 題(3)(4)(5)（照學校印的答案；照附圖計算，選項 (5) 不成立，本站計算為 (3)(4)，見詳解）

第 9 題弧長

4 π

公分；面積

12 π

平方公分

第 10 題

(a, b) = (2, 3)

第 11 題

(a, m) = (6, - 2)

第 12 題

54

第 13 題

16

第 14 題

- \frac{3}{4}

第 15 題

- 5

第 16 題

\frac{4 π}{3} - 3

第 17 題

\frac{4 π}{3}

第 18 題

a = 6

；

b = 9 π - 18

（卷面只印 b 的答案，與本站計算一致；a 與速率相同的條件是本站依學校印的答案反推，見詳解）

第 19 題

\frac{1}{4} + \frac{π}{8}

第 20 題

(3 - 5) π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：比較角的大小、下坡區間、指數模型

第 1 題沒有寫度的記號的角，單位是弳。把五個角都化成弳來比：(1)

6 5^{\circ} = 65 \times \frac{π}{180} = \frac{13 π}{36} \approx 1.13

。(2)

\frac{7 π}{6} \approx 3.67

。(3)

1

。(4)

π \approx 3.14

。(5)

\frac{30}{π ^{2}}

：因為

π^{3} \approx 31.0

比

30

大，所以

\frac{30}{π ^{2}}

比

π

小一點，約

3.04

。由小到大是 (3)、(1)、(5)、(4)、(2)，最大的是 (2)

\frac{7 π}{6}

，它比

π

多

\frac{π}{6}

（換成度是

21 0^{\circ}

比

18 0^{\circ}

）。學校印的答案是 (4)，與此不同。

學校印的答案是 (4)，但照卷面的五個選項，

\frac{7 π}{6}

確實比

π

大，所以答案欄寫本站計算的 (2)。如果只比 (1)(3)(4)(5) 四個，最大的才是

π

；選項 (5) 的

\frac{30}{π ^{2}}

設計得很接近

π

，要用

π^{3}

與

30

比大小才分得出來。

第 2 題「下坡」就是

x

增加時

y

一直變小。

y = sin x

在

0

到

\frac{π}{2}

上升到最高點

1

，在

\frac{π}{2}

到

\frac{3 π}{2}

一路下降到最低點

- 1

，在

\frac{3 π}{2}

到

2 π

再上升。(1)

[0, \frac{π}{3}]

全在上坡。(2)

[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]

前半（到

\frac{π}{2}

為止）還在上坡。(3)

[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]

正好是整段下坡。(4)

[π, \frac{5 π}{3}]

過了

\frac{3 π}{2}

之後開始上坡。(5)

[\frac{3 π}{2}, 2 π]

全在上坡。答案 (3)。

第 3 題代入

t = 8

：

y = 4 \times 1 0^{- 2} \times 2^{8} = 0.04 \times 256 = 10.24

（萬隻），最接近

10

萬隻。答案 (2)。

y

的單位已經是「萬隻」，算出

10.24

就是

10.24

萬隻，不必再乘一萬。

角沒有寫度的記號就是弳；比較大小前先把單位化成同一種。

02多選第 1、2 題（第 4、5 題）：度與弧度

第 4 題題目寫的是

π^{\circ}

，有度的記號，所以

θ \approx 3.1 4^{\circ}

，是一個很小的銳角，不是

π

弳。(1) 正確。

0^{\circ} < 3.1 4^{\circ} < 9 0^{\circ}

，是第一象限角。(2) 正確。第一象限角的正弦值為正。(3) 錯誤。平角是

18 0^{\circ}

（

π

弳），

θ

只有約

3.1 4^{\circ}

。(4) 錯誤。第一象限角的餘弦值為正。(5) 錯誤。銳角小於

4 5^{\circ}

時正弦值小於餘弦值；

θ \approx 3.1 4^{\circ}

，

sin θ \approx 0.05

、

cos θ \approx 1

。答案 (1)(2)。

π^{\circ}

與

π

弳差很多：前者約

3.1 4^{\circ}

，後者是

18 0^{\circ}

。

第 5 題用

π

弳

= 18 0^{\circ}

換算。(1) 錯誤。

\frac{π}{3} = 6 0^{\circ}

，不是

3 0^{\circ}

。(2) 正確。

\frac{3 π}{4} = \frac{3 \times 18 0 ^{\circ}}{4} = 13 5^{\circ}

。(3) 錯誤。

31 5^{\circ} = 315 \times \frac{π}{180} = \frac{7 π}{4}

，不是

\frac{5 π}{4}

（

\frac{5 π}{4} = 22 5^{\circ}

）。(4) 正確。

(\frac{540}{π})^{\circ} = \frac{540}{π} \times \frac{π}{180} = 3

（弳）。(5) 錯誤。

π^{2}

弳

= π \times π

弳

= π \times 18 0^{\circ} \approx 565. 5^{\circ}

，而

(18 0^{2})^{\circ} = 3240 0^{\circ}

；換算只能把一個

π

換成

18 0^{\circ}

，不能把平方一起換。答案 (2)(4)。

度換弳乘

\frac{π}{180}

，弳換度乘

\frac{180}{π}

。

03多選第 3～5 題（第 6～8 題）：正弦函數的圖形

第 6 題先讀圖：最高點在

x = 0

、

2 π

、

4 π

（高度

1

），最低點在

x = - π

、

π

、

3 π

（高度

- 1

），週期

2 π

。

y = sin x

的最高點在

x = \frac{π}{2}

（以及每隔

2 π

的位置），所以只要看平移之後最高點落在哪裡。(1) 錯誤。

y = sin (x - \frac{π}{2})

是往右移

\frac{π}{2}

，最高點在

x = π

，圖上那裡是最低點。(2) 正確。

y = sin (x + \frac{π}{2})

是往左移

\frac{π}{2}

，最高點在

x = 0

，與圖相符。(3) 正確。

y = sin (x - \frac{3 π}{2})

是往右移

\frac{3 π}{2}

，最高點在

x = 2 π

，再往左一個週期就是

x = 0

，與 (2) 是同一個圖形。(4) 錯誤。

y = sin x + 1

是往上移

1

，值在

0

與

2

之間，圖上的值在

- 1

與

1

之間。(5) 錯誤。

y = sin (x + \frac{3 π}{2})

是往左移

\frac{3 π}{2}

，最高點在

x = - π

，圖上那裡是最低點。答案 (2)(3)。

卷面沒有印這一題的答案，以上是本站依題目計算的結果。往左移

\frac{π}{2}

與往右移

\frac{3 π}{2}

相差一個週期

2 π

，所以是同一個圖形。

第 7 題把方程式的實根看成兩個圖形的交點。

a

：水平線

y = \frac{1}{3}

在

- 1

與

1

之間，與

y = sin x

每個週期交兩點，共有無限多個交點。

b

：

sin x

最大是

1

，

sin x = 2

沒有實根，

b = 0

。

c

：直線

y = \frac{x}{12}

通過原點；

x > 12

時

\frac{x}{12} > 1

，不會有交點，所以正的根只在

0 < x \leq 12

內找，而

3 π \approx 9.42 < 12 < 4 π \approx 12.57

。在

0 < x < π

：

x = \frac{π}{2}

時曲線高度

1

在直線上方，

x = π

時曲線高度

0

在直線下方，這個波峰與直線交

1

點。在

π \leq x \leq 2 π

與

3 π \leq x \leq 12

：

sin x \leq 0

而直線在

x

軸上方，沒有交點。在

2 π < x < 3 π

：兩端曲線高度

0

在直線下方，中間

x = \frac{5 π}{2}

時曲線高度

1

，直線高度

\frac{5 π}{24} \approx 0.65

，曲線在上方，所以這個波峰與直線交

2

點。正的根共

3

個；兩個圖形都對稱於原點，負的根也有

3

個；再加上

x = 0

，

c = 7

。

d

：直線

y = \frac{x}{π}

在

x > π

時高度大於

1

；在

0 < x < π

，

x = \frac{π}{2}

時曲線高度

1

、直線高度

\frac{1}{2}

，

x = π

時曲線高度

0

、直線高度

1

，交

1

點。加上對稱的負根與

x = 0

，

d = 3

。(1) 錯誤。

a

是無限多個。(2) 錯誤。

b = 0

。(3) 正確。(4) 正確。(5) 錯誤。

a

是無限多個，不會小於

d

。答案 (3)(4)。

數交點時最容易漏掉

x = 0

這個根，以及負的那一半。考試時把直線與正弦曲線畫在同一張圖上，標出

π

、

2 π

、

3 π

與直線碰到高度

1

的位置（

x = 12

或

x = π

）就能數出來。

第 8 題先讀圖：最大值

3

、最小值

- 1

；圖形通過

(0, 2)

，而且在那裡是往下走的（最高點在

y

軸左邊一點）；

(\frac{π}{6}, 0)

與

(\frac{5 π}{6}, 0)

都在往上走的位置，兩點之間正好是

2

個完整的波。(1) 錯誤。振幅

= \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

，不是

4

（

4

是最高與最低的差）。(2) 錯誤。

\frac{5 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

是兩個週期的長度，週期是

\frac{π}{3}

。(3) 正確。

π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

是

2

個週期，函數值相同。(4) 正確。

\frac{4 π}{3}

是

4

個週期，

f (\frac{4 π}{3}) = f (0) = 2

。(5) 錯誤。（學校印的答案把這個選項算作正確。）振幅

2

得

a = 2

，週期

\frac{π}{3} = \frac{2 π}{b}

得

b = 6

，

f (x) = 2 sin (6 x + c) + 1

。由

f (0) = 2

得

sin c = \frac{1}{2}

，正的

c

由小到大是

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

、

\frac{13 π}{6}

、…。如果

c = \frac{π}{6}

，

x

從

0

往右一點時

6 x + \frac{π}{6}

還在第一象限，正弦值變大，圖形在

(0, 2)

是往上走的，與附圖相反；

c = \frac{5 π}{6}

時

6 x + \frac{5 π}{6}

在第二象限，正弦值變小，圖形往下走，而且

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{11 π}{6} + 1 = 0

，與附圖相符。所以照附圖，

c

的最小值是

\frac{5 π}{6}

。答案欄照學校印的寫 (3)(4)(5)；照附圖計算是 (3)(4)。

只用

f (0) = 2

會得到

c = \frac{π}{6}

，這應該是學校答案的來源；但

c = \frac{π}{6}

的圖形在

y

軸上是上升的，最高點在

y

軸右邊，和附圖（最高點在

y

軸左邊）不同。選項 (1) 卷面印「振幅為何 4」，應是「振幅為 4」。

讀正弦波的圖：振幅是最高與最低的差的一半，週期要數完整的波，平移要看圖形在那一點是上升還是下降。

04填充 A、B、C（第 9～11 題）：扇形、由圖形求係數、最小值

第 9 題圓心角先化成弳：

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

。弧長

= r θ = 6 \times \frac{2 π}{3} = 4 π

（公分）。面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{2 π}{3} = 12 π

（平方公分）。

弧長與扇形面積公式裡的圓心角一定要用弳。

第 10 題圖形的最大值是

2

、最小值是

- 2

，而

a > 0

，所以

a = 2

。圖形從原點出發，到

x = \frac{2 π}{3}

剛好畫完一個週期，所以週期

= \frac{2 π}{3}

。

y = a sin b x

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

，由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

得

b = 3

。

(a, b) = (2, 3)

。

第 11 題令

u = 3 x + π

。

0 \leq x < \frac{2 π}{3}

時

π \leq u < 3 π

。

y = 4 sin u + 2

，

sin u

最小是

- 1

，在這個範圍內發生在

u = \frac{3 π}{2}

，也就是

3 x + π = \frac{3 π}{2}

，

x = \frac{π}{6}

，所以

a = 6

。最小值

m = 4 \times (- 1) + 2 = - 2

。

(a, m) = (6, - 2)

。

卷面印「求

(a, m) ==

」，等號重複，本頁只寫一個。

y = a sin (b x + c) + d

的最大、最小值是

d \pm ∣ a ∣

，週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

。

05填充 D、E（第 12、13 題）：指數律

第 12 題把次數湊成一樣再用平方差：

(5 - 2)^{3} (5 + 2)^{4} = [(5 - 2) (5 + 2)]^{3} (5 + 2)

。其中

(5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 = 3

，所以原式

= 3^{3} (5 + 2) = 275 + 272

。

a = 27

、

b = 27

，

a + b = 54

。

第 13 題逐項化成簡單的形式。

5^{2} \times 5^{3 - 2} = 5^{2 + 3 - 2} = 5^{3}

。

12 5^{\frac{2}{3}} = (5^{3})^{\frac{2}{3}} = 5^{2}

。

((5)^{3})^{- 2} = (5)^{- 6} = (5^{\frac{1}{2}})^{- 6} = 5^{- 3}

。

(\frac{25}{4})^{- \frac{3}{2}} = ((\frac{5}{2})^{2})^{- \frac{3}{2}} = (\frac{5}{2})^{- 3} = \frac{8}{125}

。

10 0^{\frac{1 - 2}{2}} = (1 0^{2})^{\frac{1 - 2}{2}} = 1 0^{1 - 2}

，所以

1 0^{2} \times 10 0^{\frac{1 - 2}{2}} = 1 0^{2 + 1 - 2} = 10

。全部相乘：

5^{3} \times 5^{2} \times 5^{- 3} \times \frac{8}{125} \times 10 = 25 \times \frac{8}{125} \times 10 = 16

。

帶

2

的指數兩兩配對後正好消掉：

5^{2}

配

5^{3 - 2}

，

1 0^{2}

配

10 0^{\frac{1 - 2}{2}}

。

同底相乘指數相加，乘方再乘方指數相乘；先把每一項化成同一個底。

06填充 F、G（第 14、15 題）：弧度角的三角函數值

第 14 題

\frac{2 π}{3}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{3}

，正弦為正：

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

。

\frac{5 π}{6}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{6}

，餘弦為負：

cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

。

tan π = 0

，所以後面那一項

tan π \times sin \frac{7 π}{6} = 0

。原式

= \frac{3}{2} \times (- \frac{3}{2}) + 0 = - \frac{3}{4}

。

tan π = 0

，後面的

sin \frac{7 π}{6}

不必算。

第 15 題

\frac{3 π}{2} - x = π + (\frac{π}{2} - x)

。角加上

π

之後，餘弦值變號：

cos (\frac{3 π}{2} - x) = - cos (\frac{π}{2} - x)

。再用餘角關係

cos (\frac{π}{2} - x) = sin x

，得

cos (\frac{3 π}{2} - x) = - sin x = - \frac{5}{13}

，所以

a = - 5

。

可以用範圍檢查正負：

\frac{π}{2} < x < π

時

\frac{π}{2} < \frac{3 π}{2} - x < π

，是第二象限角，餘弦值是負的，與

- \frac{5}{13}

相符。這一題用不到

cos x

的值。

07填充 H、I（第 16、17 題）：重疊的扇形、圓錐的展開圖

第 16 題兩個四分之一圓的半徑都是正方形的邊長

2

。設兩弧的交點為

E

，則

\overline{A E} = 2

（

E

在以

A

為圓心的弧上）、

\overline{B E} = 2

（

E

在以

B

為圓心的弧上），又

\overline{A B} = 2

，所以

△ A B E

是正三角形，

∠ E A B = ∠ E B A = \frac{π}{3}

。塗色區域由底邊

\overline{A B}

與兩段弧

A E

、

B E

圍成，可以看成兩個扇形疊在一起：以

A

為圓心的扇形

A B E

與以

B

為圓心的扇形

B A E

，兩個扇形重疊的部分正好是

△ A B E

。每個扇形的面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

，正三角形的面積

= \frac{3}{4} \times 2^{2} = 3

。塗色面積

= \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3} - 3 = \frac{4 π}{3} - 3

。

兩個扇形相加時，正三角形被算了兩次，所以要減掉一次。

第 17 題先求斜高：底面半徑

2

、高

5

與斜高成直角三角形，斜高

= 2^{2} + (5)^{2} = 9 = 3

。剪開後的扇形，半徑就是斜高

3

，弧長就是底面的圓周長

2 π \times 2 = 4 π

。由弧長

= r θ

，

4 π = 3 θ

，

θ = \frac{4 π}{3}

弳。

扇形的半徑是斜高，不是圓錐的高。

\frac{4 π}{3}

小於

2 π

，是一個合理的扇形。

圓錐側面展開：扇形半徑

=

斜高，扇形弧長

=

底面圓周長。

08填充 J（第 18 題）：繪製機畫出的正弦波

第 18 題

P

點在半徑

3

的圓上等速轉動，它的高度隨轉過的角度作正弦變化，最高

3

、最低

- 3

，這就是式子裡

sin

前面的

3

。

P

點繞一圈回到起點時，紙條上正好畫完一個完整的波，所以這段時間紙條拉出的長度

aπ

就是圖形的週期。卷面沒有說紙條拉多快；取紙條拉出的速率與

P

點在圓周上移動的速率相同，那麼

P

點繞一圈走了圓周長

2 π \times 3 = 6 π

，紙條也拉出

6 π

，所以

a = 6

，圖形的週期是

6 π

。

y = 3 sin (k x)

的週期是

\frac{2 π}{k}

，由

\frac{2 π}{k} = 6 π

得

k = \frac{1}{3}

。題目的

k = \frac{π - 2}{b}

，所以

\frac{π - 2}{b} = \frac{1}{9}

，

b = 9 (π - 2) = 9 π - 18

，與學校印的答案相同。

這一題的卷面有三處對不上：題幹寫半徑

3

，附圖

\overline{O P}

旁標

2

；沒有交代紙條與筆的速率關係；題幹留著「下列哪些可能是其代表的函數」這句選擇題的問法。學校只印了

b = 9 π - 18

；由它反推，週期必須是

6 π

，也就是半徑取

3

、紙條與筆同速，

a = 6

。如果半徑是

2

，同樣的條件會得到

b = 4 π - 8

，與學校印的答案不合。

等速圓周運動的高度對時間（或對拉出的長度）作圖是正弦波：半徑是振幅，繞一圈是一個週期。

09填充 K、L（第 19、20 題）：四個等圓、黃金比例的扇子

第 19 題設每個圓的半徑為

r

。圓通過

A

，所以圓心到

A

的距離是

r

；以東邊的圓為例，它最東邊的點離

A

有

2 r

，而圓與正方形相切，這個距離就是正方形邊長的一半，

2 r = \frac{1}{2}

，

r = \frac{1}{4}

。把

A

當原點，四個圓心是

(r, 0)

、

(- r, 0)

、

(0, r)

、

(0, - r)

。看頂點為

(\pm r, \pm r)

的小正方形，邊長

2 r

：東邊的圓，直徑的兩端正好是

(r, r)

與

(r, - r)

，所以它在小正方形外面的部分恰是一個半圓；另外三個圓也一樣。小正方形裡面則被四個圓蓋滿（例如小正方形的右邊那一塊三角形，頂點

(0, 0)

、

(r, r)

、

(r, - r)

都在東邊的圓上，整塊在圓內）。所以四個圓合起來的區域

=

小正方形

+

4

個半圓

= (2 r)^{2} + 4 \times \frac{1}{2} π r^{2} = 4 r^{2} + 2 π r^{2}

。代入

r = \frac{1}{4}

：

\frac{1}{4} + \frac{π}{8}

。

也可以用「四個圓的面積和減去重疊」來算：相鄰兩圓重疊的部分是兩個弓形，面積

2 (\frac{π r ^{2}}{4} - \frac{r ^{2}}{2})

，共

4

處，

4 π r^{2} - 4 (\frac{π r ^{2}}{2} - r^{2}) = 2 π r^{2} + 4 r^{2}

，結果相同。

第 20 題同一個圓上，弧長與圓心角成正比，所以弧長的比可以換成圓心角的比。弧

A B

的圓心角是

θ

，弧

B C A

的圓心角是

2 π - θ

，整個圓周是

2 π

。條件變成

\frac{θ}{2 π - θ} = \frac{2 π - θ}{2 π}

，交叉相乘：

2 π θ = (2 π - θ)^{2} = 4 π^{2} - 4 π θ + θ^{2}

，整理得

θ^{2} - 6 π θ + 4 π^{2} = 0

。用公式解：

θ = \frac{6 π \pm 36 π ^{2} - 16 π ^{2}}{2} = \frac{6 π \pm 2 5 π}{2} = (3 \pm 5) π

。扇子打開的角小於一整圈，

θ < 2 π

，而

3 + 5 > 2

，所以取

θ = (3 - 5) π

弳。

題目給的

\overline{O A} = 30

、

\overline{B E} = 12

用不到：比例式兩邊都是同一個圓上的弧長，半徑會約掉。

(3 - 5) π \approx 0.76 π

，比半圈小，弧

A B

確實是較短的那一段。

同圓上弧長的比等於圓心角的比；解出兩個根之後，用角的範圍挑一個。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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蘭陽女中 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要用圖形數直線與正弦曲線的交點，原點那一個和左右對稱的都要算進去；第 8 題的週期要從圖上兩個標出的點之間有幾個完整的波來判斷，不是直接相減；第 18 題先看出筆繞一圈正好是圖形的一個週期；第 20 題列出比例式後是一個二次方程式，兩個根要用小於一整圈的條件挑一個。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 109 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

蘭陽女中 109 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03多選第 3～5 題（第 6～8 題）：正弦函數的圖形

04填充 A、B、C（第 9～11 題）：扇形、由圖形求係數、最小值

05填充 D、E（第 12、13 題）：指數律

06填充 F、G（第 14、15 題）：弧度角的三角函數值

07填充 H、I（第 16、17 題）：重疊的扇形、圓錐的展開圖

08填充 J（第 18 題）：繪製機畫出的正弦波

09填充 K、L（第 19、20 題）：四個等圓、黃金比例的扇子

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常見問題

蘭陽女中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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蘭陽女中 109 上
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