蘭陽女中 111 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (1)(2)(4)(5)。令 $f(x,y)=mx-2-y$，三頂點代入：$f(A)=3m-6$，$f(B)=-2m-5$，$f(C)=4m-1$。$L$ 與 $△ABC$ 沒有交點，就是三個頂點全在 $L$ 的同一側（且都不在 $L$ 上），也就是三個值同號。三者同為正：$m>2$、$m<-\frac{5}{2}$、$m>\frac{1}{4}$ 不可能同時成立；三者同為負：$m<2$、$m>-\frac{5}{2}$、$m<\frac{1}{4}$，即 $-\frac{5}{2}<m<\frac{1}{4}$。所以有交點的條件是 $m\le -\frac{5}{2}$ 或 $m\ge \frac{1}{4}$。

(1) $-\sqrt{13}\approx -3.61\le -\frac{5}{2}$，可能。(2) $m=-\frac{5}{2}$ 時 $L$ 恰過 $B$，可能。(3) $m=0$ 落在 $-\frac{5}{2}<m<\frac{1}{4}$，不可能。(4) $m=\frac{1}{4}$ 時 $L$ 恰過 $C$，可能。(5) $100\ge \frac{1}{4}$，可能。

答案 (1)(3)(4)(5)。

(1) 正確。 三點連線的斜率：$(1,3)$ 到 $(2,4)$ 是 $1$，$(2,4)$ 到 $(3,6)$ 是 $2$，不相等，三點不共線。不共線的三點恰決定一個圓（圓心是兩條中垂線的交點）。

(2) 錯誤。 圓心 $(1,0)$、半徑 $5$，點 $(-3,4)$ 到圓心的距離 $\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\approx 5.66$，比 $5$ 大，點在圓外，可作 $2$ 條切線。

(3) 正確。 兩直線斜率分別為 $2$、$-2$，絕對值相等，傾斜的程度相同，只是一條往右上升、一條往右下降。

(4) 正確。 $\overline{AQ}$ 是 $A$ 到 $L$ 的垂直距離。$P$ 不是 $Q$ 時，$△AQP$ 以 $\angle AQP$ 為直角，斜邊 $\overline{AP}>\overline{AQ}$；$P=Q$ 時兩者相等。所以 $\overline{AQ}\le \overline{AP}$ 恆成立。

(5) 正確。 代入 $x-2y+1$：$A$ 得 $-2-6+1=-7$，$B$ 得 $1-8+1=-6$，同為負，兩點在同側。

答案 (1)(2)(5)。由圖，兩圓同心於 $Q(-1,-2)$。內圓 $C_1$ 過 $A(-1,1)$，半徑 $\overline{QA}=3$；外圓 $C_2$ 過 $B(-6,-2)$，半徑 $\overline{QB}=5$。灰色區域是兩圓之間的環形（含兩圓周），即點到 $Q$ 的距離介於 $3$ 與 $5$ 之間：令 $t=(x+1{)}^2+(y+2{)}^2$，區域就是 $9\le t\le 25$。

(1) 正確。 正是 $9\le t\le 25$。

(2) 正確。 聯立表示兩個條件同時成立，也是 $9\le t\le 25$。

(3) 錯誤。 「或」只要滿足其一：任何點不是 $t\le 25$ 就是 $t>25\ge 9$，所以這是整個平面，不只灰色區域。例如 $(10,10)$ 滿足 $t\ge 9$，但不在灰色區域。

(4) 錯誤。 $(t-9)(t-25)\ge 0$ 是 $t\le 9$ 或 $t\ge 25$，是內圓的內部與外圓的外部（加上兩圓周）。例如圓心 $Q$ 本身 $t=0$ 滿足它，卻不在灰色區域。

(5) 正確。 $(t-9)(t-25)\le 0$ 即 $9\le t\le 25$。

兩直線都過原點，所以原點是平行四邊形的一個頂點，兩鄰邊在這兩條直線上。$(1,3)$ 代入兩式都不為 $0$，不在這兩條直線上，所以它是原點的對頂點。另兩邊分別過 $(1,3)$ 並與已知兩邊平行：

與 $x+y=0$ 平行：$x+y=4$，和 $x-3y=0$ 的交點：$x=3y$ 代入得 $4y=4$，$(3,1)$。

與 $x-3y=0$ 平行：$x-3y=-8$，和 $x+y=0$ 的交點：$x=-y$ 代入得 $-4y=-8$，$(-2,2)$，在第二象限。

所以另一個在第一象限的頂點是 $(3,1)$。

設 $x$ 截距 $p$、$y$ 截距 $1-p$（都不為 $0$），直線過 $(p,0)$ 與 $(0,1-p)$，斜率 $-\frac{1-p}{p}$，方程式 $y=-\frac{1-p}{p}x+(1-p)$。過 $(2,6)$：$6=-\frac{2(1-p)}{p}+(1-p)$，兩邊乘 $p$ 得 $6p=-2+2p+p-p^2$，整理 $p^2+3p+2=0$，$p=-1$ 或 $p=-2$。

$L_1$：截距 $-1$、$2$；$L_2$：截距 $-2$、$3$。兩直線交於第一象限的 $(2,6)$；在第二象限內，$L_2$ 在 $L_1$ 的外側。所圍四邊形的頂點為 $(-2,0)$、$(-1,0)$、$(0,2)$、$(0,3)$，面積 $=$ $L_2$ 與兩軸圍成的三角形減去 $L_1$ 與兩軸圍成的三角形：$\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=3-1=2$。

$A(3,4)$ 代入 $y=\frac{1}{2}x$ 不成立，所以這條對角線不過 $A$，是另一條對角線 $\overline{BD}$；$\overline{AC}$ 與它垂直，且被它垂直平分，$C$ 是 $A$ 對 $x-2y=0$ 的對稱點。

過 $A$ 垂直於 $y=\frac{1}{2}x$ 的直線斜率 $-2$：$y-4=-2(x-3)$，即 $y=-2x+10$。與 $y=\frac{1}{2}x$ 聯立：$\frac{1}{2}x=-2x+10$，$x=4$，中心 $M(4,2)$。$C=(2\cdot 4-3,2\cdot 2-4)=(5,0)$。

正方形兩對角線等長，$\overline{MB}=\overline{MD}=\overline{MA}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。$B$、$D$ 在 $y=\frac{1}{2}x$ 上，設 $(2t,t)$，到 $M(4,2)$ 的距離為 $\sqrt{5}$：$(2t-4{)}^2+(t-2{)}^2=5$，$5(t-2{)}^2=5$，$t=1$ 或 $3$，即 $(2,1)$、$(6,3)$。

原點到四頂點的距離：$A$ 為 $5$，$C$ 為 $5$，$(6,3)$ 為 $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，$(2,1)$ 為 $\sqrt{5}$。最大值 $3\sqrt{5}$。

以 $B$ 為原點、$B$ 往 $C$ 的方向為 $x$ 軸正向建坐標（依補註 $\overline{AB}\perp \overline{BC}$、$\overline{CD}\parallel \overline{AB}$，圖上 $A$ 在 $B$ 下方、$D$ 在 $C$ 上方）：$B(0,0)$、$A(0,-20)$、$C(30,0)$、$D(30,10)$。

圓心在弦 $\overline{AB}$ 的中垂線 $y=-10$ 上，設圓心 $(h,-10)$。到 $B$ 與到 $D$ 等距：$h^2+10^2=(h-30{)}^2+20^2$，$h^2+100=h^2-60h+900+400$，$60h=1200$，$h=20$。半徑 $=\sqrt{20^2+10^2}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}$。

$\frac{|3x-4y|}{5}$ 就是點 $(x,y)$ 到直線 $3x-4y=0$ 的距離。圓心 $(2,-1)$、半徑 $\sqrt{5}\approx 2.24$；圓心代入 $3x-4y$ 得 $10$，到這條直線的距離是 $2$。

設距離為整數 $d$，點在直線 $3x-4y=5d$ 或 $3x-4y=-5d$ 上。

與圓心同側（$3x-4y=5d$）：圓心到它的距離 $\frac{|10-5d|}{5}=|2-d|$。$d=0,1,2,3,4$ 時分別為 $2,1,0,1,2$，都小於 $\sqrt{5}$，各交圓於 $2$ 點；$d\ge 5$ 時距離 $\ge 3>\sqrt{5}$，不相交。

另一側（$3x-4y=-5d$，$d\ge 1$）：圓心到它的距離 $\frac{10+5d}{5}=2+d\ge 3>\sqrt{5}$，不相交。

共 $5\times 2=10$ 個數對。

圓過 $x$ 軸上方的點又與 $x$ 軸相切，圓心 $(h,k)$ 在上方，半徑 $=k>0$，圓為 $(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=k^2$。

代入 $A(1,4)$：$(1-h{)}^2+16-8k=0$。代入 $B(3,2)$：$(3-h{)}^2+4-4k=0$。第二式乘 $2$ 減第一式消去 $k$：$2(3-h{)}^2+8-(1-h{)}^2-16=0$，展開 $h^2-10h+9=0$，$h=1$ 或 $9$。

$h=1$：$8k=16$，$k=2$；$h=9$：$8k=64+16=80$，$k=10$。兩個圓的半徑是 $2$ 與 $10$，最大為 $10$。

歐拉線過外心 $O$ 與重心 $G$。

外心在 $\overline{BC}$ 的中垂線上：中點 $(5,7)$，$\overline{BC}$ 斜率 $\frac{9-5}{9-1}=\frac{1}{2}$，中垂線 $y-7=-2(x-5)$，即 $y=-2x+17$。與 $x-2y+4=0$ 聯立：$x=2y-4$ 代入得 $y=-4y+25$，$y=5$，$x=6$，外心 $O(6,5)$，外接圓半徑 $\overline{OB}=\sqrt{25+0}=5$。

設 $A(x,y)$，重心 $G\left(\frac{10+x}{3},\frac{14+y}{3}\right)$ 在歐拉線上：$\frac{10+x}{3}-2\cdot \frac{14+y}{3}+4=0$，即 $x-2y-6=0$。又 $\overline{OA}=5$：$(x-6{)}^2+(y-5{)}^2=25$。以 $x=2y+6$ 代入：$4y^2+(y-5{)}^2=25$，$5y^2-10y=0$，$y=0$ 或 $2$。

$y=0$ 得 $A(6,0)$ 在 $x$ 軸上，不在第一象限；$y=2$ 得 $A(10,2)$。

$\overline{BC}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。面積 $10=\frac{1}{2}\cdot \overline{BC}\cdot h$，所以 $A$ 到 $\overleftrightarrow{BC}$ 的距離 $h=\frac{20}{2\sqrt{10}}=\sqrt{10}$。

$A(x,y)$ 到 $x+3y+3=0$ 的距離為 $\sqrt{10}$：$\frac{|x+3y+3|}{\sqrt{1+9}}=\sqrt{10}$，$|x+3y+3|=10$，即 $x+3y+3=10$ 或 $x+3y+3=-10$。

所以 $A$ 的圖形是兩條與 $\overleftrightarrow{BC}$ 平行的直線：$x+3y+13=0$ 或 $x+3y-7=0$。