段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）、指數函數的圖形

蘭陽女中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 蘭陽女中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 蘭陽女中 109 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選填第 16 題（卷面 J）要先從對摺看出四邊形 APCQ 是菱形，再用正弦定理與半角公式，步驟最多；多選第 6 題的選項 4 要分段比較拋物線與正弦曲線，選項 5 的不等式雖然寬鬆但確實成立；多選第 5 題的半角因為是廣義角，正負定不下來；多選第 4 題的選項 1 數值對但少了負的情形；選填第 14 題（卷面 H）要注意 6 比一整個週期略小，第二個拱形碰不到直線。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 4 分）、多重選擇題 4 題（每題 6 分）、選填題 10 題（共 60 分，卷面沒有印每題分數）、計算題 1 題（8 分），合計 100 分。卷面題號是單選與多選 1 到 6、選填 A 到 J、計算題第 1 題，本頁把選填 A 到 J 依序編為第 7 到 16 題，計算題編為第 17 題。答案已與學校公布的答案逐題核對；計算題學校公布的是最大值與最小值，第 (1) 小題的完整式子與取到最大、最小值時的 x 為本站計算。

一、單選題（每題 4 分）

下列哪一個數值最小？

(1) $cos \frac{2 π}{5}$
(2) $sin (\frac{π}{2})^{2}$
(3) $sin 1$
(4) $sin 2$
(5) $sin 3$

若

y = a^{x}

的圖形如下，則

a

可能是下列選項的哪一個數？

(1) $3$
(2) $\frac{3}{2}$
(3) $\frac{2}{3}$
(4) $\frac{1}{3}$
(5) $\frac{1}{2}$

載入中...

二、多重選擇題（每題 6 分，錯一個選項，得 4 分；錯兩個選項，得 2 分；錯 3 個或以上，不給分）

設

a > 0

且

a \neq = 1

，又

x

為實數，則對於

y = a^{x}

的圖形，下列敘述何者正確？

(1) 指數函數 $y = a^{x}$ ， $a > 0$ ， $a \neq = 1$ 的圖形必為由左而右上升的曲線
(2) $y = 2^{x} + 2^{- x}$ 的圖對稱於 $x$ 軸
(3) 對任意相異實數 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，恆有 $\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2} > a^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}$
(4) $y = a^{x}$ 之圖形與 $y = - a^{x}$ 之圖形對稱於 $y$ 軸。
(5) $y = 2^{x}$ 和 $y = x^{2}$ 兩圖的交點個數為 $3$ 個。

若

sin θ

與

cos θ

為方程式

8 x^{2} - 4 x + k = 0

的兩根，試問下列何者正確？

(1) $sin θ - cos θ = \frac{7}{2}$
(2) $k = - 3$
(3) $sin^{3} θ + cos^{3} θ = \frac{11}{16}$
(4) $2 cos^{2} \frac{θ}{2} (sin \frac{θ}{2} + cos \frac{θ}{2})^{2} = - \frac{9}{8}$
(5) $sin 3 θ + cos 3 θ = - \frac{5}{4}$ 。

在坐標平面上，廣義角

θ

的頂點為原點，始邊為

x

軸的正向，且滿足

tan θ = \frac{12}{5}

。若

θ

的終邊上有一點

P

，其

y

坐標為

- 24

，請選出正確的選項。

(1) $P$ 的 $x$ 坐標是 $10$
(2) $\overline{O P} = 13$
(3) $2 sin θ + cos θ < - 2$
(4) $sin \frac{θ}{2} > 0$
(5) $cos 2 θ < 0$

設

f (x) = sin 2 x + sin (\frac{π}{3} - 2 x)

，則下列選項中哪些正確？

(1) $f (x)$ 的週期為 $2 π$
(2) $y = f (x)$ 的圖形可以由 $y = sin 2 x$ 的圖形向左移 $\frac{π}{3}$ 而得
(3) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{12}$
(4) 方程式 $x^{2} = sin 2 x + sin (\frac{π}{3} - 2 x)$ 有兩實數解
(5) $- 2 \leq f (x) \leq 2$

三、選填題（共 60 分）

試求

cos 1 7^{\circ} cos 1 3^{\circ} - sin 1 7^{\circ} sin 1 3^{\circ} + sin 4 7^{\circ} cos 10 7^{\circ} - cos 4 7^{\circ} sin 10 7^{\circ} =

____。（原卷的答案格式為一格

◯

）

將六個大小相同的正方形排成如下圖所示，試求

tan θ =

____。（化為最簡分式；原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯}

）

載入中...

一直圓錐的底半徑為

2

，高為

5

，沿斜高剪開展平成一扇形，則此扇形的面積為 ____

π

。（原卷的答案格式為

◯ π

）

0 \leq x \leq 4 π

，則不等式

sin x \geq \frac{1}{2}

的解為

α \leq x \leq β

或

p \leq x \leq q

，則

α + β + p + q =

____

π

。（原卷的答案格式為

◯ π

）

設

- 9 0^{\circ} < α < 0^{\circ}

，

- 9 0^{\circ} < β < 0^{\circ}

，且

sin α = - \frac{5 3}{14}

，

sin β = - \frac{3 3}{14}

，則

α + β =

____ 度。（原卷的答案格式為三格

◯ ◯ ◯

）

如圖是函數

y = a sin (b x + c)

（其中

a > 0

，

b > 0

，

∣ c ∣ < π

）在一個週期內的圖形，則

a + b + c =

____。（原卷的答案格式為

◯ + \frac{π}{◯}

）

載入中...

x

為實數，則

cos x + sin \frac{x}{2}

之極大值為

M

，極小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。（化為最簡分式；原卷的答案格式為

(\frac{◯}{◯}, ◯ ◯)

）

方程式

6 sin x - x = 0

的實數解有 ____ 個。（原卷的答案格式為一格

◯

）

若直線

x = - \frac{π}{8}

為函數

y = sin 2 x + a cos 2 x

圖形的一條對稱軸，則實數

a =

____。（原卷的答案格式為兩格

◯ ◯

）

如下圖，平面上有一個平行四邊形

A B C D

沿著

\overline{P Q}

對摺，恰好讓對角線的兩頂點

A

，

C

重合，其中點

P

、

Q

分別在

\overline{A B}

、

\overline{C D}

上，且

\overline{A P} = 26

，

\overline{A D} = 4

，

cos D = - \frac{30}{6}

，則摺痕長度

\overline{P Q} =

____。（化為最簡根式；原卷的答案格式為

◯ (◯ - 1)

）

載入中...

四、計算題（8 分）

函數

f (x) = - sin x + 3 cos x + 2

　(1) 請將

f (x)

疊合成

f (x) = a sin (x + b) + 2

的形式，其中

a > 0

，

0 < b < π

　(2) 在

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{13}{12} π

的條件下，

f (x)

的最大值為何？此時

x

為多少？

f (x)

的最小值為何？此時

x

為多少？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(3)(5)

第 4 題(2)(3)

第 5 題(3)(5)

第 6 題(3)(4)(5)

第 7 題

0

第 8 題

- \frac{7}{4}

第 9 題

6 π

第 10 題

6 π

第 11 題

- 6 0^{\circ}

第 12 題

5 + \frac{π}{4}

第 13 題

(\frac{9}{8}, - 2)

第 14 題

3

第 15 題

- 1

第 16 題

4 (2 - 1)

第 17 題(1)

f (x) = 2 sin (x + \frac{2 π}{3}) + 2

；(2) 最大值

2 - 2

，此時

x = \frac{13}{12} π

；最小值

0

，此時

x = \frac{5}{6} π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～2 題）：弧度比大小、由圖形判斷底數

第 1 題答案 (5)。把五個數都換成第一象限角的正弦值，再用「正弦函數在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增」來比。

π \approx 3.14

。(1)

cos \frac{2 π}{5} = sin (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = sin \frac{π}{10}

，

\frac{π}{10} \approx 0.314

。(2)

(\frac{π}{2})^{2} \approx 2.47

，在

\frac{π}{2}

與

π

之間，

sin 2.47 = sin (π - 2.47) \approx sin 0.67

。(3)

sin 1

。(4)

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

。(5)

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。五個角

0.14 < 0.314 < 0.67 < 1 < 1.14

都在第一象限，所以

sin 3

最小。

數值依序約為

0.309

、

0.624

、

0.841

、

0.909

、

0.141

。選項 (2) 卷面印成

sin

後面接

(\frac{π}{2})^{2}

，上面是照「角度為

(\frac{π}{2})^{2}

弧度」來算；若讀成

(sin \frac{π}{2})^{2} = 1

，它是五個數裡最大的，答案一樣是 (5)。

第 2 題答案 (4)。

y = a^{x}

的圖形由左而右下降，所以

0 < a < 1

，(1)(2) 不合。再和圖上的

y = 2^{x}

比：

y = (\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}

的圖形是

y = 2^{x}

對

y

軸的鏡射。看方格，

y = 2^{x}

通過

(1, 2)

，鏡射後應通過

(- 1, 2)

；但圖中

y = a^{x}

在

x = - 1

時的高度是

3

，比

2

高，所以

a^{- 1} = \frac{1}{a} = 3

，

a = \frac{1}{3}

。

底數在

0

與

1

之間時，底數愈小，圖形在

y

軸左邊升得愈陡。

\frac{2}{3}

在

x = - 1

的高度只有

\frac{3}{2}

，

\frac{1}{2}

是

2

，都比圖上的曲線低。

02多重選擇題（第 3～4 題）：指數函數的圖形、兩根是正弦與餘弦

第 3 題答案 (3)(5)。(1) 錯誤。

0 < a < 1

時圖形由左而右下降，例如

y = (\frac{1}{2})^{x}

。(2) 錯誤。令

g (x) = 2^{x} + 2^{- x}

，

g (- x) = 2^{- x} + 2^{x} = g (x)

，圖形對稱於

y

軸；而且

g (x) > 0

，圖形全在

x

軸上方，不可能對稱於

x

軸。(3) 正確。

a^{x_{1}}

、

a^{x_{2}}

都是正數，由算幾不等式

\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2} \geq a^{x_{1}} \cdot a^{x_{2}} = a^{x_{1} + x_{2}} = a^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}

，等號只在

a^{x_{1}} = a^{x_{2}}

時成立；

a \neq = 1

且

x_{1} \neq = x_{2}

時兩數不相等，所以是嚴格大於。(4) 錯誤。把

y

換成

- y

是對

x

軸鏡射，兩圖形對稱於

x

軸；對稱於

y

軸的是

y = a^{- x}

。(5) 正確。

x = 2

時兩邊都是

4

，

x = 4

時兩邊都是

16

，這是兩個交點。

x < 0

時：

x = - 1

有

2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1 = (- 1)^{2}

，

x = 0

有

2^{0} = 1 > 0

，而這一段

y = 2^{x}

上升、

y = x^{2}

下降，所以在

- 1

與

0

之間恰有一個交點。

0 < x < 2

時

2^{x}

在上（例如

x = 1

：

2 > 1

），

2 < x < 4

時

x^{2}

在上（

x = 3

：

8 < 9

），

x > 4

之後

2^{x}

又在上且愈拉愈開（

x = 5

：

32 > 25

），沒有別的交點。共

3

個。

(3) 的意思是圖形上任兩點連成的線段，中點都在曲線的上方，也就是指數函數的圖形是凹口向上的，不論

a > 1

或

0 < a < 1

都一樣。

第 4 題答案 (2)(3)。由根與係數的關係，

sin θ + cos θ = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

，

sin θ cos θ = \frac{k}{8}

。把第一式平方：

1 + 2 sin θ cos θ = \frac{1}{4}

，所以

sin θ cos θ = - \frac{3}{8}

。(2) 正確。

\frac{k}{8} = - \frac{3}{8}

，

k = - 3

。(1) 錯誤。

(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 sin θ cos θ = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}

，只能得到

sin θ - cos θ = \pm \frac{7}{2}

。方程式

8 x^{2} - 4 x - 3 = 0

的兩根是

\frac{1 \pm 7}{4}

，題目沒有說哪一個是

sin θ

；若

sin θ = \frac{1 - 7}{4}

、

cos θ = \frac{1 + 7}{4}

，差就是

- \frac{7}{2}

。(3) 正確。

sin^{3} θ + cos^{3} θ = (sin θ + cos θ) (sin^{2} θ - sin θ cos θ + cos^{2} θ) = \frac{1}{2} \times (1 + \frac{3}{8}) = \frac{11}{16}

。(4) 錯誤。用半角與二倍角公式：

2 cos^{2} \frac{θ}{2} = 1 + cos θ

，

(sin \frac{θ}{2} + cos \frac{θ}{2})^{2} = 1 + 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} = 1 + sin θ

。乘起來是

(1 + cos θ) (1 + sin θ) = 1 + (sin θ + cos θ) + sin θ cos θ = 1 + \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{9}{8}

，是正的，不是

- \frac{9}{8}

。(5) 錯誤。由和角與二倍角公式可得

sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ

、

cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ

。相加：

sin 3 θ + cos 3 θ = 3 (sin θ - cos θ) - 4 (sin^{3} θ - cos^{3} θ)

，其中

sin^{3} θ - cos^{3} θ = (sin θ - cos θ) (1 + sin θ cos θ) = \frac{5}{8} (sin θ - cos θ)

，所以原式

= (3 - \frac{5}{2}) (sin θ - cos θ) = \frac{1}{2} (sin θ - cos θ) = \pm \frac{7}{4}

，不會是

- \frac{5}{4}

。

(4) 不必算也能判斷：左邊是兩個平方相乘再乘

2

，不可能是負數。(1) 的數值對，但少了負的那一種情形，所以不能選。

知道

sin θ + cos θ

就把它平方得到

sin θ cos θ

；之後的式子都設法寫成這兩個量。差

sin θ - cos θ

只能求到平方，正負要另有條件才定得出來。

03多重選擇題（第 5～6 題）：廣義角的二倍角與半角、疊合後的函數性質

第 5 題答案 (3)(5)。

tan θ > 0

，

θ

是第一或第三象限角；終邊上的點

P

的

y

坐標是負的，所以

θ

是第三象限角。設

P (x, - 24)

，

tan θ = \frac{- 24}{x} = \frac{12}{5}

，得

x = - 10

。(1) 錯誤。

x

坐標是

- 10

。(2) 錯誤。

\overline{O P} = (- 10)^{2} + (- 24)^{2} = 676 = 26

。(3) 正確。

sin θ = \frac{- 24}{26} = - \frac{12}{13}

，

cos θ = \frac{- 10}{26} = - \frac{5}{13}

，

2 sin θ + cos θ = - \frac{29}{13}

，而

- \frac{29}{13} < - \frac{26}{13} = - 2

。(4) 錯誤。廣義角

θ

只知道終邊在第三象限，

\frac{θ}{2}

的象限不確定：若

18 0^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

，則

9 0^{\circ} < \frac{θ}{2} < 13 5^{\circ}

，

sin \frac{θ}{2} > 0

；若取同一條終邊的

- 18 0^{\circ} < θ < - 9 0^{\circ}

，則

- 9 0^{\circ} < \frac{θ}{2} < - 4 5^{\circ}

，

sin \frac{θ}{2} < 0

。不一定成立。(5) 正確。

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{50}{169} - 1 = - \frac{119}{169} < 0

。

同一條終邊的角相差

36 0^{\circ}

的整數倍，除以

2

之後相差

18 0^{\circ}

的整數倍，正弦值可能變號；二倍角則相差

72 0^{\circ}

的整數倍，不受影響。所以 (5) 可以確定，(4) 不行。

第 6 題答案 (3)(4)(5)。先用差角公式展開：

sin (\frac{π}{3} - 2 x) = \frac{3}{2} cos 2 x - \frac{1}{2} sin 2 x

，所以

f (x) = \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{3}{2} cos 2 x = sin 2 x cos \frac{π}{3} + cos 2 x sin \frac{π}{3} = sin (2 x + \frac{π}{3})

。(1) 錯誤。

x

的係數是

2

，週期為

\frac{2 π}{2} = π

。(2) 錯誤。

f (x) = sin 2 (x + \frac{π}{6})

，是把

y = sin 2 x

的圖形向左移

\frac{π}{6}

；向左移

\frac{π}{3}

得到的是

sin (2 x + \frac{2 π}{3})

。(3) 正確。

f (\frac{π}{12}) = sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) = sin \frac{π}{2} = 1

是最大值，通過最高點的鉛直線是對稱軸。(4) 正確。方程式就是

x^{2} = sin (2 x + \frac{π}{3})

。右邊不超過

1

，所以只需看

- 1 \leq x \leq 1

。在

- 1 \leq x \leq 0

：角

2 x + \frac{π}{3}

從約

- 0.95

增加到約

1.05

，都在

- \frac{π}{2}

與

\frac{π}{2}

之間，右邊由負值（約

- 0.82

）一路上升到

\frac{3}{2}

，左邊

x^{2}

由

1

一路下降到

0

，恰交一點。在

0 \leq x \leq \frac{π}{12}

：右邊至少

\frac{3}{2}

，左邊至多

(\frac{π}{12})^{2} \approx 0.07

，沒有交點。在

\frac{π}{12} \leq x \leq 1

：右邊由

1

一路下降到

sin (2 + \frac{π}{3}) \approx 0.09

，左邊由約

0.07

一路上升到

1

，恰交一點。共兩個實數解。(5) 正確。正弦值在

- 1

與

1

之間，所以

- 1 \leq f (x) \leq 1

，當然也滿足

- 2 \leq f (x) \leq 2

。

(5) 容易誤判成錯：題目問的是不等式成不成立，不是問最大值、最小值是不是

\pm 2

。把兩個振幅

1

直接相加會得到

2

，但兩項不會同時達到

1

，疊合後的振幅只有

1

。(4) 的兩個解約為

x \approx - 0.43

與

x \approx 0.75

。

兩個同角的正弦、餘弦相加，先展開、合併，再疊合成一個正弦，週期、平移、對稱軸與範圍就都看得出來。

04選填題（第 7～11 題，卷面 A～E）：和差角展開式、方格中的夾角、圓錐展開、正弦不等式、求和角

第 7 題前兩項是餘弦的和角公式：

cos 1 7^{\circ} cos 1 3^{\circ} - sin 1 7^{\circ} sin 1 3^{\circ} = cos (1 7^{\circ} + 1 3^{\circ}) = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。後兩項是正弦的差角公式：

sin 4 7^{\circ} cos 10 7^{\circ} - cos 4 7^{\circ} sin 10 7^{\circ} = sin (4 7^{\circ} - 10 7^{\circ}) = sin (- 6 0^{\circ}) = - \frac{3}{2}

。相加得

0

。

格子劃

0

。

第 8 題設每個正方形的邊長為

1

，以左下角為原點

O

。一條斜線從

O (0, 0)

到右上角

(3, 2)

，另一條從

(0, 1)

到

E (2, 0)

，兩線交於

T

。

θ

是

T

朝下張開的角，也就是三角形

T O E

在

T

的內角。設

∠ T O E = α

、

∠ T E O = β

，看方格得

tan α = \frac{2}{3}

（橫

3

直

2

）、

tan β = \frac{1}{2}

（橫

2

直

1

）。

tan (α + β) = \frac{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{7}{4}

。

θ = 18 0^{\circ} - (α + β)

，所以

tan θ = - tan (α + β) = - \frac{7}{4}

。

分子兩格依序劃「

-

」、

7

，分母劃

4

。

θ

是鈍角，正切是負的；答案格的分子有兩格，也提示有負號。若量的是兩線所夾的銳角，正切才是

\frac{7}{4}

。

第 9 題斜高

= 2^{2} + (5)^{2} = 9 = 3

。展開後的扇形，半徑是斜高

3

，弧長是底圓的圓周

2 π \times 2 = 4 π

。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 π = 6 π

。

格子劃

6

。扇形的圓心角是

\frac{4 π}{3}

弧度，用

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{4 π}{3}

也得

6 π

。

第 10 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = \frac{1}{2}

的解是

\frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

，圖形在這兩點之間高於

\frac{1}{2}

，所以

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

。正弦函數的週期是

2 π

，在

2 π \leq x \leq 4 π

內的解是各加

2 π

：

\frac{13 π}{6} \leq x \leq \frac{17 π}{6}

。四個端點相加：

\frac{π}{6} + \frac{5 π}{6} + \frac{13 π}{6} + \frac{17 π}{6} = \frac{36 π}{6} = 6 π

。

格子劃

6

。兩段解哪一段叫

α

、

β

都不影響總和。

第 11 題

α

、

β

都在

- 9 0^{\circ}

與

0^{\circ}

之間，餘弦為正：

cos α = 1 - \frac{75}{196} = \frac{11}{14}

，

cos β = 1 - \frac{27}{196} = \frac{13}{14}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{11}{14} \times \frac{13}{14} - \frac{5 3}{14} \times \frac{3 3}{14} = \frac{143 - 45}{196} = \frac{1}{2}

。又

- 18 0^{\circ} < α + β < 0^{\circ}

，這個範圍內餘弦值為

\frac{1}{2}

的角只有

- 6 0^{\circ}

。所以

α + β = - 6 0^{\circ}

。

三格依序劃「

-

」、

6

、

0

。這裡用餘弦比用正弦好：在

- 18 0^{\circ}

到

0^{\circ}

之間，餘弦值對應的角只有一個，正弦值

- \frac{3}{2}

則會對到

- 6 0^{\circ}

與

- 12 0^{\circ}

兩個。

求出某個角的三角函數值之後，一定要寫出這個角的範圍，並且挑在那個範圍內「一個值只對一個角」的函數來算。

05選填題（第 12～14 題，卷面 F～H）：由圖形求係數、換成二次函數求極值、數解的個數

第 12 題最高

2

、最低

- 2

，

a > 0

，所以

a = 2

。圖上是一個完整的週期，從

x = - \frac{π}{12}

到

x = \frac{7 π}{12}

，週期

= \frac{7 π}{12} + \frac{π}{12} = \frac{2 π}{3}

；

b > 0

時週期是

\frac{2 π}{b}

，所以

b = 3

。圖形在

x = - \frac{π}{12}

通過

x

軸並且往上走，這是正弦一個週期的起點，所以

3 \times (- \frac{π}{12}) + c = 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{π}{4} + 2 k π

；由

∣ c ∣ < π

得

c = \frac{π}{4}

。

a + b + c = 2 + 3 + \frac{π}{4} = 5 + \frac{π}{4}

。

兩格依序劃

5

、

4

。檢查：

y = 2 sin (3 x + \frac{π}{4})

在

x = \frac{π}{12}

時角度為

\frac{π}{2}

，是最高點，位置在

y

軸右邊一點，與圖相符。

第 13 題用二倍角公式

cos x = 1 - 2 sin^{2} \frac{x}{2}

。令

t = sin \frac{x}{2}

，

x

為任意實數時

- 1 \leq t \leq 1

。原式

= 1 - 2 t^{2} + t = - 2 (t - \frac{1}{4})^{2} + \frac{9}{8}

。

t = \frac{1}{4}

在範圍內，此時有極大值

M = \frac{9}{8}

。圖形是開口向下的拋物線，離頂點愈遠值愈小；兩個端點中

t = - 1

離

\frac{1}{4}

較遠，此時有極小值

m = 1 - 2 - 1 = - 2

（

t = 1

時是

0

）。

(M, m) = (\frac{9}{8}, - 2)

。

格子依序劃

9

、

8

、「

-

」、

2

。兩項的角不同（

x

與

\frac{x}{2}

），不能直接疊合，要先用二倍角公式把角統一成

\frac{x}{2}

。

第 14 題方程式即

sin x = \frac{x}{6}

，數

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{6}

的交點。

x = 0

是一個解。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，解只可能在

- 6 \leq x \leq 6

。看

x > 0

：

0 < x < π

時

y = sin x

是一個拱形，直線從原點出發，起初在拱形下方（例如

x = \frac{π}{2}

時直線高度

\frac{π}{12} \approx 0.26 < 1

），到

x = π

時直線高度

\frac{π}{6} > 0 = sin π

已在上方，中間至少交一點；這一段拱形是向下彎的，與過原點的直線除了原點之外最多再交一點，所以恰交一點。

π \leq x \leq 6

時，因為

6 < 2 π

，

sin x \leq 0

，而

\frac{x}{6} > 0

，沒有交點。所以正的解有

1

個。兩個圖形都對稱於原點，負的解也有

1

個。連同

x = 0

，共

3

個。

格子劃

3

。關鍵是直線在

x = 6

才升到高度

1

，而

6

還不到

2 π \approx 6.28

，正弦的第二個拱形（

2 π

之後）來不及碰到。三個解約為

0

與

\pm 2.68

。

06選填題（第 15～16 題，卷面 I～J）：由對稱軸求係數、摺紙求摺痕長

第 15 題疊合後

y = sin 2 x + a cos 2 x = 1 + a^{2} sin (2 x + φ)

，最大值、最小值是

\pm 1 + a^{2}

，對稱軸都通過最高點或最低點。所以

x = - \frac{π}{8}

時的函數值是

\pm 1 + a^{2}

：

sin (- \frac{π}{4}) + a cos (- \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (a - 1)

。兩邊平方：

\frac{( a - 1 ) ^{2}}{2} = 1 + a^{2}

，整理得

a^{2} + 2 a + 1 = 0

，

(a + 1)^{2} = 0

，

a = - 1

。

兩格依序劃「

-

」、

1

。檢查：

y = sin 2 x - cos 2 x = 2 sin (2 x - \frac{π}{4})

，

x = - \frac{π}{8}

時角度是

- \frac{π}{2}

，為最低點。另一個快的做法：對稱軸兩側等距離的點函數值相等，取

x = 0

與

x = - \frac{π}{4}

，得

a = sin (- \frac{π}{2}) + a cos (- \frac{π}{2}) = - 1

。

第 16 題對摺後

A

與

C

重合，所以摺痕

\overline{P Q}

上的點到

A

、

C

等距離：

\overline{P A} = \overline{P C}

、

\overline{Q A} = \overline{QC}

，且

∠ A P Q = ∠ C P Q

。又

\overline{A B}

平行

\overline{C D}

，內錯角

∠ A P Q = ∠ C QP

，所以

∠ C P Q = ∠ C QP

，

\overline{C P} = \overline{C Q}

。四邊形

A P C Q

四邊都等於

26

，是菱形。在三角形

A Q D

中，

\overline{A D} = 4

，

\overline{A Q} = 26

，

sin D = 1 - \frac{30}{36} = \frac{6}{6}

。由正弦定理

\frac{A D}{sin ∠ A Q D} = \frac{A Q}{sin D}

，得

sin ∠ A Q D = \frac{4 \times \frac{6}{6}}{2 6} = \frac{1}{3}

。

∠ D

是鈍角，所以

∠ A Q D

是銳角，記作

φ

，

cos φ = \frac{2 2}{3}

。菱形的對角線

\overline{P Q}

平分

∠ A QC = 18 0^{\circ} - φ

，所以

∠ A QP = 9 0^{\circ} - \frac{φ}{2}

。菱形的兩條對角線互相垂直平分，設交點為

M

，直角三角形

A M Q

中

\overline{QM} = \overline{A Q} cos (9 0^{\circ} - \frac{φ}{2}) = 26 sin \frac{φ}{2}

。由半角公式

sin^{2} \frac{φ}{2} = \frac{1 - cos φ}{2} = \frac{3 - 2 2}{6} = \frac{( 2 - 1 ) ^{2}}{6}

，

sin \frac{φ}{2} = \frac{2 - 1}{6}

。所以

\overline{P Q} = 2 \overline{QM} = 46 \times \frac{2 - 1}{6} = 4 (2 - 1)

。

兩格依序劃

4

、

2

。

3 - 22 = (2)^{2} - 22 + 1 = (2 - 1)^{2}

是常用的配方。另解：

\overline{A B}

平行

\overline{C D}

，內錯角

∠ P A Q = ∠ A Q D = φ

。在三角形

A P Q

用餘弦定理：

\overline{P Q}^{2} = 24 + 24 - 2 \times 24 \times \frac{2 2}{3} = 48 - 322 = 16 (3 - 22) = 16 (2 - 1)^{2}

，所以

\overline{P Q} = 4 (2 - 1) \approx 1.66

。附圖是示意圖，沒有照題目的長度與角度畫。

摺紙題先找「摺痕是哪條線段的垂直平分線」，把相等的邊、相等的角標出來；這一題標完就是菱形，剩下一個三角形用正弦定理與半角公式解決。

07計算題（第 17 題，卷面計算題 1）：疊合後求限定範圍內的最大值與最小值

第 17 題(1)

(- 1)^{2} + (3)^{2} = 2

，提出

2

：

- sin x + 3 cos x = 2 (- \frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x)

。要寫成

2 (sin x cos b + cos x sin b)

，需要

cos b = - \frac{1}{2}

、

sin b = \frac{3}{2}

；在

0 < b < π

內

b = \frac{2 π}{3}

。所以

f (x) = 2 sin (x + \frac{2 π}{3}) + 2

，

a = 2

，

b = \frac{2 π}{3}

。(2)

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{13}{12} π

時，

\frac{4 π}{3} \leq x + \frac{2 π}{3} \leq \frac{7 π}{4}

。正弦函數在這一段先下降後上升：從

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

降到

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，再升到

sin \frac{7 π}{4} = - \frac{2}{2}

。最小的是

- 1

，發生在

x + \frac{2 π}{3} = \frac{3 π}{2}

，即

x = \frac{5 π}{6}

，此時

f (x)

有最小值

2 \times (- 1) + 2 = 0

。最大的要比兩個端點：

- \frac{2}{2} \approx - 0.707

比

- \frac{3}{2} \approx - 0.866

大，所以發生在右端點

x = \frac{13}{12} π

，此時

f (x)

有最大值

2 \times (- \frac{2}{2}) + 2 = 2 - 2

。

代回檢查：

x = \frac{5 π}{6}

時

- sin x + 3 cos x + 2 = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 2 = 0

。這個範圍不含讓正弦值為

1

的角，所以最大值不是

4

；限定範圍的題目一定要把整個角的範圍寫出來，最大值常落在端點，兩個端點都要算。

疊合之後求極值，先把

x

的範圍換成整個角的範圍，再看正弦在那一段怎麼升降；範圍內沒有最高點時，最大值在端點。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選填第 16 題（卷面 J）要先從對摺看出四邊形 APCQ 是菱形，再用正弦定理與半角公式，步驟最多；多選第 6 題的選項 4 要分段比較拋物線與正弦曲線，選項 5 的不等式雖然寬鬆但確實成立；多選第 5 題的半角因為是廣義角，正負定不下來；多選第 4 題的選項 1 數值對但少了負的情形；選填第 14 題（卷面 H）要注意 6 比一整個週期略小，第二個拱形碰不到直線。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自蘭陽女中 109 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

蘭陽女中 109 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～2 題）：弧度比大小、由圖形判斷底數

02多重選擇題（第 3～4 題）：指數函數的圖形、兩根是正弦與餘弦

03多重選擇題（第 5～6 題）：廣義角的二倍角與半角、疊合後的函數性質

04選填題（第 7～11 題，卷面 A～E）：和差角展開式、方格中的夾角、圓錐展開、正弦不等式、求和角

05選填題（第 12～14 題，卷面 F～H）：由圖形求係數、換成二次函數求極值、數解的個數

06選填題（第 15～16 題，卷面 I～J）：由對稱軸求係數、摺紙求摺痕長

07計算題（第 17 題，卷面計算題 1）：疊合後求限定範圍內的最大值與最小值

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