段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

蘭陽女中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

第一部分 70 分：單選題、多重選擇題各 2 題（每題 5 分）、選填題 A～H 共 9 格（每格 5 分）、計算題 5 分；第二部分 33 分：單選題 2 題（每題 4 分）、多重選擇題 1 題（5 分）、填充題 I～M 共 5 格（每格 4 分）；卷面合計 103 分，總分超過 100 分以 100 分計。本頁第 5～13 題為選填 A～H，第 14、15 題為計算題，第 16～18 題為卷面⑰⑱⑲，第 19～23 題為填充 I～M。答案已與學校公布的答案逐題核對，1 題不同（第 21 題：學校答案印 4，本站計算為 5，見詳解）。

【第一部分：70 分】一、單選題(每題 5 分)

請選出正確的選項。

(1) $7 = 9^{l o g_{9} 7}$
(2) 滿足 $5^{x} = 9$ 的實數 $x$ 可以表示為 $x = lo g_{9} 5$
(3) 設 $x$ 為非零實數，則 $lo g (x^{2}) = 2 \cdot lo g x$
(4) $lo g (3 + 5) = lo g 3 + lo g 5$
(5) $lo g 5 = \frac{lo g 10}{lo g 2}$

放射性物質的半衰期

T

（單位：小時）定義為每經過時間

T

小時，該物質的質量會衰退成原來的一半。已知某放射性物質在經過

90

小時後，該物質的質量會衰退成原來的

\frac{1}{8}

，則此物質半衰期

T

最接近下列哪一個選項？

(1) $10$ 小時
(2) $15$ 小時
(3) $20$ 小時
(4) $25$ 小時
(5) $30$ 小時

二、多重選擇題(每題 5 分；錯 1 個，得 3 分；錯 2 個，得 1 分；錯 3 個或以上，不給分)

關於函數

f (x) = (\frac{1}{10})^{x}

，下列哪些選項是正確的？

(1) $f (x) = (\frac{1}{10})^{x}$ 的圖形上任取相異兩點 $A$ ， $B$ ，其線段 $A B$ 必在 $f (x) = (\frac{1}{10})^{x}$ 圖形的上方
(2) $f (2) < f (3)$
(3) $\frac{f ( 2023 )}{f ( 2021 )} > \frac{f ( 23 )}{f ( 21 )}$
(4) $f (x) = (\frac{1}{10})^{x}$ 的圖形和 $g (x) = (10)^{x}$ 對稱於 $y$ 軸
(5) $f (x) = (\frac{1}{10})^{x}$ 的圖形和 $h (x) = - (\frac{1}{10})^{x}$ 對稱於 $y$ 軸

關於對數函數圖形的敘述，下列哪些選項是正確的？

(1) $y = lo g x$ 為嚴格遞增函數
(2) 在 $y = lo g x$ 的圖形上任取相異兩點 $A$ ， $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為正
(3) $y = lo g x$ 對稱直線 $y = x$ 之後的函數為 $y = (\frac{1}{10})^{x}$
(4) 若點 $(a, b)$ 在 $y = lo g x$ 上，則 $(a, b)$ 和原點所形成的直線斜率必小於 $10$
(5) 若點 $(a, b)$ 在 $y = lo g x$ 上，則 $(\frac{1}{a}, 1 - b)$ 也會在 $y = lo g x$ 的圖形上

三、選填題(每格 5 分)

選填 A（第 5～6 題）（第 5～6 題）　求下列各式的值：

（選填 A）(1)

lo g_{7} 47 =

____。

（選填 A）(2)

lo g 0.0001 =

____。

（選填 B）求方程式

(0.49)^{2 x + 3} = (0.7)^{x^{2} - x}

所有實根之和為 ____。

（選填 C）

lo g \frac{11}{2} - lo g \frac{11}{25} + 3 lo g 2 =

____。

（選填 D）

(lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9) (lo g_{3} 4 - lo g_{9} 2) =

____。

（選填 E）不等式

2 \cdot lo g (x - 1) < lo g (7 - x)

的解為

α < x < β

，則

α + β =

____。

（選填 F）解方程式

4^{x} - 2^{x} - 2 = 0

，得

x =

____。

（選填 G）設

P

、

Q

分別為直線

y = 3

、

y = 12

與

y = 2^{x}

的交點，求

\overline{P Q}

的斜率為 ____。

（選填 H）目前國際上通用芮氏規模

M

來表示地震強度。若

E

代表地震所釋放出來的能量（單位：爾格）。我們根據地震學家古騰堡所提出的公式會有：

lo g E = 11.8 + 1.5 M

。前一陣子有一位神婆預測

2023

年

11

月

27

日將發生芮氏規模

M = 14

的地震，根據古騰堡公式此地震釋放出來的能量是日本

311

宮地大地震

M = 10

釋放出來能量的

1 0^{T}

倍，試求：

T =

____。

四、計算題(5 分。請寫在答案卷上，並用黑(藍)原子筆寫出詳細計算過程，否則不予計分)

計算題（第 14～15 題）（第 14～15 題）　下圖為某海藻的栽培實驗中，其繁殖的覆蓋面積與時間的關係圖。設經過

x

週後，海藻的覆蓋面積會達到

f (x) = k \cdot a^{x}

（平方公分），

k

為常數，試求：

(1)

k =

？

a =

？（4 分）

載入中...

(2) 求

\frac{3}{2}

週後的海藻覆蓋面積為多少平方公分？（1 分）

【第二部分：33 分】五、單選題(每題 4 分)

有一商品價格的每日漲跌幅呈現「一日上漲

10%

，再一日跌

10%

」每兩日一循環的穩定情形。若此商品一開始的訂價為

5

萬元，則幾日後，價格會開始低於原來價格的

\frac{1}{2}

？（

lo g 9.9 \approx 0.9956

）

(1) 價格維持在 $5$ 萬元
(2) $68$
(3) $69$
(4) $137$
(5) $138$

在座標平面上，拋物線

y = - 4 x^{2} - 4 x + 5

上一點

P

，其

x

座標為

lo g 3

，請問下列何者正確？

(1) 點 $P$ 在第一象限
(2) 點 $P$ 在第二象限
(3) 點 $P$ 在第三象限
(4) 點 $P$ 在第四象限
(5) 點 $P$ 在 $x$ 軸上

六、多重選擇題(每題 5 分；錯 1 個，得 3 分；錯 2 個，得 1 分；錯 3 個或以上，不給分)

函數

y = f (x) = a^{x}

的部分圖形與

x

軸的關係配置圖，其中

A

，

B

，

C

分別為

x

軸上由左至右的相異三點，而

P

，

Q

，

R

三點

y

座標均為正數並皆在

y = f (x)

圖形上，且

\overline{A P}

，

\overline{B Q}

，

\overline{C R}

均垂直

x

軸，下列何者正確？

(1) 直線 $y = 1 0^{- 2023}$ 與 $y = f (x)$ 必定有交點
(2) 設直線 $P Q$ ， $QR$ ， $P R$ 的斜率分別為 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ， $m_{3}$ ，則 $m_{1} < m_{3} < m_{2}$
(3) 若 $\overline{A B} = \overline{B C}$ ，則 $\overline{A P} + \overline{C R} = 2 \overline{B Q}$
(4) 若 $\overline{A B} = \overline{B C}$ 且 $B$ 點座標為原點，則 $\overline{A P} \times \overline{C R} = 1$
(5) 先將 $y = f (x)$ 的圖形對稱於 $y = x$ ，再以 $x$ 軸為中心（基準線），鉛直伸縮為 $lo g a$ 倍，可得到函數 $y = lo g x$ 的圖形

載入中...

七、填充題(每格 4 分)

（填充 I）若

n

為自然數且

3^{n}

為

85

位數，符合上述條件的

n

有兩個，則此兩數的和為 ____。

（填充 J）設

x

，

y

為兩實數，且滿足

{x + y = lo g_{9} 10 + 19 x - y = lo g_{9} 10 - 19

，則

9^{x} =

____。

（填充 K）若

lo g_{49} a

為有理數且

0 < a < 10000

，則滿足條件的正整數

a

共有 ____ 個。

（填充 L）將座標平面上的函數

Γ_{1} : y = lo g_{3} x

圖形沿著

y

軸向上平移

1

單位得圖形

Γ_{2}

，點

P (a, b)

在

Γ_{1}

上，水平線

y = b

與圖形

Γ_{2}

交於點

Q (c, b)

，鉛直線

x = a

與圖形

Γ_{2}

交於點

R (a, b + 1)

，若

\overline{QR} = \frac{17}{15}

，則

a =

____。

（填充 M）小明喜歡喝可樂，他發現某廠牌的可樂開罐後，泡沫消失的情形符合指數衰退定律，如果可樂泡沫的初始高度為

2.6

公分，接著

10

秒後泡沫減少

1.2

公分，再

10

秒後泡沫減少

0.6

公分，若可樂泡沫高度

f (t)

公分與時間

t

分鐘可表為函數

f (t) = a + b \cdot 2^{- k t}

，則實數對

(a, b, k) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(5)

第 3 題(1)(4)

第 4 題(1)(2)(4)

第 5 題

\frac{1}{4}

第 6 題

- 4

第 7 題

5

第 8 題

2

第 9 題

3

第 10 題

4

第 11 題

1

第 12 題

\frac{9}{2}

第 13 題

6

第 14 題

k = 3

，

a = 4

第 15 題

24

平方公分

第 16 題(5)

第 17 題(1)

第 18 題(1)(2)(4)(5)

第 19 題

355

第 20 題

3

第 21 題

5

（學校答案印

4

）

第 22 題

\frac{4}{5}

第 23 題

(0.2, 2.4, 6)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～2 題）：對數的定義與對數律、半衰期

第 1 題

答案 (1)。

(1) 正確。 由對數的定義， $lo g_{9} 7$ 就是「 $9$ 的幾次方等於 $7$ 」的那個指數，所以 $9^{l o g_{9} 7} = 7$ 。

(2) 錯誤。 $5^{x} = 9$ 寫成對數是 $x = lo g_{5} 9$ ，不是 $lo g_{9} 5$ （兩者互為倒數）。

(3) 錯誤。 $x < 0$ 時 $lo g x$ 沒有意義，例如 $x = - 10$ ：左邊 $lo g 100 = 2$ ，右邊無意義。正確的寫法是 $lo g (x^{2}) = 2 lo g ∣ x ∣$ 。

(4) 錯誤。 $lo g 3 + lo g 5 = lo g 15$ ，而 $lo g (3 + 5) = lo g 8$ ，兩者不相等。

(5) 錯誤。 $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = lo g 10 - lo g 2 = 1 - lo g 2 \approx 0.699$ ；而 $\frac{lo g 10}{lo g 2} = lo g_{2} 10 \approx 3.32$ 。

對數律是「積的對數等於對數的和」，不是「和的對數等於對數的和」；換底公式

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a}

中，真數在分子、底數在分母。

第 2 題答案 (5)。每經過

T

小時質量變成一半，經過

90

小時共經過

\frac{90}{T}

個半衰期，剩下原來的

(\frac{1}{2})^{\frac{90}{T}}

。由

(\frac{1}{2})^{\frac{90}{T}} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

，得

\frac{90}{T} = 3

，

T = 30

小時。

\frac{1}{8}

恰是三次減半，

90

小時平分成三段，每段

30

小時。

02多選題（第 3～4 題）：指數函數與對數函數圖形的性質

第 3 題

答案 (1)(4)。底數 $\frac{1}{10}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $f (x)$ 是遞減函數，圖形凹口向上。

(1) 正確。 指數函數的圖形凹口向上：圖形上任取兩點連成線段，兩點之間的線段都在圖形上方（兩端點在圖形上）。例如取 $x = 0$ 、 $x = 2$ 兩點 $(0, 1)$ 、 $(2, \frac{1}{100})$ ，線段中點的 $y$ 坐標是 $\frac{1 + \frac{1}{100}}{2} = 0.505$ ，而 $f (1) = 0.1$ ，線段在圖形上方。

(2) 錯誤。 $f$ 遞減， $2 < 3$ ，所以 $f (2) > f (3)$ 。

(3) 錯誤。 $\frac{f ( 2023 )}{f ( 2021 )} = (\frac{1}{10})^{2023 - 2021} = \frac{1}{100}$ ， $\frac{f ( 23 )}{f ( 21 )} = (\frac{1}{10})^{2} = \frac{1}{100}$ ，兩者相等。

(4) 正確。 $f (- x) = (\frac{1}{10})^{- x} = 1 0^{x} = g (x)$ ，點 $(t, s)$ 在 $y = f (x)$ 上恰好 $(- t, s)$ 在 $y = g (x)$ 上，兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(5) 錯誤。 $h (x) = - f (x)$ ，點 $(t, s)$ 對應到 $(t, - s)$ ，兩圖形對稱於 $x$ 軸，不是 $y$ 軸。

(3) 的兩個比值都只和指數的差有關：

\frac{f ( m + 2 )}{f ( m )} = (\frac{1}{10})^{2}

，與

m

無關。

第 4 題

答案 (1)(2)(4)。

(1) 正確。 底數 $10 > 1$ ， $y = lo g x$ 在 $x > 0$ 上嚴格遞增。

(2) 正確。 設 $A (x_{1}, lo g x_{1})$ 、 $B (x_{2}, lo g x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ 。因為遞增， $lo g x_{1} < lo g x_{2}$ ，斜率 $\frac{lo g x _{2} - lo g x _{1}}{x _{2} - x _{1}} > 0$ 。

(3) 錯誤。 $y = lo g x$ 與 $y = 1 0^{x}$ 互為反函數，對稱於 $y = x$ 之後是 $y = 1 0^{x}$ ，不是 $(\frac{1}{10})^{x}$ 。

(4) 正確。 斜率是 $\frac{b}{a} = \frac{lo g a}{a}$ （ $a > 0$ ）。若 $0 < a \leq 1$ ， $lo g a \leq 0$ ，斜率不是正的，當然小於 $10$ 。若 $a > 1$ ，由 note 的說明， $lo g a < a$ ，所以 $\frac{lo g a}{a} < 1 < 10$ 。

(5) 錯誤。 $lo g \frac{1}{a} = - lo g a = - b$ ，所以 $(\frac{1}{a}, - b)$ 在圖形上；要 $(\frac{1}{a}, 1 - b)$ 也在圖形上需 $- b = 1 - b$ ，不可能。

(4) 的「

lo g a < a

」：

a \geq 1

時，取

n

為不超過

lo g a

的最大整數，

a \geq 1 0^{n}

而

lo g a < n + 1 \leq 1 0^{n} \leq a

。也可以想成

y = lo g x

的圖形整個在直線

y = x

的下方。(5) 若改成

(\frac{10}{a}, 1 - b)

才會在圖形上。

判斷兩個圖形的對稱關係，就看點

(t, s)

被對到哪裡：

f (- x)

對到

(- t, s)

是對稱於

y

軸，

- f (x)

對到

(t, - s)

是對稱於

x

軸，反函數對到

(s, t)

是對稱於

y = x

。

03選填題（第 5～9 題，卷面 A～D）：對數的值、化成同底、對數律、換底公式

第 5 題

47 = 7^{\frac{1}{4}}

，所以

lo g_{7} 47 = lo g_{7} 7^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}

。

第 6 題

0.0001 = \frac{1}{1 0 ^{4}} = 1 0^{- 4}

，所以

lo g 0.0001 = - 4

。

兩格依序填「

-

」與

4

。

第 7 題

0.49 = 0. 7^{2}

，左邊

= (0. 7^{2})^{2 x + 3} = 0. 7^{4 x + 6}

。底數相同（

0.7

不是

1

），指數必須相等：

4 x + 6 = x^{2} - x

，即

x^{2} - 5 x - 6 = 0

，

(x - 6) (x + 1) = 0

，

x = 6

或

x = - 1

。所有實根之和為

6 + (- 1) = 5

。

代回檢查：

x = 6

時兩邊都是

0. 7^{30}

；

x = - 1

時兩邊都是

0. 7^{2}

。

第 8 題原式

= lo g (\frac{11}{2} \div \frac{11}{25} \times 2^{3}) = lo g (\frac{11}{2} \times \frac{25}{11} \times 8) = lo g 100 = 2

。

第 9 題都換成以

2

、

3

為底的對數。

lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4} = \frac{2 lo g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3

，所以第一個括號

= 2 lo g_{2} 3

。

lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2

，

lo g_{9} 2 = \frac{lo g _{3} 2}{lo g _{3} 9} = \frac{1}{2} lo g_{3} 2

，所以第二個括號

= \frac{3}{2} lo g_{3} 2

。相乘：

2 lo g_{2} 3 \times \frac{3}{2} lo g_{3} 2 = 3 lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 3

。

用到

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 1

，以及

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

。

04選填題（第 10～13 題，卷面 E～H）：對數不等式、換元、交點斜率、地震規模

第 10 題先寫真數條件：

x - 1 > 0

且

7 - x > 0

，即

1 < x < 7

。在這個範圍內，

2 lo g (x - 1) = lo g (x - 1)^{2}

，底數

10 > 1

，不等式等價於

(x - 1)^{2} < 7 - x

，即

x^{2} - x - 6 < 0

，

(x - 3) (x + 2) < 0

，

- 2 < x < 3

。與真數條件取交集得

1 < x < 3

，所以

α = 1

、

β = 3

，

α + β = 4

。

若忘了真數條件，會誤以為解是

- 2 < x < 3

而得到

1

。

第 11 題令

t = 2^{x}

（

t > 0

），

4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}

，方程式變成

t^{2} - t - 2 = 0

，

(t - 2) (t + 1) = 0

。

t = - 1

不合（

2^{x} > 0

），所以

2^{x} = 2

，

x = 1

。

第 12 題

P

在

y = 3

上：

2^{x} = 3

，

x = lo g_{2} 3

，

P (lo g_{2} 3, 3)

。

Q

在

y = 12

上：

2^{x} = 12

，

x = lo g_{2} 12 = lo g_{2} (4 \times 3) = 2 + lo g_{2} 3

，

Q (2 + lo g_{2} 3, 12)

。斜率

= \frac{12 - 3}{( 2 + lo g _{2} 3 ) - lo g _{2} 3} = \frac{9}{2}

。

兩點的橫坐標差恰好是

lo g_{2} \frac{12}{3} = lo g_{2} 4 = 2

，

lo g_{2} 3

消掉了，不必求近似值。

第 13 題設兩次地震的能量為

E_{1}

（

M = 14

）、

E_{2}

（

M = 10

）。

lo g E_{1} = 11.8 + 1.5 \times 14

，

lo g E_{2} = 11.8 + 1.5 \times 10

，相減得

lo g \frac{E _{1}}{E _{2}} = 1.5 \times (14 - 10) = 6

，所以

\frac{E _{1}}{E _{2}} = 1 0^{6}

，

T = 6

。

規模每差

1

，能量差

1 0^{1.5}

倍；差

4

就是

1 0^{6}

倍。常數

11.8

在相減時消掉。

解對數不等式先寫真數條件，再去掉 log；解到的範圍要和真數條件取交集。

05計算題（第 14～15 題）：由圖上的點求指數模型

第 14 題由圖，圖形通過

(0, 3)

與

(4, 768)

。代入

f (x) = k \cdot a^{x}

：

f (0) = k \cdot a^{0} = k = 3

。

f (4) = 3 a^{4} = 768

，

a^{4} = 256 = 4^{4}

。

a

是指數函數的底數，

a > 0

，所以

a = 4

。答：

k = 3

，

a = 4

。

a^{4} = 256

的實數解是

\pm 4

，負的不能當指數函數的底數；圖形遞增也符合

a = 4 > 1

。

第 15 題

f (x) = 3 \cdot 4^{x}

，

f (\frac{3}{2}) = 3 \cdot 4^{\frac{3}{2}} = 3 \cdot (2^{2})^{\frac{3}{2}} = 3 \cdot 2^{3} = 24

。答：

24

平方公分。

4^{\frac{3}{2}} = (4)^{3} = 8

。圖是示意圖，縱軸不照實際比例。

06單選題（第 16～17 題，卷面⑰⑱）：漲跌循環、log 3 的範圍

第 16 題

答案 (5)。兩日一循環：先漲 $10%$ 再跌 $10%$ ，價格變成 $1.1 \times 0.9 = 0.99$ 倍。第 $2 n$ 日結束時價格是 $5 \times 0.9 9^{n}$ 萬元；第 $2 n + 1$ 日結束時是 $5 \times 0.9 9^{n} \times 1.1$ ，比第 $2 n$ 日高，所以價格第一次低於一半一定發生在偶數日。

要 $0.9 9^{n} < \frac{1}{2}$ ：兩邊取對數， $n lo g 0.99 < - lo g 2$ 。 $lo g 0.99 = lo g 9.9 - 1 \approx - 0.0044$ ，所以 $- 0.0044 n < - 0.3010$ ， $n > \frac{0.3010}{0.0044} \approx 68.4$ ，最小的 $n = 69$ 。第 $2 \times 69 = 138$ 日價格開始低於原價的一半。

檢查前後：

n = 68

時

68 \times (- 0.0044) = - 0.2992 > - 0.3010

，第

136

日的價格仍高於一半，第

137

日是上漲日，價格更高；

n = 69

時

- 0.3036 < - 0.3010

，第

138

日低於一半。選項 (3) 的

69

是循環數，不是日數。

第 17 題答案 (1)。配方：

y = - 4 x^{2} - 4 x + 5 = - (2 x + 1)^{2} + 6

。因為

1 < 3 < 10

，所以

0 < lo g 3 < lo g 10 = \frac{1}{2}

，於是

1 < 2 lo g 3 + 1 < 2

，

(2 lo g 3 + 1)^{2} < 4

，

y > - 4 + 6 = 2 > 0

。

P

的

x

坐標與

y

坐標都是正的，

P

在第一象限。

用卷頭給的

lo g 3 \approx 0.4771

直接代：

y \approx - 4 \times 0.2276 - 1.9084 + 5 \approx 2.18 > 0

。拋物線與

x

軸正向的交點是

x = \frac{- 1 + 6}{2} \approx 0.72

，

lo g 3

比它小。

07多選題（第 18 題，卷面⑲）：指數函數圖形上的三點

第 18 題

答案 (1)(2)(4)(5)。由圖， $f (x) = a^{x}$ 遞減， $0 < a < 1$ 。設 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的 $x$ 坐標為 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，則 $\overline{A P} = a^{x_{1}}$ 、 $\overline{B Q} = a^{x_{2}}$ 、 $\overline{C R} = a^{x_{3}}$ 。

(1) 正確。 指數函數 $y = a^{x}$ 的值域是所有正實數， $1 0^{- 2023} > 0$ ，所以一定有 $x$ 使 $a^{x} = 1 0^{- 2023}$ （即 $x = lo g_{a} 1 0^{- 2023}$ ），兩圖形必有交點。

(2) 正確。 指數函數的圖形凹口向上， $Q$ 在線段 $P R$ 的下方。從 $P$ 看， $Q$ 比 $R$ 那條線低，所以 $m_{1} < m_{3}$ ；從 $R$ 往回看， $Q$ 也在線段下方，所以 $m_{3} < m_{2}$ 。合起來 $m_{1} < m_{3} < m_{2}$ 。

(3) 錯誤。 $\overline{A B} = \overline{B C}$ 表示 $x_{2} = \frac{x _{1} + x _{3}}{2}$ 。由算幾不等式， $a^{x_{1}} + a^{x_{3}} \geq 2 a^{x_{1}} \cdot a^{x_{3}} = 2 a^{\frac{x _{1} + x _{3}}{2}} = 2 a^{x_{2}}$ ，等號只在 $a^{x_{1}} = a^{x_{3}}$ 時成立；但 $x_{1} \neq = x_{3}$ ，所以 $\overline{A P} + \overline{C R} > 2 \overline{B Q}$ 。

(4) 正確。 $B$ 為原點且 $\overline{A B} = \overline{B C} = d$ ，則 $x_{1} = - d$ 、 $x_{3} = d$ ， $\overline{A P} \times \overline{C R} = a^{- d} \cdot a^{d} = a^{0} = 1$ 。

(5) 正確。 $y = a^{x}$ 對稱於 $y = x$ 得反函數 $y = lo g_{a} x$ ；再鉛直伸縮為 $lo g a$ 倍得 $y = lo g a \cdot lo g_{a} x = lo g a \cdot \frac{lo g x}{lo g a} = lo g x$ 。

(2) 也可以舉例：取

a = \frac{1}{2}

、

x_{1} = 0

、

x_{2} = 1

、

x_{3} = 2

，

P (0, 1)

、

Q (1, \frac{1}{2})

、

R (2, \frac{1}{4})

，

m_{1} = - \frac{1}{2}

、

m_{3} = - \frac{3}{8}

、

m_{2} = - \frac{1}{4}

，確實

m_{1} < m_{3} < m_{2}

。(5) 這裡

0 < a < 1

，伸縮倍數

lo g a

是負數，課本把它理解為先伸縮

∣ lo g a ∣

倍、再對

x

軸翻轉；照這個意思得到的仍是

y = lo g x

，學校答案也把 (5) 算成正確。

同一條指數函數圖形上，等距三點的高度成等比：兩端相乘等於中間的平方，兩端相加則大於中間的兩倍（算幾不等式）。

08填充題（第 19～23 題，卷面 I～M）：位數、對數律、有理數的對數、圖形平移、衰退模型

第 19 題

3^{n}

是

85

位數

⟺ 84 \leq lo g 3^{n} < 85 ⟺ 84 \leq n lo g 3 < 85

。用

lo g 3 \approx 0.4771

：

n \geq \frac{84}{0.4771} \approx 176.06

，

n < \frac{85}{0.4771} \approx 178.16

，所以

n = 177

或

178

，和為

355

。

檢查：

177 \times 0.4771 \approx 84.45

、

178 \times 0.4771 \approx 84.92

，首數都是

84

；

176 \times 0.4771 \approx 83.97

（

84

位數）、

179 \times 0.4771 \approx 85.40

（

86

位數）。

第 20 題兩式相加：

2 x = lo g_{9} 10 + 19 + lo g_{9} 10 - 19 = lo g_{9} (10 + 19) (10 - 19) = lo g_{9} 100 - 19 = lo g_{9} 81 = lo g_{9} 9 = 1

。所以

x = \frac{1}{2}

，

9^{x} = 9^{\frac{1}{2}} = 3

。

不必求

y

；兩個根號內的數互為共軛，相乘後根號消失。

第 21 題

設 $lo g_{49} a = r$ 為有理數，則 $a = 4 9^{r} = 7^{2 r}$ 。若 $2 r = \frac{p}{q}$ （ $p$ 、 $q$ 為互質整數， $q > 0$ ），則 $a^{q} = 7^{p}$ ； $a$ 是正整數， $a^{q}$ 的質因數只有 $7$ ，所以 $a$ 只能是 $7$ 的非負整數次方 $a = 7^{m}$ 。反過來， $a = 7^{m}$ 時 $lo g_{49} a = \frac{m}{2}$ 是有理數。 $7^{4} = 2401 < 10000 < 7^{5} = 16807$ ，所以 $m = 0, 1, 2, 3, 4$ ，即 $a = 1, 7, 49, 343, 2401$ ，共 $5$ 個。

學校答案印 $4$ ，應是沒有把 $a = 1$ 算進去；但 $a = 1$ 時 $lo g_{49} 1 = 0$ ， $0$ 是有理數，且 $0 < 1 < 10000$ ，題目三個條件都符合，所以本站答案為 $5$ 個。

本題答案欄寫本站計算的

5

，並附註學校答案印

4

。

m

是負整數時

7^{m}

不是正整數，所以不必考慮。

第 22 題

$Γ_{2} : y = lo g_{3} x + 1$ 。 $P$ 在 $Γ_{1}$ 上： $b = lo g_{3} a$ 。 $Q (c, b)$ 在 $Γ_{2}$ 上： $lo g_{3} c + 1 = b = lo g_{3} a$ ， $lo g_{3} c = lo g_{3} a - 1 = lo g_{3} \frac{a}{3}$ ，所以 $c = \frac{a}{3}$ 。 $R (a, b + 1)$ 在 $Γ_{2}$ 上（ $lo g_{3} a + 1 = b + 1$ ，自動成立）。

$\overline{QR}^{2} = (a - \frac{a}{3})^{2} + (b + 1 - b)^{2} = \frac{4 a ^{2}}{9} + 1$ 。由 $\overline{QR} = \frac{17}{15}$ ： $\frac{4 a ^{2}}{9} = \frac{289}{225} - 1 = \frac{64}{225}$ ， $\frac{2 a}{3} = \frac{8}{15}$ （ $a > 0$ ）， $a = \frac{4}{5}$ 。

Q

與

P

在同一條水平線上，

Q

的橫坐標是

P

的

\frac{1}{3}

；

R

在

P

的正上方

1

單位。所以

Q

、

R

的水平距離是

\frac{2}{3} a

、鉛直距離是

1

。

第 23 題

$t$ 的單位是分鐘， $10$ 秒 $= \frac{1}{6}$ 分鐘。由題意 $f (0) = 2.6$ ， $f (\frac{1}{6}) = 2.6 - 1.2 = 1.4$ ， $f (\frac{1}{3}) = 1.4 - 0.6 = 0.8$ 。令 $u = 2^{- \frac{k}{6}}$ ，則 $f (0) = a + b$ 、 $f (\frac{1}{6}) = a + b u$ 、 $f (\frac{1}{3}) = a + b u^{2}$ 。

相減： $b (1 - u) = 1.2$ ， $b u (1 - u) = 0.6$ ，兩式相除得 $u = \frac{1}{2}$ ；代回得 $b \times \frac{1}{2} = 1.2$ ， $b = 2.4$ ， $a = 2.6 - 2.4 = 0.2$ 。由 $2^{- \frac{k}{6}} = 2^{- 1}$ 得 $\frac{k}{6} = 1$ ， $k = 6$ 。 $(a, b, k) = (0.2, 2.4, 6)$ 。

檢查：

f (t) = 0.2 + 2.4 \cdot 2^{- 6 t}

，

f (\frac{1}{6}) = 0.2 + 1.2 = 1.4

，

f (\frac{1}{3}) = 0.2 + 0.6 = 0.8

。每

10

秒減少的量變成一半，所以

u = \frac{1}{2}

；

a = 0.2

是泡沫最後剩下的高度。

模型

a + b \cdot c^{t}

等間隔取三點時，相鄰兩點的差成等比，差的比值就是每段的倍率，先求倍率再回頭求

a

、

b

。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

填充 K（第 21 題）要先說明對數為有理數時正整數只能是 7 的次方，別漏了 a＝1（log 值為 0 也是有理數；學校答案印 4）；多選第 18 題（卷面⑲）的斜率大小要用圖形凹口向上判斷，等距三點的高度要用算幾不等式比較；單選第 16 題（卷面⑰）要看出價格最低點落在偶數日，答案是日數不是循環數；選填 E（第 10 題）忘了真數條件會解錯範圍。詳解逐題寫在本頁。

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蘭陽女中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～2 題）：對數的定義與對數律、半衰期

02多選題（第 3～4 題）：指數函數與對數函數圖形的性質

03選填題（第 5～9 題，卷面 A～D）：對數的值、化成同底、對數律、換底公式

04選填題（第 10～13 題，卷面 E～H）：對數不等式、換元、交點斜率、地震規模

05計算題（第 14～15 題）：由圖上的點求指數模型

06單選題（第 16～17 題，卷面⑰⑱）：漲跌循環、log 3 的範圍

07多選題（第 18 題，卷面⑲）：指數函數圖形上的三點

08填充題（第 19～23 題，卷面 I～M）：位數、對數律、有理數的對數、圖形平移、衰退模型

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蘭陽女中 112 上
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