段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合），並用到高一的正弦定理與餘弦定理

蘭陽女中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 3 分，共 15 分）、多選題 4 題（每題 8 分，共 32 分）、選填題 A 到 I（卷面寫 A 到 H 每題 5 分、I 題 3 分，共 53 分；A 有三小題，三小題各算 5 分時合計才是 53 分），合計 100 分。卷面題號是單選、多選 1 到 9 與選填 A 到 I，本頁把選填 A 的三小題編為第 10 到 12 題，B 到 I 依序編為第 13 到 20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：每題3分，共15分

如右圖，已知圓

O

的半徑為

2

，其中

O

為圓心，直線

O A

分別與直線

O C

及直線

A B

垂直，且

\overline{O A} = 1

，求鋪色區域面積？

(1) $3 + \frac{π}{3}$
(2) $3 + \frac{2 π}{3}$
(3) $23 + \frac{π}{3}$
(4) $23 + \frac{2 π}{3}$
(5) $33 + \frac{2 π}{3}$

載入中...

在

0 \leq x < 2 π

的範圍內，若方程式

sin x - 3 cos x = 1

的解為

α

與

β

，且

α > β

，求

α - β =

？

(1) $\frac{π}{6}$
(2) $\frac{π}{3}$
(3) $\frac{2 π}{3}$
(4) $\frac{5 π}{6}$
(5) $π$

風力發電機的三個葉片長度皆為

40

公尺，其旋轉中心離地面

67

公尺，如右圖所示，

P

點為某葉片的頂端且逆時針方向旋轉一圈需時

2

秒。當風力發電機開始運轉時，

P

點恰在離地最高的位置上，

x

秒後，

P

點離地的高度

y

（公尺）可表為

y = a sin (b x + \frac{π}{2}) + c

，其中

a

與

b

都是正數。下列哪一個選項敘述是正確？

(1) $a = 67$
(2) $b = \frac{π}{2}$
(3) $c < 0$
(4) $a - c < 0$
(5) $b = 2 π$

載入中...

在

- \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}

的範圍內，求方程式

tan x = 1 - 2 x

的解有幾個？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

試問有多少個實數

x

滿足

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

且

cos x \leq cos x^{\circ}

？

(1) $0$ 個
(2) $1$ 個
(3) $2$ 個
(4) $4$ 個
(5) 無窮多個

二、多選題：每題8分（全對得8分，答錯1個選項，可得5分；答錯2個選項，可得3分；未作答或答錯多於2個選項者，得零分），共32分。

已知

θ = π^{\circ}

。選出所有正確的選項。

(1) $θ$ 為一銳角
(2) $θ$ 為一鈍角
(3) $0$ 弳 $< θ < 1$ 弳
(4) $0 < sin θ < \frac{1}{2}$
(5) $0 < cos θ < \frac{1}{2}$

已知

cos θ = - \frac{2}{3}

且

sin θ > 0

，請問下列哪些選項是正確的？

(1) $tan θ < 0$
(2) $tan^{2} θ > 1$
(3) $sin^{2} θ > cos^{2} θ$
(4) $sin 2 θ > 0$
(5) 標準位置角 $θ$ 與 $2 θ$ 的終邊位在不同的象限

下列各選項的值，何者滿足不等式

3 sin x + cos x \geq 1

？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $0$

設

α, β

均為第二象限角，且

sin α > sin β

，則下列何者正確？

(1) $α < β$
(2) $cos α < cos β$
(3) $sin α - cos β$ 恆為正
(4) $sin (2 π - α) < cos (2 π - β)$
(5) $sin (9 0^{\circ} + α) > sin (9 0^{\circ} + β)$

三、選填題：A-H每題為5分，I題為3分共53分，每一題格子全對才給分，答案為分數時，需化為最簡分數，否則不計分。

選填 A（第 10～12 題）　化簡求值

(1) 求

2 cos^{2} 22. 5^{\circ} - 1 =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯}

）

(2) 求

3 tan \frac{7 π}{6} - 2 cos (- \frac{11 π}{6}) + sin \frac{3 π}{2} =

____。（原卷的答案格式為兩格

◯ ◯

）

(3) 求

\frac{1}{cos 8 0 ^{\circ}} - \frac{3}{cos 1 0 ^{\circ}} =

____。（原卷的答案格式為一格

◯

）

已知

f (x) = 3 sin x + 4 cos x

，當

x = θ

時，

f (x)

有最小值

m

，求

m + cos θ =

____。（原卷的答案格式為

◯ \frac{◯ ◯}{◯}

，第一格是正負號）

右圖是

y = a sin b x

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，求

a + b

的值 ____。（原卷為一格）

載入中...

若有三個角度

θ

滿足

0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}

，且

cos (3 θ - 6 0^{\circ}), cos 3 θ, cos (3 θ + 6 0^{\circ})

依序成一等差數列，求此三個角度和為幾度？____。（原卷的答案格式為三格

◯ ◯ ◯

）

已知

0 < α < \frac{π}{2}

，

\frac{π}{2} < β < π

，且

cos α = \frac{3}{5}

，

sin β = \frac{12}{13}

，求

cos (α + β)

的值 ____。（原卷的答案格式為

◯ \frac{◯ ◯}{◯ ◯}

，第一格是正負號）

如下圖，正方形

A B C D

，

M

為

\overline{B C}

中點，

∠ M A C = α

，求

tan α =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯}

）

載入中...

已知

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

，若函數

f (x) = sin^{2} x + \frac{1}{2} cos x - 1

的最大值

a

與最小值

b

，求

16 a + 2 b =

____。（原卷的答案格式為兩格

◯ ◯

）

四邊形

A B C D

中，若

\overline{A D} = 1

，

\overline{C D} = 2

，

\overline{A C} = 7

，

cos ∠ B A D = - \frac{7}{14}

，

sin ∠ C B A = \frac{21}{6}

，求

\overline{B C} =

____。（原卷的答案格式為一格

◯

）

四邊形

A B C D

為圓內接四邊形，若

\overline{B C} = 45

，

\overline{C D} = 5

，

∠ B A C = 2∠ D A C

，求

\overline{B D} =

____。（原卷的答案格式為兩格

◯ ◯

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(4)

第 4 題(3)

第 5 題(5)

第 6 題(1)(3)(4)

第 7 題(1)(2)(3)(5)

第 8 題(1)(2)(5)

第 9 題(3)(5)

第 10 題

\frac{2}{2}

第 11 題

- 1

第 12 題

4

第 13 題

- \frac{29}{5}

第 14 題

9

第 15 題

27 0^{\circ}

第 16 題

- \frac{63}{65}

第 17 題

\frac{1}{3}

第 18 題

- 2

第 19 題

3

第 20 題

11

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：鋪色區域面積、疊合解方程式、風力發電機的高度函數

第 1 題答案 (2)。鋪色區域是圓內夾在直線

O C

與直線

A B

之間的部分，上下對稱於直線

O A

，先算上半部。直角三角形

O A B

中，

\overline{O A} = 1

、

\overline{O B} = 2

（半徑），所以

\overline{A B} = 2^{2} - 1^{2} = 3

，且

cos ∠ A O B = \frac{1}{2}

，

∠ A O B = \frac{π}{3}

。於是

∠ C O B = \frac{π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}

。上半部

=

三角形

O A B

+

扇形

C O B

= \frac{1}{2} \times 1 \times 3 + \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{6} = \frac{3}{2} + \frac{π}{3}

。整個鋪色區域是它的兩倍：

3 + \frac{2 π}{3}

。

扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

，

θ

要用弧度。選項 (1) 是兩個三角形只加了一份扇形；上下兩半各有一個三角形與一個扇形，兩種都要算兩份。

第 2 題答案 (3)。

1^{2} + (3)^{2} = 2

。疊合：

sin x - 3 cos x = 2 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 2 (sin x cos \frac{π}{3} - cos x sin \frac{π}{3}) = 2 sin (x - \frac{π}{3})

。方程式變成

sin (x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

。

0 \leq x < 2 π

時

- \frac{π}{3} \leq x - \frac{π}{3} < \frac{5 π}{3}

，這個範圍內正弦值為

\frac{1}{2}

的角是

\frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

，所以

x = \frac{π}{2}

或

x = \frac{7 π}{6}

。

α = \frac{7 π}{6}

、

β = \frac{π}{2}

，

α - β = \frac{2 π}{3}

。

代回檢查：

x = \frac{π}{2}

時

1 - 0 = 1

；

x = \frac{7 π}{6}

時

- \frac{1}{2} - 3 \times (- \frac{3}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1

。兩個解的差就是

\frac{5 π}{6} - \frac{π}{6}

，不必真的求出

x

也可以。

第 3 題答案 (4)。

P

點繞著旋轉中心轉，離地高度在

67 - 40 = 27

與

67 + 40 = 107

之間來回。

a > 0

時最大值

a + c = 107

、最小值

- a + c = 27

，解得

a = 40

、

c = 67

（振幅是葉片長，中心線的高度是旋轉中心的高度）。轉一圈

2

秒，週期是

2

；

b > 0

時週期

= \frac{2 π}{b} = 2

，所以

b = π

。檢查起點：

x = 0

時

y = 40 sin \frac{π}{2} + 67 = 107

，正是最高點。(1) 錯：

a = 40

。(2) 錯：

b = π

。(3) 錯：

c = 67 > 0

。(4) 對：

a - c = 40 - 67 = - 27 < 0

。(5) 錯：

b = π

。

式子裡的

+ \frac{π}{2}

是為了讓

x = 0

時落在最高點（

sin \frac{π}{2} = 1

）。

a - c

的相反數

c - a = 27

就是

P

點離地最低的高度，一定是正的。

02單選題（第 4～5 題）：正切圖形與直線的交點、弧度與度

第 4 題答案 (3)。方程式的解的個數，就是

y = tan x

與直線

y = 1 - 2 x

兩個圖形的交點個數。在

- \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}

內，

y = tan x

的圖形有三段：

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

、

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

、

\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}

（在

x = \frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

沒有定義）。每一段都是由左下一路上升到右上，

y

值取遍所有實數；直線

y = 1 - 2 x

則是一路下降。一條上升、一條下降，在每一段內恰好交於一點。共

3

個交點，方程式有

3

個解。

每一段為什麼一定有交點：以第一段為例，靠近左端時

tan x

是很小的負數，比直線低；靠近右端時

tan x

是很大的正數，比直線高，中間必定穿過一次。又因為一個上升、一個下降，穿過之後不會再相遇。

第 5 題答案 (5)。左邊的

cos x

是

x

弧度的餘弦，右邊的

cos x^{\circ}

是

x

度的餘弦，兩者不同。

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

時，

x

弧度的終邊在第二、第三象限或坐標軸上，

cos x \leq 0

。另一方面，

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

x^{\circ}

是介於

1.5 7^{\circ}

與

4.7 1^{\circ}

之間的銳角，

cos x^{\circ} > 0

。於是這個範圍內的每一個

x

都滿足

cos x \leq 0 < cos x^{\circ}

，有無窮多個。

卷面把度的記號打成右上角的小 0，本頁寫成「°」。沒有寫單位的角是弧度，寫了「°」的才是度。

方程式一邊是三角函數、一邊是一次式時解不出確切的值，改成數兩個圖形的交點。

03多選題（第 6～7 題）：圓周率度有多大、由餘弦值判斷各種正負與大小

第 6 題答案 (1)(3)(4)。

θ = π^{\circ} \approx 3.1 4^{\circ}

，是一個很小的角。(1) 對：

0^{\circ} < 3.1 4^{\circ} < 9 0^{\circ}

，是銳角。(2) 錯：鈍角要在

9 0^{\circ}

與

18 0^{\circ}

之間。(3) 對：

1

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，而

0^{\circ} < 3.1 4^{\circ} < 57. 3^{\circ}

。(4) 對：正弦在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

遞增，

0^{\circ} < 3.1 4^{\circ} < 3 0^{\circ}

，所以

0 < sin θ < sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(5) 錯：餘弦在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

遞減，

3.1 4^{\circ} < 6 0^{\circ}

，所以

cos θ > cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。

π^{\circ}

是「

π

度」，不是

π

弧度（那是

18 0^{\circ}

）。換成弧度是

π \times \frac{π}{180} = \frac{π ^{2}}{180} \approx 0.055

弳。

第 7 題答案 (1)(2)(3)(5)。

cos θ < 0

且

sin θ > 0

，

θ

是第二象限角。

sin θ = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{3}

。(1) 對：

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = - \frac{5}{2} < 0

。(2) 對：

tan^{2} θ = \frac{5}{4} > 1

。(3) 對：

sin^{2} θ = \frac{5}{9} > \frac{4}{9} = cos^{2} θ

。(4) 錯：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times \frac{5}{3} \times (- \frac{2}{3}) = - \frac{4 5}{9} < 0

。(5) 對：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{8}{9} - 1 = - \frac{1}{9} < 0

，又

sin 2 θ < 0

，所以

2 θ

的終邊在第三象限，與

θ

所在的第二象限不同。

(2) 與 (3) 其實是同一件事：

sin^{2} θ > cos^{2} θ

兩邊同除以

cos^{2} θ

就是

tan^{2} θ > 1

。判斷

2 θ

在哪個象限，看

sin 2 θ

與

cos 2 θ

的正負最快。

04多選題（第 8～9 題）：疊合後解不等式、第二象限角的大小關係

第 8 題答案 (1)(2)(5)。疊合：

3 sin x + cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{6} + cos x sin \frac{π}{6}) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

。不等式變成

sin (x + \frac{π}{6}) \geq \frac{1}{2}

，即

\frac{π}{6} + 2 k π \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6} + 2 k π

，

2 k π \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 k π

（

k

為整數）。

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

、

2 π \approx 6.28

，所以在

0

到

6.28

之間只有

0 \leq x \leq 2.09

滿足。(1) 對：

1

在範圍內。(2) 對：

2 < 2.09

。(3) 錯：

3 > 2.09

。(4) 錯：

4

在

2.09

與

6.28

之間。(5) 對：

x = 0

時左式

= 0 + 1 = 1

，等號成立。

(2) 的

2

與邊界

\frac{2 π}{3} \approx 2.094

很接近，要用

π > 3

確認

\frac{2 π}{3} > 2

。這裡的

1

、

2

、

3

、

4

都是弧度。

第 9 題答案 (3)(5)。第二象限角的正弦為正、餘弦為負。由

sin α > sin β > 0

得

sin^{2} α > sin^{2} β

，所以

cos^{2} α = 1 - sin^{2} α < 1 - sin^{2} β = cos^{2} β

；兩個餘弦都是負的，平方較小的比較靠近

0

，所以

cos α > cos β

。(1) 錯：第二象限角不限於

9 0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間，例如

α = 48 0^{\circ}

（與

12 0^{\circ}

同界）、

β = 15 0^{\circ}

，

sin α = \frac{3}{2} > \frac{1}{2} = sin β

，但

α > β

。(2) 錯：上面已得

cos α > cos β

。(3) 對：

sin α > 0

、

cos β < 0

，相減一定是正的。(4) 錯：

sin (2 π - α) = - sin α

、

cos (2 π - β) = cos β

；取

α = 13 5^{\circ}

、

β = 15 0^{\circ}

，左邊

= - \frac{2}{2} \approx - 0.707

，右邊

= - \frac{3}{2} \approx - 0.866

，左邊比較大。(5) 對：

sin (9 0^{\circ} + α) = cos α

、

sin (9 0^{\circ} + β) = cos β

，而

cos α > cos β

。

(1) 若把兩個角都限制在

9 0^{\circ}

與

18 0^{\circ}

之間，正弦在這一段遞減，就會有

α < β

；但題目只說「第二象限角」，包含繞了好幾圈的同界角，所以不能選。(4) 不是永遠不成立（例如

α = 10 0^{\circ}

、

β = 12 0^{\circ}

時成立），只是不一定成立。

同一個象限裡比較正弦、餘弦的大小，用平方關係加上正負號來推，比背圖形可靠。

05選填題（第 10～12 題，卷面 A 的三小題）：化簡求值

第 10 題餘弦的二倍角公式

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1

，取

θ = 22. 5^{\circ}

：

2 cos^{2} 22. 5^{\circ} - 1 = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。

兩格依序劃

2

、

2

。

第 11 題逐項求值。

tan \frac{7 π}{6} = tan (π + \frac{π}{6}) = tan \frac{π}{6} = \frac{1}{3}

，所以

3 tan \frac{7 π}{6} = 3

。

cos (- \frac{11 π}{6}) = cos (- \frac{11 π}{6} + 2 π) = cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

，所以

2 cos (- \frac{11 π}{6}) = 3

。

sin \frac{3 π}{2} = - 1

。原式

= 3 - 3 + (- 1) = - 1

。

兩格依序劃「

-

」、

1

。正切的週期是

π

，正弦、餘弦的週期是

2 π

，先把角換到熟悉的範圍再求值。

第 12 題

cos 8 0^{\circ} = sin 1 0^{\circ}

，原式

= \frac{1}{sin 1 0 ^{\circ}} - \frac{3}{cos 1 0 ^{\circ}} = \frac{cos 1 0 ^{\circ} - 3 sin 1 0 ^{\circ}}{sin 1 0 ^{\circ} cos 1 0 ^{\circ}}

。分子：

cos 1 0^{\circ} - 3 sin 1 0^{\circ} = 2 (\frac{1}{2} cos 1 0^{\circ} - \frac{3}{2} sin 1 0^{\circ}) = 2 (sin 3 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} - cos 3 0^{\circ} sin 1 0^{\circ}) = 2 sin 2 0^{\circ}

。分母：

sin 1 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 2 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{2 sin 2 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 2 0 ^{\circ}} = 4

。

一格劃

4

。看到係數

1

與

3

就提出

2

，湊成

3 0^{\circ}

或

6 0^{\circ}

的正弦、餘弦；分母的

sin θ cos θ

用二倍角公式收成

\frac{1}{2} sin 2 θ

。

06選填題（第 13～15 題，卷面 B～D）：疊合求最小值、由圖形求係數、餘弦成等差

第 13 題

3^{2} + 4^{2} = 5

。取銳角

φ

使

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

，則

f (x) = 5 (sin x cos φ + cos x sin φ) = 5 sin (x + φ)

。最小值

m = - 5

，發生在

sin (θ + φ) = - 1

時，此時

cos (θ + φ) = 0

。用差角公式：

cos θ = cos ((θ + φ) - φ) = cos (θ + φ) cos φ + sin (θ + φ) sin φ = 0 \times \frac{3}{5} + (- 1) \times \frac{4}{5} = - \frac{4}{5}

。所以

m + cos θ = - 5 - \frac{4}{5} = - \frac{29}{5}

。

四格依序劃「

-

」、

2

、

9

、

5

。檢查：此時

sin θ = sin (θ + φ) cos φ - cos (θ + φ) sin φ = - \frac{3}{5}

，代回

3 \times (- \frac{3}{5}) + 4 \times (- \frac{4}{5}) = - 5

。最小值發生時，

(cos θ, sin θ)

與

(4, 3)

方向正好相反。

第 14 題由圖，最高到

3

、最低到

- 3

，

a > 0

，所以

a = 3

。圖形從原點出發，先上升到最高點，在

x = \frac{π}{6}

回到

x

軸，再下降到最低點，在

x = \frac{π}{3}

回到

x

軸，正好走完一個完整的波，所以週期是

\frac{π}{3}

。

b > 0

時

y = a sin b x

的週期是

\frac{2 π}{b}

，

\frac{2 π}{b} = \frac{π}{3}

，

b = 6

。

a + b = 3 + 6 = 9

。

一格劃

9

。檢查：

y = 3 sin 6 x

在

x = \frac{π}{6}

時為

3 sin π = 0

，在

x = \frac{π}{12}

時為

3 sin \frac{π}{2} = 3

，與圖相符。

第 15 題三數成等差，中間項的兩倍等於前後兩項的和：

2 cos 3 θ = cos (3 θ - 6 0^{\circ}) + cos (3 θ + 6 0^{\circ})

。用和差角公式展開右邊：

(cos 3 θ cos 6 0^{\circ} + sin 3 θ sin 6 0^{\circ}) + (cos 3 θ cos 6 0^{\circ} - sin 3 θ sin 6 0^{\circ}) = 2 cos 3 θ cos 6 0^{\circ} = cos 3 θ

。所以

2 cos 3 θ = cos 3 θ

，

cos 3 θ = 0

。

0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}

時

0^{\circ} < 3 θ < 54 0^{\circ}

，這個範圍內餘弦為

0

的角是

9 0^{\circ}

、

27 0^{\circ}

、

45 0^{\circ}

，所以

θ = 3 0^{\circ}

、

9 0^{\circ}

、

15 0^{\circ}

，和為

27 0^{\circ}

。

三格依序劃

2

、

7

、

0

。檢查

θ = 3 0^{\circ}

：三項是

cos 3 0^{\circ}

、

cos 9 0^{\circ}

、

cos 15 0^{\circ}

，即

\frac{3}{2}

、

0

、

- \frac{3}{2}

，確實成等差。

疊合成

r sin (x + φ)

之後，要求發生極值時的

cos x

或

sin x

，把

x

寫成

(x + φ) - φ

用差角公式。

07選填題（第 16～18 題，卷面 E～G）：和角公式、正方形裡的正切、餘弦的二次式

第 16 題

α

在第一象限：

sin α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}

。

β

在第二象限，餘弦為負：

cos β = - 1 - \frac{144}{169} = - \frac{5}{13}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{3}{5} \times (- \frac{5}{13}) - \frac{4}{5} \times \frac{12}{13} = - \frac{15}{65} - \frac{48}{65} = - \frac{63}{65}

。

五格依序劃「

-

」、

6

、

3

、

6

、

5

。

cos β

的負號是整題的關鍵；若誤取正的會得到

- \frac{33}{65}

。

第 17 題設正方形邊長為

2

，則

\overline{B M} = 1

。直角三角形

A B C

中

tan ∠ B A C = \frac{B C}{A B} = 1

；直角三角形

A B M

中

tan ∠ B A M = \frac{B M}{A B} = \frac{1}{2}

。

M

在

\overline{B C}

上，所以

α = ∠ B A C - ∠ B A M

。由正切的差角公式：

tan α = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + 1 \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}

。

兩格依序劃

1

、

3

。圖中的

P

、

Q

兩點在這一題用不到。

第 18 題用

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

換成只有餘弦：

f (x) = 1 - cos^{2} x + \frac{1}{2} cos x - 1 = - cos^{2} x + \frac{1}{2} cos x

。令

t = cos x

。

x

從

\frac{π}{3}

到

π

時，

cos x

由

\frac{1}{2}

降到

- 1

；從

π

到

\frac{7 π}{6}

時再回升到

- \frac{3}{2}

，所以

- 1 \leq t \leq \frac{1}{2}

。配方：

- t^{2} + \frac{1}{2} t = - (t - \frac{1}{4})^{2} + \frac{1}{16}

。

t = \frac{1}{4}

在範圍內，最大值

a = \frac{1}{16}

；離

\frac{1}{4}

最遠的端點是

t = - 1

，最小值

b = - 1 - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

。

16 a + 2 b = 1 - 3 = - 2

。

兩格依序劃「

-

」、

2

。

t

的範圍要看整段：

x

的範圍跨過

π

，所以

t

的最小值是

cos π = - 1

，不是右端點的

- \frac{3}{2}

。另一個端點

t = \frac{1}{2}

的函數值是

0

，不是極值。

08選填題（第 19～20 題，卷面 H～I）：四邊形與圓內接四邊形

第 19 題

\overline{A C}

是對角線，把

∠ B A D

分成

∠ B A C

與

∠ C A D

。先看三角形

A C D

：由餘弦定理，

cos ∠ C A D = \frac{1 ^{2} + ( 7 ) ^{2} - 2 ^{2}}{2 \times 1 \times 7} = \frac{2}{7}

，

sin ∠ C A D = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}

。再看

∠ B A D

：

cos ∠ B A D = - \frac{7}{14} = - \frac{1}{2 7}

，

sin ∠ B A D = 1 - \frac{1}{28} = \frac{3 3}{2 7}

。差角公式：

sin ∠ B A C = sin (∠ B A D - ∠ C A D) = \frac{3 3}{2 7} \times \frac{2}{7} - (- \frac{1}{2 7}) \times \frac{3}{7} = \frac{6 3}{14} + \frac{3}{14} = \frac{3}{2}

。最後在三角形

A B C

用正弦定理：

\frac{B C}{sin ∠ B A C} = \frac{A C}{sin ∠ C B A}

，

\overline{B C} = 7 \times \frac{3}{2} \div \frac{21}{6} = \frac{21}{2} \times \frac{6}{21} = 3

。

一格劃

3

。同樣可算出

cos ∠ B A C = \frac{1}{2}

，所以

∠ B A C = 6 0^{\circ}

；三角形

A C D

中

cos ∠ A D C = \frac{1 + 4 - 7}{4} = - \frac{1}{2}

，

∠ A D C = 12 0^{\circ}

。題目沒有附圖，這裡照一般的凸四邊形來解。

第 20 題設

∠ D A C = t

，則

∠ B A C = 2 t

。四個頂點在同一個圓上，設這個圓的半徑為

R

；三角形

A B C

、

A C D

、

A B D

的外接圓都是它。由正弦定理，

\overline{B C} = 2 R sin 2 t

、

\overline{C D} = 2 R sin t

。兩式相除：

\frac{4 5}{5} = \frac{sin 2 t}{sin t} = 2 cos t

，所以

cos t = \frac{2 5}{5}

，

sin t = 1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5}

，

2 R = \frac{5}{sin t} = 55

。

∠ B A D = ∠ B A C + ∠ D A C = 3 t

，所以

\overline{B D} = 2 R sin 3 t

。

sin 2 t = 2 \times \frac{5}{5} \times \frac{2 5}{5} = \frac{4}{5}

，

cos 2 t = 2 \times \frac{4}{5} - 1 = \frac{3}{5}

；

sin 3 t = sin 2 t cos t + cos 2 t sin t = \frac{4}{5} \times \frac{2 5}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{5}{5} = \frac{11 5}{25}

。

\overline{B D} = 55 \times \frac{11 5}{25} = 11

。

兩格依序劃

1

、

1

。同一個圓裡，弦長

= 2 R \times

（這條弦所對圓周角的正弦）；題目給的兩個角正好是

\overline{B C}

、

\overline{C D}

所對的圓周角，

\overline{B D}

所對的圓周角是它們的和。

圓內接多邊形的邊與對角線，都可以寫成

2 R

乘上所對圓周角的正弦，角之間的關係就變成邊之間的關係。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選填 I（本頁第 20 題）要把圓內接四邊形的三條弦都寫成直徑乘上圓周角的正弦，再用二倍角與和角公式求三倍角的正弦，步驟最多；選填 H（本頁第 19 題）要先用餘弦定理、再用差角公式求出角 BAC 的正弦，最後才用正弦定理；選填 B（本頁第 13 題）疊合後還要求出最小值發生時的餘弦值；多選第 9 題的選項 (1) 要想到第二象限角包含同界角；單選第 5 題要分清楚弧度與度。詳解逐題寫在本頁。

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蘭陽女中 111 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03多選題（第 6～7 題）：圓周率度有多大、由餘弦值判斷各種正負與大小

04多選題（第 8～9 題）：疊合後解不等式、第二象限角的大小關係

05選填題（第 10～12 題，卷面 A 的三小題）：化簡求值

06選填題（第 13～15 題，卷面 B～D）：疊合求最小值、由圖形求係數、餘弦成等差

07選填題（第 16～18 題，卷面 E～G）：和角公式、正方形裡的正切、餘弦的二次式

08選填題（第 19～20 題，卷面 H～I）：四邊形與圓內接四邊形

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高二第一次段考
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