段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 求和、無窮等比級數與循環小數、函數的定義域與合成、奇函數、函數的極限）

蘭陽女中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

單選題 11 小題（每題 4 分，共 44 分）、選填題 14 小題（每題 4 分，共 56 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、單選題（11 小題，每題 4 分，共 44 分）

下列無窮數列何者是發散數列？

(1) $⟨ - 3 ⟩$
(2) $⟨ - \frac{1}{n} ⟩$
(3) $⟨ (2 - 1)^{n} ⟩$
(4) $⟨ (- 0.999)^{n} ⟩$
(5) $⟨ \frac{2 ^{n}}{2023} ⟩$

若

n \to \infty lim \frac{3 ^{n} + a \times 5 ^{n + 1}}{2 ^{n + 2} - 5 ^{n}} = 10

，則實數

a

的值為

(1) $- 5$
(2) $- 2$
(3) $1$
(4) $2$
(5) $5$

試求

n \to \infty lim \frac{4 n ^{2} + 6 n}{2 n ^{2} - 3}

的值為下列何者？

(1) $2$
(2) $3$
(3) $- \frac{4}{3}$
(4) $- 2$
(5) 極限不存在

將循環小數

0.1 \overline{24}

化成分數值為下列何者？

(1) $\frac{62}{495}$
(2) $\frac{41}{330}$
(3) $\frac{41}{300}$
(4) $\frac{31}{250}$
(5) $\frac{41}{225}$

下列各無窮等比級數何者為收斂級數？

(1) $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots$
(2) $1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \dots$
(3) $3 + 3 + 1 + \frac{3}{3} + \dots$
(4) $1 + (\frac{- 4}{3}) + \frac{16}{9} + (\frac{- 64}{27}) + \dots$
(5) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

求

k = 1 \sum 10 k (k + 1)

的值為下列何者？

(1) $10$
(2) $55$
(3) $220$
(4) $440$
(5) $660$

無窮等比級數

5 + \frac{10}{3} + \frac{20}{9} + \frac{40}{27} + \dots

的和為

(1) $10$
(2) $15$
(3) $20$
(4) $25$
(5) 極限不存在

下列哪一個函數是奇函數？

(1) $f_{1} (x) = - 3$
(2) $f_{2} (x) = ∣ x ∣$
(3) $f_{3} (x) = 3 x + 1$
(4) $f_{4} (x) = x^{2}$
(5) $f_{5} (x) = sin x$

若兩函數

f (x) = x^{2} + a x - 1

與

g (x) = 2 x + 1

，滿足

(g \circ f) (2) = - 1

，則實數

a

的值為

(1) $- 2$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $2$

已知函數

f (x)

的圖形如圖，選出正確的選項。

(1) $f (1) = f (3)$
(2) $x \to 0 lim f (x) = f (0)$
(3) $x \to 1 lim f (x) = f (1)$
(4) $x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{-} lim f (x)$
(5) $x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{-} lim f (x)$

載入中...

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x + a, 0, - x + 3, 當 x > 2 當 x = 2 當 x < 2

。若

x \to 2 lim f (x)

存在，則實數

a

的值為

(1) $- 5$
(2) $- 3$
(3) $0$
(4) $2$
(5) $6$

二、選填題（14 小題，每題 4 分，共 56 分）　若答案為極限值不存在，請畫 ± 即可（原卷題號 I～XIV，本頁編為第 12～25 題）

已知對所有正整數

n

數列

⟨ c_{n} ⟩

滿足不等式

2 n^{2} - n + 5 \leq 3 n^{2} \times c_{n} \leq 2 n^{2} + n + 5

，求

n \to \infty lim c_{n} =

____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格）

已知對所有正整數

n

，不等式

- 1 \leq cos n \leq 1

成立，求

n \to \infty lim \frac{cos n}{n} =

____。

租借某共乘機車計費方式為：前

10

分鐘，收費

30

元，超過

10

分鐘的部分，每分鐘加收

2

元，不足

1

分鐘以

1

分鐘計算。已知租借某共乘機車

x

分鐘所需支付的租金為

f (x) = {30, 30 + 2 \times (- [10 - x]), 當 0 < x \leq 10 當 x > 10

元，其中符號

[]

為高斯符號，則租金

100

元最多可使用 ____ 分鐘。（原卷的答案格式為兩格）

已知函數

f (x) = 5 x - x^{2}

與

g (x) = x - 1

，若

(\frac{f}{g}) (x)

的定義域為

m < x \leq M

，求

m + M =

____。

已知函數

f (x) = \frac{3 x ^{2} + 5 x - 2}{x + 2}

（

x \neq = - 2

），求

x \to - 2 lim f (x) =

____。（原卷的答案格式為兩格）

設函數

f (x) = \frac{x - ∣ x ∣}{x}

，求

x \to 0 lim f (x) =

____。

若

a, b

為實數，且

x \to - 1 lim \frac{3 x ^{2} + b x - 1}{( x + 1 ) ( x + a )} = - 4

，則

a + b

為 ____。

求

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2}

的極限為 ____。

已知二次多項式

f (x)

的最高次項的係數為

1

，且滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 4

，求

f (2) =

____。

求

n \to \infty lim \frac{3 + 6 + 9 + \dots + 3 n}{2 n ^{2}}

的值為 ____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格）

附圖是邊長為

2

的正方形，其中有無窮多個相似的黑色等腰直角三角形，求白色部分的面積 ____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格）

載入中...

有一個面積為

32

的正方形，依以下的步驟將其分割著色。第

1

步驟：將其等分成

4

個小正方形，並將左下角的正方形塗上黑色，如第

1

圖所示。第

2

步驟：將剩下

3

個正方形再分別等分成

4

個更小的正方形，並將左下角的正方形塗上黑色，如第

2

圖所示。依照這樣的規律繼續分割著色下去，並設

S_{n}

表示在第

n

步驟後所有黑色正方形的總面積。求無窮多個黑色正方形的面積總和為 ____。（原卷的答案格式為兩格）

載入中...

判斷函數

y = \frac{∣ x ∣}{2 x}

的值域，若最大值為

M

，最小值為

m

則

M + m =

____。

求

x \to 2 lim (\frac{x ^{2} + x}{x - 2} - \frac{x ^{2} + 4 x}{x ^{2} - 2 x}) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(2)

第 3 題(1)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(4)

第 7 題(2)

第 8 題(5)

第 9 題(1)

第 10 題(5)

第 11 題(1)

第 12 題

\frac{2}{3}

第 13 題

0

第 14 題

45

第 15 題

6

第 16 題

- 7

第 17 題極限不存在（答案卡畫 ±）

第 18 題

4

第 19 題

3

第 20 題

5

第 21 題

\frac{3}{4}

第 22 題

\frac{4}{3}

第 23 題

32

第 24 題

0

第 25 題

4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選第 1～3 題：數列的極限

第 1 題答案 (5)。逐項看：(1) 每一項都是

- 3

，收斂到

- 3

。(2)

- \frac{1}{n} \to 0

，收斂。(3)

2 - 1 \approx 0.414

，絕對值小於

1

，所以

(2 - 1)^{n} \to 0

，收斂。(4)

- 0.999

的絕對值小於

1

，所以

(- 0.999)^{n} \to 0

，收斂。(5)

2^{n}

會無限制地變大，除以固定的

2023

之後仍然無限制地變大，不會趨近任何一個定數，所以是發散數列。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。選項 (4) 的公比雖然很接近

- 1

，絕對值還是小於

1

。

第 2 題答案 (2)。分子分母同除以底數最大的

5^{n}

：分子

3^{n} + a \times 5^{n + 1} = 3^{n} + 5 a \times 5^{n}

，除以

5^{n}

得

(\frac{3}{5})^{n} + 5 a

；分母

2^{n + 2} - 5^{n} = 4 \times 2^{n} - 5^{n}

，除以

5^{n}

得

4 (\frac{2}{5})^{n} - 1

。當

n \to \infty

時

(\frac{3}{5})^{n} \to 0

、

(\frac{2}{5})^{n} \to 0

，所以極限是

\frac{0 + 5 a}{0 - 1} = - 5 a

。由

- 5 a = 10

得

a = - 2

。

第 3 題答案 (1)。分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{4 n ^{2} + 6 n}{2 n ^{2} - 3} = \frac{4 + \frac{6}{n}}{2 - \frac{3}{n ^{2}}}

。當

n \to \infty

時

\frac{6}{n} \to 0

、

\frac{3}{n ^{2}} \to 0

，所以極限是

\frac{4}{2} = 2

。

02單選第 4～7 題：循環小數、無窮等比級數、Σ 求和

第 4 題答案 (2)。循環節是

24

，前面的

1

不循環。設

x = 0.1242424 \dots

，則

10 x = 1.242424 \dots

、

1000 x = 124.2424 \dots

，相減得

990 x = 123

，所以

x = \frac{123}{990} = \frac{41}{330}

。

也可以拆成

0.1 + 0.0 \overline{24}

：後者是首項

0.024

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.024}{0.99} = \frac{24}{990}

，加上

\frac{99}{990}

同樣得到

\frac{123}{990}

。

第 5 題答案 (3)。無窮等比級數（首項不為

0

）收斂的條件是公比

r

滿足

∣ r ∣ < 1

。(1)

r = - 1

，發散。(2)

r = \frac{3}{2}

，發散。(3)

r = \frac{3}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.577

，

∣ r ∣ < 1

，收斂。(4)

r = - \frac{4}{3}

，

∣ r ∣ > 1

，發散。(5)

r = 2

，發散。

選項 (1) 的部分和是

1, 0, 1, 0, \dots

，不會趨近一個定數，所以

r = - 1

時級數發散；這和「數列

⟨ r^{n} ⟩

在

r = 1

時收斂」是兩件事。

第 6 題答案 (4)。

k = 1 \sum 10 k (k + 1) = k = 1 \sum 10 k^{2} + k = 1 \sum 10 k = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} + \frac{10 \times 11}{2} = 385 + 55 = 440

。

第 7 題答案 (2)。首項

a = 5

，公比

r = \frac{10}{3} \div 5 = \frac{2}{3}

，

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{a}{1 - r} = \frac{5}{1 - \frac{2}{3}} = 15

。

03單選第 8、9 題：奇函數、合成函數

第 8 題答案 (5)。奇函數要對定義域內每個

x

都滿足

f (- x) = - f (x)

。(1)

f_{1} (- x) = - 3

，而

- f_{1} (x) = 3

，不相等。(2)

f_{2} (- x) = ∣ - x ∣ = ∣ x ∣ = f_{2} (x)

，是偶函數；取

x = 1

，

f_{2} (- 1) = 1 \neq = - 1

，不是奇函數。(3)

f_{3} (- x) = - 3 x + 1

，而

- f_{3} (x) = - 3 x - 1

，不相等。(4)

f_{4} (- x) = x^{2} = f_{4} (x)

，是偶函數，不是奇函數。(5)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數。

奇函數若在

x = 0

有定義，必有

f (0) = 0

。選項 (1)(3) 的

f (0)

分別是

- 3

與

1

，可以直接排除。

第 9 題答案 (1)。

(g \circ f) (2) = g (f (2))

。先算裡面：

f (2) = 4 + 2 a - 1 = 2 a + 3

；再代入

g

：

g (2 a + 3) = 2 (2 a + 3) + 1 = 4 a + 7

。由

4 a + 7 = - 1

得

a = - 2

。

04單選第 10、11 題：由圖形與分段函數看左右極限

第 10 題答案 (5)。先從圖形讀出需要的值（實心點是函數值，空心點表示那一點不在圖形上）。在

x = 0

：左邊的線段走向空心點

(0, 2)

，所以左極限是

2

；右邊的線段從實心點

(0, 1)

出發，所以

f (0) = 1

、右極限是

1

。在

x = 1

：左邊的線段走向空心點

(1, 2)

，左極限是

2

；右邊的曲線也從空心點

(1, 2)

出發，右極限是

2

；另外有一個實心點

(1, 1)

，所以

f (1) = 1

。在

x = 3

：實心點

(3, 2)

，

f (3) = 2

。逐項判斷：(1)

f (1) = 1

、

f (3) = 2

，不相等，錯。(2) 在

0

的左極限

2

、右極限

1

不相等，極限不存在，錯。(3) 在

1

的左右極限都是

2

，所以極限是

2

，但

f (1) = 1

，不相等，錯。(4) 右極限

1

、左極限

2

，不相等，錯。(5) 在

1

的右極限與左極限都是

2

，正確。

極限只看

x

靠近那一點時函數值往哪裡去，和那一點本身的函數值無關。選項 (3) 與 (5) 的差別就在這裡。

第 11 題答案 (1)。極限存在的條件是左、右極限相等。右極限用

x > 2

的式子：

x \to 2^{+} lim (3 x + a) = 6 + a

；左極限用

x < 2

的式子：

x \to 2^{-} lim (- x + 3) = 1

。由

6 + a = 1

得

a = - 5

。

f (2) = 0

這個條件用不到：極限存在與否不看那一點的函數值。

05選填 I、II、X（第 12、13、21 題）：夾擠定理、先求和再求極限

第 12 題答案

\frac{2}{3}

。不等式各邊同除以正數

3 n^{2}

，不等號方向不變：

\frac{2 n ^{2} - n + 5}{3 n ^{2}} \leq c_{n} \leq \frac{2 n ^{2} + n + 5}{3 n ^{2}}

。左邊

= \frac{2}{3} - \frac{1}{3 n} + \frac{5}{3 n ^{2}} \to \frac{2}{3}

，右邊

= \frac{2}{3} + \frac{1}{3 n} + \frac{5}{3 n ^{2}} \to \frac{2}{3}

。兩邊的極限相同，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = \frac{2}{3}

。

第 13 題答案

0

。不等式各邊同除以正整數

n

：

- \frac{1}{n} \leq \frac{cos n}{n} \leq \frac{1}{n}

。當

n \to \infty

時

- \frac{1}{n} \to 0

、

\frac{1}{n} \to 0

，由夾擠定理，

n \to \infty lim \frac{cos n}{n} = 0

。

cos n

本身沒有極限，所以不能把式子拆成「

cos n

的極限」乘以「

\frac{1}{n}

的極限」，要用夾擠定理。

第 21 題答案

\frac{3}{4}

。分子是等差級數，項數隨

n

增加，要先求和：

3 + 6 + 9 + \dots + 3 n = 3 (1 + 2 + \dots + n) = \frac{3 n ( n + 1 )}{2}

。所以原式

= \frac{3 n ( n + 1 )}{2} \times \frac{1}{2 n ^{2}} = \frac{3 n ^{2} + 3 n}{4 n ^{2}} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4 n}

，當

n \to \infty

時趨近

\frac{3}{4}

。

不可以把分子的每一項分別除以

2 n^{2}

之後各自取極限再相加：每一項都趨近

0

，但項數也跟著變多，這樣算會得到錯的

0

。

夾擠定理的用法：把要求極限的量夾在兩個式子中間，兩邊的極限相同，中間的極限就是那個值。

06選填 III、IV、XIII（第 14、15、24 題）：高斯符號、定義域、值域

第 14 題答案

45

。前

10

分鐘只要

30

元，要用得最久應看

x > 10

的式子。條件是

30 + 2 \times (- [10 - x]) \leq 100

，即

- [10 - x] \leq 35

，也就是

[10 - x] \geq - 35

。高斯符號

[t]

是不大於

t

的最大整數，

[t] \geq - 35

的條件是

t \geq - 35

，所以

10 - x \geq - 35

，得

x \leq 45

。檢查

x = 45

：

[10 - 45] = - 35

，租金是

30 + 2 \times 35 = 100

元，剛好。所以最多可使用

45

分鐘。

若

x

比

45

多一點（例如

45.5

），

[10 - x] = [- 35.5] = - 36

，租金變成

102

元，超過

100

元。

- [10 - x]

的意思是把超過

10

分鐘的時間無條件進位到整數分鐘。

第 15 題答案

6

。

(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}

要有意義，需要

f (x)

、

g (x)

都有意義，而且

g (x) \neq = 0

。

f

：

5 x - x^{2} \geq 0

，即

x (x - 5) \leq 0

，得

0 \leq x \leq 5

。

g

：

x - 1 \geq 0

，得

x \geq 1

；又

g (x) \neq = 0

，所以

x \neq = 1

，合起來是

x > 1

。兩者同時成立的範圍是

1 < x \leq 5

，所以

m = 1

、

M = 5

，

m + M = 6

。

左端是

<

而不是

\leq

，就是因為分母

g (1) = 0

，

x = 1

要去掉。

第 24 題答案

0

。分母

2 x

不可為

0

，所以定義域是

x \neq = 0

。當

x > 0

時

∣ x ∣ = x

，

y = \frac{x}{2 x} = \frac{1}{2}

；當

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

y = \frac{- x}{2 x} = - \frac{1}{2}

。所以函數值只有

\frac{1}{2}

與

- \frac{1}{2}

兩個，最大值

M = \frac{1}{2}

、最小值

m = - \frac{1}{2}

，

M + m = 0

。

07選填 V～IX、XIV（第 16～20、25 題）：函數的極限

第 16 題答案

- 7

。直接代入

x = - 2

，分子

12 - 10 - 2 = 0

、分母也是

0

，所以分子有因式

x + 2

：

3 x^{2} + 5 x - 2 = (3 x - 1) (x + 2)

。當

x \neq = - 2

時

f (x) = 3 x - 1

，所以

x \to - 2 lim f (x) = 3 \times (- 2) - 1 = - 7

。

第 17 題答案：極限不存在（依卷面規定，答案卡上畫 ±）。絕對值要分正負討論。當

x > 0

時

∣ x ∣ = x

，

f (x) = \frac{x - x}{x} = 0

，所以右極限是

0

。當

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

f (x) = \frac{x + x}{x} = 2

，所以左極限是

2

。左、右極限不相等，

x \to 0 lim f (x)

不存在。

第 18 題答案

4

。當

x \to - 1

時分母

(x + 1) (x + a) \to 0

，而極限存在（等於

- 4

），所以分子也必須趨近

0

：

3 - b - 1 = 0

，得

b = 2

。此時分子

3 x^{2} + 2 x - 1 = (3 x - 1) (x + 1)

，約去

x + 1

得

\frac{3 x - 1}{x + a}

，當

x \to - 1

時趨近

\frac{- 4}{a - 1}

。由

\frac{- 4}{a - 1} = - 4

得

a - 1 = 1

，

a = 2

。所以

a + b = 4

。

為什麼分子一定要趨近

0

：分子

=

分式

\times

分母，分式趨近

- 4

、分母趨近

0

，乘起來趨近

0

。另外

a = 2

時

x + a

在

x = - 1

不為

0

，約分後可以直接代入。

第 19 題答案

3

。代入

x = 2

分子分母都是

0

，先分解：

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

。當

x \neq = 2

時原式

= x + 1

，所以極限是

2 + 1 = 3

。

第 20 題答案

5

。當

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

，而極限存在，所以分子也要趨近

0

；

f (x)

是多項式，

x \to 1 lim f (x) = f (1)

，因此

f (1) = 0

，

f (x)

有因式

x - 1

。又

f (x)

是最高次項係數為

1

的二次式，可設

f (x) = (x - 1) (x + k)

。於是

\frac{f ( x )}{x - 1} = x + k

（

x \neq = 1

），極限是

1 + k = 4

，得

k = 3

。所以

f (x) = (x - 1) (x + 3)

，

f (2) = 1 \times 5 = 5

。

第 25 題答案

4

。兩個分式在

x \to 2

時各自都沒有極限，不能分開算，要先合併。第二個分式的分母

x^{2} - 2 x = x (x - 2)

，在

x

接近

2

時

x \neq = 0

，可以先約去

x

：

\frac{x ^{2} + 4 x}{x ( x - 2 )} = \frac{x + 4}{x - 2}

。於是原式

= \frac{( x ^{2} + x ) - ( x + 4 )}{x - 2} = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2

（

x \neq = 2

），極限是

2 + 2 = 4

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0；這個條件先用來求係數或找出公因式，約分之後再代入。

08選填 XI、XII（第 22、23 題）：圖形中的無窮等比級數

第 22 題答案

\frac{4}{3}

。正方形面積是

2 \times 2 = 4

。對角線把它分成兩個面積各為

2

的等腰直角三角形，右上那一個是黑色。左下那一個三角形裡，左下角有一個邊長

1

的小正方形（面積

1

），剩下的是兩個白色的等腰直角三角形，兩股都是

1

，面積各

\frac{1}{2}

，合計

1

。小正方形裡再重複同樣的圖形，邊長每次變成一半，面積變成

\frac{1}{4}

，所以每一層的白色面積依序是

1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots

，是首項

1

、公比

\frac{1}{4}

的無窮等比級數，和為

\frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}

。

檢查：黑色面積依序是

2, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \dots

，和為

\frac{2}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{8}{3}

；白色與黑色相加

\frac{4}{3} + \frac{8}{3} = 4

，正好是整個正方形。

第 23 題答案

32

。第

1

步驟：分成

4

個面積

8

的正方形，塗黑

1

個，黑色面積

8

，剩下

3

個白色正方形。第

2

步驟：

3

個白色正方形各分成

4

個面積

2

的正方形，各塗黑

1

個，新增黑色面積

3 \times 2 = 6

，剩下

9

個白色正方形。第

3

步驟：

9

個白色正方形各塗黑面積

\frac{1}{2}

的一塊，新增

\frac{9}{2}

。每一步白色正方形的個數變成

3

倍、每一塊塗黑的面積變成

\frac{1}{4}

，所以新增的黑色面積成等比，首項

8

、公比

\frac{3}{4}

。面積總和是

\frac{8}{1 - \frac{3}{4}} = 32

。

答案等於整個正方形的面積：每一步之後白色部分都剩下原來的

\frac{3}{4}

，第

n

步驟後白色面積是

32 \times (\frac{3}{4})^{n}

，趨近

0

；也就是

S_{n} = 32 - 32 \times (\frac{3}{4})^{n}

，極限是

32

。

圖形題先算出前兩、三層的面積，確認公比，再用無窮等比級數的和公式（首項除以 1 減公比）。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

蘭陽女中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選填 XI（本頁第 22 題）求的是白色部分，每一層的白色是兩個小三角形，要看清楚哪一塊重複；單選第 10 題要分清楚函數值與左右極限，空心點與實心點各代表什麼；選填 VI（第 17 題）絕對值要分正負兩邊算，左右極限不同所以極限不存在；選填 IV（第 15 題）分母不可為零，定義域的左端要去掉。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 113 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 求和、無窮等比級數與循環小數、函數的定義域與合成、奇函數、函數的極限）

蘭陽女中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

單選題 11 小題（每題 4 分，共 44 分）、選填題 14 小題（每題 4 分，共 56 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、單選題（11 小題，每題 4 分，共 44 分）

下列無窮數列何者是發散數列？

(1) $⟨ - 3 ⟩$
(2) $⟨ - \frac{1}{n} ⟩$
(3) $⟨ (2 - 1)^{n} ⟩$
(4) $⟨ (- 0.999)^{n} ⟩$
(5) $⟨ \frac{2 ^{n}}{2023} ⟩$

若

n \to \infty lim \frac{3 ^{n} + a \times 5 ^{n + 1}}{2 ^{n + 2} - 5 ^{n}} = 10

，則實數

a

的值為

(1) $- 5$
(2) $- 2$
(3) $1$
(4) $2$
(5) $5$

試求

n \to \infty lim \frac{4 n ^{2} + 6 n}{2 n ^{2} - 3}

的值為下列何者？

(1) $2$
(2) $3$
(3) $- \frac{4}{3}$
(4) $- 2$
(5) 極限不存在

將循環小數

0.1 \overline{24}

化成分數值為下列何者？

(1) $\frac{62}{495}$
(2) $\frac{41}{330}$
(3) $\frac{41}{300}$
(4) $\frac{31}{250}$
(5) $\frac{41}{225}$

下列各無窮等比級數何者為收斂級數？

(1) $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots$
(2) $1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \dots$
(3) $3 + 3 + 1 + \frac{3}{3} + \dots$
(4) $1 + (\frac{- 4}{3}) + \frac{16}{9} + (\frac{- 64}{27}) + \dots$
(5) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

求

k = 1 \sum 10 k (k + 1)

的值為下列何者？

(1) $10$
(2) $55$
(3) $220$
(4) $440$
(5) $660$

無窮等比級數

5 + \frac{10}{3} + \frac{20}{9} + \frac{40}{27} + \dots

的和為

(1) $10$
(2) $15$
(3) $20$
(4) $25$
(5) 極限不存在

下列哪一個函數是奇函數？

(1) $f_{1} (x) = - 3$
(2) $f_{2} (x) = ∣ x ∣$
(3) $f_{3} (x) = 3 x + 1$
(4) $f_{4} (x) = x^{2}$
(5) $f_{5} (x) = sin x$

若兩函數

f (x) = x^{2} + a x - 1

與

g (x) = 2 x + 1

，滿足

(g \circ f) (2) = - 1

，則實數

a

的值為

(1) $- 2$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $2$

已知函數

f (x)

的圖形如圖，選出正確的選項。

(1) $f (1) = f (3)$
(2) $x \to 0 lim f (x) = f (0)$
(3) $x \to 1 lim f (x) = f (1)$
(4) $x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{-} lim f (x)$
(5) $x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{-} lim f (x)$

載入中...

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x + a, 0, - x + 3, 當 x > 2 當 x = 2 當 x < 2

。若

x \to 2 lim f (x)

存在，則實數

a

的值為

(1) $- 5$
(2) $- 3$
(3) $0$
(4) $2$
(5) $6$

二、選填題（14 小題，每題 4 分，共 56 分）　若答案為極限值不存在，請畫 ± 即可（原卷題號 I～XIV，本頁編為第 12～25 題）

已知對所有正整數

n

數列

⟨ c_{n} ⟩

滿足不等式

2 n^{2} - n + 5 \leq 3 n^{2} \times c_{n} \leq 2 n^{2} + n + 5

，求

n \to \infty lim c_{n} =

____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格）

已知對所有正整數

n

，不等式

- 1 \leq cos n \leq 1

成立，求

n \to \infty lim \frac{cos n}{n} =

____。

租借某共乘機車計費方式為：前

10

分鐘，收費

30

元，超過

10

分鐘的部分，每分鐘加收

2

元，不足

1

分鐘以

1

分鐘計算。已知租借某共乘機車

x

分鐘所需支付的租金為

f (x) = {30, 30 + 2 \times (- [10 - x]), 當 0 < x \leq 10 當 x > 10

元，其中符號

[]

為高斯符號，則租金

100

元最多可使用 ____ 分鐘。（原卷的答案格式為兩格）

已知函數

f (x) = 5 x - x^{2}

與

g (x) = x - 1

，若

(\frac{f}{g}) (x)

的定義域為

m < x \leq M

，求

m + M =

____。

已知函數

f (x) = \frac{3 x ^{2} + 5 x - 2}{x + 2}

（

x \neq = - 2

），求

x \to - 2 lim f (x) =

____。（原卷的答案格式為兩格）

設函數

f (x) = \frac{x - ∣ x ∣}{x}

，求

x \to 0 lim f (x) =

____。

若

a, b

為實數，且

x \to - 1 lim \frac{3 x ^{2} + b x - 1}{( x + 1 ) ( x + a )} = - 4

，則

a + b

為 ____。

求

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2}

的極限為 ____。

已知二次多項式

f (x)

的最高次項的係數為

1

，且滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 4

，求

f (2) =

____。

求

n \to \infty lim \frac{3 + 6 + 9 + \dots + 3 n}{2 n ^{2}}

的值為 ____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格）

附圖是邊長為

2

的正方形，其中有無窮多個相似的黑色等腰直角三角形，求白色部分的面積 ____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格）

載入中...

有一個面積為

32

的正方形，依以下的步驟將其分割著色。第

1

步驟：將其等分成

4

個小正方形，並將左下角的正方形塗上黑色，如第

1

圖所示。第

2

步驟：將剩下

3

個正方形再分別等分成

4

個更小的正方形，並將左下角的正方形塗上黑色，如第

2

圖所示。依照這樣的規律繼續分割著色下去，並設

S_{n}

表示在第

n

步驟後所有黑色正方形的總面積。求無窮多個黑色正方形的面積總和為 ____。（原卷的答案格式為兩格）

載入中...

判斷函數

y = \frac{∣ x ∣}{2 x}

的值域，若最大值為

M

，最小值為

m

則

M + m =

____。

求

x \to 2 lim (\frac{x ^{2} + x}{x - 2} - \frac{x ^{2} + 4 x}{x ^{2} - 2 x}) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(2)

第 3 題(1)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(4)

第 7 題(2)

第 8 題(5)

第 9 題(1)

第 10 題(5)

第 11 題(1)

第 12 題

\frac{2}{3}

第 13 題

0

第 14 題

45

第 15 題

6

第 16 題

- 7

第 17 題極限不存在（答案卡畫 ±）

第 18 題

4

第 19 題

3

第 20 題

5

第 21 題

\frac{3}{4}

第 22 題

\frac{4}{3}

第 23 題

32

第 24 題

0

第 25 題

4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：數列的極限

第 1 題答案 (5)。逐項看：(1) 每一項都是

- 3

，收斂到

- 3

。(2)

- \frac{1}{n} \to 0

，收斂。(3)

2 - 1 \approx 0.414

，絕對值小於

1

，所以

(2 - 1)^{n} \to 0

，收斂。(4)

- 0.999

的絕對值小於

1

，所以

(- 0.999)^{n} \to 0

，收斂。(5)

2^{n}

會無限制地變大，除以固定的

2023

之後仍然無限制地變大，不會趨近任何一個定數，所以是發散數列。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。選項 (4) 的公比雖然很接近

- 1

，絕對值還是小於

1

。

第 2 題答案 (2)。分子分母同除以底數最大的

5^{n}

：分子

3^{n} + a \times 5^{n + 1} = 3^{n} + 5 a \times 5^{n}

，除以

5^{n}

得

(\frac{3}{5})^{n} + 5 a

；分母

2^{n + 2} - 5^{n} = 4 \times 2^{n} - 5^{n}

，除以

5^{n}

得

4 (\frac{2}{5})^{n} - 1

。當

n \to \infty

時

(\frac{3}{5})^{n} \to 0

、

(\frac{2}{5})^{n} \to 0

，所以極限是

\frac{0 + 5 a}{0 - 1} = - 5 a

。由

- 5 a = 10

得

a = - 2

。

第 3 題答案 (1)。分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{4 n ^{2} + 6 n}{2 n ^{2} - 3} = \frac{4 + \frac{6}{n}}{2 - \frac{3}{n ^{2}}}

。當

n \to \infty

時

\frac{6}{n} \to 0

、

\frac{3}{n ^{2}} \to 0

，所以極限是

\frac{4}{2} = 2

。

02單選第 4～7 題：循環小數、無窮等比級數、Σ 求和

第 4 題答案 (2)。循環節是

24

，前面的

1

不循環。設

x = 0.1242424 \dots

，則

10 x = 1.242424 \dots

、

1000 x = 124.2424 \dots

，相減得

990 x = 123

，所以

x = \frac{123}{990} = \frac{41}{330}

。

也可以拆成

0.1 + 0.0 \overline{24}

：後者是首項

0.024

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.024}{0.99} = \frac{24}{990}

，加上

\frac{99}{990}

同樣得到

\frac{123}{990}

。

第 5 題答案 (3)。無窮等比級數（首項不為

0

）收斂的條件是公比

r

滿足

∣ r ∣ < 1

。(1)

r = - 1

，發散。(2)

r = \frac{3}{2}

，發散。(3)

r = \frac{3}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.577

，

∣ r ∣ < 1

，收斂。(4)

r = - \frac{4}{3}

，

∣ r ∣ > 1

，發散。(5)

r = 2

，發散。

選項 (1) 的部分和是

1, 0, 1, 0, \dots

，不會趨近一個定數，所以

r = - 1

時級數發散；這和「數列

⟨ r^{n} ⟩

在

r = 1

時收斂」是兩件事。

第 6 題答案 (4)。

k = 1 \sum 10 k (k + 1) = k = 1 \sum 10 k^{2} + k = 1 \sum 10 k = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} + \frac{10 \times 11}{2} = 385 + 55 = 440

。

第 7 題答案 (2)。首項

a = 5

，公比

r = \frac{10}{3} \div 5 = \frac{2}{3}

，

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{a}{1 - r} = \frac{5}{1 - \frac{2}{3}} = 15

。

03單選第 8、9 題：奇函數、合成函數

第 8 題答案 (5)。奇函數要對定義域內每個

x

都滿足

f (- x) = - f (x)

。(1)

f_{1} (- x) = - 3

，而

- f_{1} (x) = 3

，不相等。(2)

f_{2} (- x) = ∣ - x ∣ = ∣ x ∣ = f_{2} (x)

，是偶函數；取

x = 1

，

f_{2} (- 1) = 1 \neq = - 1

，不是奇函數。(3)

f_{3} (- x) = - 3 x + 1

，而

- f_{3} (x) = - 3 x - 1

，不相等。(4)

f_{4} (- x) = x^{2} = f_{4} (x)

，是偶函數，不是奇函數。(5)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數。

奇函數若在

x = 0

有定義，必有

f (0) = 0

。選項 (1)(3) 的

f (0)

分別是

- 3

與

1

，可以直接排除。

第 9 題答案 (1)。

(g \circ f) (2) = g (f (2))

。先算裡面：

f (2) = 4 + 2 a - 1 = 2 a + 3

；再代入

g

：

g (2 a + 3) = 2 (2 a + 3) + 1 = 4 a + 7

。由

4 a + 7 = - 1

得

a = - 2

。

04單選第 10、11 題：由圖形與分段函數看左右極限

第 10 題答案 (5)。先從圖形讀出需要的值（實心點是函數值，空心點表示那一點不在圖形上）。在

x = 0

：左邊的線段走向空心點

(0, 2)

，所以左極限是

2

；右邊的線段從實心點

(0, 1)

出發，所以

f (0) = 1

、右極限是

1

。在

x = 1

：左邊的線段走向空心點

(1, 2)

，左極限是

2

；右邊的曲線也從空心點

(1, 2)

出發，右極限是

2

；另外有一個實心點

(1, 1)

，所以

f (1) = 1

。在

x = 3

：實心點

(3, 2)

，

f (3) = 2

。逐項判斷：(1)

f (1) = 1

、

f (3) = 2

，不相等，錯。(2) 在

0

的左極限

2

、右極限

1

不相等，極限不存在，錯。(3) 在

1

的左右極限都是

2

，所以極限是

2

，但

f (1) = 1

，不相等，錯。(4) 右極限

1

、左極限

2

，不相等，錯。(5) 在

1

的右極限與左極限都是

2

，正確。

極限只看

x

靠近那一點時函數值往哪裡去，和那一點本身的函數值無關。選項 (3) 與 (5) 的差別就在這裡。

第 11 題答案 (1)。極限存在的條件是左、右極限相等。右極限用

x > 2

的式子：

x \to 2^{+} lim (3 x + a) = 6 + a

；左極限用

x < 2

的式子：

x \to 2^{-} lim (- x + 3) = 1

。由

6 + a = 1

得

a = - 5

。

f (2) = 0

這個條件用不到：極限存在與否不看那一點的函數值。

05選填 I、II、X（第 12、13、21 題）：夾擠定理、先求和再求極限

第 12 題答案

\frac{2}{3}

。不等式各邊同除以正數

3 n^{2}

，不等號方向不變：

\frac{2 n ^{2} - n + 5}{3 n ^{2}} \leq c_{n} \leq \frac{2 n ^{2} + n + 5}{3 n ^{2}}

。左邊

= \frac{2}{3} - \frac{1}{3 n} + \frac{5}{3 n ^{2}} \to \frac{2}{3}

，右邊

= \frac{2}{3} + \frac{1}{3 n} + \frac{5}{3 n ^{2}} \to \frac{2}{3}

。兩邊的極限相同，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = \frac{2}{3}

。

第 13 題答案

0

。不等式各邊同除以正整數

n

：

- \frac{1}{n} \leq \frac{cos n}{n} \leq \frac{1}{n}

。當

n \to \infty

時

- \frac{1}{n} \to 0

、

\frac{1}{n} \to 0

，由夾擠定理，

n \to \infty lim \frac{cos n}{n} = 0

。

cos n

本身沒有極限，所以不能把式子拆成「

cos n

的極限」乘以「

\frac{1}{n}

的極限」，要用夾擠定理。

第 21 題答案

\frac{3}{4}

。分子是等差級數，項數隨

n

增加，要先求和：

3 + 6 + 9 + \dots + 3 n = 3 (1 + 2 + \dots + n) = \frac{3 n ( n + 1 )}{2}

。所以原式

= \frac{3 n ( n + 1 )}{2} \times \frac{1}{2 n ^{2}} = \frac{3 n ^{2} + 3 n}{4 n ^{2}} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4 n}

，當

n \to \infty

時趨近

\frac{3}{4}

。

不可以把分子的每一項分別除以

2 n^{2}

之後各自取極限再相加：每一項都趨近

0

，但項數也跟著變多，這樣算會得到錯的

0

。

夾擠定理的用法：把要求極限的量夾在兩個式子中間，兩邊的極限相同，中間的極限就是那個值。

06選填 III、IV、XIII（第 14、15、24 題）：高斯符號、定義域、值域

第 14 題答案

45

。前

10

分鐘只要

30

元，要用得最久應看

x > 10

的式子。條件是

30 + 2 \times (- [10 - x]) \leq 100

，即

- [10 - x] \leq 35

，也就是

[10 - x] \geq - 35

。高斯符號

[t]

是不大於

t

的最大整數，

[t] \geq - 35

的條件是

t \geq - 35

，所以

10 - x \geq - 35

，得

x \leq 45

。檢查

x = 45

：

[10 - 45] = - 35

，租金是

30 + 2 \times 35 = 100

元，剛好。所以最多可使用

45

分鐘。

若

x

比

45

多一點（例如

45.5

），

[10 - x] = [- 35.5] = - 36

，租金變成

102

元，超過

100

元。

- [10 - x]

的意思是把超過

10

分鐘的時間無條件進位到整數分鐘。

第 15 題答案

6

。

(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}

要有意義，需要

f (x)

、

g (x)

都有意義，而且

g (x) \neq = 0

。

f

：

5 x - x^{2} \geq 0

，即

x (x - 5) \leq 0

，得

0 \leq x \leq 5

。

g

：

x - 1 \geq 0

，得

x \geq 1

；又

g (x) \neq = 0

，所以

x \neq = 1

，合起來是

x > 1

。兩者同時成立的範圍是

1 < x \leq 5

，所以

m = 1

、

M = 5

，

m + M = 6

。

左端是

<

而不是

\leq

，就是因為分母

g (1) = 0

，

x = 1

要去掉。

第 24 題答案

0

。分母

2 x

不可為

0

，所以定義域是

x \neq = 0

。當

x > 0

時

∣ x ∣ = x

，

y = \frac{x}{2 x} = \frac{1}{2}

；當

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

y = \frac{- x}{2 x} = - \frac{1}{2}

。所以函數值只有

\frac{1}{2}

與

- \frac{1}{2}

兩個，最大值

M = \frac{1}{2}

、最小值

m = - \frac{1}{2}

，

M + m = 0

。

07選填 V～IX、XIV（第 16～20、25 題）：函數的極限

第 16 題答案

- 7

。直接代入

x = - 2

，分子

12 - 10 - 2 = 0

、分母也是

0

，所以分子有因式

x + 2

：

3 x^{2} + 5 x - 2 = (3 x - 1) (x + 2)

。當

x \neq = - 2

時

f (x) = 3 x - 1

，所以

x \to - 2 lim f (x) = 3 \times (- 2) - 1 = - 7

。

第 17 題答案：極限不存在（依卷面規定，答案卡上畫 ±）。絕對值要分正負討論。當

x > 0

時

∣ x ∣ = x

，

f (x) = \frac{x - x}{x} = 0

，所以右極限是

0

。當

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

f (x) = \frac{x + x}{x} = 2

，所以左極限是

2

。左、右極限不相等，

x \to 0 lim f (x)

不存在。

第 18 題答案

4

。當

x \to - 1

時分母

(x + 1) (x + a) \to 0

，而極限存在（等於

- 4

），所以分子也必須趨近

0

：

3 - b - 1 = 0

，得

b = 2

。此時分子

3 x^{2} + 2 x - 1 = (3 x - 1) (x + 1)

，約去

x + 1

得

\frac{3 x - 1}{x + a}

，當

x \to - 1

時趨近

\frac{- 4}{a - 1}

。由

\frac{- 4}{a - 1} = - 4

得

a - 1 = 1

，

a = 2

。所以

a + b = 4

。

為什麼分子一定要趨近

0

：分子

=

分式

\times

分母，分式趨近

- 4

、分母趨近

0

，乘起來趨近

0

。另外

a = 2

時

x + a

在

x = - 1

不為

0

，約分後可以直接代入。

第 19 題答案

3

。代入

x = 2

分子分母都是

0

，先分解：

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

。當

x \neq = 2

時原式

= x + 1

，所以極限是

2 + 1 = 3

。

第 20 題答案

5

。當

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

，而極限存在，所以分子也要趨近

0

；

f (x)

是多項式，

x \to 1 lim f (x) = f (1)

，因此

f (1) = 0

，

f (x)

有因式

x - 1

。又

f (x)

是最高次項係數為

1

的二次式，可設

f (x) = (x - 1) (x + k)

。於是

\frac{f ( x )}{x - 1} = x + k

（

x \neq = 1

），極限是

1 + k = 4

，得

k = 3

。所以

f (x) = (x - 1) (x + 3)

，

f (2) = 1 \times 5 = 5

。

第 25 題答案

4

。兩個分式在

x \to 2

時各自都沒有極限，不能分開算，要先合併。第二個分式的分母

x^{2} - 2 x = x (x - 2)

，在

x

接近

2

時

x \neq = 0

，可以先約去

x

：

\frac{x ^{2} + 4 x}{x ( x - 2 )} = \frac{x + 4}{x - 2}

。於是原式

= \frac{( x ^{2} + x ) - ( x + 4 )}{x - 2} = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2

（

x \neq = 2

），極限是

2 + 2 = 4

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0；這個條件先用來求係數或找出公因式，約分之後再代入。

08選填 XI、XII（第 22、23 題）：圖形中的無窮等比級數

第 22 題答案

\frac{4}{3}

。正方形面積是

2 \times 2 = 4

。對角線把它分成兩個面積各為

2

的等腰直角三角形，右上那一個是黑色。左下那一個三角形裡，左下角有一個邊長

1

的小正方形（面積

1

），剩下的是兩個白色的等腰直角三角形，兩股都是

1

，面積各

\frac{1}{2}

，合計

1

。小正方形裡再重複同樣的圖形，邊長每次變成一半，面積變成

\frac{1}{4}

，所以每一層的白色面積依序是

1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots

，是首項

1

、公比

\frac{1}{4}

的無窮等比級數，和為

\frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}

。

檢查：黑色面積依序是

2, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \dots

，和為

\frac{2}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{8}{3}

；白色與黑色相加

\frac{4}{3} + \frac{8}{3} = 4

，正好是整個正方形。

第 23 題答案

32

。第

1

步驟：分成

4

個面積

8

的正方形，塗黑

1

個，黑色面積

8

，剩下

3

個白色正方形。第

2

步驟：

3

個白色正方形各分成

4

個面積

2

的正方形，各塗黑

1

個，新增黑色面積

3 \times 2 = 6

，剩下

9

個白色正方形。第

3

步驟：

9

個白色正方形各塗黑面積

\frac{1}{2}

的一塊，新增

\frac{9}{2}

。每一步白色正方形的個數變成

3

倍、每一塊塗黑的面積變成

\frac{1}{4}

，所以新增的黑色面積成等比，首項

8

、公比

\frac{3}{4}

。面積總和是

\frac{8}{1 - \frac{3}{4}} = 32

。

答案等於整個正方形的面積：每一步之後白色部分都剩下原來的

\frac{3}{4}

，第

n

步驟後白色面積是

32 \times (\frac{3}{4})^{n}

，趨近

0

；也就是

S_{n} = 32 - 32 \times (\frac{3}{4})^{n}

，極限是

32

。

圖形題先算出前兩、三層的面積，確認公比，再用無窮等比級數的和公式（首項除以 1 減公比）。

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01單選第 1～3 題：數列的極限

02單選第 4～7 題：循環小數、無窮等比級數、Σ 求和

03單選第 8、9 題：奇函數、合成函數

04單選第 10、11 題：由圖形與分段函數看左右極限

05選填 I、II、X（第 12、13、21 題）：夾擠定理、先求和再求極限

06選填 III、IV、XIII（第 14、15、24 題）：高斯符號、定義域、值域

07選填 V～IX、XIV（第 16～20、25 題）：函數的極限

08選填 XI、XII（第 22、23 題）：圖形中的無窮等比級數

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