段考詳解範圍：離散型隨機變數的期望值、變異數與標準差，二項分布與幾何分布，複數的運算

蘭陽女中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、多選題 5 題（每題 8 分，共 40 分；答錯 1 個選項得 5 分，答錯 2 個選項得 2 分，答錯 3 個選項以上得 0 分）、填充題 10 題（共 50 分，卷面沒有印各題幾分；答案若為分數或根式要化至最簡），合計 100 分。卷面選擇題的題號是圈起來的 1 到 7，填充題另編 A 到 J；本頁全卷連續編號，第 8 到 17 題依序為卷面填充題 A 到 J。卷面填充題的作答格是畫在答案卡上的編號格，本頁寫成空格，答案寫完整的值。答案已與學校公布的答案逐題核對，17 題全部一致。

一、單選題(每題 5 分，共 10 分)

擲一均勻硬幣

3

次，每出現一次正面得

5

元，一次反面賠

2

元，則所得期望值為

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $\frac{3}{2}$
(3) $\frac{5}{2}$
(4) $\frac{7}{2}$
(5) $\frac{9}{2}$

設生男與生女的機會相等，一個家庭共有

4

個小孩，令

X

表示其中女孩的人數，下列選項何者「錯誤」？

(1) $X$ 的所有可能取值為 $X = 0, 1, 2, 3, 4$
(2) $P (X = 1)$ 與 $P (X = 3)$ 相等
(3) $P (X = 0)$ 與 $P (X = 4)$ 相等
(4) $P (X = 2) = \frac{1}{2}$
(5) $X = 2$ 的機率最大

二、多選題(每題 8 分，共 40 分，答錯 1 個選項得 5 分，答錯 2 個選項得 2 分，答錯 3 個選項以上得 0 分。)

設丟擲一銅板，出現正面的機率是

0.4

，丟擲此銅板

150

次，令

X

表示出現正面的次數，且

μ

為

X

的期望值，

σ

為

X

的標準差。請選出正確的選項。

(1) $μ = 90$
(2) $σ = 7$
(3) 機率 $P (X = 60)$ 的值最大
(4) $P (X = 50) > P (X = 40)$
(5) $P (X = 80) > P (X = 70)$

三個不同的球投入三個不同的箱子，球可以重複投入同一個箱子，試問下列何者為真？

(1) 三個箱子均有球之機率為 $\frac{2}{9}$
(2) 恰有兩個箱子有球之機率為 $\frac{2}{3}$
(3) 恰有一個箱子有球之機率為 $\frac{1}{27}$
(4) 空箱子的期望值為 $\frac{20}{27}$
(5) 空箱子的變異數為 $\frac{26}{81}$

若隨機變數

X \sim B (10, 0.5)

，

Y \sim B (10, 0.8)

，則下列選項何者為真？

(1) $X$ 的平均數比 $Y$ 的平均數大
(2) $X$ 的變異數比 $Y$ 的變異數大
(3) $P (X \leq 5) \geq 0.5$
(4) $P (Y \leq 5) < 0.5$
(5) $P (Y > 5) \leq P (X > 5)$

p_{1}

表示丟

2

個公正硬幣，恰好出現

1

個正面的機率，

p_{2}

表示丟

4

個公正硬幣，恰好出現

2

個正面的機率，

p_{3}

表示擲

6

個公正硬幣，恰好出現

3

個正面的機率，

p_{4}

表示擲

2

個均勻骰子，恰好出現

1

個偶數點的機率。試問下列選項何者為真？

(1) $p_{1} > p_{2}$
(2) $p_{2} > p_{3}$
(3) $p_{3} > p_{4}$
(4) $p_{4} > p_{1}$
(5) $p_{1} > p_{3}$

設

a = (- 3)^{2}

，

b = - 6 \times \frac{- 3}{2}

，

c = \frac{27}{- 3}

，

d = - 9

，

e = \frac{- 18}{- 2}

，試選出正確的選項。

(1) $a = b$
(2) $b = - c$
(3) $c = - d$
(4) $d = - e$
(5) $a = e$

三、填充題(50 分，答案若為分數或根式，請化至最簡)

一箱子中有

3

顆紅球與

2

顆白球，今從箱子中取出

3

球，求取出的白球個數的期望值為 ____ 顆

承上題，求取出的白球個數的變異數為 ____

某次考試，一多重選擇題有

A

、

B

、

C

、

D

、

E

五個選項。給分標準為完全答對給

10

分，只答錯

1

個選項給

6

分，只答錯

2

個選項給

2

分，答錯

3

個或

3

個以上的選項得

0

分。若某一考生對該題的

A

、

B

選項已確定是應選的正確答案，但

C

、

D

、

E

三個選項根本看不懂，決定這三個選項用猜的來作答，求此題得分的期望值為 ____ 分

合作社舉辦抽獎活動，原本所有獎額的期望值為

250

元，標準差為

120

元，今為慶祝校慶，將每個獎項的獎額提高

30%

，再贈送

100

元現金抵用券，求慶祝活動中抽獎一次所得獎額的標準差為 ____ 元

同時投擲

3

粒均勻骰子，設出現三個點數為連續整數的事件為

A

事件，例如：出現

1

點、

2

點、

3

點。求

A

事件發生的機率為 ____

承上題，若做了

648

次試驗，在

648

次中事件

A

發生了

X

次，求

X

的標準差為 ____ 次

一袋中有

2

個紅球，

6

個白球，每球被取的機會均等。今從袋中任取一球，觀察其顏色後放回，重複上述動作多次，直到取出紅球停止，令隨機變數

X

表示取球的次數，試求

P (X = 4) =

____

對於某個硬幣，我們懷疑它是否公正，假設投擲一枚硬幣

6

次，出現正面

4

次以上，我們判定此硬幣非公正硬幣。若此枚硬幣為公正硬幣時，被判定為非公正硬幣的機率為 ____

已知

i^{2} = - 1

，試求

i^{21} + i^{22} + i^{23} + \dots + i^{99} =

____

設

a

為實數，複數

z = \frac{2 a - i}{1 - 2 i}

的虛部為

0

，試求實數

a =

____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(3)(4)

第 4 題(1)(2)(5)

第 5 題(2)(3)(4)

第 6 題(1)(2)(5)

第 7 題(1)(3)

第 8 題

\frac{6}{5}

第 9 題

\frac{9}{25}

第 10 題

\frac{17}{4}

第 11 題

156

第 12 題

\frac{1}{9}

第 13 題

8

第 14 題

\frac{27}{256}

第 15 題

\frac{11}{32}

第 16 題

- 1

第 17 題

\frac{1}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：得失金額的期望值、女孩人數的分布

第 1 題答案 (5)。設

3

次中出現正面的次數為

X

，則反面有

3 - X

次，所得為

5 X - 2 (3 - X) = 7 X - 6

元。

X

是二項分布

B (3, \frac{1}{2})

，期望值

E (X) = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

。所以所得的期望值是

7 \times \frac{3}{2} - 6 = \frac{21}{2} - 6 = \frac{9}{2}

元。

也可以一次一次看：擲一次的所得期望值是

5 \times \frac{1}{2} + (- 2) \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

元，擲

3

次就是

3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}

元。

第 2 題答案 (4)。每個小孩是女孩的機率是

\frac{1}{2}

，

X

是二項分布

B (4, \frac{1}{2})

，

P (X = k) = C_{k}^{4} (\frac{1}{2})^{4} = \frac{C _{k}^{4}}{16}

。依序是

P (X = 0) = \frac{1}{16}

，

P (X = 1) = \frac{4}{16}

，

P (X = 2) = \frac{6}{16}

，

P (X = 3) = \frac{4}{16}

，

P (X = 4) = \frac{1}{16}

。(1) 女孩可以是

0

到

4

人，對。(2) 都是

\frac{4}{16}

，對。(3) 都是

\frac{1}{16}

，對。(4)

P (X = 2) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

，不是

\frac{1}{2}

，這個選項錯誤。(5) 五個機率中

\frac{6}{16}

最大，對。題目要選錯誤的，所以選 (4)。

「兩男兩女最有可能」是對的，但它的機率只有

\frac{3}{8}

，不到一半。

把得失金額寫成次數的一次式，再用期望值的性質；二項分布先把每個次數的機率列出來。

02多選 3：二項分布的期望值、標準差與機率最大的次數

第 3 題答案 (3)(4)。

X

是二項分布

B (150, 0.4)

。(1)

μ = 150 \times 0.4 = 60

，不是

90

，錯。(2) 變異數是

150 \times 0.4 \times 0.6 = 36

，所以

σ = 36 = 6

，不是

7

，錯。(3)(4)(5) 要比較各個次數的機率，看相鄰兩項的比：由

P (X = k) = C_{k}^{150} (0.4)^{k} (0.6)^{150 - k}

得

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{150 - k}{k + 1} \times \frac{0.4}{0.6} = \frac{2 ( 150 - k )}{3 ( k + 1 )}

。這個比大於

1

的條件是

300 - 2 k > 3 k + 3

，即

k < 59.4

。所以

k = 0, 1, \dots, 59

時下一項比較大，機率一路增加到

P (X = 60)

；

k \geq 60

時下一項比較小，機率從

P (X = 60)

之後一路減少。因此

P (X = 60)

最大，(3) 對；

40

與

50

都在增加的這一段，

P (X = 50) > P (X = 40)

，(4) 對；

70

與

80

都在減少的這一段，

P (X = 80) < P (X = 70)

，(5) 錯。

(1) 的

90

是出現反面的次數的期望值

150 \times 0.6

。機率最大的次數會落在期望值附近，但仍要用相鄰兩項的比確認。

二項分布的機率先增後減，用相鄰兩項的比和 1 比大小，就知道在哪個次數轉折。

03多選 4：三球投三箱

第 4 題答案 (1)(2)(5)。每個球有

3

個箱子可以選，共

3^{3} = 27

種投法，機會均等。(1) 三個箱子都有球，就是三個球各進不同的箱子，有

3! = 6

種，機率

\frac{6}{27} = \frac{2}{9}

，對。(2) 恰有兩個箱子有球：先選哪兩個箱子有球，有

3

種；三個球投進這兩個箱子而且兩箱都不空，有

2^{3} - 2 = 6

種，共

3 \times 6 = 18

種，機率

\frac{18}{27} = \frac{2}{3}

，對。(3) 恰有一個箱子有球，就是三個球全進同一個箱子，有

3

種，機率

\frac{3}{27} = \frac{1}{9}

，不是

\frac{1}{27}

，錯。(4) 設空箱子的個數為

X

：三箱都有球時

X = 0

，恰兩箱有球時

X = 1

，恰一箱有球時

X = 2

，所以

P (X = 0) = \frac{6}{27}

，

P (X = 1) = \frac{18}{27}

，

P (X = 2) = \frac{3}{27}

。期望值

E (X) = 0 \times \frac{6}{27} + 1 \times \frac{18}{27} + 2 \times \frac{3}{27} = \frac{24}{27} = \frac{8}{9}

，不是

\frac{20}{27}

，錯。(5)

E (X^{2}) = 1 \times \frac{18}{27} + 4 \times \frac{3}{27} = \frac{30}{27} = \frac{10}{9}

，變異數是

\frac{10}{9} - (\frac{8}{9})^{2} = \frac{90}{81} - \frac{64}{81} = \frac{26}{81}

，對。

(2) 也可以用扣的：全部

27

種扣掉三箱都有球的

6

種與只有一箱有球的

3

種，剩

27 - 6 - 3 = 18

種。(3) 的

\frac{1}{27}

是「全部投進指定的某一個箱子」的機率，少乘了箱子的

3

種選法。

先把空箱數每個值的機率列成分布表，期望值與變異數就照定義算。

04多選 5～6：比較二項分布

第 5 題答案 (2)(3)(4)。(1)

X

的平均數是

10 \times 0.5 = 5

，

Y

的平均數是

10 \times 0.8 = 8

，

X

的比較小，錯。(2)

X

的變異數是

10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5

，

Y

的變異數是

10 \times 0.8 \times 0.2 = 1.6

，

X

的比較大，對。(3)

X

的成功機率是

0.5

，所以

P (X = k) = P (X = 10 - k)

，分布左右對稱，

P (X \leq 4) = P (X \geq 6)

。全部機率的和是

1

，所以

P (X \leq 4) = \frac{1 - P ( X = 5 )}{2}

，

P (X \leq 5) = \frac{1 + P ( X = 5 )}{2}

，比

0.5

大，對。(4) 先算

Y

很大的那幾項：

P (Y = 10) = (0.8)^{10} \approx 0.107

，

P (Y = 9) = 10 \times (0.8)^{9} \times 0.2 \approx 0.268

，

P (Y = 8) = 45 \times (0.8)^{8} \times (0.2)^{2} \approx 0.302

，這三項的和約

0.678

，已經超過

0.5

，所以

P (Y \leq 5)

一定小於

1 - 0.678 = 0.322

，比

0.5

小，對。(5) 由 (4)，

P (Y > 5) \geq 0.678

；由 (3)，

P (X > 5) = 1 - P (X \leq 5) < 0.5

。所以

P (Y > 5) > P (X > 5)

，選項的不等號方向相反，錯。

實際的值是

P (X \leq 5) = \frac{638}{1024} \approx 0.623

，

P (Y \leq 5) \approx 0.033

，

P (Y > 5) \approx 0.967

，

P (X > 5) \approx 0.377

。成功機率愈接近

0.5

，二項分布的變異數愈大。

第 6 題答案 (1)(2)(5)。

p_{1} = C_{1}^{2} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

；

p_{2} = C_{2}^{4} (\frac{1}{2})^{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

；

p_{3} = C_{3}^{6} (\frac{1}{2})^{6} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}

。一個骰子出現偶數點的機率是

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

，所以

p_{4} = C_{1}^{2} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

。通分成

p_{1} = \frac{8}{16}

，

p_{2} = \frac{6}{16}

，

p_{3} = \frac{5}{16}

，

p_{4} = \frac{8}{16}

。(1)

\frac{8}{16} > \frac{6}{16}

，對。(2)

\frac{6}{16} > \frac{5}{16}

，對。(3)

\frac{5}{16} < \frac{8}{16}

，錯。(4)

p_{4} = p_{1}

，兩者相等，不是大於，錯。(5)

\frac{8}{16} > \frac{5}{16}

，對。

硬幣愈多，「正反面剛好各半」的機率愈小，不是愈大。

成功機率是二分之一的二項分布左右對稱；比較機率時通分最清楚。

05多選 7、填充 I、J（第 7、16、17 題）：複數的運算

第 7 題答案 (1)(3)。負數的平方根要先寫成

i

的倍數再運算：

- 3 = 3 i

，

- 6 = 6 i

，

- 9 = 3 i

，

- 18 = 32 i

，

- 2 = 2 i

。

a = (3 i)^{2} = 3 i^{2} = - 3

。

b = 6 i \times \frac{3 i}{2} = \frac{18}{2} i^{2} = 3 \times (- 1) = - 3

。

c = \frac{27}{3 i} = \frac{3}{i} = \frac{3 i}{i ^{2}} = - 3 i

。

d = 3 i

。

e = \frac{3 2 i}{2 i} = 3

。(1)

a = b = - 3

，對。(2)

b = - 3

，

- c = 3 i

，不相等，錯。(3)

c = - 3 i = - d

，對。(4)

d = 3 i

，

- e = - 3

，不相等，錯。(5)

a = - 3

，

e = 3

，不相等，錯。

a \times b = ab

與

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

在根號裡出現負數時不一定成立。例如

c

若直接寫成

\frac{27}{- 3} = - 9 = 3 i

就差了一個負號。

第 16 題答案

- 1

。

i

的次方每四個一循環：

i, - 1, - i, 1

，而且連續四項的和是

i - 1 - i + 1 = 0

。從

i^{21}

到

i^{99}

共

99 - 21 + 1 = 79

項，

79 = 4 \times 19 + 3

。把後面的

76

項（

i^{24}

到

i^{99}

）每四項一組，共

19

組，每組的和都是

0

。剩下前三項：

21

除以

4

餘

1

，所以

i^{21} = i

，

i^{22} = - 1

，

i^{23} = - i

，和是

i - 1 - i = - 1

。因此所求為

- 1

。

項數是

99 - 21 + 1 = 79

，不是

78

；先數對項數，再看剩下哪幾項。

第 17 題答案

\frac{1}{4}

。分子分母同乘分母的共軛複數

1 + 2 i

：分母是

(1 - 2 i) (1 + 2 i) = 1 + 4 = 5

，分子是

(2 a - i) (1 + 2 i) = 2 a + 4 ai - i - 2 i^{2} = (2 a + 2) + (4 a - 1) i

。所以

z = \frac{2 a + 2}{5} + \frac{4 a - 1}{5} i

。

a

是實數，虛部是

\frac{4 a - 1}{5}

，令它等於

0

得

a = \frac{1}{4}

。

這時

z = \frac{2 \times \frac{1}{4} + 2}{5} = \frac{1}{2}

，是一個實數。

負數開根號先換成 i 再算；i 的次方四個一循環；除法乘上分母的共軛複數。

06填充 A、B（第 8、9 題）：取出白球個數的期望值與變異數

第 8 題答案

\frac{6}{5}

。從

5

顆球取出

3

顆，共

C_{3}^{5} = 10

種取法。設取出的白球個數為

X

，白球只有

2

顆，

X

可以是

0, 1, 2

。

P (X = 0) = \frac{C _{3}^{3}}{10} = \frac{1}{10}

；

P (X = 1) = \frac{C _{1}^{2} C _{2}^{3}}{10} = \frac{6}{10}

；

P (X = 2) = \frac{C _{2}^{2} C _{1}^{3}}{10} = \frac{3}{10}

。期望值

E (X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}

顆。

三個機率相加是

1

，可以用來檢查。卷面只寫「取出

3

球」，沒有印取後是否放回；本頁依一次取出

3

球（取後不放回）作答，判讀的依據見下一題的說明。不放回時各次之間不獨立，不是二項分布。

第 9 題答案

\frac{9}{25}

。沿用上一題的分布：

E (X^{2}) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 4 \times \frac{3}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}

。變異數是

E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \frac{9}{5} - (\frac{6}{5})^{2} = \frac{45}{25} - \frac{36}{25} = \frac{9}{25}

。

卷面沒有印取後是否放回。這一題的作答格是分子一位數、分母兩位數：不放回的

\frac{9}{25}

填得進去；取後放回時白球個數是二項分布

B (3, \frac{2}{5})

，變異數是

\frac{18}{25}

，分子兩位數，填不進去。所以依不放回作答。

不放回的取球先列出機率分布表，再照定義算期望值與變異數。

07填充 C、D（第 10、11 題）：得分的期望值、一次變換後的標準差

第 10 題答案

\frac{17}{4}

。

A

、

B

兩個選項已經答對，得分只看

C

、

D

、

E

三個選項猜錯幾個。每個選項只有「選」與「不選」兩種作答，用猜的時候答對與答錯的機率各是

\frac{1}{2}

，三個選項互不影響，所以答錯的個數

X

是二項分布

B (3, \frac{1}{2})

：

P (X = 0) = \frac{1}{8}

，

P (X = 1) = \frac{3}{8}

，

P (X = 2) = \frac{3}{8}

，

P (X = 3) = \frac{1}{8}

。對應的得分依序是

10

、

6

、

2

、

0

分。期望值是

10 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{1}{8} = \frac{10 + 18 + 6}{8} = \frac{34}{8} = \frac{17}{4}

分。

不管每個選項的正確作答是「選」還是「不選」，猜對的機率都是

\frac{1}{2}

，所以不必知道正確答案是哪幾個。

第 11 題答案

156

。設原本抽一次的獎額為

X

元，慶祝活動中的獎額是

Y = 1.3 X + 100

元。每個值都加上同一個數，離散的程度不變；每個值都乘以

1.3

，標準差也乘以

1.3

。所以

Y

的標準差是

1.3 \times 120 = 156

元。

期望值會變成

1.3 \times 250 + 100 = 425

元，加上的

100

元只影響期望值、不影響標準差。題目給的期望值

250

元在求標準差時用不到。

隨機變數乘以一個數再加一個數：期望值照樣乘、照樣加，標準差只乘那個數的絕對值。

08填充 E、F（第 12、13 題）：連續整數的機率與二項分布的標準差

第 12 題答案

\frac{1}{9}

。把三粒骰子看成不同的骰子，共

6^{3} = 216

種結果，機會均等。三個點數是連續整數的組合有

{1, 2, 3}

、

{2, 3, 4}

、

{3, 4, 5}

、

{4, 5, 6}

共

4

組；每一組的三個點數分配給三粒骰子有

3! = 6

種，所以事件

A

有

4 \times 6 = 24

種結果。機率是

\frac{24}{216} = \frac{1}{9}

。

三個點數要都不相同才可能連續；不要漏掉同一組點數分給三粒骰子的

6

種排法。

第 13 題答案

8

。每次試驗事件

A

發生的機率是上一題的

\frac{1}{9}

，各次獨立，所以

X

是二項分布

B (648, \frac{1}{9})

。變異數是

648 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{9} = 72 \times \frac{8}{9} = 64

，標準差是

64 = 8

次。

期望值是

648 \times \frac{1}{9} = 72

次。標準差要記得開根號。

先算出單次試驗成功的機率，重複獨立試驗的成功次數就是二項分布。

09填充 G、H（第 14、15 題）：直到成功為止的次數、被誤判的機率

第 14 題答案

\frac{27}{256}

。每次取出後放回，所以每一次取到紅球的機率都是

\frac{2}{8} = \frac{1}{4}

，取到白球的機率都是

\frac{3}{4}

，各次獨立。

X = 4

表示前

3

次都取到白球、第

4

次取到紅球，機率是

(\frac{3}{4})^{3} \times \frac{1}{4} = \frac{27}{64} \times \frac{1}{4} = \frac{27}{256}

。

這是幾何分布：第

k

次才第一次成功的機率是「前

k - 1

次都失敗」乘「第

k

次成功」，前面的失敗只有一種順序，不必再乘組合數。

第 15 題答案

\frac{11}{32}

。硬幣公正時，投擲

6

次出現正面的次數

X

是二項分布

B (6, \frac{1}{2})

，

P (X = k) = \frac{C _{k}^{6}}{64}

。「出現正面

4

次以上」包含

4

、

5

、

6

次，被判定為非公正的機率是

P (X \geq 4) = \frac{C _{4}^{6} + C _{5}^{6} + C _{6}^{6}}{64} = \frac{15 + 6 + 1}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}

。

「

4

次以上」包含

4

次。照這個判定方式，一枚公正的硬幣有大約三分之一的機會被誤判。

直到第一次成功為止用幾何分布；固定次數裡成功幾次用二項分布，把符合條件的幾項加起來。

同一次段考的其他學校

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常見問題

蘭陽女中 110 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題：要判斷哪個次數的機率最大，得用相鄰兩項的比，才知道機率在 60 次之前遞增、之後遞減。多選第 4 題：空箱子的個數要先列出機率分布，恰有一個箱子有球的機率容易少乘箱子的 3 種選法。多選第 7 題：負數的平方根要先換成 i 再乘除，直接把根號合併會差一個負號。填充 B（本頁第 9 題）：一次取出 3 球是不放回，不能套二項分布的變異數公式。填充 I（本頁第 16 題）：項數是 79 項，容易數成 78 項。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自蘭陽女中 110 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：離散型隨機變數的期望值、變異數與標準差，二項分布與幾何分布，複數的運算

蘭陽女中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、單選題(每題 5 分，共 10 分)

擲一均勻硬幣

3

次，每出現一次正面得

5

元，一次反面賠

2

元，則所得期望值為

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $\frac{3}{2}$
(3) $\frac{5}{2}$
(4) $\frac{7}{2}$
(5) $\frac{9}{2}$

設生男與生女的機會相等，一個家庭共有

4

個小孩，令

X

表示其中女孩的人數，下列選項何者「錯誤」？

(1) $X$ 的所有可能取值為 $X = 0, 1, 2, 3, 4$
(2) $P (X = 1)$ 與 $P (X = 3)$ 相等
(3) $P (X = 0)$ 與 $P (X = 4)$ 相等
(4) $P (X = 2) = \frac{1}{2}$
(5) $X = 2$ 的機率最大

二、多選題(每題 8 分，共 40 分，答錯 1 個選項得 5 分，答錯 2 個選項得 2 分，答錯 3 個選項以上得 0 分。)

設丟擲一銅板，出現正面的機率是

0.4

，丟擲此銅板

150

次，令

X

表示出現正面的次數，且

μ

為

X

的期望值，

σ

為

X

的標準差。請選出正確的選項。

(1) $μ = 90$
(2) $σ = 7$
(3) 機率 $P (X = 60)$ 的值最大
(4) $P (X = 50) > P (X = 40)$
(5) $P (X = 80) > P (X = 70)$

三個不同的球投入三個不同的箱子，球可以重複投入同一個箱子，試問下列何者為真？

(1) 三個箱子均有球之機率為 $\frac{2}{9}$
(2) 恰有兩個箱子有球之機率為 $\frac{2}{3}$
(3) 恰有一個箱子有球之機率為 $\frac{1}{27}$
(4) 空箱子的期望值為 $\frac{20}{27}$
(5) 空箱子的變異數為 $\frac{26}{81}$

若隨機變數

X \sim B (10, 0.5)

，

Y \sim B (10, 0.8)

，則下列選項何者為真？

(1) $X$ 的平均數比 $Y$ 的平均數大
(2) $X$ 的變異數比 $Y$ 的變異數大
(3) $P (X \leq 5) \geq 0.5$
(4) $P (Y \leq 5) < 0.5$
(5) $P (Y > 5) \leq P (X > 5)$

p_{1}

表示丟

2

個公正硬幣，恰好出現

1

個正面的機率，

p_{2}

表示丟

4

個公正硬幣，恰好出現

2

個正面的機率，

p_{3}

表示擲

6

個公正硬幣，恰好出現

3

個正面的機率，

p_{4}

表示擲

2

個均勻骰子，恰好出現

1

個偶數點的機率。試問下列選項何者為真？

(1) $p_{1} > p_{2}$
(2) $p_{2} > p_{3}$
(3) $p_{3} > p_{4}$
(4) $p_{4} > p_{1}$
(5) $p_{1} > p_{3}$

設

a = (- 3)^{2}

，

b = - 6 \times \frac{- 3}{2}

，

c = \frac{27}{- 3}

，

d = - 9

，

e = \frac{- 18}{- 2}

，試選出正確的選項。

(1) $a = b$
(2) $b = - c$
(3) $c = - d$
(4) $d = - e$
(5) $a = e$

三、填充題(50 分，答案若為分數或根式，請化至最簡)

一箱子中有

3

顆紅球與

2

顆白球，今從箱子中取出

3

球，求取出的白球個數的期望值為 ____ 顆

承上題，求取出的白球個數的變異數為 ____

某次考試，一多重選擇題有

A

、

B

、

C

、

D

、

E

五個選項。給分標準為完全答對給

10

分，只答錯

1

個選項給

6

分，只答錯

2

個選項給

2

分，答錯

3

個或

3

個以上的選項得

0

分。若某一考生對該題的

A

、

B

選項已確定是應選的正確答案，但

C

、

D

、

E

三個選項根本看不懂，決定這三個選項用猜的來作答，求此題得分的期望值為 ____ 分

合作社舉辦抽獎活動，原本所有獎額的期望值為

250

元，標準差為

120

元，今為慶祝校慶，將每個獎項的獎額提高

30%

，再贈送

100

元現金抵用券，求慶祝活動中抽獎一次所得獎額的標準差為 ____ 元

同時投擲

3

粒均勻骰子，設出現三個點數為連續整數的事件為

A

事件，例如：出現

1

點、

2

點、

3

點。求

A

事件發生的機率為 ____

承上題，若做了

648

次試驗，在

648

次中事件

A

發生了

X

次，求

X

的標準差為 ____ 次

一袋中有

2

個紅球，

6

個白球，每球被取的機會均等。今從袋中任取一球，觀察其顏色後放回，重複上述動作多次，直到取出紅球停止，令隨機變數

X

表示取球的次數，試求

P (X = 4) =

____

對於某個硬幣，我們懷疑它是否公正，假設投擲一枚硬幣

6

次，出現正面

4

次以上，我們判定此硬幣非公正硬幣。若此枚硬幣為公正硬幣時，被判定為非公正硬幣的機率為 ____

已知

i^{2} = - 1

，試求

i^{21} + i^{22} + i^{23} + \dots + i^{99} =

____

設

a

為實數，複數

z = \frac{2 a - i}{1 - 2 i}

的虛部為

0

，試求實數

a =

____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(3)(4)

第 4 題(1)(2)(5)

第 5 題(2)(3)(4)

第 6 題(1)(2)(5)

第 7 題(1)(3)

第 8 題

\frac{6}{5}

第 9 題

\frac{9}{25}

第 10 題

\frac{17}{4}

第 11 題

156

第 12 題

\frac{1}{9}

第 13 題

8

第 14 題

\frac{27}{256}

第 15 題

\frac{11}{32}

第 16 題

- 1

第 17 題

\frac{1}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：得失金額的期望值、女孩人數的分布

第 1 題答案 (5)。設

3

次中出現正面的次數為

X

，則反面有

3 - X

次，所得為

5 X - 2 (3 - X) = 7 X - 6

元。

X

是二項分布

B (3, \frac{1}{2})

，期望值

E (X) = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

。所以所得的期望值是

7 \times \frac{3}{2} - 6 = \frac{21}{2} - 6 = \frac{9}{2}

元。

也可以一次一次看：擲一次的所得期望值是

5 \times \frac{1}{2} + (- 2) \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

元，擲

3

次就是

3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}

元。

第 2 題答案 (4)。每個小孩是女孩的機率是

\frac{1}{2}

，

X

是二項分布

B (4, \frac{1}{2})

，

P (X = k) = C_{k}^{4} (\frac{1}{2})^{4} = \frac{C _{k}^{4}}{16}

。依序是

P (X = 0) = \frac{1}{16}

，

P (X = 1) = \frac{4}{16}

，

P (X = 2) = \frac{6}{16}

，

P (X = 3) = \frac{4}{16}

，

P (X = 4) = \frac{1}{16}

。(1) 女孩可以是

0

到

4

人，對。(2) 都是

\frac{4}{16}

，對。(3) 都是

\frac{1}{16}

，對。(4)

P (X = 2) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

，不是

\frac{1}{2}

，這個選項錯誤。(5) 五個機率中

\frac{6}{16}

最大，對。題目要選錯誤的，所以選 (4)。

「兩男兩女最有可能」是對的，但它的機率只有

\frac{3}{8}

，不到一半。

把得失金額寫成次數的一次式，再用期望值的性質；二項分布先把每個次數的機率列出來。

02多選 3：二項分布的期望值、標準差與機率最大的次數

第 3 題答案 (3)(4)。

X

是二項分布

B (150, 0.4)

。(1)

μ = 150 \times 0.4 = 60

，不是

90

，錯。(2) 變異數是

150 \times 0.4 \times 0.6 = 36

，所以

σ = 36 = 6

，不是

7

，錯。(3)(4)(5) 要比較各個次數的機率，看相鄰兩項的比：由

P (X = k) = C_{k}^{150} (0.4)^{k} (0.6)^{150 - k}

得

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{150 - k}{k + 1} \times \frac{0.4}{0.6} = \frac{2 ( 150 - k )}{3 ( k + 1 )}

。這個比大於

1

的條件是

300 - 2 k > 3 k + 3

，即

k < 59.4

。所以

k = 0, 1, \dots, 59

時下一項比較大，機率一路增加到

P (X = 60)

；

k \geq 60

時下一項比較小，機率從

P (X = 60)

之後一路減少。因此

P (X = 60)

最大，(3) 對；

40

與

50

都在增加的這一段，

P (X = 50) > P (X = 40)

，(4) 對；

70

與

80

都在減少的這一段，

P (X = 80) < P (X = 70)

，(5) 錯。

(1) 的

90

是出現反面的次數的期望值

150 \times 0.6

。機率最大的次數會落在期望值附近，但仍要用相鄰兩項的比確認。

二項分布的機率先增後減，用相鄰兩項的比和 1 比大小，就知道在哪個次數轉折。

03多選 4：三球投三箱

第 4 題答案 (1)(2)(5)。每個球有

3

個箱子可以選，共

3^{3} = 27

種投法，機會均等。(1) 三個箱子都有球，就是三個球各進不同的箱子，有

3! = 6

種，機率

\frac{6}{27} = \frac{2}{9}

，對。(2) 恰有兩個箱子有球：先選哪兩個箱子有球，有

3

種；三個球投進這兩個箱子而且兩箱都不空，有

2^{3} - 2 = 6

種，共

3 \times 6 = 18

種，機率

\frac{18}{27} = \frac{2}{3}

，對。(3) 恰有一個箱子有球，就是三個球全進同一個箱子，有

3

種，機率

\frac{3}{27} = \frac{1}{9}

，不是

\frac{1}{27}

，錯。(4) 設空箱子的個數為

X

：三箱都有球時

X = 0

，恰兩箱有球時

X = 1

，恰一箱有球時

X = 2

，所以

P (X = 0) = \frac{6}{27}

，

P (X = 1) = \frac{18}{27}

，

P (X = 2) = \frac{3}{27}

。期望值

E (X) = 0 \times \frac{6}{27} + 1 \times \frac{18}{27} + 2 \times \frac{3}{27} = \frac{24}{27} = \frac{8}{9}

，不是

\frac{20}{27}

，錯。(5)

E (X^{2}) = 1 \times \frac{18}{27} + 4 \times \frac{3}{27} = \frac{30}{27} = \frac{10}{9}

，變異數是

\frac{10}{9} - (\frac{8}{9})^{2} = \frac{90}{81} - \frac{64}{81} = \frac{26}{81}

，對。

(2) 也可以用扣的：全部

27

種扣掉三箱都有球的

6

種與只有一箱有球的

3

種，剩

27 - 6 - 3 = 18

種。(3) 的

\frac{1}{27}

是「全部投進指定的某一個箱子」的機率，少乘了箱子的

3

種選法。

先把空箱數每個值的機率列成分布表，期望值與變異數就照定義算。

04多選 5～6：比較二項分布

第 5 題答案 (2)(3)(4)。(1)

X

的平均數是

10 \times 0.5 = 5

，

Y

的平均數是

10 \times 0.8 = 8

，

X

的比較小，錯。(2)

X

的變異數是

10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5

，

Y

的變異數是

10 \times 0.8 \times 0.2 = 1.6

，

X

的比較大，對。(3)

X

的成功機率是

0.5

，所以

P (X = k) = P (X = 10 - k)

，分布左右對稱，

P (X \leq 4) = P (X \geq 6)

。全部機率的和是

1

，所以

P (X \leq 4) = \frac{1 - P ( X = 5 )}{2}

，

P (X \leq 5) = \frac{1 + P ( X = 5 )}{2}

，比

0.5

大，對。(4) 先算

Y

很大的那幾項：

P (Y = 10) = (0.8)^{10} \approx 0.107

，

P (Y = 9) = 10 \times (0.8)^{9} \times 0.2 \approx 0.268

，

P (Y = 8) = 45 \times (0.8)^{8} \times (0.2)^{2} \approx 0.302

，這三項的和約

0.678

，已經超過

0.5

，所以

P (Y \leq 5)

一定小於

1 - 0.678 = 0.322

，比

0.5

小，對。(5) 由 (4)，

P (Y > 5) \geq 0.678

；由 (3)，

P (X > 5) = 1 - P (X \leq 5) < 0.5

。所以

P (Y > 5) > P (X > 5)

，選項的不等號方向相反，錯。

實際的值是

P (X \leq 5) = \frac{638}{1024} \approx 0.623

，

P (Y \leq 5) \approx 0.033

，

P (Y > 5) \approx 0.967

，

P (X > 5) \approx 0.377

。成功機率愈接近

0.5

，二項分布的變異數愈大。

第 6 題答案 (1)(2)(5)。

p_{1} = C_{1}^{2} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

；

p_{2} = C_{2}^{4} (\frac{1}{2})^{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

；

p_{3} = C_{3}^{6} (\frac{1}{2})^{6} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}

。一個骰子出現偶數點的機率是

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

，所以

p_{4} = C_{1}^{2} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

。通分成

p_{1} = \frac{8}{16}

，

p_{2} = \frac{6}{16}

，

p_{3} = \frac{5}{16}

，

p_{4} = \frac{8}{16}

。(1)

\frac{8}{16} > \frac{6}{16}

，對。(2)

\frac{6}{16} > \frac{5}{16}

，對。(3)

\frac{5}{16} < \frac{8}{16}

，錯。(4)

p_{4} = p_{1}

，兩者相等，不是大於，錯。(5)

\frac{8}{16} > \frac{5}{16}

，對。

硬幣愈多，「正反面剛好各半」的機率愈小，不是愈大。

成功機率是二分之一的二項分布左右對稱；比較機率時通分最清楚。

05多選 7、填充 I、J（第 7、16、17 題）：複數的運算

第 7 題答案 (1)(3)。負數的平方根要先寫成

i

的倍數再運算：

- 3 = 3 i

，

- 6 = 6 i

，

- 9 = 3 i

，

- 18 = 32 i

，

- 2 = 2 i

。

a = (3 i)^{2} = 3 i^{2} = - 3

。

b = 6 i \times \frac{3 i}{2} = \frac{18}{2} i^{2} = 3 \times (- 1) = - 3

。

c = \frac{27}{3 i} = \frac{3}{i} = \frac{3 i}{i ^{2}} = - 3 i

。

d = 3 i

。

e = \frac{3 2 i}{2 i} = 3

。(1)

a = b = - 3

，對。(2)

b = - 3

，

- c = 3 i

，不相等，錯。(3)

c = - 3 i = - d

，對。(4)

d = 3 i

，

- e = - 3

，不相等，錯。(5)

a = - 3

，

e = 3

，不相等，錯。

a \times b = ab

與

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

在根號裡出現負數時不一定成立。例如

c

若直接寫成

\frac{27}{- 3} = - 9 = 3 i

就差了一個負號。

第 16 題答案

- 1

。

i

的次方每四個一循環：

i, - 1, - i, 1

，而且連續四項的和是

i - 1 - i + 1 = 0

。從

i^{21}

到

i^{99}

共

99 - 21 + 1 = 79

項，

79 = 4 \times 19 + 3

。把後面的

76

項（

i^{24}

到

i^{99}

）每四項一組，共

19

組，每組的和都是

0

。剩下前三項：

21

除以

4

餘

1

，所以

i^{21} = i

，

i^{22} = - 1

，

i^{23} = - i

，和是

i - 1 - i = - 1

。因此所求為

- 1

。

項數是

99 - 21 + 1 = 79

，不是

78

；先數對項數，再看剩下哪幾項。

第 17 題答案

\frac{1}{4}

。分子分母同乘分母的共軛複數

1 + 2 i

：分母是

(1 - 2 i) (1 + 2 i) = 1 + 4 = 5

，分子是

(2 a - i) (1 + 2 i) = 2 a + 4 ai - i - 2 i^{2} = (2 a + 2) + (4 a - 1) i

。所以

z = \frac{2 a + 2}{5} + \frac{4 a - 1}{5} i

。

a

是實數，虛部是

\frac{4 a - 1}{5}

，令它等於

0

得

a = \frac{1}{4}

。

這時

z = \frac{2 \times \frac{1}{4} + 2}{5} = \frac{1}{2}

，是一個實數。

負數開根號先換成 i 再算；i 的次方四個一循環；除法乘上分母的共軛複數。

06填充 A、B（第 8、9 題）：取出白球個數的期望值與變異數

第 8 題答案

\frac{6}{5}

。從

5

顆球取出

3

顆，共

C_{3}^{5} = 10

種取法。設取出的白球個數為

X

，白球只有

2

顆，

X

可以是

0, 1, 2

。

P (X = 0) = \frac{C _{3}^{3}}{10} = \frac{1}{10}

；

P (X = 1) = \frac{C _{1}^{2} C _{2}^{3}}{10} = \frac{6}{10}

；

P (X = 2) = \frac{C _{2}^{2} C _{1}^{3}}{10} = \frac{3}{10}

。期望值

E (X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}

顆。

三個機率相加是

1

，可以用來檢查。卷面只寫「取出

3

球」，沒有印取後是否放回；本頁依一次取出

3

球（取後不放回）作答，判讀的依據見下一題的說明。不放回時各次之間不獨立，不是二項分布。

第 9 題答案

\frac{9}{25}

。沿用上一題的分布：

E (X^{2}) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 4 \times \frac{3}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}

。變異數是

E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \frac{9}{5} - (\frac{6}{5})^{2} = \frac{45}{25} - \frac{36}{25} = \frac{9}{25}

。

卷面沒有印取後是否放回。這一題的作答格是分子一位數、分母兩位數：不放回的

\frac{9}{25}

填得進去；取後放回時白球個數是二項分布

B (3, \frac{2}{5})

，變異數是

\frac{18}{25}

，分子兩位數，填不進去。所以依不放回作答。

不放回的取球先列出機率分布表，再照定義算期望值與變異數。

07填充 C、D（第 10、11 題）：得分的期望值、一次變換後的標準差

第 10 題答案

\frac{17}{4}

。

A

、

B

兩個選項已經答對，得分只看

C

、

D

、

E

三個選項猜錯幾個。每個選項只有「選」與「不選」兩種作答，用猜的時候答對與答錯的機率各是

\frac{1}{2}

，三個選項互不影響，所以答錯的個數

X

是二項分布

B (3, \frac{1}{2})

：

P (X = 0) = \frac{1}{8}

，

P (X = 1) = \frac{3}{8}

，

P (X = 2) = \frac{3}{8}

，

P (X = 3) = \frac{1}{8}

。對應的得分依序是

10

、

6

、

2

、

0

分。期望值是

10 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{1}{8} = \frac{10 + 18 + 6}{8} = \frac{34}{8} = \frac{17}{4}

分。

不管每個選項的正確作答是「選」還是「不選」，猜對的機率都是

\frac{1}{2}

，所以不必知道正確答案是哪幾個。

第 11 題答案

156

。設原本抽一次的獎額為

X

元，慶祝活動中的獎額是

Y = 1.3 X + 100

元。每個值都加上同一個數，離散的程度不變；每個值都乘以

1.3

，標準差也乘以

1.3

。所以

Y

的標準差是

1.3 \times 120 = 156

元。

期望值會變成

1.3 \times 250 + 100 = 425

元，加上的

100

元只影響期望值、不影響標準差。題目給的期望值

250

元在求標準差時用不到。

隨機變數乘以一個數再加一個數：期望值照樣乘、照樣加，標準差只乘那個數的絕對值。

08填充 E、F（第 12、13 題）：連續整數的機率與二項分布的標準差

第 12 題答案

\frac{1}{9}

。把三粒骰子看成不同的骰子，共

6^{3} = 216

種結果，機會均等。三個點數是連續整數的組合有

{1, 2, 3}

、

{2, 3, 4}

、

{3, 4, 5}

、

{4, 5, 6}

共

4

組；每一組的三個點數分配給三粒骰子有

3! = 6

種，所以事件

A

有

4 \times 6 = 24

種結果。機率是

\frac{24}{216} = \frac{1}{9}

。

三個點數要都不相同才可能連續；不要漏掉同一組點數分給三粒骰子的

6

種排法。

第 13 題答案

8

。每次試驗事件

A

發生的機率是上一題的

\frac{1}{9}

，各次獨立，所以

X

是二項分布

B (648, \frac{1}{9})

。變異數是

648 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{9} = 72 \times \frac{8}{9} = 64

，標準差是

64 = 8

次。

期望值是

648 \times \frac{1}{9} = 72

次。標準差要記得開根號。

先算出單次試驗成功的機率，重複獨立試驗的成功次數就是二項分布。

09填充 G、H（第 14、15 題）：直到成功為止的次數、被誤判的機率

第 14 題答案

\frac{27}{256}

。每次取出後放回，所以每一次取到紅球的機率都是

\frac{2}{8} = \frac{1}{4}

，取到白球的機率都是

\frac{3}{4}

，各次獨立。

X = 4

表示前

3

次都取到白球、第

4

次取到紅球，機率是

(\frac{3}{4})^{3} \times \frac{1}{4} = \frac{27}{64} \times \frac{1}{4} = \frac{27}{256}

。

這是幾何分布：第

k

次才第一次成功的機率是「前

k - 1

次都失敗」乘「第

k

次成功」，前面的失敗只有一種順序，不必再乘組合數。

第 15 題答案

\frac{11}{32}

。硬幣公正時，投擲

6

次出現正面的次數

X

是二項分布

B (6, \frac{1}{2})

，

P (X = k) = \frac{C _{k}^{6}}{64}

。「出現正面

4

次以上」包含

4

、

5

、

6

次，被判定為非公正的機率是

P (X \geq 4) = \frac{C _{4}^{6} + C _{5}^{6} + C _{6}^{6}}{64} = \frac{15 + 6 + 1}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}

。

「

4

次以上」包含

4

次。照這個判定方式，一枚公正的硬幣有大約三分之一的機會被誤判。

直到第一次成功為止用幾何分布；固定次數裡成功幾次用二項分布，把符合條件的幾項加起來。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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02多選 3：二項分布的期望值、標準差與機率最大的次數

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