段考詳解範圍：指數與對數函數（指數與指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

蘭陽女中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 蘭陽女中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 蘭陽女中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 10 題要先認出虛線與實線各是哪個函數，再取一個特定的 x 代入比較；多選第 8 題 (5) 的底數是負數，式子沒有意義；選填 D(1)（第 14 題）的個位數字要看次方的循環，學校答案印 9，本站計算為 1；單選第 6 題要注意以 a 為底 b 的對數也可能是負的。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

原卷未印配分。單選題 7 題、多選題 3 題、選填題 A～D、基本運算 E～H。本頁第 11～13 題為選填 A～C，第 14～16 題為選填 D 的三小題，第 17～20 題為基本運算 E～H。答案已與學校公布的答案逐題核對，1 題不同（第 14 題：學校答案印 9，本站計算為 1，見詳解）。

一、單選題：

若

π

表示圓周率，下列選項中的值，何者最小？

(1) $2^{0}$
(2) $2^{- 1}$
(3) $2^{- \frac{π}{3}}$
(4) $3^{- \frac{π}{3}}$
(5) $3^{- 2}$

若已知

2^{x} + 2^{- x} = a

、

3^{x} + 3^{- x} = b

、

6^{x} + 6^{- x} = c

，則

(\frac{2}{3})^{x} + (\frac{2}{3})^{- x} =

(1) $\frac{ab}{c}$
(2) $\frac{c}{ab}$
(3) $a + b - c$
(4) $c - ab$
(5) $ab - c$

若已知

lo g 2 = 0.3010

、

lo g 3 = 0.4771

，則下列選項對

lo g_{3} 5

範圍的敘述，哪個選項正確？

(1) $0.6 < lo g_{3} 5 < 0.7$
(2) $0.7 < lo g_{3} 5 < 0.8$
(3) $1.3 < lo g_{3} 5 < 1.4$
(4) $1.4 < lo g_{3} 5 < 1.5$
(5) $1.5 < lo g_{3} 5 < 1.6$

已知

lo g_{2} 11 = a

、

lo g_{11} 13 = b

，若

4^{x} = 13

，則

x =

(1) $2 (a + b)$
(2) $\frac{a}{2} + b$
(3) $2 ab$
(4) $ab$
(5) $\frac{ab}{2}$

銀行在做帳務的審計時通常會利用「班佛法則」來查帳，而「班佛法則」是說「銀行存款的最高位數字是

a

的比例大約是

lo g (1 + \frac{1}{a})

」。若根據「班佛法則」，銀行存款最高位數字超過

5

的比例大約是多少？

(1) $20%$
(2) $30%$
(3) $40%$
(4) $50%$
(5) $60%$

有兩個不是

1

的正數

a

與

b

，若已知

lo g_{a} b

是

lo g_{b} a

的

\frac{49}{25}

倍，下列選項何者是

a

與

b

的關係式？

(1) $a^{5} = b^{7}$
(2) $a^{7} = b^{5}$
(3) $a^{25} = b^{49}$
(4) $7 a = 5 b$
(5) $5 a = 7 b$

已知放射性物質碘

131

半衰期是

8

天，某機構中一含碘

131

的試驗藥劑移入實驗室時測得其含有的碘

131

濃度是每公斤

1600

貝克，經過

28

天後在測的濃度值若為每公斤

P

貝克，則下列關於

P

範圍的敘述，何者正確？

(1) $75 < P < 100$
(2) $100 < P < 150$
(3) $150 < P < 200$
(4) $200 < P < 300$
(5) $300 < P < 400$

二、多選題：

下列關於指數函數及對數函數圖形的敘述，那些正確？

(1) $y = lo g_{a} x$ 的圖形必過點 $(0, 1)$
(2) $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 的圖形對稱於直線 $x - y = 0$
(3) 若點 $(p, q)$ 在 $y = lo g_{a} x$ 的圖形上，則點 $(a p, q + 1)$ 也會在這個圖形上
(4) 若點 $(p, q)$ 在 $y = a^{x}$ 的圖形上，則點 $(p + 2, q^{2})$ 也會在這個圖形上
(5) 若點 $(p, q)$ 在 $y = lo g_{a} x$ 的圖形上，則點 $(- p, - q)$ 會在 $y = lo g_{- a} (- x)$ 的圖形上

下列哪些選項正確？

(1) $lo g_{- 2} 4 = 2$
(2) $lo g_{5} 0 = 1$
(3) $lo g_{π} 1 = π$
(4) $4^{l o g_{2} 3} = 9$
(5) $lo g_{2} 3 + 1 = lo g_{2} 6$

下列各選項的指數或對數函數圖形中，哪些選項圖形中的

a

與

b

符合

a > b

？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

三、選填題：

（選填 A）解方程式

2^{x + 2} + 2^{x + 3} + 2^{x + 4} + 2^{x + 5} = 15

，

x =

____。

（選填 B）若解方程式

a^{∣ x ∣} = 2 + x

，得唯一實數解

x = - \frac{3}{2}

，則

a = 2^{t}

，問

t =

____。

（選填 C）滿足不等式

(5^{x} - 5) (3^{x} - 81) (4^{x} - 160 \times 2^{x} + 4096) \leq 0

的所有

x

值中，整數有幾個？答：____。

選填 D（第 14～16 題）（第 14～16 題）　已知

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 11 \approx 1.0414

、

lo g 13 \approx 1.1139

，請完成下列個小題：

（選填 D）(1)

1 1^{10} \times 1 3^{20}

的個位數字為 ____。

（選填 D）(2)

1 1^{10} \times 1 3^{20}

是個

m

位數字，最高位數字為

n

，則

(m, n) =

____。

（選填 D）(3)

1 3^{- 20}

小數後第 ____ 位開始出現不為

0

的數。

四、基本運算：

（E）

lo g 125 + lo g 48 - lo g 6 =

____。

（F）

4 lo g_{6} 12 + 2 lo g_{6} 3 - lo g_{6} \frac{2}{3} =

____。

（G）

lo g_{5} 125 + lo g_{4} \frac{1}{2} - lo g_{3} 39 =

____。

（H）

3 lo g_{2} (8 - 215) + 6 lo g_{2} (5 + 3) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(5)

第 3 題(4)

第 4 題(5)

第 5 題(1)

第 6 題(2)

第 7 題(2)

第 8 題(2)(3)

第 9 題(4)(5)

第 10 題(1)(4)

第 11 題

- 2

第 12 題

- \frac{2}{3}

第 13 題

7

第 14 題

1

（學校答案印

9

）

第 15 題

(33, 4)

第 16 題

23

第 17 題

3

第 18 題

7

第 19 題

\frac{11}{6}

第 20 題

6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～2 題）：比較大小、兩式相乘

第 1 題

答案 (5)。

(1) $2^{0} = 1$ ；(2) $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ 。

(3) 因為 $π > 3$ ， $\frac{π}{3} > 1$ ；底數 $2 > 1$ ，指數愈小值愈小， $- \frac{π}{3} < - 1$ ，所以 $2^{- \frac{π}{3}} < 2^{- 1}$ 。

(4) 指數同為負數 $- \frac{π}{3}$ 時， $3^{- \frac{π}{3}} = \frac{1}{3 ^{\frac{π}{3}}}$ ，而 $3^{\frac{π}{3}} > 2^{\frac{π}{3}}$ ，所以 $3^{- \frac{π}{3}} < 2^{- \frac{π}{3}}$ 。

(5) $2 \approx 1.414$ ， $\frac{π}{3} \approx 1.047$ ，所以 $- 2 < - \frac{π}{3}$ ；底數 $3 > 1$ ，得 $3^{- 2} < 3^{- \frac{π}{3}}$ 。

綜合： $3^{- 2} < 3^{- \frac{π}{3}} < 2^{- \frac{π}{3}} < 2^{- 1} < 2^{0}$ ，最小的是 (5)。

同底數比指數，同指數比底數；兩個都不同時，找一個中間的數當橋梁，例如這裡的

3^{- \frac{π}{3}}

。

第 2 題

答案 (5)。把前兩式相乘：

$ab = (2^{x} + 2^{- x}) (3^{x} + 3^{- x}) = 6^{x} + 2^{x} \cdot 3^{- x} + 2^{- x} \cdot 3^{x} + 6^{- x}$

其中 $2^{x} \cdot 3^{- x} = (\frac{2}{3})^{x}$ 、 $2^{- x} \cdot 3^{x} = (\frac{2}{3})^{- x}$ ，所以 $ab = c + (\frac{2}{3})^{x} + (\frac{2}{3})^{- x}$ ，所求 $= ab - c$ 。

檢查：取

x = 0

，

a = b = c = 2

，所求

= 1 + 1 = 2

，而

ab - c = 4 - 2 = 2

。

02單選題（第 3～7 題）：換底公式、班佛法則、半衰期

第 3 題

答案 (4)。 $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 = 0.6990$ ，由換底公式

$lo g_{3} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 3} = \frac{0.6990}{0.4771} \approx 1.465$

所以 $1.4 < lo g_{3} 5 < 1.5$ 。

不必除得很準：

0.4771 \times 1.4 \approx 0.668 < 0.6990

，

0.4771 \times 1.5 \approx 0.716 > 0.6990

，就知道落在

1.4

與

1.5

之間。

第 4 題答案 (5)。

4^{x} = 13

，所以

x = lo g_{4} 13 = \frac{lo g _{2} 13}{lo g _{2} 4} = \frac{lo g _{2} 13}{2}

。又由換底公式

lo g_{2} 13 = lo g_{2} 11 \cdot lo g_{11} 13 = ab

，所以

x = \frac{ab}{2}

。

lo g_{2} 11 \cdot lo g_{11} 13 = \frac{lo g 11}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 13}{lo g 11} = \frac{lo g 13}{lo g 2} = lo g_{2} 13

，中間的

lo g 11

約掉。

第 5 題

答案 (1)。最高位數字超過 $5$ 就是 $6$ 、 $7$ 、 $8$ 、 $9$ ，比例相加：

$lo g \frac{7}{6} + lo g \frac{8}{7} + lo g \frac{9}{8} + lo g \frac{10}{9} = lo g \frac{10}{6} = 1 - lo g 6$

$lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$ ，所以比例約為 $1 - 0.7781 = 0.2219$ ，大約是 $20%$ 。

lo g (1 + \frac{1}{a}) = lo g \frac{a + 1}{a}

，連加時分子分母一路約掉，只剩

lo g \frac{10}{6}

。

第 6 題

答案 (2)。令 $t = lo g_{a} b$ ，則 $lo g_{b} a = \frac{1}{t}$ 。由題意 $t = \frac{49}{25} \cdot \frac{1}{t}$ ， $t^{2} = \frac{49}{25}$ ， $t = \frac{7}{5}$ 或 $t = - \frac{7}{5}$ 。

當 $t = \frac{7}{5}$ ： $b = a^{\frac{7}{5}}$ ，兩邊五次方得 $b^{5} = a^{7}$ ，就是選項 (2) $a^{7} = b^{5}$ 。

當 $t = - \frac{7}{5}$ ： $b = a^{- \frac{7}{5}}$ ，得 $a^{7} b^{5} = 1$ ，不在選項中。五個選項中只有 (2) 是可能成立的關係式。

嚴格來說

t = - \frac{7}{5}

也符合題意（例如

a = 2

、

b = 2^{- \frac{7}{5}}

），此時

a^{7} = b^{5}

不成立；題目是在選項中挑出符合的關係式，所以選 (2)。

第 7 題

答案 (2)。 $28$ 天是 $\frac{28}{8} = 3.5$ 個半衰期，

$P = 1600 \times (\frac{1}{2})^{3.5} = \frac{1600}{2 ^{3} \cdot 2} = \frac{200}{2} = 1002 \approx 141.4$

所以 $100 < P < 150$ 。

3

個半衰期後剩

200

，

4

個半衰期後剩

100

，

3.5

個介於兩者之間，但不是正中間的

150

，而是

200 \div 2

。

連續幾個比值的對數相加（班佛法則），或連續換底（

lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c

），中間項都會約掉。

03多選題（第 8～10 題）：指數與對數函數的圖形、對數的定義

第 8 題

答案 (2)(3)。以下 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ 。

(1) 錯誤。 $lo g_{a} 1 = 0$ ，圖形必過 $(1, 0)$ ； $x = 0$ 不在定義域內，圖形不會通過 $(0, 1)$ 。

(2) 正確。 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 互為反函數，點 $(s, t)$ 在其中一個圖形上恰好 $(t, s)$ 在另一個圖形上，兩圖形對稱於 $y = x$ ，也就是直線 $x - y = 0$ 。

(3) 正確。 $q = lo g_{a} p$ ，則 $lo g_{a} (a p) = lo g_{a} a + lo g_{a} p = 1 + q$ ，所以 $(a p, q + 1)$ 在圖形上。

(4) 錯誤。 $q = a^{p}$ ，則 $a^{p + 2} = a^{2} \cdot a^{p} = a^{2} q$ ，要等於 $q^{2}$ 必須 $q = a^{2}$ 。例如 $a = 2$ 、 $(p, q) = (0, 1)$ ： $(2, 1)$ 不在 $y = 2^{x}$ 上（ $2^{2} = 4$ ）。

(5) 錯誤。 對數的底數必須是不等於 $1$ 的正數； $a > 0$ 時 $- a < 0$ ， $y = lo g_{- a} (- x)$ 沒有意義，點不會在它的圖形上。

與

y = lo g_{a} x

的圖形對稱於原點的是

y = - lo g_{a} (- x)

，不是把底數變號。

第 9 題

答案 (4)(5)。

(1) 錯誤。 對數的底數必須是不等於 $1$ 的正數， $lo g_{- 2} 4$ 沒有意義（雖然 $(- 2)^{2} = 4$ ）。

(2) 錯誤。 真數必須大於 $0$ ， $lo g_{5} 0$ 沒有意義；而且 $5^{1} = 5 \neq = 0$ 。

(3) 錯誤。 $π^{0} = 1$ ，所以 $lo g_{π} 1 = 0$ ，不是 $π$ 。

(4) 正確。 $4^{l o g_{2} 3} = (2^{2})^{l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{2} = 3^{2} = 9$ 。

(5) 正確。 $lo g_{2} 3 + 1 = lo g_{2} 3 + lo g_{2} 2 = lo g_{2} (3 \times 2) = lo g_{2} 6$ 。

a^{l o g_{a} b} = b

是對數的定義本身；底數不是

a

時，先把底數改寫成

a

的次方。

第 10 題

答案 (1)(4)。各圖中實線與虛線的配置照原卷。

(1) 正確。 兩個圖形都遞增，底數都大於 $1$ 。 $x > 0$ 時虛線 $y = a^{x}$ 在實線 $y = b^{x}$ 上方，即 $a^{x} > b^{x}$ ；正數次方保持大小，所以 $a > b$ 。

(2) 錯誤。 兩個圖形都遞減， $0 < a < 1$ 、 $0 < b < 1$ 。 $x < 0$ 時虛線 $y = a^{x}$ 在實線 $y = b^{x}$ 上方：例如 $x = - 1$ ， $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，所以 $a < b$ 。

(3) 錯誤。 兩個圖形都遞增，底數都大於 $1$ 。 $x > 1$ 時實線 $y = lo g_{a} x$ 在虛線 $y = lo g_{b} x$ 上方。取 $x = 10$ ： $lo g_{a} 10 = \frac{1}{lo g a} > \frac{1}{lo g b} = lo g_{b} 10 > 0$ ，所以 $lo g a < lo g b$ ， $a < b$ 。

(4) 正確。 $x > 1$ 時 $lo g x > 0$ ，實線 $y = a lo g x$ 在虛線 $y = b lo g x$ 上方，即 $a lo g x > b lo g x$ ，兩邊除以正數 $lo g x$ 得 $a > b$ 。

(5) 錯誤。 兩個圖形都遞減， $0 < a < 1$ 、 $0 < b < 1$ 。 $x > 1$ 時虛線 $y = lo g_{a} x$ 在實線 $y = lo g_{b} x$ 上方。取 $x = 10$ ： $\frac{1}{lo g a} > \frac{1}{lo g b}$ ，兩邊都是負數，所以 $lo g a < lo g b$ ， $a < b$ 。

底數大於

1

的對數函數，

x > 1

時底數愈小圖形愈高；底數介於

0

與

1

之間時，

x > 1

時底數愈小圖形愈靠近

x

軸（愈高）。比較時取一個特定的

x

代進去最穩。

對數的底數要是不等於

1

的正數、真數要是正數；看到負的底數或

0

的真數，那一項就沒有意義。

04選填題（第 11～13 題，卷面 A～C）：指數方程式與不等式

第 11 題提出公因式

2^{x + 2}

：

2^{x + 2} (1 + 2 + 4 + 8) = 15

，即

15 \cdot 2^{x + 2} = 15

，

2^{x + 2} = 1 = 2^{0}

，所以

x + 2 = 0

，

x = - 2

。

兩格依序填「

-

」與

2

。

第 12 題

x = - \frac{3}{2}

是解，代入：

a^{∣ - \frac{3}{2} ∣} = 2 - \frac{3}{2}

，即

a^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} = 2^{- 1}

。兩邊

\frac{2}{3}

次方：

a = (2^{- 1})^{\frac{2}{3}} = 2^{- \frac{2}{3}}

，所以

t = - \frac{2}{3}

。

檢查：

a = 2^{- \frac{2}{3}}

時

a^{\frac{3}{2}} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

，而

2 + x = \frac{1}{2}

，相符。三格依序填「

-

」、

2

、

3

。

第 13 題

逐一看三個因式的正負：

$5^{x} - 5$ ： $x > 1$ 時為正， $x = 1$ 時為 $0$ ， $x < 1$ 時為負。

$3^{x} - 81 = 3^{x} - 3^{4}$ ： $x > 4$ 時為正， $x = 4$ 時為 $0$ ， $x < 4$ 時為負。

令 $u = 2^{x} > 0$ ， $4^{x} - 160 \times 2^{x} + 4096 = u^{2} - 160 u + 4096 = (u - 32) (u - 128) = (2^{x} - 2^{5}) (2^{x} - 2^{7})$ ： $5 < x < 7$ 時為負， $x = 5$ 或 $x = 7$ 時為 $0$ ，其餘為正。

所以三個因式的乘積與 $(x - 1) (x - 4) (x - 5) (x - 7)$ 同號，乘積 $\leq 0$ 的解為 $1 \leq x \leq 4$ 或 $5 \leq x \leq 7$ 。其中的整數為 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ，共 $7$ 個。

32 \times 128 = 4096

、

32 + 128 = 160

。底數大於

1

時

b^{x} - b^{k}

與

x - k

同號，可以把每個因式換成一次式來判斷正負。

05選填題（第 14～16 題，卷面 D）：個位數字、位數、首位數字、小數後第幾位

第 14 題

個位數字只看每個因數的個位數字。 $1 1^{10}$ 的個位數字是 $1$ 。 $1 3^{20}$ 的個位數字與 $3^{20}$ 相同： $3$ 的次方個位數字依 $3, 9, 7, 1$ 循環，週期為 $4$ ， $20$ 是 $4$ 的倍數，所以個位數字是 $1$ 。相乘後個位數字為 $1 \times 1 = 1$ 。

學校答案印 $9$ 。但 $3^{4} = 81$ ， $3^{20} = (3^{4})^{5}$ 的個位數字是 $1$ ， $1 1^{10}$ 的個位數字也是 $1$ ，乘積的個位數字只能是 $1$ ，所以本站答案為 $1$ 。

本題答案欄寫本站計算的

1

，並附註學校答案印

9

。本題不用對數；對數只能看出最前面幾位，看不出個位數字。

第 15 題

$lo g (1 1^{10} \times 1 3^{20}) = 10 lo g 11 + 20 lo g 13 \approx 10.414 + 22.278 = 32.692$ 。首數為 $32$ ，所以是 $33$ 位數， $m = 33$ 。

尾數 $0.692$ ： $lo g 4 = 2 lo g 2 \approx 0.6020$ ， $lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990$ ， $0.6020 < 0.692 < 0.6990$ ，所以最高位數字 $n = 4$ 。 $(m, n) = (33, 4)$ 。

1 1^{10} \times 1 3^{20} = 1 0^{32.692} = 1 0^{32} \times 1 0^{0.692}

，而

4 < 1 0^{0.692} < 5

。

第 16 題

lo g 1 3^{- 20} = - 20 lo g 13 \approx - 22.278 = - 23 + 0.722

。所以

1 3^{- 20} = 1 0^{- 23} \times 1 0^{0.722}

，而

1 < 1 0^{0.722} < 10

，即

1 3^{- 20}

介於

1 0^{- 23}

與

1 0^{- 22}

之間，小數後第

23

位開始出現不為

0

的數。

對數的首數是

- 23

，小數後第

23

位開始不為

0

。

位數看首數、最高位數字看尾數夾在哪兩個

lo g k

之間；個位數字則要看次方的循環，與對數無關。

06基本運算（第 17～20 題，卷面 E～H）：對數律

第 17 題原式

= lo g \frac{125 \times 48}{6} = lo g (125 \times 8) = lo g 1000 = 3

。

第 18 題原式

= lo g_{6} (1 2^{4} \times 3^{2} \div \frac{2}{3}) = lo g_{6} (1 2^{4} \times 9 \times \frac{3}{2})

。

1 2^{4} = 2^{8} \cdot 3^{4}

，所以括號內

= 2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 3^{2} \cdot \frac{3}{2} = 2^{7} \cdot 3^{7} = 6^{7}

，原式

= 7

。

第 19 題

lo g_{5} 125 = lo g_{5} 5^{3} = 3

；

lo g_{4} \frac{1}{2} = lo g_{2^{2}} 2^{- 1} = - \frac{1}{2}

；

lo g_{3} 39 = lo g_{3} 3^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}

。原式

= 3 - \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{18 - 3 - 4}{6} = \frac{11}{6}

。

第 20 題

$8 - 215 = 5 + 3 - 2 5 \times 3 = (5 - 3)^{2}$ ，所以 $3 lo g_{2} (8 - 215) = 6 lo g_{2} (5 - 3)$ 。

原式 $= 6 [lo g_{2} (5 - 3) + lo g_{2} (5 + 3)] = 6 lo g_{2} [(5 - 3) (5 + 3)] = 6 lo g_{2} (5 - 3) = 6 lo g_{2} 2 = 6$ 。

5 - 3 > 0

，所以

lo g_{2} (5 - 3)

有意義。也可以不拆：

(8 - 215) (5 + 3)^{2} = (8 - 215) (8 + 215) = 64 - 60 = 4

，原式

= 3 lo g_{2} 4 = 6

。

a + b - 2 ab = (a - b)^{2}

：雙重根號的式子先湊成完全平方，再和共軛式相乘消去根號。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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常見問題

蘭陽女中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 10 題要先認出虛線與實線各是哪個函數，再取一個特定的 x 代入比較；多選第 8 題 (5) 的底數是負數，式子沒有意義；選填 D(1)（第 14 題）的個位數字要看次方的循環，學校答案印 9，本站計算為 1；單選第 6 題要注意以 a 為底 b 的對數也可能是負的。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 111 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

蘭陽女中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～2 題）：比較大小、兩式相乘

02單選題（第 3～7 題）：換底公式、班佛法則、半衰期

03多選題（第 8～10 題）：指數與對數函數的圖形、對數的定義

04選填題（第 11～13 題，卷面 A～C）：指數方程式與不等式

05選填題（第 14～16 題，卷面 D）：個位數字、位數、首位數字、小數後第幾位

06基本運算（第 17～20 題，卷面 E～H）：對數律

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蘭陽女中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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