段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、常用對數、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

屏東高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

單選題 5 題、多選題 4 題、填充題 A～K（A、E 各有兩小題）、混合題 L（兩小題），共 24 題。原卷未見配分（混合題標題後一段在掃描檔中被塗白）。原卷填充題 A～K 本頁編為第 10～22 題，混合題 L 的 (1)(2) 編為第 23、24 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題

下列何者為

y = lo g x

的圖形？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

關於對數

lo g_{(x - 1)} (- x^{2} + 5 x - 4)

，下列哪一個數使對數有意義？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$

若

2^{\frac{x - 1}{3}} = 512

，則

x =

(1) $19$
(2) $22$
(3) $25$
(4) $28$
(5) $31$

比較

a = (0.7)^{1.5}

，

b = (0.7)^{2}

，

c = (0.7)^{- 1}

的大小關係

(1) $a > b > c$
(2) $c > b > a$
(3) $a > c > b$
(4) $b > a > c$

若正實數

x

、

y

滿足

lo g x = 2.8

、

lo g y = 5.6

，則

lo g (x^{2} + y)

最接近下列哪一個選項的值？（

lo g 2 \approx 0.3010

）

(1) $5.9$
(2) $5.6$
(3) $2.8$
(4) $8.4$
(5) $11.2$

二、多選題

設

0 < a < 1

，關於函數

f (x) = a^{x}

，選出所有正確的選項。

(1) $f (2) > 1$
(2) $f (x)$ 的圖形在 $x$ 軸的上方
(3) 若 $f (x) = f (2)$ ，則 $x = 2$
(4) $f (x)$ 的圖形凹口向上
(5) 若 $α < β$ ，則 $f (α) < f (β)$

下列何者為真？

(1) $lo g_{2} (- 5)^{2} = 2 lo g_{2} (- 5)$
(2) $lo g_{2} (3 \times 5) = (lo g_{2} 3) (lo g_{2} 5)$
(3) $lo g_{2} 8 + lo g_{\frac{1}{2}} 8 = 0$
(4) $lo g_{2} 5^{3} = (lo g_{2} 5)^{3}$
(5) $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$

下列有關函數

y = lo g x

圖形的敘述，請選出所有正確的選項。

(1) 必過點 $(0, 1)$
(2) 恆在 $x$ 軸上方
(3) 與任一水平線均有交點
(4) 圖形凹口向上
(5) 與 $y = - lo g x$ 對稱於 $x$ 軸

指數函數

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

與

y = 2^{x}

的圖形如下圖所示，且

y = c^{x}

與

y = 2^{x}

的圖形對稱於

y

軸。選出所有正確的選項

(1) $a > 2$
(2) $1 < a < 2$
(3) $b = \frac{1}{2}$
(4) $b > c$
(5) $b < c$

載入中...

三、填充題

第 10～11 題為填充 A 的兩小題（第 10～11 題）　求下列各對數的值。

(1)

lo g_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2} =

____。

(2)

lo g_{10} 1000 =

____。

求不等式

lo g (x - 3) < 0

的解為 ____

< x <

____。

已知

lo g_{a} b = 5

，求

lo g_{b} a + lo g_{a} b =

____。

lo g \frac{4}{3} + lo g \frac{105}{2} - lo g 7 =

____。

第 15～16 題為填充 E 的兩小題（第 15～16 題）　解下列各方程式：

(1)

lo g (x + 3) - lo g (x - 1) = lo g 3

，則

x =

____。

(2)

4^{x} - 2^{x} - 2 = 0

，則

x =

____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，若方程式

2^{x} = 5

，則

x =

____。（四捨五入到小數點以下第一位）

設

a = lo g 2

、

b = lo g 3

。試將

lo g 12

用

a

、

b

表示，則

lo g 12 =

____

a +

____

b

求兩函數

y = 9^{x}

與

y = 3^{3 x - 1}

的圖形交點坐標為 ____。

已知一放射性物質重

320

公克，其半衰期為

\frac{1}{3}

秒，求

2

秒後此放射性物質剩下 ____ 公克。

小華在銀行存款

10000

元，已知銀行的年利率是

7%

，如果以一年為一期的複利計算，那麼經過 ____ 年後小華在銀行存款的本利和會超過

20000

元？（

lo g 1.07 \approx 0.0294

，

lo g 2 \approx 0.3010

）

在

\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}

的範圍下，

(\frac{1}{64})^{x}

的最大值

M =

____。

四、混合題

第 23～24 題為混合題 L（第 23～24 題）　pH 值是化學中用以表示液體酸鹼濃度的參考值，公式為

pH = lo g \frac{1}{[ H ^{+} ]}

，其中

[H^{+}]

表示液體的氫離子活度（單位：mol/L），試回答下列問題。

(1) 已知食用醋的 pH 值約為

3

，蘋果汁的 pH 值約為

4

，則食用醋與蘋果汁的氫離子活度比值為何？（單選題）

(1) $\frac{3}{4}$
(2) $\frac{4}{3}$
(3) $1$
(4) $\frac{1}{10}$
(5) $10$

(2) 正常人血液的 pH 值約為

7.4

，若低於

7.35

或高於

7.45

就會有昏迷甚至死亡的危險。若某昏迷病患測得其血液的 pH 值為

7.3

，純水的 pH 值為

7

，則該病患血液與純水的氫離子活度比值約為 ____。（已知

lo g 2 \approx 0.3

）（非選擇題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(3)

第 3 題(4)

第 4 題(2)

第 5 題(1)

第 6 題(2)(3)(4)

第 7 題(3)(5)

第 8 題(3)(5)

第 9 題(2)(4)

第 10 題

\frac{1}{2}

第 11 題

3

第 12 題

3

、

4

（即

3 < x < 4

）

第 13 題

\frac{26}{5}

第 14 題

1

第 15 題

3

第 16 題

1

第 17 題

2.3

第 18 題

2

、

1

（即

lo g 12 = 2 a + b

）

第 19 題

(1, 9)

第 20 題

5

第 21 題

11

第 22 題

\frac{1}{4}

第 23 題(5)

第 24 題

\frac{1}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～5 題：對數函數的圖形、底數與真數條件、指數方程式、比大小、估計對數值

第 1 題答案 (3)。

y = lo g x

只有

x > 0

才有定義，所以圖形全部在

y

軸右側；

lo g 1 = 0

，圖形通過點

(1, 0)

；底數

10 > 1

，

x

越大

y

越大，而且

x

接近

0

時

y

往下無限變小。圖 (3) 在

y

軸右側、由左下往右上、穿過

x

軸正向，符合。圖 (1) 是遞增的指數函數圖形（通過

y

軸上方、左側貼近

x

軸），圖 (2) 是遞減的指數函數圖形，圖 (4) 是遞減的對數函數圖形（底數介於

0

與

1

），圖 (5) 是直線。

y = lo g x

與

y = 1 0^{x}

（圖 (1) 那種形狀）的圖形對稱於直線

y = x

。

第 2 題答案 (3)。對數

lo g_{a} b

有意義要同時滿足：底數

a > 0

且

a \neq = 1

，真數

b > 0

。底數

x - 1 > 0

得

x > 1

，

x - 1 \neq = 1

得

x \neq = 2

。真數

- x^{2} + 5 x - 4 = - (x - 1) (x - 4) > 0

，即

(x - 1) (x - 4) < 0

，得

1 < x < 4

。合起來是

1 < x < 4

且

x \neq = 2

。四個選項中：

x = 1

不在範圍內（底數為

0

）；

x = 2

底數為

1

，不行；

x = 3

底數

2

、真數

- 9 + 15 - 4 = 2 > 0

，可以；

x = 4

真數為

0

，不行。

x = 2

時真數是

2 > 0

，只看真數會以為可以，但底數等於

1

的對數沒有意義。

第 3 題答案 (4)。

512 = 2^{9}

，所以

2^{\frac{x - 1}{3}} = 2^{9}

。指數函數一對一，指數相等：

\frac{x - 1}{3} = 9

，

x - 1 = 27

，

x = 28

。

檢查：

x = 28

時指數是

\frac{27}{3} = 9

，

2^{9} = 512

。

第 4 題答案 (2)。三個數的底數都是

0.7

，而

0 < 0.7 < 1

，指數函數

y = (0.7)^{x}

是遞減的：指數越小，值越大。比較指數：

- 1 < 2 < 1.5

（

2 \approx 1.414

）。所以

(0.7)^{- 1} > (0.7)^{2} > (0.7)^{1.5}

，即

c > b > a

。

c = (0.7)^{- 1} = \frac{10}{7} > 1

，而

a

、

b

的指數是正數，都小於

1

，

c

最大一眼可見。

第 5 題答案 (1)。由

lo g x = 2.8

得

x = 1 0^{2.8}

，所以

x^{2} = 1 0^{5.6}

；由

lo g y = 5.6

得

y = 1 0^{5.6}

。兩者相等，

x^{2} + y = 2 \times 1 0^{5.6}

。

lo g (x^{2} + y) = lo g 2 + lo g 1 0^{5.6} \approx 0.3010 + 5.6 = 5.901

，最接近

5.9

。

lo g (x^{2} + y)

不能拆成

lo g x^{2} + lo g y

（那是

lo g (x^{2} y)

的值

11.2

），也不是

2.8 \times 2 = 5.6

。

對數要同時檢查底數（正且不等於

1

）與真數（正）；同底數比大小，底數小於

1

時指數越小值越大。

02多選第 6～9 題：指數函數與對數函數的性質、對數律、由圖形比較底數

第 6 題

答案 (2)(3)(4)。 $0 < a < 1$ 時 $f (x) = a^{x}$ 是遞減函數，圖形通過 $(0, 1)$ 。

(1) 錯誤。 $f (2) = a^{2}$ ，因為 $0 < a < 1$ ，所以 $0 < a^{2} < 1$ ， $f (2) < 1$ 。

(2) 正確。 正數的任何次方都是正數， $a^{x} > 0$ ，圖形全部在 $x$ 軸上方。

(3) 正確。 $f$ 是遞減函數，不同的 $x$ 對應不同的函數值（一對一），所以 $f (x) = f (2)$ 只能 $x = 2$ 。

(4) 正確。 指數函數的圖形凹口向上：任取兩點 $x_{1} \neq = x_{2}$ ，連線段中點的高度 $\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2}$ 由算幾不等式大於 $a^{x_{1}} a^{x_{2}} = a^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}$ ，也就是弦在圖形上方。

(5) 錯誤。 遞減函數： $α < β$ 時 $f (α) > f (β)$ 。

不論底數大於

1

或介於

0

與

1

，指數函數的圖形都在

x

軸上方、凹口向上；底數只決定遞增或遞減。

第 7 題

答案 (3)(5)。

(1) 錯誤。 右邊的 $lo g_{2} (- 5)$ 真數是負數，沒有意義；左邊 $lo g_{2} (- 5)^{2} = lo g_{2} 25$ 有意義，兩邊不相等。

(2) 錯誤。 對數律是 $lo g_{2} (3 \times 5) = lo g_{2} 3 + lo g_{2} 5$ ，是相加不是相乘。例如 $lo g_{2} 3 \approx 1.585$ 、 $lo g_{2} 5 \approx 2.322$ ，和約 $3.907$ ，積約 $3.680$ 。

(3) 正確。 $lo g_{2} 8 = 3$ ； $(\frac{1}{2})^{- 3} = 8$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} 8 = - 3$ 。相加為 $0$ 。

(4) 錯誤。 $lo g_{2} 5^{3} = 3 lo g_{2} 5 \approx 6.97$ ，而 $(lo g_{2} 5)^{3} \approx 12.5$ ，不相等。

(5) 正確。 $lo g_{4} 9 = \frac{lo g 9}{lo g 4} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2} = lo g_{2} 3$ 。

lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} b

的指數只掛在真數上；

(lo g_{a} b)^{n}

是整個對數值的

n

次方，兩者不同。

第 8 題

答案 (3)(5)。 $y = lo g x$ 的定義域是 $x > 0$ ，值域是所有實數，圖形通過 $(1, 0)$ ，遞增。

(1) 錯誤。 $x = 0$ 不在定義域內，圖形不會碰到 $y$ 軸；通過的是 $(1, 0)$ ， $(0, 1)$ 是 $y = 1 0^{x}$ 通過的點。

(2) 錯誤。 $0 < x < 1$ 時 $lo g x < 0$ ，那段圖形在 $x$ 軸下方。

(3) 正確。 對任一水平線 $y = k$ ，取 $x = 1 0^{k}$ 就有 $lo g x = k$ ，所以每條水平線都和圖形相交（而且只交一點）。

(4) 錯誤。 圖形凹口向下：任取兩點 $x_{1} \neq = x_{2}$ （都大於 $0$ ）， $lo g \frac{x _{1} + x _{2}}{2} > lo g x_{1} x_{2} = \frac{lo g x _{1} + lo g x _{2}}{2}$ （算幾不等式，且 $lo g$ 遞增），弦在圖形下方。

(5) 正確。 點 $(p, q)$ 在 $y = lo g x$ 上，即 $q = lo g p$ ，則 $- q = - lo g p$ ，點 $(p, - q)$ 在 $y = - lo g x$ 上；兩圖形對稱於 $x$ 軸。

y = lo g x

與

y = 1 0^{x}

對稱於直線

y = x

，所以兩者的性質互換：一個過

(1, 0)

、一個過

(0, 1)

；一個值域是所有實數、一個定義域是所有實數。

第 9 題

答案 (2)(4)。先求 $c$ ： $y = c^{x}$ 與 $y = 2^{x}$ 對稱於 $y$ 軸，所以 $c^{x} = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}$ 對所有 $x$ 成立， $c = \frac{1}{2}$ 。四條曲線都通過 $(0, 1)$ 。

(1) 錯誤。 由圖， $y = a^{x}$ 是遞增的， $a > 1$ ；在 $y$ 軸右側（例如 $x = 1$ ）， $y = a^{x}$ 在 $y = 2^{x}$ 的下方，所以 $a^{1} < 2^{1}$ ， $a < 2$ 。

(2) 正確。 由 (1) 的討論， $1 < a < 2$ 。

(3) 錯誤。 由圖， $y = b^{x}$ 遞減， $0 < b < 1$ ；在 $y$ 軸左側（例如 $x = - 1$ ）， $y = b^{x}$ 在 $y = c^{x}$ 的下方，所以 $b^{- 1} < c^{- 1} = 2$ ，即 $\frac{1}{b} < 2$ ， $b > \frac{1}{2}$ 。 $b$ 不等於 $\frac{1}{2}$ ；等於 $\frac{1}{2}$ 的是 $c$ 。

(4) 正確。 由 (3)， $b > \frac{1}{2} = c$ 。

(5) 錯誤。 與 (4) 相反。

比較底數時，在

x = 1

這條鉛直線上看高度：

y = a^{x}

在

x = 1

的高度就是

a

。

x > 0

時底數越大圖形越高，

x < 0

時底數越大圖形越低。

指數函數：值恆正、凹口向上、一對一；對數函數：定義域

x > 0

、值域所有實數、凹口向下（底數大於

1

）。比底數就在

x = 1

或

x = - 1

看高度。

03填充 A～D（第 10～14 題）：對數的值、對數不等式、互換底數與真數、對數律化簡

第 10 題

\frac{1}{2} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}

（因為

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

），所以

lo g_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

。卷面答案格是分子 ⑩、分母 ⑪，依序填

1

、

2

。

也可以用換底：

\frac{lo g \frac{1}{2}}{lo g \frac{1}{4}} = \frac{- lo g 2}{- 2 lo g 2} = \frac{1}{2}

。

第 11 題

1000 = 1 0^{3}

，所以

lo g_{10} 1000 = 3

。卷面答案格 ⑫，填

3

。

lo g_{10}

就是常用對數

lo g

。

第 12 題先寫真數條件：

x - 3 > 0

，

x > 3

。

lo g (x - 3) < 0 = lo g 1

，常用對數的底數

10 > 1

，

lo g

遞增，所以

x - 3 < 1

，

x < 4

。合起來

3 < x < 4

。卷面答案格 ⑬、⑭ 依序填

3

、

4

。

只寫

x - 3 < 1

會得到

x < 4

，漏掉真數必須為正的條件。

第 13 題由換底公式，

lo g_{b} a = \frac{lo g a}{lo g b} = \frac{1}{\frac{lo g b}{lo g a}} = \frac{1}{lo g _{a} b} = \frac{1}{5}

。所以

lo g_{b} a + lo g_{a} b = \frac{1}{5} + 5 = \frac{26}{5}

。卷面答案格是分子 ⑮⑯、分母 ⑰，依序填

2

、

6

、

5

。

lo g_{a} b

與

lo g_{b} a

互為倒數。

第 14 題用對數律合併：

lo g \frac{4}{3} + lo g \frac{105}{2} - lo g 7 = lo g (\frac{4}{3} \times \frac{105}{2} \div 7) = lo g \frac{4 \times 105}{3 \times 2 \times 7} = lo g \frac{420}{42} = lo g 10 = 1

。卷面答案格 ⑱，填

1

。

105 = 3 \times 5 \times 7

，約分後剩

\frac{4 \times 5}{2} = 10

。

對數不等式先寫真數條件；

lo g_{a} b

與

lo g_{b} a

互為倒數；同為常用對數的加減直接併成一個

lo g

。

04填充 E～G（第 15～18 題）：對數與指數方程式、用常用對數求指數、用 log2、log3 表示

第 15 題真數條件：

x + 3 > 0

且

x - 1 > 0

，得

x > 1

。原式

lo g \frac{x + 3}{x - 1} = lo g 3

，所以

\frac{x + 3}{x - 1} = 3

，

x + 3 = 3 x - 3

，

x = 3

。

3 > 1

，符合真數條件。卷面答案格 ⑲，填

3

。

檢查：

lo g 6 - lo g 2 = lo g 3

。

第 16 題令

t = 2^{x}

，則

t > 0

，

4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}

。方程式變成

t^{2} - t - 2 = 0

，

(t - 2) (t + 1) = 0

，

t = 2

或

t = - 1

。因為

t = 2^{x} > 0

，

t = - 1

不合。

2^{x} = 2

，

x = 1

。卷面答案格 ⑳，填

1

。

檢查：

4 - 2 - 2 = 0

。

第 17 題兩邊取常用對數：

lo g 2^{x} = lo g 5

，

x lo g 2 = lo g 5

。

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

。所以

x = \frac{lo g 5}{lo g 2} \approx \frac{0.6990}{0.3010} \approx 2.322

，四捨五入到小數點以下第一位是

2.3

。卷面答案格㉑.㉒，依序填

2

、

3

。

檢查範圍：

2^{2} = 4 < 5 < 8 = 2^{3}

，所以

2 < x < 3

。

第 18 題

12 = 2^{2} \times 3

，所以

lo g 12 = lo g 2^{2} + lo g 3 = 2 lo g 2 + lo g 3 = 2 a + b

。卷面答案格㉓、㉔依序填

2

、

1

。

lo g 12 \approx 2 \times 0.3010 + 0.4771 = 1.0791

。

指數方程式出現

4^{x}

與

2^{x}

時令

t = 2^{x}

，記得

t > 0

；求

2^{x} = 5

的近似值就兩邊取常用對數。

05填充 H～K（第 19～22 題）：圖形交點、半衰期、複利、指數函數的最大值

第 19 題交點滿足

9^{x} = 3^{3 x - 1}

。

9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x}

，所以

3^{2 x} = 3^{3 x - 1}

，

2 x = 3 x - 1

，

x = 1

。代回

y = 9^{1} = 9

。交點坐標為

(1, 9)

。卷面答案格㉕、㉖依序填

1

、

9

。

檢查：

3^{3 - 1} = 9

。

第 20 題半衰期

\frac{1}{3}

秒，表示每過

\frac{1}{3}

秒重量變成一半。

2

秒內經過

2 \div \frac{1}{3} = 6

個半衰期，剩下

320 \times (\frac{1}{2})^{6} = \frac{320}{64} = 5

公克。卷面答案格㉗，填

5

。

t

秒後剩下

320 \times (\frac{1}{2})^{3 t}

公克，

t = 2

時指數是

6

。

第 21 題以一年為一期的複利，

n

年後本利和是

10000 \times 1.0 7^{n}

元。要超過

20000

元：

10000 \times 1.0 7^{n} > 20000

，

1.0 7^{n} > 2

。兩邊取常用對數（

lo g

遞增，不等號方向不變）：

n lo g 1.07 > lo g 2

，

n > \frac{0.3010}{0.0294} \approx 10.24

。

n

是整數年，所以要經過

11

年。卷面答案格㉘㉙，依序填

1

、

1

。

10

年後

1.0 7^{10}

約

1.97

，還沒超過

2

倍；

11

年後約

2.10

，超過了。

第 22 題

(\frac{1}{64})^{x}

的底數介於

0

與

1

，是遞減函數，

x

越小值越大。在

\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}

中，

x = \frac{1}{3}

時最大：

M = (\frac{1}{64})^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3 64} = \frac{1}{4}

。卷面答案格是分子㉚、分母㉛，依序填

1

、

4

。

x = \frac{1}{2}

時是最小值

\frac{1}{8}

。

複利翻倍求年數：列出

1.0 7^{n} > 2

，取對數後除開，再取下一個整數。遞減的指數函數在區間的左端點取最大值。

06混合題 L（第 23、24 題）：由 pH 值求氫離子活度的比值

第 23 題答案 (5)。由

pH = lo g \frac{1}{[ H ^{+} ]} = - lo g [H^{+}]

，得

[H^{+}] = 1 0^{- pH}

。食用醋

[H^{+}] = 1 0^{- 3}

，蘋果汁

[H^{+}] = 1 0^{- 4}

，比值

\frac{1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 4}} = 1 0^{1} = 10

。卷面答案格㉜。

pH 值少

1

，氫離子活度是

10

倍；醋比蘋果汁酸。

第 24 題病患血液

[H^{+}] = 1 0^{- 7.3}

，純水

[H^{+}] = 1 0^{- 7}

。比值

\frac{1 0 ^{- 7.3}}{1 0 ^{- 7}} = 1 0^{- 0.3} = \frac{1}{1 0 ^{0.3}}

。由

lo g 2 \approx 0.3

得

1 0^{0.3} \approx 2

，所以比值約為

\frac{1}{2}

。卷面答案格是分子㉝、分母㉞，依序填

1

、

2

。

pH 值大

0.3

，氫離子活度約是一半。病患的

7.3

低於

7.35

，比正常血液酸，但仍比純水鹼。

pH = - lo g [H^{+}]

：兩種液體 pH 差

d

，氫離子活度的比就是

1 0^{d}

（pH 小的那個較大）。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

屏東高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題對數的底數與真數各有條件，底數不可以等於 1，所以 x 等於 2 不行；第 5 題 x 平方與 y 剛好相等，相加變成 2 倍，要用 log2 補上；第 9 題要先由對稱於 y 軸得到 c 是二分之一，再比較 y 軸左側兩條曲線的高低；第 12 題 log(x－3) 小於 0 要同時寫出真數大於 0；第 21 題算出 n 大於 10.2 之後要取下一個整數年。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、常用對數、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

屏東高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、單選題

下列何者為

y = lo g x

的圖形？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

關於對數

lo g_{(x - 1)} (- x^{2} + 5 x - 4)

，下列哪一個數使對數有意義？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$

若

2^{\frac{x - 1}{3}} = 512

，則

x =

(1) $19$
(2) $22$
(3) $25$
(4) $28$
(5) $31$

比較

a = (0.7)^{1.5}

，

b = (0.7)^{2}

，

c = (0.7)^{- 1}

的大小關係

(1) $a > b > c$
(2) $c > b > a$
(3) $a > c > b$
(4) $b > a > c$

若正實數

x

、

y

滿足

lo g x = 2.8

、

lo g y = 5.6

，則

lo g (x^{2} + y)

最接近下列哪一個選項的值？（

lo g 2 \approx 0.3010

）

(1) $5.9$
(2) $5.6$
(3) $2.8$
(4) $8.4$
(5) $11.2$

二、多選題

設

0 < a < 1

，關於函數

f (x) = a^{x}

，選出所有正確的選項。

(1) $f (2) > 1$
(2) $f (x)$ 的圖形在 $x$ 軸的上方
(3) 若 $f (x) = f (2)$ ，則 $x = 2$
(4) $f (x)$ 的圖形凹口向上
(5) 若 $α < β$ ，則 $f (α) < f (β)$

下列何者為真？

(1) $lo g_{2} (- 5)^{2} = 2 lo g_{2} (- 5)$
(2) $lo g_{2} (3 \times 5) = (lo g_{2} 3) (lo g_{2} 5)$
(3) $lo g_{2} 8 + lo g_{\frac{1}{2}} 8 = 0$
(4) $lo g_{2} 5^{3} = (lo g_{2} 5)^{3}$
(5) $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$

下列有關函數

y = lo g x

圖形的敘述，請選出所有正確的選項。

(1) 必過點 $(0, 1)$
(2) 恆在 $x$ 軸上方
(3) 與任一水平線均有交點
(4) 圖形凹口向上
(5) 與 $y = - lo g x$ 對稱於 $x$ 軸

指數函數

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

與

y = 2^{x}

的圖形如下圖所示，且

y = c^{x}

與

y = 2^{x}

的圖形對稱於

y

軸。選出所有正確的選項

(1) $a > 2$
(2) $1 < a < 2$
(3) $b = \frac{1}{2}$
(4) $b > c$
(5) $b < c$

載入中...

三、填充題

第 10～11 題為填充 A 的兩小題（第 10～11 題）　求下列各對數的值。

(1)

lo g_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2} =

____。

(2)

lo g_{10} 1000 =

____。

求不等式

lo g (x - 3) < 0

的解為 ____

< x <

____。

已知

lo g_{a} b = 5

，求

lo g_{b} a + lo g_{a} b =

____。

lo g \frac{4}{3} + lo g \frac{105}{2} - lo g 7 =

____。

第 15～16 題為填充 E 的兩小題（第 15～16 題）　解下列各方程式：

(1)

lo g (x + 3) - lo g (x - 1) = lo g 3

，則

x =

____。

(2)

4^{x} - 2^{x} - 2 = 0

，則

x =

____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，若方程式

2^{x} = 5

，則

x =

____。（四捨五入到小數點以下第一位）

設

a = lo g 2

、

b = lo g 3

。試將

lo g 12

用

a

、

b

表示，則

lo g 12 =

____

a +

____

b

求兩函數

y = 9^{x}

與

y = 3^{3 x - 1}

的圖形交點坐標為 ____。

已知一放射性物質重

320

公克，其半衰期為

\frac{1}{3}

秒，求

2

秒後此放射性物質剩下 ____ 公克。

小華在銀行存款

10000

元，已知銀行的年利率是

7%

，如果以一年為一期的複利計算，那麼經過 ____ 年後小華在銀行存款的本利和會超過

20000

元？（

lo g 1.07 \approx 0.0294

，

lo g 2 \approx 0.3010

）

在

\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}

的範圍下，

(\frac{1}{64})^{x}

的最大值

M =

____。

四、混合題

第 23～24 題為混合題 L（第 23～24 題）　pH 值是化學中用以表示液體酸鹼濃度的參考值，公式為

pH = lo g \frac{1}{[ H ^{+} ]}

，其中

[H^{+}]

表示液體的氫離子活度（單位：mol/L），試回答下列問題。

(1) 已知食用醋的 pH 值約為

3

，蘋果汁的 pH 值約為

4

，則食用醋與蘋果汁的氫離子活度比值為何？（單選題）

(1) $\frac{3}{4}$
(2) $\frac{4}{3}$
(3) $1$
(4) $\frac{1}{10}$
(5) $10$

(2) 正常人血液的 pH 值約為

7.4

，若低於

7.35

或高於

7.45

就會有昏迷甚至死亡的危險。若某昏迷病患測得其血液的 pH 值為

7.3

，純水的 pH 值為

7

，則該病患血液與純水的氫離子活度比值約為 ____。（已知

lo g 2 \approx 0.3

）（非選擇題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(3)

第 3 題(4)

第 4 題(2)

第 5 題(1)

第 6 題(2)(3)(4)

第 7 題(3)(5)

第 8 題(3)(5)

第 9 題(2)(4)

第 10 題

\frac{1}{2}

第 11 題

3

第 12 題

3

、

4

（即

3 < x < 4

）

第 13 題

\frac{26}{5}

第 14 題

1

第 15 題

3

第 16 題

1

第 17 題

2.3

第 18 題

2

、

1

（即

lo g 12 = 2 a + b

）

第 19 題

(1, 9)

第 20 題

5

第 21 題

11

第 22 題

\frac{1}{4}

第 23 題(5)

第 24 題

\frac{1}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～5 題：對數函數的圖形、底數與真數條件、指數方程式、比大小、估計對數值

第 1 題答案 (3)。

y = lo g x

只有

x > 0

才有定義，所以圖形全部在

y

軸右側；

lo g 1 = 0

，圖形通過點

(1, 0)

；底數

10 > 1

，

x

越大

y

越大，而且

x

接近

0

時

y

往下無限變小。圖 (3) 在

y

軸右側、由左下往右上、穿過

x

軸正向，符合。圖 (1) 是遞增的指數函數圖形（通過

y

軸上方、左側貼近

x

軸），圖 (2) 是遞減的指數函數圖形，圖 (4) 是遞減的對數函數圖形（底數介於

0

與

1

），圖 (5) 是直線。

y = lo g x

與

y = 1 0^{x}

（圖 (1) 那種形狀）的圖形對稱於直線

y = x

。

第 2 題答案 (3)。對數

lo g_{a} b

有意義要同時滿足：底數

a > 0

且

a \neq = 1

，真數

b > 0

。底數

x - 1 > 0

得

x > 1

，

x - 1 \neq = 1

得

x \neq = 2

。真數

- x^{2} + 5 x - 4 = - (x - 1) (x - 4) > 0

，即

(x - 1) (x - 4) < 0

，得

1 < x < 4

。合起來是

1 < x < 4

且

x \neq = 2

。四個選項中：

x = 1

不在範圍內（底數為

0

）；

x = 2

底數為

1

，不行；

x = 3

底數

2

、真數

- 9 + 15 - 4 = 2 > 0

，可以；

x = 4

真數為

0

，不行。

x = 2

時真數是

2 > 0

，只看真數會以為可以，但底數等於

1

的對數沒有意義。

第 3 題答案 (4)。

512 = 2^{9}

，所以

2^{\frac{x - 1}{3}} = 2^{9}

。指數函數一對一，指數相等：

\frac{x - 1}{3} = 9

，

x - 1 = 27

，

x = 28

。

檢查：

x = 28

時指數是

\frac{27}{3} = 9

，

2^{9} = 512

。

第 4 題答案 (2)。三個數的底數都是

0.7

，而

0 < 0.7 < 1

，指數函數

y = (0.7)^{x}

是遞減的：指數越小，值越大。比較指數：

- 1 < 2 < 1.5

（

2 \approx 1.414

）。所以

(0.7)^{- 1} > (0.7)^{2} > (0.7)^{1.5}

，即

c > b > a

。

c = (0.7)^{- 1} = \frac{10}{7} > 1

，而

a

、

b

的指數是正數，都小於

1

，

c

最大一眼可見。

第 5 題答案 (1)。由

lo g x = 2.8

得

x = 1 0^{2.8}

，所以

x^{2} = 1 0^{5.6}

；由

lo g y = 5.6

得

y = 1 0^{5.6}

。兩者相等，

x^{2} + y = 2 \times 1 0^{5.6}

。

lo g (x^{2} + y) = lo g 2 + lo g 1 0^{5.6} \approx 0.3010 + 5.6 = 5.901

，最接近

5.9

。

lo g (x^{2} + y)

不能拆成

lo g x^{2} + lo g y

（那是

lo g (x^{2} y)

的值

11.2

），也不是

2.8 \times 2 = 5.6

。

對數要同時檢查底數（正且不等於

1

）與真數（正）；同底數比大小，底數小於

1

時指數越小值越大。

02多選第 6～9 題：指數函數與對數函數的性質、對數律、由圖形比較底數

第 6 題

答案 (2)(3)(4)。 $0 < a < 1$ 時 $f (x) = a^{x}$ 是遞減函數，圖形通過 $(0, 1)$ 。

(1) 錯誤。 $f (2) = a^{2}$ ，因為 $0 < a < 1$ ，所以 $0 < a^{2} < 1$ ， $f (2) < 1$ 。

(2) 正確。 正數的任何次方都是正數， $a^{x} > 0$ ，圖形全部在 $x$ 軸上方。

(3) 正確。 $f$ 是遞減函數，不同的 $x$ 對應不同的函數值（一對一），所以 $f (x) = f (2)$ 只能 $x = 2$ 。

(5) 錯誤。 遞減函數： $α < β$ 時 $f (α) > f (β)$ 。

不論底數大於

1

或介於

0

與

1

，指數函數的圖形都在

x

軸上方、凹口向上；底數只決定遞增或遞減。

第 7 題

答案 (3)(5)。

(1) 錯誤。 右邊的 $lo g_{2} (- 5)$ 真數是負數，沒有意義；左邊 $lo g_{2} (- 5)^{2} = lo g_{2} 25$ 有意義，兩邊不相等。

(3) 正確。 $lo g_{2} 8 = 3$ ； $(\frac{1}{2})^{- 3} = 8$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} 8 = - 3$ 。相加為 $0$ 。

(4) 錯誤。 $lo g_{2} 5^{3} = 3 lo g_{2} 5 \approx 6.97$ ，而 $(lo g_{2} 5)^{3} \approx 12.5$ ，不相等。

(5) 正確。 $lo g_{4} 9 = \frac{lo g 9}{lo g 4} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2} = lo g_{2} 3$ 。

lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} b

的指數只掛在真數上；

(lo g_{a} b)^{n}

是整個對數值的

n

次方，兩者不同。

第 8 題

答案 (3)(5)。 $y = lo g x$ 的定義域是 $x > 0$ ，值域是所有實數，圖形通過 $(1, 0)$ ，遞增。

(1) 錯誤。 $x = 0$ 不在定義域內，圖形不會碰到 $y$ 軸；通過的是 $(1, 0)$ ， $(0, 1)$ 是 $y = 1 0^{x}$ 通過的點。

(2) 錯誤。 $0 < x < 1$ 時 $lo g x < 0$ ，那段圖形在 $x$ 軸下方。

(3) 正確。 對任一水平線 $y = k$ ，取 $x = 1 0^{k}$ 就有 $lo g x = k$ ，所以每條水平線都和圖形相交（而且只交一點）。

(5) 正確。 點 $(p, q)$ 在 $y = lo g x$ 上，即 $q = lo g p$ ，則 $- q = - lo g p$ ，點 $(p, - q)$ 在 $y = - lo g x$ 上；兩圖形對稱於 $x$ 軸。

y = lo g x

與

y = 1 0^{x}

對稱於直線

y = x

，所以兩者的性質互換：一個過

(1, 0)

、一個過

(0, 1)

；一個值域是所有實數、一個定義域是所有實數。

第 9 題

(1) 錯誤。 由圖， $y = a^{x}$ 是遞增的， $a > 1$ ；在 $y$ 軸右側（例如 $x = 1$ ）， $y = a^{x}$ 在 $y = 2^{x}$ 的下方，所以 $a^{1} < 2^{1}$ ， $a < 2$ 。

(2) 正確。 由 (1) 的討論， $1 < a < 2$ 。

(4) 正確。 由 (3)， $b > \frac{1}{2} = c$ 。

(5) 錯誤。 與 (4) 相反。

比較底數時，在

x = 1

這條鉛直線上看高度：

y = a^{x}

在

x = 1

的高度就是

a

。

x > 0

時底數越大圖形越高，

x < 0

時底數越大圖形越低。

指數函數：值恆正、凹口向上、一對一；對數函數：定義域

x > 0

、值域所有實數、凹口向下（底數大於

1

）。比底數就在

x = 1

或

x = - 1

看高度。

03填充 A～D（第 10～14 題）：對數的值、對數不等式、互換底數與真數、對數律化簡

第 10 題

\frac{1}{2} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}

（因為

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

），所以

lo g_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

。卷面答案格是分子 ⑩、分母 ⑪，依序填

1

、

2

。

也可以用換底：

\frac{lo g \frac{1}{2}}{lo g \frac{1}{4}} = \frac{- lo g 2}{- 2 lo g 2} = \frac{1}{2}

。

第 11 題

1000 = 1 0^{3}

，所以

lo g_{10} 1000 = 3

。卷面答案格 ⑫，填

3

。

lo g_{10}

就是常用對數

lo g

。

第 12 題先寫真數條件：

x - 3 > 0

，

x > 3

。

lo g (x - 3) < 0 = lo g 1

，常用對數的底數

10 > 1

，

lo g

遞增，所以

x - 3 < 1

，

x < 4

。合起來

3 < x < 4

。卷面答案格 ⑬、⑭ 依序填

3

、

4

。

只寫

x - 3 < 1

會得到

x < 4

，漏掉真數必須為正的條件。

第 13 題由換底公式，

lo g_{b} a = \frac{lo g a}{lo g b} = \frac{1}{\frac{lo g b}{lo g a}} = \frac{1}{lo g _{a} b} = \frac{1}{5}

。所以

lo g_{b} a + lo g_{a} b = \frac{1}{5} + 5 = \frac{26}{5}

。卷面答案格是分子 ⑮⑯、分母 ⑰，依序填

2

、

6

、

5

。

lo g_{a} b

與

lo g_{b} a

互為倒數。

第 14 題用對數律合併：

lo g \frac{4}{3} + lo g \frac{105}{2} - lo g 7 = lo g (\frac{4}{3} \times \frac{105}{2} \div 7) = lo g \frac{4 \times 105}{3 \times 2 \times 7} = lo g \frac{420}{42} = lo g 10 = 1

。卷面答案格 ⑱，填

1

。

105 = 3 \times 5 \times 7

，約分後剩

\frac{4 \times 5}{2} = 10

。

對數不等式先寫真數條件；

lo g_{a} b

與

lo g_{b} a

互為倒數；同為常用對數的加減直接併成一個

lo g

。

04填充 E～G（第 15～18 題）：對數與指數方程式、用常用對數求指數、用 log2、log3 表示

第 15 題真數條件：

x + 3 > 0

且

x - 1 > 0

，得

x > 1

。原式

lo g \frac{x + 3}{x - 1} = lo g 3

，所以

\frac{x + 3}{x - 1} = 3

，

x + 3 = 3 x - 3

，

x = 3

。

3 > 1

，符合真數條件。卷面答案格 ⑲，填

3

。

檢查：

lo g 6 - lo g 2 = lo g 3

。

第 16 題令

t = 2^{x}

，則

t > 0

，

4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}

。方程式變成

t^{2} - t - 2 = 0

，

(t - 2) (t + 1) = 0

，

t = 2

或

t = - 1

。因為

t = 2^{x} > 0

，

t = - 1

不合。

2^{x} = 2

，

x = 1

。卷面答案格 ⑳，填

1

。

檢查：

4 - 2 - 2 = 0

。

第 17 題兩邊取常用對數：

lo g 2^{x} = lo g 5

，

x lo g 2 = lo g 5

。

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

。所以

x = \frac{lo g 5}{lo g 2} \approx \frac{0.6990}{0.3010} \approx 2.322

，四捨五入到小數點以下第一位是

2.3

。卷面答案格㉑.㉒，依序填

2

、

3

。

檢查範圍：

2^{2} = 4 < 5 < 8 = 2^{3}

，所以

2 < x < 3

。

第 18 題

12 = 2^{2} \times 3

，所以

lo g 12 = lo g 2^{2} + lo g 3 = 2 lo g 2 + lo g 3 = 2 a + b

。卷面答案格㉓、㉔依序填

2

、

1

。

lo g 12 \approx 2 \times 0.3010 + 0.4771 = 1.0791

。

指數方程式出現

4^{x}

與

2^{x}

時令

t = 2^{x}

，記得

t > 0

；求

2^{x} = 5

的近似值就兩邊取常用對數。

05填充 H～K（第 19～22 題）：圖形交點、半衰期、複利、指數函數的最大值

第 19 題交點滿足

9^{x} = 3^{3 x - 1}

。

9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x}

，所以

3^{2 x} = 3^{3 x - 1}

，

2 x = 3 x - 1

，

x = 1

。代回

y = 9^{1} = 9

。交點坐標為

(1, 9)

。卷面答案格㉕、㉖依序填

1

、

9

。

檢查：

3^{3 - 1} = 9

。

第 20 題半衰期

\frac{1}{3}

秒，表示每過

\frac{1}{3}

秒重量變成一半。

2

秒內經過

2 \div \frac{1}{3} = 6

個半衰期，剩下

320 \times (\frac{1}{2})^{6} = \frac{320}{64} = 5

公克。卷面答案格㉗，填

5

。

t

秒後剩下

320 \times (\frac{1}{2})^{3 t}

公克，

t = 2

時指數是

6

。

第 21 題以一年為一期的複利，

n

年後本利和是

10000 \times 1.0 7^{n}

元。要超過

20000

元：

10000 \times 1.0 7^{n} > 20000

，

1.0 7^{n} > 2

。兩邊取常用對數（

lo g

遞增，不等號方向不變）：

n lo g 1.07 > lo g 2

，

n > \frac{0.3010}{0.0294} \approx 10.24

。

n

是整數年，所以要經過

11

年。卷面答案格㉘㉙，依序填

1

、

1

。

10

年後

1.0 7^{10}

約

1.97

，還沒超過

2

倍；

11

年後約

2.10

，超過了。

第 22 題

(\frac{1}{64})^{x}

的底數介於

0

與

1

，是遞減函數，

x

越小值越大。在

\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}

中，

x = \frac{1}{3}

時最大：

M = (\frac{1}{64})^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3 64} = \frac{1}{4}

。卷面答案格是分子㉚、分母㉛，依序填

1

、

4

。

x = \frac{1}{2}

時是最小值

\frac{1}{8}

。

複利翻倍求年數：列出

1.0 7^{n} > 2

，取對數後除開，再取下一個整數。遞減的指數函數在區間的左端點取最大值。

06混合題 L（第 23、24 題）：由 pH 值求氫離子活度的比值

第 23 題答案 (5)。由

pH = lo g \frac{1}{[ H ^{+} ]} = - lo g [H^{+}]

，得

[H^{+}] = 1 0^{- pH}

。食用醋

[H^{+}] = 1 0^{- 3}

，蘋果汁

[H^{+}] = 1 0^{- 4}

，比值

\frac{1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 4}} = 1 0^{1} = 10

。卷面答案格㉜。

pH 值少

1

，氫離子活度是

10

倍；醋比蘋果汁酸。

第 24 題病患血液

[H^{+}] = 1 0^{- 7.3}

，純水

[H^{+}] = 1 0^{- 7}

。比值

\frac{1 0 ^{- 7.3}}{1 0 ^{- 7}} = 1 0^{- 0.3} = \frac{1}{1 0 ^{0.3}}

。由

lo g 2 \approx 0.3

得

1 0^{0.3} \approx 2

，所以比值約為

\frac{1}{2}

。卷面答案格是分子㉝、分母㉞，依序填

1

、

2

。

pH 值大

0.3

，氫離子活度約是一半。病患的

7.3

低於

7.35

，比正常血液酸，但仍比純水鹼。

pH = - lo g [H^{+}]

：兩種液體 pH 差

d

，氫離子活度的比就是

1 0^{d}

（pH 小的那個較大）。

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02多選第 6～9 題：指數函數與對數函數的性質、對數律、由圖形比較底數

03填充 A～D（第 10～14 題）：對數的值、對數不等式、互換底數與真數、對數律化簡

04填充 E～G（第 15～18 題）：對數與指數方程式、用常用對數求指數、用 log2、log3 表示

05填充 H～K（第 19～22 題）：圖形交點、半衰期、複利、指數函數的最大值

06混合題 L（第 23、24 題）：由 pH 值求氫離子活度的比值

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高二第二次段考
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