御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：學測數A範圍複習：三角函數（廣義角、弧度、和角與倍角、疊合、正弦與餘弦定理）、指數與對數（常用對數、對數函數圖形、應用）、平面向量（線性組合、內積、面積），另有一題機率

屏東高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

卷頭為高三社會組（數 A）試題卷，內容是學測數A範圍的複習。單選題 10 題、多選題 5 題、選填題 A～J 共 10 題；原卷未印配分。原卷選填 A～J 本頁編為第 16～25 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題
1
下列選項當中何者的值最大？
  1. (1) sin20∘cos20∘
  2. (2) sin35∘cos35∘
  3. (3) sin50∘cos50∘
  4. (4) sin65∘cos65∘
  5. (5) sin80∘cos80∘
2
坐標平面上兩直線的斜率分別為 3​ 及 1，則下列何者為其交角？
  1. (1) 15∘
  2. (2) 30∘
  3. (3) 45∘
  4. (4) 60∘
  5. (5) 90∘
3
令 a=cos(π2)，試問下列哪一個選項是對的？
  1. (1) a=−1
  2. (2) −1<a≤−21​
  3. (3) −21​<a≤0
  4. (4) 0<a≤21​
  5. (5) 21​<a≤1
4
請問下列哪一個選項等於 log(2(35))？
  1. (1) 5log(23)
  2. (2) 3×5log2
  3. (3) 5log2×log3
  4. (4) 5(log2+log3)
  5. (5) 35log2
5
一份試卷共有 10 題單選題，每題有 5 個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設小明以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計小明全部答對的機率最接近
  1. (1) 10−5
  2. (2) 10−6
  3. (3) 10−7
  4. (4) 10−8
  5. (5) 10−9
6
下列哪一個選項的值最大？
  1. (1) log2​3
  2. (2) log4​6
  3. (3) log8​12
  4. (4) log16​24
  5. (5) log32​48
7
若正實數 x、y 滿足 logx=2.8、logy=5.6，則 log(x2+y) 最接近下列哪一個選項的值？（log2≈0.3010）
  1. (1) 2.8
  2. (2) 5.6
  3. (3) 5.9
  4. (4) 8.4
  5. (5) 11.2
8
如圖所示，O 為正六邊形之中心。試問下列哪個向量的終點 P 落在 △ODE 內部（不含邊界）？
  1. (1) OP=OC+OE
  2. (2) OP=41​OC+21​OE
  3. (3) OP=−41​OC+21​OE
  4. (4) OP=41​OC−21​OE
  5. (5) OP=−41​OC−21​OE
載入中...
9
△ABC 內接於圓心為 O 之單位圓。若 OA+OB+3​OC=0，則 ∠BAC 之度數為何？
  1. (1) 30∘
  2. (2) 45∘
  3. (3) 60∘
  4. (4) 75∘
  5. (5) 90∘
10
坐標平面上，考慮 A(2,3) 與 B(−1,3) 兩點，並設 O 為原點。令 E 為滿足 OP=aOA+bOB 的所有點 P 所形成的區域，其中 −1≤a≤1，0≤b≤4。考慮函數 f(x)=x2+5，試問當限定 x 為區域 E 中的點 P(x,y) 的橫坐標時，f(x) 的最大值為何？
  1. (1) 5
  2. (2) 9
  3. (3) 30
  4. (4) 41
  5. (5) 54
二、多選題
11
請選出正確的選項
  1. (1) 當 0<x<2π​ 時，cos2x 之值恆為正
  2. (2) 當 0<x<2π​ 時，sin2x 之值恆為正
  3. (3) 不論 x 為何，cos2x−sin2x≤21​ 恆成立
  4. (4) 不論 x 為何，sinxcosx≤21​ 恆成立
  5. (5) 不論 x 為何，sinx+cosx≤23​ 恆成立
12
在坐標平面上，廣義角 θ 的頂點為原點 O，始邊為 x 軸的正向，且滿足 tanθ=32​。若 θ 的終邊上有一點 P，其 y 坐標為 −4，則下列哪些選項一定正確？
  1. (1) P 的 x 坐標是 6
  2. (2) OP=213​
  3. (3) cosθ=13​3​
  4. (4) sin2θ>0
  5. (5) cos2θ​<0
13
坐標平面上，Γ1​ 為 y=log2​x 的圖形，Γ2​ 為 y=log21​​x 的圖形。下列關於 Γ1​ 與 Γ2​ 的敘述，試選出正確的選項
  1. (1) Γ1​ 的圖形凹口向下
  2. (2) x 軸為 Γ2​ 的漸近線
  3. (3) Γ1​ 的圖形均在 x 軸的上方
  4. (4) Γ2​ 的圖形均在 y 軸的右方
  5. (5) Γ1​ 與 Γ2​ 恰交於一點
14
半導體產業的摩爾定律認為「積體電路板可容納的電晶體數目每兩年增加一倍」。用 f(t) 表示從 t=0 開始，電晶體數目隨時間 t 變化的函數，並假設 f(0)=1000。下面選項中，請選出可以代表摩爾定律的公式
  1. (1) 若 t 以年為單位，則 f(t)=1000+21000​t
  2. (2) 若 t 以月為單位，則 f(t)=1000+241000​t
  3. (3) 若 t 以年為單位，則 f(t)=1000×(2​)t
  4. (4) 若 t 以年為單位，則 logf(t)=3+2log(23t​+1)​
  5. (5) 若 t 以月為單位，則 logf(t)=3+24log2​t
15
在坐標平面上，有一通過原點 O 的直線 L，以及一半徑為 2、圓心為原點 O 的圓 Γ。P、Q 為 Γ 上相異 2 點，且 OP、OQ​ 分別與 L 所夾的銳角皆為 30∘，試選出內積 OP⋅OQ​ 之值可能發生的選項
  1. (1) 23​
  2. (2) −23​
  3. (3) 0
  4. (4) −2
  5. (5) −4
三、選填題（答案若為分數，一律化成最簡分數。）
16
已知 △ABC 中，AB=2、BC=3 且 ∠A=2∠C，則 AC= ____。
17
下圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，且 OD=8。則 AB 長度的平方為 ____。
載入中...
18
已知坐標平面上三點 (3,log3)、(6,log6) 與 (12,y) 在同一直線上，則 y=log ____。
19
若 (1.5)60 的整數部分的位數為 a，最左邊的數字為 b，請問 a+b= ____。（log2≈0.3010，log3≈0.4771）
20
聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特（W/m2）來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為 I0​=10−12（W/m2）；當測得的聲音強度為 I（W/m2）時，所產生的噪音分貝數 d 為 d(I)=10logI0​I​。棒球比賽場中，若一支瓦斯汽笛獨鳴，測得的噪音為 70 分貝，則一百支瓦斯汽笛同時同地合鳴，被測得的噪音大約為 ____ 分貝。
21
△ABC 內一點 P 滿足 AP=(34​,65​) 及 AP=21​AB+51​AC。若 A、P 連線交 BC 於 M，則 AM= ____。
22
坐標平面中 A(a,3)，B(16,b)，C(19,12) 三點共線。已知 C 不在 A、B 之間，且 AC:BC=3:1，則 a+b= ____。
23
設 A(1,2)、B(1,−2) 為平面上兩定點，點 P 為 x 軸正向上的一點。若內積 PA⋅PB=5，則點 P 之坐標為 ____。
24
坐標平面上 O 為原點，設 u=(1,2)，v=(3,4)。令 Ω 為滿足 OP=xu+yv 的所有點 P 所形成的區域，其中 21​≤x≤1，−3≤y≤21​，則 Ω 的面積為 ____ 平方單位。
25
令 A、B 為坐標平面上兩向量。已知 A 的長度為 1，B 的長度為 2 且 A 與 B 之間的夾角為 60∘。令 u=A+B，v=xA+yB，其中 x、y 為實數 6≤x+y≤8 以及 −2≤x−y≤0，則內積 u⋅v 的最大值為 ____。
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)
第 2 題(1)
第 3 題(2)
第 4 題(5)
第 5 題(3)
第 6 題(1)
第 7 題(3)
第 8 題(2)
第 9 題(4)
第 10 題(4)
第 11 題(2)(4)(5)
第 12 題(2)(4)
第 13 題(1)(4)(5)
第 14 題(3)(5)
第 15 題(4)(5)
第 16 題25​
第 17 題3
第 18 題24
第 19 題14
第 20 題90
第 21 題(2140​,2125​)
第 22 題19
第 23 題(4,0)
第 24 題27​
第 25 題31
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選第 1～5 題：倍角、交角、弧度、對數律、機率

第 1 題答案 (3)。由二倍角公式 sinθcosθ=21​sin2θ，五個選項依序是 21​sin40∘、21​sin70∘、21​sin100∘、21​sin130∘、21​sin160∘。又 sin100∘=sin80∘、sin130∘=sin50∘、sin160∘=sin20∘，比較 sin40∘、sin70∘、sin80∘、sin50∘、sin20∘，角度愈接近 90∘ 正弦愈大，最大的是 sin80∘，也就是 (3)。
(3) 的值是 21​sin100∘，約 0.492。
第 2 題答案 (1)。斜率 3​ 的直線斜角是 60∘，斜率 1 的直線斜角是 45∘，兩直線的交角是 60∘−45∘=15∘（另一個交角是它的補角 165∘）。選項中只有 15∘。
也可以用差角公式：tan(60∘−45∘)=1+3​3​−1​=2−3​=tan15∘。
第 3 題答案 (2)。π2 是弧度。π2≈9.87，減去一圈 2π≈6.28 得約 3.59 弧度，換成度約 3.59×π180∘​≈205.5∘，在 180∘ 與 240∘ 之間。在這個範圍餘弦由 −1 增加到 −21​，所以 −1<a<−21​，選 (2)。
更直接的估計：π2 在 3π≈9.42 與 3π+3π​≈10.47 之間，cos 在這段介於 −1 與 −21​ 之間；a≈−0.903。
第 4 題答案 (5)。由 log(ak)=kloga，log(2(35))=35log2。其他選項：(1) 5log(23)=15log2；(2) 3×5log2=15log2；(3) 5log2×log3 約 0.72；(4) 5(log2+log3)=5log6。都不等於 35log2=243log2。
指數是 35=243，不是 3×5。
第 5 題答案 (3)。每一題猜對的機率是 51​，各題互不影響，全部答對的機率是 (51​)10=5101​=97656251​。9765625 約是 107 左右（約 9.77×106），所以機率約為 1.02×10−7，最接近 10−7。
也可以用 log：log(5−10)=−10log5=−10(1−log2)≈−6.99，所以約為 10−7。

02單選第 6～10 題：對數比較、估算、平面向量

第 6 題答案 (1)。五個選項都是 log2k​(3×2k−1)（k=1,2,3,4,5）。換底：log2k​(3×2k−1)=klog2​3+(k−1)​=1+klog2​3−1​。因為 log2​3>1，klog2​3−1​ 是正數，k 愈小值愈大，所以 k=1 的 log2​3 最大。
數值依序約為 1.585、1.292、1.195、1.146、1.117。
第 7 題答案 (3)。x=102.8，x2=105.6；y=105.6。所以 x2+y=2×105.6，log(x2+y)=log2+5.6≈0.3010+5.6=5.901，最接近 5.9。
第 8 題

答案 (2)。設正六邊形邊長為 1，O 為原點，OC=(1,0)，OD=(21​,23​​)，OE=(−21​,23​​)，所以 OC=OD−OE。

若 OP=αOC+βOE=αOD+(β−α)OE，則 P 在 △ODE 內部（不含邊界）的條件是 OD、OE 的係數都是正數且和小於 1：α>0、β−α>0、β<1。

(1) α=1、β=1：β−α=0，P 就是 D，在邊界上，不合。(2) α=41​、β=21​：係數 41​、41​ 都是正數，和 21​<1，符合。(3) α=−41​<0，不合。(4) β=−21​，β−α<0，不合。(5) α<0，不合。

(2) 的 P 坐標是 (0,43​​)，在 △ODE 的內部。
第 9 題

答案 (4)。三個向量長度都是 1。由 OA+OB=−3​OC，兩邊取長度平方：1+1+2OA⋅OB=3，得 OA⋅OB=21​，∠AOB=60∘。由 OB+3​OC=−OA：1+3+23​OB⋅OC=1，得 OB⋅OC=−23​​，∠BOC=150∘；同理 ∠AOC=150∘。

60∘+150∘+150∘=360∘，三個圓心角繞 O 一圈，O 在三角形內部。∠BAC 是弧 BC（不含 A 的那段）所對的圓周角，等於圓心角 ∠BOC 的一半，∠BAC=75∘。

三個內角是 ∠BAC=∠ABC=75∘、∠ACB=30∘。
第 10 題答案 (4)。OP=a(2,3)+b(−1,3)=(2a−b, 3a+3b)，所以 P 的橫坐標 x=2a−b。−1≤a≤1 時 2a 在 −2 到 2；0≤b≤4 時 −b 在 −4 到 0。a、b 各自獨立變動，x 的範圍是 −6≤x≤2。f(x)=x2+5 在這個範圍內，離 0 最遠的是 x=−6，最大值 f(−6)=36+5=41。
x=−6 在 a=−1、b=4 時取到。

03多選第 11～15 題：倍角與疊合、廣義角、對數圖形、摩爾定律、內積

第 11 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯誤。 0<x<2π​ 時 0<2x<π，2x 超過 2π​ 時餘弦為負，例如 x=3π​ 時 cos2x=−21​。(2) 正確。 0<2x<π，正弦恆為正。(3) 錯誤。 cos2x−sin2x=cos2x，x=0 時等於 1，大於 21​。(4) 正確。 sinxcosx=21​sin2x≤21​。(5) 正確。 疊合：sinx+cosx=2​sin(x+4π​)≤2​，而 2​≈1.414<1.5，所以恆小於或等於 23​。
(5) 比較 2​ 與 23​：兩者平方分別是 2 與 49​，2<49​。
第 12 題答案 (2)(4)。tanθ=xy​=32​，P 的 y 坐標 −4，所以 x=−6，P(−6,−4)，終邊在第三象限。(1) 錯誤。 x 坐標是 −6。(2) 正確。 OP=36+16​=52​=213​。(3) 錯誤。 cosθ=213​−6​=−13​3​。(4) 正確。 sinθ=−13​2​，sin2θ=2sinθcosθ=2×(−13​2​)×(−13​3​)=1312​>0。(5) 錯誤。 終邊在第三象限的廣義角可寫成 θ=θ0​+360∘k（180∘<θ0​<270∘，k 為整數），2θ​=2θ0​​+180∘k。k 為偶數時 2θ​ 在第二象限，cos2θ​<0；k 為奇數時在第四象限，cos2θ​>0。所以不一定小於 0。
若只看 0∘≤θ<360∘ 那一個角，2θ​ 在 90∘ 到 135∘ 之間，餘弦是負的；但題目說 θ 是廣義角、問「一定正確」，例如 θ=θ0​+360∘ 時 cos2θ​>0，所以 (5) 不選。
第 13 題答案 (1)(4)(5)。log21​​x=−log2​x，Γ2​ 是 Γ1​ 對 x 軸的鏡射。(1) 正確。 底數 2>1 的對數函數圖形遞增、愈來愈平緩，凹口向下。(2) 錯誤。 對數函數的漸近線是 y 軸（x=0），不是 x 軸；Γ2​ 往右會一直往下，不會趨近 x 軸。(3) 錯誤。 0<x<1 時 log2​x<0，圖形在 x 軸下方。(4) 正確。 對數只對 x>0 有定義，圖形全在 y 軸右方。(5) 正確。 log2​x=−log2​x 只在 log2​x=0，即 x=1 時成立，兩圖形只交於 (1,0)。
第 14 題答案 (3)(5)。每兩年加倍、f(0)=1000：以年為單位 f(t)=1000×22t​；以月為單位（兩年是 24 個月）f(t)=1000×224t​。(1) 錯誤。 這是每年固定增加 500 的一次函數，例如 t=4 時得 3000，但加倍兩次應是 4000。(2) 錯誤。 同樣是一次函數，t=48 時得 3000，不是 4000。(3) 正確。 1000×(2​)t=1000×22t​。(4) 錯誤。 正確的式子取對數是 logf(t)=3+2t​log2；選項的式子在 t=2 時得 logf(2)=3+2log4​=3+log2，與正確值相同；但 t=4 時得 3+2log7​，而應為 3+2log2=3+2log16​，不相等。(5) 正確。 log(1000×224t​)=3+24t​log2。
(4) 的式子等於 f(t)=100023t​+1​，只在 t=0、t=2 時和摩爾定律相符。
第 15 題答案 (4)(5)。​OP​=​OQ​​=2。把 L 當成方向角 0∘ 的直線，與 L 夾銳角 30∘ 的方向只有 30∘、−30∘、150∘、210∘ 四個。P、Q 相異，從中取兩個不同方向，兩向量的夾角只可能是 60∘（例如 30∘ 與 −30∘）、120∘（例如 30∘ 與 150∘）或 180∘（例如 30∘ 與 210∘）。內積 =2×2×cos(夾角) 的可能值是 2、−2、−4。選項中 (4) −2、(5) −4 可能發生；(1) 23​、(2) −23​、(3) 0 都不可能。

04選填 A～E（第 16～20 題）：正弦定理、直角三角形、對數

第 16 題

答案 25​。設 ∠C=θ，∠A=2θ。由正弦定理 sinABC​=sinCAB​：sin2θ3​=sinθ2​，3sinθ=2×2sinθcosθ，因 sinθ=0，得 cosθ=43​。

設 AC=b，對 ∠C 用餘弦定理：AB2=BC2+b2−2×BC×bcosC，4=9+b2−29​b，整理得 2b2−9b+10=0，(2b−5)(b−2)=0，b=25​ 或 2。

b=2 時 AC=AB，∠B=∠C=θ，∠A=180∘−2θ，與 ∠A=2θ 合起來得 θ=45∘，但 cosθ=43​=22​​，矛盾，捨去。所以 AC=25​。

檢查 b=25​：cosA=2×2bb2+4−9​=81​，cos2C=2×169​−1=81​，相符。b=2 對應的是 sinA=sin2C 但 A=180∘−2C 的情形。
第 17 題

答案 3。由圖，△OCD 在 C 是直角、△OBC 在 B 是直角、△OAB 在 A 是直角，∠COD=30∘、∠BOC=∠AOB=15∘。

OC=ODcos30∘=8×23​​=43​；OB=OCcos15∘；AB=OBsin15∘=43​sin15∘cos15∘。由二倍角公式 sin15∘cos15∘=21​sin30∘=41​，所以 AB=3​，AB2=3。

第 18 題答案 24。三點共線，斜率相等：6−3log6−log3​=3log2​。從 (6,log6) 到 (12,y) 橫坐標增加 6，縱坐標增加 6×3log2​=2log2=log4，所以 y=log6+log4=log24。
第 19 題答案 14。log(1.5)60=60log23​=60(log3−log2)≈60×0.1761=10.566。首數 10，整數部分有 11 位，a=11。尾數 0.566 介於 log3≈0.4771 與 log4≈0.6020 之間，最左邊的數字 b=3。a+b=14。
實際上 (1.5)60≈3.68×1010。
第 20 題答案 90。一支時 10logI0​I​=70。一百支同時合鳴，強度變成 100I：d=10logI0​100I​=10(log100+logI0​I​)=10×2+70=90（分貝）。

05選填 F～J（第 21～25 題）：平面向量

第 21 題答案 (2140​,2125​)。M 在直線 AP 上，設 AM=kAP=2k​AB+5k​AC。M 又在 BC 上，係數和為 1：2k​+5k​=107k​=1，k=710​。所以 AM=710​(34​,65​)=(2140​,4250​)=(2140​,2125​)。
第 22 題答案 19。C 不在 A、B 之間，且 AC=3BC>BC，所以 B 在 A、C 之間，AB=AC−BC=2BC，即 AB:BC=2:1。由分點公式 B=31×A+2×C​：16=3a+38​，a=10；b=33+24​=9。a+b=19。
檢查：A(10,3)、B(16,9)、C(19,12)，AC=(9,9)、BC=(3,3)，長度比 3:1，且同向。
第 23 題答案 (4,0)。設 P(p,0)，p>0。PA=(1−p,2)，PB=(1−p,−2)，內積 (1−p)2−4=5，(1−p)2=9，p=4 或 −2。P 在 x 軸正向上，取 p=4，P(4,0)。
第 24 題答案 27​。x、y 的範圍是矩形條件，Ω 是由 (1−21​)u=21​u 與 (21​−(−3))v=27​v 張成的平行四邊形。u、v 張成的平行四邊形面積是 ​​13​24​​​=∣4−6∣=2，所以 Ω 的面積是 2×21​×27​=27​。
第 25 題

答案 31。​A​2=1，​B​2=4，A⋅B=1×2×cos60∘=1。

u⋅v=(A+B)⋅(xA+yB)=x​A​2+(x+y)A⋅B+y​B​2=x+(x+y)+4y=2x+5y。

令 s=x+y、d=x−y，則 x=2s+d​、y=2s−d​，2x+5y=27s−3d​。在 6≤s≤8、−2≤d≤0 中，s 取最大 8、d 取最小 −2 時最大：256+6​=31。

此時 x=3、y=5。
線性組合的範圍題，先把所求寫成係數的一次式，再在係數的範圍內找最大最小；兩個係數的和、差有範圍時，換成和與差來看最清楚。

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第 12 題 (5) 的角是廣義角，終邊固定時半角可以落在第二或第四象限，餘弦不一定是負的，「一定正確」要特別小心；第 9 題由三個向量的長度關係先求圓心角，再用圓周角是圓心角的一半；選填 A（第 16 題）由正弦定理和倍角公式得到 cos C，再用餘弦定理解出兩個根，其中一根不合要捨去；選填 J（第 25 題）把內積化成 2x 加 5y，再在 x 加 y、x 減 y 的範圍內求最大。詳解逐題寫在本頁。

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