段考詳解範圍：導數與導函數、多項式函數的遞增遞減、極值、凹凸與反曲點、導數的應用（速度、邊際成本），另有函數的極限、直線的夾角、三角函數圖形、指數與對數函數、三角形的複習題

屏東高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 屏東高中 113 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 屏東高中 113 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 6 題要從 f(x) 的遞增遞減讀出導函數的正負，導函數的零點在 f 的極小點與極大點，也就是 0 與 2；第 11 題選項 (1) 只是導數定義的寫法，選項 (2) 左右極限一個是 1 一個是負 1；第 12 題 (4) 要畫圖數交點，正負兩邊各一個再加上原點共 3 個；第 13 題 (5) 卷面印的是根號 2 乘以 log x，照字面讀兩圖形不對稱；若讀作以根號 2 為底的對數才對稱；選填 B（第 15 題）要先解出入水的時間 3 秒再求速度。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 7 題（共 35 分）、多選題 6 題（共 30 分）、選填題 7 題（共 35 分），合計 100 分；原卷只印各大題總分，未印每題配分與多選題的給分方式。原卷選填 A～G 本頁編為第 14～20 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一. 單選題（共 35 分）

當

x = 2

時，

f (x) = 2 x^{2} - x + 3

的導數為

(1) $- 7$
(2) $7$
(3) $- 8$
(4) $8$
(5) $9$

函數

f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 3

在下列哪一個區間內為嚴格遞增？

(1) $(- 5, - 3)$
(2) $(- 3, 0)$
(3) $(0, 3)$
(4) $(3, 5)$

f (x) = {a x + b, x^{2}, x \geq 1 x < 1

；若

f (x)

在

x = 1

處可微分，則

a =

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $- 1$
(5) $- 2$

下列各函數圖形中，何者

f^{'} (0)

存在？

(1) 見圖 (1)
(2) 見圖 (2)
(3) 見圖 (3)
(4) 見圖 (4)
(5) 見圖 (5)

載入中...

函數

f (x) = (x - 2) (x - 3) (2 x + 1)

，則

f^{'} (2) =

？

(1) $- 1$
(2) $- 5$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $5$

函數

y = f (x)

的圖形如圖，則其一階導函數

y = f^{'} (x)

的圖形最有可能是下列哪一個選項？

(1) 見圖 (1)
(2) 見圖 (2)
(3) 見圖 (3)
(4) 見圖 (4)
(5) 見圖 (5)

載入中...

x y

平面上，下列哪一條直線和

L

：

x + 3 y - 2 = 0

的銳交角最大？

(1) $2 x + y - 4 = 0$
(2) $2 x - y = 0$
(3) $x + 2 y + 6 = 0$
(4) $x - 2 y - 1 = 0$
(5) $y$ 軸

二、多選題（共 30 分）

f (x)

的函數圖形如圖所示，試選出正確的選項。

(1) $f (- 3) = 2$
(2) $x \to - 3 lim f (x) = 2$
(3) $x \to - 1 lim f (x)$ 不存在
(4) $x \to 1^{-} lim f (x) = f (1)$
(5) $f (x)$ 在 $x = 2$ 可微分

載入中...

三次多項式函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形如圖，其中

A

是反曲點，請選出正確選項。

(1) $a > 0$
(2) $c > 0$
(3) $d > 0$
(4) $f (x)$ 是遞增函數
(5) $f (x) = 0$ 有 $3$ 個實根

載入中...

題圖是三次函數

f (x)

的圖形，其中

(3, 1)

為反曲點；在

x = 2

處有極小值；在

x = 4

處有極大值。選出正確的選項：

(1) $f^{'} (2) = 0$
(2) $f^{''} (2) > 0$
(3) $f^{''} (3) = 0$
(4) $f^{'} (3) = 0$
(5) $f^{''} (5) < 0$

載入中...

函數

f (x) = ∣ x ∣

，選出下列敘述正確的選項。

(1) $f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{∣ x ∣ - ∣0∣}{x - 0}$
(2) $x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x} = x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣}{x}$
(3) $f^{'} (0)$ 不存在
(4) $x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}$ 不存在
(5) 函數 $f (x)$ 在 $x = 0$ 處不可微分

下列敘述哪些是正確的？

(1) $y = sin x$ 先左右伸縮 $2$ 倍再左移 $5$ 與先左移 $5$ 再左右伸縮 $2$ 倍，所得的圖形相同
(2) $y = sin x$ 先左右伸縮 $2$ 倍再上移 $5$ 與先上移 $5$ 再左右伸縮 $2$ 倍，所得的圖形相同
(3) $sin x = cos x$ 的解只有 $2$ 個
(4) $sin x = \frac{x}{2 π}$ 的解只有 $3$ 個
(5) $y = 3 sin (- 2 x + 5) - 7$ 的週期為 $4 π$

關於兩函數

y = f_{1} (x) = (2)^{x}

和

y = f_{2} (x) = (\frac{2}{2})^{x}

的圖形，下列哪些選項正確？

(1) 兩函數均為嚴格遞增函數
(2) 兩函數圖形均凹口向上
(3) 兩函數圖形只有一個交點
(4) 兩函數圖形對稱於 $y$ 軸
(5) $y = f_{1} (x)$ 和 $y = 2 lo g x$ 函數圖形對稱於直線 $y = x$ （本站補註：若讀作 $lo g_{2} x$ ，本選項正確）

三. 選填題：（共 35 分）

設

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b

，

a

、

b \in R

，若

y = f (x)

之圖形通過點

(1, 4)

且在此點之切線的斜率為

- 3

，則

a + b =

____。

一跳水選手從高

14.7

公尺的跳水平臺以

9.8

公尺／秒的速度向上彈跳，經

t

秒後，這選手離地面的高度是

h (t) = 14.7 + 9.8 t - 4.9 t^{2}

。假設水面與地面等高，求這選手入水時的速度為 ____ 公尺／秒向下。

已知函數

f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - a x^{2} + b x + 1

在

x = 1

，

- 2

處有極值，求

a + b =

____。

某公司生產紅外線額溫槍，已知生產量

x

臺，其總成本為

F (x) = 0.0005 x^{3} - 0.3 x^{2} + 150 x

（元），試以

F (x + 1) - F (x) \approx F^{'} (x)

來估算生產第

101

臺紅外線額溫槍的邊際成本為 ____ 元。

已知

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1

圖形的反曲點為

(1, 8)

，求

(a, b)

的值為 ____。

三次函數

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5

相對極大值為

M

，相對極小值為

m

，則

(M, m) =

____。

若拋物線

y = x^{2} + 2 x - 3

的頂點為

C

，與

x

軸的交點為

A

、

B

，則

sin ∠ A C B =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(5)

第 5 題(2)

第 6 題(1)

第 7 題(2)

第 8 題(2)(4)(5)

第 9 題(1)(2)(3)

第 10 題(1)(2)(3)(5)

第 11 題(1)(3)(4)(5)

第 12 題(2)(4)

第 13 題(2)(3)(4)（(5) 若讀作

lo g_{2} x

則答 (2)(3)(4)(5)）

第 14 題

3

第 15 題

19.6

第 16 題

- 1

第 17 題

105

第 18 題

(- 3, 9)

第 19 題

(10, - 22)

第 20 題

\frac{4}{5}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：導數、遞增區間、分段函數可微分

第 1 題答案 (2)。

f^{'} (x) = 4 x - 1

，所以

x = 2

時的導數是

f^{'} (2) = 4 \times 2 - 1 = 7

。

常數項

3

微分後是

0

；

- x

微分後是

- 1

。

第 2 題答案 (4)。

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3)

。

4 x^{2} \geq 0

，所以

f^{'} (x)

的正負由

x - 3

決定：

x > 3

時

f^{'} (x) > 0

，

f

遞增；

x < 3

且

x \neq = 0

時

f^{'} (x) < 0

，

f

遞減。四個區間中只有

(3, 5)

落在

x > 3

，所以選 (4)。

x = 0

雖然使

f^{'} (0) = 0

，但兩側

f^{'}

都是負的，

f

在

0

的左右都遞減，

0

不是極值點。

第 3 題答案 (3)。可微分必先連續：

x \to 1^{-} lim x^{2} = 1

要等於

f (1) = a + b

，所以

a + b = 1

。再看左右兩邊的導數：左邊

x \to 1^{-} lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1^{-} lim (x + 1) = 2

；右邊

x \to 1^{+} lim \frac{( a x + b ) - ( a + b )}{x - 1} = x \to 1^{+} lim \frac{a ( x - 1 )}{x - 1} = a

。可微分要求兩者相等，所以

a = 2

（此時

b = - 1

）。

左邊的式子用

f (1) = a + b = 1

當作分子裡的

f (1)

，所以先求連續的條件再算導數。

02單選第 4～7 題：導數存在的圖形、乘積的導數、導函數圖形、直線夾角

第 4 題答案 (5)。

f^{'} (0)

存在，圖形在

x = 0

要連續而且平滑（沒有尖角）。(1) 在原點是尖角，左邊斜率是負的、右邊是正的，

f^{'} (0)

不存在。(2)

x = 0

處是空心點，

f (0)

沒有定義，

f^{'} (0)

不存在。(3) 在

x = 0

跳開，不連續，

f^{'} (0)

不存在。(4)

f (0)

是上方的實心點，但曲線從兩側都趨近下方的空心點，極限不等於

f (0)

，不連續，

f^{'} (0)

不存在。(5) 是水平直線（常數函數），

f^{'} (0) = 0

，存在。

不連續就不可微分；連續但有尖角也不可微分。

第 5 題答案 (2)。令

g (x) = (x - 3) (2 x + 1)

，則

f (x) = (x - 2) g (x)

，

f (2) = 0

。由導數的定義：

f^{'} (2) = x \to 2 lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) g ( x )}{x - 2} = x \to 2 lim g (x) = g (2) = (2 - 3) (2 \times 2 + 1) = - 5

。

也可以先展開：

f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6

，

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x + 7

，

f^{'} (2) = 24 - 36 + 7 = - 5

。

第 6 題答案 (1)。由題圖讀

f

的增減：

f

由左上往下，在

x = 0

附近降到極小，之後上升到

x = 2

（圖形在這裡碰到

x

軸、是極大），再往下。所以

f^{'} (x)

在極小點左邊是負的、在極小點與

2

之間是正的、在

2

的右邊是負的，而且

f^{'}

在極小點與

x = 2

都是

0

。符合「先負、再正、再負，零點在

0

附近與

2

」的只有 (1)。(2) 開口向上，

x

很大時

f^{'} > 0

，不合；(3) 的零點在

- 1

，表示

f

在

- 1

到

0

之間遞增，但圖上

f

在這裡遞減，不合；(4) 在

- 1

左邊為正，不合；(5) 在

2

的右邊為正，不合。

x = - 1

是

f

的零點（圖形穿過

x

軸），不是極值點，所以

f^{'}

在

- 1

不必是

0

；看導函數要看的是

f

的上升下降，不是

f

的正負。

第 7 題答案 (2)。用法向量求兩直線夾角：

L

的法向量

n = (1, 3)

。設另一直線的法向量為

m

，兩直線的銳交角

θ

滿足

cos θ = \frac{∣ n \cdot m ∣}{∣ n ∣∣ m ∣}

，

cos θ

愈小，銳交角愈大。(1)

m = (2, 1)

：

\frac{∣2 + 3∣}{10 5} = \frac{5}{5 2} = \frac{1}{2}

。(2)

m = (2, - 1)

：

\frac{∣2 - 3∣}{10 5} = \frac{1}{5 2}

。(3)

m = (1, 2)

：

\frac{∣1 + 6∣}{5 2} = \frac{7}{5 2}

。(4)

m = (1, - 2)

：

\frac{∣1 - 6∣}{5 2} = \frac{1}{2}

。(5)

y

軸是

x = 0

，

m = (1, 0)

：

\frac{1}{10} = \frac{5}{5 2}

。最小的是 (2) 的

\frac{1}{5 2}

，所以 (2) 的銳交角最大。

(2) 的銳交角約

81. 9^{\circ}

，(5) 約

71. 6^{\circ}

，(1)(4) 都是

4 5^{\circ}

，(3) 約

8. 1^{\circ}

。

03多選第 8～10 題：由圖形讀極限、係數與導數

第 8 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯誤。

x = - 3

的實心點在高度

1

，所以

f (- 3) = 1

；高度

2

的是空心點。(2) 正確。 從左邊沿直線趨近高度

2

的空心點，從右邊沿曲線也從同一個空心點出發，左右極限都是

2

，所以

x \to - 3 lim f (x) = 2

。(3) 錯誤。

x = - 1

只有一個空心點，曲線從兩側都趨近它，左右極限都是

3

，極限存在（只是

f (- 1)

沒有定義）。(4) 正確。 從左邊趨近

1

時曲線趨近高度

2

的實心點，

x \to 1^{-} lim f (x) = 2 = f (1)

。(5) 正確。

x > 1

的部分是一段直線，

x = 2

在這段直線的中間，圖形平滑，可微分（導數就是這條直線的斜率）。

極限只看「趨近」時的高度，不看那一點本身的值；

x = - 3

處極限是

2

，函數值卻是

1

。

第 9 題答案 (1)(2)(3)。(1) 正確。

x

往右愈來愈大時圖形往上，三次函數的首項係數

a > 0

。(2) 正確。

c = f^{'} (0)

，就是圖形在

y

軸交點的切線斜率；題圖中那條切線往右上升，斜率為正，所以

c > 0

。(3) 正確。

d = f (0)

，圖形與

y

軸交在原點上方，所以

d > 0

。(4) 錯誤。 圖形先升、再降、再升，有一段遞減，不是遞增函數。(5) 錯誤。 圖形只在

y

軸左邊和

x

軸交一次，其餘部分都在

x

軸上方，

f (x) = 0

只有

1

個實根。

f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

，所以

f^{'} (0) = c

；

f (0) = d

。

第 10 題答案 (1)(2)(3)(5)。(1) 正確。 多項式函數在

x = 2

有極小值，

f^{'} (2) = 0

。(2) 正確。 極小點附近圖形凹口向上，

f^{''} (2) > 0

。(3) 正確。

(3, 1)

是反曲點，凹凸在這裡改變，

f^{''} (3) = 0

。(4) 錯誤。

f

在

x = 2

到

x = 4

之間遞增，

x = 3

在中間，

f^{'} (3) > 0

，不是

0

。(5) 正確。 三次函數先有極小再有極大，往右最後一路下降，首項係數

a < 0

；

f^{''} (x) = 6 a x + 2 b

是一次函數，

f^{''} (3) = 0

而斜率

6 a < 0

，所以

x > 3

時

f^{''} (x) < 0

，

f^{''} (5) < 0

。

也可以直接看圖：

x > 3

的部分凹口向下，所以

f^{''} (5) < 0

。

04多選第 11～13 題：絕對值函數的導數、三角函數、指數對數函數

第 11 題答案 (1)(3)(4)(5)。(1) 正確。 這是導數在

x = 0

的定義式

f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0}

代入

f (x) = ∣ x ∣

的寫法。(2) 錯誤。

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，右極限是

1

；

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

，左極限是

- 1

，兩者不相等。(3) 正確。

\frac{∣ x ∣ - ∣0∣}{x - 0} = \frac{∣ x ∣}{x}

，左右極限不相等，極限不存在，所以

f^{'} (0)

不存在。(4) 正確。 理由同 (2)：左右極限不相等，

x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}

不存在。(5) 正確。

f^{'} (0)

不存在，就是

f

在

x = 0

不可微分（圖形在原點是尖角）。

(1) 寫的是「導數的定義」，等號兩邊說的是同一件事；由右邊的極限不存在，才推得 (3) 的

f^{'} (0)

不存在。若把 (1) 理解成「這個極限有值」，就會判成錯，這是本題最需要留意的地方。

第 12 題答案 (2)(4)。(1) 錯誤。 先左右伸縮

2

倍得

y = sin \frac{x}{2}

，再左移

5

得

y = sin \frac{x + 5}{2}

；先左移

5

得

y = sin (x + 5)

，再左右伸縮

2

倍得

y = sin (\frac{x}{2} + 5)

。兩者不同（例如

x = 0

時分別是

sin 2.5

與

sin 5

，一正一負）。(2) 正確。 兩種順序都得到

y = sin \frac{x}{2} + 5

：上下平移只改變

y

，左右伸縮只改變

x

，互不影響。(3) 錯誤。 題目沒有限制

x

的範圍，

x = \frac{π}{4} + k π

（

k

為整數）都是解，有無限多個。(4) 正確。 畫

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{2 π}

：直線在

x = \pm 2 π

時才到

\pm 1

，交點只會出現在

- 2 π \leq x \leq 2 π

之間。

x = 0

是一個交點；在

0 < x < π

，

sin x

從

0

升到

1

再降回

0

，在

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1

大於直線的

\frac{1}{4}

，在

x = π

時

sin x = 0

小於直線的

\frac{1}{2}

，中間交一次；在

π \leq x \leq 2 π

，

sin x \leq 0

而直線為正，不相交。負的一邊對稱於原點，也交一次。共

3

個解。(5) 錯誤。

y = 3 sin (- 2 x + 5) - 7

的週期是

\frac{2 π}{∣ - 2∣} = π

，不是

4 π

。

(4) 在

0 < x < \frac{π}{2}

之間，正弦曲線在直線上方，不會多出交點；兩圖形的交點數就是方程式的解的個數。(4)「3 個解」也只在全體實數成立（限制在

0 \leq x < 2 π

只剩 2 個），全題在實數範圍討論。

第 13 題答案 (2)(3)(4)。

f_{2} (x) = (\frac{2}{2})^{x} = (\frac{1}{2})^{x} = (2)^{- x}

。(1) 錯誤。

f_{1}

的底數

2 > 1

，遞增；

f_{2}

的底數

\frac{1}{2} < 1

，遞減。(2) 正確。 指數函數的圖形都是凹口向上。(3) 正確。

(2)^{x} = (2)^{- x}

等價於

x = - x

，只有

x = 0

，只交於

(0, 1)

一點。(4) 正確。

f_{2} (x) = f_{1} (- x)

，把

f_{1}

的圖形對

y

軸翻轉就是

f_{2}

的圖形。(5) 錯誤（照卷面字面）。

y = 2 lo g x

是

2

乘以常用對數。點

(2, 2)

在

y = (2)^{x}

上，它對

y = x

的對稱點

(2, 2)

卻不在

y = 2 lo g x

上（

2 lo g 2

約

0.21

），兩圖形不對稱。

若把 (5) 讀作以

2

為底的

y = lo g_{2} x

，它和

y = (2)^{x}

互為反函數，圖形對稱於

y = x

，(5) 就是正確的，答案變成 (2)(3)(4)(5)。

05選填 A～D（第 14～17 題）：切線斜率、速度、極值、邊際成本

第 14 題答案

3

。

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x

。切線斜率

f^{'} (1) = 3 + 2 a = - 3

，得

a = - 3

。通過

(1, 4)

：

f (1) = 1 + a + b = 4

，所以

b = 3 - a = 6

。

a + b = - 3 + 6 = 3

。

第 15 題答案

19.6

。入水時高度為

0

：

14.7 + 9.8 t - 4.9 t^{2} = 0

，兩邊除以

- 4.9

得

t^{2} - 2 t - 3 = 0

，

(t - 3) (t + 1) = 0

，取正的

t = 3

。速度是高度對時間的導數

h^{'} (t) = 9.8 - 9.8 t

，

h^{'} (3) = 9.8 - 29.4 = - 19.6

，負號表示向下，所以入水時的速度為

19.6

公尺／秒向下。

卷面答案格為兩位整數、一位小數。

第 16 題答案

- 1

。

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 a x + b

。在

x = 1

、

- 2

有極值，所以

f^{'} (1) = 0

、

f^{'} (- 2) = 0

：

4 + 6 - 2 a + b = 0

，即

- 2 a + b = - 10

；

- 32 + 24 + 4 a + b = 0

，即

4 a + b = 8

。兩式相減得

6 a = 18

，

a = 3

，

b = - 4

，

a + b = - 1

。

驗算：

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x - 4 = 2 (x - 1) (2 x + 1) (x + 2)

，在

x = 1

、

- 2

兩側都變號，確實是極值。

第 17 題答案

105

。生產第

101

臺的邊際成本是

F (101) - F (100) \approx F^{'} (100)

。

F^{'} (x) = 0.0015 x^{2} - 0.6 x + 150

，所以

F^{'} (100) = 0.0015 \times 10000 - 0.6 \times 100 + 150 = 15 - 60 + 150 = 105

（元）。

實際的

F (101) - F (100)

約

104.85

元，和估計值很接近。

06選填 E～G（第 18～20 題）：反曲點、極值、三角形

第 18 題答案

(- 3, 9)

。

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

，

f^{''} (x) = 6 x + 2 a

。反曲點在

x = 1

，所以

f^{''} (1) = 6 + 2 a = 0

，

a = - 3

。又

(1, 8)

在圖形上：

f (1) = 1 + a + b + 1 = 8

，

b = 6 - a = 9

。所以

(a, b) = (- 3, 9)

。

第 19 題答案

(10, - 22)

。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x + 1) (x - 3)

。

x < - 1

時

f^{'} > 0

，

- 1 < x < 3

時

f^{'} < 0

，

x > 3

時

f^{'} > 0

，所以

x = - 1

有極大值、

x = 3

有極小值。

M = f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 5 = 10

，

m = f (3) = 27 - 27 - 27 + 5 = - 22

。

第 20 題答案

\frac{4}{5}

。

y = x^{2} + 2 x - 3 = (x + 1)^{2} - 4

，頂點

C (- 1, - 4)

；令

y = 0

得

(x + 3) (x - 1) = 0

，

A (- 3, 0)

、

B (1, 0)

。三角形

A B C

的底

\overline{A B} = 4

，高是

C

到

x

軸的距離

4

，面積

= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8

。又

\overline{C A} = \overline{C B} = 2^{2} + 4^{2} = 20

，由

面積 = \frac{1}{2} \cdot \overline{C A} \cdot \overline{C B} \cdot sin ∠ A C B

得

8 = \frac{1}{2} \times 20 \times sin ∠ A C B

，所以

sin ∠ A C B = \frac{4}{5}

。

也可以用餘弦定理：

cos ∠ A C B = \frac{20 + 20 - 16}{2 \times 20} = \frac{3}{5}

，再由

sin^{2} + cos^{2} = 1

且角在

0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間，得

sin ∠ A C B = \frac{4}{5}

。

由極值、反曲點、切線斜率反求係數，都是把條件翻成

f^{'}

或

f^{''}

在某點等於某個值，再解聯立方程式。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

屏東高中 113 上高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 113 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 6 題要從 f(x) 的遞增遞減讀出導函數的正負，導函數的零點在 f 的極小點與極大點，也就是 0 與 2；第 11 題選項 (1) 只是導數定義的寫法，選項 (2) 左右極限一個是 1 一個是負 1；第 12 題 (4) 要畫圖數交點，正負兩邊各一個再加上原點共 3 個；第 13 題 (5) 卷面印的是根號 2 乘以 log x，照字面讀兩圖形不對稱；若讀作以根號 2 為底的對數才對稱；選填 B（第 15 題）要先解出入水的時間 3 秒再求速度。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 113 學年度上學期高三第二次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

屏東高中 113 上高三第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1～3 題：導數、遞增區間、分段函數可微分

02單選第 4～7 題：導數存在的圖形、乘積的導數、導函數圖形、直線夾角

03多選第 8～10 題：由圖形讀極限、係數與導數

04多選第 11～13 題：絕對值函數的導數、三角函數、指數對數函數

05選填 A～D（第 14～17 題）：切線斜率、速度、極值、邊際成本

06選填 E～G（第 18～20 題）：反曲點、極值、三角形

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常見問題

屏東高中 113 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

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屏東高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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