屏東高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

選「2」。卷面後一個條件印作 $f^{\prime }(-2)<0$，和前一個條件 $f^{\prime }(-2)=0$ 互相矛盾；依題意應是二階導數 $f^{\prime \prime }(-2)<0$。

$f^{\prime }(-2)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(-2)<0$ 時，$f^{\prime \prime }$ 在 $x=-2$ 附近為負，$f^{\prime }$ 在這附近遞減，由 $f^{\prime }(-2)=0$ 知 $f^{\prime }$ 在 $-2$ 左邊為正、右邊為負，$f$ 先增後減，所以 $f$ 在 $x=-2$ 有極大值，不是極小值。例如 $f(x)=-(x+2{)}^2$。

選「1」。$\left|f(x)\right|$ 把 $x$ 軸下方的部分翻到上方，積分就是面積的和：

$${\int }_1^6\left|f(x)\right|dx={\int }_1^{4}f(x)dx-{\int }_4^{6}f(x)dx=6+1=7$$

答案 (1)(2)(4)。$f(x)=(x^2-1{)}^2$，$f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x+1)(x-1)$，$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-4$。

(1) 正確。 $-1<x<0$ 時，$4x<0$、$x+1>0$、$x-1<0$，$f^{\prime }(x)>0$，所以 $f$ 在 $[-1,0]$ 遞增。

(2) 正確。 $x>1$ 時三個因式都為正，$f^{\prime }(x)>0$，所以 $f$ 在 $[1,\infty )$ 遞增。

(3) 錯誤。 $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-4$ 在 $\frac{1}{\sqrt{3}}<x\le 1$ 時為正，例如 $f^{\prime \prime }(1)=8>0$，這一段凹口向上，不是整段凹口向下。

(4) 正確。 $f^{\prime \prime }\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=12\cdot \frac{1}{3}-4=0$。

(5) 錯誤。 $f(0)=1$ 只是相對極大值；$f(2)=9>1$，而且 $x$ 很大時 $f(x)$ 無限變大，$f$ 沒有最大值。

答案 (1)(2)(3)(4)(5)。$f(x)=99-x^2$ 在 $[0,1]$ 上為正且遞減。

(1) 正確。 $-x^2\le 0$，$f(x)\le 99$，等號在 $x=0$，最大值為 $99$。

(2) 正確。 在 $0\le x\le 1$ 時 $f(x)\ge 98>0$，圖形在 $x$ 軸上方，定積分 $a$ 就是所圍區域的面積。

(3) 正確。 $b$ 用每個小區間左端點的函數值、$c$ 用右端點的函數值，兩者相減只剩頭尾：$b-c=\frac{1}{n}\left(f(0)-f(1)\right)=\frac{1}{n}>0$。

(4) 正確。 $a={\int }_0^1\left(99-x^2\right)dx=99-\frac{1}{3}=\frac{296}{3}$。$f$ 在 $[0,1]$ 遞減，每個小區間取左端點的長方形都比該段曲線下面積大，所以 $b>a=\frac{296}{3}$。也可直接算：$\sum _{k=0}^{n-1}{k}^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$，

$$b-\frac{296}{3}=\frac{1}{3}-\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}=\frac{3n-1}{6n^2}>0$$

(5) 正確。 $c=99-\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$，$n\to \infty$ 時趨近 $99-\frac{1}{3}=\frac{296}{3}$，也就是定積分 $a$。

答案 (2)(5)。卷面以上橫線表示向量 $\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OQ}$。$\left|\overrightarrow{OP}\right|=\left|\overrightarrow{OQ}\right|=3$，內積 $=9\cos \theta$，$\theta$ 是兩向量的夾角。

設 $L$ 的方向角為 $0^{\circ }$。與 $L$ 夾銳角 $30^{\circ }$ 的方向有 $30^{\circ }$、$-30^{\circ }$、$150^{\circ }$、$-150^{\circ }$ 四個。$P$、$Q$ 相異，兩向量不同方向，所以夾角 $\theta$ 只可能是 $60^{\circ }$、$120^{\circ }$ 或 $180^{\circ }$，內積為

$$9\cos 60^{\circ }=\frac{9}{2},9\cos 120^{\circ }=-\frac{9}{2},9\cos 180^{\circ }=-9$$

(1) 錯誤。 內積為 $0$ 要夾角 $90^{\circ }$，不可能。

(2) 正確。 例如 $\overrightarrow{OP}$ 方向 $30^{\circ }$、$\overrightarrow{OQ}$ 方向 $150^{\circ }$，夾角 $120^{\circ }$。

(3) 錯誤。 $1$ 不在 $\frac{9}{2}$、$-\frac{9}{2}$、$-9$ 之中。

(4) 錯誤。 $\frac{3}{2}$ 也不在其中。

(5) 正確。 例如 $\overrightarrow{OP}$ 方向 $30^{\circ }$、$\overrightarrow{OQ}$ 方向 $-150^{\circ }$，$P$、$Q$ 是一條直徑的兩端，夾角 $180^{\circ }$。

答案 (1)(2)(4)。

(1) 正確。 $(-a{)}^9=-a^9$，$(-a{)}^{11}=-a^{11}$。$a>1$ 時 $a^{11}>a^9$，所以 $-a^9>-a^{11}$。

(2) 正確。 $b^{-10}={\left(\frac{1}{b}\right)}^{10}$，$b^{-8}={\left(\frac{1}{b}\right)}^8$，底數 $\frac{1}{b}>1$，指數大的較大。

(3) 錯誤。 $\frac{1}{a}<1<\frac{1}{b}$，${\log }_{10}x$ 是遞增函數，所以 ${\log }_{10}\frac{1}{a}<{\log }_{10}\frac{1}{b}$。

(4) 正確。 底數 $a>1$、真數 $2>1$，${\log }_{a}2>0$；底數 $0<b<1$、真數 $2>1$，${\log }_{b}2<0$。正數大於負數。

(5) 錯誤。 兩邊都是負數，大小不一定。例如 $a=2$、$b=\frac{1}{2}$：${\log }_2\frac{1}{2}=-1$，${\log }_{\frac{1}{2}}2=-1$，兩者相等，不等式不成立。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。在 $x=1$ 有極小值，$f^{\prime }(1)=3+2a+b=0$；極小值為 $3$，$f(1)=1+a+b+5=3$，即 $a+b=-3$。兩式相減得 $a+3=3$，$a=0$，$b=-3$。

檢查：$f^{\prime \prime }(x)=6x+2a$，$f^{\prime \prime }(1)=6>0$，確實是極小值。所以 $a-b=0-(-3)=3$。

$f^{\prime }(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x+1)(x-1)$。

$x<-1$ 時 $f^{\prime }>0$，$-1<x<0$ 與 $0<x<1$ 時 $f^{\prime }<0$，$x>1$ 時 $f^{\prime }>0$。所以 $x=-1$ 有極大值，$x=1$ 有極小值；$x=0$ 兩側 $f^{\prime }$ 都為負，不是極值點。

$M=f(-1)=-3+5+2=4$，$m=f(1)=3-5+2=0$，$M+m=4$。

被積函數 $x^9+5x^5+3x^3$ 的反導函數可取 $F(x)=\frac{x^{10}}{10}+\frac{5x^6}{6}+\frac{3x^4}{4}$，只有偶次方，$F(-7)=F(7)$。所以

$${\int }_{-7}^7\left(x^9+5x^5+3x^3\right)dx=F(7)-F(-7)=0$$

設 $R_1$ 的面積為 $k$，則 $R_2$ 的面積為 $4k$。由圖，$R_1$ 在 $x$ 軸下方（$-3\le x\le 0$），$R_2$ 在 $x$ 軸上方（$0\le x\le 5$），所以

$${\int }_{-3}^{5}f(x)dx=-k+4k=3k=6$$

得 $k=2$，${\int }_{-3}^{0}f(x)dx=-k=-2$。

設 $P(t,t^2)$。$y^{\prime }=2x$，切線為 $y-t^2=2t(x-t)$，即 $y=2tx-t^2$。$P$ 在題目所說的區域內，所以 $0<t\le 3$，下面在這個範圍內找最大面積。

切線與 $x$ 軸交於 $A\left(\frac{t}{2},0\right)$，與 $x=3$ 交於 $B\left(3,6t-t^2\right)$，直角頂點 $C(3,0)$。

$$△ABC\text{ 面積 }S(t)=\frac{1}{2}\left(3-\frac{t}{2}\right)\left(6t-t^2\right)=\frac{t(6-t{)}^2}{4}$$

$$S^{\prime }(t)=\frac{(6-t{)}^2-2t(6-t)}{4}=\frac{(6-t)(6-3t)}{4}$$

$0<t<2$ 時 $S^{\prime }(t)>0$，$2<t\le 3$ 時 $S^{\prime }(t)<0$，所以 $t=2$ 時面積最大（$S(2)=8$），此時 $P(2,4)$。

$\overrightarrow{PA}=(a-2,-2)$，$\overrightarrow{PB}=(-1,b-3)$。垂直時內積為 $0$：$-(a-2)-2(b-3)=0$，即 $a+2b=8$。

行列式 $\left|\begin{array}{cc}a& 2b\\ -2b& a\end{array}\right|=a^2+4b^2$。把 $a=8-2b$ 代入：

$$a^2+4b^2=(8-2b{)}^2+4b^2=8b^2-32b+64=8(b-2{)}^2+32$$

$b=2$ 時有最小值 $32$，此時 $a=4$。$\overrightarrow{PA}=(2,-2)$，$\overrightarrow{PB}=(-1,-1)$，

$$△PAB\text{ 面積}=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& -1\end{array}\right|\right|=\frac{1}{2}\left|-2-2\right|=2$$

${\left(\sqrt[3]{49}\right)}^{100}=7^{\frac{200}{3}}$，

$$\log 7^{\frac{200}{3}}=\frac{200}{3}\times 0.8451=\frac{169.02}{3}=56.34$$

所以 $n=56$，$\log a=0.34$。因為 $\log 2=0.3010<0.34<0.4771=\log 3$，所以 $2<a<3$，$a$ 的整數部分 $m=2$。$(m,n)=(2,56)$。

疊合：$f(x)=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$。$f(x)=\frac{1}{2}$ 即 $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{4}$。

令 $u=x+\frac{\pi }{3}$，$0\le x<2\pi$ 時 $\frac{\pi }{3}\le u<\frac{7\pi }{3}$。設 $\sin \alpha =\frac{1}{4}$，$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$；因為 $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$，$\alpha <\frac{\pi }{6}$。$\sin u=\frac{1}{4}$ 的解是 $u=\alpha +2k\pi$ 或 $u=\pi -\alpha +2k\pi$，落在 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{3}\right)$ 的只有 $u=\pi -\alpha$ 與 $u=2\pi +\alpha$（$\alpha <\frac{\pi }{3}$ 不在範圍內；$3\pi -\alpha >\frac{7\pi }{3}$ 也不在）。

兩個 $u$ 的和為 $3\pi$，所以 $x$ 的和為 $3\pi -2\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$，格子填 $7$。

令 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$。$\overline{AD}:\overline{BD}=8:3$，$D$ 在直線 $AB$ 上有兩種位置：

內分（$D$ 在線段 $AB$ 上）：$\overrightarrow{OD}=\frac{3\overrightarrow{a}+8\overrightarrow{b}}{11}$，這時 $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}=\frac{1}{55}\left(9{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+16{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2\right)>0$，不會垂直，不合。

外分（$\overline{AD}>\overline{BD}$，$D$ 在 $B$ 的外側）：$B$ 是 $\overline{AD}$ 上 $\overline{AB}:\overline{BD}=5:3$ 的分點，$\overrightarrow{OB}=\frac{3\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OD}}{8}$，得 $\overrightarrow{OD}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{8}{5}\overrightarrow{b}$。

$$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}=\left(\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}\right)\cdot \left(-\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{8}{5}\overrightarrow{b}\right)=-\frac{9}{25}{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+\frac{16}{25}{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=0$$

所以 ${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2:{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=9:16$，$\frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}=\frac{3}{4}$。

$x^{\circ }$ 是 $x$ 度，換成弧度是 $\frac{\pi x}{180}$。$\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{3\pi }{2}$ 時，

$$0<\frac{\pi x}{180}\le \frac{\pi }{180}\cdot \frac{3\pi }{2}=\frac{{\pi }^2}{120}<\frac{10}{120}<\frac{\pi }{2}$$

所以 $\cos x^{\circ }>0$。另一方面，$x$（弧度）在 $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$ 時 $\cos x\le 0$。因此 $\cos x^{\circ }>0\ge \cos x$ 恆成立，沒有任何 $x$ 滿足 $\cos x^{\circ }\le \cos x$，答案為 $0$ 個。

$x$、$y$ 各在一個區間內變動時，$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}$ 的所有點形成一個平行四邊形，兩鄰邊為 $\left(1-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{u}$ 與 $\left(\frac{1}{2}-(-3)\right)\overrightarrow{v}$。

$$\text{面積}=\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{2}\cdot \left|\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|\right|=\frac{7}{4}\cdot \left|4-6\right|=\frac{7}{2}$$