御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值與數線、指數與算幾不等式、常用對數）

屏東高中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

基本分 25 分；單選題 6 題（18 分）、多選題 5 題（15 分）、選填題 14 題（42 分），滿分 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，25 題全部一致。

第壹部分：選擇題（占 33 分）一、單選題（占 18 分）（第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 3 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。）（卷面第 3 題只印了四個選項）
1
科學家測得南極上空臭氧層的破洞面積大約是 2300 萬平方公里，約相當於北美洲的面積。根據上述數據，估計地球的表面積，請選出最接近地球表面積的選項。（已知地球表面陸地約占 29%，北美洲面積約占陸地面積的 16%）
  1. (1) 5×106 平方公里
  2. (2) 5×107 平方公里
  3. (3) 5×108 平方公里
  4. (4) 5×109 平方公里
  5. (5) 5×1010 平方公里
2
設 E(r) 為芮氏規模 r 的地震震央所釋放出的能量，E(r) 與 r 的關係為 logE(r)=1.5r+11.8。已知 2010 年 2 月 27 日智利發生規模 8.8 的地震，而 2012 年 8 月 31 日菲律賓發生規模為 7.6 的地震。則智利大地震所釋放出的能量大約是菲律賓大地震的幾倍？（已知 100.8≈6.31）
  1. (1) 6 倍
  2. (2) 63 倍
  3. (3) 631 倍
  4. (4) 6310 倍
  5. (5) 63100 倍
3
若 A=4−14​，B=3−7​，C=5​−3​，則下列選項何者正確？
  1. (1) 甲說：「A 是裡面最大的數」
  2. (2) 乙說：「B 是裡面最小的數」
  3. (3) 丙說：「A1​<B1​<C1​」
  4. (4) 丁說：「0<A<1」
4
數線上有 A(a)、B(b)、C(3a+2b​)、D(6a+5b​) 四點且 A 點在 B 點右方，試選出正確選項。
  1. (1) AB=b−a
  2. (2) B 點在 C 點左方
  3. (3) D 點在 C 點右方
  4. (4) AB:BC=2:3
  5. (5) AD<BC
5
已知一不等式的解如圖粗線區域，試問下列哪一個選項為該不等式的解？
  1. (1) ∣x∣≥5​+1
  2. (2) ∣x+1∣≥5​
  3. (3) ∣x−1∣≥5​
  4. (4) ​x−5​​≥1
  5. (5) ​x+5​​≥1
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6
已知 a=3.451，logb=loga+1，則 b=？
  1. (1) 4.451
  2. (2) 44.51
  3. (3) 3.551
  4. (4) 0.3451
  5. (5) 34.51
二、多選題（占 15 分）（第 7 題至第 11 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 3 分；答錯 1 個選項者，得 2 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。）
7
已知 log3≈0.4771，請選出正確的選項。
  1. (1) 100.5=5
  2. (2) 10log0.5=0.5
  3. (3) 3<log4771<4
  4. (4) −2<log0.4771<−1
  5. (5) 320 為 10 位數
8
設 a、b、c 都是實數。請問下列哪些敘述是正確的？
  1. (1) 若 a>b，則 ac>bc
  2. (2) a2​=∣a∣
  3. (3) 2a+b​≥ab​
  4. (4) 若 a、b 是無理數，則 a+b 一定也是無理數
  5. (5) 若 ∣a∣>∣b∣，則 a>b
9
已知 a=50.2，b=50.3，請選出正確的選項：
  1. (1) a5=5
  2. (2) b10=125
  3. (3) a+b=50.5
  4. (4) ab=5​
  5. (5) a2=b3
10
請問下列哪些選項的計算結果是正確的？
  1. (1) 8×10−5+4×10−6=4.8×10−4
  2. (2) 8×10−5−4×10−6=7.6×10−5
  3. (3) (8×10−5)×(4×10−6)=3.2×10−10
  4. (4) (8×10−5)÷(4×10−6)=2×10−1
  5. (5) (8×10−5)÷(4×10−6)2=5×107
11
下列何者正確？
  1. (1) 10log2>10log3
  2. (2) 每一個正數都可以寫成 10 的某次方
  3. (3) 將正數 a 寫成 10 的次方時，其指數必為正數
  4. (4) a>0，則 102loga=a2
  5. (5) a>0，則 a1​=10−loga
第貳部分：選填題（占 42 分）（每題完全答對給 3 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。答案的形式必須是最簡分數或最簡根式。）（本頁第 12～25 題依序為原卷選填題 A～N；原卷以答案卡題號 12～43 作答）
12
A. 若分數 2415a21​ 可化為有限小數，則 a 的值有 ____ 個解。（註：a 為五位數 15a21 的百位數字）
13
B. 試以最簡分數表示 1.54+0.83= ____。（原卷作答格式為分數，分子三格、分母兩格）
14
C. 不等式 ∣2x+1∣<x+3 的解為 a<x<b，試求 a+b= ____。（化為最簡分數；原卷作答格式為分數，分子、分母各一格）
15
D. 設 a、b 為有理數，且已知 3​ 是無理數，若 (3​+1)a+(2−3​)b=7−23​，則數對 (a,b)= ____。
16
E. 已知 a3=5​，試求 (a−1)(a+1)(a2−a+1)(a2+a+1) 的值為 ____。
17
F. 已知 0<x<1，且 x2+x21​=5，則 x−x1​= ____。（原卷作答格式為根號前一格、根號內一格）
18
G. 假設 x=32​+1​+32​−1​，則 x3−3x= ____。（化為最簡根式；原卷作答格式為根號前一格、根號內一格）
19
H. 設 a、b 為實數，若 a2+2b2=4，則 a2b2 的最大值為 ____。
20
I. 設 n 為正整數且 d 為 0,1,2,3,…,9 其中一數，若 810n​=0.d25（d25 循環），則 n= ____。（原卷作答格共三格）
21
J. 已知 a2x=4，則 ax+a−xa3x+a−3x​= ____。（原卷作答格式為分數，分子兩格、分母印 4）
22
K. 設 132x=11，113y=13，則 xy= ____。（原卷作答格式為分數，分子、分母各一格）
23
L. 如果滿足 a 為偶數且 1<loga<2 的整數 a 共有 ____ 個。（原卷作答格共兩格）
24
M. 假設 log(logA)=3，則 A 為 ____ 位數。（原卷作答格共四格）
25
N. 已知 log7≈0.8451，若 7n 是 100 位數，則自然數 n= ____。（原卷作答格共三格）
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)
第 2 題(2)
第 3 題(4)
第 4 題(2)
第 5 題(3)
第 6 題(5)
第 7 題(2)(3)(5)
第 8 題(2)
第 9 題(1)(2)(4)
第 10 題(2)(3)
第 11 題(2)(4)(5)
第 12 題4
第 13 題66157​
第 14 題32​
第 15 題(1,3)
第 16 題4
第 17 題−3​
第 18 題22​
第 19 題2
第 20 題750
第 21 題413​
第 22 題61​
第 23 題44
第 24 題1001
第 25 題118
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1～6：科學記號估算、地震能量、根式比大小、數線上的點與絕對值不等式

第 1 題答案 (3)。北美洲面積約 2300 萬 =2.3×107 平方公里，占陸地的 16%，所以陸地面積約 0.162.3×107​≈1.44×108 平方公里。陸地占地球表面的 29%，所以地球表面積約 0.291.44×108​≈4.96×108 平方公里，最接近 5×108 平方公里。
兩個百分比都是「部分占整體的比例」，由部分回推整體要用除的，不是乘的。2300 萬是 2.3×103×104=2.3×107。
第 2 題答案 (2)。logE(8.8)=1.5×8.8+11.8=25，所以 E(8.8)=1025；logE(7.6)=1.5×7.6+11.8=23.2，所以 E(7.6)=1023.2。兩者相除：1023.21025​=101.8=10×100.8≈10×6.31=63.1，大約 63 倍。
規模差 1.2，能量的指數差 1.5×1.2=1.8；倍數是 101.8，不是 1.8 倍。
第 3 題答案 (4)。把三個數都改寫成分子有理化的形式：A=16​−14​=16​+14​2​，B=9​−7​=9​+7​2​，C=5​+3​2​。分子都是 2，分母 16​+14​>9​+7​>5​+3​>0，分母越大的數越小，所以 0<A<B<C。(1) 錯：A 最小。(2) 錯：最小的是 A 不是 B。(3) 錯：三個數都是正數且 A<B<C，取倒數後大小反過來，A1​>B1​>C1​。(4) 對：A>0，而且 A=4+14​2​<42​<1。
卷面這一題只印了 (1)～(4) 四個選項。估計值：A≈0.26，B≈0.35，C≈0.50。
第 4 題答案 (2)。A 在 B 右方，表示 a>b。(1) 錯：AB=a−b（長度是正的），b−a 是負數。(2) 對：C 的坐標減 B 的坐標 =3a+2b​−b=3a−b​>0，所以 C 在 B 的右方，也就是 B 在 C 左方。(3) 錯：6a+5b​−3a+2b​=6a+5b−2a−4b​=6b−a​<0，D 在 C 的左方。(4) 錯：BC=3a−b​，AB:BC=(a−b):3a−b​=3:1。(5) 錯：AD=a−6a+5b​=65(a−b)​，而 BC=62(a−b)​，所以 AD>BC。
由左到右依序是 B、D、C、A。可以代 a=6、b=0 檢查：C 在 2，D 在 1。
第 5 題答案 (3)。圖上兩個端點 1−5​ 和 5​+1 的中點是 1，兩個端點到 1 的距離都是 5​。粗線是兩個端點（實心，含端點）往外的部分，也就是「x 到 1 的距離大於或等於 5​」，寫成 ∣x−1∣≥5​。檢查：∣x−1∣≥5​ 即 x−1≥5​ 或 x−1≤−5​，得 x≥1+5​ 或 x≤1−5​，與圖相符。
先找兩端點的中點當作絕對值裡要減的數，再算端點到中點的距離當作右邊的數。(2) 的 ∣x+1∣ 是到 −1 的距離，中心不對。
第 6 題答案 (5)。設 loga=t，即 a=10t。logb=t+1 表示 b=10t+1=10×10t=10a=34.51。
對數值加 1，原來的數變成 10 倍，不是加 1 也不是加 10。
對數值相差多少，原來的數就差 10 的多少次方倍。

02多選 7～11：常用對數、實數的性質、分數指數與科學記號

第 7 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：100.5=10​≈3.16，不是 5。(2) 對：log0.5 就是「10 的幾次方等於 0.5」的那個數，所以 10log0.5=0.5。(3) 對：103=1000<4771<10000=104，所以 3<log4771<4。(4) 錯：10−1=0.1<0.4771<1=100，所以 −1<log0.4771<0。(5) 對：3≈100.4771，320≈(100.4771)20=109.542，109<320<1010，是 10 位數。
(3)、(4) 的 4771 只是數字長得像 log3 的近似值，判斷時直接把它夾在兩個 10 的整數次方之間就好。
第 8 題答案 (2)。(1) 錯：c≤0 時不成立，例如 a=2、b=1、c=−1，ac=−2<bc=−1。(2) 對：a2​ 是 a2 的非負平方根；a≥0 時是 a，a<0 時是 −a，正好是 ∣a∣。(3) 錯：算幾不等式要 a、b 都不是負數；例如 a=b=−1 時，左邊是 −1，右邊是 1​=1，不成立（ab<0 時右邊甚至沒有意義）。(4) 錯：取 a=2​、b=−2​，a+b=0 是有理數。(5) 錯：取 a=−3、b=1，∣a∣>∣b∣ 但 a<b。
題目只說 a、b、c 是實數，負數和 0 都要考慮；錯的選項各舉一個反例。
第 9 題答案 (1)(2)(4)。(1) 對：a5=(50.2)5=51=5。(2) 對：b10=(50.3)10=53=125。(3) 錯：指數律是相乘時指數相加，相加沒有這種規則；a≈1.38，b≈1.62，a+b≈3，而 50.5=5​≈2.24。(4) 對：ab=50.2+0.3=50.5=5​。(5) 錯：a2=50.4，b3=50.9，指數不同，兩數不相等。
(3) 不用算近似值也能判斷：a>1 且 b>1，所以 a+b>2；又 ab=5​，由算幾不等式 a+b≥2ab​>22​>5​。
第 10 題答案 (2)(3)。先把 4×10−6 寫成 0.4×10−5。(1) 錯：8×10−5+0.4×10−5=8.4×10−5。(2) 對：8×10−5−0.4×10−5=7.6×10−5。(3) 對：8×4=32，10−5×10−6=10−11，32×10−11=3.2×10−10。(4) 錯：8÷4=2，10−5÷10−6=10−5−(−6)=101，結果是 2×101。(5) 錯：(4×10−6)2=16×10−12，8÷16=0.5，10−5÷10−12=107，結果是 0.5×107=5×106。
加減要先把 10 的次方化成相同再合併係數；乘除則是係數相乘除、指數相加減。(4)、(5) 都錯在指數差了 1。
第 11 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：10log2=2，10log3=3，2<3。(2) 對：正數 a 可以寫成 a=10loga，這正是 loga 的定義。(3) 錯：0<a<1 時指數是負的（例如 0.1=10−1），a=1 時指數是 0。(4) 對：102loga=(10loga)2=a2。(5) 對：10−loga=10loga1​=a1​。
看到 10loga 就換成 a，其餘用指數律處理。
loga=k 就是 a=10k；判斷對數值的範圍，把真數夾在兩個相鄰的 10 的整數次方之間。

03選填 12～18（原卷選填 A～G）：有限小數、循環小數、絕對值不等式與乘法公式

第 12 題24=23×3。分數能化成有限小數，條件是約成最簡分數後分母只有 2 和 5 的質因數，所以分母裡的 3 必須被分子約掉，也就是 15a21 是 3 的倍數。數字和 1+5+a+2+1=9+a 要是 3 的倍數，a=0,3,6,9，共 4 個。
15a21 是奇數，分母的 23 約不掉，但 2 留在分母不影響「有限小數」；只需要處理 3。
第 13 題1.54=1+9954​=1+116​=1117​。設 y=0.83=0.8333⋯，10y=8.333⋯，100y=83.333⋯，相減得 90y=75，y=65​。兩數相加：1117​+65​=66102+55​=66157​。
第一個數的循環節是 54 兩位，第二個數只有 3 循環、8 不循環，兩個的化法不同。157 是質數，已是最簡分數。
第 14 題∣2x+1∣<x+3 即 −(x+3)<2x+1<x+3。左半：−x−3<2x+1，3x>−4，x>−34​。右半：2x+1<x+3，x<2。所以 −34​<x<2，a=−34​，b=2，a+b=32​。
∣u∣<v 與 −v<u<v 永遠等價，可以直接拆；也可以分 x≥−21​ 與 x<−21​ 兩段去絕對值，結果相同。
第 15 題展開左邊並把有理數部分與 3​ 的部分分開：(3​+1)a+(2−3​)b=(a+2b)+(a−b)3​。a、b 是有理數，3​ 是無理數，所以兩邊比較係數：a+2b=7，a−b=−2。兩式相減得 3b=9，b=3，a=1。所以 (a,b)=(1,3)。
能比較係數的理由：若 p+q3​=r+s3​（p,q,r,s 是有理數）而 q=s，則 3​=s−qp−r​ 是有理數，矛盾。
第 16 題重新配對：(a−1)(a2+a+1)=a3−1，(a+1)(a2−a+1)=a3+1。所以原式 =(a3−1)(a3+1)=(a3)2−1=(5​)2−1=4。
立方差配 a2+a+1，立方和配 a2−a+1，符號不要配反。
第 17 題(x−x1​)2=x2−2+x21​=5−2=3，所以 x−x1​=±3​。因為 0<x<1，x1​>1>x，所以 x−x1​<0，取 −3​。
條件 0<x<1 就是用來決定正負號的；答案卡根號前那一格畫負號。
第 18 題設 p=32​+1​，q=32​−1​，則 x=p+q，p3=2​+1，q3=2​−1，pq=3(2​+1)(2​−1)​=31​=1。由 (p+q)3=p3+q3+3pq(p+q) 得 x3=22​+3x，所以 x3−3x=22​。
不必把 x 算出來；題目問的 x3−3x 正好是和的立方公式移項後的樣子。
乘法公式的求值題，先看題目問的式子像哪一條公式移項後的樣子，再整組代入。

04選填 19～25（原卷選填 H～N）：算幾不等式、循環小數、指數律與對數的位數

第 19 題a2 與 2b2 都不是負數，由算幾不等式 2a2+2b2​≥a2⋅2b2​，即 2≥2a2b2​。兩邊平方得 4≥2a2b2，所以 a2b2≤2。等號在 a2=2b2 時成立，配合 a2+2b2=4 得 a2=2、b2=1（例如 a=2​、b=1），做得到。最大值為 2。
和固定的是 a2 與 2b2，所以對這兩個數用算幾不等式，不是對 a2 與 b2。
第 20 題循環節 d25 是三位數 100d+25，所以 0.d25=999100d+25​。n=999810(100d+25)​=3730(100d+25)​=37750(4d+1)​。37 是質數且不整除 750，n 要是整數，37 必須整除 4d+1。d 是 0 到 9 的數字，4d+1 介於 1 和 37 之間，只有 4d+1=37，即 d=9。此時 n=750。檢查：810750​=2725​=999925​=0.925。
999=27×37，810=27×30，先約掉 27；100d+25=25(4d+1)。
第 21 題設 t=ax，則 t2=a2x=4。分子 t3+t31​=(t+t1​)(t2−1+t21​)，與分母 t+t1​ 約掉後，原式 =t2−1+t21​=4−1+41​=413​。
用立方和公式 u3+v3=(u+v)(u2−uv+v2)，其中 uv=t⋅t1​=1。也可以直接代 ax=2：2+21​8+81​​=865​×52​=413​。
第 22 題把第一式的 11=132x 代進第二式：13=113y=(132x)3y=136xy。底數相同，指數相等：6xy=1，xy=61​。
兩式一個是 13 的次方等於 11、一個是 11 的次方等於 13，互相代入就能把底數統一。
第 23 題1<loga<2 即 101<a<102，10<a<100。其中的偶數是 12,14,…,98，共 298−12​+1=44 個。
兩端 10 和 100 都不含（log10=1、log100=2 不滿足嚴格不等式）。
第 24 題log(logA)=3 表示 logA=103=1000，所以 A=101000。101000 是 1 後面跟著 1000 個 0，共 1001 位數。
10n 是 n+1 位數（例如 102=100 是三位數），不是 n 位數。
第 25 題7≈100.8451，所以 7n≈100.8451n。7n 是 100 位數，表示 1099≤7n<10100，即 99≤0.8451n<100，117.1⋯≤n<118.3⋯，自然數 n=118。檢查：0.8451×118=99.7218，介於 99 和 100 之間；0.8451×117=98.8767 還不到 99。
100 位數對應的指數範圍是 99 到 100，不是 100 到 101。
N 是 k 位數，就是 10k−1≤N<10k；把 N 寫成 10 的次方後看指數落在哪兩個整數之間。

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常見問題

屏東高中 111 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 111 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選填第 18 題（原卷 G）要看出所求正好是和的立方公式移項後的樣子，不必把根式算出來；選填第 20 題（原卷 I）要把循環小數寫成分母九九九的分數，再用整除找出那個數字；多選第 10 題的除法兩個選項都錯在指數差一；選填第 25 題一百位數對應的指數是九十九到一百之間。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 111 學年度上學期 高一第一次段考 數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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