段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律、對數律與換底公式、常用對數、指數與對數函數的圖形、指對數方程式與不等式、指數與對數的應用）

屏東高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 屏東高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 屏東高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題不必查表，只要看出 log 以 11 為底的 10 介於二分之一與 1 之間就能定出最接近的整數；第 9 題的選項 (4) 要比較 x 很接近 0 時與 x=1 時兩個圖形的上下位置，才知道兩圖形一定相交；選填 F（第 16 題）是每月複利，取整數時要無條件進位；選填 I（第 19 題）兩邊底數不同，要先化成同底並寫出兩個真數條件。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

原卷未印配分。單選題 5 題、多選題 5 題、選填題 10 題；原卷單選 1～5、多選 6～10、選填 A～J，本頁依序編為第 1～20 題（選填 A～J 為第 11～20 題）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題

若對數

lo g_{2 x - 3} (6 - x)

有意義，則下列哪個選項為可能的

x

值？

(1) $- 2$
(2) $0$
(3) $2$
(4) $4$
(5) $6$

函數

5^{x^{2} + 4 x + 3}

的最小值為下列何者？

(1) $\frac{1}{5}$
(2) $1$
(3) $5$
(4) $55$
(5) $25$

設

a

，

b

為正實數，且

lo g_{11} a = 11

，

lo g_{11} b = 12

，則

lo g_{11} (b - a)

最接近下列哪一個整數？

(1) $11$
(2) $12$
(3) $22$
(4) $24$
(5) $36$

若自然數

n

滿足

lo g_{10} (lo g_{10} n) = 2

，則

n

是幾位數？

(1) $10$ 位數
(2) $20$ 位數
(3) $99$ 位數
(4) $100$ 位數
(5) $101$ 位數

在一個培養容器中，由實驗得知細菌的數目每隔一小時會增加

2

倍（即變成原來的

3

倍），已知一開始放入

2

個細菌，剛好經過一天（

24

小時）後，容器就充滿細菌（總數為

N

個），如果一開始放入

1000

個細菌，問需經過多久時間，容器才會充滿細菌？

(1) $13$ 小時以內
(2) $13$ 小時到 $15$ 小時
(3) $15$ 小時到 $17$ 小時
(4) $17$ 小時到 $19$ 小時
(5) $19$ 小時以上

二、多選題

設

f (x) = 4^{x}

，則下列選項哪些是正確的？

(1) 若 $x > 0$ ，則 $f (x) > 1$
(2) 若 $x < 0$ ，則 $f (x) < 1$
(3) $f (0) = 1$
(4) $f (\frac{1}{2}) = f (1) - f (2)$
(5) $f (300) = f (100) \times f (200)$

下列哪些數是有理數？

(1) $lo g_{2} 1$
(2) $lo g_{4} 2$
(3) $lo g_{8} 4$
(4) $lo g_{2} 3$
(5) $3^{l o g_{3} (- 9)}$

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

且

a = 2^{1998}

，則下列敘述哪些正確？

(1) $a$ 的個位數字為 $4$
(2) $a$ 為 $601$ 位數
(3) $a$ 的最高位數字為 $2$
(4) $a$ 的最高位數字為 $3$
(5) $a < 3^{1332}$

關於指數與對數函數的圖形，下列選項哪些是正確的？

(1) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = 1 0^{- x}$ 對稱於 $y$ 軸
(2) $y = lo g x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 對稱於 $x$ 軸
(3) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 對稱於原點
(4) $y = ∣ lo g x ∣$ 的圖形與 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 沒有交點
(5) 任取 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 圖形上兩不同點 $A$ ， $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為負

請問下列哪些選項是正確的？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $3^{4} > 4^{3}$
(2) $π^{50} < 1. 7^{100}$
(3) $0.7 < 3 0.7$
(4) $lo g_{2} 5 < 2.5$
(5) $1 0^{9} < 9^{10}$

三、選填題

y = 2^{x}

的圖形向右移

h

單位，向上移

k

單位，可得

y - 2 = \frac{2 ^{x}}{8}

的圖形，則數對

(h, k) = (◯, ◯)

。

科學上，我們將某放射性物質質量衰減成原來一半所經過的時間稱為半衰期。今有一放射性物質，在一年後剩下

128

公克，而

10

年後剩下

16

公克，設每年衰變的比率都相同，則此物質的半衰期為

◯

年。

使對數

lo g_{4} [lo g_{0.5} (lo g_{2} x)]

有意義的

x

的範圍為

◯ < x < ◯

。

設

x

、

y

、

z > 1

，

a > 0

，

lo g_{x} a = 40

，

lo g_{y} a = 60

，

lo g_{x y z} a = 8

，則

lo g_{z} a = ◯ ◯

。

設直線

L

：

x = k

分別與

y = lo g x

、

y = lo g (x + 9)

的圖形交於

A

、

B

兩點，已知

\overline{A B} = \frac{1}{2}

，則

k = ◯ + ◯ ◯

。

某人工作

10

年後，好不容易存到第一桶金（

100

萬元），但靠薪水存錢要買房，恐怕有點困難，於是決定將

100

萬元投入基金和股票的投資。假設此人運氣不錯，每個月結算時都有

2%

的獲利。若買房需要頭期款

300

萬元，則此人至少需要

◯ ◯

個月後（取整數），才有足夠的頭期款買房。（已知

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 1.02 \approx 0.0086

）

已知

lo g 2 \approx 0.3010

且

4000 < (\frac{5}{4})^{n} < 5000

，求滿足不等式的正整數

n = ◯ ◯

。

解不等式

2^{2 x + 1} - 33 \times 2^{x - 2} + 1 > 0

，則

x

的範圍為

x > ◯

或

x < ◯ ◯

。

求不等式

lo g (x + 1) > lo g_{100} (x^{2} + 3 x - 4)

的解為

◯ < x < ◯

。

設

x

、

y

、

z

皆為實數，

x^{3} + y^{4} = z^{5}

，若

x = 2^{20 n + 8}

，

z = 2^{12 n + 5}

，求

3 lo g_{2} x - 16 lo g_{2} y + 15 lo g_{2} z

的值為

◯

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(1)

第 3 題(4)

第 4 題(5)

第 5 題(4)

第 6 題(1)(2)(3)(5)

第 7 題(1)(2)(3)

第 8 題(1)(3)(5)

第 9 題(1)(2)(5)

第 10 題(1)(3)(4)(5)

第 11 題

(3, 2)

第 12 題

3

第 13 題

1 < x < 2

第 14 題

12

第 15 題

1 + 10

第 16 題

56

第 17 題

38

第 18 題

x > 2

或

x < - 3

第 19 題

1 < x < 5

第 20 題

3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：對數的條件、指數函數最小值、換底估值、位數、指數成長

第 1 題答案 (4)。底數條件：

2 x - 3 > 0

且

2 x - 3 \neq = 1

，即

x > \frac{3}{2}

且

x \neq = 2

；真數條件：

6 - x > 0

，即

x < 6

。合起來

\frac{3}{2} < x < 6

且

x \neq = 2

。選項中

- 2

、

0

太小，

2

會使底數為

1

，

6

會使真數為

0

，只有

x = 4

（底數

5

、真數

2

）可以。

第 2 題答案 (1)。底數

5 > 1

，

5^{t}

隨

t

遞增，所以指數最小時函數值最小。

x^{2} + 4 x + 3 = (x + 2)^{2} - 1 \geq - 1

，等號在

x = - 2

成立，最小值為

5^{- 1} = \frac{1}{5}

。

第 3 題答案 (4)。

a = 1 1^{11}

，

b = 1 1^{12}

，

b - a = 1 1^{11} (11 - 1) = 1 1^{11} \times 10

。

lo g_{11} (b - a) = \frac{lo g _{11} ( b - a )}{lo g _{11} 11} = 2 (11 + lo g_{11} 10) = 22 + 2 lo g_{11} 10

。因為

11 < 10 < 11

，所以

\frac{1}{2} < lo g_{11} 10 < 1

，於是

23 < 22 + 2 lo g_{11} 10 < 24

。選項中最接近的整數是

24

。

實際上

lo g_{11} 10 = \frac{1}{lo g 11} \approx 0.960

，所求約為

23.92

。

第 4 題答案 (5)。

lo g_{10} (lo g_{10} n) = 2

表示

lo g_{10} n = 1 0^{2} = 100

，所以

n = 1 0^{100}

，是

1

後面接

100

個

0

，共

101

位數。

第 5 題答案 (4)。每小時變成

3

倍，所以

N = 2 \times 3^{24}

。放入

1000

個，經過

t

小時充滿：

1000 \times 3^{t} = 2 \times 3^{24}

，得

3^{24 - t} = 500

。因為

3^{5} = 243 < 500 < 729 = 3^{6}

，所以

5 < 24 - t < 6

，即

18 < t < 19

，落在「

17

小時到

19

小時」。

用常用對數也可以：

24 - t = lo g_{3} 500 = \frac{3 - lo g 2}{lo g 3} \approx \frac{2.699}{0.4771} \approx 5.66

，

t \approx 18.3

。

02多選 6～10：指數函數性質、有理數判斷、位數與最高位數字、圖形、比大小

第 6 題答案 (1)(2)(3)(5)。底數

4 > 1

，

f (x) = 4^{x}

是遞增函數，且

f (0) = 1

。(1) 正確。

x > 0

時

4^{x} > 4^{0} = 1

。(2) 正確。

x < 0

時

4^{x} < 4^{0} = 1

。(3) 正確。

4^{0} = 1

。(4) 錯誤。

f (\frac{1}{2}) = 4 = 2

，而

f (1) - f (2) = 4 - 16 = - 12

。(5) 正確。 由指數律

4^{100} \times 4^{200} = 4^{300}

。

第 7 題答案 (1)(2)(3)。(1) 正確。 任何合法底數的

lo g 1 = 0

，所以

lo g_{2} 1 = 0

。(2) 正確。

4^{\frac{1}{4}} = (2^{2})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = 2

，所以

lo g_{4} 2 = \frac{1}{4}

。(3) 正確。

8^{\frac{2}{3}} = (2^{3})^{\frac{2}{3}} = 4

，所以

lo g_{8} 4 = \frac{2}{3}

。(4) 錯誤。 若

lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}

（

p

、

q

為正整數），則

2^{p} = 3^{q}

，左邊是偶數、右邊是奇數，矛盾，所以

lo g_{2} 3

是無理數。(5) 錯誤。 真數

- 9 < 0

，

lo g_{3} (- 9)

沒有意義，

3^{l o g_{3} (- 9)}

不是一個實數，更不是有理數。

第 8 題答案 (1)(3)(5)。

lo g a = 1998 lo g 2 \approx 1998 \times 0.3010 = 601.398

，首數

601

、尾數約

0.398

。(1) 正確。

2^{n}

的個位數字依

2, 4, 8, 6

循環，

1998 = 4 \times 499 + 2

，個位數字與

2^{2}

相同，是

4

。(2) 錯誤。 首數

601

，所以

a

是

602

位數。(3) 正確。

lo g 2 \approx 0.3010 < 0.398 < 0.4771 \approx lo g 3

，所以

a = 1 0^{601.398}

介於

2 \times 1 0^{601}

與

3 \times 1 0^{601}

之間，最高位數字是

2

。(4) 錯誤。 理由同 (3)。(5) 正確。

a = 2^{1998} = (2^{3})^{666} = 8^{666}

，

3^{1332} = (3^{2})^{666} = 9^{666}

，

8^{666} < 9^{666}

。

(5) 也可以用對數：

lo g 3^{1332} \approx 1332 \times 0.4771 \approx 635.5 > 601.4

。

第 9 題答案 (1)(2)(5)。(1) 正確。 把

y = 1 0^{x}

的

x

換成

- x

就得

y = 1 0^{- x}

，兩圖形對稱於

y

軸。(2) 正確。 由換底公式

lo g_{\frac{1}{10}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{10}} = - lo g x

，把

y

換成

- y

，兩圖形對稱於

x

軸。(3) 錯誤。

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

互為反函數，圖形對稱於直線

y = x

，不是原點；例如

(0, 1)

在

y = 1 0^{x}

上，它對原點的對稱點

(0, - 1)

不在

y = lo g x

上（

x = 0

沒有定義）。(4) 錯誤。 取

x = \frac{1}{1000}

：

∣ lo g x ∣ = 3

，而

\frac{1}{2} x + 2 = 2.0005

，對數圖形在直線上方；取

x = 1

：

∣ lo g 1 ∣ = 0

，而直線高度

2.5

，對數圖形在直線下方。兩個圖形都是連續不斷的曲線，在

\frac{1}{1000}

與

1

之間一定相交，所以有交點。(5) 正確。 底數

\frac{1}{10} < 1

，函數嚴格遞減：若

x_{1} < x_{2}

則

y_{1} > y_{2}

，所以

\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} < 0

，任兩點連線斜率為負。

第 10 題答案 (1)(3)(4)(5)。(1) 正確。

3^{4} = 81 > 64 = 4^{3}

。(2) 錯誤。

1. 7^{100} = (1. 7^{2})^{50} = 2.8 9^{50}

，而

π > 2.89

，所以

π^{50} > 1. 7^{100}

。(3) 正確。

0.7 = 0. 7^{\frac{1}{2}}

，

3 0.7 = 0. 7^{\frac{1}{3}}

；底數

0.7 < 1

時指數愈大值愈小，

\frac{1}{2} > \frac{1}{3}

，所以

0.7 < 3 0.7

。(4) 正確。

lo g_{2} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 2} = \frac{1 - lo g 2}{lo g 2} \approx \frac{0.6990}{0.3010} \approx 2.32 < 2.5

；不用近似值也可以：

2^{2.5} = 32 > 25 = 5

。(5) 正確。

lo g 9^{10} = 20 lo g 3 \approx 9.542 > 9 = lo g 1 0^{9}

，所以

1 0^{9} < 9^{10}

。

03選填 A～J：平移、半衰期、定義域、換底、交點距離、複利、指對數不等式、指對數綜合

第 11 題

\frac{2 ^{x}}{8} = 2^{x - 3}

，所以目標圖形是

y = 2^{x - 3} + 2

。

y = 2^{x}

向右移

h

、向上移

k

得

y = 2^{x - h} + k

，比較得

h = 3

，

k = 2

，

(h, k) = (3, 2)

。

第 12 題設原有質量

m_{0}

，每年變成原來的

r

倍，

t

年後剩

m_{0} r^{t}

。由題意

m_{0} r = 128

，

m_{0} r^{10} = 16

，相除得

r^{9} = \frac{16}{128} = \frac{1}{8} = 2^{- 3}

，所以

r = 2^{- \frac{1}{3}}

。半衰期

T

滿足

r^{T} = \frac{1}{2} = 2^{- 1}

，即

2^{- \frac{T}{3}} = 2^{- 1}

，

T = 3

年。

也可以看成每

3

年減半：從第

1

年到第

10

年共

9

年，

128 \to 64 \to 32 \to 16

剛好減半

3

次。

第 13 題由內往外寫條件。最內層

lo g_{2} x

：

x > 0

。中間層

lo g_{0.5} (lo g_{2} x)

：真數

lo g_{2} x > 0

，即

x > 1

。最外層

lo g_{4} [\dots]

：真數

lo g_{0.5} (lo g_{2} x) > 0 = lo g_{0.5} 1

；底數

0.5 < 1

時函數遞減，所以

lo g_{2} x < 1

，即

x < 2

。合起來

1 < x < 2

。

第 14 題由換底公式

lo g_{a} x = \frac{1}{lo g _{x} a} = \frac{1}{40}

，

lo g_{a} y = \frac{1}{60}

，

lo g_{a} (x y z) = \frac{1}{8}

。又

lo g_{a} (x y z) = lo g_{a} x + lo g_{a} y + lo g_{a} z

，所以

lo g_{a} z = \frac{1}{8} - \frac{1}{40} - \frac{1}{60} = \frac{15 - 3 - 2}{120} = \frac{1}{12}

，

lo g_{z} a = 12

。

第 15 題兩函數都要有定義，所以

k > 0

。

A (k, lo g k)

，

B (k, lo g (k + 9))

，兩點在同一條鉛垂線上，

\overline{A B} = lo g (k + 9) - lo g k = lo g \frac{k + 9}{k}

（

k + 9 > k

，所以這個值為正）。由

lo g \frac{k + 9}{k} = \frac{1}{2}

得

\frac{k + 9}{k} = 10

，

k + 9 = 10 k

，

k = \frac{9}{10 - 1} = \frac{9 ( 10 + 1 )}{10 - 1} = 1 + 10

。

第 16 題每月結算獲利

2%

，

n

個月後本利和為

100 \times 1.0 2^{n}

萬元。要

100 \times 1.0 2^{n} \geq 300

，即

1.0 2^{n} \geq 3

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.02 \geq lo g 3

，

n \geq \frac{0.4771}{0.0086} \approx 55.5

。

n

是整數，所以至少

56

個月。

55

個月時

1.0 2^{55} \approx 2.97

還不到

3

，

56

個月時約

3.03

。

第 17 題

lo g \frac{5}{4} = lo g \frac{10}{8} = 1 - 3 lo g 2 \approx 1 - 0.9030 = 0.0970

。

lo g 4000 = 3 + 2 lo g 2 \approx 3.6020

，

lo g 5000 = 3 + lo g 5 = 4 - lo g 2 \approx 3.6990

。不等式取常用對數：

3.6020 < 0.0970 n < 3.6990

，

37.1 < n < 38.1

，正整數

n = 38

。

第 18 題

2^{2 x + 1} = 2 \cdot (2^{x})^{2}

，

2^{x - 2} = \frac{2 ^{x}}{4}

。令

t = 2^{x} > 0

，不等式成為

2 t^{2} - \frac{33}{4} t + 1 > 0

，乘以

4

：

8 t^{2} - 33 t + 4 > 0

，

(8 t - 1) (t - 4) > 0

，所以

t > 4

或

t < \frac{1}{8}

（兩者都與

t > 0

相容，

0 < t < \frac{1}{8}

）。

2^{x} > 4 = 2^{2}

得

x > 2

；

2^{x} < \frac{1}{8} = 2^{- 3}

得

x < - 3

。所以

x > 2

或

x < - 3

。

第 19 題真數條件：

x + 1 > 0

且

x^{2} + 3 x - 4 = (x + 4) (x - 1) > 0

，合起來

x > 1

。由換底公式

lo g_{100} (x^{2} + 3 x - 4) = \frac{lo g ( x ^{2} + 3 x - 4 )}{lo g 100} = \frac{1}{2} lo g (x^{2} + 3 x - 4)

，所以原式乘以

2

成為

lo g (x + 1)^{2} > lo g (x^{2} + 3 x - 4)

。底數

10 > 1

，真數比大小：

x^{2} + 2 x + 1 > x^{2} + 3 x - 4

，

x < 5

。與

x > 1

合起來，

1 < x < 5

。

第 20 題

x^{3} = 2^{60 n + 24}

，

z^{5} = 2^{60 n + 25}

，所以

y^{4} = z^{5} - x^{3} = 2^{60 n + 25} - 2^{60 n + 24} = 2^{60 n + 24}

。所求含

lo g_{2} y

，必須

y > 0

，所以

y = 2^{15 n + 6}

。於是

3 lo g_{2} x - 16 lo g_{2} y + 15 lo g_{2} z = 3 (20 n + 8) - 16 (15 n + 6) + 15 (12 n + 5) = (60 - 240 + 180) n + (24 - 96 + 75) = 3

。

n

的係數恰好消掉，答案與

n

無關。

對數題先寫出底數與真數的條件；底數不同就用換底公式化成同底；含

a^{x}

與

a^{2 x}

的不等式代換成二次式，新變數要大於

0

；底數小於

1

時不等號方向要反過來。估值題先想夾在哪兩個整數次方之間，常常不必查對數表。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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常見問題

屏東高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題不必查表，只要看出 log 以 11 為底的 10 介於二分之一與 1 之間就能定出最接近的整數；第 9 題的選項 (4) 要比較 x 很接近 0 時與 x=1 時兩個圖形的上下位置，才知道兩圖形一定相交；選填 F（第 16 題）是每月複利，取整數時要無條件進位；選填 I（第 19 題）兩邊底數不同，要先化成同底並寫出兩個真數條件。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律、對數律與換底公式、常用對數、指數與對數函數的圖形、指對數方程式與不等式、指數與對數的應用）

屏東高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題

若對數

lo g_{2 x - 3} (6 - x)

有意義，則下列哪個選項為可能的

x

值？

(1) $- 2$
(2) $0$
(3) $2$
(4) $4$
(5) $6$

函數

5^{x^{2} + 4 x + 3}

的最小值為下列何者？

(1) $\frac{1}{5}$
(2) $1$
(3) $5$
(4) $55$
(5) $25$

設

a

，

b

為正實數，且

lo g_{11} a = 11

，

lo g_{11} b = 12

，則

lo g_{11} (b - a)

最接近下列哪一個整數？

(1) $11$
(2) $12$
(3) $22$
(4) $24$
(5) $36$

若自然數

n

滿足

lo g_{10} (lo g_{10} n) = 2

，則

n

是幾位數？

(1) $10$ 位數
(2) $20$ 位數
(3) $99$ 位數
(4) $100$ 位數
(5) $101$ 位數

在一個培養容器中，由實驗得知細菌的數目每隔一小時會增加

2

倍（即變成原來的

3

倍），已知一開始放入

2

個細菌，剛好經過一天（

24

小時）後，容器就充滿細菌（總數為

N

個），如果一開始放入

1000

個細菌，問需經過多久時間，容器才會充滿細菌？

(1) $13$ 小時以內
(2) $13$ 小時到 $15$ 小時
(3) $15$ 小時到 $17$ 小時
(4) $17$ 小時到 $19$ 小時
(5) $19$ 小時以上

二、多選題

設

f (x) = 4^{x}

，則下列選項哪些是正確的？

(1) 若 $x > 0$ ，則 $f (x) > 1$
(2) 若 $x < 0$ ，則 $f (x) < 1$
(3) $f (0) = 1$
(4) $f (\frac{1}{2}) = f (1) - f (2)$
(5) $f (300) = f (100) \times f (200)$

下列哪些數是有理數？

(1) $lo g_{2} 1$
(2) $lo g_{4} 2$
(3) $lo g_{8} 4$
(4) $lo g_{2} 3$
(5) $3^{l o g_{3} (- 9)}$

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

且

a = 2^{1998}

，則下列敘述哪些正確？

(1) $a$ 的個位數字為 $4$
(2) $a$ 為 $601$ 位數
(3) $a$ 的最高位數字為 $2$
(4) $a$ 的最高位數字為 $3$
(5) $a < 3^{1332}$

關於指數與對數函數的圖形，下列選項哪些是正確的？

(1) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = 1 0^{- x}$ 對稱於 $y$ 軸
(2) $y = lo g x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 對稱於 $x$ 軸
(3) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 對稱於原點
(4) $y = ∣ lo g x ∣$ 的圖形與 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 沒有交點
(5) 任取 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 圖形上兩不同點 $A$ ， $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為負

請問下列哪些選項是正確的？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $3^{4} > 4^{3}$
(2) $π^{50} < 1. 7^{100}$
(3) $0.7 < 3 0.7$
(4) $lo g_{2} 5 < 2.5$
(5) $1 0^{9} < 9^{10}$

三、選填題

y = 2^{x}

的圖形向右移

h

單位，向上移

k

單位，可得

y - 2 = \frac{2 ^{x}}{8}

的圖形，則數對

(h, k) = (◯, ◯)

。

科學上，我們將某放射性物質質量衰減成原來一半所經過的時間稱為半衰期。今有一放射性物質，在一年後剩下

128

公克，而

10

年後剩下

16

公克，設每年衰變的比率都相同，則此物質的半衰期為

◯

年。

使對數

lo g_{4} [lo g_{0.5} (lo g_{2} x)]

有意義的

x

的範圍為

◯ < x < ◯

。

設

x

、

y

、

z > 1

，

a > 0

，

lo g_{x} a = 40

，

lo g_{y} a = 60

，

lo g_{x y z} a = 8

，則

lo g_{z} a = ◯ ◯

。

設直線

L

：

x = k

分別與

y = lo g x

、

y = lo g (x + 9)

的圖形交於

A

、

B

兩點，已知

\overline{A B} = \frac{1}{2}

，則

k = ◯ + ◯ ◯

。

某人工作

10

年後，好不容易存到第一桶金（

100

萬元），但靠薪水存錢要買房，恐怕有點困難，於是決定將

100

萬元投入基金和股票的投資。假設此人運氣不錯，每個月結算時都有

2%

的獲利。若買房需要頭期款

300

萬元，則此人至少需要

◯ ◯

個月後（取整數），才有足夠的頭期款買房。（已知

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 1.02 \approx 0.0086

）

已知

lo g 2 \approx 0.3010

且

4000 < (\frac{5}{4})^{n} < 5000

，求滿足不等式的正整數

n = ◯ ◯

。

解不等式

2^{2 x + 1} - 33 \times 2^{x - 2} + 1 > 0

，則

x

的範圍為

x > ◯

或

x < ◯ ◯

。

求不等式

lo g (x + 1) > lo g_{100} (x^{2} + 3 x - 4)

的解為

◯ < x < ◯

。

設

x

、

y

、

z

皆為實數，

x^{3} + y^{4} = z^{5}

，若

x = 2^{20 n + 8}

，

z = 2^{12 n + 5}

，求

3 lo g_{2} x - 16 lo g_{2} y + 15 lo g_{2} z

的值為

◯

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(1)

第 3 題(4)

第 4 題(5)

第 5 題(4)

第 6 題(1)(2)(3)(5)

第 7 題(1)(2)(3)

第 8 題(1)(3)(5)

第 9 題(1)(2)(5)

第 10 題(1)(3)(4)(5)

第 11 題

(3, 2)

第 12 題

3

第 13 題

1 < x < 2

第 14 題

12

第 15 題

1 + 10

第 16 題

56

第 17 題

38

第 18 題

x > 2

或

x < - 3

第 19 題

1 < x < 5

第 20 題

3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：對數的條件、指數函數最小值、換底估值、位數、指數成長

第 1 題答案 (4)。底數條件：

2 x - 3 > 0

且

2 x - 3 \neq = 1

，即

x > \frac{3}{2}

且

x \neq = 2

；真數條件：

6 - x > 0

，即

x < 6

。合起來

\frac{3}{2} < x < 6

且

x \neq = 2

。選項中

- 2

、

0

太小，

2

會使底數為

1

，

6

會使真數為

0

，只有

x = 4

（底數

5

、真數

2

）可以。

第 2 題答案 (1)。底數

5 > 1

，

5^{t}

隨

t

遞增，所以指數最小時函數值最小。

x^{2} + 4 x + 3 = (x + 2)^{2} - 1 \geq - 1

，等號在

x = - 2

成立，最小值為

5^{- 1} = \frac{1}{5}

。

第 3 題答案 (4)。

a = 1 1^{11}

，

b = 1 1^{12}

，

b - a = 1 1^{11} (11 - 1) = 1 1^{11} \times 10

。

lo g_{11} (b - a) = \frac{lo g _{11} ( b - a )}{lo g _{11} 11} = 2 (11 + lo g_{11} 10) = 22 + 2 lo g_{11} 10

。因為

11 < 10 < 11

，所以

\frac{1}{2} < lo g_{11} 10 < 1

，於是

23 < 22 + 2 lo g_{11} 10 < 24

。選項中最接近的整數是

24

。

實際上

lo g_{11} 10 = \frac{1}{lo g 11} \approx 0.960

，所求約為

23.92

。

第 4 題答案 (5)。

lo g_{10} (lo g_{10} n) = 2

表示

lo g_{10} n = 1 0^{2} = 100

，所以

n = 1 0^{100}

，是

1

後面接

100

個

0

，共

101

位數。

第 5 題答案 (4)。每小時變成

3

倍，所以

N = 2 \times 3^{24}

。放入

1000

個，經過

t

小時充滿：

1000 \times 3^{t} = 2 \times 3^{24}

，得

3^{24 - t} = 500

。因為

3^{5} = 243 < 500 < 729 = 3^{6}

，所以

5 < 24 - t < 6

，即

18 < t < 19

，落在「

17

小時到

19

小時」。

用常用對數也可以：

24 - t = lo g_{3} 500 = \frac{3 - lo g 2}{lo g 3} \approx \frac{2.699}{0.4771} \approx 5.66

，

t \approx 18.3

。

02多選 6～10：指數函數性質、有理數判斷、位數與最高位數字、圖形、比大小

第 6 題答案 (1)(2)(3)(5)。底數

4 > 1

，

f (x) = 4^{x}

是遞增函數，且

f (0) = 1

。(1) 正確。

x > 0

時

4^{x} > 4^{0} = 1

。(2) 正確。

x < 0

時

4^{x} < 4^{0} = 1

。(3) 正確。

4^{0} = 1

。(4) 錯誤。

f (\frac{1}{2}) = 4 = 2

，而

f (1) - f (2) = 4 - 16 = - 12

。(5) 正確。 由指數律

4^{100} \times 4^{200} = 4^{300}

。

第 7 題答案 (1)(2)(3)。(1) 正確。 任何合法底數的

lo g 1 = 0

，所以

lo g_{2} 1 = 0

。(2) 正確。

4^{\frac{1}{4}} = (2^{2})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = 2

，所以

lo g_{4} 2 = \frac{1}{4}

。(3) 正確。

8^{\frac{2}{3}} = (2^{3})^{\frac{2}{3}} = 4

，所以

lo g_{8} 4 = \frac{2}{3}

。(4) 錯誤。 若

lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}

（

p

、

q

為正整數），則

2^{p} = 3^{q}

，左邊是偶數、右邊是奇數，矛盾，所以

lo g_{2} 3

是無理數。(5) 錯誤。 真數

- 9 < 0

，

lo g_{3} (- 9)

沒有意義，

3^{l o g_{3} (- 9)}

不是一個實數，更不是有理數。

第 8 題答案 (1)(3)(5)。

lo g a = 1998 lo g 2 \approx 1998 \times 0.3010 = 601.398

，首數

601

、尾數約

0.398

。(1) 正確。

2^{n}

的個位數字依

2, 4, 8, 6

循環，

1998 = 4 \times 499 + 2

，個位數字與

2^{2}

相同，是

4

。(2) 錯誤。 首數

601

，所以

a

是

602

位數。(3) 正確。

lo g 2 \approx 0.3010 < 0.398 < 0.4771 \approx lo g 3

，所以

a = 1 0^{601.398}

介於

2 \times 1 0^{601}

與

3 \times 1 0^{601}

之間，最高位數字是

2

。(4) 錯誤。 理由同 (3)。(5) 正確。

a = 2^{1998} = (2^{3})^{666} = 8^{666}

，

3^{1332} = (3^{2})^{666} = 9^{666}

，

8^{666} < 9^{666}

。

(5) 也可以用對數：

lo g 3^{1332} \approx 1332 \times 0.4771 \approx 635.5 > 601.4

。

第 9 題答案 (1)(2)(5)。(1) 正確。 把

y = 1 0^{x}

的

x

換成

- x

就得

y = 1 0^{- x}

，兩圖形對稱於

y

軸。(2) 正確。 由換底公式

lo g_{\frac{1}{10}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{10}} = - lo g x

，把

y

換成

- y

，兩圖形對稱於

x

軸。(3) 錯誤。

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

互為反函數，圖形對稱於直線

y = x

，不是原點；例如

(0, 1)

在

y = 1 0^{x}

上，它對原點的對稱點

(0, - 1)

不在

y = lo g x

上（

x = 0

沒有定義）。(4) 錯誤。 取

x = \frac{1}{1000}

：

∣ lo g x ∣ = 3

，而

\frac{1}{2} x + 2 = 2.0005

，對數圖形在直線上方；取

x = 1

：

∣ lo g 1 ∣ = 0

，而直線高度

2.5

，對數圖形在直線下方。兩個圖形都是連續不斷的曲線，在

\frac{1}{1000}

與

1

之間一定相交，所以有交點。(5) 正確。 底數

\frac{1}{10} < 1

，函數嚴格遞減：若

x_{1} < x_{2}

則

y_{1} > y_{2}

，所以

\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} < 0

，任兩點連線斜率為負。

第 10 題答案 (1)(3)(4)(5)。(1) 正確。

3^{4} = 81 > 64 = 4^{3}

。(2) 錯誤。

1. 7^{100} = (1. 7^{2})^{50} = 2.8 9^{50}

，而

π > 2.89

，所以

π^{50} > 1. 7^{100}

。(3) 正確。

0.7 = 0. 7^{\frac{1}{2}}

，

3 0.7 = 0. 7^{\frac{1}{3}}

；底數

0.7 < 1

時指數愈大值愈小，

\frac{1}{2} > \frac{1}{3}

，所以

0.7 < 3 0.7

。(4) 正確。

lo g_{2} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 2} = \frac{1 - lo g 2}{lo g 2} \approx \frac{0.6990}{0.3010} \approx 2.32 < 2.5

；不用近似值也可以：

2^{2.5} = 32 > 25 = 5

。(5) 正確。

lo g 9^{10} = 20 lo g 3 \approx 9.542 > 9 = lo g 1 0^{9}

，所以

1 0^{9} < 9^{10}

。

03選填 A～J：平移、半衰期、定義域、換底、交點距離、複利、指對數不等式、指對數綜合

第 11 題

\frac{2 ^{x}}{8} = 2^{x - 3}

，所以目標圖形是

y = 2^{x - 3} + 2

。

y = 2^{x}

向右移

h

、向上移

k

得

y = 2^{x - h} + k

，比較得

h = 3

，

k = 2

，

(h, k) = (3, 2)

。

第 12 題設原有質量

m_{0}

，每年變成原來的

r

倍，

t

年後剩

m_{0} r^{t}

。由題意

m_{0} r = 128

，

m_{0} r^{10} = 16

，相除得

r^{9} = \frac{16}{128} = \frac{1}{8} = 2^{- 3}

，所以

r = 2^{- \frac{1}{3}}

。半衰期

T

滿足

r^{T} = \frac{1}{2} = 2^{- 1}

，即

2^{- \frac{T}{3}} = 2^{- 1}

，

T = 3

年。

也可以看成每

3

年減半：從第

1

年到第

10

年共

9

年，

128 \to 64 \to 32 \to 16

剛好減半

3

次。

第 13 題由內往外寫條件。最內層

lo g_{2} x

：

x > 0

。中間層

lo g_{0.5} (lo g_{2} x)

：真數

lo g_{2} x > 0

，即

x > 1

。最外層

lo g_{4} [\dots]

：真數

lo g_{0.5} (lo g_{2} x) > 0 = lo g_{0.5} 1

；底數

0.5 < 1

時函數遞減，所以

lo g_{2} x < 1

，即

x < 2

。合起來

1 < x < 2

。

第 14 題由換底公式

lo g_{a} x = \frac{1}{lo g _{x} a} = \frac{1}{40}

，

lo g_{a} y = \frac{1}{60}

，

lo g_{a} (x y z) = \frac{1}{8}

。又

lo g_{a} (x y z) = lo g_{a} x + lo g_{a} y + lo g_{a} z

，所以

lo g_{a} z = \frac{1}{8} - \frac{1}{40} - \frac{1}{60} = \frac{15 - 3 - 2}{120} = \frac{1}{12}

，

lo g_{z} a = 12

。

第 15 題兩函數都要有定義，所以

k > 0

。

A (k, lo g k)

，

B (k, lo g (k + 9))

，兩點在同一條鉛垂線上，

\overline{A B} = lo g (k + 9) - lo g k = lo g \frac{k + 9}{k}

（

k + 9 > k

，所以這個值為正）。由

lo g \frac{k + 9}{k} = \frac{1}{2}

得

\frac{k + 9}{k} = 10

，

k + 9 = 10 k

，

k = \frac{9}{10 - 1} = \frac{9 ( 10 + 1 )}{10 - 1} = 1 + 10

。

第 16 題每月結算獲利

2%

，

n

個月後本利和為

100 \times 1.0 2^{n}

萬元。要

100 \times 1.0 2^{n} \geq 300

，即

1.0 2^{n} \geq 3

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.02 \geq lo g 3

，

n \geq \frac{0.4771}{0.0086} \approx 55.5

。

n

是整數，所以至少

56

個月。

55

個月時

1.0 2^{55} \approx 2.97

還不到

3

，

56

個月時約

3.03

。

第 17 題

lo g \frac{5}{4} = lo g \frac{10}{8} = 1 - 3 lo g 2 \approx 1 - 0.9030 = 0.0970

。

lo g 4000 = 3 + 2 lo g 2 \approx 3.6020

，

lo g 5000 = 3 + lo g 5 = 4 - lo g 2 \approx 3.6990

。不等式取常用對數：

3.6020 < 0.0970 n < 3.6990

，

37.1 < n < 38.1

，正整數

n = 38

。

第 18 題

2^{2 x + 1} = 2 \cdot (2^{x})^{2}

，

2^{x - 2} = \frac{2 ^{x}}{4}

。令

t = 2^{x} > 0

，不等式成為

2 t^{2} - \frac{33}{4} t + 1 > 0

，乘以

4

：

8 t^{2} - 33 t + 4 > 0

，

(8 t - 1) (t - 4) > 0

，所以

t > 4

或

t < \frac{1}{8}

（兩者都與

t > 0

相容，

0 < t < \frac{1}{8}

）。

2^{x} > 4 = 2^{2}

得

x > 2

；

2^{x} < \frac{1}{8} = 2^{- 3}

得

x < - 3

。所以

x > 2

或

x < - 3

。

第 19 題真數條件：

x + 1 > 0

且

x^{2} + 3 x - 4 = (x + 4) (x - 1) > 0

，合起來

x > 1

。由換底公式

lo g_{100} (x^{2} + 3 x - 4) = \frac{lo g ( x ^{2} + 3 x - 4 )}{lo g 100} = \frac{1}{2} lo g (x^{2} + 3 x - 4)

，所以原式乘以

2

成為

lo g (x + 1)^{2} > lo g (x^{2} + 3 x - 4)

。底數

10 > 1

，真數比大小：

x^{2} + 2 x + 1 > x^{2} + 3 x - 4

，

x < 5

。與

x > 1

合起來，

1 < x < 5

。

第 20 題

x^{3} = 2^{60 n + 24}

，

z^{5} = 2^{60 n + 25}

，所以

y^{4} = z^{5} - x^{3} = 2^{60 n + 25} - 2^{60 n + 24} = 2^{60 n + 24}

。所求含

lo g_{2} y

，必須

y > 0

，所以

y = 2^{15 n + 6}

。於是

3 lo g_{2} x - 16 lo g_{2} y + 15 lo g_{2} z = 3 (20 n + 8) - 16 (15 n + 6) + 15 (12 n + 5) = (60 - 240 + 180) n + (24 - 96 + 75) = 3

。

n

的係數恰好消掉，答案與

n

無關。

對數題先寫出底數與真數的條件；底數不同就用換底公式化成同底；含

a^{x}

與

a^{2 x}

的不等式代換成二次式，新變數要大於

0

；底數小於

1

時不等號方向要反過來。估值題先想夾在哪兩個整數次方之間，常常不必查對數表。

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02多選 6～10：指數函數性質、有理數判斷、位數與最高位數字、圖形、比大小

03選填 A～J：平移、半衰期、定義域、換底、交點距離、複利、指對數不等式、指對數綜合

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