段考詳解範圍：直線方程式、二元一次不等式、圓方程式、圓與直線

屏東高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 8 題（每題 5 分）、多選題 5 題（每題 5 分）、選填題 7 題（每題 5 分），合計 100 分。原卷單選 1～8、多選 9～13、選填 A～G，本頁依序編為第 1～20 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 5 分，共 40 分）

下列各選項之直線方程式中，何者斜率最小？

(1) $y + 6 = 2 (x - 1)$
(2) $y = - x + 8$
(3) $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$
(4) $x + 2 y - 5 = 0$
(5) $x - 2 y + 3 = 0$

坐標平面上，直線

y = 2 x

向左平移

5

單位可得直線

L

，則

L

的方程式為下列何者？

(1) $y = 2 (x - 5)$
(2) $y = 2 (x + 5)$
(3) $y = 2 x + 5$
(4) $y = 2 x - 5$
(5) $y = 5 x$

求以

A (2, - 3)

為圓心，且與

x

軸相切的圓方程式為下列何者？

(1) $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$
(2) $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 4$
(3) $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$
(4) $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 9$
(5) $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 9$

已知

A (- 2, 6)

、

B (a, 2)

，若線段

A B

的中垂線

L

為

3 x - 2 y + k = 0

，則

a + k =

？

(1) $9$
(2) $12$
(3) $15$
(4) $\frac{32}{3}$
(5) $\frac{40}{3}$

二元一次聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x - 2 y + 6 \geq 0 5 x - 2 y - 10 \leq 0 y \geq 0

所決定的圖形面積為下列何者？

(1) $16$
(2) $20$
(3) $25$
(4) $30$
(5) $36$

直線

L : a x + b y = c

之圖形如下圖，則下列選項何者為直線

L^{'} : c x + a y = b

可能的圖形？

(1) 見圖 (1)
(2) 見圖 (2)
(3) 見圖 (3)
(4) 見圖 (4)
(5) 見圖 (5)

載入中...

若坐標平面上兩相異點

A (- 3, 2)

、

B (1, 3)

位於直線

L : y = m x + m - 2

的異側，則下列何者為可能的

m

值？

(1) $2$
(2) $1$
(3) $0$
(4) $- 2$
(5) $- 3$

獵人養了大小兩隻獵犬，每次狩獵時，都會讓大、小獵犬分別守候在

A (0, 0)

、

B (6, 0)

兩位置上。當獵人射下獵物時，兩獵犬會同時且維持等速向著獵物直衝過去。若大獵犬的速度是小獵犬的

2

倍，則兩獵犬會同時抵達獵物的所有可能點

P

會構成以下何種圖形？

(1) 相異兩點 $(4, 0)$ 、 $(12, 0)$
(2) 過 $(4, 0)$ 且與 $\overline{A B}$ 垂直的直線
(3) 過 $(12, 0)$ 且與 $\overline{A B}$ 垂直的直線
(4) 圓心 $(8, 0)$ ，半徑為 $4$ 的圓
(5) 圓心 $(6, 0)$ ，半徑為 $2$ 的圓

二、多選題（每題 5 分，共 25 分；錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上或未作答不給分）

已知方程式

C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + k = 0

，若

C

的圖形表一個圓，則

k

可為下列哪些值？

(1) $- 3$
(2) $2$
(3) $8$
(4) $12$
(5) $16$

已知三直線

L_{1} : x + 2 y - 3 = 0

，

L_{2} : x - y + 6 = 0

，

L_{3} : 2 x + k y + 1 = 0

，若

L_{1}

，

L_{2}

，

L_{3}

可圍成一個直角三角形，則下列哪些為可能的

k

值？

(1) $- 2$
(2) $- 1$
(3) $1$
(4) $2$
(5) $3$

如附圖，坐標平面上四點

O (0, 0)

、

A (1, 0)

、

B (- 1, 0)

和

C (0, 1)

，

D

、

E

兩點將線段

\overline{A C}

三等分，

F

，

G

兩點將線段

\overline{B C}

三等分，若

\overline{O D}

、

\overline{O E}

、

\overline{O F}

、

\overline{O G}

的斜率分別為

m_{1}

、

m_{2}

、

m_{3}

、

m_{4}

，則下列何者正確？

(1) $m_{1} = \frac{1}{3}$
(2) $m_{2} > m_{1} > m_{3} > m_{4}$
(3) $m_{1} \times m_{3} = - 1$
(4) $∣ m_{1} ∣ = ∣ m_{4} ∣$
(5) $m_{3} > - 1$

載入中...

設

C : x^{2} + y^{2} - 6 y + 5 = 0

為坐標平面上的圓，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 圓 $C$ 的半徑為 $4$
(2) $(1, 2)$ 為圓外一點
(3) 圓 $C$ 上的點到 $(0, 0)$ 的最近距離為 $1$
(4) 直線 $L_{1} : 3 x + 4 y - 2 = 0$ 和圓 $C$ 相切
(5) 在圓 $C$ 上恰有四個點與 $L_{3} : 3 x + 4 y - 15 = 0$ 的距離為 $1$

附圖中，

△ A B C

的內部及其邊界為二元一次聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x + a y \geq b c x + y \leq d 2 x - y \geq e

的可行解區域，其中

a

、

b

、

c

、

d

、

e

均為實數，則下列哪些正確？

(1) $a > 0$
(2) $b < 0$
(3) $c > 0$
(4) $d < 0$
(5) $e > 0$

載入中...

三、選填題（A~G 共 7 題，每題 5 分，共 35 分；每題全對才給分）

A. 設

A (2, - 2)

、

B (k + 2, 0)

、

C (k - 8, - 5)

三點在同一直線上，則實數

k

之值為

□

。

B. 已知圓

C : (x + 7)^{2} + (y - 2)^{2} = 5

，若其中兩條切線方程式分別為

2 x + y + a = 0

與

2 x + y + b = 0

，且

a > b

，則

a - b

之值為

□□

。

C. 若

A (2, 4)

、

B (5, 2)

，設

P

點在

x

軸上，試求

\overline{P A} + \overline{P B}

的最小值為

□ □

。

D. 設圓

C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + a = 0

與直線

3 x + 4 y + b = 0

相切於

(- 1, c)

，則

a + b + c =

□□

。

E. 已知直線

x + y - 6 = 0

與圓

(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4

交於

A

、

B

兩點，則截弦

\overline{A B}

之長度為

□□

。

F. 在坐標平面上

A (2, 4)

處有一光源，將圓

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1

投射到

x

軸上，則其在

x

軸上的影長為

\frac{□□}{□}

。（請將答案化為最簡分數）

G. 屏東縣公共自行車 YouBike 2.0 於 2023 年 2 月正式啟用，至今已設有 119 個租借站點。若想再增設一租借站，使此站分別至屏東高中、屏東車站、屏東總圖的直線距離皆相等，且已知屏東高中、屏東車站及屏東總圖的坐標分別為

(3, 6)

，

(- 5, 2)

及

(3, - 1)

，則此新增之租借站的坐標為

(a, b)

，求

a + b =

\frac{□}{□}

。（請將答案化為最簡分數）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(4)

第 4 題(1)

第 5 題(2)

第 6 題(1)

第 7 題(5)

第 8 題(4)

第 9 題(1)(2)(3)

第 10 題(2)(4)

第 11 題(3)(4)

第 12 題(3)(4)(5)

第 13 題(1)(3)

第 14 題

4

第 15 題

10

第 16 題

35

第 17 題

- 8

第 18 題

14

第 19 題

\frac{16}{3}

第 20 題

\frac{9}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：斜率、平移、與 x 軸相切的圓、中垂線

第 1 題答案 (3)。把每條直線的斜率算出來：(1)

y = 2 x - 8

，斜率

2

。(2) 斜率

- 1

。(3) 兩邊乘

6

得

3 x + 2 y = 6

，

y = - \frac{3}{2} x + 3

，斜率

- \frac{3}{2}

。(4)

y = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}

，斜率

- \frac{1}{2}

。(5)

y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

，斜率

\frac{1}{2}

。最小的是

- \frac{3}{2}

，選 (3)。

a x + b y + c = 0

（

b \neq = 0

）的斜率是

- \frac{a}{b}

，可以直接讀。

第 2 題答案 (2)。圖形向左平移

5

單位，就是把方程式裡的

x

換成

x + 5

：

y = 2 (x + 5)

。檢查：原線過

(0, 0)

，左移後應過

(- 5, 0)

，代入

y = 2 (x + 5)

得

0 = 0

，成立。

向左移是

x

換成

x + 5

，不是

x - 5

；(4)

y = 2 x - 5

是往下移

5

。

第 3 題答案 (4)。圓與

x

軸相切，半徑等於圓心到

x

軸的距離，也就是圓心

y

坐標的絕對值

∣ - 3∣ = 3

。圓方程式為

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 9

。

與

x

軸相切看

y

坐標，與

y

軸相切看

x

坐標。

第 4 題答案 (1)。中垂線與

\overline{A B}

垂直：中垂線的斜率是

\frac{3}{2}

，所以

\overline{A B}

的斜率是

- \frac{2}{3}

，即

\frac{2 - 6}{a + 2} = - \frac{2}{3}

，得

a + 2 = 6

，

a = 4

。中垂線過

\overline{A B}

的中點

(\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{6 + 2}{2}) = (1, 4)

，代入

3 x - 2 y + k = 0

：

3 - 8 + k = 0

，

k = 5

。

a + k = 9

。

中垂線有兩個條件：與線段垂直、通過中點；一個求

a

，一個求

k

。

直線的題目先把斜率讀出來，垂直就是斜率相乘為

- 1

。

02單選 5～8：區域面積、由圖形判斷係數、異側與阿波羅尼斯圓

第 5 題答案 (2)。三條邊界線兩兩求交點：

x - 2 y + 6 = 0

與

y = 0

交於

(- 6, 0)

；

5 x - 2 y - 10 = 0

與

y = 0

交於

(2, 0)

；

x - 2 y + 6 = 0

與

5 x - 2 y - 10 = 0

兩式相減得

4 x - 16 = 0

，

x = 4

，

y = 5

，交於

(4, 5)

。用

(1, 1)

檢查：

1 - 2 + 6 = 5 \geq 0

，

5 - 2 - 10 = - 7 \leq 0

，

1 \geq 0

，三式都成立，所以區域就是以這三點為頂點的三角形。底在

x

軸上，長

2 - (- 6) = 8

，高為

5

，面積

\frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20

。

先求頂點，再拿一個點檢查是不是被三條線圍住的那一塊。

第 6 題答案 (1)。由題圖讀

L

：斜率為正、

y

截距為正、

x

截距為負。

L : a x + b y = c

的斜率

- \frac{a}{b} > 0

，

y

截距

\frac{c}{b} > 0

，

x

截距

\frac{c}{a} < 0

。所以

a

與

b

異號、

c

與

b

同號、

c

與

a

異號。不妨設

b > 0

，則

c > 0

、

a < 0

。再看

L^{'} : c x + a y = b

：斜率

- \frac{c}{a} > 0

；

y

截距

\frac{b}{a} < 0

；

x

截距

\frac{b}{c} > 0

。所以

L^{'}

往右上、與

y

軸交在原點下方、與

x

軸交在原點右方，五個圖中只有 (1) 符合。(2)、(4)、(5) 斜率為負；(3) 的

y

截距為正。

若設

b < 0

，三個數全部變號，

L^{'}

的斜率與截距的正負都不變，結果一樣。

第 7 題答案 (5)。把

L

寫成

m x - y + m - 2 = 0

，令

f (x, y) = m x - y + m - 2

。兩點在異側

\Leftrightarrow

f (A)

與

f (B)

異號。

f (- 3, 2) = - 3 m - 2 + m - 2 = - 2 m - 4

，

f (1, 3) = m - 3 + m - 2 = 2 m - 5

。要

(- 2 m - 4) (2 m - 5) < 0

，即

(m + 2) (2 m - 5) > 0

，得

m < - 2

或

m > \frac{5}{2}

。選項中只有

- 3

符合。

m = - 2

時

f (A) = 0

，

A

在直線上，不算異側。

第 8 題答案 (4)。同時出發、同時抵達，所跑的距離與速度成正比，大獵犬跑的距離是小獵犬的

2

倍：

\overline{P A} = 2 \overline{P B}

。設

P (x, y)

，兩邊平方：

x^{2} + y^{2} = 4 [(x - 6)^{2} + y^{2}]

，整理得

3 x^{2} + 3 y^{2} - 48 x + 144 = 0

，即

x^{2} + y^{2} - 16 x + 48 = 0

，配方得

(x - 8)^{2} + y^{2} = 16

。這是圓心

(8, 0)

、半徑

4

的圓。

(1) 的兩點

(4, 0)

、

(12, 0)

只是這個圓與

x

軸的交點，圓上其他點也滿足。

把敘述翻成坐標的等式或不等式，再整理成直線或圓的方程式。

03多選 9～13：圓的條件、直角三角形、分點斜率、圓與直線、可行解區域

第 9 題答案 (1)(2)(3)。配方：

(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 10 - k

。要表示一個圓，右邊必須大於

0

：

k < 10

。(1)

- 3

、(2)

2

、(3)

8

都小於

10

，正確。 (4)

12

、(5)

16

使右邊為負，沒有圖形，錯誤。

右邊等於

0

時只是一個點，不是圓。

第 10 題答案 (2)(4)。

L_{1}

斜率

- \frac{1}{2}

，

L_{2}

斜率

1

，相乘不是

- 1

，

L_{1}

與

L_{2}

不垂直，所以直角要在

L_{3}

與其中一條之間。

L_{3}

的斜率為

- \frac{2}{k}

（

k \neq = 0

；

k = 0

時

L_{3}

是鉛直線，與兩條都不垂直）。①

L_{3} ⊥ L_{1}

：

- \frac{2}{k} = 2

，

k = - 1

。②

L_{3} ⊥ L_{2}

：

- \frac{2}{k} = - 1

，

k = 2

。再檢查三線不共點：

L_{1}

、

L_{2}

交於

(- 3, 3)

；

k = - 1

時

2 (- 3) - 3 + 1 = - 8 \neq = 0

，

k = 2

時

2 (- 3) + 6 + 1 = 1 \neq = 0

，都不過交點，也沒有平行，都能圍成三角形。所以 (2)

- 1

、(4)

2

正確；(1)

- 2

、(3)

1

、(5)

3

使

L_{3}

斜率分別為

1

、

- 2

、

- \frac{2}{3}

，(1) 還與

L_{2}

平行，都不會產生直角，錯誤。

三條直線要圍成三角形，還要確認沒有兩條平行、三條不共點。

第 11 題答案 (3)(4)。由分點公式：

D

靠近

A

，

D = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3})

；

E = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3})

；

F

靠近

C

，

F = (- \frac{1}{3}, \frac{2}{3})

；

G = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})

（題圖中

D

、

G

分別靠近

A

、

B

）。斜率

m_{1} = \frac{1}{2}

，

m_{2} = 2

，

m_{3} = - 2

，

m_{4} = - \frac{1}{2}

。(1)

m_{1} = \frac{1}{2}

，錯誤。 (2) 由大到小是

m_{2} > m_{1} > m_{4} > m_{3}

，選項把

m_{3}

、

m_{4}

的順序寫反，錯誤。 (3)

\frac{1}{2} \times (- 2) = - 1

，正確。 (4)

∣ m_{1} ∣ = ∣ m_{4} ∣ = \frac{1}{2}

，正確。 (5)

m_{3} = - 2 < - 1

，錯誤。

\overline{O D}

與

\overline{O F}

斜率相乘為

- 1

，表示兩線段互相垂直。

第 12 題答案 (3)(4)(5)。配方：

x^{2} + (y - 3)^{2} = 4

，圓心

(0, 3)

，半徑

2

。(1) 半徑是

2

，錯誤。 (2)

(1, 2)

到圓心的距離

1 + 1 = 2 < 2

，在圓內，錯誤。 (3) 原點到圓心距離

3 > 2

，原點在圓外，最近距離

3 - 2 = 1

，正確。 (4) 圓心到

3 x + 4 y - 2 = 0

的距離

\frac{∣0 + 12 - 2∣}{5} = 2

，等於半徑，相切，正確。 (5) 圓心到

3 x + 4 y - 15 = 0

的距離

d = \frac{∣12 - 15∣}{5} = \frac{3}{5}

。與這條線距離為

1

的點落在它兩側各一條平行線上，這兩條平行線到圓心的距離分別是

\frac{3}{5} + 1 = \frac{8}{5}

與

1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}

，都小於半徑

2

，各與圓交於兩點，共四點，正確。

(5) 也可以這樣看：

\frac{3}{5} < 2

，直線穿過圓，把圓分成兩側；兩側的圓弧上離直線最遠的點，距離分別是

2 + \frac{3}{5}

與

2 - \frac{3}{5}

，都大於

1

，所以兩側各有兩個點。

第 13 題答案 (1)(3)。由題圖的方格讀出頂點：

A (1, 5)

、

B (- 1, 1)

、

C (3, - 1)

。三邊所在直線：

B C

斜率

\frac{- 1 - 1}{3 + 1} = - \frac{1}{2}

，方程式

x + 2 y = 1

；

A C

斜率

\frac{- 1 - 5}{3 - 1} = - 3

，方程式

3 x + y = 8

；

A B

斜率

\frac{5 - 1}{1 + 1} = 2

，方程式

2 x - y = - 3

。對照三個不等式的形式：

x + a y \geq b

是

x

係數為

1

的那條，即

x + 2 y \geq 1

，

a = 2

、

b = 1

；

c x + y \leq d

是

y

係數為

1

的那條，即

3 x + y \leq 8

，

c = 3

、

d = 8

；

2 x - y \geq e

即

2 x - y \geq - 3

，

e = - 3

。用三角形內的點

(1, 2)

檢查不等號方向：

1 + 4 = 5 \geq 1

，

3 + 2 = 5 \leq 8

，

2 - 2 = 0 \geq - 3

，都成立。所以 (1)

a = 2 > 0

，正確。 (2)

b = 1

，錯誤。 (3)

c = 3 > 0

，正確。 (4)

d = 8

，錯誤。 (5)

e = - 3

，錯誤。

每個不等式已經固定了一個係數（

1

或

2

、

- 1

），把直線方程式化成同樣的係數再比對，其他係數就確定了。

多選題每個選項都要有理由：能算出值就算出值再比，位置關係就比距離與半徑。

04選填 14～17（原卷選填 A～D）：三點共線、平行切線、對稱點與切點

第 14 題三點共線，

\overline{A B}

與

\overline{A C}

的斜率相等：

\frac{0 - ( - 2 )}{( k + 2 ) - 2} = \frac{- 5 - ( - 2 )}{( k - 8 ) - 2}

，即

\frac{2}{k} = \frac{- 3}{k - 10}

。交叉相乘：

2 (k - 10) = - 3 k

，

5 k = 20

，

k = 4

。檢查：

A (2, - 2)

、

B (6, 0)

、

C (- 4, - 5)

，斜率都是

\frac{1}{2}

。

k = 0

時

\overline{A B}

是鉛直線，而

C (- 8, - 5)

不在

x = 2

上，不共線，所以不必另外考慮。

第 15 題圓心

(- 7, 2)

，半徑

5

。直線

2 x + y + t = 0

與圓相切

\Leftrightarrow

圓心到直線的距離等於半徑：

\frac{∣2 ( - 7 ) + 2 + t ∣}{4 + 1} = 5

，即

∣ t - 12∣ = 5

，

t = 17

或

t = 7

。

a > b

，所以

a = 17

、

b = 7

，

a - b = 10

。

兩條平行切線夾著圓，兩線的距離

\frac{∣ a - b ∣}{5}

等於直徑

25

，也可以直接得到

a - b = 10

。

第 16 題

A

、

B

都在

x

軸上方。取

A

對

x

軸的對稱點

A^{'} (2, - 4)

，則

\overline{P A} = \overline{P A^{'}}

，

\overline{P A} + \overline{P B} = \overline{P A^{'}} + \overline{P B} \geq \overline{A^{'} B}

，等號在

P

為

\overline{A^{'} B}

與

x

軸的交點時成立。

\overline{A^{'} B} = (5 - 2)^{2} + (2 + 4)^{2} = 45 = 35

。最小值

35

。

兩點在

x

軸同側才要取對稱點；在異側時直接連線就好。

第 17 題圓心

(2, 1)

。切點與圓心的連線（半徑）垂直於切線。切線斜率

- \frac{3}{4}

，半徑的斜率應為

\frac{4}{3}

：

\frac{c - 1}{- 1 - 2} = \frac{4}{3}

，

c - 1 = - 4

，

c = - 3

。切點

(- 1, - 3)

在切線上：

- 3 - 12 + b = 0

，

b = 15

。切點也在圓上：

1 + 9 + 4 + 6 + a = 0

，

a = - 20

。檢查：圓為

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 25

，圓心到

3 x + 4 y + 15 = 0

的距離

\frac{∣6 + 4 + 15∣}{5} = 5

，等於半徑。

a + b + c = - 20 + 15 - 3 = - 8

。

切點同時在圓上與切線上，再加上「半徑垂直切線」，三個條件剛好求三個未知數。

切線問題的兩個工具：圓心到切線的距離等於半徑；切點的半徑垂直於切線。

05選填 18～20（原卷選填 E～G）：弦長、光源的影長與三角形的外心

第 18 題圓心

(2, 3)

，半徑

2

。圓心到直線

x + y - 6 = 0

的距離

d = \frac{∣2 + 3 - 6∣}{2} = \frac{1}{2}

。弦心距、半弦與半徑構成直角三角形：半弦

= 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}

，弦長

= 2 \frac{7}{2} = 14

。

弦長

= 2 r^{2} - d^{2}

。

第 19 題影子的兩端是從光源

A (2, 4)

對圓所作兩條切線與

x

軸的交點。圓心

(1, 2)

，半徑

1

。① 鉛直線

x = 2

過

A

，圓心到它的距離

∣1 - 2∣ = 1

，是一條切線，交

x

軸於

(2, 0)

。② 設另一條切線

y - 4 = m (x - 2)

，即

m x - y + 4 - 2 m = 0

，圓心到它的距離：

\frac{∣ m - 2 + 4 - 2 m ∣}{m ^{2} + 1} = 1

，即

(2 - m)^{2} = m^{2} + 1

，

4 - 4 m = 1

，

m = \frac{3}{4}

。令

y = 0

：

- 4 = \frac{3}{4} (x - 2)

，

x = 2 - \frac{16}{3} = - \frac{10}{3}

。圓在光源下方（圓的最高點

y = 3 < 4

），影子是兩交點之間的線段，影長

2 - (- \frac{10}{3}) = \frac{16}{3}

。

用斜率設切線只解出一個

m

，表示另一條切線是鉛直線（沒有斜率），要另外補上

x = 2

。

第 20 題到三點距離都相等的點是三點所成三角形的外心。設屏東高中

(3, 6)

、屏東車站

(- 5, 2)

、屏東總圖

(3, - 1)

。

(3, 6)

與

(3, - 1)

的中垂線是

y = \frac{6 + ( - 1 )}{2} = \frac{5}{2}

。

(a, b)

到

(3, 6)

與

(- 5, 2)

等距：

(a - 3)^{2} + (b - 6)^{2} = (a + 5)^{2} + (b - 2)^{2}

，展開化簡得

- 16 a - 8 b + 16 = 0

，即

2 a + b = 2

。代入

b = \frac{5}{2}

：

2 a = - \frac{1}{2}

，

a = - \frac{1}{4}

。

a + b = - \frac{1}{4} + \frac{5}{2} = \frac{9}{4}

。

兩點的

x

坐標相同時，它們的中垂線是水平線，先用它最省事。

弦長用弦心距；從圓外一點作切線，用斜率設的時候別漏了鉛直的那一條。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 112 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 6 題要由圖讀出 a、b、c 的正負再判斷新直線的斜率與截距；多選第 10 題要先看出 L1 與 L2 不垂直，再分兩種情形並檢查能圍成三角形；多選第 12 題的選項 5 要比較兩條平行線到圓心的距離；選填 F 用斜率設切線只解出一條，另一條是鉛直線 x=2。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自屏東高中 112 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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01單選 1～4：斜率、平移、與 x 軸相切的圓、中垂線

02單選 5～8：區域面積、由圖形判斷係數、異側與阿波羅尼斯圓

03多選 9～13：圓的條件、直角三角形、分點斜率、圓與直線、可行解區域

04選填 14～17（原卷選填 A～D）：三點共線、平行切線、對稱點與切點

05選填 18～20（原卷選填 E～G）：弦長、光源的影長與三角形的外心

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屏東高中 112 上
高一第二次段考
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