段考詳解範圍：數學甲上冊 1-1 至 1-4（數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限）及第二冊（數列與級數、數據分析、排列組合與機率、三角比）

屏東高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 5 分，答錯不倒扣，共 20 分）、多選題 5 題（每題全對得 5 分，只錯一個選項得 3 分，只錯二個選項得 1 分，其餘得 0 分，共 25 分）、選填題 11 題（每題 5 分，共 55 分）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、單選題：每題 5 分，答錯不倒扣，共 20 分。

已知等比數列

⟨ a_{n} ⟩ = ⟨ \frac{1}{3 ^{n}} ⟩

，且

lo g 3 \approx 0.4771

，試問此數列從第幾項開始，其值會小於

1 0^{- 12}

？

(1) $18$
(2) $20$
(3) $22$
(4) $24$
(5) $26$

設

[x]

表小於或等於

x

的最大整數，則

k = 1 \sum 25 [k]

之值為何？

(1) $55$
(2) $65$
(3) $75$
(4) $85$
(5) $95$

試問下列有關極限

x \to 1 lim \frac{∣1 - x - x ^{2} ∣ - 1}{x - 1}

的敘述何者正確？

(1) 極限不存在
(2) 極限為 $0$
(3) 極限為 $1$
(4) 極限為 $3$
(5) 極限為 $- 2$

在實數線上，動點

A

從原點開始往正向移動，動點

B

從

6

的位置開始往負向移動。兩個動點每一秒移動一次，已知第一秒

A

、

B

移動的距離分別為

1

、

4

，且

A

、

B

每次移動的距離分別為其前一次移動距離的

\frac{1}{2}

倍、

\frac{1}{3}

倍。令

c_{n}

為第

n

秒時

A

、

B

的中點位置。則

n \to \infty lim c_{n}

的值為下列哪一個選項？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

二、多選題：每題全對得 5 分，只錯一個選項得 3 分，只錯二個選項得 1 分，其餘得 0 分，共 25 分。

下列哪些數列為收斂數列？

(1) $⟨(0.1)^{n} ⟩$
(2) $⟨(- 1)^{n} ⟩$
(3) $⟨ \frac{4 ^{n - 1} + 3}{4 ^{n}} ⟩$
(4) $⟨ \frac{5 n ^{2} + 3}{4 n ^{2}} ⟩$
(5) $⟨ cos \frac{nπ}{2} ⟩$

下列哪些選項的函數是奇函數？

(1) $x^{3} + x + 1$
(2) $∣ x ∣$
(3) $\frac{1}{x}$
(4) $2^{x}$
(5) $sin x$

下列哪些選項中的函數互為反函數？

(1) $f (x) = 2 x - \frac{1}{3}$ 與 $g (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{6}$
(2) $f (x) = x - 1$ ， $x \geq 1$ 與 $g (x) = x^{2} + 1$ ， $x \geq 0$
(3) $f (x) = 2^{x}$ 與 $g (x) = lo g_{2} x$ ， $x > 0$
(4) $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ 與 $g (x) = x + 1$
(5) $f (x) = sin x$ 與 $g (x) = cos x$

設

f (x) = \frac{2 - x}{x ^{2} ( x - 3 )}

，則下列敘述哪些是正確的？

(1) $x \to \infty lim f (x) = 0$
(2) $x \to 0 lim f (x) = 0$
(3) $x \to 3 lim \frac{1}{f ( x )} = 0$
(4) $x \to 3 lim f (x) = 0$
(5) $x \to 2 lim f (x) = 0$

設有

10

筆

(x_{i}, y_{i})

的資料，平均數分別為

μ_{x} = 5

，

μ_{y} = 3

，標準差分別為

σ_{x}

、

σ_{y}

，相關係數為

0.9

，且

y

對

x

的最適直線過

(0, 2)

，則下列何者為真？

(1) 最適直線過 $(0, 0)$
(2) $y$ 對 $x$ 的最適直線為 $y = 2 + \frac{1}{5} x$
(3) 最適直線過 $(10, 0)$
(4) $σ_{x} > σ_{y}$
(5) 最適直線的斜率為 $1$

三、選填題：請依答案格內之題號選擇正確數字或符號畫卡，每題 5 分，共 55 分。（原卷題號 A～K，本頁接續編為第 10～20 題）

無窮級數

\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )} + \dots

的和為

\frac{◯}{◯}

。

如下圖，將一段長度為

1

的線段

A B

三等分，將中間的線段剪下來，再將剩下的線段重複這樣的步驟，會得到無窮多個剪下來的線段，則所有剪下來線段的長度和為

◯

。

載入中...

設

f (x) = 10 + 6 x - x^{2}

，

g (x) = x

，試求

(f \circ g) (4)

的值

◯ ◯

。

設

a

，

b

為實數，若

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 1} = 5

，則

a - b

的值為

◯

。

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x - 1, a x + b, 3 x, x < 1, 1 \leq x < 2, x \geq 2,

已知

a

，

b

為實數常數且

f (x)

為連續函數，則

a - b = ◯ ◯

。

已知

f (x)

是三次多項式，且

x \to - 1 lim \frac{f ( x )}{x + 1} = 2

，

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 6

，則

f (2)

為

◯ ◯

。

將

3

寫成若干個自然數的和有

3

，

2 + 1

，

1 + 2

，

1 + 1 + 1

這四種方法（只寫

3

也算是一種方法，且規定順序不同視為不同方法，例如：

2 + 1

，

1 + 2

這兩種是不同的方法）。試問將

5

寫成若干個自然數的和有多少種方法？答：

◯ ◯

種。

假設每個人出生在

12

個月分的機會均等。現在路上隨機挑

4

個人，會有人在相同月分出生的機率是多少？，答：

\frac{◯ ◯}{◯ ◯}

。

一袋裝有大小相同的

10

元與

50

元代幣各三枚。假設每枚代幣被選取的機會均等，今從中任取兩枚代幣，則取到代幣總額的期望值為

◯ ◯

。

在一個無風的夜晚，祈福天燈從地面的

A

點冉冉升起，

1

秒鐘後升至

B

點，再花

1

秒鐘升至

C

點，再花一秒鐘升至

D

點。小楷在離

A

點

9

公尺遠的

P

點處觀察，發現

∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P D

，且

\overline{A B} = 3

公尺，試求升起

3

秒後的高度

\overline{A D} = ◯ ◯

公尺。

載入中...

如右圖，

△ A B C

的三邊長

\overline{A B} = 7

，

\overline{B C} = 8

，

\overline{C A} = 9

，若

A B D E

與

A C F G

皆為正方形，則

\overline{E G}

的長度為

◯ ◯

。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(4)

第 4 題(1)

第 5 題(1)(3)(4)

第 6 題(3)(5)

第 7 題(1)(2)(3)

第 8 題(1)(3)(5)

第 9 題(2)(4)

第 10 題

\frac{1}{2}

第 11 題

1

第 12 題

18

第 13 題

7

第 14 題

12

第 15 題

15

第 16 題

16

第 17 題

\frac{41}{96}

第 18 題

60

第 19 題

13

第 20 題

14

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：對數估計、高斯符號、含絕對值的極限、無窮等比級數

第 1 題答案 (5)。要

\frac{1}{3 ^{n}} < 1 0^{- 12}

，即

3^{n} > 1 0^{12}

。兩邊取常用對數：

n lo g 3 > 12

，

n > \frac{12}{0.4771} \approx 25.15

。

n

是正整數，所以從第

26

項開始。

檢查：

25 \times 0.4771 = 11.9275 < 12

，第

25

項還沒小於

1 0^{- 12}

；

26 \times 0.4771 = 12.4046 > 12

，第

26

項才是。

第 2 題答案 (3)。依

k

落在哪兩個整數之間分組：

k = 1, 2, 3

時

[k] = 1

（

3

個）；

k = 4 \sim 8

時為

2

（

5

個）；

k = 9 \sim 15

時為

3

（

7

個）；

k = 16 \sim 24

時為

4

（

9

個）；

k = 25

時為

5

（

1

個）。總和

= 1 \times 3 + 2 \times 5 + 3 \times 7 + 4 \times 9 + 5 \times 1 = 3 + 10 + 21 + 36 + 5 = 75

。

[k] = m

的

k

滿足

m^{2} \leq k < (m + 1)^{2}

，共

2 m + 1

個；最後一組只到

k = 25

，只有

1

個，不是

11

個。

第 3 題答案 (4)。

x = 1

時

1 - x - x^{2} = - 1 < 0

，所以

x

在

1

附近時

1 - x - x^{2} < 0

，

∣1 - x - x^{2} ∣ = x^{2} + x - 1

。分子

= x^{2} + x - 1 - 1 = x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

，約去

x - 1

後，原式

= x \to 1 lim (x + 2) = 3

。

去絕對值前先把

x = 1

代進絕對值裡面看正負。若當成正的直接拿掉，分子變成

- x - x^{2}

，在

x = 1

是

- 2

，就會誤判成極限不存在。

第 4 題答案 (1)。

A

每秒移動的距離是首項

1

、公比

\frac{1}{2}

的等比數列，

n

秒後的位置

a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + (\frac{1}{2})^{n - 1}

，

n \to \infty lim a_{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

。

B

每秒移動的距離是首項

4

、公比

\frac{1}{3}

的等比數列，往負向走，

n

秒後的位置

b_{n} = 6 - (4 + \frac{4}{3} + \dots + 4 (\frac{1}{3})^{n - 1})

，

n \to \infty lim b_{n} = 6 - \frac{4}{1 - \frac{1}{3}} = 6 - 6 = 0

。中點

c_{n} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2}

，兩個極限都存在，所以

n \to \infty lim c_{n} = \frac{2 + 0}{2} = 1

。

含絕對值的極限，先看趨近的那一點絕對值裡面是正是負；無窮等比級數的和是首項除以一減公比。

02多選 5～9：收斂數列、奇函數、反函數、函數的極限、最適直線

第 5 題答案 (1)(3)(4)。(1) 公比

0.1

，

∣0.1∣ < 1

，

(0.1)^{n} \to 0

，收斂。(2) 各項為

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，在兩個值之間跳動，發散。(3)

\frac{4 ^{n - 1} + 3}{4 ^{n}} = \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{4})^{n} \to \frac{1}{4}

，收斂。(4)

\frac{5 n ^{2} + 3}{4 n ^{2}} = \frac{5}{4} + \frac{3}{4 n ^{2}} \to \frac{5}{4}

，收斂。(5)

n = 1, 2, 3, 4, \dots

時各項為

0, - 1, 0, 1, 0, - 1, 0, 1, \dots

，不趨近單一的數，發散。

第 6 題答案 (3)(5)。奇函數要對定義域內每個

x

都滿足

f (- x) = - f (x)

。(1)

f (x) = x^{3} + x + 1

：

f (- 1) = - 1

，

- f (1) = - 3

，不相等，不是。(2)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，是偶函數，不是奇函數。(3)

\frac{1}{- x} = - \frac{1}{x}

，是奇函數。(4)

2^{- 1} = \frac{1}{2}

，

- 2^{1} = - 2

，不相等，不是。(5)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數。

(1) 的

x^{3} + x

是奇函數，但多了常數項

1

就不是了；定義域含

0

的奇函數一定有

f (0) = 0

，而 (1) 的

f (0) = 1

。

第 7 題答案 (1)(2)(3)。

f

與

g

互為反函數，要

g (f (x)) = x

、

f (g (x)) = x

在各自的定義域上都成立。(1)

g (f (x)) = \frac{1}{2} (2 x - \frac{1}{3}) + \frac{1}{6} = x

，

f (g (x)) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{6}) - \frac{1}{3} = x

，是。(2)

x \geq 1

時

g (f (x)) = (x - 1)^{2} + 1 = x

；

x \geq 0

時

f (g (x)) = x^{2} = ∣ x ∣ = x

；而且

f

的值域

y \geq 0

正好是

g

的定義域，

g

的值域

y \geq 1

正好是

f

的定義域，是。(3)

lo g_{2} 2^{x} = x

，

x > 0

時

2^{l o g_{2} x} = x

，是。(4)

g (f (x)) = \frac{1}{x + 1} + 1 \neq = x

（例如

x = 0

時為

2

），不是。(5)

g (f (0)) = cos (sin 0) = cos 0 = 1 \neq = 0

，不是。

(2) 若

g

沒有限制

x \geq 0

，

x^{2} = ∣ x ∣

就不一定等於

x

；定義域的限制是這個選項成立的關鍵。

第 8 題答案 (1)(3)(5)。(1) 分子一次、分母三次，分子分母同除以

x^{3}

：

\frac{\frac{2}{x ^{3}} - \frac{1}{x ^{2}}}{1 - \frac{3}{x}} \to \frac{0}{1} = 0

，對。(2)

x \to 0

時分子趨近

2

，分母

x^{2} (x - 3)

趨近

0

，

∣ f (x) ∣

會無限變大，極限不存在，錯。(3)

\frac{1}{f ( x )} = \frac{x ^{2} ( x - 3 )}{2 - x}

，

x \to 3

時趨近

\frac{9 \cdot 0}{- 1} = 0

，對。(4)

x \to 3

時分子趨近

- 1

，分母趨近

0

，極限不存在，錯。(5)

x = 2

時分母

4 \cdot (- 1) = - 4 \neq = 0

，直接代入得

\frac{0}{- 4} = 0

，對。

(3) 與 (4) 是同一件事的兩面：

\frac{1}{f ( x )}

趨近

0

而且不恆為

0

時，

f (x)

的絕對值會無限變大，極限不存在。

第 9 題答案 (2)(4)。

y

對

x

的最適直線一定通過

(μ_{x}, μ_{y}) = (5, 3)

，題目又說它過

(0, 2)

，所以斜率

= \frac{3 - 2}{5 - 0} = \frac{1}{5}

，方程式為

y = 2 + \frac{1}{5} x

。(1)

x = 0

時

y = 2

，不過

(0, 0)

，錯。(2) 對。(3)

x = 10

時

y = 4

，不過

(10, 0)

，錯。(4) 最適直線的斜率

= r \cdot \frac{σ _{y}}{σ _{x}}

，所以

0.9 \cdot \frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{1}{5}

，

\frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{2}{9} < 1

，得

σ_{x} > σ_{y}

，對。(5) 斜率是

\frac{1}{5}

，錯。

題幹寫「何者為真」，但本題在多選題，正確選項有兩個。相關係數

0.9

不是斜率；斜率還要乘上兩個標準差的比。

最適直線必過兩個平均數所成的點；判斷反函數要連定義域與值域一起看。

03選填 10～12（原卷 A～C）：無窮級數的和、合成函數

第 10 題

\frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1})

，所以前

n

項的和

S_{n} = \frac{1}{2} [(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1})] = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 n + 1})

。無窮級數的和是

n \to \infty lim S_{n} = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}

。

這不是等比級數，不能套首項除以一減公比；要先求前

n

項的和，再取極限。

第 11 題第一次剪下

1

段，長

\frac{1}{3}

，剩下

2

段，每段長

\frac{1}{3}

。第二次從這

2

段各剪下中間的

\frac{1}{3}

，共剪下

2

段，每段長

\frac{1}{9}

，合計

\frac{2}{9}

；剩下

4

段，每段長

\frac{1}{9}

。第三次剪下

4

段，每段長

\frac{1}{27}

，合計

\frac{4}{27}

。每次剪下的總長是前一次的

\frac{2}{3}

倍，所以長度和

= \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \dots = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = 1

。

也可以看剩下的部分：每剪一次，剩下的總長變成原來的

\frac{2}{3}

，

n

次後剩

(\frac{2}{3})^{n}

，趨近

0

，所以剪下來的總長趨近

1

。

第 12 題

(f \circ g) (4) = f (g (4))

。先算裡面：

g (4) = 4 = 2

；再代入

f

：

f (2) = 10 + 6 \cdot 2 - 2^{2} = 10 + 12 - 4 = 18

。

f \circ g

是先做

g

再做

f

。若順序弄反，

g (f (4)) = g (18) = 18

，答案就不同。

無窮級數的和是部分和的極限；合成函數由裡面往外算。

04選填 13～15（原卷 D～F）：函數的極限與連續

第 13 題

x \to 1

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

1 + a + b = 0

，即

b = - 1 - a

。分子

x^{2} + a x - 1 - a = (x - 1) (x + 1 + a)

，所以極限

= x \to 1 lim (x + 1 + a) = 2 + a = 5

，得

a = 3

，

b = - 4

，

a - b = 7

。

第 14 題三段各自都是一次式，在各段內部都連續，只要接點

x = 1

與

x = 2

兩處連續即可。

x = 1

：左極限

x \to 1^{-} lim (x - 1) = 0

，右極限與函數值都是

a + b

，所以

a + b = 0

。

x = 2

：左極限

x \to 2^{-} lim (a x + b) = 2 a + b

，右極限與函數值都是

6

，所以

2 a + b = 6

。兩式相減得

a = 6

，

b = - 6

，

a - b = 12

。

第 15 題

x \to - 1

時分母

x + 1

趨近

0

而極限存在，所以

f (- 1) = 0

；同理

f (1) = 0

。

f (x)

是三次多項式，有因式

x + 1

與

x - 1

，設

f (x) = (x + 1) (x - 1) (a x + b)

。

x \to - 1 lim \frac{f ( x )}{x + 1} = x \to - 1 lim (x - 1) (a x + b) = - 2 (- a + b) = 2

，得

a - b = 1

。

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 1) (a x + b) = 2 (a + b) = 6

，得

a + b = 3

。解得

a = 2

，

b = 1

，

f (x) = (x + 1) (x - 1) (2 x + 1)

，

f (2) = 3 \cdot 1 \cdot 5 = 15

。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0，可以先分解出同一個因式。

05選填 16～20（原卷 G～K）：計數、機率、期望值、三角比

第 16 題把

5

看成

5

個

1

排成一列：

11111

，中間有

4

個空隙。每個空隙可以選擇「切開」或「不切開」，切開後每一段的

1

加起來就是一個加數，例如只在第二個空隙切開得到

2 + 3

，全部不切得到

5

。每一種切法對應一種有順序的寫法，所以共有

2^{4} = 16

種。

用題目的例子檢查：

3

有

2

個空隙，

2^{2} = 4

種，與題目列出的四種相符。也可以依加數的個數分類：

1

個、

2

個、

3

個、

4

個、

5

個加數分別有

C_{0}^{4}, C_{1}^{4}, C_{2}^{4}, C_{3}^{4}, C_{4}^{4}

種，

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

。

第 17 題先算餘事件「

4

個人的出生月分都不同」。

4

個人的月分共有

1 2^{4}

種等機會的情形，其中都不同的有

12 \times 11 \times 10 \times 9

種，機率

= \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{1 2 ^{4}} = \frac{11 \times 10 \times 9}{1 2 ^{3}} = \frac{990}{1728} = \frac{55}{96}

。所以有人在相同月分出生的機率

= 1 - \frac{55}{96} = \frac{41}{96}

。

「有人在相同月分」包含恰兩人相同、兩兩相同、三人相同、四人相同等好幾種情形，直接算很容易漏，用餘事件最不會錯。

第 18 題

6

枚取

2

枚共

C_{2}^{6} = 15

種。兩枚都是

10

元：

C_{2}^{3} = 3

種，總額

20

元；一枚

10

元一枚

50

元：

3 \times 3 = 9

種，總額

60

元；兩枚都是

50

元：

C_{2}^{3} = 3

種，總額

100

元。期望值

= 20 \times \frac{3}{15} + 60 \times \frac{9}{15} + 100 \times \frac{3}{15} = \frac{60 + 540 + 300}{15} = 60

。

檢查：

6

枚代幣的平均面額是

\frac{10 \times 3 + 50 \times 3}{6} = 30

元，取兩枚的期望值是

2 \times 30 = 60

元，相符。

第 19 題

∠ A P B = ∠ B P C

，所以

\overline{P B}

是

△ P A C

中

∠ A P C

的角平分線，由內角平分線的比例性質

\overline{A B} : \overline{B C} = \overline{P A} : \overline{P C}

。設

\overline{B C} = x

，則

3 : x = 9 : \overline{P C}

，

\overline{P C} = 3 x

。直角三角形

P A C

中

\overline{P C}^{2} = \overline{P A}^{2} + \overline{A C}^{2}

：

(3 x)^{2} = 9^{2} + (3 + x)^{2}

，整理得

4 x^{2} - 3 x - 45 = 0

，

(4 x - 15) (x + 3) = 0

，取正的

x = \frac{15}{4}

，所以

\overline{A C} = \frac{27}{4}

。同理

∠ B P C = ∠ C P D

，

\overline{P C}

是

△ P B D

中

∠ B P D

的角平分線，

\overline{B C} : \overline{C D} = \overline{P B} : \overline{P D}

。

\overline{P B} = 9^{2} + 3^{2} = 310

，設

\overline{C D} = y

，則

\overline{P D} = 310 \cdot \frac{y}{\frac{15}{4}} = \frac{4 10}{5} y

。直角三角形

P A D

中

\overline{P D}^{2} = 9^{2} + (\frac{27}{4} + y)^{2}

，即

\frac{32}{5} y^{2} = 81 + (\frac{27}{4} + y)^{2}

，整理得

16 y^{2} - 40 y - 375 = 0

，

(4 y - 25) (4 y + 15) = 0

，取正的

y = \frac{25}{4}

。所以

\overline{A D} = 3 + \frac{15}{4} + \frac{25}{4} = 13

（公尺）。

三個角相等，不代表三段高度相等：三段依序是

3

、

\frac{15}{4}

、

\frac{25}{4}

，愈往上愈長；附圖上

C

、

D

的位置只是示意。另解（高二學過的正切和角公式）：設每個角為

θ

，

tan θ = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

，

tan 2 θ = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{4}

，

tan 3 θ = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{13}{9}

，

\overline{A D} = 9 \times \frac{13}{9} = 13

。

第 20 題正方形

A B D E

、

A C F G

在三角形外側，

\overline{A E} = \overline{A B} = 7

，

\overline{A G} = \overline{A C} = 9

，

∠ E A B = ∠ C A G = 9 0^{\circ}

。繞著

A

點一圈是

36 0^{\circ}

，所以

∠ E A G = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - ∠ B A C = 18 0^{\circ} - ∠ B A C

。在

△ A B C

用餘弦定理：

cos ∠ B A C = \frac{7 ^{2} + 9 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{66}{126}

。在

△ A E G

用餘弦定理，並用

cos (18 0^{\circ} - ∠ B A C) = - cos ∠ B A C

：

\overline{E G}^{2} = 7^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 9 cos ∠ E A G = 130 + 126 \cdot \frac{66}{126} = 196

，所以

\overline{E G} = 14

。

cos ∠ B A C

先不要約分，留著

\frac{66}{126}

，下一步乘上

2 \cdot 7 \cdot 9 = 126

剛好消掉。把兩個式子合起來看：

\overline{E G}^{2} = 2 (\overline{A B}^{2} + \overline{A C}^{2}) - \overline{B C}^{2} = 2 \times 130 - 64 = 196

。附圖的三角形只是示意，不照實際邊長比例。

「至少」「有人相同」這類機率先想餘事件；互補的兩個角餘弦值差一個負號。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選填 J（本頁第 19 題）：三個角相等不代表三段高度相等，要用內角平分線的比例性質分兩次算。選填 H（本頁第 17 題）：有人同月出生包含好幾種情形，要用餘事件。單選第 3 題：去絕對值前要先看 x 等於 1 時絕對值裡面是負的。多選第 9 題：相關係數不是斜率，最適直線必過兩個平均數所成的點。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

屏東高中 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～4：對數估計、高斯符號、含絕對值的極限、無窮等比級數

02多選 5～9：收斂數列、奇函數、反函數、函數的極限、最適直線

03選填 10～12（原卷 A～C）：無窮級數的和、合成函數

04選填 13～15（原卷 D～F）：函數的極限與連續

05選填 16～20（原卷 G～K）：計數、機率、期望值、三角比

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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