屏東高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (3)。疊合：$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+45^{\circ }\right)$。五個選項依序是 $\sqrt{2}\sin 56^{\circ }$、$\sqrt{2}\sin 76^{\circ }$、$\sqrt{2}\sin 96^{\circ }$、$\sqrt{2}\sin 116^{\circ }$、$\sqrt{2}\sin 136^{\circ }$。

又 $\sin 96^{\circ }=\sin 84^{\circ }$、$\sin 116^{\circ }=\sin 64^{\circ }$、$\sin 136^{\circ }=\sin 44^{\circ }$，比較 $\sin 56^{\circ }$、$\sin 76^{\circ }$、$\sin 84^{\circ }$、$\sin 64^{\circ }$、$\sin 44^{\circ }$，角度愈接近 $90^{\circ }$ 正弦愈大，最大的是 $\sin 84^{\circ }$，也就是 (3)。

答案 (4)。兩邊平方：${\sin }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$，即 $1-\sin 2\theta =\frac{1}{5}$，所以 $\sin 2\theta =\frac{4}{5}$。

檢查範圍：$45^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ 時 $90^{\circ }<2\theta <180^{\circ }$，$\sin 2\theta >0$，相符；且此時 $\sin \theta >\cos \theta$，原式右邊為正也相符。

答案 (2)。令 $r=10^{-b}$，則 $10^{-bt}=r^t$，$F(t)=a\left(1-r^t\right)$。由題意

$$a(1-r)=200,a\left(1-r^2\right)=300$$

第二式除以第一式：$\frac{1-r^2}{1-r}=1+r=\frac{3}{2}$，得 $r=\frac{1}{2}$，代回得 $a=400$。

所以 $F(3)=400\left(1-\frac{1}{8}\right)=350$（個）。

答案 (5)。三點共線，斜率相等。前兩點的斜率是 $\frac{\log 6-\log 3}{5-3}=\frac{\log 2}{2}$。

從 $(5,\log 6)$ 到 $(11,y)$ 橫坐標增加 $6$，縱坐標增加 $6\times \frac{\log 2}{2}=3\log 2=\log 8$，所以 $y=\log 6+\log 8=\log 48$。

答案 (4)。$\log 100=2$，原式為 $2\log b+2+\log b=7$，$3\log b=5$，$\log b=\frac{5}{3}$。

$\frac{3}{2}<\frac{5}{3}<2$，所以 $10^{\frac{3}{2}}<b<10^2$，即 $10\sqrt{10}<b<100$，選 (4)。

答案 (1)。$3^2+4^2=5^2$，$\overline{BC}$ 是斜邊，直角在 $A$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$。

重心 $G$ 滿足 $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$，因此

$$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\left({\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{3}(16+0)=\frac{16}{3}$$

答案 (5)。設 $C(12,k)$，$k>0$（第一象限）。$\overrightarrow{BA}=(-6,-1)$，$\overrightarrow{BC}=(4,k-2)$。平行四邊形 $ABCD$ 的面積是 $\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BC}$ 所張平行四邊形的面積：

$$\left|\left|\begin{array}{cc}-6& -1\\ 4& k-2\end{array}\right|\right|=\left|-6(k-2)+4\right|=|16-6k|=38$$

得 $k=9$ 或 $k=-\frac{11}{3}$；$C$ 在第一象限，取 $k=9$，$C(12,9)$。

平行四邊形 $ABCD$ 中 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(4,7)$，所以 $D=(2+4,1+7)=(6,8)$。

答案 (2)。$\overrightarrow{AB}=(3,1)$，$\overrightarrow{AC}=(2,4)$，內積 $3\times 2+1\times 4=10$，$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{10}$，$\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{20}$。

$$\cos \angle BAC=\frac{10}{\sqrt{10}\times \sqrt{20}}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

所以 $\angle BAC=45^{\circ }$。

答案 (1)(2)(4)(5)。由圖，最大值 $2$、最小值 $-2$；圖形在 $x=-\frac{\pi }{12}$ 由 $0$ 往上，到 $x=\frac{7\pi }{12}$ 回到 $0$，是一個完整週期，週期 $\frac{7\pi }{12}-\left(-\frac{\pi }{12}\right)=\frac{2\pi }{3}$。

(1) 正確。 $a>0$，振幅 $a=2$。(2) 正確。 $\frac{2\pi }{b}=\frac{2\pi }{3}$，$b=3$。(3) 錯誤。 在 $x=-\frac{\pi }{12}$ 由 $0$ 往上，表示 $3\times \left(-\frac{\pi }{12}\right)+c=2k\pi$，$c=\frac{\pi }{4}+2k\pi$；又 $|c|<\pi$，所以 $c=\frac{\pi }{4}$，不是 $\frac{\pi }{12}$。(4) 正確。 $y=2\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=2\sin 3\left(x+\frac{\pi }{12}\right)$，是 $y=2\sin 3x$ 向左平移 $\frac{\pi }{12}$。(5) 正確。 正弦型函數圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛垂線。$3x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}$ 時 $x=\frac{5\pi }{12}$，$y=-2$ 是最低點，所以圖形對稱於 $x=\frac{5\pi }{12}$。

答案 (3)(4)。疊合：$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$。

(1) 錯誤。 週期是 $2\pi$。(2) 錯誤。 振幅是 $\sqrt{2}$。(3) 正確。 $f(0)=0-1=-1$。(4) 正確。 $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0$ 的解 $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$（$k$ 為整數）有無限多個。(5) 錯誤。 例如 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$，$f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$，兩者不相等，圖形不對稱於 $y$ 軸。

答案 (1)(3)(4)(5)。由圖，圖形遞減、水平漸近線是虛線 $y=1$，與 $y$ 軸交於 $(0,2)$。$a^x$ 的漸近線是 $y=0$，往上平移 $b$ 後漸近線是 $y=b$，所以 $b=1$；又 $f(0)=1+b=2$，相符。

(1) 正確。 圖形遞減，底數 $0<a<1$。(2) 錯誤。 理由同 (1)。(3) 正確。 $b=1$。(4) 正確。 $a^x=2011$，$0<a<1$ 時 $a^x$ 遞減且取遍所有正數，恰有一解。(5) 正確。 $-x^2+2x-3=-(x-1{)}^2-2\le -2$，而 $f(x)=a^x+1>1$，兩圖形沒有交點。

答案 (1)(2)。已知 $ad-bc=12$。

(1) 正確。 行列互換，值不變：$ad-cb=12$。(2) 正確。 $(-a)(-d)-bc=ad-bc=12$。(3) 錯誤。 每一列都提出 $\frac{1}{3}$：值為 $\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times 12=\frac{4}{3}$。(4) 錯誤。 第二行減去第一行（行列式值不變）得 $\left|\begin{array}{cc}a& \frac{1}{3}b\\ c& \frac{1}{3}d\end{array}\right|=\frac{1}{3}\times 12=4$，不是 $-4$。(5) 錯誤。 第二行減去第一行的 $\frac{1}{3}$ 倍，得 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=12$，不是 $-4$。

答案 $242$。$2012^{\circ }=5\times 360^{\circ }+212^{\circ }$，所以 $\cos 2012^{\circ }=\cos 212^{\circ }=-\cos 32^{\circ }$。

左邊疊合：$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin \left(x+60^{\circ }\right)$。方程式變成 $\sin \left(x+60^{\circ }\right)=-\cos 32^{\circ }=-\sin 58^{\circ }$。

$180^{\circ }<x<270^{\circ }$ 時 $240^{\circ }<x+60^{\circ }<330^{\circ }$。正弦值為 $-\sin 58^{\circ }$ 的角在 $0^{\circ }$ 到 $360^{\circ }$ 之間只有 $238^{\circ }$ 與 $302^{\circ }$，落在範圍內的是 $302^{\circ }$。所以 $x=242^{\circ }$，$m=242$。

答案 $2$。$y_1={\left(\frac{2}{3}\right)}^{x_1}$，$y_2={\left(\frac{2}{3}\right)}^{x_2}$，

$$\frac{y_2}{y_1}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{x_2-x_1}=\frac{9}{4}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}$$

所以 $x_2-x_1=-2$，$x_1-x_2=2$。

答案 $8$。令 $t=2^{-x}$，則 $4^{-x}=t^2$，$2^{-x+1}=2t$，$f=t^2-2t=(t-1{)}^2-1$。

$-2\le x\le 3$ 時 $-3\le -x\le 2$，$t=2^{-x}$ 的範圍是 $\frac{1}{8}\le t\le 4$。在這個範圍內 $(t-1{)}^2-1$ 離 $t=1$ 最遠的是 $t=4$，最大值 $(4-1{)}^2-1=8$（此時 $x=-2$）。

答案 $4$。過 $P(3,1)$：${\log }_a(6-b)=1$，$a=6-b$。過 $Q(13,2)$：${\log }_a(26-b)=2$，$a^2=26-b$。

由第一式 $b=6-a$，代入第二式：$a^2=20+a$，$a^2-a-20=0$，$(a-5)(a+4)=0$。底數 $a>0$，取 $a=5$，$b=1$。

所以 $c={\log }_5(2\times 313-1)={\log }_{5}625=4$。

答案 $10$。$\vec{a}\cdot \vec{b}=x+4y=1\times x+2\times (2y)$。由柯西不等式：

$$\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+(2y{)}^2\right)\ge {\left(x+2\times 2y\right)}^2$$

即 $5\times 20\ge (x+4y{)}^2$，所以 $x+4y\le 10$。等號在 $(x,2y)$ 與 $(1,2)$ 同向時成立：$x=2$、$y=2$，此時 $x^2+4y^2=4+16=20$，相符。最大值為 $10$。

答案 $\frac{3}{5}$。$y=x^2+2x-3=(x+1{)}^2-4=(x+3)(x-1)$，頂點 $C(-1,-4)$，與 $x$ 軸交於 $(-3,0)$、$(1,0)$。

設 $A(-3,0)$、$B(1,0)$：$\overrightarrow{CA}=(-2,4)$，$\overrightarrow{CB}=(2,4)$，內積 $-4+16=12$，兩向量長度都是 $\sqrt{20}$。

$$\cos \angle ACB=\frac{12}{\sqrt{20}\times \sqrt{20}}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$$