段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、常用對數、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

屏東高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

單選題 5 題、多選題 6 題、選填題 A～K（A 有兩小題），共 23 題。原卷未印配分。原卷選填題 A 的 (1)(2) 本頁編為第 12、13 題，B～K 編為第 14～23 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題

附圖為

y = 2 lo g x

、

y = lo g x

、

y = - lo g x

與

y = - 2 lo g x

的圖形，選出

y = lo g x

的圖形。

(1) $A$
(2) $B$
(3) $C$
(4) $D$
(5) 不能確定

載入中...

試比較

a = (0.4)^{1.5}

、

b = (0.4)^{- 3}

、

c = (0.4)^{0.4}

的大小關係

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) 條件不足

設

a = 2

，

b = 1 + lo g 28

，

c = lo g 208

，則此三數的大小關係為

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > b > a$

對任意實數

x

而言，

2^{- x^{2} + 2 x + 3}

的最大值為何？

(1) $4$
(2) $8$
(3) $16$
(4) $32$
(5) $64$

若

4^{x - 2} = 1024

，試求出

x

之值

(1) $5$
(2) $6$
(3) $7$
(4) $8$
(5) $9$

二、多選題

下列選項的函數圖形中，哪些對稱於直線

y = x

？

(1) 函數 $y = 4^{x}$ 與 $y = 4^{- x}$
(2) 函數 $y = 4^{x}$ 與 $y = - 4^{x}$
(3) 函數 $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$
(4) 函數 $y = lo g x$ 與 $y = - lo g x$
(5) 函數 $y = 1 0^{- x}$ 與 $y = - lo g x$

若

5^{x} = 4

，則下列哪些和

x

的值相等？

(1) $lo g_{5} 4$
(2) $lo g_{4} 5$
(3) $\frac{lo g 5}{lo g 4}$
(4) $2 lo g_{5} 2$
(5) $\frac{2 lo g 2}{lo g 5}$

設

y = (\frac{1}{3})^{x}

，

x

為實數之圖形的敘述，則下列選項哪些正確？

(1) 圖形向右下降
(2) 當 $x$ 愈小， $y$ 值愈接近 $x$ 軸
(3) 圖形恆過點 $(0, 1)$
(4) $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 的圖形與 $y = (\frac{1}{3})^{- x}$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(5) $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 的圖形凹口向上

已知點

(a, b)

是指數函數

y = 3^{x}

圖形上的任一點，則下列哪些選項中的點也會在此

y = 3^{x}

的圖形上？

(1) $(3 a, 3 b)$
(2) $(a + 1, 3 b)$
(3) $(3 a, b + 1)$
(4) $(a - 2, \frac{b}{9})$
(5) $(\frac{a}{3}, b - 1)$

關於函數

y = lo g x

的圖形，下列哪些選項正確？

(1) 函數圖形通過點 $(1, 0)$
(2) 函數圖形通過點 $(0, 1)$
(3) 函數圖形和直線 $x = 3$ 的交點在第四象限
(4) 函數圖形和直線 $y = - 10$ 沒有交點
(5) 函數圖形和直線 $y = 5$ 恰有一個交點

已知實數

a > b > 1

，試問下列哪些選項正確？

(1) $a^{10} > b^{10}$
(2) $a^{- 10} < b^{- 10}$
(3) $a^{0} > b^{0}$
(4) $lo g b > 1$
(5) $lo g a > lo g b$

三、選填題

第 12～13 題為選填 A 的兩小題（第 12～13 題）　求下列各對數的值

(1)

lo g_{7} 49 =

____。

(2)

lo g_{3} 9 =

____。

若

x = lo g_{2} 3

，試求

2^{x} + 4^{- x}

的值

=

____。

若

x

，

y

為兩正實數，且滿足

x^{\frac{- 1}{3}} y^{2} = 1

及

2 lo g y = 1

，則

\frac{x - y ^{2}}{10} =

____。

解方程式

lo g x + lo g (x - 1) = lo g 20

，

x =

____。

指數方程式

(\frac{1}{4})^{2 x - 1} = 162

，

x

的解為 ____。

設

a

，

b

為正整數，若

a lo g 2 + b lo g 5 = 4

，則

a + b =

____。

方程式

2^{2 x + 2} + 7 \cdot 2^{x} - 2 = 0

的解為 ____。

試求

2 lo g (x - 2) < lo g (8 - x)

的解為 ____

< x <

____。

工作幾年之後，志明打算把人生第一桶金

100

萬元存入銀行，有以下兩種方案：方案一：以單利計算，每年計息一次，年利率為

1%

。方案二：以複利計算，每年計息一次，年利率為

1%

。請計算兩種方案在

2

年後相差 ____ 元。

天文學家以織女星的亮度

I_{0}

為標準，被觀察的星星亮度為

I

，將其星等定義為

m = - \frac{5}{2} lo g \frac{I}{I _{0}}

。人類肉眼所能看到的最暗亮度為

6

等星，天文望遠鏡可觀測到

11

等星，試問

6

等星的亮度是

11

等星的 ____ 倍

若

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，試用

a

和

b

表示出

lo g 72 =

____

a +

____

b

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(4)

第 4 題(3)

第 5 題(3)

第 6 題(3)(5)

第 7 題(1)(4)(5)

第 8 題(1)(3)(5)

第 9 題(2)(4)

第 10 題(1)(5)

第 11 題(1)(2)(5)

第 12 題

2

第 13 題

4

第 14 題

\frac{28}{9}

第 15 題

99

第 16 題

5

第 17 題

- \frac{5}{8}

第 18 題

8

第 19 題

- 2

第 20 題

2

、

4

（即

2 < x < 4

）

第 21 題

100

第 22 題

100

第 23 題

3

、

2

（即

lo g 72 = 3 a + 2 b

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～5 題：對數函數的圖形、指數與對數比大小、指數方程式

第 1 題答案 (2)。四條曲線都通過點

(1, 0)

（因為

lo g 1 = 0

）。

y = 2 lo g x

與

y = lo g x

遞增，

y = - lo g x

與

y = - 2 lo g x

遞減；圖中往右上升的是

A

、

B

，往右下降的是

C

、

D

。在

x > 1

時

lo g x > 0

，所以

2 lo g x > lo g x

，

y = 2 lo g x

的圖形在

y = lo g x

的上方。圖中

x > 1

的部分

A

在

B

上方，所以

A

是

y = 2 lo g x

，

B

是

y = lo g x

。

同理，

x > 1

時

- lo g x > - 2 lo g x

，

C

是

y = - lo g x

，

D

是

y = - 2 lo g x

；

B

與

C

對稱於

x

軸。

第 2 題答案 (4)。三個數的底數都是

0.4

，

0 < 0.4 < 1

，所以

y = (0.4)^{x}

遞減：指數愈小，值愈大。指數由小到大是

- 3 < 0.4 < 1.5

，所以

b > c > a

。

b = (0.4)^{- 3} = (\frac{5}{2})^{3} = 15.625

，比

1

大；

a

、

c

都介於

0

與

1

之間。

第 3 題答案 (4)。都寫成常用對數：

a = 2 = lo g 100

，

b = 1 + lo g 28 = lo g 10 + lo g 28 = lo g 280

，

c = lo g 208

。

y = lo g x

遞增，真數

280 > 208 > 100

，所以

b > c > a

。

第 4 題答案 (3)。先配方：

- x^{2} + 2 x + 3 = - (x - 1)^{2} + 4

，最大值是

4

（

x = 1

時）。底數

2 > 1

，

y = 2^{t}

遞增，指數最大時值最大，所以最大值是

2^{4} = 16

。

第 5 題答案 (3)。

1024 = 2^{10} = 4^{5}

，所以

4^{x - 2} = 4^{5}

。指數函數一對一，

x - 2 = 5

，

x = 7

。

檢查：

4^{7 - 2} = 4^{5} = 1024

。

比大小先化成同底數（指數）或同一種對數，再看函數遞增還是遞減。

02多選第 6～8 題：反函數圖形的對稱、指數式改寫成對數、指數函數的性質

第 6 題答案 (3)(5)。兩個圖形對稱於直線

y = x

，就是把其中一式的

x

、

y

對調會得到另一式。(1) 錯誤。

y = 4^{- x}

是把

y = 4^{x}

的

x

換成

- x

，兩圖形對稱於

y

軸。(2) 錯誤。

y = - 4^{x}

是把

y

換成

- y

，兩圖形對稱於

x

軸。(3) 正確。

y = 1 0^{x}

的

x

、

y

對調得

x = 1 0^{y}

，即

y = lo g x

。(4) 錯誤。 兩圖形對稱於

x

軸。(5) 正確。

y = 1 0^{- x}

的

x

、

y

對調得

x = 1 0^{- y}

，由對數的定義

- y = lo g x

，即

y = - lo g x

。

(5) 也可以看成

y = 1 0^{- x} = (\frac{1}{10})^{x}

與

y = lo g_{\frac{1}{10}} x = - lo g x

互為反函數。

第 7 題答案 (1)(4)(5)。由對數的定義，

5^{x} = 4

即

x = lo g_{5} 4

。(1) 正確。 (2) 錯誤。

lo g_{4} 5

是

lo g_{5} 4

的倒數，

lo g_{5} 4 < 1 < lo g_{4} 5

，兩者不相等。(3) 錯誤。 換底公式

\frac{lo g 5}{lo g 4} = lo g_{4} 5

，同 (2)。(4) 正確。

2 lo g_{5} 2 = lo g_{5} 2^{2} = lo g_{5} 4

。(5) 正確。

\frac{2 lo g 2}{lo g 5} = \frac{lo g 4}{lo g 5} = lo g_{5} 4

。

第 8 題答案 (1)(3)(5)。底數

\frac{1}{3}

介於

0

與

1

之間。(1) 正確。 底數小於

1

，函數遞減，圖形向右下降。(2) 錯誤。 遞減函數，

x

愈小

y

愈大，例如

x = - 3

時

y = 27

；是

x

愈大時

y

愈接近

x

軸。(3) 正確。

x = 0

時

y = (\frac{1}{3})^{0} = 1

。(4) 錯誤。

y = (\frac{1}{3})^{- x}

是把

x

換成

- x

，兩圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸（而且兩個圖形都在

x

軸上方，不可能對稱於

x

軸）。(5) 正確。 指數函數的圖形凹口向上：圖形上任兩點的連線段在圖形上方，例如取

x = 0

與

x = 2

兩點，連線段中點的

y

坐標是

\frac{1 + \frac{1}{9}}{2} = \frac{5}{9}

，比

x = 1

時的函數值

\frac{1}{3}

大。

x

換成

- x

是對稱於

y

軸，

y

換成

- y

是對稱於

x

軸，

x

、

y

對調是對稱於直線

y = x

。

03多選第 9～11 題：指數函數圖形上的點、對數函數圖形、由底數比較大小

第 9 題答案 (2)(4)。已知

b = 3^{a}

，要對每一個這樣的

(a, b)

都成立才算。(1) 錯誤。 要

3 b = 3^{3 a}

，即

3^{a + 1} = 3^{3 a}

，只有

a = \frac{1}{2}

時成立；例如

(0, 1)

在圖形上，

(0, 3)

不在（

3^{0} = 1

）。(2) 正確。

3^{a + 1} = 3 \cdot 3^{a} = 3 b

。(3) 錯誤。 例如

(0, 1)

對應

(0, 2)

，

3^{0} = 1 \neq = 2

。(4) 正確。

3^{a - 2} = \frac{3 ^{a}}{3 ^{2}} = \frac{b}{9}

。(5) 錯誤。 例如

(0, 1)

對應

(0, 0)

，

3^{0} = 1 \neq = 0

。

指數律

3^{a + k} = 3^{k} \cdot 3^{a}

：橫坐標加

k

，縱坐標就要乘

3^{k}

。(2) 是

k = 1

，(4) 是

k = - 2

。

第 10 題答案 (1)(5)。(1) 正確。

lo g 1 = 0

。(2) 錯誤。 真數必須大於

0

，

x = 0

不在定義域裡，圖形與

y

軸沒有交點。(3) 錯誤。

x = 3

時

y = lo g 3 > 0

（因為

3 > 1

），交點

(3, lo g 3)

在第一象限。(4) 錯誤。

y = lo g x

的值域是全體實數，

lo g x = - 10

有解

x = 1 0^{- 10}

，有交點

(1 0^{- 10}, - 10)

。(5) 正確。

lo g x = 5

恰有一解

x = 1 0^{5}

，因為

y = lo g x

遞增，每個

y

值只對應一個

x

。

第 11 題答案 (1)(2)(5)。(1) 正確。

a > b > 0

，兩邊都是正數，連乘

10

次得

a^{10} > b^{10}

。(2) 正確。

a^{- 10} = \frac{1}{a ^{10}}

、

b^{- 10} = \frac{1}{b ^{10}}

；由 (1)

a^{10} > b^{10} > 0

，取倒數不等號反向，

a^{- 10} < b^{- 10}

。(3) 錯誤。

a^{0} = b^{0} = 1

，兩者相等。(4) 錯誤。

lo g b > 1

等於

b > 10

，但只知道

b > 1

；例如

a = 3

、

b = 2

，

lo g 2 < 1

。(5) 正確。

y = lo g x

遞增，

a > b > 0

所以

lo g a > lo g b

。

判斷「任一點」「恆成立」的敘述，一個反例就能否定；要肯定則要用指數律或函數的增減說明對所有情形都對。

04選填 A～E（第 12～17 題）：對數的定義、指數與對數互換、對數方程式、指數方程式

第 12 題

49 = 7^{2}

，所以

lo g_{7} 49 = 2

。

第 13 題

9 = 3^{2} = (3)^{4}

，所以

lo g_{3} 9 = 4

。

也可以用換底：

lo g_{3} 9 = \frac{lo g 9}{lo g 3} = \frac{2 lo g 3}{\frac{1}{2} lo g 3} = 4

。

第 14 題由對數的定義，

x = lo g_{2} 3

即

2^{x} = 3

。

4^{- x} = (2^{x})^{- 2} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}

。所以

2^{x} + 4^{- x} = 3 + \frac{1}{9} = \frac{28}{9}

。

卷面答案格是分子兩格、分母一格，依序填

2

、

8

、

9

。

第 15 題由

2 lo g y = 1

得

lo g y = \frac{1}{2}

，

y = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10

，

y^{2} = 10

。代入

x^{\frac{- 1}{3}} y^{2} = 1

：

x^{\frac{- 1}{3}} \cdot 10 = 1

，

x^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{10}

，兩邊取倒數得

x^{\frac{1}{3}} = 10

，兩邊三次方得

x = 1000

。所以

\frac{x - y ^{2}}{10} = \frac{1000 - 10}{10} = 99

。

檢查：

100 0^{- \frac{1}{3}} \times 10 = \frac{1}{10} \times 10 = 1

。

第 16 題真數條件：

x > 0

且

x - 1 > 0

，所以

x > 1

。由對數律，

lo g x + lo g (x - 1) = lo g [x (x - 1)] = lo g 20

，

y = lo g x

一對一，

x (x - 1) = 20

，

x^{2} - x - 20 = 0

，

(x - 5) (x + 4) = 0

，

x = 5

或

x = - 4

。

- 4

不符合

x > 1

，所以

x = 5

。

檢查：

lo g 5 + lo g 4 = lo g 20

。

第 17 題都化成以

2

為底：

(\frac{1}{4})^{2 x - 1} = (2^{- 2})^{2 x - 1} = 2^{- 4 x + 2}

，

162 = 2^{4} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}

。指數函數一對一，

- 4 x + 2 = \frac{9}{2}

，

- 4 x = \frac{5}{2}

，

x = - \frac{5}{8}

。

卷面答案格是分子兩格、分母一格，分子兩格依序填負號與

5

，分母填

8

。

x = lo g_{a} b

與

a^{x} = b

是同一句話；解指數方程式先化成同底數，解對數方程式先寫真數條件。

05選填 F～K（第 18～23 題）：對數律、換元解指數方程式、對數不等式、單利與複利、星等

第 18 題由對數律，

a lo g 2 + b lo g 5 = lo g (2^{a} \cdot 5^{b}) = 4 = lo g 1 0^{4}

，所以

2^{a} \cdot 5^{b} = 1 0^{4} = 2^{4} \cdot 5^{4}

。

a

、

b

是正整數，由質因數分解的唯一性，

a = 4

、

b = 4

，

a + b = 8

。

第 19 題

2^{2 x + 2} = 4 \cdot (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

，

t > 0

，方程式變成

4 t^{2} + 7 t - 2 = 0

，

(4 t - 1) (t + 2) = 0

，

t = \frac{1}{4}

或

t = - 2

。

t > 0

，所以

2^{x} = \frac{1}{4} = 2^{- 2}

，

x = - 2

。

2^{x}

恆為正，

t = - 2

不合。卷面答案格兩格，依序填負號與

2

。

第 20 題真數條件：

x - 2 > 0

且

8 - x > 0

，所以

2 < x < 8

。在這個範圍內，

2 lo g (x - 2) = lo g (x - 2)^{2}

，不等式成為

lo g (x - 2)^{2} < lo g (8 - x)

。

y = lo g x

遞增，所以

(x - 2)^{2} < 8 - x

，

x^{2} - 3 x - 4 < 0

，

(x - 4) (x + 1) < 0

，

- 1 < x < 4

。與真數條件取交集，得

2 < x < 4

。

x = 3

時

2 lo g 1 = 0 < lo g 5

，成立；

x = 5

時

2 lo g 3 = lo g 9 > lo g 3

，不成立。

第 21 題方案一（單利）：每年利息都是

1000000 \times 1% = 10000

元，

2

年後本利和

1000000 + 2 \times 10000 = 1020000

元。方案二（複利）：

2

年後本利和

1000000 \times (1 + 1%)^{2} = 1000000 \times 1.0201 = 1020100

元。兩者相差

1020100 - 1020000 = 100

元。

差額就是第一年的利息

10000

元在第二年再生的利息

10000 \times 1% = 100

元。

第 22 題設

6

等星的亮度為

I_{1}

、

11

等星的亮度為

I_{2}

。

6 = - \frac{5}{2} lo g \frac{I _{1}}{I _{0}}

，

11 = - \frac{5}{2} lo g \frac{I _{2}}{I _{0}}

。兩式相減：

6 - 11 = - \frac{5}{2} (lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} - lo g \frac{I _{2}}{I _{0}}) = - \frac{5}{2} lo g \frac{I _{1}}{I _{2}}

，即

- 5 = - \frac{5}{2} lo g \frac{I _{1}}{I _{2}}

，

lo g \frac{I _{1}}{I _{2}} = 2

，

\frac{I _{1}}{I _{2}} = 1 0^{2} = 100

。

星等數字愈大愈暗：

6

等星比

11

等星亮，倍數大於

1

。卷面答案格三格，依序填

1

、

0

、

0

。

第 23 題

72 = 8 \times 9 = 2^{3} \times 3^{2}

，所以

lo g 72 = 3 lo g 2 + 2 lo g 3 = 3 a + 2 b

。兩格依序填

3

、

2

。

對數不等式先寫真數條件、最後取交集；兩個量的倍數，把兩式相減就能用對數律併成一個比值。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

屏東高中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要先用都通過點 (1, 0) 再看 x 大於 1 時誰在上方，分出係數是 2 還是 1；第 6 題第 5 個選項要把 y＝10 的負 x 次方改寫成 x 與 y 對調的形式才看得出是反函數；第 9 題要對每個點代入檢查是否對所有的 (a, b) 都成立；第 15 題的指數是負三分之一，要先求出 y 再解出 x；第 20 題的對數不等式要先寫真數條件再取交集；第 22 題要把兩個星等的式子相減，用對數律併成亮度的比值。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、常用對數、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

屏東高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

一、單選題

附圖為

y = 2 lo g x

、

y = lo g x

、

y = - lo g x

與

y = - 2 lo g x

的圖形，選出

y = lo g x

的圖形。

(1) $A$
(2) $B$
(3) $C$
(4) $D$
(5) 不能確定

載入中...

試比較

a = (0.4)^{1.5}

、

b = (0.4)^{- 3}

、

c = (0.4)^{0.4}

的大小關係

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) 條件不足

設

a = 2

，

b = 1 + lo g 28

，

c = lo g 208

，則此三數的大小關係為

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > b > a$

對任意實數

x

而言，

2^{- x^{2} + 2 x + 3}

的最大值為何？

(1) $4$
(2) $8$
(3) $16$
(4) $32$
(5) $64$

若

4^{x - 2} = 1024

，試求出

x

之值

(1) $5$
(2) $6$
(3) $7$
(4) $8$
(5) $9$

二、多選題

下列選項的函數圖形中，哪些對稱於直線

y = x

？

(1) 函數 $y = 4^{x}$ 與 $y = 4^{- x}$
(2) 函數 $y = 4^{x}$ 與 $y = - 4^{x}$
(3) 函數 $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$
(4) 函數 $y = lo g x$ 與 $y = - lo g x$
(5) 函數 $y = 1 0^{- x}$ 與 $y = - lo g x$

若

5^{x} = 4

，則下列哪些和

x

的值相等？

(1) $lo g_{5} 4$
(2) $lo g_{4} 5$
(3) $\frac{lo g 5}{lo g 4}$
(4) $2 lo g_{5} 2$
(5) $\frac{2 lo g 2}{lo g 5}$

設

y = (\frac{1}{3})^{x}

，

x

為實數之圖形的敘述，則下列選項哪些正確？

(1) 圖形向右下降
(2) 當 $x$ 愈小， $y$ 值愈接近 $x$ 軸
(3) 圖形恆過點 $(0, 1)$
(4) $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 的圖形與 $y = (\frac{1}{3})^{- x}$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(5) $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 的圖形凹口向上

已知點

(a, b)

是指數函數

y = 3^{x}

圖形上的任一點，則下列哪些選項中的點也會在此

y = 3^{x}

的圖形上？

(1) $(3 a, 3 b)$
(2) $(a + 1, 3 b)$
(3) $(3 a, b + 1)$
(4) $(a - 2, \frac{b}{9})$
(5) $(\frac{a}{3}, b - 1)$

關於函數

y = lo g x

的圖形，下列哪些選項正確？

(1) 函數圖形通過點 $(1, 0)$
(2) 函數圖形通過點 $(0, 1)$
(3) 函數圖形和直線 $x = 3$ 的交點在第四象限
(4) 函數圖形和直線 $y = - 10$ 沒有交點
(5) 函數圖形和直線 $y = 5$ 恰有一個交點

已知實數

a > b > 1

，試問下列哪些選項正確？

(1) $a^{10} > b^{10}$
(2) $a^{- 10} < b^{- 10}$
(3) $a^{0} > b^{0}$
(4) $lo g b > 1$
(5) $lo g a > lo g b$

三、選填題

第 12～13 題為選填 A 的兩小題（第 12～13 題）　求下列各對數的值

(1)

lo g_{7} 49 =

____。

(2)

lo g_{3} 9 =

____。

若

x = lo g_{2} 3

，試求

2^{x} + 4^{- x}

的值

=

____。

若

x

，

y

為兩正實數，且滿足

x^{\frac{- 1}{3}} y^{2} = 1

及

2 lo g y = 1

，則

\frac{x - y ^{2}}{10} =

____。

解方程式

lo g x + lo g (x - 1) = lo g 20

，

x =

____。

指數方程式

(\frac{1}{4})^{2 x - 1} = 162

，

x

的解為 ____。

設

a

，

b

為正整數，若

a lo g 2 + b lo g 5 = 4

，則

a + b =

____。

方程式

2^{2 x + 2} + 7 \cdot 2^{x} - 2 = 0

的解為 ____。

試求

2 lo g (x - 2) < lo g (8 - x)

的解為 ____

< x <

____。

工作幾年之後，志明打算把人生第一桶金

100

萬元存入銀行，有以下兩種方案：方案一：以單利計算，每年計息一次，年利率為

1%

。方案二：以複利計算，每年計息一次，年利率為

1%

。請計算兩種方案在

2

年後相差 ____ 元。

天文學家以織女星的亮度

I_{0}

為標準，被觀察的星星亮度為

I

，將其星等定義為

m = - \frac{5}{2} lo g \frac{I}{I _{0}}

。人類肉眼所能看到的最暗亮度為

6

等星，天文望遠鏡可觀測到

11

等星，試問

6

等星的亮度是

11

等星的 ____ 倍

若

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，試用

a

和

b

表示出

lo g 72 =

____

a +

____

b

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(4)

第 4 題(3)

第 5 題(3)

第 6 題(3)(5)

第 7 題(1)(4)(5)

第 8 題(1)(3)(5)

第 9 題(2)(4)

第 10 題(1)(5)

第 11 題(1)(2)(5)

第 12 題

2

第 13 題

4

第 14 題

\frac{28}{9}

第 15 題

99

第 16 題

5

第 17 題

- \frac{5}{8}

第 18 題

8

第 19 題

- 2

第 20 題

2

、

4

（即

2 < x < 4

）

第 21 題

100

第 22 題

100

第 23 題

3

、

2

（即

lo g 72 = 3 a + 2 b

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～5 題：對數函數的圖形、指數與對數比大小、指數方程式

第 1 題答案 (2)。四條曲線都通過點

(1, 0)

（因為

lo g 1 = 0

）。

y = 2 lo g x

與

y = lo g x

遞增，

y = - lo g x

與

y = - 2 lo g x

遞減；圖中往右上升的是

A

、

B

，往右下降的是

C

、

D

。在

x > 1

時

lo g x > 0

，所以

2 lo g x > lo g x

，

y = 2 lo g x

的圖形在

y = lo g x

的上方。圖中

x > 1

的部分

A

在

B

上方，所以

A

是

y = 2 lo g x

，

B

是

y = lo g x

。

同理，

x > 1

時

- lo g x > - 2 lo g x

，

C

是

y = - lo g x

，

D

是

y = - 2 lo g x

；

B

與

C

對稱於

x

軸。

第 2 題答案 (4)。三個數的底數都是

0.4

，

0 < 0.4 < 1

，所以

y = (0.4)^{x}

遞減：指數愈小，值愈大。指數由小到大是

- 3 < 0.4 < 1.5

，所以

b > c > a

。

b = (0.4)^{- 3} = (\frac{5}{2})^{3} = 15.625

，比

1

大；

a

、

c

都介於

0

與

1

之間。

第 3 題答案 (4)。都寫成常用對數：

a = 2 = lo g 100

，

b = 1 + lo g 28 = lo g 10 + lo g 28 = lo g 280

，

c = lo g 208

。

y = lo g x

遞增，真數

280 > 208 > 100

，所以

b > c > a

。

第 4 題答案 (3)。先配方：

- x^{2} + 2 x + 3 = - (x - 1)^{2} + 4

，最大值是

4

（

x = 1

時）。底數

2 > 1

，

y = 2^{t}

遞增，指數最大時值最大，所以最大值是

2^{4} = 16

。

第 5 題答案 (3)。

1024 = 2^{10} = 4^{5}

，所以

4^{x - 2} = 4^{5}

。指數函數一對一，

x - 2 = 5

，

x = 7

。

檢查：

4^{7 - 2} = 4^{5} = 1024

。

比大小先化成同底數（指數）或同一種對數，再看函數遞增還是遞減。

02多選第 6～8 題：反函數圖形的對稱、指數式改寫成對數、指數函數的性質

第 6 題答案 (3)(5)。兩個圖形對稱於直線

y = x

，就是把其中一式的

x

、

y

對調會得到另一式。(1) 錯誤。

y = 4^{- x}

是把

y = 4^{x}

的

x

換成

- x

，兩圖形對稱於

y

軸。(2) 錯誤。

y = - 4^{x}

是把

y

換成

- y

，兩圖形對稱於

x

軸。(3) 正確。

y = 1 0^{x}

的

x

、

y

對調得

x = 1 0^{y}

，即

y = lo g x

。(4) 錯誤。 兩圖形對稱於

x

軸。(5) 正確。

y = 1 0^{- x}

的

x

、

y

對調得

x = 1 0^{- y}

，由對數的定義

- y = lo g x

，即

y = - lo g x

。

(5) 也可以看成

y = 1 0^{- x} = (\frac{1}{10})^{x}

與

y = lo g_{\frac{1}{10}} x = - lo g x

互為反函數。

第 7 題答案 (1)(4)(5)。由對數的定義，

5^{x} = 4

即

x = lo g_{5} 4

。(1) 正確。 (2) 錯誤。

lo g_{4} 5

是

lo g_{5} 4

的倒數，

lo g_{5} 4 < 1 < lo g_{4} 5

，兩者不相等。(3) 錯誤。 換底公式

\frac{lo g 5}{lo g 4} = lo g_{4} 5

，同 (2)。(4) 正確。

2 lo g_{5} 2 = lo g_{5} 2^{2} = lo g_{5} 4

。(5) 正確。

\frac{2 lo g 2}{lo g 5} = \frac{lo g 4}{lo g 5} = lo g_{5} 4

。

第 8 題答案 (1)(3)(5)。底數

\frac{1}{3}

介於

0

與

1

之間。(1) 正確。 底數小於

1

，函數遞減，圖形向右下降。(2) 錯誤。 遞減函數，

x

愈小

y

愈大，例如

x = - 3

時

y = 27

；是

x

愈大時

y

愈接近

x

軸。(3) 正確。

x = 0

時

y = (\frac{1}{3})^{0} = 1

。(4) 錯誤。

y = (\frac{1}{3})^{- x}

是把

x

換成

- x

，兩圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸（而且兩個圖形都在

x

軸上方，不可能對稱於

x

軸）。(5) 正確。 指數函數的圖形凹口向上：圖形上任兩點的連線段在圖形上方，例如取

x = 0

與

x = 2

兩點，連線段中點的

y

坐標是

\frac{1 + \frac{1}{9}}{2} = \frac{5}{9}

，比

x = 1

時的函數值

\frac{1}{3}

大。

x

換成

- x

是對稱於

y

軸，

y

換成

- y

是對稱於

x

軸，

x

、

y

對調是對稱於直線

y = x

。

03多選第 9～11 題：指數函數圖形上的點、對數函數圖形、由底數比較大小

第 9 題答案 (2)(4)。已知

b = 3^{a}

，要對每一個這樣的

(a, b)

都成立才算。(1) 錯誤。 要

3 b = 3^{3 a}

，即

3^{a + 1} = 3^{3 a}

，只有

a = \frac{1}{2}

時成立；例如

(0, 1)

在圖形上，

(0, 3)

不在（

3^{0} = 1

）。(2) 正確。

3^{a + 1} = 3 \cdot 3^{a} = 3 b

。(3) 錯誤。 例如

(0, 1)

對應

(0, 2)

，

3^{0} = 1 \neq = 2

。(4) 正確。

3^{a - 2} = \frac{3 ^{a}}{3 ^{2}} = \frac{b}{9}

。(5) 錯誤。 例如

(0, 1)

對應

(0, 0)

，

3^{0} = 1 \neq = 0

。

指數律

3^{a + k} = 3^{k} \cdot 3^{a}

：橫坐標加

k

，縱坐標就要乘

3^{k}

。(2) 是

k = 1

，(4) 是

k = - 2

。

第 10 題答案 (1)(5)。(1) 正確。

lo g 1 = 0

。(2) 錯誤。 真數必須大於

0

，

x = 0

不在定義域裡，圖形與

y

軸沒有交點。(3) 錯誤。

x = 3

時

y = lo g 3 > 0

（因為

3 > 1

），交點

(3, lo g 3)

在第一象限。(4) 錯誤。

y = lo g x

的值域是全體實數，

lo g x = - 10

有解

x = 1 0^{- 10}

，有交點

(1 0^{- 10}, - 10)

。(5) 正確。

lo g x = 5

恰有一解

x = 1 0^{5}

，因為

y = lo g x

遞增，每個

y

值只對應一個

x

。

第 11 題答案 (1)(2)(5)。(1) 正確。

a > b > 0

，兩邊都是正數，連乘

10

次得

a^{10} > b^{10}

。(2) 正確。

a^{- 10} = \frac{1}{a ^{10}}

、

b^{- 10} = \frac{1}{b ^{10}}

；由 (1)

a^{10} > b^{10} > 0

，取倒數不等號反向，

a^{- 10} < b^{- 10}

。(3) 錯誤。

a^{0} = b^{0} = 1

，兩者相等。(4) 錯誤。

lo g b > 1

等於

b > 10

，但只知道

b > 1

；例如

a = 3

、

b = 2

，

lo g 2 < 1

。(5) 正確。

y = lo g x

遞增，

a > b > 0

所以

lo g a > lo g b

。

判斷「任一點」「恆成立」的敘述，一個反例就能否定；要肯定則要用指數律或函數的增減說明對所有情形都對。

04選填 A～E（第 12～17 題）：對數的定義、指數與對數互換、對數方程式、指數方程式

第 12 題

49 = 7^{2}

，所以

lo g_{7} 49 = 2

。

第 13 題

9 = 3^{2} = (3)^{4}

，所以

lo g_{3} 9 = 4

。

也可以用換底：

lo g_{3} 9 = \frac{lo g 9}{lo g 3} = \frac{2 lo g 3}{\frac{1}{2} lo g 3} = 4

。

第 14 題由對數的定義，

x = lo g_{2} 3

即

2^{x} = 3

。

4^{- x} = (2^{x})^{- 2} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}

。所以

2^{x} + 4^{- x} = 3 + \frac{1}{9} = \frac{28}{9}

。

卷面答案格是分子兩格、分母一格，依序填

2

、

8

、

9

。

第 15 題由

2 lo g y = 1

得

lo g y = \frac{1}{2}

，

y = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10

，

y^{2} = 10

。代入

x^{\frac{- 1}{3}} y^{2} = 1

：

x^{\frac{- 1}{3}} \cdot 10 = 1

，

x^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{10}

，兩邊取倒數得

x^{\frac{1}{3}} = 10

，兩邊三次方得

x = 1000

。所以

\frac{x - y ^{2}}{10} = \frac{1000 - 10}{10} = 99

。

檢查：

100 0^{- \frac{1}{3}} \times 10 = \frac{1}{10} \times 10 = 1

。

第 16 題真數條件：

x > 0

且

x - 1 > 0

，所以

x > 1

。由對數律，

lo g x + lo g (x - 1) = lo g [x (x - 1)] = lo g 20

，

y = lo g x

一對一，

x (x - 1) = 20

，

x^{2} - x - 20 = 0

，

(x - 5) (x + 4) = 0

，

x = 5

或

x = - 4

。

- 4

不符合

x > 1

，所以

x = 5

。

檢查：

lo g 5 + lo g 4 = lo g 20

。

第 17 題都化成以

2

為底：

(\frac{1}{4})^{2 x - 1} = (2^{- 2})^{2 x - 1} = 2^{- 4 x + 2}

，

162 = 2^{4} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}

。指數函數一對一，

- 4 x + 2 = \frac{9}{2}

，

- 4 x = \frac{5}{2}

，

x = - \frac{5}{8}

。

卷面答案格是分子兩格、分母一格，分子兩格依序填負號與

5

，分母填

8

。

x = lo g_{a} b

與

a^{x} = b

是同一句話；解指數方程式先化成同底數，解對數方程式先寫真數條件。

05選填 F～K（第 18～23 題）：對數律、換元解指數方程式、對數不等式、單利與複利、星等

第 18 題由對數律，

a lo g 2 + b lo g 5 = lo g (2^{a} \cdot 5^{b}) = 4 = lo g 1 0^{4}

，所以

2^{a} \cdot 5^{b} = 1 0^{4} = 2^{4} \cdot 5^{4}

。

a

、

b

是正整數，由質因數分解的唯一性，

a = 4

、

b = 4

，

a + b = 8

。

第 19 題

2^{2 x + 2} = 4 \cdot (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

，

t > 0

，方程式變成

4 t^{2} + 7 t - 2 = 0

，

(4 t - 1) (t + 2) = 0

，

t = \frac{1}{4}

或

t = - 2

。

t > 0

，所以

2^{x} = \frac{1}{4} = 2^{- 2}

，

x = - 2

。

2^{x}

恆為正，

t = - 2

不合。卷面答案格兩格，依序填負號與

2

。

第 20 題真數條件：

x - 2 > 0

且

8 - x > 0

，所以

2 < x < 8

。在這個範圍內，

2 lo g (x - 2) = lo g (x - 2)^{2}

，不等式成為

lo g (x - 2)^{2} < lo g (8 - x)

。

y = lo g x

遞增，所以

(x - 2)^{2} < 8 - x

，

x^{2} - 3 x - 4 < 0

，

(x - 4) (x + 1) < 0

，

- 1 < x < 4

。與真數條件取交集，得

2 < x < 4

。

x = 3

時

2 lo g 1 = 0 < lo g 5

，成立；

x = 5

時

2 lo g 3 = lo g 9 > lo g 3

，不成立。

第 21 題方案一（單利）：每年利息都是

1000000 \times 1% = 10000

元，

2

年後本利和

1000000 + 2 \times 10000 = 1020000

元。方案二（複利）：

2

年後本利和

1000000 \times (1 + 1%)^{2} = 1000000 \times 1.0201 = 1020100

元。兩者相差

1020100 - 1020000 = 100

元。

差額就是第一年的利息

10000

元在第二年再生的利息

10000 \times 1% = 100

元。

第 22 題設

6

等星的亮度為

I_{1}

、

11

等星的亮度為

I_{2}

。

6 = - \frac{5}{2} lo g \frac{I _{1}}{I _{0}}

，

11 = - \frac{5}{2} lo g \frac{I _{2}}{I _{0}}

。兩式相減：

6 - 11 = - \frac{5}{2} (lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} - lo g \frac{I _{2}}{I _{0}}) = - \frac{5}{2} lo g \frac{I _{1}}{I _{2}}

，即

- 5 = - \frac{5}{2} lo g \frac{I _{1}}{I _{2}}

，

lo g \frac{I _{1}}{I _{2}} = 2

，

\frac{I _{1}}{I _{2}} = 1 0^{2} = 100

。

星等數字愈大愈暗：

6

等星比

11

等星亮，倍數大於

1

。卷面答案格三格，依序填

1

、

0

、

0

。

第 23 題

72 = 8 \times 9 = 2^{3} \times 3^{2}

，所以

lo g 72 = 3 lo g 2 + 2 lo g 3 = 3 a + 2 b

。兩格依序填

3

、

2

。

對數不等式先寫真數條件、最後取交集；兩個量的倍數，把兩式相減就能用對數律併成一個比值。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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02多選第 6～8 題：反函數圖形的對稱、指數式改寫成對數、指數函數的性質

03多選第 9～11 題：指數函數圖形上的點、對數函數圖形、由底數比較大小

04選填 A～E（第 12～17 題）：對數的定義、指數與對數互換、對數方程式、指數方程式

05選填 F～K（第 18～23 題）：對數律、換元解指數方程式、對數不等式、單利與複利、星等

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