御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：多項式的運算與除法、二次函數、三次函數的圖形、多項式不等式

屏東高中 111 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 4 分）、多選題 3 題（每題 8 分）、選填題 12 題（每題 5 分），合計 100 分。原卷單選 1～4、多選 5～7、選填 A～L，本頁依序編為第 1～19 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題 4 分，共 16 分）
1
設 f(x)=−2(x−1)(x−2)2，則 y=f(x) 的圖形概貌為下列何者？
  1. (1) 見圖 (1)
  2. (2) 見圖 (2)
  3. (3) 見圖 (3)
  4. (4) 見圖 (4)
  5. (5) 見圖 (5)
載入中...
2
已知多項式 f(x) 除以 g(x) 得商式 2x+3，餘式 6，則 f(x) 除以 2g(x) 的商式及餘式為下列何者？
  1. (1) 商式 2x+3；餘式 12
  2. (2) 商式 4x+6；餘式 12
  3. (3) 商式 4x+6；餘式 6
  4. (4) 商式 x+23​；餘式 3
  5. (5) 商式 x+23​；餘式 6
3
某次平時考的考題希望學生畫出 y=ax2+bx+c 的圖形，結果強強把係數 a 的「正負符號」看錯，在計算、列式與繪圖都沒有出錯的情形下，畫出如下圖。試問下列哪一個圖形最有可能是原來考題的正確答案？
  1. (1) 見圖 (1)
  2. (2) 見圖 (2)
  3. (3) 見圖 (3)
  4. (4) 見圖 (4)
  5. (5) 見圖 (5)
載入中...
4
設 a 為實數，若二次函數 f(x)=(a−1)x2+2ax 的圖形恆在直線 y=1−a 的下方，則 a 值的範圍為何者？
  1. (1) a<1
  2. (2) a<21​
  3. (3) 21​<a<1
  4. (4) a>0
  5. (5) a>1
二、多選題（每題 8 分，共 24 分；錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上或未作答不給分）
5
設三次函數 f(x)=ax3+px，若 a<0，p>0，則下列有關 f(x) 的圖形敘述，請選出正確的選項。
  1. (1) 函數 f(x) 有最大值
  2. (2) 圖形的對稱中心為原點 O(0,0)
  3. (3) 函數圖形的最右方會上升到無限大，最左方會下降到負無限大
  4. (4) 圖形與 x 軸有三個交點
  5. (5) 若 y=mx+k 為 f(x) 在 x=0 附近的一次近似，則 m>0
6
已知二次函數 f(x)=ax2+bx+c，若對於任意的實數 t，f(t+4)=f(−t) 恆成立，又已知 f(−1)<0，f(−2)>0，則下列哪些選項正確？
  1. (1) a>0
  2. (2) b>0
  3. (3) f(x) 在 x=2 時有最小值
  4. (4) 25a+5b+c>0
  5. (5) 16a+4b+c>a−b+c
7
試選出與不等式 (x+1)(x−3)<0 有相同的解的選項。
  1. (1) (1+x)(3−x)>0
  2. (2) (x+3)(x−4)<x−9
  3. (3) (x2+1)(x−3)<0
  4. (4) (x+1)3(x+2)4(x−3)5<0
  5. (5) {x+1>0x−3<0​
三、選填題（A~L 共 12 題，每題 5 分，共 60 分；每題全對才給分）
8
A. 已知多項式 f(x) 除以 x 的餘式為 8，除以 x−5 的餘式為 −12，則 f(x) 除以 x2−5x 的餘式為 ax+b，試問數對 (a,b) 為 (□□,□)。
9
B. 已知三次多項式 f(x) 滿足 f(−2)=f(1)=0，f(0)=4，f(3)=10，則 f(−1)=□。
10
C. 已知二次函數 f(x) 之頂點為 (−1,4)，且通過點 (2,−14)，則 f(0)=□。
11
D. 復胖蛹士球隊為慶祝奪得總冠軍二連霸，推出紀念周邊禮包，暫定每份售價為 200 元，經市場調查，每週可賣出 4800 份，且售價每調降 5 元時，每週可多賣出 400 份，已知每一份成本為 80 元且確定每週禮包供應量足夠，則每份禮包售價為 □□□ 元時，每週的獲利為最多。（註：獲取之利潤＝收入－成本）
12
E. 已知三次函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的對稱中心為 (2,11)，y=f(x) 圖形經過平移，會與 y=3x3−x 重合，則 a+b+c+d=□。
13
F. 設三次函數 y=f(x)=a(x+1)3+b(x+1)2+c(x+1)+d，其大域特徵近似函數 y=2x3，且在 x=−1 附近的圖形近似於直線 y=2x+1，又已知 f(1)=15，則 a+b+c+d=□。
14
G. 設 f(x)、g(x) 為兩實係數多項式，已知 f(x) 有一次因式 x−1，且 f(x) 除以 g(x) 的商式為 x+2，餘式為 x2+x+1，試求 g(x) 除以 x−1 的餘式為 □□。
15
H. 試求滿足不等式 (x2+2x−15)(9−x2)(x2+x+2)≥0 的整數解有 □ 個。
16
I. 設三次函數 f(x)=x3−3x2+5x+7，現將此函數圖形往右平移 2 單位，再往上平移 1 單位，得新函數 g(x)=a(x−h)3+p(x−h)+k，則 a+p+h+k=□□。
17
J. 已知實數 x 的範圍為 −3≤x≤1，若二次實係數多項式函數 f(x)=ax2+4ax−b 在此範圍的最大值為 6，最小值為 −3，且已知 a<0，則 a+b=□□。
18
K. 設 y=x2+2x+k 的圖形與 x 軸交於 P、Q 兩點，又 PQ​=2，試求 k=□。
19
L. 設 a，b 為實數，若 (x−2)(ax2+bx+3)>0 的解為 x<−1 或 2<x<3，試求數對 (a,b)=(□□,□)。
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)
第 2 題(5)
第 3 題(4)
第 4 題(2)
第 5 題(2)(4)(5)
第 6 題(1)(3)
第 7 題(1)(2)(4)(5)
第 8 題(−4,8)
第 9 題6
第 10 題2
第 11 題170
第 12 題9
第 13 題2
第 14 題−1
第 15 題4
第 16 題17
第 17 題−3
第 18 題0
第 19 題(−1,2)
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1～4：三次函數的圖形、除法原理、由圖形判斷係數、恆在直線下方

第 1 題答案 (3)。f(x)=−2(x−1)(x−2)2 的首項係數為 −2<0，所以圖形最左方往上、最右方往下。x−1 是一次因式，圖形在 x=1 穿過 x 軸；(x−2)2 是二次重因式，圖形在 x=2 與 x 軸相切（碰到但不穿過）。再看正負：x<1 時 f(x)>0（例如 f(0)=8）；1<x<2 時 f(x)<0；x>2 時 f(x)<0。所以圖形從左上往下，在 x=1 穿過 x 軸到下方，在 x=2 從下方碰到 x 軸再往下。(1) 最右方往上；(2) 在 x=1 相切、在 x=2 穿過；(4) 與 x 軸有三個交點；(5) 在 x=1 是相切。只有 (3) 符合。
一次因式對應「穿過」，平方因式對應「相切」；首項係數的正負決定兩端的走向。
第 2 題答案 (5)。由除法原理 f(x)=g(x)(2x+3)+6=2g(x)⋅(x+23​)+6。餘式 6 是常數，次數仍小於 2g(x) 的次數，所以 f(x) 除以 2g(x) 的商式為 x+23​，餘式為 6。
除式乘以 2，商式變成原來的 21​，餘式不變。
第 3 題答案 (4)。強強畫的是 y=−ax2+bx+c（只有 a 的正負號錯，b、c 不變）。由題圖：開口向下，所以 −a<0，即 a>0；頂點在 y 軸左側，頂點的 x 坐標 2(−a)−b​=2ab​<0，配合 a>0 得 b<0；圖形與 y 軸交在原點上方，所以 c>0。原來正確的圖形 y=ax2+bx+c：a>0，開口向上；頂點的 x 坐標 −2ab​>0，頂點在 y 軸右側；y 截距 c>0，與 y 軸交在原點上方。(1)、(2) 開口向下；(3) 頂點在 y 軸左側；(5) 與 y 軸交在原點下方。只有 (4) 符合。
a 變號時，y 截距 c 不變，頂點的 x 坐標 −2ab​ 也跟著變號，所以頂點會跑到 y 軸另一側。
第 4 題答案 (2)。圖形恆在直線 y=1−a 的下方，就是對所有實數 x，(a−1)x2+2ax<1−a，即 (a−1)x2+2ax+(a−1)<0 恆成立。題目說 f(x) 是二次函數，a=1。二次式恆負的條件是：首項係數 a−1<0，且判別式 (2a)2−4(a−1)2<0。後者化簡：4a2−4(a2−2a+1)=8a−4<0，a<21​。與 a<1 合併得 a<21​。
「恆在下方」化成「差恆為負」，再用「開口向下且判別式小於 0」。
看圖形先抓三件事：首項係數的正負、與 x 軸的交點（穿過或相切）、與 y 軸的交點。

02多選 5～7：三次函數的特徵、對稱軸、同解不等式

第 5 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯誤。 三次函數的值可以大到任意大（a<0 時 x 往負方向走，f(x) 趨近正無限大），沒有最大值。(2) 正確。 f(−x)=−ax3−px=−f(x)，圖形上的點 (x,y) 對原點的對稱點 (−x,−y) 也在圖形上，對稱中心為原點。(3) 錯誤。 a<0，最右方下降到負無限大，最左方上升到無限大，與敘述相反。(4) 正確。 f(x)=x(ax2+p)=0，得 x=0 或 x2=−ap​；因為 a<0、p>0，−ap​>0，x=±−ap​​，共三個相異實根，與 x 軸有三個交點。(5) 正確。 f(x)=px+ax3，在 x=0 附近 x3 很小，一次近似為 y=px，所以 m=p>0。
ax3+px 已經是以 x−0 展開的形式：常數項 0、一次項係數 p，直接讀出一次近似 y=px。
第 6 題答案 (1)(3)。f(t+4)=f(−t) 對所有 t 成立，t+4 與 −t 的中點是 2，所以圖形對稱於直線 x=2，頂點的 x 坐標為 2，即 −2ab​=2，b=−4a。−2 離對稱軸 4，−1 離對稱軸 3，且 f(−2)>0>f(−1)：離軸較遠的函數值較大，所以開口向上，a>0。(1) 正確。 (2) b=−4a<0，錯誤。 (3) 開口向上，頂點 x=2 處有最小值，正確。 (4) 25a+5b+c=f(5)，而 5 與 −1 對稱於 x=2，f(5)=f(−1)<0，錯誤。 (5) 左邊 16a+4b+c=f(4)=f(0)，右邊 a−b+c=f(−1)。0 離軸 2，−1 離軸 3，開口向上時離軸近的函數值較小，f(0)<f(−1)，所以 16a+4b+c<a−b+c，錯誤。
把 25a+5b+c、16a+4b+c、a−b+c 認成 f(5)、f(4)、f(−1)，再比到對稱軸的距離。
第 7 題答案 (1)(2)(4)(5)。原不等式的解為 −1<x<3。(1) 正確。 (1+x)(3−x)>0 兩邊乘以 −1 得 (x+1)(x−3)<0，同解。(2) 正確。 展開：x2−x−12<x−9，移項得 x2−2x−3<0，即 (x+1)(x−3)<0，同解。(3) 錯誤。 x2+1>0 恆成立，不等式化為 x−3<0，解為 x<3，例如 x=−5 也滿足，與原解不同。(4) 正確。 (x+2)4≥0，等於 0 時（x=−2）左邊為 0，不滿足；x=−2 時 (x+2)4>0，(x+1)3 與 x+1 同號，(x−3)5 與 x−3 同號，不等式化為 (x+1)(x−3)<0 且 x=−2，即 −1<x<3（−2 本來就不在其中），同解。(5) 正確。 x>−1 且 x<3，即 −1<x<3，同解。
奇次方因式與一次因式同號；偶次方因式只要另外排除它等於 0 的那個點。
多選題每個選項都要有理由：能化成同一個式子就化，化不了就舉一個反例。

03選填 8～13（原卷選填 A～F）：餘式定理、插值、頂點式、利潤極值、對稱中心、一次近似

第 8 題設 f(x)=x(x−5)Q(x)+ax+b。由餘式定理，f(0)=b=8；f(5)=5a+b=−12，得 5a=−20，a=−4。數對 (a,b)=(−4,8)。
除式 x2−5x=x(x−5)，代入兩個根 0 與 5，就把商式消掉。
第 9 題f(−2)=f(1)=0，所以 x+2、x−1 都是 f(x) 的因式。f(x) 是三次，設 f(x)=(x+2)(x−1)(px+q)。f(0)=2⋅(−1)⋅q=−2q=4，q=−2。f(3)=5⋅2⋅(3p−2)=10，3p−2=1，p=1。所以 f(x)=(x+2)(x−1)(x−2)，f(−1)=1⋅(−2)⋅(−3)=6。
知道的根先寫成因式，剩下的未知數就少了。
第 10 題頂點 (−1,4)，設 f(x)=k(x+1)2+4。代入 (2,−14)：9k+4=−14，k=−2。f(x)=−2(x+1)2+4，f(0)=−2+4=2。
已知頂點就用頂點式，只剩一個未知數。
第 11 題設售價調降 5t 元，售價為 200−5t 元，每週賣出 4800+400t 份，每份利潤 200−5t−80=120−5t 元。每週利潤 P=(120−5t)(4800+400t)=5(24−t)⋅400(12+t)=2000(24−t)(t+12)。這是開口向下的二次函數，兩根為 24 與 −12，頂點在兩根的中點 t=224+(−12)​=6，此時利潤最大，為 2000⋅18⋅18=648000 元。售價 200−5⋅6=170 元。
t=6 是整數，正好是「調降 5 元」的整數倍；兩根式的頂點在兩根正中間，不必展開。
第 12 題y=f(x) 平移後與 y=3x3−x 重合，而 y=3x3−x 的對稱中心是原點，所以 f(x) 就是 y=3x3−x 的圖形把原點平移到 (2,11)：f(x)=3(x−2)3−(x−2)+11。所求 a+b+c+d=f(1)=3(−1)3−(−1)+11=9。
係數和就是 f(1)，不必把 f(x) 展開。
第 13 題大域特徵近似 y=2x3，所以 a=2。在 x=−1 附近的一次近似是 c(x+1)+d，它等於 2x+1=2(x+1)−1，所以 c=2，d=−1。f(1)=2⋅23+b⋅22+2⋅2−1=16+4b+3=15，b=−1。a+b+c+d=2−1+2−1=2。
以 x+1 展開的式子，常數項與一次項就是 x=−1 附近的一次近似。
除法與餘式的題，代除式的根消掉商式；三次函數寫成以 x−h 展開的形式，對稱中心與一次近似都直接讀得出來。

04選填 14～19（原卷選填 G～L）：因式定理、高次不等式、平移、閉區間極值、兩根距離、反推係數

第 14 題由除法原理 f(x)=g(x)(x+2)+x2+x+1。x−1 是 f(x) 的因式，f(1)=0：3g(1)+3=0，g(1)=−1。由餘式定理，g(x) 除以 x−1 的餘式為 g(1)=−1。
要求的是 g(1)，把 x=1 代入除法原理的等式即可。
第 15 題x2+x+2 的判別式 1−8<0，首項係數為正，恆大於 0，可以約去。不等式化為 (x+5)(x−3)(3−x)(3+x)≥0，即 −(x+5)(x+3)(x−3)2≥0，也就是 (x+5)(x+3)(x−3)2≤0。x=3 時左邊為 0，成立；x=3 時 (x−3)2>0，化為 (x+5)(x+3)≤0，−5≤x≤−3。解為 −5≤x≤−3 或 x=3。整數解有 −5,−4,−3,3，共 4 個。
(x−3)2 等於 0 的那一點要另外檢查，等號成立時 x=3 是一個孤立的解。
第 16 題把 f(x) 以 x−1 展開：(x−1)3=x3−3x2+3x−1，所以 f(x)=(x−1)3+2x+8=(x−1)3+2(x−1)+10。往右平移 2 單位：x 換成 x−2，得 (x−3)3+2(x−3)+10；再往上平移 1 單位：g(x)=(x−3)3+2(x−3)+11。所以 a=1，p=2，h=3，k=11，a+p+h+k=17。
沒有平方項的展開式，(h,k) 就是對稱中心：原圖形對稱中心 (1,10)，平移後為 (3,11)。
第 17 題配方：f(x)=a(x2+4x)−b=a(x+2)2−4a−b。a<0，開口向下，對稱軸 x=−2 在範圍 −3≤x≤1 內，所以最大值為頂點的值 −4a−b=6。範圍兩端 −3 離軸 1、1 離軸 3，離軸較遠的 x=1 函數值最小：f(1)=9a−4a−b=5a−b=−3。兩式相減：−9a=9，a=−1，代回 b=−4a−6=−2。a+b=−3。
開口向下時最大值在頂點，最小值在範圍內離對稱軸最遠的端點。
第 18 題設兩交點的 x 坐標為 α、β，是 x2+2x+k=0 的兩根：x=−1±1−k​。PQ​=∣α−β∣=21−k​=2，1−k​=1，k=0。檢查：y=x2+2x 與 x 軸交於 (0,0)、(−2,0)，距離 2。
兩根的距離也可以記成「判別式開根號，再除以首項係數的絕對值」：4−4k​=2。
第 19 題解為 x<−1 或 2<x<3，所以 x=−1、2、3 是左邊的三個根，ax2+bx+3 的兩根為 −1 與 3，設 ax2+bx+3=m(x+1)(x−3)。比較常數項：−3m=3，m=−1。所以 ax2+bx+3=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3，a=−1，b=2。檢查：不等式為 −(x−2)(x+1)(x−3)>0，即 (x+1)(x−2)(x−3)<0，符號由右往左為正、負、正、負，解為 x<−1 或 2<x<3，符合。數對 (a,b)=(−1,2)。
若 m>0，解會變成 −1<x<2 或 x>3，正好相反；常數項 3 也直接決定了 m=−1。
高次不等式先約去恆正的因式、處理重根，再用一次因式的根把數線分段判斷正負。

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屏東高中 111 上 高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題要先由看錯的圖讀出 b 與 c 的正負，再判斷原圖形頂點在哪一側；多選第 6 題要把 16a+4b+c 認成 f(4)=f(0) 再比較到對稱軸的距離；選填 H 的重根 x=3 是一個孤立的解，容易漏算；選填 J 的最小值在離對稱軸較遠的端點 x=1。詳解逐題寫在本頁。

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