屏東高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (3)。$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2^{-x}$，它的圖形是 $y=2^x$ 對 $y$ 軸的鏡射。

(1) 錯：$x=0$ 時兩者都是 $1$，交於 $(0,1)$。(2) 錯：兩圖形對稱於 $y$ 軸，不是 $x$ 軸。(3) 對：指數函數的值恆為正，兩圖形都在 $x$ 軸上方。(4) 錯：$x<0$ 時 $2^x<1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$，例如 $x=-1$ 時 $\frac{1}{2}<2$。(5) 錯：水平線 $y=-1$ 與兩圖形都不相交；只有 $y>0$ 的水平線才各交一點。

答案 (2)。設正六邊形邊長為 $1$，$O$ 為原點，$\overrightarrow{OC}=(1,0)$，$\overrightarrow{OD}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$\overrightarrow{OE}=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，所以 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OE}$。

若 $\overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{OC}+\beta \overrightarrow{OE}=\alpha \overrightarrow{OD}+(\beta -\alpha )\overrightarrow{OE}$，則 $P$ 在 $△ODE$ 內部（不含邊界）的條件是 $\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{OE}$ 的係數都是正數且和小於 $1$：$\alpha >0$、$\beta -\alpha >0$、$\beta <1$。

(1) $\alpha =1$、$\beta =1$：$\beta -\alpha =0$，$P$ 就是 $D$，在邊界上，不合。(2) $\alpha =\frac{1}{4}$、$\beta =\frac{1}{2}$：係數 $\frac{1}{4}$、$\frac{1}{4}$ 都是正數，和 $\frac{1}{2}<1$，符合。(3) $\alpha =-\frac{1}{4}<0$，不合。(4) $\beta =-\frac{1}{2}$，$\beta -\alpha <0$，不合。(5) $\alpha <0$，不合。

答案 (4)。三個向量長度都是 $1$。由 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\sqrt{3}\overrightarrow{OC}$，兩邊取長度平方：$1+1+2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=3$，得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}$，$\angle AOB=60^{\circ }$。由 $\overrightarrow{OB}+\sqrt{3}\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}$：$1+3+2\sqrt{3}\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=1$，得 $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\angle BOC=150^{\circ }$；同理 $\angle AOC=150^{\circ }$。

$60^{\circ }+150^{\circ }+150^{\circ }=360^{\circ }$，三個圓心角繞 $O$ 一圈，$O$ 在三角形內部。$\angle BAC$ 是弧 $BC$（不含 $A$ 的那段）所對的圓周角，等於圓心角 $\angle BOC$ 的一半，$\angle BAC=75^{\circ }$。

答案 (3)。卷面的「$\log =12$」依題意讀作 $\log a=12$，即 $a=10^{12}$；又 $b=10^{14}$。

$a+b=10^{12}+10^{14}=10^{14}\times (1+0.01)=1.01\times 10^{14}$，所以 $\log (a+b)=14+\log 1.01$。$\log 1.01$ 介於 $\log 1=0$ 與 $\log 1.1$ 之間，是很小的正數，$\log (a+b)$ 最接近 $14$。

答案 (1)(3)。$a={\log }_{2}8=3$；$b={\log }_{3}1=0$；$c={\log }_{0.5}8={\log }_{\frac{1}{2}}{2}^3=-3$（因為 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=8$）。

(1) 正確。 $b=0$。(2) 錯誤。 $a+b+c=3+0-3=0$，不大於 $0$。(3) 正確。 $3>0>-3$。(4) 錯誤。 $a^2=9$、$b^2=0$、$c^2=9$，$b^2>c^2$ 不成立。(5) 錯誤。 $2^a=8$、$3^b=1$、${\left(\frac{1}{2}\right)}^c={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=8$，$3^b>{\left(\frac{1}{2}\right)}^c$ 不成立。

答案 (3)(5)。$(a,b)$ 在 $y=\log x$ 上，即 $b=\log a$（$a>0$），也就是 $a=10^b$。以 $(a,b)=(10,1)$ 檢查不成立的選項。

(1) 錯誤。 $\log (10a)=1+\log a=1+b$，要等於 $10b$ 只有 $b=\frac{1}{9}$ 時才對；例如 $(10,1)$ 得 $(100,10)$，但 $\log 100=2\ne 10$。(2) 錯誤。 $\log \left(a^{10}\right)=10\log a=10b$，不一定等於 $b^{10}$；例如 $(10,1)$ 得 $\left(10^{10},1\right)$，但 $\log 10^{10}=10\ne 1$。(3) 正確。 $-\log a=-b$，所以 $(a,-b)$ 在 $y=-\log x$ 上。(4) 錯誤。 例如 $(10,1)$ 得 $(100,10)$，但 $10^{100}\ne 10$。(5) 正確。 $10^b=a$，所以 $(b,a)$ 在 $y=10^x$ 上（$y=\log x$ 與 $y=10^x$ 的圖形對稱於直線 $y=x$）。

答案 (1)(5)。把 $y=\sin x$ 的圖形往左平移 $h$ 單位得 $y=\sin (x+h)$，往右平移 $h$ 單位得 $y=\sin (x-h)$。正弦函數的週期是 $2\pi$，$\sin (x+h)$ 與 $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 圖形相同，只要 $h$ 與 $\frac{\pi }{4}$ 相差 $2\pi$ 的整數倍。

(1) 正確。 往左 $\frac{\pi }{4}$ 得 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。(2) 錯誤。 得 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$，例如 $x=0$ 時值為 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$，不是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。(3) 錯誤。 $\frac{5\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\pi$，不是 $2\pi$ 的倍數；$\sin \left(x+\frac{5\pi }{4}\right)=-\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。(4) 錯誤。 $\frac{7\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}$，不是 $2\pi$ 的倍數；$x=0$ 時 $\sin \frac{7\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。(5) 正確。 往右 $\frac{7\pi }{4}$ 得 $\sin \left(x-\frac{7\pi }{4}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}-2\pi \right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。

答案 (2)(3)。若某個向量 $\vec{w}$ 可以寫成 $\vec{w}=s\left(-\overrightarrow{OA}\right)+t\left(-\overrightarrow{OB}\right)$（$s,t\ge 0$ 且不全為 $0$），也就是 $\vec{w}$ 的方向落在 $-\overrightarrow{OA}$ 與 $-\overrightarrow{OB}$ 兩個方向之間，那麼 $\vec{v}\cdot \vec{w}=-s\vec{v}\cdot \overrightarrow{OA}-t\vec{v}\cdot \overrightarrow{OB}<0$ 一定成立。

由圖，$A$ 在第四象限、靠近 $x$ 軸，$-\overrightarrow{OA}$ 指向第二象限、稍微高於 $x$ 軸負向；$B$ 在第一象限，$-\overrightarrow{OB}$ 指向第三象限。$D$ 幾乎在 $x$ 軸負向上（略高一點，比 $-\overrightarrow{OA}$ 更靠近 $x$ 軸）、$E$ 在第三象限靠近 $x$ 軸，兩者的方向都夾在 $-\overrightarrow{OA}$ 與 $-\overrightarrow{OB}$ 之間，所以 (2)、(3) 正確。

其餘舉反例（由圖估坐標：$A(4.4,-1.3)$、$B(3.9,3.4)$、$C(-1,4.4)$、$F(-0.9,-4.4)$、$G(2.7,-3)$）：(1) 錯誤。 取 $\vec{v}=(2,1)$：$\vec{v}\cdot \overrightarrow{OA}=7.5>0$、$\vec{v}\cdot \overrightarrow{OB}=11.2>0$，但 $\vec{v}\cdot \overrightarrow{OC}=2.4>0$。(4) 錯誤。 取 $\vec{v}=(2,-1)$：與 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 的內積是 $10.1$、$4.4$，都大於 $0$，但與 $\overrightarrow{OF}$ 的內積 $2.6>0$。(5) 錯誤。 取 $\vec{v}=(1,0)$：與 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 的內積就是 $A$、$B$ 的 $x$ 坐標，都大於 $0$；與 $\overrightarrow{OG}$ 的內積是 $G$ 的 $x$ 坐標，也大於 $0$。

答案 (3)(5)。$\Gamma$ 的半徑是 $\overline{OA}=\sqrt{9+16}=5$。$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}$，所以 $\overline{BC}=5$，又 $\overline{OB}=\overline{OC}=5$，$△OBC$ 是正三角形；而且 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OB}$，$O$、$A$、$C$、$B$ 依序構成平行四邊形。

(1) 錯誤。 $L$ 是 $y=\frac{4}{3}x$，另一個交點是 $A$ 對 $O$ 的對稱點 $(-3,-4)$。(2) 錯誤。 $\overrightarrow{BC}=(3,4)$，斜率 $\frac{4}{3}$。(3) 正確。 平行四邊形 $OACB$ 中 $\angle AOC=\angle OCB$（$\overline{OA}\parallel \overline{BC}$ 的內錯角），而正三角形 $OBC$ 的內角 $\angle OCB=60^{\circ }$。(4) 錯誤。 $△ABC$ 是平行四邊形 $OACB$ 的一半，與 $△OBC$ 面積相等，為 $\frac{\sqrt{3}}{4}\times 5^2=\frac{25\sqrt{3}}{4}$。(5) 正確。 由 (3)，$\overrightarrow{OC}$ 與 $\overrightarrow{OA}$ 夾 $60^{\circ }$，$\overrightarrow{OB}$ 與 $\overrightarrow{OC}$ 又夾 $60^{\circ }$。$\overrightarrow{OA}$ 的方向角約 $53^{\circ }$，所以有兩種情形：$C$、$B$ 的方向角約 $113^{\circ }$、$173^{\circ }$（都在第二象限），或約 $-7^{\circ }$、$-67^{\circ }$（都在第四象限）。兩種情形 $B$、$C$ 都在同一象限。

答案 $-14$。令 $u=2^x$，$0\le x\le 2$ 時 $1\le u\le 4$。$f(x)=u^2-6u=(u-3{)}^2-9$。

$u=3$ 時最小值 $-9$；$u$ 離 $3$ 最遠的是 $u=1$（相差 $2$），最大值 $(1-3{)}^2-9=-5$（$u=4$ 時是 $-8$）。最大值與最小值和為 $-5+(-9)=-14$。

答案 $17$。真數要大於 $0$：$x>1$ 且 $x>9$，所以 $x>9$。

${\log }_4(x-1)=\frac{{\log }_2(x-1)}{{\log }_{2}4}=\frac{1}{2}{\log }_2(x-1)$。原式兩邊乘以 $2$：$2+{\log }_2(x-1)=2{\log }_2(x-9)$，即 ${\log }_2\left[4(x-1)\right]={\log }_2(x-9{)}^2$，$4(x-1)=(x-9{)}^2$，$x^2-22x+85=0$，$(x-5)(x-17)=0$。$x=5$ 不滿足 $x>9$，捨去；解為 $x=17$。

答案 $6$。$a=10$。上午八點體溫 $13$，與環境溫差 $3$；九點體溫 $11$，溫差 $1$。由 $f(t)-a=(b-a){\left(\frac{1}{2}\right)}^{kt}$，每過 $1$ 小時溫差乘以 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^k$，所以 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^k=\frac{1}{3}$。

設死亡時（體溫 $37$，溫差 $27$）到上午八點經過 $s$ 小時，溫差變成 $3$：$27\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^s=3$，${\left(\frac{1}{3}\right)}^s=\frac{1}{9}$，$s=2$。所以死亡時間是上午 $8-2=6$ 點。

答案 $3<x<6$ 或 $9<x<12$。改變後一天是 $12$ 小時，$0\le x\le 12$，水深 $y=3\sin \frac{\pi }{3}x+10$。水位低於 $10$ 公尺：$3\sin \frac{\pi }{3}x+10<10$，即 $\sin \frac{\pi }{3}x<0$。

令 $\theta =\frac{\pi }{3}x$，$0\le \theta \le 4\pi$。正弦小於 $0$ 的範圍是 $\pi <\theta <2\pi$ 與 $3\pi <\theta <4\pi$，換回 $x=\frac{3\theta }{\pi }$：$3<x<6$ 或 $9<x<12$。

所以可以在當日第 $3$ 小時到第 $6$ 小時之間，或第 $9$ 小時到第 $12$ 小時之間（不含端點）到港口觀察。