段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 與無窮等比級數、函數的合成與奇偶性、函數的極限、連續函數），另有等差數列、組合、期望值、三角函數值正負的複習題

屏東高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 6 題（每題 5 分，共 30 分）、多選題 5 題（每題全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，共 25 分）、選填題 8 題 9 格（每格 5 分，共 45 分），合計 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、單選題（每題 5 分，共 30 分。）

某表演廳共有

19

排座位，每一排都比其前一排多

2

個座位，且正中間的那一排（即第

10

排）有

24

個座位，問此表演廳共有幾個座位？

(1) $912$
(2) $456$
(3) $228$
(4) $114$
(5) $392$

從

7

人中選

3

人掃地，另選

2

人拖地，共有幾種選法？

(1) $420$
(2) $360$
(3) $240$
(4) $210$
(5) $105$

箱中有大小相同的紅球

3

顆與白球

3

顆。從箱中同時取出

2

顆球，當取出的

2

球顏色不同時，可得獎金

100

元；當

2

球顏色相同時，無獎金。求獎金的期望值。

(1) $100$
(2) $50$
(3) $20$
(4) $15$
(5) $60$

試求數列

⟨ \frac{1}{2 ^{n}} ⟩

從第幾項開始，其值會小於

\frac{1}{10000}

。

(1) $10$
(2) $11$
(3) $12$
(4) $13$
(5) $14$

已知

f (x) = x \cdot 2^{x}

為連續函數，試求正整數

k

值，使得在

k

與

k + 1

之間有一個實數

c

滿足

f (c) = 2^{21}

。

(1) $14$
(2) $15$
(3) $16$
(4) $17$
(5) $18$

下列選項中，何者極限值最大？

(1) $x \to 0 lim [(x + 1) (x + 2) (x + 3)]$
(2) $x \to 2 lim x^{2}$
(3) $x \to 0 lim ∣ x ∣$
(4) $x \to - 1 lim x^{3}$
(5) $x \to 2 lim 4$

二、多選題（每題全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，共 25 分。）

下列哪些為正數？

(1) $sin 23 0^{\circ}$
(2) $tan (- 17 0^{\circ})$
(3) $cos (- 35 0^{\circ})$
(4) $sin 100 0^{\circ}$
(5) $cos 22 5^{\circ}$

設

f (x) = x^{3} - 3 x - 1

，已知

f (x) = 0

有三個實根，試判斷

f (x) = 0

在哪些連續整數之間有實根？

(1) $- 2$ 與 $- 1$
(2) $- 1$ 與 $0$
(3) $0$ 與 $1$
(4) $1$ 與 $2$
(5) $2$ 與 $3$

下列哪些數列收斂？

(1) $⟨ 4 + \frac{1}{n} ⟩$
(2) $⟨ n^{2} + 1 ⟩$
(3) $⟨ 7 ⟩$
(4) $⟨ \frac{n}{n + 1} ⟩$
(5) $⟨ \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{2} ⟩$

下列哪些函數是偶函數？

(1) $f_{1} (x) = x^{4}$
(2) $f_{2} (x) = x$
(3) $f_{3} (x) = \frac{1}{x}$
(4) $f_{4} (x) = ∣ x ∣$
(5) $f_{5} (x) = [x]$

試利用連續函數的定義，判斷下列選項哪些函數在

x = 0

是連續的？

(1) $f (x) = x + 1$
(2) $f (x) = {x + 1, 2, x \neq = 0 x = 0$
(3) $f (x) = [x]$
(4) $f (x) = ∣ x ∣$
(5) $f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}$

三、選填題（每格 5 分，共 45 分）（原卷題號 A～H，本頁編為第 12～19 題）

（原卷選填 A）已知

k = 1 \sum 20 a_{k} = 10

，

k = 1 \sum 20 b_{k} = - 4

，試求

k = 1 \sum 20 (- a_{k} + 4 b_{k} - 2)

之值 ____。（卷面答案格為三格）

（原卷選填 B）在坐標平面上，一隻蝸牛由原點出發，牠先向右移動

1

單位到達

P_{1} (1, 0)

，在向上移動

\frac{1}{2}

單位到達點

P_{2} (1, \frac{1}{2})

，再向左移動

\frac{1}{4}

單位到達點

P_{3} (\frac{3}{4}, \frac{1}{2})

，再向下移動

\frac{1}{8}

單位到達點

P_{4} (\frac{3}{4}, \frac{3}{8})

，而後依照向右、向上、向左、向下的方式移動，而且每次移動的距離都是前一段之半，經過無數次的移動後，最後蝸牛趨近於停止時的坐標為

(a, b)

，則

a + b =

____。（卷面答案格為一個分數，分子、分母各一格；第一個「在向上移動」是卷面原字，依題意應為「再向上移動」）

（原卷選填 C）已知兩函數

f (x) = x + 2

，

g (x) = x^{2} - 2 x - 1

，試求

(g \circ f) (2) =

____。（卷面答案格為一格）

（原卷選填 D）已知函數

h (x)

，

f (x) = 4 x - 5

，

g (x) = 3 x + 1

滿足

f (h (3)) = g (2)

，試求

h (3)

之值 ____。（卷面答案格為一格）

（原卷選填 E）計算下列各極限：(1)

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x - 3} =

____。(2)

x \to 1 lim [\frac{2}{x - 1} - \frac{3 x + 3}{( x - 1 ) ( 2 x + 1 )}] =

____。（卷面 (1) 的答案格為一格，(2) 為一個分數，分子、分母各一格；兩小題各 5 分）

（原卷選填 F）已知

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + 4}{x - 1} = b

，試求

a \cdot b =

____。（卷面答案格為兩格）

（原卷選填 G）已知對任意實數

x

，函數

f (x)

滿足

- 2 x^{2} + x + 1 \leq f (x) \leq 5 x + 3

，試求

x \to - 1 lim f (x) =

____。（卷面答案格為兩格）

（原卷選填 H）已知

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2} = 5

，試求

a + b =

____。（卷面答案格為兩格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(5)

第 4 題(5)

第 5 題(3)

第 6 題(1)

第 7 題(2)(3)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題(1)(3)(4)

第 10 題(1)(4)

第 11 題(1)(4)

第 12 題

- 66

第 13 題

\frac{6}{5}

第 14 題

7

第 15 題

3

第 16 題(1)

2

；(2)

\frac{1}{3}

第 17 題

15

第 18 題

- 2

第 19 題

- 5

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01單選第 1～3 題：等差數列、組合、期望值

第 1 題答案 (2)。各排座位數成等差數列，公差

2

，共

19

項，第

10

項是

24

。首項

a_{1} = 24 - 9 \times 2 = 6

，末項

a_{19} = 24 + 9 \times 2 = 42

，所以總和是

\frac{19 \times ( 6 + 42 )}{2} = 19 \times 24 = 456

。

項數是奇數的等差數列，總和等於「項數

\times

正中間那一項」，可以直接算

19 \times 24

。

第 2 題答案 (4)。先從

7

人選

3

人掃地，有

C_{3}^{7} = 35

種；再從剩下的

4

人選

2

人拖地，有

C_{2}^{4} = 6

種。由乘法原理，共

35 \times 6 = 210

種。

題目說「另選」，拖地的

2

人要從沒被選去掃地的

4

人裡挑。

第 3 題答案 (5)。從

6

顆球同時取

2

顆，共

C_{2}^{6} = 15

種取法；一紅一白有

3 \times 3 = 9

種，所以顏色不同的機率是

\frac{9}{15} = \frac{3}{5}

。期望值

= 100 \times \frac{3}{5} + 0 \times \frac{2}{5} = 60

（元）。

02單選第 4～6 題：等比數列的大小、中間值定理、代入求極限

第 4 題答案 (5)。

\frac{1}{2 ^{n}} < \frac{1}{10000}

就是

2^{n} > 10000

。由

2^{10} = 1024

得

2^{13} = 8192 < 10000

、

2^{14} = 16384 > 10000

，而且

2^{n}

隨

n

變大而變大，所以從第

14

項開始。

第

13

項是

\frac{1}{8192}

，還比

\frac{1}{10000}

大。

第 5 題答案 (3)。把選項附近的整數代入：

f (16) = 16 \cdot 2^{16} = 2^{4} \cdot 2^{16} = 2^{20}

，比

2^{21}

小；

f (17) = 17 \cdot 2^{17}

，而

2^{21} = 16 \cdot 2^{17}

，所以

f (17) > 2^{21}

。因為

f

是連續函數，且

f (16) < 2^{21} < f (17)

，由中間值定理，在

16

與

17

之間有一個實數

c

使

f (c) = 2^{21}

，故

k = 16

。

x > 0

時

x

與

2^{x}

都是正的而且都隨

x

變大而變大，所以

f

在正數範圍遞增，滿足

f (c) = 2^{21}

的

c

只有這一個，

k

不會有別的答案。

第 6 題答案 (1)。五個選項的函數在所求的點都連續，直接代入：(1)

1 \times 2 \times 3 = 6

；(2)

2^{2} = 4

；(3)

∣0∣ = 0

；(4)

(- 1)^{3} = - 1

；(5) 常數函數的極限就是

4

。最大的是 (1)。

03多選第 7、8 題：三角函數值的正負、根的位置

第 7 題答案 (2)(3)。(1)

23 0^{\circ}

在第三象限，

sin 23 0^{\circ} < 0

。(2)

- 17 0^{\circ}

與

19 0^{\circ}

是同界角，在第三象限，正切為正，所以

tan (- 17 0^{\circ}) > 0

。(3)

- 35 0^{\circ}

與

1 0^{\circ}

是同界角，在第一象限，

cos (- 35 0^{\circ}) = cos 1 0^{\circ} > 0

。(4)

100 0^{\circ} = 2 \times 36 0^{\circ} + 28 0^{\circ}

，

28 0^{\circ}

在第四象限，

sin 100 0^{\circ} < 0

。(5)

22 5^{\circ}

在第三象限，

cos 22 5^{\circ} < 0

。

第三象限只有正切是正的；先把角換成

0^{\circ}

到

36 0^{\circ}

之間的同界角再看象限。

第 8 題答案 (1)(2)(4)。把整數代入：

f (- 2) = - 8 + 6 - 1 = - 3

，

f (- 1) = - 1 + 3 - 1 = 1

，

f (0) = - 1

，

f (1) = 1 - 3 - 1 = - 3

，

f (2) = 8 - 6 - 1 = 1

，

f (3) = 27 - 9 - 1 = 17

。多項式函數是連續函數，函數值一正一負的兩個整數之間必有實根：

f (- 2) < 0 < f (- 1)

，

f (- 1) > 0 > f (0)

，

f (1) < 0 < f (2)

，所以 (1)

- 2

與

- 1

之間、(2)

- 1

與

0

之間、(4)

1

與

2

之間各有一個實根。三次方程式最多三個實根，這三個已經找齊，所以 (3)

0

與

1

之間、(5)

2

與

3

之間都沒有實根。

f (0)

與

f (1)

同為負、

f (2)

與

f (3)

同為正，單看同號並不能斷定沒有根；這裡是因為三個根都已經在別的區間找到，才能排除 (3)(5)。

04多選第 9～11 題：數列的收斂、偶函數、在一點連續

第 9 題答案 (1)(3)(4)。(1)

\frac{1}{n} \to 0

，所以

4 + \frac{1}{n} \to 4

，收斂。(2)

n^{2} + 1

愈來愈大、沒有上限，發散。(3) 每一項都是

7

的常數數列，極限是

7

，收斂。(4)

\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} \to 1

，收斂。(5)

n

是奇數時值為

\frac{1 - 1}{2} = 0

，

n

是偶數時值為

\frac{1 + 1}{2} = 1

，在

0

與

1

之間來回，不趨近同一個數，發散。

第 10 題答案 (1)(4)。偶函數要對定義域內所有

x

都有

f (- x) = f (x)

。(1)

(- x)^{4} = x^{4}

，是。(2)

x

只在

x \geq 0

有定義，

x > 0

時

- x

不在定義域內，不是。(3)

\frac{1}{- x} = - \frac{1}{x}

，是奇函數，不是偶函數。(4)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，是。(5)

[x]

是高斯符號，

[0.5] = 0

、

[- 0.5] = - 1

，不相等，不是。

偶函數的圖形對稱於

y

軸，所以定義域也要左右對稱；(2) 的定義域只有右半邊。

第 11 題答案 (1)(4)。函數在

x = 0

連續，要

f (0)

有定義、

x \to 0 lim f (x)

存在，而且兩者相等。(1)

f (0) = 1

，

x \to 0 lim (x + 1) = 1

，相等，連續。(2)

x \neq = 0

時

f (x) = x + 1

，所以

x \to 0 lim f (x) = 1

，但

f (0) = 2

，不相等，不連續。(3)

x

從左邊接近

0

時

[x] = - 1

，從右邊接近

0

時

[x] = 0

，左右極限不相等，極限不存在，不連續。(4)

f (0) = 0

，

x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0

，相等，連續。(5) 分母不能是

0

，

f (0)

沒有定義，不連續。

(5) 另外看極限：

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

，左右極限也不相等。

05選填 A、B（第 12、13 題）：Σ 的性質、無窮等比級數

第 12 題答案

- 66

。用

Σ

的運算性質拆開：

k = 1 \sum 20 (- a_{k} + 4 b_{k} - 2) = - k = 1 \sum 20 a_{k} + 4 k = 1 \sum 20 b_{k} - k = 1 \sum 20 2 = - 10 + 4 \times (- 4) - 2 \times 20 = - 10 - 16 - 40 = - 66

。

常數

2

從

k = 1

加到

20

是加了

20

次，等於

40

，不是

2

。

第 13 題答案

\frac{6}{5}

。把左右方向與上下方向分開看。左右方向的位移依序是

+ 1

、

- \frac{1}{4}

、

+ \frac{1}{16}

、…（第 1、3、5、…次移動），是首項

1

、公比

- \frac{1}{4}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，所以

a = \frac{1}{1 - ( - \frac{1}{4} )} = \frac{4}{5}

。上下方向的位移依序是

+ \frac{1}{2}

、

- \frac{1}{8}

、

+ \frac{1}{32}

、…（第 2、4、6、…次移動），是首項

\frac{1}{2}

、公比

- \frac{1}{4}

的無窮等比級數，所以

b = \frac{\frac{1}{2}}{1 - ( - \frac{1}{4} )} = \frac{2}{5}

。因此

a + b = \frac{4}{5} + \frac{2}{5} = \frac{6}{5}

。

每次移動的距離是前一段的一半，但同一個方向（左右或上下）每隔一次才輪到，而且方向相反，所以各自的公比是

- \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}

。

06選填 C、D（第 14、15 題）：合成函數

第 14 題答案

7

。

(g \circ f) (2) = g (f (2))

，先算裡面：

f (2) = 2 + 2 = 4

，再算

g (4) = 4^{2} - 2 \times 4 - 1 = 16 - 8 - 1 = 7

。

g \circ f

是先做

f

再做

g

；順序反過來的

(f \circ g) (2) = f (- 1) = 1

，結果不同。

第 15 題答案

3

。右邊

g (2) = 3 \times 2 + 1 = 7

。左邊把

h (3)

當成一個數代入

f

：

f (h (3)) = 4 h (3) - 5

。所以

4 h (3) - 5 = 7

，得

h (3) = 3

。

07選填 E～H（第 16～19 題）：函數的極限

第 16 題答案 (1)

2

；(2)

\frac{1}{3}

。(1) 直接代入是

\frac{0}{0}

的形式，先因式分解：

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

。

x \to 3

時

x \neq = 3

，可以約去

x - 3

，所以極限

= x \to 3 lim (x - 1) = 2

。(2) 先通分：

\frac{2}{x - 1} - \frac{3 x + 3}{( x - 1 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{2 ( 2 x + 1 ) - ( 3 x + 3 )}{( x - 1 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( 2 x + 1 )}

。

x \to 1

時

x \neq = 1

，約去

x - 1

得

\frac{1}{2 x + 1}

，所以極限

= \frac{1}{2 \times 1 + 1} = \frac{1}{3}

。

(2) 的兩項各自在

x \to 1

時都沒有極限，不能分開求再相減，要先通分合成一個分式。

第 17 題答案

15

。

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

，極限卻存在，所以分子也必須趨近

0

：

1 + a + 4 = 0

，得

a = - 5

。這時分子

x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)

，約去

x - 1

後極限

= x \to 1 lim (x - 4) = - 3

，所以

b = - 3

，

a \cdot b = (- 5) \times (- 3) = 15

。

分子若不趨近

0

，分式的絕對值會愈來愈大，極限不存在。

第 18 題答案

- 2

。左邊

x \to - 1 lim (- 2 x^{2} + x + 1) = - 2 - 1 + 1 = - 2

，右邊

x \to - 1 lim (5 x + 3) = - 5 + 3 = - 2

。

f (x)

被夾在兩個極限都是

- 2

的函數之間，由夾擠定理，

x \to - 1 lim f (x) = - 2

。

第 19 題答案

- 5

。

x \to 2

時分母趨近

0

而極限存在，所以分子在

x = 2

的值是

0

：

4 + 2 a + b = 0

，即

b = - 2 a - 4

。代回分子：

x^{2} + a x - 2 a - 4 = (x^{2} - 4) + a (x - 2) = (x - 2) (x + 2 + a)

。約去

x - 2

後極限

= x \to 2 lim (x + 2 + a) = 4 + a = 5

，得

a = 1

，

b = - 6

，所以

a + b = - 5

。

驗算：

x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)

，

x \to 2

時

x + 3 \to 5

，符合。

分母趨近

0

而極限存在時，分子一定也趨近

0

；用這個條件先求出一個係數關係，再因式分解約去公因式。

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屏東高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要把 2 的 21 次方改寫成 16 乘以 2 的 17 次方，才看得出函數值在 16 與 17 之間跨過它；第 11 題選項 (2) 的極限存在但不等於函數值，選項 (5) 在 0 沒有定義，兩個都不連續；選填 B（本頁第 13 題）要把左右方向與上下方向分開，各自是公比為負四分之一的無窮等比級數；選填 H（第 19 題）要先用分母趨近 0 推出分子也趨近 0。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

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題目取自屏東高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

屏東高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、單選題（每題 5 分，共 30 分。）

某表演廳共有

19

排座位，每一排都比其前一排多

2

個座位，且正中間的那一排（即第

10

排）有

24

個座位，問此表演廳共有幾個座位？

(1) $912$
(2) $456$
(3) $228$
(4) $114$
(5) $392$

從

7

人中選

3

人掃地，另選

2

人拖地，共有幾種選法？

(1) $420$
(2) $360$
(3) $240$
(4) $210$
(5) $105$

箱中有大小相同的紅球

3

顆與白球

3

顆。從箱中同時取出

2

顆球，當取出的

2

球顏色不同時，可得獎金

100

元；當

2

球顏色相同時，無獎金。求獎金的期望值。

(1) $100$
(2) $50$
(3) $20$
(4) $15$
(5) $60$

試求數列

⟨ \frac{1}{2 ^{n}} ⟩

從第幾項開始，其值會小於

\frac{1}{10000}

。

(1) $10$
(2) $11$
(3) $12$
(4) $13$
(5) $14$

已知

f (x) = x \cdot 2^{x}

為連續函數，試求正整數

k

值，使得在

k

與

k + 1

之間有一個實數

c

滿足

f (c) = 2^{21}

。

(1) $14$
(2) $15$
(3) $16$
(4) $17$
(5) $18$

下列選項中，何者極限值最大？

(1) $x \to 0 lim [(x + 1) (x + 2) (x + 3)]$
(2) $x \to 2 lim x^{2}$
(3) $x \to 0 lim ∣ x ∣$
(4) $x \to - 1 lim x^{3}$
(5) $x \to 2 lim 4$

二、多選題（每題全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，共 25 分。）

下列哪些為正數？

(1) $sin 23 0^{\circ}$
(2) $tan (- 17 0^{\circ})$
(3) $cos (- 35 0^{\circ})$
(4) $sin 100 0^{\circ}$
(5) $cos 22 5^{\circ}$

設

f (x) = x^{3} - 3 x - 1

，已知

f (x) = 0

有三個實根，試判斷

f (x) = 0

在哪些連續整數之間有實根？

(1) $- 2$ 與 $- 1$
(2) $- 1$ 與 $0$
(3) $0$ 與 $1$
(4) $1$ 與 $2$
(5) $2$ 與 $3$

下列哪些數列收斂？

(1) $⟨ 4 + \frac{1}{n} ⟩$
(2) $⟨ n^{2} + 1 ⟩$
(3) $⟨ 7 ⟩$
(4) $⟨ \frac{n}{n + 1} ⟩$
(5) $⟨ \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{2} ⟩$

下列哪些函數是偶函數？

(1) $f_{1} (x) = x^{4}$
(2) $f_{2} (x) = x$
(3) $f_{3} (x) = \frac{1}{x}$
(4) $f_{4} (x) = ∣ x ∣$
(5) $f_{5} (x) = [x]$

試利用連續函數的定義，判斷下列選項哪些函數在

x = 0

是連續的？

(1) $f (x) = x + 1$
(2) $f (x) = {x + 1, 2, x \neq = 0 x = 0$
(3) $f (x) = [x]$
(4) $f (x) = ∣ x ∣$
(5) $f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}$

三、選填題（每格 5 分，共 45 分）（原卷題號 A～H，本頁編為第 12～19 題）

（原卷選填 A）已知

k = 1 \sum 20 a_{k} = 10

，

k = 1 \sum 20 b_{k} = - 4

，試求

k = 1 \sum 20 (- a_{k} + 4 b_{k} - 2)

之值 ____。（卷面答案格為三格）

（原卷選填 B）在坐標平面上，一隻蝸牛由原點出發，牠先向右移動

1

單位到達

P_{1} (1, 0)

，在向上移動

\frac{1}{2}

單位到達點

P_{2} (1, \frac{1}{2})

，再向左移動

\frac{1}{4}

單位到達點

P_{3} (\frac{3}{4}, \frac{1}{2})

，再向下移動

\frac{1}{8}

單位到達點

P_{4} (\frac{3}{4}, \frac{3}{8})

，而後依照向右、向上、向左、向下的方式移動，而且每次移動的距離都是前一段之半，經過無數次的移動後，最後蝸牛趨近於停止時的坐標為

(a, b)

，則

a + b =

____。（卷面答案格為一個分數，分子、分母各一格；第一個「在向上移動」是卷面原字，依題意應為「再向上移動」）

（原卷選填 C）已知兩函數

f (x) = x + 2

，

g (x) = x^{2} - 2 x - 1

，試求

(g \circ f) (2) =

____。（卷面答案格為一格）

（原卷選填 D）已知函數

h (x)

，

f (x) = 4 x - 5

，

g (x) = 3 x + 1

滿足

f (h (3)) = g (2)

，試求

h (3)

之值 ____。（卷面答案格為一格）

（原卷選填 E）計算下列各極限：(1)

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x - 3} =

____。(2)

x \to 1 lim [\frac{2}{x - 1} - \frac{3 x + 3}{( x - 1 ) ( 2 x + 1 )}] =

____。（卷面 (1) 的答案格為一格，(2) 為一個分數，分子、分母各一格；兩小題各 5 分）

（原卷選填 F）已知

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + 4}{x - 1} = b

，試求

a \cdot b =

____。（卷面答案格為兩格）

（原卷選填 G）已知對任意實數

x

，函數

f (x)

滿足

- 2 x^{2} + x + 1 \leq f (x) \leq 5 x + 3

，試求

x \to - 1 lim f (x) =

____。（卷面答案格為兩格）

（原卷選填 H）已知

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2} = 5

，試求

a + b =

____。（卷面答案格為兩格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(5)

第 4 題(5)

第 5 題(3)

第 6 題(1)

第 7 題(2)(3)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題(1)(3)(4)

第 10 題(1)(4)

第 11 題(1)(4)

第 12 題

- 66

第 13 題

\frac{6}{5}

第 14 題

7

第 15 題

3

第 16 題(1)

2

；(2)

\frac{1}{3}

第 17 題

15

第 18 題

- 2

第 19 題

- 5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：等差數列、組合、期望值

第 1 題答案 (2)。各排座位數成等差數列，公差

2

，共

19

項，第

10

項是

24

。首項

a_{1} = 24 - 9 \times 2 = 6

，末項

a_{19} = 24 + 9 \times 2 = 42

，所以總和是

\frac{19 \times ( 6 + 42 )}{2} = 19 \times 24 = 456

。

項數是奇數的等差數列，總和等於「項數

\times

正中間那一項」，可以直接算

19 \times 24

。

第 2 題答案 (4)。先從

7

人選

3

人掃地，有

C_{3}^{7} = 35

種；再從剩下的

4

人選

2

人拖地，有

C_{2}^{4} = 6

種。由乘法原理，共

35 \times 6 = 210

種。

題目說「另選」，拖地的

2

人要從沒被選去掃地的

4

人裡挑。

第 3 題答案 (5)。從

6

顆球同時取

2

顆，共

C_{2}^{6} = 15

種取法；一紅一白有

3 \times 3 = 9

種，所以顏色不同的機率是

\frac{9}{15} = \frac{3}{5}

。期望值

= 100 \times \frac{3}{5} + 0 \times \frac{2}{5} = 60

（元）。

02單選第 4～6 題：等比數列的大小、中間值定理、代入求極限

第 4 題答案 (5)。

\frac{1}{2 ^{n}} < \frac{1}{10000}

就是

2^{n} > 10000

。由

2^{10} = 1024

得

2^{13} = 8192 < 10000

、

2^{14} = 16384 > 10000

，而且

2^{n}

隨

n

變大而變大，所以從第

14

項開始。

第

13

項是

\frac{1}{8192}

，還比

\frac{1}{10000}

大。

第 5 題答案 (3)。把選項附近的整數代入：

f (16) = 16 \cdot 2^{16} = 2^{4} \cdot 2^{16} = 2^{20}

，比

2^{21}

小；

f (17) = 17 \cdot 2^{17}

，而

2^{21} = 16 \cdot 2^{17}

，所以

f (17) > 2^{21}

。因為

f

是連續函數，且

f (16) < 2^{21} < f (17)

，由中間值定理，在

16

與

17

之間有一個實數

c

使

f (c) = 2^{21}

，故

k = 16

。

x > 0

時

x

與

2^{x}

都是正的而且都隨

x

變大而變大，所以

f

在正數範圍遞增，滿足

f (c) = 2^{21}

的

c

只有這一個，

k

不會有別的答案。

第 6 題答案 (1)。五個選項的函數在所求的點都連續，直接代入：(1)

1 \times 2 \times 3 = 6

；(2)

2^{2} = 4

；(3)

∣0∣ = 0

；(4)

(- 1)^{3} = - 1

；(5) 常數函數的極限就是

4

。最大的是 (1)。

03多選第 7、8 題：三角函數值的正負、根的位置

第 7 題答案 (2)(3)。(1)

23 0^{\circ}

在第三象限，

sin 23 0^{\circ} < 0

。(2)

- 17 0^{\circ}

與

19 0^{\circ}

是同界角，在第三象限，正切為正，所以

tan (- 17 0^{\circ}) > 0

。(3)

- 35 0^{\circ}

與

1 0^{\circ}

是同界角，在第一象限，

cos (- 35 0^{\circ}) = cos 1 0^{\circ} > 0

。(4)

100 0^{\circ} = 2 \times 36 0^{\circ} + 28 0^{\circ}

，

28 0^{\circ}

在第四象限，

sin 100 0^{\circ} < 0

。(5)

22 5^{\circ}

在第三象限，

cos 22 5^{\circ} < 0

。

第三象限只有正切是正的；先把角換成

0^{\circ}

到

36 0^{\circ}

之間的同界角再看象限。

第 8 題答案 (1)(2)(4)。把整數代入：

f (- 2) = - 8 + 6 - 1 = - 3

，

f (- 1) = - 1 + 3 - 1 = 1

，

f (0) = - 1

，

f (1) = 1 - 3 - 1 = - 3

，

f (2) = 8 - 6 - 1 = 1

，

f (3) = 27 - 9 - 1 = 17

。多項式函數是連續函數，函數值一正一負的兩個整數之間必有實根：

f (- 2) < 0 < f (- 1)

，

f (- 1) > 0 > f (0)

，

f (1) < 0 < f (2)

，所以 (1)

- 2

與

- 1

之間、(2)

- 1

與

0

之間、(4)

1

與

2

之間各有一個實根。三次方程式最多三個實根，這三個已經找齊，所以 (3)

0

與

1

之間、(5)

2

與

3

之間都沒有實根。

f (0)

與

f (1)

同為負、

f (2)

與

f (3)

同為正，單看同號並不能斷定沒有根；這裡是因為三個根都已經在別的區間找到，才能排除 (3)(5)。

04多選第 9～11 題：數列的收斂、偶函數、在一點連續

第 9 題答案 (1)(3)(4)。(1)

\frac{1}{n} \to 0

，所以

4 + \frac{1}{n} \to 4

，收斂。(2)

n^{2} + 1

愈來愈大、沒有上限，發散。(3) 每一項都是

7

的常數數列，極限是

7

，收斂。(4)

\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} \to 1

，收斂。(5)

n

是奇數時值為

\frac{1 - 1}{2} = 0

，

n

是偶數時值為

\frac{1 + 1}{2} = 1

，在

0

與

1

之間來回，不趨近同一個數，發散。

第 10 題答案 (1)(4)。偶函數要對定義域內所有

x

都有

f (- x) = f (x)

。(1)

(- x)^{4} = x^{4}

，是。(2)

x

只在

x \geq 0

有定義，

x > 0

時

- x

不在定義域內，不是。(3)

\frac{1}{- x} = - \frac{1}{x}

，是奇函數，不是偶函數。(4)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，是。(5)

[x]

是高斯符號，

[0.5] = 0

、

[- 0.5] = - 1

，不相等，不是。

偶函數的圖形對稱於

y

軸，所以定義域也要左右對稱；(2) 的定義域只有右半邊。

第 11 題答案 (1)(4)。函數在

x = 0

連續，要

f (0)

有定義、

x \to 0 lim f (x)

存在，而且兩者相等。(1)

f (0) = 1

，

x \to 0 lim (x + 1) = 1

，相等，連續。(2)

x \neq = 0

時

f (x) = x + 1

，所以

x \to 0 lim f (x) = 1

，但

f (0) = 2

，不相等，不連續。(3)

x

從左邊接近

0

時

[x] = - 1

，從右邊接近

0

時

[x] = 0

，左右極限不相等，極限不存在，不連續。(4)

f (0) = 0

，

x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0

，相等，連續。(5) 分母不能是

0

，

f (0)

沒有定義，不連續。

(5) 另外看極限：

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

，左右極限也不相等。

05選填 A、B（第 12、13 題）：Σ 的性質、無窮等比級數

第 12 題答案

- 66

。用

Σ

的運算性質拆開：

k = 1 \sum 20 (- a_{k} + 4 b_{k} - 2) = - k = 1 \sum 20 a_{k} + 4 k = 1 \sum 20 b_{k} - k = 1 \sum 20 2 = - 10 + 4 \times (- 4) - 2 \times 20 = - 10 - 16 - 40 = - 66

。

常數

2

從

k = 1

加到

20

是加了

20

次，等於

40

，不是

2

。

第 13 題答案

\frac{6}{5}

。把左右方向與上下方向分開看。左右方向的位移依序是

+ 1

、

- \frac{1}{4}

、

+ \frac{1}{16}

、…（第 1、3、5、…次移動），是首項

1

、公比

- \frac{1}{4}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，所以

a = \frac{1}{1 - ( - \frac{1}{4} )} = \frac{4}{5}

。上下方向的位移依序是

+ \frac{1}{2}

、

- \frac{1}{8}

、

+ \frac{1}{32}

、…（第 2、4、6、…次移動），是首項

\frac{1}{2}

、公比

- \frac{1}{4}

的無窮等比級數，所以

b = \frac{\frac{1}{2}}{1 - ( - \frac{1}{4} )} = \frac{2}{5}

。因此

a + b = \frac{4}{5} + \frac{2}{5} = \frac{6}{5}

。

每次移動的距離是前一段的一半，但同一個方向（左右或上下）每隔一次才輪到，而且方向相反，所以各自的公比是

- \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}

。

06選填 C、D（第 14、15 題）：合成函數

第 14 題答案

7

。

(g \circ f) (2) = g (f (2))

，先算裡面：

f (2) = 2 + 2 = 4

，再算

g (4) = 4^{2} - 2 \times 4 - 1 = 16 - 8 - 1 = 7

。

g \circ f

是先做

f

再做

g

；順序反過來的

(f \circ g) (2) = f (- 1) = 1

，結果不同。

第 15 題答案

3

。右邊

g (2) = 3 \times 2 + 1 = 7

。左邊把

h (3)

當成一個數代入

f

：

f (h (3)) = 4 h (3) - 5

。所以

4 h (3) - 5 = 7

，得

h (3) = 3

。

07選填 E～H（第 16～19 題）：函數的極限

第 16 題答案 (1)

2

；(2)

\frac{1}{3}

。(1) 直接代入是

\frac{0}{0}

的形式，先因式分解：

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

。

x \to 3

時

x \neq = 3

，可以約去

x - 3

，所以極限

= x \to 3 lim (x - 1) = 2

。(2) 先通分：

\frac{2}{x - 1} - \frac{3 x + 3}{( x - 1 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{2 ( 2 x + 1 ) - ( 3 x + 3 )}{( x - 1 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( 2 x + 1 )}

。

x \to 1

時

x \neq = 1

，約去

x - 1

得

\frac{1}{2 x + 1}

，所以極限

= \frac{1}{2 \times 1 + 1} = \frac{1}{3}

。

(2) 的兩項各自在

x \to 1

時都沒有極限，不能分開求再相減，要先通分合成一個分式。

第 17 題答案

15

。

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

，極限卻存在，所以分子也必須趨近

0

：

1 + a + 4 = 0

，得

a = - 5

。這時分子

x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)

，約去

x - 1

後極限

= x \to 1 lim (x - 4) = - 3

，所以

b = - 3

，

a \cdot b = (- 5) \times (- 3) = 15

。

分子若不趨近

0

，分式的絕對值會愈來愈大，極限不存在。

第 18 題答案

- 2

。左邊

x \to - 1 lim (- 2 x^{2} + x + 1) = - 2 - 1 + 1 = - 2

，右邊

x \to - 1 lim (5 x + 3) = - 5 + 3 = - 2

。

f (x)

被夾在兩個極限都是

- 2

的函數之間，由夾擠定理，

x \to - 1 lim f (x) = - 2

。

第 19 題答案

- 5

。

x \to 2

時分母趨近

0

而極限存在，所以分子在

x = 2

的值是

0

：

4 + 2 a + b = 0

，即

b = - 2 a - 4

。代回分子：

x^{2} + a x - 2 a - 4 = (x^{2} - 4) + a (x - 2) = (x - 2) (x + 2 + a)

。約去

x - 2

後極限

= x \to 2 lim (x + 2 + a) = 4 + a = 5

，得

a = 1

，

b = - 6

，所以

a + b = - 5

。

驗算：

x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)

，

x \to 2

時

x + 3 \to 5

，符合。

分母趨近

0

而極限存在時，分子一定也趨近

0

；用這個條件先求出一個係數關係，再因式分解約去公因式。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

屏東高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

屏東高中 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選第 1～3 題：等差數列、組合、期望值

02單選第 4～6 題：等比數列的大小、中間值定理、代入求極限

03多選第 7、8 題：三角函數值的正負、根的位置

04多選第 9～11 題：數列的收斂、偶函數、在一點連續

05選填 A、B（第 12、13 題）：Σ 的性質、無窮等比級數

06選填 C、D（第 14、15 題）：合成函數

07選填 E～H（第 16～19 題）：函數的極限

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常見問題

屏東高中 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

屏東高中 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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02單選第 4～6 題：等比數列的大小、中間值定理、代入求極限

03多選第 7、8 題：三角函數值的正負、根的位置

04多選第 9～11 題：數列的收斂、偶函數、在一點連續

05選填 A、B（第 12、13 題）：Σ 的性質、無窮等比級數

06選填 C、D（第 14、15 題）：合成函數

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屏東高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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屏東高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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屏東高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？