段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、常用對數、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

屏東高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題、多選題 5 題、選填題 10 題，每題 5 分，合計 100 分。原卷選填題題號 A～J，本頁編為第 11～20 題。第 3 題卷面的選項 (2) 與 (4) 印成相同的式子，第 5 題的兩個式子是同一個圖形，見該題詳解。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：(每題 5 分、共 25 分)

試比較

a = 4 - lo g 101

、

b = lo g 101

、

c = lo g 20 + lo g 5

的大小關係

(1) $b > c > a$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $a > b > c$
(5) $c > a > b$

試問

lo g 11 \times lo g_{11} 12 \times lo g_{12} 13 \times lo g_{13} 14 \times \dots\dots \times lo g_{998} 999 \times lo g_{999} 1000

的值為？

(1) $1$
(2) $3$
(3) $10$
(4) $30$
(5) $100$

已知

a > 0

且

b > c > 0

，則下列敘述何者正確？

(1) $a^{b} > a^{c}$
(2) $lo g_{a} b > lo g_{a} c$
(3) $b^{a} > c^{a}$
(4) $lo g_{a} b > lo g_{a} c$
(5) 以上皆非

在

4^{x^{2} + x - 1} = 2^{3 - x}

的解中，最大的數為何？

(1) $- 2.5$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $2.5$

試問

x = (0.1)^{- y}

與

y = lo g x

對稱於何處？

(1) $x$ 軸
(2) $y$ 軸
(3) 原點
(4) $y = x$
(5) 以上皆非

二、多選題：(每題 5 分、共 25 分)

已知

0 < a < 1

，則下列關於

f (x) = a^{x}

的敘述哪些是正確的？

(1) 若 $f (x) > 1$ ，則 $x < 0$
(2) $f (x)$ 與 $y$ 軸並沒有交點
(3) 若 $a > b$ ， $f (a) < f (b)$
(4) $f (x)$ 與 $y = lo g_{a} x$ 對稱於 $y$ 軸
(5) $f (x)$ 與 $x = a^{y}$ 對稱於直線 $y = x$

附圖為

f (x) = a^{x}

、

g (x) = b^{x}

、

h (x) = c^{x}

、

k (x) = 2^{x}

的圖形，其中

k (x)

與

g (x)

對稱於

y

軸，請問下列敘述何者正確？

(1) $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $2$ 中 $a$ 為最大
(2) $b = 0.5$
(3) $c > b$
(4) 四個函數皆通過 $(0, 1)$
(5) $h (x) > g (x)$

載入中...

已知

a = lo g 3

、

b = lo g 5

，則下列數字代換哪些是正確的？

(1) $lo g 15 = a + b$
(2) $lo g 9 = 3 a$
(3) $lo g_{3} 5 = \frac{b}{a}$
(4) $lo g 0.6 = \frac{a}{b}$
(5) $lo g_{9} 4 = \frac{1 - b}{a}$

已知

lo g 2 = 0.3010

、

lo g 3 = 0.4771

、

lo g 7 = 0.8451

，則下列敘述哪些是正確的？

(1) $6^{100}$ 是 $77$ 位數
(2) $102 4^{5}$ 是 $16$ 位數
(3) $1.9 6^{50}$ 的整數部分是 $14$ 位數
(4) $3^{- 20}$ 在小數點後第 $10$ 位開始不為 $0$
(5) $1 0^{- 0.3} \times 1 0^{- 18}$ 是一種科學記號

若

y = 4^{x}

通過第一象限的點

(a, b)

，且

a \neq = 1

，則下列哪些函數也會通過點

(a, b)

？

(1) $A (x) = 2^{2 x}$
(2) $B (x) = 1 6^{0.25 x}$
(3) $C (x) = x^{l o g_{a} b}$
(4) $D (x) = lo g_{4} x$
(5) $E (x) = b$

三、選填題：每題 5 分、共 50 分

若

lo g_{(x + 1)} (5 - 2 x)

有意義，則符合條件的整數

x

有 ____ 個。

lo g 14 + lo g 7 - lo g \frac{7}{5} + lo g 20 - lo g 1.4 =

____。

化簡

\frac{lo g _{4} 27}{lo g _{16} 9} =

____。

等式

4^{x} = 2^{x + 2} + 32

的實數解為 ____。

已知

lo g_{9} 7 = x

，則

3^{x + 2} - 2 7^{x} =

____。

lo g (x - 5) + lo g (x + 1) = 4 lo g 2

的所有實數解之和為 ____。

(0.008)^{- 2} > (0.04)^{1 - x} > (0.2)^{- 2}

中，

x

解的範圍為 ____

< x <

____。

已知

lo g [lo g (lo g A)] = - 5

，則

A

的整數部分為 ____ 位數。

有一個特殊品種的

X

細菌，每過

1

天就會分裂出

1

個複製體。有個專門培養

X

細菌的培養皿，若一開始只放入

1

隻

X

細菌，經過

54

天時會恰好將整個培養皿裝滿。若一開始放入的是

16

隻

X

細菌，則經過 ____ 天時會恰好將培養皿裝一半。

大小姐的執事看到有一間投資顧問公司推出了一個年利率

20%

的帳戶，而且利息是用複利來計算，但要經過完整的一年才會算一次利息。經過計算，若一開始只投入

20

萬，那需要 ____ 年才能累積到至少

200

萬的本利和。（已知

lo g 2 = 0.3010

、

lo g 3 = 0.4771

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(2)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(5)（兩式是同一個圖形，見詳解）

第 6 題(1)(3)(5)

第 7 題(2)(4)

第 8 題(1)(3)(5)

第 9 題(2)(4)

第 10 題(1)(3)(5)

第 11 題

2

第 12 題

3

第 13 題

3

第 14 題

3

第 15 題

27

第 16 題

7

第 17 題

2

、

4

（即

2 < x < 4

）

第 18 題

2

第 19 題

49

第 20 題

13

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～5 題：常用對數比大小、換底公式、指數方程式與圖形

第 1 題答案 (1)。

c = lo g 20 + lo g 5 = lo g 100 = 2

。

101 > 100

，所以

b = lo g 101 > lo g 100 = 2

。

a = 4 - lo g 101 < 4 - 2 = 2

。因此

b > c > a

。

a + b = 4

，

a

與

b

對稱地落在

2

的兩側。

第 2 題答案 (2)。用換底公式把每一項寫成常用對數：

lo g 11 \times \frac{lo g 12}{lo g 11} \times \frac{lo g 13}{lo g 12} \times \dots \times \frac{lo g 1000}{lo g 999}

。前後的分子分母依序約掉，只剩最後的

lo g 1000 = 3

。

第 3 題答案 (3)。

b > c > 0

，所以

\frac{b}{c} > 1

；又

a > 0

，由指數函數

y = (\frac{b}{c})^{x}

遞增，

(\frac{b}{c})^{a} > (\frac{b}{c})^{0} = 1

，即

\frac{b ^{a}}{c ^{a}} > 1

，

b^{a} > c^{a}

，(3) 恆成立。(1) 不一定：若

0 < a < 1

，

y = a^{x}

遞減，

b > c

時

a^{b} < a^{c}

；例如

a = \frac{1}{2}

、

b = 2

、

c = 1

，

\frac{1}{4} < \frac{1}{2}

。(2)(4) 不一定：

a = 1

時

lo g_{a}

沒有意義；

0 < a < 1

時

y = lo g_{a} x

遞減，例如

lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1 < lo g_{\frac{1}{2}} 1 = 0

。(5) 錯，因為 (3) 正確。

卷面的選項 (2) 與 (4) 印成完全相同的式子

lo g_{a} b > lo g_{a} c

，兩個都不一定成立，不影響答案。

第 4 題答案 (4)。左邊化成以

2

為底：

4^{x^{2} + x - 1} = 2^{2 x^{2} + 2 x - 2}

。指數函數一對一，所以

2 x^{2} + 2 x - 2 = 3 - x

，

2 x^{2} + 3 x - 5 = 0

，

(2 x + 5) (x - 1) = 0

，

x = 1

或

x = - \frac{5}{2}

。較大的解是

1

。

檢查：

x = 1

時左邊

4^{1} = 4

，右邊

2^{2} = 4

。

第 5 題答案 (5)。

x = (0.1)^{- y} = (1 0^{- 1})^{- y} = 1 0^{y}

。由對數的定義，

x = 1 0^{y}

與

y = lo g x

是同一個關係，兩個式子畫出來是同一條曲線。同一條曲線要「對稱於」某條線或某一點，曲線本身就必須對那條線或那一點對稱，但

y = lo g x

的圖形對

x

軸、

y

軸、原點、直線

y = x

都不對稱。例如

(10, 1)

在圖形上，它對

y = x

的對稱點

(1, 10)

不在圖形上（

lo g 1 = 0 \neq = 10

）；對

x

軸的對稱點

(10, - 1)

也不在圖形上；圖形只在

y

軸右側，對

y

軸、原點的對稱點都落在左側。所以選 (5)。

容易誤選 (4)：與

y = lo g x

對稱於直線

y = x

的是

y = 1 0^{x}

（把

x

、

y

對調），而

x = 1 0^{y}

是把

y = 1 0^{x}

的

x

、

y

對調後的結果，正好又回到

y = lo g x

本身。

判斷兩個圖形的關係前，先把兩式都寫成「

y =

」的樣子比一比，可能根本是同一個圖形。

02多選第 6、7 題：指數函數的性質與由圖形比較底數

第 6 題答案 (1)(3)(5)。

0 < a < 1

時

f (x) = a^{x}

遞減，且

f (0) = 1

。(1) 正確。

f (x) > 1 = f (0)

，遞減函數值較大的

x

較小，所以

x < 0

。(2) 錯誤。 定義域是全體實數，

x = 0

時

f (0) = 1

，圖形與

y

軸交於

(0, 1)

。(3) 正確。 遞減函數，

a > b

則

f (a) < f (b)

。(4) 錯誤。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

對稱於直線

y = x

，不是

y

軸；與

y = a^{x}

對稱於

y

軸的是

y = a^{- x}

。(5) 正確。

x = a^{y}

是把

y = a^{x}

的

x

、

y

對調，兩圖形對稱於直線

y = x

。

(3) 的

a

同時是底數，也被拿來當自變數。不論把

a

、

b

看成任意兩個自變數，或代入底數

a

（

f (a) = a^{a}

、

f (b) = a^{b}

），

f

遞減，結論都是

f (a) < f (b)

。

第 7 題答案 (2)(4)。

k (x) = 2^{x}

與

g (x)

對稱於

y

軸，所以

g (x) = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}

，

b = 0.5

，(2) 正確。 由圖，

k

、

f

遞增，所以

a > 1

；在

y

軸右側（

x > 0

）

k

在

f

上方，即

2^{x} > a^{x}

，所以

1 < a < 2

。

g

、

h

遞減，所以

b

、

c

都介於

0

與

1

；在

y

軸左側（

x < 0

）

h

在

g

上方，取

x = - 1

得

c^{- 1} > b^{- 1}

，即

\frac{1}{c} > \frac{1}{b}

，所以

c < b

。(1) 錯誤。 四個底數中

2

最大。(3) 錯誤。

c < b

。(4) 正確。 任何底數的

0

次方都是

1

，四個函數都通過

(0, 1)

。(5) 錯誤。

x < 0

時

h (x) > g (x)

，但

x > 0

時

h

在

g

下方，

x = 0

時兩者相等，不是恆成立。

底數大於

1

時，

y

軸右側愈陡的底數愈大；底數介於

0

與

1

之間時，

y

軸左側愈陡的底數愈小。

比較指數函數的底數，固定一個

x

（例如

x = 1

或

x = - 1

）看誰在上方。

03多選第 8～10 題：對數律、位數與首位、指數與對數的定義

第 8 題答案 (1)(3)(5)。(1) 正確。

lo g 15 = lo g (3 \times 5) = lo g 3 + lo g 5 = a + b

。(2) 錯誤。

lo g 9 = lo g 3^{2} = 2 a

，不是

3 a

。(3) 正確。 換底公式：

lo g_{3} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 3} = \frac{b}{a}

。(4) 錯誤。

lo g 0.6 = lo g \frac{3}{5} = lo g 3 - lo g 5 = a - b

，不是

\frac{a}{b}

（例如

a - b < 0

，而

\frac{a}{b} > 0

）。(5) 正確。

lo g_{9} 4 = \frac{lo g 4}{lo g 9} = \frac{2 lo g 2}{2 lo g 3} = \frac{lo g 2}{lo g 3}

；

lo g 2 = lo g \frac{10}{5} = 1 - lo g 5 = 1 - b

，所以

lo g_{9} 4 = \frac{1 - b}{a}

。

第 9 題答案 (2)(4)。正數

N

的

lo g N = n + α

（

n

為整數，

0 \leq α < 1

）時，

N \geq 1

的整數部分是

n + 1

位數。(1) 錯誤。

lo g 6^{100} = 100 (lo g 2 + lo g 3) = 100 \times 0.7781 = 77.81

，整數部分

77

，所以是

78

位數。(2) 正確。

102 4^{5} = (2^{10})^{5} = 2^{50}

，

lo g 2^{50} = 50 \times 0.3010 = 15.05

，是

16

位數。(3) 錯誤。

1.96 = 1. 4^{2} = (\frac{14}{10})^{2}

，

lo g 1.4 = lo g 2 + lo g 7 - 1 = 0.1461

，

lo g 1.9 6^{50} = 100 \times 0.1461 = 14.61

，整數部分是

15

位數。(4) 正確。

lo g 3^{- 20} = - 20 \times 0.4771 = - 9.542 = - 10 + 0.458

，所以

3^{- 20} = 1 0^{0.458} \times 1 0^{- 10}

，

1 < 1 0^{0.458} < 10

，

3^{- 20}

的小數點後第

10

位開始不為

0

。(5) 錯誤。

1 0^{- 0.3} \times 1 0^{- 18} = 1 0^{- 18.3}

；科學記號是

a \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq a < 10

、

n

為整數；這裡前面的因數

1 0^{- 0.3}

小於

1

，不合

1 \leq a < 10

，所以不是科學記號。改寫成科學記號應為

1 0^{0.7} \times 1 0^{- 19}

。

(3) 的

1.9 6^{50}

約為

4.1 \times 1 0^{14}

，(4) 的

3^{- 20}

約為

2.87 \times 1 0^{- 10}

。

第 10 題答案 (1)(3)(5)。點

(a, b)

在

y = 4^{x}

上且在第一象限，所以

b = 4^{a}

，

a > 0

，又

a \neq = 1

。(1) 正確。

A (a) = 2^{2 a} = (2^{2})^{a} = 4^{a} = b

。(2) 錯誤。

B (a) = 1 6^{0.25 a} = (1 6^{\frac{1}{4}})^{a} = 2^{a}

，而

a > 0

時

2^{a} < 4^{a} = b

。(3) 正確。

a > 0

且

a \neq = 1

，

lo g_{a} b

有意義；由對數的定義

a^{l o g_{a} b} = b

，所以

C (a) = b

。(4) 錯誤。

D (a) = lo g_{4} a

。

y = 4^{x}

的圖形恆在直線

y = x

的上方，而

y = lo g_{4} x

與

y = 4^{x}

對稱於直線

y = x

，所以

y = lo g_{4} x

的圖形恆在

y = x

的下方。因此

lo g_{4} a < a < 4^{a} = b

，

D (a) \neq = b

。(5) 正確。

E (x) = b

是水平線，

x = a

時值為

b

，通過

(a, b)

。

(3) 需要

a \neq = 1

才能當對數的底數，這就是題目特別寫

a \neq = 1

的原因。

位數看對數的整數部分加

1

；小數點後第幾位開始不為

0

，看負的對數寫成「負整數＋正小數」時的那個負整數。

04選填 A～E（第 11～15 題）：對數的條件、對數律、換底公式與指數方程式

第 11 題底數要

x + 1 > 0

且

x + 1 \neq = 1

，即

x > - 1

且

x \neq = 0

；真數要

5 - 2 x > 0

，即

x < \frac{5}{2}

。合起來

- 1 < x < \frac{5}{2}

且

x \neq = 0

，整數

x

只有

1

、

2

，共

2

個。

第 12 題由對數律合成一個對數：原式

= lo g (14 \times 7 \div \frac{7}{5} \times 20 \div 1.4) = lo g (14 \times 5 \times 20 \div 1.4) = lo g \frac{1400}{1.4} = lo g 1000 = 3

。

第 13 題換成常用對數：

lo g_{4} 27 = \frac{lo g 3 ^{3}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{3 lo g 3}{2 lo g 2}

，

lo g_{16} 9 = \frac{lo g 3 ^{2}}{lo g 2 ^{4}} = \frac{2 lo g 3}{4 lo g 2} = \frac{lo g 3}{2 lo g 2}

。相除得

\frac{3 lo g 3}{2 lo g 2} \times \frac{2 lo g 2}{lo g 3} = 3

。

第 14 題令

t = 2^{x} > 0

，則

4^{x} = t^{2}

，

2^{x + 2} = 4 t

。方程式變成

t^{2} = 4 t + 32

，

t^{2} - 4 t - 32 = 0

，

(t - 8) (t + 4) = 0

。

t > 0

，所以

t = 8

，

2^{x} = 8 = 2^{3}

，

x = 3

。

t = - 4

不合，因為

2^{x}

恆為正。

第 15 題由

lo g_{9} 7 = x

得

9^{x} = 7

，即

(3^{x})^{2} = 7

，

3^{x} = 7

。所以

3^{x + 2} = 9 \times 3^{x} = 97

，

2 7^{x} = (3^{x})^{3} = 77

。相減得

97 - 77 = 27

。答案格依序填

2

、

7

。

卷面答案格為「⑮√⑯」的形式，各 1 格。

指數裡有對數時，先把對數式改寫成指數式，再用指數律湊出要的式子。

05選填 F～H（第 16～18 題）：對數方程式、指數不等式與連續取對數

第 16 題真數條件：

x - 5 > 0

且

x + 1 > 0

，即

x > 5

。左邊

= lo g ((x - 5) (x + 1))

，右邊

= lo g 2^{4} = lo g 16

。所以

(x - 5) (x + 1) = 16

，

x^{2} - 4 x - 21 = 0

，

(x - 7) (x + 3) = 0

，

x = 7

或

x = - 3

。

- 3

不合真數條件，只有

x = 7

，解之和為

7

。

若忘了真數條件，會誤把兩根相加得

4

。

第 17 題都化成以

5

為底：

0.008 = \frac{1}{125} = 5^{- 3}

，

0.04 = \frac{1}{25} = 5^{- 2}

，

0.2 = 5^{- 1}

。所以

(0.008)^{- 2} = 5^{6}

，

(0.04)^{1 - x} = 5^{- 2 (1 - x)} = 5^{2 x - 2}

，

(0.2)^{- 2} = 5^{2}

。底數

5 > 1

，不等號方向不變：

6 > 2 x - 2 > 2

，得

8 > 2 x > 4

，

2 < x < 4

。答案格依序填

2

、

4

。

第 18 題由對數的定義一層一層拆開：

lo g [lo g (lo g A)] = - 5

得

lo g (lo g A) = 1 0^{- 5}

，再得

lo g A = 1 0^{1 0^{- 5}}

。因為

0 < 1 0^{- 5} < 0.3010 = lo g 2

，底數

10 > 1

，所以

1 0^{0} < 1 0^{1 0^{- 5}} < 1 0^{l o g 2}

，即

1 < lo g A < 2

。

lo g A

的整數部分是

1

，所以

A

的整數部分是

2

位數。

lo g A

約為

1.000023

，

A

約為

10.0005

。

層層包住的對數，從最外層一次用一次定義拆開；最後只要判斷

lo g A

的整數部分。

06選填 I、J（第 19、20 題）：倍增模型與複利

第 19 題每過

1

天每隻分裂出

1

個複製體，數量變成原來的

2

倍。從

1

隻開始，

54

天後有

2^{54}

隻，恰好裝滿，所以裝一半是

2^{53}

隻。從

16 = 2^{4}

隻開始，

n

天後有

2^{4} \times 2^{n} = 2^{n + 4}

隻。令

2^{n + 4} = 2^{53}

，得

n = 49

（天）。答案格依序填

4

、

9

。

第 20 題每年本利和變成前一年的

1.2

倍，

n

年後本利和

20 \times 1. 2^{n}

萬元。要

20 \times 1. 2^{n} \geq 200

，即

1. 2^{n} \geq 10

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.2 \geq 1

。

lo g 1.2 = lo g \frac{12}{10} = 2 lo g 2 + lo g 3 - 1 = 0.6020 + 0.4771 - 1 = 0.0791

，所以

n \geq \frac{1}{0.0791} \approx 12.64

。

n

是整數年，最少

13

年。答案格依序填

1

、

3

。

檢查：

1. 2^{12} \approx 8.92

，不到

10

；

1. 2^{13} \approx 10.70

，超過

10

。

複利求「至少幾年」：列不等式、取對數、再無條件進位到整數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

屏東高中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要先把兩個式子都改寫，會發現它們是同一個圖形，不是互為反函數；第 7 題要由 k 與 g 對稱於 y 軸得出 g 的底數，再由陡的程度比較底數；第 9 題的第 3 個選項要把 1.96 寫成 1.4 的平方再用給的對數算；第 18 題要連用三次對數的定義，最後的對數只比 1 大一點點；第 20 題的年數要無條件進位。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、常用對數、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

屏東高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題：(每題 5 分、共 25 分)

試比較

a = 4 - lo g 101

、

b = lo g 101

、

c = lo g 20 + lo g 5

的大小關係

(1) $b > c > a$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $a > b > c$
(5) $c > a > b$

試問

lo g 11 \times lo g_{11} 12 \times lo g_{12} 13 \times lo g_{13} 14 \times \dots\dots \times lo g_{998} 999 \times lo g_{999} 1000

的值為？

(1) $1$
(2) $3$
(3) $10$
(4) $30$
(5) $100$

已知

a > 0

且

b > c > 0

，則下列敘述何者正確？

(1) $a^{b} > a^{c}$
(2) $lo g_{a} b > lo g_{a} c$
(3) $b^{a} > c^{a}$
(4) $lo g_{a} b > lo g_{a} c$
(5) 以上皆非

在

4^{x^{2} + x - 1} = 2^{3 - x}

的解中，最大的數為何？

(1) $- 2.5$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $2.5$

試問

x = (0.1)^{- y}

與

y = lo g x

對稱於何處？

(1) $x$ 軸
(2) $y$ 軸
(3) 原點
(4) $y = x$
(5) 以上皆非

二、多選題：(每題 5 分、共 25 分)

已知

0 < a < 1

，則下列關於

f (x) = a^{x}

的敘述哪些是正確的？

(1) 若 $f (x) > 1$ ，則 $x < 0$
(2) $f (x)$ 與 $y$ 軸並沒有交點
(3) 若 $a > b$ ， $f (a) < f (b)$
(4) $f (x)$ 與 $y = lo g_{a} x$ 對稱於 $y$ 軸
(5) $f (x)$ 與 $x = a^{y}$ 對稱於直線 $y = x$

附圖為

f (x) = a^{x}

、

g (x) = b^{x}

、

h (x) = c^{x}

、

k (x) = 2^{x}

的圖形，其中

k (x)

與

g (x)

對稱於

y

軸，請問下列敘述何者正確？

(1) $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $2$ 中 $a$ 為最大
(2) $b = 0.5$
(3) $c > b$
(4) 四個函數皆通過 $(0, 1)$
(5) $h (x) > g (x)$

載入中...

已知

a = lo g 3

、

b = lo g 5

，則下列數字代換哪些是正確的？

(1) $lo g 15 = a + b$
(2) $lo g 9 = 3 a$
(3) $lo g_{3} 5 = \frac{b}{a}$
(4) $lo g 0.6 = \frac{a}{b}$
(5) $lo g_{9} 4 = \frac{1 - b}{a}$

已知

lo g 2 = 0.3010

、

lo g 3 = 0.4771

、

lo g 7 = 0.8451

，則下列敘述哪些是正確的？

(1) $6^{100}$ 是 $77$ 位數
(2) $102 4^{5}$ 是 $16$ 位數
(3) $1.9 6^{50}$ 的整數部分是 $14$ 位數
(4) $3^{- 20}$ 在小數點後第 $10$ 位開始不為 $0$
(5) $1 0^{- 0.3} \times 1 0^{- 18}$ 是一種科學記號

若

y = 4^{x}

通過第一象限的點

(a, b)

，且

a \neq = 1

，則下列哪些函數也會通過點

(a, b)

？

(1) $A (x) = 2^{2 x}$
(2) $B (x) = 1 6^{0.25 x}$
(3) $C (x) = x^{l o g_{a} b}$
(4) $D (x) = lo g_{4} x$
(5) $E (x) = b$

三、選填題：每題 5 分、共 50 分

若

lo g_{(x + 1)} (5 - 2 x)

有意義，則符合條件的整數

x

有 ____ 個。

lo g 14 + lo g 7 - lo g \frac{7}{5} + lo g 20 - lo g 1.4 =

____。

化簡

\frac{lo g _{4} 27}{lo g _{16} 9} =

____。

等式

4^{x} = 2^{x + 2} + 32

的實數解為 ____。

已知

lo g_{9} 7 = x

，則

3^{x + 2} - 2 7^{x} =

____。

lo g (x - 5) + lo g (x + 1) = 4 lo g 2

的所有實數解之和為 ____。

(0.008)^{- 2} > (0.04)^{1 - x} > (0.2)^{- 2}

中，

x

解的範圍為 ____

< x <

____。

已知

lo g [lo g (lo g A)] = - 5

，則

A

的整數部分為 ____ 位數。

有一個特殊品種的

X

細菌，每過

1

天就會分裂出

1

個複製體。有個專門培養

X

細菌的培養皿，若一開始只放入

1

隻

X

細菌，經過

54

天時會恰好將整個培養皿裝滿。若一開始放入的是

16

隻

X

細菌，則經過 ____ 天時會恰好將培養皿裝一半。

大小姐的執事看到有一間投資顧問公司推出了一個年利率

20%

的帳戶，而且利息是用複利來計算，但要經過完整的一年才會算一次利息。經過計算，若一開始只投入

20

萬，那需要 ____ 年才能累積到至少

200

萬的本利和。（已知

lo g 2 = 0.3010

、

lo g 3 = 0.4771

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(2)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(5)（兩式是同一個圖形，見詳解）

第 6 題(1)(3)(5)

第 7 題(2)(4)

第 8 題(1)(3)(5)

第 9 題(2)(4)

第 10 題(1)(3)(5)

第 11 題

2

第 12 題

3

第 13 題

3

第 14 題

3

第 15 題

27

第 16 題

7

第 17 題

2

、

4

（即

2 < x < 4

）

第 18 題

2

第 19 題

49

第 20 題

13

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～5 題：常用對數比大小、換底公式、指數方程式與圖形

第 1 題答案 (1)。

c = lo g 20 + lo g 5 = lo g 100 = 2

。

101 > 100

，所以

b = lo g 101 > lo g 100 = 2

。

a = 4 - lo g 101 < 4 - 2 = 2

。因此

b > c > a

。

a + b = 4

，

a

與

b

對稱地落在

2

的兩側。

第 2 題答案 (2)。用換底公式把每一項寫成常用對數：

lo g 11 \times \frac{lo g 12}{lo g 11} \times \frac{lo g 13}{lo g 12} \times \dots \times \frac{lo g 1000}{lo g 999}

。前後的分子分母依序約掉，只剩最後的

lo g 1000 = 3

。

第 3 題答案 (3)。

b > c > 0

，所以

\frac{b}{c} > 1

；又

a > 0

，由指數函數

y = (\frac{b}{c})^{x}

遞增，

(\frac{b}{c})^{a} > (\frac{b}{c})^{0} = 1

，即

\frac{b ^{a}}{c ^{a}} > 1

，

b^{a} > c^{a}

，(3) 恆成立。(1) 不一定：若

0 < a < 1

，

y = a^{x}

遞減，

b > c

時

a^{b} < a^{c}

；例如

a = \frac{1}{2}

、

b = 2

、

c = 1

，

\frac{1}{4} < \frac{1}{2}

。(2)(4) 不一定：

a = 1

時

lo g_{a}

沒有意義；

0 < a < 1

時

y = lo g_{a} x

遞減，例如

lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1 < lo g_{\frac{1}{2}} 1 = 0

。(5) 錯，因為 (3) 正確。

卷面的選項 (2) 與 (4) 印成完全相同的式子

lo g_{a} b > lo g_{a} c

，兩個都不一定成立，不影響答案。

第 4 題答案 (4)。左邊化成以

2

為底：

4^{x^{2} + x - 1} = 2^{2 x^{2} + 2 x - 2}

。指數函數一對一，所以

2 x^{2} + 2 x - 2 = 3 - x

，

2 x^{2} + 3 x - 5 = 0

，

(2 x + 5) (x - 1) = 0

，

x = 1

或

x = - \frac{5}{2}

。較大的解是

1

。

檢查：

x = 1

時左邊

4^{1} = 4

，右邊

2^{2} = 4

。

第 5 題答案 (5)。

x = (0.1)^{- y} = (1 0^{- 1})^{- y} = 1 0^{y}

。由對數的定義，

x = 1 0^{y}

與

y = lo g x

是同一個關係，兩個式子畫出來是同一條曲線。同一條曲線要「對稱於」某條線或某一點，曲線本身就必須對那條線或那一點對稱，但

y = lo g x

的圖形對

x

軸、

y

軸、原點、直線

y = x

都不對稱。例如

(10, 1)

在圖形上，它對

y = x

的對稱點

(1, 10)

不在圖形上（

lo g 1 = 0 \neq = 10

）；對

x

軸的對稱點

(10, - 1)

也不在圖形上；圖形只在

y

軸右側，對

y

軸、原點的對稱點都落在左側。所以選 (5)。

容易誤選 (4)：與

y = lo g x

對稱於直線

y = x

的是

y = 1 0^{x}

（把

x

、

y

對調），而

x = 1 0^{y}

是把

y = 1 0^{x}

的

x

、

y

對調後的結果，正好又回到

y = lo g x

本身。

判斷兩個圖形的關係前，先把兩式都寫成「

y =

」的樣子比一比，可能根本是同一個圖形。

02多選第 6、7 題：指數函數的性質與由圖形比較底數

第 6 題答案 (1)(3)(5)。

0 < a < 1

時

f (x) = a^{x}

遞減，且

f (0) = 1

。(1) 正確。

f (x) > 1 = f (0)

，遞減函數值較大的

x

較小，所以

x < 0

。(2) 錯誤。 定義域是全體實數，

x = 0

時

f (0) = 1

，圖形與

y

軸交於

(0, 1)

。(3) 正確。 遞減函數，

a > b

則

f (a) < f (b)

。(4) 錯誤。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

對稱於直線

y = x

，不是

y

軸；與

y = a^{x}

對稱於

y

軸的是

y = a^{- x}

。(5) 正確。

x = a^{y}

是把

y = a^{x}

的

x

、

y

對調，兩圖形對稱於直線

y = x

。

(3) 的

a

同時是底數，也被拿來當自變數。不論把

a

、

b

看成任意兩個自變數，或代入底數

a

（

f (a) = a^{a}

、

f (b) = a^{b}

），

f

遞減，結論都是

f (a) < f (b)

。

第 7 題答案 (2)(4)。

k (x) = 2^{x}

與

g (x)

對稱於

y

軸，所以

g (x) = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}

，

b = 0.5

，(2) 正確。 由圖，

k

、

f

遞增，所以

a > 1

；在

y

軸右側（

x > 0

）

k

在

f

上方，即

2^{x} > a^{x}

，所以

1 < a < 2

。

g

、

h

遞減，所以

b

、

c

都介於

0

與

1

；在

y

軸左側（

x < 0

）

h

在

g

上方，取

x = - 1

得

c^{- 1} > b^{- 1}

，即

\frac{1}{c} > \frac{1}{b}

，所以

c < b

。(1) 錯誤。 四個底數中

2

最大。(3) 錯誤。

c < b

。(4) 正確。 任何底數的

0

次方都是

1

，四個函數都通過

(0, 1)

。(5) 錯誤。

x < 0

時

h (x) > g (x)

，但

x > 0

時

h

在

g

下方，

x = 0

時兩者相等，不是恆成立。

底數大於

1

時，

y

軸右側愈陡的底數愈大；底數介於

0

與

1

之間時，

y

軸左側愈陡的底數愈小。

比較指數函數的底數，固定一個

x

（例如

x = 1

或

x = - 1

）看誰在上方。

03多選第 8～10 題：對數律、位數與首位、指數與對數的定義

第 8 題答案 (1)(3)(5)。(1) 正確。

lo g 15 = lo g (3 \times 5) = lo g 3 + lo g 5 = a + b

。(2) 錯誤。

lo g 9 = lo g 3^{2} = 2 a

，不是

3 a

。(3) 正確。 換底公式：

lo g_{3} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 3} = \frac{b}{a}

。(4) 錯誤。

lo g 0.6 = lo g \frac{3}{5} = lo g 3 - lo g 5 = a - b

，不是

\frac{a}{b}

（例如

a - b < 0

，而

\frac{a}{b} > 0

）。(5) 正確。

lo g_{9} 4 = \frac{lo g 4}{lo g 9} = \frac{2 lo g 2}{2 lo g 3} = \frac{lo g 2}{lo g 3}

；

lo g 2 = lo g \frac{10}{5} = 1 - lo g 5 = 1 - b

，所以

lo g_{9} 4 = \frac{1 - b}{a}

。

第 9 題答案 (2)(4)。正數

N

的

lo g N = n + α

（

n

為整數，

0 \leq α < 1

）時，

N \geq 1

的整數部分是

n + 1

位數。(1) 錯誤。

lo g 6^{100} = 100 (lo g 2 + lo g 3) = 100 \times 0.7781 = 77.81

，整數部分

77

，所以是

78

位數。(2) 正確。

102 4^{5} = (2^{10})^{5} = 2^{50}

，

lo g 2^{50} = 50 \times 0.3010 = 15.05

，是

16

位數。(3) 錯誤。

1.96 = 1. 4^{2} = (\frac{14}{10})^{2}

，

lo g 1.4 = lo g 2 + lo g 7 - 1 = 0.1461

，

lo g 1.9 6^{50} = 100 \times 0.1461 = 14.61

，整數部分是

15

位數。(4) 正確。

lo g 3^{- 20} = - 20 \times 0.4771 = - 9.542 = - 10 + 0.458

，所以

3^{- 20} = 1 0^{0.458} \times 1 0^{- 10}

，

1 < 1 0^{0.458} < 10

，

3^{- 20}

的小數點後第

10

位開始不為

0

。(5) 錯誤。

1 0^{- 0.3} \times 1 0^{- 18} = 1 0^{- 18.3}

；科學記號是

a \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq a < 10

、

n

為整數；這裡前面的因數

1 0^{- 0.3}

小於

1

，不合

1 \leq a < 10

，所以不是科學記號。改寫成科學記號應為

1 0^{0.7} \times 1 0^{- 19}

。

(3) 的

1.9 6^{50}

約為

4.1 \times 1 0^{14}

，(4) 的

3^{- 20}

約為

2.87 \times 1 0^{- 10}

。

第 10 題答案 (1)(3)(5)。點

(a, b)

在

y = 4^{x}

上且在第一象限，所以

b = 4^{a}

，

a > 0

，又

a \neq = 1

。(1) 正確。

A (a) = 2^{2 a} = (2^{2})^{a} = 4^{a} = b

。(2) 錯誤。

B (a) = 1 6^{0.25 a} = (1 6^{\frac{1}{4}})^{a} = 2^{a}

，而

a > 0

時

2^{a} < 4^{a} = b

。(3) 正確。

a > 0

且

a \neq = 1

，

lo g_{a} b

有意義；由對數的定義

a^{l o g_{a} b} = b

，所以

C (a) = b

。(4) 錯誤。

D (a) = lo g_{4} a

。

y = 4^{x}

的圖形恆在直線

y = x

的上方，而

y = lo g_{4} x

與

y = 4^{x}

對稱於直線

y = x

，所以

y = lo g_{4} x

的圖形恆在

y = x

的下方。因此

lo g_{4} a < a < 4^{a} = b

，

D (a) \neq = b

。(5) 正確。

E (x) = b

是水平線，

x = a

時值為

b

，通過

(a, b)

。

(3) 需要

a \neq = 1

才能當對數的底數，這就是題目特別寫

a \neq = 1

的原因。

位數看對數的整數部分加

1

；小數點後第幾位開始不為

0

，看負的對數寫成「負整數＋正小數」時的那個負整數。

04選填 A～E（第 11～15 題）：對數的條件、對數律、換底公式與指數方程式

第 11 題底數要

x + 1 > 0

且

x + 1 \neq = 1

，即

x > - 1

且

x \neq = 0

；真數要

5 - 2 x > 0

，即

x < \frac{5}{2}

。合起來

- 1 < x < \frac{5}{2}

且

x \neq = 0

，整數

x

只有

1

、

2

，共

2

個。

第 12 題由對數律合成一個對數：原式

= lo g (14 \times 7 \div \frac{7}{5} \times 20 \div 1.4) = lo g (14 \times 5 \times 20 \div 1.4) = lo g \frac{1400}{1.4} = lo g 1000 = 3

。

第 13 題換成常用對數：

lo g_{4} 27 = \frac{lo g 3 ^{3}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{3 lo g 3}{2 lo g 2}

，

lo g_{16} 9 = \frac{lo g 3 ^{2}}{lo g 2 ^{4}} = \frac{2 lo g 3}{4 lo g 2} = \frac{lo g 3}{2 lo g 2}

。相除得

\frac{3 lo g 3}{2 lo g 2} \times \frac{2 lo g 2}{lo g 3} = 3

。

第 14 題令

t = 2^{x} > 0

，則

4^{x} = t^{2}

，

2^{x + 2} = 4 t

。方程式變成

t^{2} = 4 t + 32

，

t^{2} - 4 t - 32 = 0

，

(t - 8) (t + 4) = 0

。

t > 0

，所以

t = 8

，

2^{x} = 8 = 2^{3}

，

x = 3

。

t = - 4

不合，因為

2^{x}

恆為正。

第 15 題由

lo g_{9} 7 = x

得

9^{x} = 7

，即

(3^{x})^{2} = 7

，

3^{x} = 7

。所以

3^{x + 2} = 9 \times 3^{x} = 97

，

2 7^{x} = (3^{x})^{3} = 77

。相減得

97 - 77 = 27

。答案格依序填

2

、

7

。

卷面答案格為「⑮√⑯」的形式，各 1 格。

指數裡有對數時，先把對數式改寫成指數式，再用指數律湊出要的式子。

05選填 F～H（第 16～18 題）：對數方程式、指數不等式與連續取對數

第 16 題真數條件：

x - 5 > 0

且

x + 1 > 0

，即

x > 5

。左邊

= lo g ((x - 5) (x + 1))

，右邊

= lo g 2^{4} = lo g 16

。所以

(x - 5) (x + 1) = 16

，

x^{2} - 4 x - 21 = 0

，

(x - 7) (x + 3) = 0

，

x = 7

或

x = - 3

。

- 3

不合真數條件，只有

x = 7

，解之和為

7

。

若忘了真數條件，會誤把兩根相加得

4

。

第 17 題都化成以

5

為底：

0.008 = \frac{1}{125} = 5^{- 3}

，

0.04 = \frac{1}{25} = 5^{- 2}

，

0.2 = 5^{- 1}

。所以

(0.008)^{- 2} = 5^{6}

，

(0.04)^{1 - x} = 5^{- 2 (1 - x)} = 5^{2 x - 2}

，

(0.2)^{- 2} = 5^{2}

。底數

5 > 1

，不等號方向不變：

6 > 2 x - 2 > 2

，得

8 > 2 x > 4

，

2 < x < 4

。答案格依序填

2

、

4

。

第 18 題由對數的定義一層一層拆開：

lo g [lo g (lo g A)] = - 5

得

lo g (lo g A) = 1 0^{- 5}

，再得

lo g A = 1 0^{1 0^{- 5}}

。因為

0 < 1 0^{- 5} < 0.3010 = lo g 2

，底數

10 > 1

，所以

1 0^{0} < 1 0^{1 0^{- 5}} < 1 0^{l o g 2}

，即

1 < lo g A < 2

。

lo g A

的整數部分是

1

，所以

A

的整數部分是

2

位數。

lo g A

約為

1.000023

，

A

約為

10.0005

。

層層包住的對數，從最外層一次用一次定義拆開；最後只要判斷

lo g A

的整數部分。

06選填 I、J（第 19、20 題）：倍增模型與複利

第 19 題每過

1

天每隻分裂出

1

個複製體，數量變成原來的

2

倍。從

1

隻開始，

54

天後有

2^{54}

隻，恰好裝滿，所以裝一半是

2^{53}

隻。從

16 = 2^{4}

隻開始，

n

天後有

2^{4} \times 2^{n} = 2^{n + 4}

隻。令

2^{n + 4} = 2^{53}

，得

n = 49

（天）。答案格依序填

4

、

9

。

第 20 題每年本利和變成前一年的

1.2

倍，

n

年後本利和

20 \times 1. 2^{n}

萬元。要

20 \times 1. 2^{n} \geq 200

，即

1. 2^{n} \geq 10

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.2 \geq 1

。

lo g 1.2 = lo g \frac{12}{10} = 2 lo g 2 + lo g 3 - 1 = 0.6020 + 0.4771 - 1 = 0.0791

，所以

n \geq \frac{1}{0.0791} \approx 12.64

。

n

是整數年，最少

13

年。答案格依序填

1

、

3

。

檢查：

1. 2^{12} \approx 8.92

，不到

10

；

1. 2^{13} \approx 10.70

，超過

10

。

複利求「至少幾年」：列不等式、取對數、再無條件進位到整數。

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03多選第 8～10 題：對數律、位數與首位、指數與對數的定義

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高二第二次段考
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