屏東高中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (2)(3)(5)。由圖：$B$ 在 $y$ 軸正向上，$A$ 在右上、$D$ 在右下、$C$ 在左下。直線 $BC$ 由左下往右上，斜率為正；$AB$ 由左上往右下，斜率為負；$CD$ 稍微往右下，斜率為負而且很平（比 $45^{\circ }$ 平）；$DA$ 幾乎鉛直、往右上，斜率為正而且很大。

(1) 錯誤。 $DA$ 比 $BC$ 陡得多，$m_{\overleftrightarrow{DA}}>m_{\overleftrightarrow{BC}}$，最大的是 $m_{\overleftrightarrow{DA}}$。

(2) 正確。 負的只有 $m_{\overleftrightarrow{AB}}$ 與 $m_{\overleftrightarrow{CD}}$，而 $AB$ 往下傾斜得比 $CD$ 陡，所以 $m_{\overleftrightarrow{AB}}$ 最小。

(3) 正確。 $\angle ADC=90^{\circ }$，$CD\perp DA$，兩條都不是鉛直或水平線，斜率乘積為 $-1$。

(4) 錯誤。 $m_{\overleftrightarrow{CD}}<0$、$m_{\overleftrightarrow{BC}}>0$，乘積為負。

(5) 正確。 設 $m_{\overleftrightarrow{CD}}=-t$，由圖 $0<t<1$；由 (3) 得 $m_{\overleftrightarrow{DA}}=\frac{1}{t}>1$。所以 $m_{\overleftrightarrow{DA}}+m_{\overleftrightarrow{CD}}=\frac{1}{t}-t>0$。

答案 (2)(4)(5)。$L_1:x+ay+b=0$ 的斜率為 $-\frac{1}{a}$，$x$ 截距為 $-b$；$L_2$ 的斜率為 $-\frac{1}{c}$，$x$ 截距為 $-d$。由圖：$L_1$、$L_2$ 都往右上，斜率都為正，而且 $L_1$ 比 $L_2$ 陡；$L_1$ 與 $x$ 軸交在原點右邊，$L_2$ 交在原點左邊。

(1) 錯誤。 $-\frac{1}{a}>0$，所以 $a<0$。

(2) 正確。 $L_1$ 的 $x$ 截距 $-b>0$，所以 $b<0$。

(3) 錯誤。 $-\frac{1}{c}>0$，所以 $c<0$。

(4) 正確。 $L_2$ 的 $x$ 截距 $-d<0$，所以 $d>0$。

(5) 正確。 $L_1$ 比 $L_2$ 陡：$-\frac{1}{a}>-\frac{1}{c}>0$，即 $\frac{1}{|a|}>\frac{1}{|c|}$，$|a|<|c|$。$a$、$c$ 都是負數，絕對值小的比較大，所以 $a>c$。

答案 (2)(3)(4)(5)。先認出三條線。$ax+y+1=0$ 必過 $(0,-1)$，$y$ 截距為負；圖中 $y$ 截距為負的只有下方那條較平、往右上的線，所以它就是這一條，斜率 $-a>0$。$2x+y+b=0$ 的斜率是 $-2$，是圖中唯一往右下的那條，$y$ 截距 $-b$ 在 $y$ 軸正向上。剩下那條往右上、較陡、$y$ 截距為正的線是 $cx+dy+e=0$。原點在三角形內部，可以用原點檢查不等號方向。

(1) 錯誤。 斜率 $-a>0$，所以 $a<0$。

(2) 正確。 $y$ 截距 $-b>0$，所以 $b<0$。

(3) 正確。 $cx+dy+e=0$ 的斜率 $-\frac{c}{d}>0$，所以 $c$、$d$ 異號，$cd<0$。

(4) 正確。 原點在解的範圍內，代入 $cx+dy+e\ge 0$ 得 $e\ge 0$；原點又不在這條線上，所以 $e>0$。

(5) 正確。 把這條線寫成 $y=px+q$（由圖 $p>0$、$q>0$）。區域在這條線的下方，即 $px-y+q\ge 0$；它與 $cx+dy+e\ge 0$ 是同一個不等式，所以 $(c,d,e)$ 是 $(p,-1,q)$ 的正數倍：$c>0$、$d<0$、$e>0$。負數是 $a$、$b$、$d$，恰好三個。

答案 (1)(2)(4)。配方：$(x-k{)}^2+(y-1{)}^2=k^2+1-k^2+3=4$，圓心 $(k,1)$、半徑 $2$。

(1) 正確。 不論 $k$ 為何，右邊都是 $4>0$，一定是圓。

(2) 正確。 圓心 $(k,1)$ 在直線 $y=1$ 上，圓對稱於通過圓心的任何直線。

(3) 錯誤。 圓心到 $y$ 軸的距離是 $|k|$，要小於半徑 $2$ 才交於相異兩點；例如 $k=3$ 時 $|k|=3>2$，圓與 $y$ 軸不相交。

(4) 正確。 圓心到 $x$ 軸的距離是 $1<2$，不論 $k$ 為何都交於相異兩點。

(5) 錯誤。 切點 $(2k,2)$ 在直線上：$2\sqrt{3}k+2=8$，$k=\sqrt{3}$。檢查切點在圓上：$(2\sqrt{3}-\sqrt{3}{)}^2+(2-1{)}^2=3+1=4$；圓心 $(\sqrt{3},1)$ 到直線 $\sqrt{3}x+y-8=0$ 的距離 $\frac{|3+1-8|}{2}=2$ 等於半徑，確實相切。所以 $k=\sqrt{3}$，不是 $-\sqrt{3}$。

圓心 $O(4,-1)$、半徑 $5$。$P(9,9)$ 到圓心的距離 $\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}>5$，$P$ 在圓外，有兩條切線。

鉛直線 $x=9$：圓心到它的距離 $|9-4|=5$，等於半徑，所以 $x=9$ 是一條切線。

其他切線設為 $y-9=m(x-9)$，即 $mx-y+9-9m=0$。圓心到它的距離等於 $5$：$\frac{|4m+1+9-9m|}{\sqrt{m^2+1}}=5$，$|10-5m|=5\sqrt{m^2+1}$，$|2-m|=\sqrt{m^2+1}$。平方得 $4-4m+m^2=m^2+1$，$m=\frac{3}{4}$。切線 $y-9=\frac{3}{4}(x-9)$，$4y-36=3x-27$，即 $3x-4y+9=0$。

所以兩條切線為 $x=9$ 與 $3x-4y+9=0$。