段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的正弦值、正弦函數的圖形、週期與振幅、圖形的平移與伸縮、週期與頻率）

屏東高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 4 題、多選題 4 題、選填題 7 題，共 15 題。原卷未印配分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題

一扇形半徑為

2

，圓心角為

3

弳，令此扇形的弧長為

s

，面積為

A

，則數對

(s, A) =

？

(1) $(3, 3)$
(2) $(3, 6)$
(3) $(6, 6)$
(4) $(6, 12)$
(5) $(12, 12)$

下列何者為

y = sin x - 1

的圖形？（五個選項的圖形見附圖，由上而下依序為 (1)～(5)）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

下列何者為

y = sin 2 x

的圖形？（五個選項的圖形見附圖，由上而下依序為 (1)～(5)）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

sin 1

、

sin 2

、

sin 3

、

sin 4

、

sin 5

五個數中，最大的數為

(1) $sin 1$
(2) $sin 2$
(3) $sin 3$
(4) $sin 4$
(5) $sin 5$

二、多選題

下列關於「度」和「弳」的互換，哪些選項是正確的？

(1) $π$ 弳 $= 36 0^{\circ}$
(2) $\frac{π}{3}$ 弳 $= 6 0^{\circ}$
(3) $\frac{7 π}{6}$ 弳 $= 21 0^{\circ}$
(4) $13 5^{\circ} = \frac{3 π}{4}$ 弳
(5) $54 0^{\circ} = 6 π$ 弳

下列關於正弦函數

y = sin x

圖形的敘述，哪些選項是正確的？

(1) 定義域為 $[- 1, 1]$
(2) 值域為所有實數
(3) 週期為 $2 π$
(4) 振幅為 $2$
(5) 圖形對稱於原點

比較

y = sin (x + 3)

與

y = sin x + 3

的圖形，下列哪些選項沒有改變？

(1) 定義域
(2) 值域
(3) 週期
(4) 振幅
(5) 對稱點

比較

y = sin 3 x

與

y = 3 sin x

的圖形，下列哪些選項沒有改變？

(1) 定義域
(2) 值域
(3) 週期
(4) 振幅
(5) 對原點對稱

三、選填題（若答案為分數，請化為最簡分數）（原卷題號 A～G，本頁編為第 9～15 題）

屏東高中掃地時間為每天早上

8

點

50

分到

9

點

10

分，則在這段時間內，分針繞了 ____ 弳。（卷面答案格的形式為

\frac{◯ π}{◯}

，共 2 格）

角度為

1

至

9

的正整數弳中，有 ____ 個為第一象限角。（卷面答案格 1 格）

如右圖，

4

個半徑為

3

公分的圓，左邊

3

個兩兩外切，右邊

3

個也兩兩外切，想用一根繩子將這

4

個圓圈起來，則繩長至少需要 ____ 公分。（卷面答案格的形式為

◯ ◯ + ◯ π

，共 3 格）

載入中...

將正弦函數

y = sin x

想像成高低起伏的山，若從原點順著函數圖形往右走，第一次到山谷（最低點）是在

x = \frac{3 π}{2}

，則第十次到山谷時，

x =

____。（卷面答案格的形式為

\frac{◯ ◯ π}{◯}

，共 3 格）

右圖為某個週期函數的圖形，其週期為 ____。（卷面答案格的形式為

\frac{◯ π}{◯}

，共 2 格）

載入中...

右圖為某個週期函數的圖形（與第 13 題是同一張圖），其振幅為 ____。（卷面答案格 1 格）

載入中...

鋼琴鍵盤上某個音的聲波函數為

f (x) = sin (220 π x)

，

x

的單位為秒，則此聲波的頻率為 ____ 赫茲。（卷面答案格 3 格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(2)

第 4 題(2)

第 5 題(2)(3)(4)

第 6 題(3)(5)

第 7 題(1)(3)(4)

第 8 題(1)(5)

第 9 題

\frac{2 π}{3}

第 10 題

2

第 11 題

24 + 6 π

第 12 題

\frac{39 π}{2}

第 13 題

\frac{2 π}{5}

第 14 題

2

第 15 題

110

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：扇形、圖形的平移與伸縮、正弦值比大小

第 1 題答案 (3)。圓心角

θ = 3

已經是弧度，直接代公式。弧長

s = r θ = 2 \times 3 = 6

。面積

A = \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 2^{2} \times 3 = 6

。所以

(s, A) = (6, 6)

。

面積也可以用

A = \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6

檢查。

第 2 題答案 (5)。

y = sin x - 1

是把

y = sin x

的圖形往下平移

1

單位：通過

(0, - 1)

，最大值

1 - 1 = 0

，最小值

- 1 - 1 = - 2

，整條曲線在

x

軸下方、只在最高點碰到

x

軸。五張圖中只有圖 (5) 是這樣。其他四張：圖 (1) 通過原點、高低在

1

與

- 1

之間，是

y = sin x

；圖 (2) 的波形往左移了

1

，是

y = sin (x + 1)

；圖 (3) 的波形往右移了

1

（與

x

軸交於

x = 1

），是

y = sin (x - 1)

；圖 (4) 通過

(0, 1)

、高低在

2

與

0

之間，是

y = sin x + 1

。

sin x - 1

的

- 1

寫在正弦的外面，是上下平移；寫在括號裡面的

sin (x - 1)

才是左右平移。

第 3 題答案 (2)。

y = sin 2 x

的振幅是

1

，週期是

\frac{2 π}{2} = π \approx 3.14

，也就是

y = sin x

的圖形水平縮為

\frac{1}{2}

倍。圖 (2) 高低在

1

與

- 1

之間，而且從原點出發到

x \approx 3.14

就完成一個波，符合。其他四張：圖 (1) 的週期約

6.28

，是

y = sin x

；圖 (3) 的週期約

12.57

，是

y = sin \frac{x}{2}

；圖 (4) 的週期約

6.28

、高低在

2

與

- 2

之間，是

y = 2 sin x

；圖 (5) 的週期約

6.28

、高低在

\frac{1}{2}

與

- \frac{1}{2}

之間，是

y = \frac{1}{2} sin x

。

x

的係數變成

2

倍，圖形是變窄（週期減半），不是變高；變高的是圖 (4)。

第 4 題答案 (2)。五個角都沒有度的符號，都是弧度。用

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

判斷：

4

與

5

都在

π

與

2 π

之間，是第三、第四象限角，

sin 4 < 0

、

sin 5 < 0

。

1

、

2

、

3

都在

0

與

π

之間，正弦值為正，最大的在這三個裡面。利用

sin θ = sin (π - θ)

把角換到

0

與

\frac{π}{2}

之間：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。在

0

到

\frac{π}{2}

之間，角越大正弦值越大，而

1.14 > 1 > 0.14

，所以

sin 2 > sin 1 > sin 3

，最大的是

sin 2

。

數值約為

sin 1 \approx 0.841

、

sin 2 \approx 0.909

、

sin 3 \approx 0.141

、

sin 4 \approx - 0.757

、

sin 5 \approx - 0.959

。也可以看圖形：

y = sin x

在

0

與

π

之間的最高點在

x = \frac{π}{2} \approx 1.57

，圖形左右對稱於這條鉛直線，離它越近正弦值越大；

2

離它

0.43

，

1

離它

0.57

，

3

離它

1.43

。

弧度角先用

π \approx 3.14

判斷象限；比正弦值的大小，把角換到同一段遞增的區間再比。

02多選第 5、6 題：度與弧度互換、正弦函數圖形的基本性質

第 5 題答案 (2)(3)(4)。基準是

π

弳

= 18 0^{\circ}

。(1) 錯：

π

弳

= 18 0^{\circ}

，

36 0^{\circ}

是

2 π

弳。(2) 對：

\frac{π}{3}

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{3} = 6 0^{\circ}

。(3) 對：

\frac{7 π}{6}

弳

= 7 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{6} = 7 \times 3 0^{\circ} = 21 0^{\circ}

。(4) 對：

13 5^{\circ} = 135 \times \frac{π}{180} = \frac{3 π}{4}

弳。(5) 錯：

54 0^{\circ} = 540 \times \frac{π}{180} = 3 π

弳，不是

6 π

。

度化弧度乘以

\frac{π}{180}

，弧度化度乘以

\frac{180}{π}

。

第 6 題答案 (3)(5)。(1) 錯：任何實數

x

都可以代入

sin x

，定義域是所有實數；

[- 1, 1]

是值域。(2) 錯：

- 1 \leq sin x \leq 1

，值域是

[- 1, 1]

，不是所有實數。(3) 對：

sin (x + 2 π) = sin x

，而且圖形每隔

2 π

才重複一次，週期是

2 π

。(4) 錯：最大值

1

、最小值

- 1

，振幅是

\frac{1 - ( - 1 )}{2} = 1

。(5) 對：

sin (- x) = - sin x

，所以點

(x, y)

在圖形上時，

(- x, - y)

也在圖形上，圖形對稱於原點。

選項 (1) 與 (2) 是把定義域和值域對調了。

y = sin x

：定義域是所有實數，值域是

- 1

到

1

，週期

2 π

，振幅

1

，圖形對稱於原點。

03多選第 7、8 題：兩個函數逐項比較

第 7 題答案 (1)(3)(4)。

y = sin (x + 3)

是

y = sin x

的圖形往左平移

3

單位，

y = sin x + 3

是往上平移

3

單位。逐項比這兩個圖形。(1) 定義域：兩個都是所有實數，相同。(2) 值域：

y = sin (x + 3)

的值在

- 1

與

1

之間；

y = sin x + 3

的值在

2

與

4

之間，不同。(3) 週期：平移不改變週期，兩個都是

2 π

，相同。(4) 振幅：平移不改變振幅，兩個都是

1

，相同。(5) 對稱點：

y = sin x

的圖形對稱於原點；往左平移

3

之後，原點那個對稱點移到

(- 3, 0)

，往上平移

3

之後移到

(0, 3)

。

y = sin (x + 3)

的對稱點都在

x

軸上，

y = sin x + 3

的對稱點都在直線

y = 3

上，不同。

這題不論理解成「兩個圖形互相比較」或「兩個圖形各自與

y = sin x

比較」，結論相同：平移只改變圖形的位置，定義域、週期、振幅都不變；上下平移會改變值域，兩種平移都會改變對稱點的位置。

第 8 題答案 (1)(5)。

y = sin 3 x

是

y = sin x

的圖形水平縮為

\frac{1}{3}

倍，

y = 3 sin x

是鉛直放大為

3

倍。(1) 定義域：兩個都是所有實數，相同。(2) 值域：

y = sin 3 x

的值在

- 1

與

1

之間；

y = 3 sin x

的值在

- 3

與

3

之間，不同。(3) 週期：

y = sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

；

y = 3 sin x

的週期是

2 π

，不同。(4) 振幅：

y = sin 3 x

的振幅是

1

；

y = 3 sin x

的振幅是

3

，不同。(5) 對原點對稱：

sin (- 3 x) = - sin 3 x

，

3 sin (- x) = - 3 sin x

，兩個圖形都對稱於原點，相同。

3

乘在

x

上改的是週期，乘在整個正弦上改的是振幅與值域。

y = a sin k x

（

a > 0

、

k > 0

）：振幅是

a

，週期是

\frac{2 π}{k}

；平移不改變振幅與週期。

04選填 A～C（第 9～11 題）：分針轉的弧度、整數弧度角的象限、圍住四個圓的繩長

第 9 題

8

點

50

分到

9

點

10

分共

20

分鐘。分針

60

分鐘轉一圈，也就是

2 π

弳，所以

20

分鐘轉了

\frac{20}{60} \times 2 π = \frac{2 π}{3}

弳。答案格分子填

2

、分母填

3

。

分針是順時針轉，若用有向角表示是

- \frac{2 π}{3}

；卷面的答案格沒有負號的位置，問的是轉過的角的大小。

第 10 題用

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

判斷。

1

在

0

與

1.57

之間，是第一象限角。

2

、

3

在

1.57

與

3.14

之間，是第二象限角。

4

在

3.14

與

4.71

之間，是第三象限角。

5

、

6

在

4.71

與

6.28

之間，是第四象限角。

7

、

8

、

9

超過一圈，先減去

2 π

：

7 - 6.28 \approx 0.72

，在

0

與

1.57

之間，是第一象限角；

8 - 6.28 \approx 1.72

、

9 - 6.28 \approx 2.72

，都在

1.57

與

3.14

之間，是第二象限角。第一象限角只有

1

與

7

，共

2

個。

8

弳減去一圈後約

1.72

，只比

\frac{π}{2} \approx 1.57

多一點，已經進到第二象限。

第 11 題把四個圓心連起來。相切的兩圓，圓心距離是

3 + 3 = 6

。上、下兩圓相切，左圓與上、下兩圓相切，右圓也與上、下兩圓相切，所以左、上、下三個圓心是邊長

6

的正三角形，右、上、下三個圓心也是；左、上、右、下四個圓心連成邊長

6

的菱形，左、右兩個頂角是

6 0^{\circ}

，上、下兩個頂角是

12 0^{\circ}

。繩子拉緊時，由四段直線與四段圓弧組成。每段直線是相鄰兩圓的外公切線段，與兩圓的半徑都垂直，所以它和兩個圓心的連線平行而且等長，長

6

；四段共

4 \times 6 = 24

。每個圓上被繩子貼住的弧，圓心角是

36 0^{\circ}

減去兩個直角再減去菱形在那個頂點的角：左、右兩圓各是

36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

，上、下兩圓各是

36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

。四段弧的圓心角合計

12 0^{\circ} + 12 0^{\circ} + 6 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 36 0^{\circ} = 2 π

，弧長合計

3 \times 2 π = 6 π

。繩長至少

24 + 6 π

公分。

四段弧合起來剛好是一整個半徑

3

的圓周。

24 + 6 π \approx 42.85

公分。

繩子圍住幾個等圓：直線部分等於圓心連成的多邊形周長，圓弧部分合起來是一個圓的周長。

05選填 D～G（第 12～15 題）：最低點的位置、由圖形讀週期與振幅、頻率

第 12 題

y = sin x

的週期是

2 π

，每隔

2 π

出現一次最低點。第一次在

x = \frac{3 π}{2}

，到第十次要再往右走

9

個週期：

x = \frac{3 π}{2} + 9 \times 2 π = \frac{3 π}{2} + \frac{36 π}{2} = \frac{39 π}{2}

。答案格依序填

3

、

9

、

2

。

第十次是加

9

個週期，不是

10

個；第

n

次最低點在

x = \frac{3 π}{2} + (n - 1) \times 2 π

。

第 13 題圖上標出的兩個點

(- \frac{π}{6}, 0)

與

(\frac{11 π}{6}, 0)

都是圖形往下穿過

x

軸的位置，是波形上相同的位置。從左邊那一點沿著圖形數到右邊那一點，剛好經過

5

個完整的波。兩點的距離是

\frac{11 π}{6} - (- \frac{π}{6}) = \frac{12 π}{6} = 2 π

，所以週期

= \frac{2 π}{5}

。答案格分子填

2

、分母填

5

。

檢查：

\frac{2 π}{5} \approx 1.26

，與圖上相鄰兩個最高點的間隔（比

1

格多一點）相符。圖形往下穿過

x

軸與往上穿過

x

軸是不同的位置，數波的時候起點與終點要取同一種。

第 14 題由圖，最大值是

3

（虛線

y = 3

）、最小值是

- 1

（虛線

y = - 1

）。振幅是最大值與最小值之差的一半：

\frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。

振幅不是最大值

3

；這個圖形的中間線在

y = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，圖形在中間線上下各擺動

2

。

第 15 題

f (x) = sin (220 π x)

中

x

的係數是

220 π

，週期

= \frac{2 π}{220 π} = \frac{1}{110}

秒。頻率是每秒振動的次數，等於週期的倒數，所以頻率

= 110

赫茲。答案格依序填

1

、

1

、

0

。

每

\frac{1}{110}

秒完成一個波，

1

秒就有

110

個波。

由圖形讀週期：找兩個相同位置的點，距離除以中間的波數；振幅是最大值與最小值之差的一半；頻率是週期的倒數。

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第 4 題與第 10 題的角都沒有度的符號，要當弧度來判斷落在第幾象限，第 10 題的 7 已經繞過一圈回到第一象限；第 7、8 題要把兩個函數的定義域、值域、週期、振幅逐項列出來比；第 11 題繩子的直線部分與四個圓心連成的菱形四邊等長，四段弧合起來剛好是一個圓；第 13 題要數清楚圖上兩個標出的點之間有幾個完整的波。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的正弦值、正弦函數的圖形、週期與振幅、圖形的平移與伸縮、週期與頻率）

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 4 題、多選題 4 題、選填題 7 題，共 15 題。原卷未印配分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題

一扇形半徑為

2

，圓心角為

3

弳，令此扇形的弧長為

s

，面積為

A

，則數對

(s, A) =

？

(1) $(3, 3)$
(2) $(3, 6)$
(3) $(6, 6)$
(4) $(6, 12)$
(5) $(12, 12)$

下列何者為

y = sin x - 1

的圖形？（五個選項的圖形見附圖，由上而下依序為 (1)～(5)）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

下列何者為

y = sin 2 x

的圖形？（五個選項的圖形見附圖，由上而下依序為 (1)～(5)）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

sin 1

、

sin 2

、

sin 3

、

sin 4

、

sin 5

五個數中，最大的數為

(1) $sin 1$
(2) $sin 2$
(3) $sin 3$
(4) $sin 4$
(5) $sin 5$

二、多選題

下列關於「度」和「弳」的互換，哪些選項是正確的？

(1) $π$ 弳 $= 36 0^{\circ}$
(2) $\frac{π}{3}$ 弳 $= 6 0^{\circ}$
(3) $\frac{7 π}{6}$ 弳 $= 21 0^{\circ}$
(4) $13 5^{\circ} = \frac{3 π}{4}$ 弳
(5) $54 0^{\circ} = 6 π$ 弳

下列關於正弦函數

y = sin x

圖形的敘述，哪些選項是正確的？

(1) 定義域為 $[- 1, 1]$
(2) 值域為所有實數
(3) 週期為 $2 π$
(4) 振幅為 $2$
(5) 圖形對稱於原點

比較

y = sin (x + 3)

與

y = sin x + 3

的圖形，下列哪些選項沒有改變？

(1) 定義域
(2) 值域
(3) 週期
(4) 振幅
(5) 對稱點

比較

y = sin 3 x

與

y = 3 sin x

的圖形，下列哪些選項沒有改變？

(1) 定義域
(2) 值域
(3) 週期
(4) 振幅
(5) 對原點對稱

三、選填題（若答案為分數，請化為最簡分數）（原卷題號 A～G，本頁編為第 9～15 題）

屏東高中掃地時間為每天早上

8

點

50

分到

9

點

10

分，則在這段時間內，分針繞了 ____ 弳。（卷面答案格的形式為

\frac{◯ π}{◯}

，共 2 格）

角度為

1

至

9

的正整數弳中，有 ____ 個為第一象限角。（卷面答案格 1 格）

如右圖，

4

個半徑為

3

公分的圓，左邊

3

個兩兩外切，右邊

3

個也兩兩外切，想用一根繩子將這

4

個圓圈起來，則繩長至少需要 ____ 公分。（卷面答案格的形式為

◯ ◯ + ◯ π

，共 3 格）

載入中...

將正弦函數

y = sin x

想像成高低起伏的山，若從原點順著函數圖形往右走，第一次到山谷（最低點）是在

x = \frac{3 π}{2}

，則第十次到山谷時，

x =

____。（卷面答案格的形式為

\frac{◯ ◯ π}{◯}

，共 3 格）

右圖為某個週期函數的圖形，其週期為 ____。（卷面答案格的形式為

\frac{◯ π}{◯}

，共 2 格）

載入中...

右圖為某個週期函數的圖形（與第 13 題是同一張圖），其振幅為 ____。（卷面答案格 1 格）

載入中...

鋼琴鍵盤上某個音的聲波函數為

f (x) = sin (220 π x)

，

x

的單位為秒，則此聲波的頻率為 ____ 赫茲。（卷面答案格 3 格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(2)

第 4 題(2)

第 5 題(2)(3)(4)

第 6 題(3)(5)

第 7 題(1)(3)(4)

第 8 題(1)(5)

第 9 題

\frac{2 π}{3}

第 10 題

2

第 11 題

24 + 6 π

第 12 題

\frac{39 π}{2}

第 13 題

\frac{2 π}{5}

第 14 題

2

第 15 題

110

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：扇形、圖形的平移與伸縮、正弦值比大小

第 1 題答案 (3)。圓心角

θ = 3

已經是弧度，直接代公式。弧長

s = r θ = 2 \times 3 = 6

。面積

A = \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 2^{2} \times 3 = 6

。所以

(s, A) = (6, 6)

。

面積也可以用

A = \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6

檢查。

第 2 題答案 (5)。

y = sin x - 1

是把

y = sin x

的圖形往下平移

1

單位：通過

(0, - 1)

，最大值

1 - 1 = 0

，最小值

- 1 - 1 = - 2

，整條曲線在

x

軸下方、只在最高點碰到

x

軸。五張圖中只有圖 (5) 是這樣。其他四張：圖 (1) 通過原點、高低在

1

與

- 1

之間，是

y = sin x

；圖 (2) 的波形往左移了

1

，是

y = sin (x + 1)

；圖 (3) 的波形往右移了

1

（與

x

軸交於

x = 1

），是

y = sin (x - 1)

；圖 (4) 通過

(0, 1)

、高低在

2

與

0

之間，是

y = sin x + 1

。

sin x - 1

的

- 1

寫在正弦的外面，是上下平移；寫在括號裡面的

sin (x - 1)

才是左右平移。

第 3 題答案 (2)。

y = sin 2 x

的振幅是

1

，週期是

\frac{2 π}{2} = π \approx 3.14

，也就是

y = sin x

的圖形水平縮為

\frac{1}{2}

倍。圖 (2) 高低在

1

與

- 1

之間，而且從原點出發到

x \approx 3.14

就完成一個波，符合。其他四張：圖 (1) 的週期約

6.28

，是

y = sin x

；圖 (3) 的週期約

12.57

，是

y = sin \frac{x}{2}

；圖 (4) 的週期約

6.28

、高低在

2

與

- 2

之間，是

y = 2 sin x

；圖 (5) 的週期約

6.28

、高低在

\frac{1}{2}

與

- \frac{1}{2}

之間，是

y = \frac{1}{2} sin x

。

x

的係數變成

2

倍，圖形是變窄（週期減半），不是變高；變高的是圖 (4)。

第 4 題答案 (2)。五個角都沒有度的符號，都是弧度。用

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

判斷：

4

與

5

都在

π

與

2 π

之間，是第三、第四象限角，

sin 4 < 0

、

sin 5 < 0

。

1

、

2

、

3

都在

0

與

π

之間，正弦值為正，最大的在這三個裡面。利用

sin θ = sin (π - θ)

把角換到

0

與

\frac{π}{2}

之間：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。在

0

到

\frac{π}{2}

之間，角越大正弦值越大，而

1.14 > 1 > 0.14

，所以

sin 2 > sin 1 > sin 3

，最大的是

sin 2

。

數值約為

sin 1 \approx 0.841

、

sin 2 \approx 0.909

、

sin 3 \approx 0.141

、

sin 4 \approx - 0.757

、

sin 5 \approx - 0.959

。也可以看圖形：

y = sin x

在

0

與

π

之間的最高點在

x = \frac{π}{2} \approx 1.57

，圖形左右對稱於這條鉛直線，離它越近正弦值越大；

2

離它

0.43

，

1

離它

0.57

，

3

離它

1.43

。

弧度角先用

π \approx 3.14

判斷象限；比正弦值的大小，把角換到同一段遞增的區間再比。

02多選第 5、6 題：度與弧度互換、正弦函數圖形的基本性質

第 5 題答案 (2)(3)(4)。基準是

π

弳

= 18 0^{\circ}

。(1) 錯：

π

弳

= 18 0^{\circ}

，

36 0^{\circ}

是

2 π

弳。(2) 對：

\frac{π}{3}

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{3} = 6 0^{\circ}

。(3) 對：

\frac{7 π}{6}

弳

= 7 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{6} = 7 \times 3 0^{\circ} = 21 0^{\circ}

。(4) 對：

13 5^{\circ} = 135 \times \frac{π}{180} = \frac{3 π}{4}

弳。(5) 錯：

54 0^{\circ} = 540 \times \frac{π}{180} = 3 π

弳，不是

6 π

。

度化弧度乘以

\frac{π}{180}

，弧度化度乘以

\frac{180}{π}

。

第 6 題答案 (3)(5)。(1) 錯：任何實數

x

都可以代入

sin x

，定義域是所有實數；

[- 1, 1]

是值域。(2) 錯：

- 1 \leq sin x \leq 1

，值域是

[- 1, 1]

，不是所有實數。(3) 對：

sin (x + 2 π) = sin x

，而且圖形每隔

2 π

才重複一次，週期是

2 π

。(4) 錯：最大值

1

、最小值

- 1

，振幅是

\frac{1 - ( - 1 )}{2} = 1

。(5) 對：

sin (- x) = - sin x

，所以點

(x, y)

在圖形上時，

(- x, - y)

也在圖形上，圖形對稱於原點。

選項 (1) 與 (2) 是把定義域和值域對調了。

y = sin x

：定義域是所有實數，值域是

- 1

到

1

，週期

2 π

，振幅

1

，圖形對稱於原點。

03多選第 7、8 題：兩個函數逐項比較

第 7 題答案 (1)(3)(4)。

y = sin (x + 3)

是

y = sin x

的圖形往左平移

3

單位，

y = sin x + 3

是往上平移

3

單位。逐項比這兩個圖形。(1) 定義域：兩個都是所有實數，相同。(2) 值域：

y = sin (x + 3)

的值在

- 1

與

1

之間；

y = sin x + 3

的值在

2

與

4

之間，不同。(3) 週期：平移不改變週期，兩個都是

2 π

，相同。(4) 振幅：平移不改變振幅，兩個都是

1

，相同。(5) 對稱點：

y = sin x

的圖形對稱於原點；往左平移

3

之後，原點那個對稱點移到

(- 3, 0)

，往上平移

3

之後移到

(0, 3)

。

y = sin (x + 3)

的對稱點都在

x

軸上，

y = sin x + 3

的對稱點都在直線

y = 3

上，不同。

這題不論理解成「兩個圖形互相比較」或「兩個圖形各自與

y = sin x

比較」，結論相同：平移只改變圖形的位置，定義域、週期、振幅都不變；上下平移會改變值域，兩種平移都會改變對稱點的位置。

第 8 題答案 (1)(5)。

y = sin 3 x

是

y = sin x

的圖形水平縮為

\frac{1}{3}

倍，

y = 3 sin x

是鉛直放大為

3

倍。(1) 定義域：兩個都是所有實數，相同。(2) 值域：

y = sin 3 x

的值在

- 1

與

1

之間；

y = 3 sin x

的值在

- 3

與

3

之間，不同。(3) 週期：

y = sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

；

y = 3 sin x

的週期是

2 π

，不同。(4) 振幅：

y = sin 3 x

的振幅是

1

；

y = 3 sin x

的振幅是

3

，不同。(5) 對原點對稱：

sin (- 3 x) = - sin 3 x

，

3 sin (- x) = - 3 sin x

，兩個圖形都對稱於原點，相同。

3

乘在

x

上改的是週期，乘在整個正弦上改的是振幅與值域。

y = a sin k x

（

a > 0

、

k > 0

）：振幅是

a

，週期是

\frac{2 π}{k}

；平移不改變振幅與週期。

04選填 A～C（第 9～11 題）：分針轉的弧度、整數弧度角的象限、圍住四個圓的繩長

第 9 題

8

點

50

分到

9

點

10

分共

20

分鐘。分針

60

分鐘轉一圈，也就是

2 π

弳，所以

20

分鐘轉了

\frac{20}{60} \times 2 π = \frac{2 π}{3}

弳。答案格分子填

2

、分母填

3

。

分針是順時針轉，若用有向角表示是

- \frac{2 π}{3}

；卷面的答案格沒有負號的位置，問的是轉過的角的大小。

第 10 題用

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

判斷。

1

在

0

與

1.57

之間，是第一象限角。

2

、

3

在

1.57

與

3.14

之間，是第二象限角。

4

在

3.14

與

4.71

之間，是第三象限角。

5

、

6

在

4.71

與

6.28

之間，是第四象限角。

7

、

8

、

9

超過一圈，先減去

2 π

：

7 - 6.28 \approx 0.72

，在

0

與

1.57

之間，是第一象限角；

8 - 6.28 \approx 1.72

、

9 - 6.28 \approx 2.72

，都在

1.57

與

3.14

之間，是第二象限角。第一象限角只有

1

與

7

，共

2

個。

8

弳減去一圈後約

1.72

，只比

\frac{π}{2} \approx 1.57

多一點，已經進到第二象限。

第 11 題把四個圓心連起來。相切的兩圓，圓心距離是

3 + 3 = 6

。上、下兩圓相切，左圓與上、下兩圓相切，右圓也與上、下兩圓相切，所以左、上、下三個圓心是邊長

6

的正三角形，右、上、下三個圓心也是；左、上、右、下四個圓心連成邊長

6

的菱形，左、右兩個頂角是

6 0^{\circ}

，上、下兩個頂角是

12 0^{\circ}

。繩子拉緊時，由四段直線與四段圓弧組成。每段直線是相鄰兩圓的外公切線段，與兩圓的半徑都垂直，所以它和兩個圓心的連線平行而且等長，長

6

；四段共

4 \times 6 = 24

。每個圓上被繩子貼住的弧，圓心角是

36 0^{\circ}

減去兩個直角再減去菱形在那個頂點的角：左、右兩圓各是

36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

，上、下兩圓各是

36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

。四段弧的圓心角合計

12 0^{\circ} + 12 0^{\circ} + 6 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 36 0^{\circ} = 2 π

，弧長合計

3 \times 2 π = 6 π

。繩長至少

24 + 6 π

公分。

四段弧合起來剛好是一整個半徑

3

的圓周。

24 + 6 π \approx 42.85

公分。

繩子圍住幾個等圓：直線部分等於圓心連成的多邊形周長，圓弧部分合起來是一個圓的周長。

05選填 D～G（第 12～15 題）：最低點的位置、由圖形讀週期與振幅、頻率

第 12 題

y = sin x

的週期是

2 π

，每隔

2 π

出現一次最低點。第一次在

x = \frac{3 π}{2}

，到第十次要再往右走

9

個週期：

x = \frac{3 π}{2} + 9 \times 2 π = \frac{3 π}{2} + \frac{36 π}{2} = \frac{39 π}{2}

。答案格依序填

3

、

9

、

2

。

第十次是加

9

個週期，不是

10

個；第

n

次最低點在

x = \frac{3 π}{2} + (n - 1) \times 2 π

。

第 13 題圖上標出的兩個點

(- \frac{π}{6}, 0)

與

(\frac{11 π}{6}, 0)

都是圖形往下穿過

x

軸的位置，是波形上相同的位置。從左邊那一點沿著圖形數到右邊那一點，剛好經過

5

個完整的波。兩點的距離是

\frac{11 π}{6} - (- \frac{π}{6}) = \frac{12 π}{6} = 2 π

，所以週期

= \frac{2 π}{5}

。答案格分子填

2

、分母填

5

。

檢查：

\frac{2 π}{5} \approx 1.26

，與圖上相鄰兩個最高點的間隔（比

1

格多一點）相符。圖形往下穿過

x

軸與往上穿過

x

軸是不同的位置，數波的時候起點與終點要取同一種。

第 14 題由圖，最大值是

3

（虛線

y = 3

）、最小值是

- 1

（虛線

y = - 1

）。振幅是最大值與最小值之差的一半：

\frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。

振幅不是最大值

3

；這個圖形的中間線在

y = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，圖形在中間線上下各擺動

2

。

第 15 題

f (x) = sin (220 π x)

中

x

的係數是

220 π

，週期

= \frac{2 π}{220 π} = \frac{1}{110}

秒。頻率是每秒振動的次數，等於週期的倒數，所以頻率

= 110

赫茲。答案格依序填

1

、

1

、

0

。

每

\frac{1}{110}

秒完成一個波，

1

秒就有

110

個波。

由圖形讀週期：找兩個相同位置的點，距離除以中間的波數；振幅是最大值與最小值之差的一半；頻率是週期的倒數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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題目取自屏東高中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

屏東高中 112 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03多選第 7、8 題：兩個函數逐項比較

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屏東高中 112 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

屏東高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

屏東高中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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