段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律、對數律與換底公式、指數與對數函數的圖形、指對數方程式與不等式、指數與對數的應用）

屏東高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 屏東高中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 屏東高中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要把兩個互為倒數的對數設成同一個未知數，由底數都大於 1 決定只取正的那一個值；第 9 題要從漸近線先定出 c，再看圖形與 y 軸的交點落在原點和 (0,1) 之間；第 10 題判斷 h 的正負要看圖形與 y 軸交點在 x 軸上方，再配合底數小於 1 時的遞減；選填 I（第 19 題）要把「尾數相同」轉成 3 log a 是整數，並注意範圍兩端都不含。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 6 題每題 5 分，多選題 4 題每題 5 分（全對 5 分、只錯一個選項 3 分、只錯二個選項 1 分），選填題 10 題每題 5 分，共 100 分。原卷單選 1～6、多選 7～10、選填 A～J，本頁依序編為第 1～20 題（選填 A～J 為第 11～20 題）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：每題 5 分，答錯不倒扣，共 30 分。

設

a > 0

，

a \neq = 1

，有關指數函數

f (x) = a^{x}

的特性，下列哪一選項是正確的？

(1) 函數圖形通過點 $(0, - 1)$
(2) 是一嚴格遞增函數
(3) 當 $x$ 愈大時， $f (x)$ 值愈接近 $0$
(4) 函數圖形與任一水平線 $y = k$ 都恰有一交點
(5) 函數圖形與任一鉛垂線 $x = h$ 都恰有一交點

某個手機程式，每次點擊螢幕上的數

a

後，螢幕上的數會變成

a^{2}

，當一開始時螢幕上的數

b

為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數為

8 1^{3}

。若改為只連續點擊螢幕二次，則此時螢幕上出現的數字為下列哪一個選項？

(1) $3^{3}$
(2) $3^{4}$
(3) $3^{5}$
(4) $3^{6}$
(5) $3^{8}$

若對數函數

y = a + lo g_{b} x

的圖形通過兩點

(1, 1)

與

(4, 3)

，則

a + b

的值為下列哪一個選項？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

所謂奈米科技，研究的就是大小在

1

奈米～

100

奈米這個範圍的物質之特性，其中

1

奈米

= 1 0^{- 9}

米。利用電子顯微鏡，我們知道某個病毒的直徑為

x

米，已知

lo g x = - 7.5229

，試問此病毒的直徑為多少奈米？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $20$
(2) $30$
(3) $40$
(4) $50$
(5) $60$

已知

a > 1

，

b > 1

，且

lo g_{b} a = \frac{16}{25} lo g_{a} b

，則下列

a

、

b

關係式中，何者為正確的選項？

(1) $a^{25} = b^{16}$
(2) $a^{16} = b^{25}$
(3) $a^{5} = b^{4}$
(4) $a^{4} = b^{5}$
(5) $25 a = 16 b$

若已知

a = lo g_{\frac{1}{4}} 3

，

b = lo g_{9} 16

，

c = lo g_{3} \frac{1}{4}

，

d = lo g_{3} 2

，關於此四數的大小關係何者正確？

(1) $a < c < d < b$
(2) $a < b < d < c$
(3) $c < a < d < b$
(4) $c < a < b < d$
(5) $a < c < b < d$

二、多選題：每題全對得 5 分，只錯一個選項得 3 分，只錯二個選項得 1 分，其餘得 0 分，共 20 分。

坐標平面上，

Γ_{1}

為

y = lo g_{3} x

的圖形，

Γ_{2}

為

y = lo g_{\frac{1}{3}} x

的圖形。下列關於

Γ_{1}

與

Γ_{2}

的敘述，試選出正確的選項。

(1) $Γ_{1}$ 的圖形凹口向下
(2) $Γ_{2}$ 的圖形凹口向下
(3) $Γ_{1}$ 的圖形均在 $x$ 軸的上方
(4) $Γ_{2}$ 的圖形均在 $y$ 軸的右方
(5) $Γ_{1}$ 與 $Γ_{2}$ 恰交於一點

設

2^{x} = 3

，

3^{y} = 4

。試選出正確的選項。（註：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $x < 2$
(2) $y > \frac{3}{2}$
(3) $x < y$
(4) $x y = 2$
(5) $x + y < 2$

下圖為對數函數

f (x) = a + lo g_{b} (x + c)

圖形的一部分，

a

、

b

、

c

為實數，請選出正確的選項。

(1) $0 < a < 1$
(2) $a < 0$
(3) $b > 1$
(4) $c = 1$
(5) $c = - 1$

載入中...

下圖為指數函數

y = a^{x - h} + k

的部分圖形，且

k

為整數，則下列哪些選項正確？

(1) $a > 0$
(2) $a < 1$
(3) $k = - 2$
(4) $k = 2$
(5) $h < 0$

載入中...

三、選填題：請依答案格內之題號選擇正確數字或符號畫卡，每題 5 分，共 50 分。

已知

lo g 3 \approx 0.4771

，則

3^{200}

乘開後的整數位數有

◯ ◯

位。

若

lo g_{2} a \times lo g_{6} 8 \times lo g_{3} 6 = 12

，則

a = ◯ ◯

。

方程式

2^{2 x + 2} + 7 \times 2^{x} - 2 = 0

的解為

x = ◯ ◯

。

不等式

4^{x} - 5 \times 2^{x + 2} + 64 < 0

的解為

◯ < x < ◯

y = lo g_{a} (x - 2)

之圖形如下，此圖形通過

(4, 1)

，

(b, 0)

，

(10, c)

三點，則

a + b + c = ◯

載入中...

方程式

lo g_{2} (x - 1) - lo g_{4} (x + 2) = 1

的解為

x = ◯

。

將某一冷凍食品從冷凍庫取出，放在

2 5^{\circ} C

的室溫下解凍，放置

x

小時後，食品的溫度變為

f (x) = 25 - 32 \cdot a^{x}

（

^{\circ} C

），其中

a

是常數。根據經驗，食品在解凍

1

小時後的溫度為

9^{\circ} C

，試問解凍

4

小時後，溫度變為

◯ ◯

^{\circ} C

已知聲音的強度是每平方公尺多少能量（單位：

W/ m^{2}

，

W

為瓦特），若某一發聲體的強度為

I

（

W/ m^{2}

），將它換算成分貝

d

表示時，其公式為

d (I) = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

，其中

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W/ m^{2}

）且噴射機起飛的聲音為

140

分貝，汽笛發出的聲音為

100

分貝，若

x

支汽笛同時發出聲音時，可以和噴射機起飛時一樣大聲，則

x = ◯ ◯ ◯ ◯ ◯

若正數

a

滿足

10 < a < 1000

，且

lo g a^{4}

與

lo g a

有相同的尾數，則

a

◯

個。

兩直線

y = 3

和

y = 6

分別與

y = 2^{x}

的圖形相交於

A

、

B

兩點，則

\overline{A B} = ◯ ◯

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(3)

第 7 題(1)(4)(5)

第 8 題(1)(4)

第 9 題(1)(3)(4)

第 10 題(1)(2)(3)

第 11 題

96

第 12 題

81

第 13 題

- 2

第 14 題

2 < x < 4

第 15 題

8

第 16 題

7

第 17 題

23

第 18 題

10000

第 19 題

5

第 20 題

10

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～6：指數函數性質、指數律、對數函數、常用對數、換底、比大小

第 1 題答案 (5)。(1) 錯：

f (0) = a^{0} = 1

，圖形通過

(0, 1)

。(2) 錯：

0 < a < 1

時

f (x)

遞減。(3) 錯：

a > 1

時

x

愈大

f (x)

愈大，不會接近

0

。(4) 錯：

a^{x} > 0

，水平線

y = k

在

k \leq 0

時與圖形沒有交點。(5) 對：

f (x) = a^{x}

的定義域是全體實數，每一個

x = h

都恰好對應一個函數值

a^{h}

，所以每條鉛垂線都恰與圖形交於一點。

第 2 題答案 (4)。點一次把數平方：

b \to b^{2} \to b^{4} \to b^{8}

。由題意

b^{8} = 8 1^{3} = (3^{4})^{3} = 3^{12}

，且

b > 0

，所以

b = 3^{\frac{12}{8}} = 3^{\frac{3}{2}}

。點兩次後是

b^{4} = (3^{\frac{3}{2}})^{4} = 3^{6}

。

也可以不求

b

：

b^{8} = (b^{4})^{2} = 3^{12}

，而

b^{4} > 0

，所以

b^{4} = 3^{6}

。

第 3 題答案 (3)。代入

(1, 1)

：

1 = a + lo g_{b} 1 = a + 0

，所以

a = 1

。代入

(4, 3)

：

3 = 1 + lo g_{b} 4

，

lo g_{b} 4 = 2

，

b^{2} = 4

；底數

b > 0

，所以

b = 2

。

a + b = 3

。

第 4 題答案 (2)。

lo g x = - 7.5229 = - 8 + 0.4771 = - 8 + lo g 3

，所以

x = 3 \times 1 0^{- 8}

米。

1

奈米

= 1 0^{- 9}

米，換成奈米：

\frac{3 \times 1 0 ^{- 8}}{1 0 ^{- 9}} = 3 \times 10 = 30

奈米。

把負的對數值寫成「負整數＋介於

0

與

1

之間的小數」，小數部分

0.4771

正好是

lo g 3

。

第 5 題答案 (3)。令

t = lo g_{a} b

，由換底公式

lo g_{b} a = \frac{1}{lo g _{a} b} = \frac{1}{t}

。因為

a > 1

，

b > 1

，所以

t = \frac{lo g b}{lo g a} > 0

。條件變成

\frac{1}{t} = \frac{16}{25} t

，

t^{2} = \frac{25}{16}

，取正的

t = \frac{5}{4}

。

lo g_{a} b = \frac{5}{4}

表示

b = a^{\frac{5}{4}}

，兩邊四次方得

b^{4} = a^{5}

，即

a^{5} = b^{4}

。

t = - \frac{5}{4}

不合，因為底數與真數都大於

1

時對數為正。

第 6 題答案 (3)。都化成以

3

為底或以

2

為底比較。

b = lo g_{9} 16 = lo g_{3^{2}} 4^{2} = lo g_{3} 4

；

c = lo g_{3} \frac{1}{4} = - lo g_{3} 4

；

d = lo g_{3} 2

；

a = lo g_{\frac{1}{4}} 3 = - lo g_{4} 3

。因為

lo g_{3} 4 > 1

，所以

b > 1

、

c < - 1

；

0 < d = lo g_{3} 2 < 1

；

lo g_{4} 3

介於

0

與

1

之間，所以

- 1 < a < 0

。合起來

c < a < d < b

。

近似值：

a \approx - 0.79

，

b \approx 1.26

，

c \approx - 1.26

，

d \approx 0.63

。

02多選 7～10：對數圖形、指對互換、由圖形判斷係數

第 7 題答案 (1)(4)(5)。

lo g_{\frac{1}{3}} x = - lo g_{3} x

，所以

Γ_{2}

是

Γ_{1}

對

x

軸的對稱圖形。(1) 正確。 底數

3 > 1

的對數函數圖形遞增、凹口向下。(2) 錯誤。

Γ_{2}

是

Γ_{1}

上下翻轉，凹口向上。(3) 錯誤。

0 < x < 1

時

lo g_{3} x < 0

，圖形在

x

軸下方。(4) 正確。 定義域是

x > 0

，圖形都在

y

軸右方。(5) 正確。

lo g_{3} x = - lo g_{3} x

得

lo g_{3} x = 0

，只有

x = 1

，兩圖形恰交於

(1, 0)

。

第 8 題答案 (1)(4)。

x = lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \approx \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.585

，

y = lo g_{3} 4 = \frac{2 lo g 2}{lo g 3} \approx \frac{0.6020}{0.4771} \approx 1.262

。(1) 正確。

3 < 4 = 2^{2}

，所以

x < 2

。(2) 錯誤。

3^{\frac{3}{2}} = 27 > 16 = 4

，所以

y < \frac{3}{2}

。(3) 錯誤。

x \approx 1.585 > y \approx 1.262

。(4) 正確。

x y = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 4}{lo g 3} = \frac{lo g 4}{lo g 2} = 2

。(5) 錯誤。

x + y \approx 2.85 > 2

。

(5) 也可以不估值：由算幾不等式

x + y \geq 2 x y = 22 > 2

。

第 9 題答案 (1)(3)(4)。圖形的鉛垂漸近線是

x = - 1

，即真數

x + c = 0

發生在

x = - 1

，所以

c = 1

。(4) 正確。 (5) 錯誤。 圖形由左往右上升，對數函數遞增，所以底數

b > 1

。(3) 正確。 圖形與

y

軸的交點為

f (0) = a + lo g_{b} 1 = a

；由圖，此交點在原點與點

(0, 1)

之間，所以

0 < a < 1

。(1) 正確。 (2) 錯誤。

圖上標出的

(0, 1)

與

(1, 0)

兩點是標在坐標軸上的刻度點，不在圖形上；由圖可看出圖形與

y

軸的交點在

(0, 1)

下方、原點上方。

第 10 題答案 (1)(2)(3)。(1) 正確。 指數函數的底數規定

a > 0

（且

a \neq = 1

）。(2) 正確。 圖形由左往右下降，

a^{x - h}

遞減，所以

0 < a < 1

。(3) 正確。 當

x

很大時，

a^{x - h}

接近

0

，圖形接近水平線

y = k

；圖上的水平漸近線是

y = - 2

，所以

k = - 2

。(4) 錯誤。 (5) 錯誤。 圖形與

y

軸交在

x

軸上方：

a^{- h} - 2 > 0

，

a^{- h} > 2 > 1 = a^{0}

。因為

0 < a < 1

時指數愈小函數值愈大，所以

- h < 0

，即

h > 0

。

原卷附圖上的標籤印作

y = a^{x - k} + k

，與題幹

y = a^{x - h} + k

不一致；本頁照題幹重畫。若照圖上的

x - k

讀，

k = - 2

時圖形與

y

軸的交點

a^{2} - 2

在

0 < a < 1

時小於

0

，和圖形交在

x

軸上方不合，可知圖上是誤植。

03選填 A～E（第 11～15 題）：位數、換底連乘、指數方程式與不等式、對數圖形上的點

第 11 題

lo g 3^{200} = 200 lo g 3 \approx 200 \times 0.4771 = 95.42

，所以

3^{200} = 1 0^{95.42}

，介於

1 0^{95}

與

1 0^{96}

之間，是

96

位數。

第 12 題換底：

lo g_{6} 8 \times lo g_{3} 6 = \frac{lo g 8}{lo g 6} \cdot \frac{lo g 6}{lo g 3} = lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2

。所以

lo g_{2} a \times 3 lo g_{3} 2 = 3 \cdot \frac{lo g a}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 3} = 3 lo g_{3} a = 12

，

lo g_{3} a = 4

，

a = 3^{4} = 81

。

第 13 題

2^{2 x + 2} = 4 \cdot (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x} > 0

，方程式為

4 t^{2} + 7 t - 2 = 0

，

(4 t - 1) (t + 2) = 0

，

t = \frac{1}{4}

或

t = - 2

（不合，

2^{x} > 0

）。

2^{x} = \frac{1}{4} = 2^{- 2}

，

x = - 2

。答案格填

- 2

（負號佔一格）。

第 14 題

4^{x} = (2^{x})^{2}

，

2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}

。令

t = 2^{x} > 0

：

t^{2} - 20 t + 64 < 0

，

(t - 4) (t - 16) < 0

，

4 < t < 16

，即

2^{2} < 2^{x} < 2^{4}

。底數

2 > 1

，指數函數遞增，所以

2 < x < 4

。

第 15 題代入

(4, 1)

：

lo g_{a} (4 - 2) = 1

，

lo g_{a} 2 = 1

，

a = 2

。代入

(b, 0)

：

lo g_{2} (b - 2) = 0

，

b - 2 = 1

，

b = 3

。代入

(10, c)

：

c = lo g_{2} (10 - 2) = lo g_{2} 8 = 3

。

a + b + c = 2 + 3 + 3 = 8

。

04選填 F～J（第 16～20 題）：對數方程式、指數模型、分貝、尾數、兩點距離

第 16 題真數條件：

x - 1 > 0

且

x + 2 > 0

，即

x > 1

。換底：

lo g_{4} (x + 2) = \frac{lo g _{2} ( x + 2 )}{lo g _{2} 4} = lo g_{2} x + 2

。方程式為

lo g_{2} \frac{x - 1}{x + 2} = 1

，

\frac{x - 1}{x + 2} = 2

，

x - 1 = 2 x + 2

。兩邊平方：

x^{2} - 2 x + 1 = 4 x + 8

，

x^{2} - 6 x - 7 = 0

，

(x - 7) (x + 1) = 0

，

x = 7

或

x = - 1

。

x = - 1

不合真數條件，所以

x = 7

。

驗算：

lo g_{2} 6 - lo g_{4} 9 = lo g_{2} 6 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} 2 = 1

。

第 17 題

f (1) = 25 - 32 a = 9

，

a = \frac{1}{2}

。

f (4) = 25 - 32 (\frac{1}{2})^{4} = 25 - \frac{32}{16} = 25 - 2 = 23

，解凍

4

小時後是

2 3^{\circ} C

。

第 18 題噴射機：

10 lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 140

，

\frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{14}

，

I = 1 0^{2}

。一支汽笛：

10 lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 100

，

I = 1 0^{10} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 2}

。

x

支汽笛同時響，強度相加為

x \times 1 0^{- 2}

；要等於

1 0^{2}

，所以

x = 1 0^{4} = 10000

。

相加的是強度，不是分貝數。

第 19 題

lo g a^{4} = 4 lo g a

。兩數尾數相同，表示兩數相差一個整數：

4 lo g a - lo g a = 3 lo g a

是整數。由

10 < a < 1000

得

1 < lo g a < 3

，

3 < 3 lo g a < 9

，所以

3 lo g a

可以是

4

，

5

，

6

，

7

，

8

，對應

a = 1 0^{\frac{4}{3}}

，

1 0^{\frac{5}{3}}

，

1 0^{2}

，

1 0^{\frac{7}{3}}

，

1 0^{\frac{8}{3}}

，共

5

個。

兩端

3 lo g a = 3

與

9

對應

a = 10

與

1000

，不在範圍內。

第 20 題

A

在

y = 3

上：

2^{x} = 3

，

A (lo g_{2} 3, 3)

。

B

在

y = 6

上：

2^{x} = 6

，

B (lo g_{2} 6, 6)

。橫坐標差

lo g_{2} 6 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} 2 = 1

，縱坐標差

6 - 3 = 3

。由距離公式，

\overline{A B} = 1^{2} + 3^{2} = 10

。

對數題先寫出底數與真數的條件，再用對數律與換底公式化成同底；含

a^{x}

與

a^{2 x}

的方程式、不等式代換成二次式，記得新變數要大於

0

；由圖形判斷係數時，先看漸近線，再看遞增遞減與和坐標軸的交點。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

屏東高中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要把兩個互為倒數的對數設成同一個未知數，由底數都大於 1 決定只取正的那一個值；第 9 題要從漸近線先定出 c，再看圖形與 y 軸的交點落在原點和 (0,1) 之間；第 10 題判斷 h 的正負要看圖形與 y 軸交點在 x 軸上方，再配合底數小於 1 時的遞減；選填 I（第 19 題）要把「尾數相同」轉成 3 log a 是整數，並注意範圍兩端都不含。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律、對數律與換底公式、指數與對數函數的圖形、指對數方程式與不等式、指數與對數的應用）

屏東高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題：每題 5 分，答錯不倒扣，共 30 分。

設

a > 0

，

a \neq = 1

，有關指數函數

f (x) = a^{x}

的特性，下列哪一選項是正確的？

(1) 函數圖形通過點 $(0, - 1)$
(2) 是一嚴格遞增函數
(3) 當 $x$ 愈大時， $f (x)$ 值愈接近 $0$
(4) 函數圖形與任一水平線 $y = k$ 都恰有一交點
(5) 函數圖形與任一鉛垂線 $x = h$ 都恰有一交點

某個手機程式，每次點擊螢幕上的數

a

後，螢幕上的數會變成

a^{2}

，當一開始時螢幕上的數

b

為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數為

8 1^{3}

。若改為只連續點擊螢幕二次，則此時螢幕上出現的數字為下列哪一個選項？

(1) $3^{3}$
(2) $3^{4}$
(3) $3^{5}$
(4) $3^{6}$
(5) $3^{8}$

若對數函數

y = a + lo g_{b} x

的圖形通過兩點

(1, 1)

與

(4, 3)

，則

a + b

的值為下列哪一個選項？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

所謂奈米科技，研究的就是大小在

1

奈米～

100

奈米這個範圍的物質之特性，其中

1

奈米

= 1 0^{- 9}

米。利用電子顯微鏡，我們知道某個病毒的直徑為

x

米，已知

lo g x = - 7.5229

，試問此病毒的直徑為多少奈米？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $20$
(2) $30$
(3) $40$
(4) $50$
(5) $60$

已知

a > 1

，

b > 1

，且

lo g_{b} a = \frac{16}{25} lo g_{a} b

，則下列

a

、

b

關係式中，何者為正確的選項？

(1) $a^{25} = b^{16}$
(2) $a^{16} = b^{25}$
(3) $a^{5} = b^{4}$
(4) $a^{4} = b^{5}$
(5) $25 a = 16 b$

若已知

a = lo g_{\frac{1}{4}} 3

，

b = lo g_{9} 16

，

c = lo g_{3} \frac{1}{4}

，

d = lo g_{3} 2

，關於此四數的大小關係何者正確？

(1) $a < c < d < b$
(2) $a < b < d < c$
(3) $c < a < d < b$
(4) $c < a < b < d$
(5) $a < c < b < d$

二、多選題：每題全對得 5 分，只錯一個選項得 3 分，只錯二個選項得 1 分，其餘得 0 分，共 20 分。

坐標平面上，

Γ_{1}

為

y = lo g_{3} x

的圖形，

Γ_{2}

為

y = lo g_{\frac{1}{3}} x

的圖形。下列關於

Γ_{1}

與

Γ_{2}

的敘述，試選出正確的選項。

(1) $Γ_{1}$ 的圖形凹口向下
(2) $Γ_{2}$ 的圖形凹口向下
(3) $Γ_{1}$ 的圖形均在 $x$ 軸的上方
(4) $Γ_{2}$ 的圖形均在 $y$ 軸的右方
(5) $Γ_{1}$ 與 $Γ_{2}$ 恰交於一點

設

2^{x} = 3

，

3^{y} = 4

。試選出正確的選項。（註：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $x < 2$
(2) $y > \frac{3}{2}$
(3) $x < y$
(4) $x y = 2$
(5) $x + y < 2$

下圖為對數函數

f (x) = a + lo g_{b} (x + c)

圖形的一部分，

a

、

b

、

c

為實數，請選出正確的選項。

(1) $0 < a < 1$
(2) $a < 0$
(3) $b > 1$
(4) $c = 1$
(5) $c = - 1$

載入中...

下圖為指數函數

y = a^{x - h} + k

的部分圖形，且

k

為整數，則下列哪些選項正確？

(1) $a > 0$
(2) $a < 1$
(3) $k = - 2$
(4) $k = 2$
(5) $h < 0$

載入中...

三、選填題：請依答案格內之題號選擇正確數字或符號畫卡，每題 5 分，共 50 分。

已知

lo g 3 \approx 0.4771

，則

3^{200}

乘開後的整數位數有

◯ ◯

位。

若

lo g_{2} a \times lo g_{6} 8 \times lo g_{3} 6 = 12

，則

a = ◯ ◯

。

方程式

2^{2 x + 2} + 7 \times 2^{x} - 2 = 0

的解為

x = ◯ ◯

。

不等式

4^{x} - 5 \times 2^{x + 2} + 64 < 0

的解為

◯ < x < ◯

y = lo g_{a} (x - 2)

之圖形如下，此圖形通過

(4, 1)

，

(b, 0)

，

(10, c)

三點，則

a + b + c = ◯

載入中...

方程式

lo g_{2} (x - 1) - lo g_{4} (x + 2) = 1

的解為

x = ◯

。

將某一冷凍食品從冷凍庫取出，放在

2 5^{\circ} C

的室溫下解凍，放置

x

小時後，食品的溫度變為

f (x) = 25 - 32 \cdot a^{x}

（

^{\circ} C

），其中

a

是常數。根據經驗，食品在解凍

1

小時後的溫度為

9^{\circ} C

，試問解凍

4

小時後，溫度變為

◯ ◯

^{\circ} C

已知聲音的強度是每平方公尺多少能量（單位：

W/ m^{2}

，

W

為瓦特），若某一發聲體的強度為

I

（

W/ m^{2}

），將它換算成分貝

d

表示時，其公式為

d (I) = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

，其中

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W/ m^{2}

）且噴射機起飛的聲音為

140

分貝，汽笛發出的聲音為

100

分貝，若

x

支汽笛同時發出聲音時，可以和噴射機起飛時一樣大聲，則

x = ◯ ◯ ◯ ◯ ◯

若正數

a

滿足

10 < a < 1000

，且

lo g a^{4}

與

lo g a

有相同的尾數，則

a

◯

個。

兩直線

y = 3

和

y = 6

分別與

y = 2^{x}

的圖形相交於

A

、

B

兩點，則

\overline{A B} = ◯ ◯

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(3)

第 7 題(1)(4)(5)

第 8 題(1)(4)

第 9 題(1)(3)(4)

第 10 題(1)(2)(3)

第 11 題

96

第 12 題

81

第 13 題

- 2

第 14 題

2 < x < 4

第 15 題

8

第 16 題

7

第 17 題

23

第 18 題

10000

第 19 題

5

第 20 題

10

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～6：指數函數性質、指數律、對數函數、常用對數、換底、比大小

第 1 題答案 (5)。(1) 錯：

f (0) = a^{0} = 1

，圖形通過

(0, 1)

。(2) 錯：

0 < a < 1

時

f (x)

遞減。(3) 錯：

a > 1

時

x

愈大

f (x)

愈大，不會接近

0

。(4) 錯：

a^{x} > 0

，水平線

y = k

在

k \leq 0

時與圖形沒有交點。(5) 對：

f (x) = a^{x}

的定義域是全體實數，每一個

x = h

都恰好對應一個函數值

a^{h}

，所以每條鉛垂線都恰與圖形交於一點。

第 2 題答案 (4)。點一次把數平方：

b \to b^{2} \to b^{4} \to b^{8}

。由題意

b^{8} = 8 1^{3} = (3^{4})^{3} = 3^{12}

，且

b > 0

，所以

b = 3^{\frac{12}{8}} = 3^{\frac{3}{2}}

。點兩次後是

b^{4} = (3^{\frac{3}{2}})^{4} = 3^{6}

。

也可以不求

b

：

b^{8} = (b^{4})^{2} = 3^{12}

，而

b^{4} > 0

，所以

b^{4} = 3^{6}

。

第 3 題答案 (3)。代入

(1, 1)

：

1 = a + lo g_{b} 1 = a + 0

，所以

a = 1

。代入

(4, 3)

：

3 = 1 + lo g_{b} 4

，

lo g_{b} 4 = 2

，

b^{2} = 4

；底數

b > 0

，所以

b = 2

。

a + b = 3

。

第 4 題答案 (2)。

lo g x = - 7.5229 = - 8 + 0.4771 = - 8 + lo g 3

，所以

x = 3 \times 1 0^{- 8}

米。

1

奈米

= 1 0^{- 9}

米，換成奈米：

\frac{3 \times 1 0 ^{- 8}}{1 0 ^{- 9}} = 3 \times 10 = 30

奈米。

把負的對數值寫成「負整數＋介於

0

與

1

之間的小數」，小數部分

0.4771

正好是

lo g 3

。

第 5 題答案 (3)。令

t = lo g_{a} b

，由換底公式

lo g_{b} a = \frac{1}{lo g _{a} b} = \frac{1}{t}

。因為

a > 1

，

b > 1

，所以

t = \frac{lo g b}{lo g a} > 0

。條件變成

\frac{1}{t} = \frac{16}{25} t

，

t^{2} = \frac{25}{16}

，取正的

t = \frac{5}{4}

。

lo g_{a} b = \frac{5}{4}

表示

b = a^{\frac{5}{4}}

，兩邊四次方得

b^{4} = a^{5}

，即

a^{5} = b^{4}

。

t = - \frac{5}{4}

不合，因為底數與真數都大於

1

時對數為正。

第 6 題答案 (3)。都化成以

3

為底或以

2

為底比較。

b = lo g_{9} 16 = lo g_{3^{2}} 4^{2} = lo g_{3} 4

；

c = lo g_{3} \frac{1}{4} = - lo g_{3} 4

；

d = lo g_{3} 2

；

a = lo g_{\frac{1}{4}} 3 = - lo g_{4} 3

。因為

lo g_{3} 4 > 1

，所以

b > 1

、

c < - 1

；

0 < d = lo g_{3} 2 < 1

；

lo g_{4} 3

介於

0

與

1

之間，所以

- 1 < a < 0

。合起來

c < a < d < b

。

近似值：

a \approx - 0.79

，

b \approx 1.26

，

c \approx - 1.26

，

d \approx 0.63

。

02多選 7～10：對數圖形、指對互換、由圖形判斷係數

第 7 題答案 (1)(4)(5)。

lo g_{\frac{1}{3}} x = - lo g_{3} x

，所以

Γ_{2}

是

Γ_{1}

對

x

軸的對稱圖形。(1) 正確。 底數

3 > 1

的對數函數圖形遞增、凹口向下。(2) 錯誤。

Γ_{2}

是

Γ_{1}

上下翻轉，凹口向上。(3) 錯誤。

0 < x < 1

時

lo g_{3} x < 0

，圖形在

x

軸下方。(4) 正確。 定義域是

x > 0

，圖形都在

y

軸右方。(5) 正確。

lo g_{3} x = - lo g_{3} x

得

lo g_{3} x = 0

，只有

x = 1

，兩圖形恰交於

(1, 0)

。

第 8 題答案 (1)(4)。

x = lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \approx \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.585

，

y = lo g_{3} 4 = \frac{2 lo g 2}{lo g 3} \approx \frac{0.6020}{0.4771} \approx 1.262

。(1) 正確。

3 < 4 = 2^{2}

，所以

x < 2

。(2) 錯誤。

3^{\frac{3}{2}} = 27 > 16 = 4

，所以

y < \frac{3}{2}

。(3) 錯誤。

x \approx 1.585 > y \approx 1.262

。(4) 正確。

x y = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 4}{lo g 3} = \frac{lo g 4}{lo g 2} = 2

。(5) 錯誤。

x + y \approx 2.85 > 2

。

(5) 也可以不估值：由算幾不等式

x + y \geq 2 x y = 22 > 2

。

第 9 題答案 (1)(3)(4)。圖形的鉛垂漸近線是

x = - 1

，即真數

x + c = 0

發生在

x = - 1

，所以

c = 1

。(4) 正確。 (5) 錯誤。 圖形由左往右上升，對數函數遞增，所以底數

b > 1

。(3) 正確。 圖形與

y

軸的交點為

f (0) = a + lo g_{b} 1 = a

；由圖，此交點在原點與點

(0, 1)

之間，所以

0 < a < 1

。(1) 正確。 (2) 錯誤。

圖上標出的

(0, 1)

與

(1, 0)

兩點是標在坐標軸上的刻度點，不在圖形上；由圖可看出圖形與

y

軸的交點在

(0, 1)

下方、原點上方。

第 10 題答案 (1)(2)(3)。(1) 正確。 指數函數的底數規定

a > 0

（且

a \neq = 1

）。(2) 正確。 圖形由左往右下降，

a^{x - h}

遞減，所以

0 < a < 1

。(3) 正確。 當

x

很大時，

a^{x - h}

接近

0

，圖形接近水平線

y = k

；圖上的水平漸近線是

y = - 2

，所以

k = - 2

。(4) 錯誤。 (5) 錯誤。 圖形與

y

軸交在

x

軸上方：

a^{- h} - 2 > 0

，

a^{- h} > 2 > 1 = a^{0}

。因為

0 < a < 1

時指數愈小函數值愈大，所以

- h < 0

，即

h > 0

。

原卷附圖上的標籤印作

y = a^{x - k} + k

，與題幹

y = a^{x - h} + k

不一致；本頁照題幹重畫。若照圖上的

x - k

讀，

k = - 2

時圖形與

y

軸的交點

a^{2} - 2

在

0 < a < 1

時小於

0

，和圖形交在

x

軸上方不合，可知圖上是誤植。

03選填 A～E（第 11～15 題）：位數、換底連乘、指數方程式與不等式、對數圖形上的點

第 11 題

lo g 3^{200} = 200 lo g 3 \approx 200 \times 0.4771 = 95.42

，所以

3^{200} = 1 0^{95.42}

，介於

1 0^{95}

與

1 0^{96}

之間，是

96

位數。

第 12 題換底：

lo g_{6} 8 \times lo g_{3} 6 = \frac{lo g 8}{lo g 6} \cdot \frac{lo g 6}{lo g 3} = lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2

。所以

lo g_{2} a \times 3 lo g_{3} 2 = 3 \cdot \frac{lo g a}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 3} = 3 lo g_{3} a = 12

，

lo g_{3} a = 4

，

a = 3^{4} = 81

。

第 13 題

2^{2 x + 2} = 4 \cdot (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x} > 0

，方程式為

4 t^{2} + 7 t - 2 = 0

，

(4 t - 1) (t + 2) = 0

，

t = \frac{1}{4}

或

t = - 2

（不合，

2^{x} > 0

）。

2^{x} = \frac{1}{4} = 2^{- 2}

，

x = - 2

。答案格填

- 2

（負號佔一格）。

第 14 題

4^{x} = (2^{x})^{2}

，

2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}

。令

t = 2^{x} > 0

：

t^{2} - 20 t + 64 < 0

，

(t - 4) (t - 16) < 0

，

4 < t < 16

，即

2^{2} < 2^{x} < 2^{4}

。底數

2 > 1

，指數函數遞增，所以

2 < x < 4

。

第 15 題代入

(4, 1)

：

lo g_{a} (4 - 2) = 1

，

lo g_{a} 2 = 1

，

a = 2

。代入

(b, 0)

：

lo g_{2} (b - 2) = 0

，

b - 2 = 1

，

b = 3

。代入

(10, c)

：

c = lo g_{2} (10 - 2) = lo g_{2} 8 = 3

。

a + b + c = 2 + 3 + 3 = 8

。

04選填 F～J（第 16～20 題）：對數方程式、指數模型、分貝、尾數、兩點距離

第 16 題真數條件：

x - 1 > 0

且

x + 2 > 0

，即

x > 1

。換底：

lo g_{4} (x + 2) = \frac{lo g _{2} ( x + 2 )}{lo g _{2} 4} = lo g_{2} x + 2

。方程式為

lo g_{2} \frac{x - 1}{x + 2} = 1

，

\frac{x - 1}{x + 2} = 2

，

x - 1 = 2 x + 2

。兩邊平方：

x^{2} - 2 x + 1 = 4 x + 8

，

x^{2} - 6 x - 7 = 0

，

(x - 7) (x + 1) = 0

，

x = 7

或

x = - 1

。

x = - 1

不合真數條件，所以

x = 7

。

驗算：

lo g_{2} 6 - lo g_{4} 9 = lo g_{2} 6 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} 2 = 1

。

第 17 題

f (1) = 25 - 32 a = 9

，

a = \frac{1}{2}

。

f (4) = 25 - 32 (\frac{1}{2})^{4} = 25 - \frac{32}{16} = 25 - 2 = 23

，解凍

4

小時後是

2 3^{\circ} C

。

第 18 題噴射機：

10 lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 140

，

\frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{14}

，

I = 1 0^{2}

。一支汽笛：

10 lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 100

，

I = 1 0^{10} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 2}

。

x

支汽笛同時響，強度相加為

x \times 1 0^{- 2}

；要等於

1 0^{2}

，所以

x = 1 0^{4} = 10000

。

相加的是強度，不是分貝數。

第 19 題

lo g a^{4} = 4 lo g a

。兩數尾數相同，表示兩數相差一個整數：

4 lo g a - lo g a = 3 lo g a

是整數。由

10 < a < 1000

得

1 < lo g a < 3

，

3 < 3 lo g a < 9

，所以

3 lo g a

可以是

4

，

5

，

6

，

7

，

8

，對應

a = 1 0^{\frac{4}{3}}

，

1 0^{\frac{5}{3}}

，

1 0^{2}

，

1 0^{\frac{7}{3}}

，

1 0^{\frac{8}{3}}

，共

5

個。

兩端

3 lo g a = 3

與

9

對應

a = 10

與

1000

，不在範圍內。

第 20 題

A

在

y = 3

上：

2^{x} = 3

，

A (lo g_{2} 3, 3)

。

B

在

y = 6

上：

2^{x} = 6

，

B (lo g_{2} 6, 6)

。橫坐標差

lo g_{2} 6 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} 2 = 1

，縱坐標差

6 - 3 = 3

。由距離公式，

\overline{A B} = 1^{2} + 3^{2} = 10

。

對數題先寫出底數與真數的條件，再用對數律與換底公式化成同底；含

a^{x}

與

a^{2 x}

的方程式、不等式代換成二次式，記得新變數要大於

0

；由圖形判斷係數時，先看漸近線，再看遞增遞減與和坐標軸的交點。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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屏東高中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～6：指數函數性質、指數律、對數函數、常用對數、換底、比大小

02多選 7～10：對數圖形、指對互換、由圖形判斷係數

03選填 A～E（第 11～15 題）：位數、換底連乘、指數方程式與不等式、對數圖形上的點

04選填 F～J（第 16～20 題）：對數方程式、指數模型、分貝、尾數、兩點距離

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屏東高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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